计算方法 第5章 数值积分
计算方法_数值积分
f
(b)]
其中xk=a+kh
(k=0,1,2,…,N)，
h
ba N
2.复合Simpson公式
如果在每个子区间上使用Simpson公式，就得到复
合Simpson公式。将N等分后的每个子区间再对分一次，
于是共有2N+1个节点，xk 在每个N等分的子区间[x2k ,
ak x2k+2]
h (k=0,1,2,…,2N)， (2k=0,1,2,…,N-1)上应
这个问题有明显的答案
I*
4 a rc tg
x
|
1 0
3 .1 4 1 5 9 2 6
取n = 8用复合梯形公式
T8
1 8
1 2
f
(0)
2
f
1 8
2
f
1 4
2
f
3 8
2
f
1 2
2
f
5 8
5.1 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式
建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又 有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有
b
b
a f (x)dx a (x)dx
现用第四章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有
b
b
a
算的结果进行比较。
解 计算结果列于表5-2中。
函数f (x) 梯形值 Simpson值 Cotes值 准确值
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
Ch数值计算方法之数值积分
6. 柯特斯公式
•
作为课外作业，大家可以取n=4,相应地k可以取0，1 ，2，3 和4，仿照上面的方式，可以得到：
从而可进一步写出相应的求积公式，这就是柯特斯公式。
•
在后面将要介绍的龙贝格求积算法中，我们将产生梯形序列， 辛卜生序列，柯特斯序列和龙贝格序列，前三个序列都是基 于牛顿-柯特斯公式产生的序列，而龙贝格序列则不是。
3.变步长复化梯形公式
• 假设对某个n,我们利用复化梯形公式，也就是上面的
（3）式，得到了Tn，如果它不满足我们的精度要求， 那么我们可以把每个子区间再对分一次，这相当于 把积分区间划分为2n等分。
a)/(2n),则有
• 记y0,y1,y2,…,y2(n-1),y2n-1,y2n为等分点，记t=(b-
1.复化中点公式
• 复化中点公式也许最不为人们所注意，以至在一般
的教科书中还没有这个名称，我们在后面将会看到， 对于求数值积分来说，它实际上是最有用的公式。
• 把积分区间[a,b]划分为n等分，记x0,x1,…,xn为等分
点，记[xj-1,xj]为第j个子区间， zj为区间的中点， j=1,2,…,n，记h=(b-a)/n,记Mn为所有子区间上利用 中点公式所求得的积分值的和，那么我们有
作为课外练习，鼓励大家给出完整证明。
6.基本结论
• 我们可以利用上面的定理所给出的方法证明辛卜生
公式的代数精度是3，而中点公式和梯形公式的代数 精度是1。
• 现在我们可以对这三个公式作一个简单的评价：
• 中点公式和梯形公式的代数精度虽然都是1，但中点公
式只计算一个点的函数值，而梯形公式却要计算两个点 处的函数值，所以中点公式优于梯形公式。
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值计算中的数值积分方法
数值计算中的数值积分方法数值计算是应用数学的一个分支，它主要涉及数值计算方法、算法和数值实验。
其中，数值积分作为数值计算中的一个重要环节，其作用在于将连续函数转化为离散的数据，从而方便计算机进行计算和处理。
本文将介绍数值积分的概念、方法和应用。
一、数值积分的概念数值积分是利用数值方法对定积分进行估计的过程。
在数值积分中，积分被近似为离散区间的和，从而可以被计算机进行处理。
数值积分中，被积函数的精确的积分值是无法计算的，而只能通过数值方法进行估计。
数值积分的目的是通过选取合适的算法和参数来尽可能减小误差，达到精度和效率的平衡。
二、数值积分的方法1. 矩形法矩形法是数学上最简单的数值积分方法之一。
矩形法的算法是将要积分的区间分为若干个小区间，然后计算每个小区间中矩形的面积，最后将所有小矩形的面积加起来得到近似的积分值。
矩形法的精度一般较低，适用于计算不需要高精度的函数积分。
2. 梯形法梯形法是数值积分中常用的一种方法，其原理是将区间分为若干个梯形，并计算每个梯形的面积，最后将所有梯形的面积加起来得到近似的积分值。
梯形法的计算精度较高，但其计算量较大。
3. 辛普森法辛普森法是数值积分中一种高精度的方法，它是利用二次多项式去估计原函数。
辛普森法的原理是将区间分为若干等分小区间，并计算每个小区间中的二次多项式的积分值，最后将所有小区间的积分值加起来得到近似的积分值。
辛普森法的优点是其精度高，计算量相对较小。
三、数值积分的应用数值积分方法在各个领域都有广泛的应用。
例如，它可以被用于工程学、物理学和金融学中的数值计算。
在工程学中，数值积分被用于数值模拟和计算机辅助设计中。
在物理学中，数值积分则被用于数值求解微分方程和计算机模拟等领域。
在金融学中，数值积分则被应用于计算复杂的金融模型和风险分析。
总之，数值积分方法是数学和计算机科学中非常重要的一部分。
通过不同的数值积分方法来近似计算定积分，我们能够利用计算机更加高效地进行数学计算和数据分析，从而使得数学和物理等学科的研究者能够更加快速地得出准确的结果。
数值积分使用数值方法计算定积分
数值积分使用数值方法计算定积分定积分是数学中的重要概念，用于求解曲线下面的面积。
在某些情况下，定积分无法通过解析解来求解，此时可以使用数值方法来进行近似计算。
数值积分是一种广泛应用的技术，本文将介绍数值积分的基本原理以及常见的数值方法。
一、数值积分的基本原理数值积分的基本原理是将曲线下的面积近似为若干个矩形的面积之和。
假设要计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，首先将[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n。
然后，在每个小区间上选择一个代表点xi，计算其对应的函数值f(xi)，然后将所有矩形的面积相加，即可得到近似的定积分值。
二、矩形法矩形法是数值积分中最简单的方法之一。
它将每个小区间上的函数值看作是一个常数，然后通过计算矩形的面积来近似定积分的值。
矩形法主要有两种形式：左矩形法和右矩形法。
1. 左矩形法左矩形法使用小区间左端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
即近似矩形的面积为f(xi) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
然后将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
2. 右矩形法右矩形法与左矩形法相似，仅仅是使用小区间右端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
近似矩形的面积为f(xi + Δx) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
同样地，将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
三、梯形法梯形法是比矩形法更精确的数值积分方法。
它通过使用每个小区间的两个端点处函数值的平均值来代表整个小区间上的函数值，并计算梯形的面积来近似定积分的值。
梯形法的计算公式为：(f(xi) + f(xi + Δx)) * Δx / 2，其中xi为小区间的左端点。
将所有梯形的面积相加，得到近似的定积分值。
四、辛普森法辛普森法是一种更加高阶的数值积分方法，它使用三个点对应的函数值来逼近曲线。
将每个小区间看作一个二次函数，可以通过拟合这个二次函数来近似定积分的值。
辛普森法的计算公式为：(f(xi) + 4 * f(xi + Δx/2) + f(xi + Δx)) * Δx / 6，其中xi为小区间的左端点。
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
数值积分与数值微分21599
b
a
f ( x)dx I n Ak f ( xk ) 至少具有n次代数精度，
k 0
n
所以用插值基函数lk(x)当作f(x)代入，上式精确成立，即：
b
a
lk ( x)dx I n Aj lk ( x j ) Ak
n
j 0
n
所以 I n Ak f ( xk ) 为插值型的求积．
b a 1i n
则称求积公式是收敛的． 中，由于计算 f(xk) 定义 在求积公式a f ( x)dx Ak f ( xk )
b n
可能产生误差，实际得到 fk 即： f ( xk ) fk k n n 记 I n ( f ) Ak f ( xk )，I n ( f ) Ak f k 如果对任
由书中表知，当 n 8 时柯特斯系数出了负值，所以
(n) (n) C C k k 1 k 0 k 0 n n
故 n 8 时Newton-Cotes 公式不适用。
2019/4/23
数计学院《数值计算》课程建设组QAB
二、偶数阶求积公式的代数精度
n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1 次代数精度。 证明： 当n 为偶数时，由于有 f ( n1) ( x) ( xn1 )( n1) (n 1)!
余项
b
余项 R[ f ]
b a 4 (4) h f ( ) , 180
( a, b) , h
ba 2
2019/4/23
数计学院《数值计算》课程建设组QAB
n = 4: C
(4) 0
7 (4) 16 (4) 2 (4) 16 (4) 7 , C1 , C2 , C3 , C4 柯特斯公式 90 45 15 45 90
第五章 数值积分与微分1
b−a T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
b−a a+b S( f ) = f (a ) + 4 f ( 2 ) + f (b) 6
b−a C( f ) = [ 7 f (a ) + 32 f (a + h) + 12 f (a + 2h) 90
+32 f (a + 3h) + 7 f (b )]
( f ( x)dx ≈ (b − a)∑Ckn) f (a + kh) = In ( f ) k=0
n
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
a k =0
n
求积公式的代数精度（/*Algebraic Precision */） 求积公式的代数精度（/* 代数精度
Def 1如果求积公式 I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
次的多项式都恒成立 对一切不高于m次的多项式都恒成立， 对一切不高于 次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 次多项式不能精确成立 次多项式不能精确成立， m次代数精度。 次代数精度。 次代数精度
分别利用梯形公式、 梯形公式 公式、 例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式 公式 公式
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1− 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1− 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4
数值计算中的积分方法
数值计算中的积分方法对于一定区间内的函数，我们可以通过积分来求出其面积、体积、质量等物理量。
但是在实际计算中，我们往往无法用解析式直接求出积分的值。
这时候，就需要使用数值计算中的积分方法来解决问题。
一、定积分的基本概念在介绍数值计算中的积分方法之前，我们需要先了解定积分的基本概念。
定积分是指在一定范围内，函数在该范围内的积分值。
定积分的计算公式如下：其中，a与b分别是积分区间的上限和下限。
f(x)是要求积分的函数。
二、数值积分的基本原理在实际计算中，由于我们无法使用解析式求出积分的值，所以我们需要使用数值积分的方法来求解。
数值积分的基本原理是将积分区间分割成若干个小区间，然后对每个小区间内的函数进行近似，并将这些近似值加起来得到整个积分的近似值。
具体操作方式包括：矩形法、梯形法、辛普森法等。
三、矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一，它的思想是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间内，将函数值看作常数，用矩形来近似表示积分的面积，最后将所有矩形的面积加起来得到整个积分的估算值。
矩形法的计算公式如下：其中，n为将积分区间[a,b]等分成n个小区间，h为小区间的长度，即选择矩形的上、下底线的取值通常有三种情况：左端点、右端点和中点。
矩形法的代价是显然的：将整个积分区间分割开来后，只有在分割点处函数值可以准确反映积分函数在这一区间内的行为，其余部分都是偏差。
因此，如何减小分割误差是该方法的一个重要问题。
四、梯形法与矩形法相似，梯形法是把积分区间划分成若干个小梯形，在每个小梯形中，将用函数的两个端点值连接成梯形近似积分的面积，最后将所有小梯形的面积加起来得到整个积分的估算值。
梯形法的计算公式如下：梯形法的计算精度比矩形法更高。
五、辛普森法辛普森法是将积分区间划分成若干小区间，用二次曲线去逼近函数在每个小区间内的形状，并将所有小区间的积分值加和得到整个区间的积分值。
具体计算公式如下：其中，h为区间长度，x0和xn为区间的端点。
(完整版)数值计算方法教案
《计算方法》教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课教师：***编写时间：2011年 8月新疆医科大学工程学院张利萍教案目录《计算方法》教学大纲 (4)一、课程的性质与任务 (4)二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4)三、课程改革与特色 (5)四、推荐教材及参考书 (5)《计算方法》教学日历..................................... 错误!未定义书签。
第一章绪论 .. (6)第1讲绪论有效数字 (6)第2讲误差………………………………………………………………………………第二章线性方程组的直接法 (14)第3讲直接法、高斯消去法 (14)第4讲高斯列主元消去法 (22)第5讲平方根法、追赶法 (29)第三章插值法与最小二乘法 (31)第6讲机械求积、插值型求积公式 (32)第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37)第8讲高斯公式、数值微分 (42)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分 (48)第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法 (59)第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60)第17讲牛顿法、弦截法 (64)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法 (67)第21讲迭代公式的建立 (68)第22讲第23讲第24讲向量范数、迭代收敛性 (71)第25讲《计算方法》教学大纲课程名称：计算方法/Computer Numerical Analysis B学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab语言）适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部）、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。
第5章多自由度系统的数值计算方法
第5章多自由度系统的数值计算方法在工程实践中，我们经常会遇到多自由度系统（Multiple Degree of Freedom，简称MDOF）的问题，例如振动台、建筑结构等。
这些系统通常由多个自由度所组成，因此其运动方程会比单自由度系统更加复杂。
因此，我们需要使用数值计算方法来求解这些系统。
在本章中，我们将介绍两种常见的数值计算方法，包括直接积分法和模态叠加法。
一、直接积分法直接积分法，也称为时步法或时间积分法，是一种常用的求解MDOF系统的数值计算方法。
它的基本原理是将多自由度系统的运动方程转换为一组一阶常微分方程。
然后，利用数值积分方法，如欧拉法、Runge-Kutta法等，对这组常微分方程进行求解，得到系统的运动响应。
直接积分法的主要步骤如下：1.确定系统的运动方程：根据多自由度系统的动力学原理，可以得到系统的运动方程。
一般来说，这个方程是非线性方程，通常需要进行线性化处理。
2.将运动方程转化为一阶常微分方程组：将系统的运动方程进行适当的变换，将其转化为一组一阶常微分方程。
这样，就可以使用数值积分方法对其进行求解。
3. 选择数值积分方法：选择适合系统的数值积分方法，例如欧拉法、Runge-Kutta法等。
这些方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过迭代来逼近准确解。
4.进行数值计算：根据选择的数值积分方法，进行迭代计算，得到系统的运动响应。
尽管直接积分法是一种广泛应用的数值计算方法，但也存在一些问题。
例如，随着自由度的增加，计算量会大大增加。
此外，由于数值积分方法的局限性，可能会出现数值不稳定、数值发散等问题。
二、模态叠加法模态叠加法是求解MDOF系统的另一种常用数值计算方法。
该方法基于模态分析的思想，将MDOF系统的运动方程转化为一组无耦合的一自由度系统的运动方程。
然后，按照模态响应的叠加原理，将各个模态的响应相加，得到系统的总体响应。
模态叠加法的主要步骤如下：1.确定系统的模态参数：通过模态分析方法，可以得到系统的模态参数，包括模态频率、振型等。
数值积分方法与应用
数值积分方法与应用数值积分方法是一种数值计算技术，用于计算函数在给定区间上的定积分。
在实际应用中，我们经常会遇到无法通过解析方法求解的定积分，这时候就可以借助数值积分方法来进行近似计算。
本文将介绍数值积分的基本原理、常用方法以及在实际问题中的应用。
一、基本原理在介绍数值积分方法之前，我们先来回顾一下定积分的几何意义。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx表示函数f(x)在区间[a, b]上与x轴之间的面积。
当函数f(x)是非常复杂的时候，我们往往无法通过解析方法求解定积分，这时候就需要借助数值积分方法进行近似计算。
数值积分方法的基本原理是将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上选取一个节点进行函数值的采样，最后通过对这些采样值的加权和来近似表示定积分的值。
常用的数值积分方法包括Newton-Cotes公式、Gauss求积法等。
二、常用方法1. Newton-Cotes公式Newton-Cotes公式是最简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间均匀分割成若干个小区间，然后在每个小区间上取若干个节点进行函数值的采样。
最常见的Newton-Cotes公式为梯形公式和Simpson 公式。
梯形公式是将积分区间[a, b]分割成n等分，然后在相邻两个节点上计算函数值，最后通过梯形面积的加权和来近似表示定积分的值。
Simpson公式是将积分区间[a, b]分割成2n等分，然后在每个子区间的两个端点和中点上计算函数值，最后通过三次多项式的插值来近似表示定积分的值。
2. Gauss求积法Gauss求积法是通过选取一定的节点和权重来提高数值积分方法的精度。
其基本思想是在给定区间上选取一些特定的节点和权重，然后通过这些节点和权重的组合来构造一个更高阶的数值积分公式。
Gauss求积法的优点是可以通过适当选择节点和权重来提高数值积分的精度，适用于高阶多项式的数值积分。
三、应用案例数值积分方法在科学计算、工程建模等领域有着广泛的应用。
数值积分方法讨论
数值积分方法讨论一、引言数值积分方法是一种计算函数曲线下面积的方法。
在实际应用中，很多函数的积分无法通过解析方法求得，因此需要使用数值积分方法来近似计算。
本文将讨论数值积分的基本概念、常用方法和应用场景。
二、基本概念1. 积分积分是微积分学中的一个重要概念，其定义为：对于给定函数f(x)，在区间[a,b]上的定积分为：∫(b,a)f(x)dx2. 数值积分数值积分是指通过数值计算来近似计算定积分的过程。
由于很多函数无法通过解析方法求得其定积分，因此需要使用数值计算来近似求解。
三、常用方法1. 矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取一个点作为代表点，然后将每个小区间内的函数值乘以该小区间长度得到矩形面积，并将所有矩形面积相加即可得到近似结果。
2. 梯形法梯形法是一种比矩形法更精确的数值积分方法。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取两个点作为代表点，然后将每个小区间内的函数值求平均值，再乘以该小区间长度得到梯形面积，并将所有梯形面积相加即可得到近似结果。
3. 辛普森法辛普森法是一种比梯形法更精确的数值积分方法。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取三个点作为代表点，然后通过插值公式计算出一个二次函数，并对该二次函数进行积分得到近似结果。
四、应用场景1. 科学计算在科学计算中，很多问题需要求解函数的定积分。
由于很多函数无法通过解析方法求得其定积分，因此需要使用数值积分方法来近似计算。
2. 金融领域在金融领域中，很多问题需要对某些数据进行统计和分析。
而这些数据通常以曲线的形式呈现，因此需要使用数值积分方法来计算曲线下面的面积。
3. 工程领域在工程领域中，很多问题需要对某些物理量进行计算和预测。
而这些物理量通常以曲线的形式呈现，因此需要使用数值积分方法来计算曲线下面的面积。
五、总结数值积分方法是一种重要的数值计算方法，它可以用来近似计算函数曲线下面积。
实验5 积分及其数值计算
西安理工大学应用数学系
由定积分的定义，有
I f ( x)dx
a
b
max( xi )0
lim
f ( )x f ( )x
i 1 i i i 1 i
n
n
i
（3-1）
对区间[a,b]不同的分割方法以及 i 的不同取法，则会得到 不同的定积分的近似计算方法。这里我们不妨先演示一个 Matlab命令rsums。 将区间[0,1]10等分， i 取为每个小区间的中点，运行 rsums(f)，则会得到 rsums(f)=
-x.*(x - 1) : 0.167500
-x.*(x - 1) : 0.166677
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 10
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 90
0.6
0.7
0.8
0.9
1
西安理工大学应用数学系
2 2
由
3
1
与
2 2 z d x d y d z 其中 由 和 z 4 围成 z x y
围成。
（1）的积分区域均为矩形域，而（2）的积分区域不是矩形 域，但是，只要我们能够将积分化成累次积分，均可用int命 令求解。
西安理工大学应用数学系
将积分（1）化成累次积分
( y sin x x cos y)dxdy
从几何意义上说，对于区间[a, b]上非负函数f (x)，积 分值I 是曲线y= f (x)与直线x=a, x=b及x轴所围成的曲边梯 形的面积。定积分的计算则依据牛顿-莱布尼兹公式： 若f (x)在区间[a, b]上连续，且 F ( x) f ( x), x [a, b], 则 有 b f ( x)dx F (b) F (a)
计算方法--数值积分省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
f
( x)
(x ( x1
x0 )( x x) x0 )( x1 x)
f
( x1 )
有
x1 f ( x)dx
x0
x1 x0
L2
(
x )dx
尤其地：当
x
1 2
(
x0
x1 )
,于是，
x1 x0
f
( x)dx
( x1
6
x0 )
f
(x0 ) 4
f
(
x0
2
x1 )
f
( x1)
Simpson公式
30
在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时旳公式是最常用也 最主要三个公式,称为低阶公式
取n 1, 有x0 a , x1 b , h b a
Cotes系数为
C ( 1 ) 01(t01)dt1 2
C ( 1 ) 1
1
tdt
0
1 2
求积公式为
31
1
I1( f ) (b a) Ck(1) f (xk )
按此余项公式，对于次数不超出 n 旳多项式 f (x) ，
余项 R[ f ] 等于零，求积公式至少具有 n 次代数精度。
23
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点旳求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度.
反之, 若求积公式至少具有 n 次代数精度，则肯定 是插值型旳。因为求积公式对 n 次多项式是精确成立旳:
b
n
a lk (x)dx Ajlk (x j ) Ak
j0
Return 24
§5.2 Newton-Cotes公式
第1节 公式旳一般形式 第2节 低阶公式及其他项 第3节 复合求积公式
数值积分 正交积分
数值积分正交积分
数值积分是一种用数值方法近似计算函数积分的方法，通过将积分区间分成若干小区间，然后在每个小区间上用数值方法计算函数值，再将这些计算结果相加得到函数的近似积分值。
正交积分是一种特殊的数值积分方法，它利用正交多项式的性质来近似计算函数积分。
正交多项式满足一定的正交条件，可以通过一些数值算法求得其系数，并利用这些系数来计算函数的积分。
常见的正交多项式有勒让德多项式、拉盖尔多项式和埃尔米特多项式等。
这些正交多项式都有一些特殊的性质，如正交性、递推关系等，这些性质可以通过数值算法来计算函数的近似积分。
常用的正交积分方法有高斯-勒让德积分、高斯-拉盖尔积分和高斯-埃尔米特积分等。
正交积分方法通常比较精确，尤其是在积分区间较大且被积函数具有较高的光滑性的情况下，可以得到比普通数值积分方法更准确的积分结果。
但是正交积分方法需要计算正交多项式的系数，对于一些复杂函数可能计算较为复杂，因此在实际应用中需要考虑计算的效率和精度。
计算方法数值积分
计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。
数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。
数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。
它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。
具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。
梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。
具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。
辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。
辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。
辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。
数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。
在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。
此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。
总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。
数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。
数值积分方法课件
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
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第五章数值积分§5.0 引言§5.1 机械求积公式§5.2 Newton-Cotes公式§5.3 变步长求积公式及其加速收敛技巧§5.4 Gauss公式§5.5 小结§5.0 引 言1. 定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中F (x )是f (x )的原函数之一，可用不定积分求得。
然而在实际问题中，往往碰到以下问题： (a) 被积函数f (x )是用函数表格提供的；(b)被积函数表达式极为复杂，求不出原函数，或求出原函数后，由于形式复杂不利于计算； (c)大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如210x edx -⎰，概率积分10sin xdx x ⎰, 正弦型积分222224()1sin Irx H x d r x r πθθ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭⎰回路磁场强度公式等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。
2 所谓数值积分就是求积分近似值的方法。
而数值积分只需计算()f x 在节点(1,2,,)i x i n =上的值，计算方便且适合于在计算机上机械地实现。
§5.1 机械求积公式1 数值积分的基本思想 区间[a ,b ]上的定积分()ba f x dx ⎰，就是在区间[a,b]内取n+1个点01,,,n x x x ，利用被积函数f (x )在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。
其中,x k 称为积分节点，A k 称为求积系数。
因此，一个数值积分公式关键在于积分节点x k 的选取和积分系数A k 的决定，其中A k 与被积函数f(x)无关。
称为机械求积公式。
1.1 简单算例说明 例1 求积分1()x xf x dx⎰此积分的几何意义相当于如下图所示的曲边梯形的面积。
解：（1） 用f (x )的零次多项式00()()y L x f x ==来近似代替()f x ,于是，1100001()(()))(x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为左矩公式）推广:1101110()()()()x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为右矩公式）110010110()()2()()2x x x x x x f x dx f dxx x f x x +≈+=-⎰⎰（为中矩公式） （2） 用f (x )的一次多项式011010110()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- 来近似代替()f x ,于是，[]1011101011010011()()1()()(()())2x x x x x x x x x x f x f x dx x x x x x f x dx L x dxx f x f x ⎛⎫--=+⎪--⎝⎭=-+≈⎰⎰⎰（为梯形公式）（3） 用f (x )的二次插值多项式,其中01x x x '<<011200010101101()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x '----'=+'''----'--+'--来近似代替()f x ,于是，112()()x x x x f x dx L x dx≈⎰⎰特别地：当011()2x x x '=+时，有10100101()()()4()()62x x x x x x f x dx f x f f x -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰（为Simpson 公式）2 代数精确度定义：若积分()baf x dx ⎰的数值积分公式0()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰对于任意一个次数不高于m 次的多项式都精确成立，且存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为m 。
对于代数精确度为m 的求积公式，若f (x )是不超过m 次的代数多项式，求积公式是精确成立的。
2.1 算例 例1: 有积分公式:[]11112012()()()()f x dx f f f -≈-++⎰求该积分公式的代数精确度。
这个求积公式的几何意义是曲边梯形的面积近似地用两个梯形面积来代替。
-1 01XYf(-1)f(1)f(0)解：(1)取f (x )=1，定积分1112 dx -=⎰,而数值积分[]112122++=，两端相等；(2)取f (x )=x ，定积分110xdx -=⎰,而数值积分1120102()⎡⎤⎣⎦-+⨯+=，两端相等； (3)取2()f x x =，定积分12123x dx -=⎰,而数值积分221120112()⎡⎤-+⨯+=⎣⎦，两端不相等； 只要取f (x )=1，f (x )=x 验证了上述求积公式精确成立，就意味着对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；而取2()f x x =时求积公式不精确成立，也就是存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。
例2：在如下求积公式中，求积分节点12,x x 和相应的求积系数12,A A 使其代数精确度尽可能高。
111221()()()f x dx A f x A f x -=+⎰解：(1) f (x )=1,11 1 2dx -=⎰,而数值积分为12A A +；得到方程122A A +=；(2) f (x )=x ，11 0x dx -=⎰，而数值积分为1122AxA x +； 得到方程11220Ax A x +=；(3)2()f x x =，1212 3x dx -=⎰，而数值积分为221122A x A x +；得到方程22112223A x A x +=；(4)3()f x x=，1310x dx -=⎰，而数值积分为331122A x A x +；得到方程3311220A x A x +=；综合上述方程：1211222211223311222 (1)0 (2)2 (3)30 (4)A A A x A x A x A x A x A x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 解得:1211,33x x =-= 121A A ==。
于是我们得到积分公式1111()()()33f x dx f f -=-+⎰。
再取4()f x x =，有14125x dx -=⎰，而数值积分为44112933⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两式不相等，求积公式不精确成立了。
所以，该积分公式的代数精确度为3。
§5.2 Newton-Cotes 公式1 公式的推导Newton-Cotes 公式是由拉格朗日插值公式推导出来的数值积分公式。
将区间[a ,b ]等分n 等份,记b a h n-=,分点为k x a kh =+,k=0,1,...,n ,这n+1个节点上的函数值为(),0,1,,k f x k n =,从而区间[a ,b ]上的拉格朗日插值多项式为()()()nn k k k L x f x l x ==∑其中,()k l x 为插值基本多项式,与函数f (x )无关,k=0,1,...,n 。
()()bbn aaf x dx L x dx ≈⎰⎰()()n bk k a k f x l x dx =∑⎰=00()()()nb k k a k nk k k l x dx f x A f x ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=∑⎰∑由于插值结点是等距节点，故插值多项式可以进一步化简: 因为 k x a kh =+，x a th =+故()k j x x k j h -=-，()j x x t j h -=-011011()()()()()()()()()n k k k n k k k k k k x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----(1)(1)(1)()(1)(1)(1)()t t t k t k t n k k k k k k k n --+---=--+---0,(1)()!()!nn k j j k t j k n k -=≠-=--∏因()bk k aA l x dx =⎰，作积分变量代换x a th =+，b adx hdt dt n-==，当x a =时，t=0；当x=b 时，t=n ；故00,()1(1)()!()!nn j j k n k k b a t j dt A n k n k =≠----=⋅-∏⎰记()(),0,1,,n k k A b a C k n =-=，我们称()n k C 为柯特斯（Cotes ）系数，它不仅与函数f (x )无关，而且与积 分区间[a ,b ]无关。
例如：当n=1时 (梯形积分公式中的系数)11(1)00(1)1(1)0! 1!2C t dt -=-=⎰,01(1)10(1)1(0)1! 0!2C t dt -=-=⎰;当 n=2时 (抛物线积分公式中的系数)22(2)00(1)1(1)(2)0! 2!26C t t dt -=--=⋅⎰,12(2)10(1)2(0)(2)1! 1!23C t t dt -=--=⋅⎰,02(2)20(1)1(0)(1)2! 0!26C t t dt -=--=⋅⎰;当n=3时 (3/8积分公式中的系数)33(3)00(1)1(1)(2)(3)0! 3!38C t t t dt -=---=⋅⎰， 23(3)10(1)3(0)(2)(3)1! 2!38C t t t dt -=---=⋅⎰，13(3)20(1)3(0)(1)(3)2! 1!38C t t t dt -=---=⋅⎰，03(3)30(1)1(0)(1)(2)3! 0!38C t t t dt -=---=⋅⎰；于是，由柯特斯（Cotes ）系数()n k C 公式出发，我们得到n 阶Newton —Cotes公式：()()()()nbn k k ak f x dx b a C f x =≈-∑⎰。
2 低阶公式及其余项常用的Newton —Cotes 公式 a) 梯形公式 n=1时，积分节点为0x a =，1x b =，则数值积分公式为：[] ()()()2bab af x dx f a f b -≈+⎰其几何意义是曲边梯形的面积()baf x dx ⎰近似地用梯形面积[]()()2b af a f b -+来代替。