第1章复数与复变函数
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第一章复变函数
z z 0 r0
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
复数与复变函数
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数第一章
内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
《复变函数》第一章 复数与复变函数
( z ≠ 0)
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
第1章复数与复变函数汇总
2 2
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
复变函数-第一章-复数与复变函数
y
28
1 i
2
q
4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1
z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1
z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。
《复变函数》第1章
3
3
23
23
arg z
23 6
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第10页
书 P.7
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
解: 1) 1) z 12 2i
2) z sin i cos
5
5
r
12 4 4,
z 4(
12 2 i ) 44
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第3页
(3) 除法: z z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
z2 x2 iy2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )
x1x2 y1 y2 x22 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
复数的运算满足交换律、结合律和分配律.
(4) 共轭复数性质
i) z1 z2 z1 z2 , ii) z z ;
z1z2 z1 z2 ,
z1 z1 z2 z2
;
iii) z z Re(z)2 Im( z)2 ;
iv) z z 2 Re(z) , z z 2i Im( z) .
4(
3 1 i ). 22
cos 3 ,
2
sin 1
2
5.
6
(或
arctan 2
12
arctan
3
3
5
6
∴
∵ z 在第三象限 ) 三角式: z 4[cos(
5
)
i
sin(
高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
明德 第一章 复数与复变函数
y 虚轴
P x, y
复数z x iy可用xoy平面上 坐标为( x，y )的点p表示.此时，
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 平 面— 复 平 面 或 z平 面
0
z x iy
x 实轴
数z与点z同义
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) oP { x , y } 显然下列各式成立 可 用 向 量 oP表 示z x iy。 x z, y z, 称向量的长度为复数z=x+iy 的模或绝对值； 2 以x轴正方向为始边,OP 为终边的的夹角 θ 称为复数 2 z z z z . z x y, z=x+iy的辐角. y 虚轴 uu r
2 2
法 2. 将 z x iy 代入得： x y 1 i 2
x y 1 i 4 即 x y 1 4
2 2 2
2
z 2i z 2
解: 由几何意义， z 2i z 2 即 z 2i z 2
0
特别的，以z0为圆点？
z z0 Re i 0 2 , 为参数
x
0 2 , 为参数
例5 指出下列方程表示的曲线
1
解:法 1.
zi 2
由几何意义 z i 2 即 z i 2 表示到 i
距离为2的点的轨迹, 即圆 x y 1 4
n
k 0,1,,n 1
(1) 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。
n n (2)几何上， z 的n个值是以原点为中心， r 为半 径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。
P x, y
复数z x iy可用xoy平面上 坐标为( x，y )的点p表示.此时，
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 平 面— 复 平 面 或 z平 面
0
z x iy
x 实轴
数z与点z同义
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) oP { x , y } 显然下列各式成立 可 用 向 量 oP表 示z x iy。 x z, y z, 称向量的长度为复数z=x+iy 的模或绝对值； 2 以x轴正方向为始边,OP 为终边的的夹角 θ 称为复数 2 z z z z . z x y, z=x+iy的辐角. y 虚轴 uu r
2 2
法 2. 将 z x iy 代入得： x y 1 i 2
x y 1 i 4 即 x y 1 4
2 2 2
2
z 2i z 2
解: 由几何意义， z 2i z 2 即 z 2i z 2
0
特别的，以z0为圆点？
z z0 Re i 0 2 , 为参数
x
0 2 , 为参数
例5 指出下列方程表示的曲线
1
解:法 1.
zi 2
由几何意义 z i 2 即 z i 2 表示到 i
距离为2的点的轨迹, 即圆 x y 1 4
n
k 0,1,,n 1
(1) 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。
n n (2)几何上， z 的n个值是以原点为中心， r 为半 径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。
复变函数第一章
1.1.4.复数四则运算的几何意义 .1.4.复数四则运算的几何意义 , θ θ 设有两个复数 z1 = r1(cos 1 + i sinθ1） z2 = r2 (cos 2 + i sinθ2）
则，z1 z 2 = r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )
例1：下列复数化为三角表示式与指数表示式
2i ( 1 ) z = − 12 − 2i, ( 2 ) z = , ( 3 ) z = −3 + 4i −1+ i
例3：求下列方程所表示的曲线
(1) |z + i| = 2, ( 2) |z − 2i| = |z + 2|, ( 3 ) Im(i + z) = 4
________
7 1 z1 ∴ ( )=− + i z2 5 5
__ 1 3i 例2： z = - − 求 Re (z),Im (z)与z z i 1-i
− ( 1 − i) − 3i(i) − 1 + i + 3 2 + i （ 2 + i)( 1 − i) = = 解： z = = i( 1 − i) i +1 1+ i 2
x
(3)幅角主值的求法 (3)幅角主值的求法 y arctan x , ( x > 0 , y > 0 ) arctan y + π （ x < 0 , y > 0 ) , x arg z = arctan y − π , ( x < 0 , y < 0 ) x y arctan , ( x > 0, y < 0) x
第一章 复数和复变函数
ei1 ei2 (cos1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) cos(1 2 ) i sin(1 2 ) ei (1 2 ) ,
可得
z1z 2 r1r2ei (1 2 ) .
于是有如下等式
（1.13）
| z1 z2 || z1 || z2 |, Arg ( z1z 2 ) Arg ( z1 ) Arg ( z 2 ).
（1.14）
式(1.14)表明： 两个复数乘积的模等于它们模的乘积， 两个复数乘积的辐角等于它们辐角的 和。值得注意的是，由于辐角的多值性，式(1.14)的第二式应理解为对于左端 Arg ( z1 z2 ) 的
上海交通大学数学系 王健
任一值， 必有由右端 Argz1 与 Argz2 的各一值相加得出的 和与之对应；反之亦然。以后，凡遇到多值等式时，都 按此约定理解。 由式(1.14)可得复数乘法的几何意义，即： z1 z2 所 对应的向量是把 z1 所对应的向量伸缩 r2 | z2 | 倍， 然后再 旋转一个角度 2 argz 2 所得(见图 1.2)。
a 2 b 2 ( a b)( a b), a3 b3 ( a b)(a 2 ab b 2 ),
等等仍然成立。实数域和复数域都是代数学中所研究的“域”的实例。 由于一个复数与平面上的一个向量所对应， 因此， 复数的加法运算与平面上向量加法运 算一致,从而以下两个不等式成立。
z2 x2 iy2 相等，是指它们的实部与实部相等,虚部与虚部相等， 即 x1 iy1 x2 iy2
当且仅当 x1 x2 , y1 y2 。 1.1.2 复数的表示 1.1.2.1 代数表示 由式(1.1)所给出的即为复数的代数表示。 1.1.2.2 几何表示 由复数的定义可知，复数 z x iy 与有序数对 ( x, y ) 建立了一一对应关系。在平面上建立直角坐标 系 xOy ，用 xOy 平面上的点 P ( x , y ) 表示复数 z ，这 样复数与平面上的点一一对应，称这样的平面为复平 面。若用向量 OP 表示复数 z ，如图 1.1 所示。该向
复变函数第1章 复数与复变函数
1、乘积
设 z1 r1(cos1 isin1) r1ei1 ,
z2 r2(cos2 isin2 ) r2ei2
则
z1z2 r1r 2 (cos1 isin1)(cos2 isin2 )
r1r 2[cos( 12 ) isin( 12 )] r1r 2 ei( 12 )
于是， z1z2 z1 z2 , Arg(z1z2 ) Arg(z1) Arg(z2 )
(7) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
Josep(8h) Fourier 变换应用于频谱分析和信号处理等. (1768.3.21-1频83谱0.5分.1析6) 是对各次谐波的频率、振幅、相位之 法国数学间家的和关物系理进学行家分.他析致. 力随于着计算机的发展，语音、图 导问题, 象18等22作年出为版信名号著，《在热频的域分中的处理要方便得多.
1 i i
例1. 证明若z是实系数方程 an xn an-1xn1 a1x a0 0 的根,则z也是其根. (实系数方程的复根成对出现)
三、复平面及复数的几何表示y
设 z x iy P(x, y) OP x轴 实轴, y轴 虚轴
1. 模 、辐角 模：z r OP x2 y2 ; 则有
复 实数 ( y =0) 数 (C) 虚数 ( y 0)
纯虚数 ( x=0) 非纯虚数 (x 0 )
简单性质：
(1) 设 z1 x1iy1 , z2 x2 iy2,则 z1 z2 x1 x2且y1 y2
(2) z x iy 0 x 0且y 0
注意：一般说来，. 任意两个复数不能比较大小！
设 z1 r1(cos1 isin1) r1ei1 ,
z2 r2(cos2 isin2 ) r2ei2
则
z1z2 r1r 2 (cos1 isin1)(cos2 isin2 )
r1r 2[cos( 12 ) isin( 12 )] r1r 2 ei( 12 )
于是， z1z2 z1 z2 , Arg(z1z2 ) Arg(z1) Arg(z2 )
(7) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
Josep(8h) Fourier 变换应用于频谱分析和信号处理等. (1768.3.21-1频83谱0.5分.1析6) 是对各次谐波的频率、振幅、相位之 法国数学间家的和关物系理进学行家分.他析致. 力随于着计算机的发展，语音、图 导问题, 象18等22作年出为版信名号著，《在热频的域分中的处理要方便得多.
1 i i
例1. 证明若z是实系数方程 an xn an-1xn1 a1x a0 0 的根,则z也是其根. (实系数方程的复根成对出现)
三、复平面及复数的几何表示y
设 z x iy P(x, y) OP x轴 实轴, y轴 虚轴
1. 模 、辐角 模：z r OP x2 y2 ; 则有
复 实数 ( y =0) 数 (C) 虚数 ( y 0)
纯虚数 ( x=0) 非纯虚数 (x 0 )
简单性质：
(1) 设 z1 x1iy1 , z2 x2 iy2,则 z1 z2 x1 x2且y1 y2
(2) z x iy 0 x 0且y 0
注意：一般说来，. 任意两个复数不能比较大小！
第一章复数与复变函数
n 次幂，
cos i sin
n
cosn i sinn
此式称为棣莫佛(De Moivre)公式。
2、复数的开方 开方是乘方的逆运算，设 w z 则称复数 z的n次方根记作： n z . w w为复数
n
容易得
1 1 w z | z |[cos( 2k ) i sin( 2k )] n n
2 2 2 2
2
2
三、复数的表示方法
1. 点的表示法 2. 向量表示法
3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示法
复数z x iy 一对有序实数x, y), (
在平面直角坐标系中， 任 意 点 ( x , y ) 一 对 有 序 实 数x , y ) P ( z x iy 平 面 上 的 点 ( x , y ) P
则有 z1z2 | z1 || z2 | [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
于是得到：1z2 || z1 || z2 | |z
Arg( z1z2 ) Argz1 Argz2
后一个式子应理解为集合相等。
几何意义 ： 将复数 z 1 按逆时针方向旋转一个 角度2 ，再将其伸缩 z2 倍。
内接于该圆周的正 n 边形的 n 个顶点。
如 wk 4 1 i
2k 2k 8 2 (cos 4 i sin 4 ) ( k 0,1,2,3) 4 4
（见下图）
w1
y
1 i
2
28
w0
w2
o
w3
x
例5 求解方程 z 3 2 0
解：z 2
故得
1 3
第一章 复数与复变函数
把复数x + iy对应的实数对(x, y) 表现在复平面上。
y
P (x, y)
复平面：如图所示， y x + yi 横轴表示实数， x 纵轴表示纯虚数， O x 整个坐标平面可称为复(数)平面。
2. 复数的向量表示
复数与平面向量等同起来，将复数的实 部与虚部分别看作向量的水平分量与铅 垂分量。
y y
z 2 =x2 − iy2
z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) − i ( y1 + y2 )
故 z1 + z 2 = z1 + z 2
3. 复数的共轭运算
根据共轭复数的定义，不难证明共轭复 数具有如下性质：
(1) z1 ± z 2 = z1 ± z 2 ;
(2) z1z 2 = z1 z 2 ;
( x1 x2 + y1 y2 ) + i ( − x2 y1 + x1 y2 )
= 2( x1 x2 + y1 y2 ) = 2 Re( z1 ⋅ z2 ).
或 z1 ⋅ z2 + z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 + z1 ⋅ z2 = 2Re(z1 ⋅ z2 ).
§2 复数的表示法
1. 复数的点表示法
z = x + iy = x − iy
易知 ( z ) = z
2. 复数的代数运算zFra bibliotek复数的相等 z1 = x1+ iy1 x1= x2 y1= y2
z2 = x2+ iy2 ⇒ z1= z2
3i与2i
任意两个复数不能比较大小
z
复数的代数运算
(1)复数的加(减)法
z1 ± z 2 = ( x1 ± x2 ) + i ( y1 + y2 )
y
P (x, y)
复平面：如图所示， y x + yi 横轴表示实数， x 纵轴表示纯虚数， O x 整个坐标平面可称为复(数)平面。
2. 复数的向量表示
复数与平面向量等同起来，将复数的实 部与虚部分别看作向量的水平分量与铅 垂分量。
y y
z 2 =x2 − iy2
z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) − i ( y1 + y2 )
故 z1 + z 2 = z1 + z 2
3. 复数的共轭运算
根据共轭复数的定义，不难证明共轭复 数具有如下性质：
(1) z1 ± z 2 = z1 ± z 2 ;
(2) z1z 2 = z1 z 2 ;
( x1 x2 + y1 y2 ) + i ( − x2 y1 + x1 y2 )
= 2( x1 x2 + y1 y2 ) = 2 Re( z1 ⋅ z2 ).
或 z1 ⋅ z2 + z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 + z1 ⋅ z2 = 2Re(z1 ⋅ z2 ).
§2 复数的表示法
1. 复数的点表示法
z = x + iy = x − iy
易知 ( z ) = z
2. 复数的代数运算zFra bibliotek复数的相等 z1 = x1+ iy1 x1= x2 y1= y2
z2 = x2+ iy2 ⇒ z1= z2
3i与2i
任意两个复数不能比较大小
z
复数的代数运算
(1)复数的加(减)法
z1 ± z 2 = ( x1 ± x2 ) + i ( y1 + y2 )
第一章 复数与复变函数
z 对应，就建立了
平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．同时，复 Z也能用向量 OP 来表示。
从上述复数的定义中可以看出，一个复数z x iy 实际 唯一确定．因此，如果我们把 ( x, y ) 平面上的点 ( x, y ) 与复数 z 对应，就建立了平面上全部 上是由一对有序实数 的点和全体复数间的一一对应关系．
x2 iy2 ，则复数四则运算规定：
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
z1 z2 ( x1x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 ( z2 0) 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
y x x y
2 2
例 将复数
1 sin1 i cos1
2
化为三角形式和指数形式
z 1 sin1
2
1 4cos 4 2
2
cos 1 21 sin1 2 1 cos 1 2
2
又
i 4 1 i 2 cos 4 i sin 4 2e
例1.4
1 1
cos0 i sin0 e i 2 2 cos i sin 2e
0i
cos i sin i 1 2 2
式
z1 z2 z1 z2
（三角形两边之和第三边，图1-2）
(1.2)
z1 z2 z1 z2
（三角形两边之差第三边，图1-3）
(1.3)
(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数 z1 ， z2 分别 与 z1
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x
x
arctan y .
x
例3 求 Arg(2 2i) 和 Arg(3 4i) 解
Arg(2 2i) arg(2 2i) 2k
arctan 2 2k
2
2k (k 0, 1, 2,)
4
Arg(3 4i) arg(3 4i) 2k arctan 4 2k
记作 N 0 (z0 , )
z0
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集.
闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D
为闭集.
连通集 设是D 开集，如果对于D 内任意两
点，都可用折线连接起来，且该折线上的
点都属于D ，则称开集D 是连通集.
D
z1
z2
p
区域
区域（或开区域） 连通的开集称为区域 或开区域.
i
x1 y2 x2 y1 x22 y22
r1 r2
c os (1
2)
i sin(1
2 )
r1 r2
exp[i(1
2 )]
两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减
复数四则运算规律：
（1）加法交换律 z1 z2 z2 z1 （2）乘法交换律 z1 z2 z2 z1 （3）加法结合律 z1 (z2 z3 ) (z1 z2 ) z3 （4）乘法结合律 z1 (z2 z3 ) (z1 z2 )z3 （5）乘法对于加法的分配律
z1 z2
(z2 0)
（5） zz [Re z]2 [Im z]2
（6） Re z z z , Im z z z
2
2i
（7） z z z 为实数.
例. 1
(2 3i)2
化简
2i
解
(2 3i)2 4 9 12i
2i
2i
(5 12i)(2 i) (2 i)(2 i)
6
6
可求出6个根，它们是
(k 0, 1, 2, 3, 4, 5)
z0
3 1 i, 22
z1 i,
z2
3 1i 22
z3
3 1 i, 22
z 4 i,
z5
3 1i 22
例2 计算 1 i
解
因为
1i
2
cos(
3 4
)
i
sin(
z z0 R
连接z1 和z2两点的线段的参数方程为
z z1 t(z2 z1),
(0 t 1)
过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z z1 t(z2 z1),
( t )
例2：考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。
（1） z 2i z 2
第一章 复数与复变函数
复数 复数表示及运算 平面点集 复变函数极限和连续性
复数、复数表示及运算
复数的概念
复数
形如z=x+iy的数被称为复数，其
中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别为
z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数不能 比较大小
z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 arctan y
2
x2
arctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0
2
2
tan( ) tan( ) tan y arctan y
3
(2k 1) arctan 4 (k 0, 1, 2,)
3
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示：z r(cos i sin ) rei
指数表示：z rei (r z , Arg z)
注意 在三角表示和指数表示下，两个复数
相等当且仅当模相等且幅角相差 2k
z2
3
i4, 求
z1 z2
和 z1 z2
2.求(1 i)100 和4 1 i
平面点集
邻域 平面上以 z0 为心， 0 为半径的圆：z z0
内部所有点 z 的集合称为点的 —邻域，记
为 N (z0 , ) ，即
N(z0 , ) {z z z0 }
称集合{z 0 z z0 } 为 z 0 的去心 —邻域，
解出 n r , 1 ( 2k )
即
w
z
1 n
[c
os(1
(arg
n
z
2k
))
i
sin(
1
(arg
z
2k
))]
n
n
例 解方程 z6 1 0 解 因为 z6 1 cos i sin
所以
6 1 cos 2k i sin 2k
6
)
i
sin(
6
)
z2
3
i
2 cos(56
)
i sin(5
6
)
所以
z18
28
c
os
(
8
6
)
i
s
in(
8
6
)
z
4 2
2
4
c
os
(20
6
)
i
sin(
20
6
)
24
cos(
28
6
)
i
sin(
28
6
)
11 2i (2 i)(5i) 11 2i 5 10i
25
5i(5i)
25
25
16 8 i 25 25
所以 Re z 16 , Im z 8
25
25
zz (16 8 i)(16 8 i) 64 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂
3 4
)
所以
1 i
4
2 cos
3 2k
4 2
i sin
3 2k
4 2
(k 0, 1)
即
w20
4
2 (c os 3
8
i sin 3
8
)
w12
4
2 (c os 5
8
i
5
8
)
练习
1.设z1
5 i5,
arctan
2 12
arctan
3 3
2) 显z 然 ,4r=c|ozs|(=156, 又 ) i sin(
5 6
)
5 . 因此
6
5 i
4e 6
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
（2） Im(i z) 4
设 z = x+ iy,
Im(i z) Im( x i(1 y)) 4
y 3
（3）
arg(
z
i)
4
arg( z i) 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的 推广和发展 。
自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象. 由 于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基 础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函 数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定 必要的基础.
zi 4
中点z的轨迹所在范围。
解：
z z
i i
x2 y2 1 x2 ( y 1)2
i
x2
2x ( y 1)2
10 12 29i 2 29i
4 1
5
例2 设 z 1 2i ( 2 i ) ，求 Re z, Imz 及 zz
解
3 4i 5i
z 1 2i 2 i (1 2i)(3 4i) 2 i 3 4i 5i (3 4i)(3 4i) 5i
5
sin
2
5
因此
sin z
3 10 cos
3
.
i sin
3
i 3
e 10