2017-2018学年北师大版高中数学必修五全册同步习题含解析

2017-2018学年北师大版高中数学必修五全册同步习题目录第一章数列1.1数列1.1.1习题第一章数列1.1数列1.1.2习题第一章数列1.2等差数列1.2.1.1习题第一章数列1.2等差数列1.2.1.2习题第一章数列1.2等差数列1.2.2.1习题第一章数列1.2等差数列1.2.2.2习题第一章数列1.3等比数列1.3.1.1习题第一章数列1.3等比数列1.3.1.2习题第一章数列1.3等比数列1.3.2习题第一章数列1.4数列在日常经济生活中的应用习题第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.1习题第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.2习题第二章解三角形2.2三角形中的几何计算习题第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例习题第三章不等式3.1不等关系习题第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1习题第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.2习题第三章不等式3.3基本不等式3.3.1习题第三章不等式3.3基本不等式3.3.2习题第三章不等式3.4简单线性规划3.4.1习题第三章不等式3.4简单线性规划3.4.2习题第三章不等式3.4简单线性规划3.4.3习题1.1数列的概念课后篇巩固探究A组1.将正整数的前5个数作如下排列:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.则可以称为数列的是()A.①B.①②C.①②③D.①②③④解析:4个都构成数列.答案:D2.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则该数列的前4项依次为()A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.,0,,0D.2,0,2,0解析:把n=1,2,3,4分别代入a n=中,依次得到0,1,0,1.答案:B3.数列1,,…的一个通项公式是()A.a n=B.a n=C.a n=D.a n=解析:1=12,4=22,9=32,16=42,1=2×1-1,3=2×2-1,5=2×3-1,7=2×4-1,故a n=.答案:A4.已知数列{a n}的通项公式a n=,若a k=,则a2k=()A. B.99 C.D.143解析:由a k=,于是k=6(k=-6舍去).因此a2k=a12=.答案:C5.已知数列,…,则三个数0.98,0.96,0.94中属于该数列中的数只有()A.1个B.2个C.3个D.以上都不对解析:由已知可得该数列的一个通项公式a n=.令a n=0.98,解得n=49,令a n=0.96,解得n=24,令a n=0.94,解得n=∉N+.故只有0.98和0.96是该数列中的项.答案:B6.已知曲线y=x2+1,点(n,a n)(n∈N+)位于该曲线上,则a10=.解析:由题意知a n=n2+1,因此a10=102+1=101.答案:1017.数列,3,,3,…的一个通项公式是.解析:数列可化为,…,即,…,每个根号里面可分解成两数之积,前一个因式为常数3,后一个因式为2n-1,故原数列的通项公式为a n=,n∈N+.答案:a n=8.已知数列{a n}的通项公式a n=,则-3是此数列的第项.解析:令-3,得-3,解得n=9.答案:99.写出下列各数列的一个通项公式:(1)4,6,8,10,…(2),…(3),-1,,-,-,…(4)3,33,333,3 333,…解(1)各项是从4开始的偶数,所以a n=2n+2.(2)数列中的每一项分子比分母少1,而分母可写成21,22,23,24,25,…,2n,故所求数列的通项公式可写为a n=.(3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(-1)n+1这个因式,忽略负号,将第二项1写成,则分母可化为3,5,7,9,11,13,…,均为正奇数,分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,…,故其通项公式可写为a n=(-1)n+1·.(4)将数列各项写为,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以a n=(10n-1).10.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n.(1)写出数列的第4项和第6项;(2)问-49是不是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是不是该数列的一项呢?解(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60.(2)设3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),∴n=7,即-49是该数列的第7项.设3n2-28n=68,解得n=或n=-2.∵∉N+,-2∉N+,∴68不是该数列的项.B组1.数列2,-,4,-,…的通项公式是()A.a n=2n(n∈N+)B.a n=(n∈N+)C.a n=(n∈N+)D.a n=(n∈N+)解析:将数列各项改写为,-,-,…,观察数列的变化规律,可得a n=(n∈N+).答案:C2.已知数列{a n}的通项公式a n=,则a n·a n+1·a n+2等于()A. B. C. D.解析:∵a n=,a n+1=,a n+2=,∴a n·a n+1·a n+2=.答案:B3.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有()个点.A.n2-n+1B.2n2-nC.n2D.2n-1解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个图形中点的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.答案:A4.用火柴棒按下图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是.解析:∵a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,∴a n=2n+1.答案:a n=2n+15.在数列,…中,有序数对(a,b)可以是.解析:从上面的规律可以看出分母的规律是:1×3,2×4,3×5,4×6,…,分子的规律是:5,5+5,5+5+7,5+5+7+9,…,所以解得a=,b=-.答案:6.导学号33194000已知数列{a n}的通项公式a n=a·2n+b,且a1=-1,a5=-31,则a3=.解析:由已知得解得即a n=-2n+1,于是a3=-23+1=-7.答案:-77.如图,有m(m≥2)行(m+1)列的士兵队列.(1)写出一个数列,用它表示当m分别为2,3,4,5,6,…时队列中的士兵人数;(2)写出(1)中数列的第5,6项,用a5,a6表示;(3)若把(1)中的数列记为{a n},求该数列的通项公式a n;(4)求a10,并说明a10所表示的实际意义.解(1)当m=2时,表示2行3列,人数为6;当m=3时,表示3行4列,人数为12,依此类推,故所求数列为6,12,20,30,42,….(2)队列的行数比数列的序号大1,因此第5项表示的是6行7列,第6项表示7行8列,故a5=42,a6=56.(3)根据对数列的前几项的观察、归纳,猜想数列的通项公式.前4项分别为6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6.因此a n=(n+1)(n+2).(4)由(3)知a10=11×12=132,a10表示11行12列的士兵队列中士兵的人数.8.导学号33194001在数列{a n}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求a2 017;(3)是否存在m,k∈N+,满足a m+a m+1=a k?若存在,求出m,k的值,若不存在,说明理由.解(1)设a n=kn+b(k≠0),则由a1=2,a17=66得,解得所以a n=4n-2.(2)a2 017=4×2 017-2=8 066.(3)由a m+a m+1=a k,得4m-2+4(m+1)-2=4k-2,整理后可得4m=2k-1,因为m,k∈N+,所以4m是偶数,2k-1是奇数,故不存在m,k∈N+,使等式4m=2k-1成立,即不存在m,k∈N+,使a m+a m+1=a k.1.2数列的函数特性课后篇巩固探究A组1.数列{n2-4n+3}的图像是()A.一条直线B.一条直线上的孤立的点C.一条抛物线D.一条抛物线上的孤立的点解析:a n=n2-4n+3是关于n的二次函数,故其图像是抛物线y=x2-4x+3上一群孤立的点.答案:D2.已知数列{a n}的通项公式是a n=,则这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析:∵a n+1-a n==>0,∴a n+1>a n,∴数列{a n}是递增数列.答案:A3.若数列{a n}的通项公式a n=,则在数列{a n}的前20项中,最大项和最小项分别是()A.a1,a20B.a20,a1C.a5,a4D.a4,a5解析:由于a n==1+,因此当1≤n≤4时,{a n}是递减的,且a1>0>a2>a3>a4;当5≤n≤20时,a n>0,且{a n}也是递减的,即a5>a6>…>a20>0,因此最大的是a5,最小的是a4.答案:C4.已知{a n}的通项公式a n=n2+3kn,且{a n}是递增数列,则实数k的取值范围是()A.k≥-1B.k>-C.k≥-D.k>-1解析:因为{a n}是递增数列,所以a n+1>a n对n∈N+恒成立.即(n+1)2+3k(n+1)>n2+3kn,整理得k>-,当n=1时,-取最大值-1,故k>-1.答案:D5.给定函数y=f(x)的图像,对任意a n∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),则该函数的图像是()解析:由a n+1>a n可知数列{a n}为递增数列,又由a n+1=f(a n)>a n可知,当x∈(0,1)时,y=f(x)的图像在直线y=x的上方.答案:A6.已知数列{a n}的通项公式是a n=,其中a,b均为正常数,则a n+1与a n的大小关系是. 解析:∵a n+1-a n==>0,∴a n+1-a n>0,故a n+1>a n.答案:a n+1>a n7.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n2-5n+2,则数列{a n}的最小值是.解析:∵a n=2n2-5n+2=2,∴当n=1时,a n最小,最小为a1=-1.答案:-18.导学号33194002已知数列{a n}满足a n+1=若a1=,则a2017=.解析:a1=,a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,a4=2a3=,…,所以{a n}是周期为3的周期数列,于是a2 017=a672×3+1=a1=.答案:9.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-21n+20.(1)-60是否是该数列中的项,若是,求出项数;该数列中有小于0的项吗?有多少项?(2)n为何值时,a n有最小值?并求出最小值.解(1)令n2-21n+20=-60,得n=5或n=16.所以数列的第5项,第16项都为-60.由n2-21n+20<0,得1<n<20,所以共有18项小于0.(2)由a n=n2-21n+20=,可知对称轴方程为n==10.5.又n∈N+,故n=10或n=11时,a n有最小值,其最小值为112-21×11+20=-90.10.已知函数f(x)=(x≥1),构造数列a n=f(n)(n∈N+).(1)求证:a n>-2;(2)数列{a n}是递增数列还是递减数列?为什么?(1)证明由题意可知a n=-2.∵n∈N+,∴>0,∴a n=-2>-2.(2)解递减数列.理由如下:由(1)知,a n=-2.∵a n+1-a n==<0,即a n+1<a n,∴数列{a n}是递减数列.B组1.若函数f(x)满足f(1)=1,f(n+1)=f(n)+3(n∈N+),则f(n)是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定解析:∵f(n+1)-f(n)=3(n∈N+),∴f(n+1)>f(n),∴f(n)是递增数列.答案:A2.设函数f(x)=数列{a n}满足a n=f(n),n∈N+,且数列{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(2,3)C.D.(1,2)答案:B)2n-2-3·,则数列3.导学号33194003若数列{a n}的通项公式为a n=7·(34{a n}的()A.最大项为a5,最小项为a6B.最大项为a6,最小项为a7C.最大项为a1,最小项为a6D.最大项为a7,最小项为a6解析:令t=,n∈N+,则t∈(0,1],且=t2.从而a n=7t2-3t=7 .又函数f(t)=7t2-3t在上是减少的,在上是增加的,所以a1是最大项,a6是最小项.故选C.答案:C4.若数列{a n}的通项公式为a n=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:①该数列有无限多个正数项;②该数列有无限多个负数项;③该数列的最大值就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值;④-70是该数列中的一项.其中正确的说法有.(填序号)解析:令-2n2+13n>0,得0<n<,故数列{a n}中有6项是正数项,有无限个负数项,所以①错,②正确;当n=3时,数列{a n}取到最大值,而当x=3.25时,函数f(x)取到最大值,所以③错;令-2n2+13n=-70,得n=10或n=-(舍去),即-70是该数列的第10项,所以④正确.答案:②④5.若数列中的最大项是第k项,则k=.解析:已知数列最大项为第k项,则有即由k∈N+可得k=4.答案:46.已知数列{a n}满足a n=+…+.(1)数列{a n}是递增数列还是递减数列?为什么?(2)证明:a n≥对一切正整数恒成立.(1)解因为a n=+…+,所以a n+1=+…+=+…+.所以a n+1-a n=,又n∈N+,所以.所以a n+1-a n>0.所以数列{a n}是递增数列.(2)证明由(1)知数列{a n}是递增数列,所以数列的最小项为a1=,所以a n≥a1=,即a n≥对一切正整数恒成立.7.导学号33194004已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由.解(1)由a n=n2-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则n2-n-30=60.解得n=10或n=-9(舍去),即60是此数列的第10项.(2)令n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴当n=6时,a n=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N+)时,a n>0.令n2-n-30<0,解得-5<n<6.又n∈N+,∴0<n<6,∴当0<n<6(n∈N+)时,a n<0.(3)由a n=n2-n-30=-30(n∈N+),知{a n}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故S n存在最小值S5=S6,S n不存在最大值.第1课时等差数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若{a n}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是()A.{}B.C.{3a n}D.{|a n|}解析:设{a n}的公差为d,则3a n+1-3a n=3(a n+1-a n)=3d是常数,故{3a n}一定成等差数列.{},,{|a n|}都不一定是等差数列,例如当{a n}为{3,1,-1,-3}时.答案:C2.在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.4解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.答案:B3.已知{a n}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,若a n=2 018,则序号n等于()A.670B.671C.672D.673解析:∵a1=2,d=3,∴a n=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=2 018,解得n=673.答案:D4.等差数列{a n}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是()A. B.- C.- D.-1解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,…,公差为d,则a5=a1+8d,所以d==-=-.故选B.答案:B5.已知点(n,a n)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{a n}中有()A.a7+a9>0B.a7+a9<0C.a7+a9=0D.a7·a9=0解析:∵(n,a n)在直线3x-y-24=0,∴a n=3n-24.∴a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3,∴a7+a9=0.答案:C6.在等差数列{a n}中,若a1=7,a7=1,则a5=.答案:37.在等差数列{a n}中,已知a5=10,a12>31,则公差d的取值范围是.解析:设此数列的首项为a1,公差为d,由已知得②-①,得7d>21,所以d>3.答案:d>38.在数列{a n}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点()在直线x-y-=0上,则数列{a n}的通项公式为a n=.解析:由题意知(n≥2),∴{√a n}是以√a1为首项,以为公差的等差数列,∴+(n-1)d=(n-1)=n.∴a n=3n2.答案:3n29.已知数列{a n},{b n}满足是等差数列,且b n=n2,a2=5,a8=8,则a9=. 解析:由题意得,因为是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-,所以=-,所以a9=-513.答案:-51310.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第项.解析:设a n=3n-1,公差为d1,新数列为{b n},公差为d2,a1=2,b1=2,d1=a n-a n-1=3,d2=,则b n=2+(n-1)=n+,b29=23,令a n=23,即3n-1=23.故n=8.答案:811.若一个数列{a n}满足a n+a n-1=h,其中h为常数,n≥2且n∈N+,则称数列{a n}为等和数列,h 为公和.已知等和数列{a n}中,a1=1,h=-3,则a2 016=.解析:易知a n=∴a2 016=-4.答案:-412.已知a,b,c成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a,b,c的值.解由已知,得∴解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9.13.导学号33194005已知无穷等差数列{a n},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求{b n}的通项公式;(3){b n}中的第110项是{a n}的第几项?解(1)∵a1=3,d=-5,∴a n=3+(n-1)(-5)=8-5n.∵数列{a n}中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…,∴{b n}的首项b1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}的第n项,即b n=a m,则m=3+4(n-1)=4n-1,∴b n=a m=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n(n∈N+).∴{b n}的通项公式为b n=13-20n(n∈N+).(3)b110=13-20×110=-2 187,设它是{a n}中的第m项,则8-5m=-2 187,则m=439.14.导学号33194006已知数列{a n}满足a1=,且当n>1,n∈N+时,有,设b n=,n∈N+.(1)求证:数列{b n}为等差数列.(2)试问a1a2是否是数列{a n}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.(1)证明当n>1,n∈N+时,-2=2+=4⇔b n-b n-1=4,且b1==5.∴{b n}是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知b n=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.∴a n=,n∈N+.∴a1=,a2=,∴a1a2=.令a n=,∴n=11,即a1a2=a11.∴a1a2是数列{a n}中的项,是第11项.第2课时等差数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A.15B.30C.31D.64解析:∵{a n}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,∴a12=16-1=15.答案:A2.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.-1B.1C.3D.7解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.∵d=a4-a3=33-35=-2,∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.答案:B3.若{a n}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有()①{a n+3}②{}③{a n+1-a n}④{2a n}⑤{2a n+n}A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据等差数列的定义判断,若{a n}是等差数列,则{a n+3},{a n+1-a n},{2a n},{2a n+n}均为等差数列,而{}不一定是等差数列.答案:D4.已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a100≤0D.a51=0解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.答案:D5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为()A.a n=2n-5B.a n=2n-3C.a n=2n-1D.a n=2n+1解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2.∴a n=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.答案:B6.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=.解析:由等差数列的性质,得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8),即39+(a3+a6+a9)=2×33,故a3+a6+a9=66-39=27.答案:277.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值是.解析:由题意,知2lg(2x-1)=lg 2+lg(2x+3),则(2x-1)2=2(2x+3),即(2x)2-4·2x-5=0,∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.答案:log258.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为.答案:1,3,5或5,3,19.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{a n}的通项公式.解∵a1+a7=2a4=a2+a6,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5,∴a2+a6=10,a2a6=9.∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根.∴若a2=1,a6=9,则d==2,∴a n=2n-3.若a2=9,a6=1,则d==-2,∴a n=13-2n.∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-3或a n=13-2n.10.已知f(x)=x2-2x-3,等差数列{a n}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求:(1)x的值;(2)通项a n.解(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3, 又因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x2-4x+x2-2x-3,解得x=0或x=3.(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,此时a n=a1+(n-1)d=-(n-1);当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=,此时a n=a1+(n-1)d=(n-3).B组1.在数列{a n}中,若a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4等于()A. B. C. D.解析:令b n=,则b2=,b6==1.由题意知{b n}是等差数列,∴b6-b2=(6-2)d=4d=,∴d=.∴b4=b2+2d=+2×.∵b4=,∴a4=.答案:A2.已知数列{a n}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()A. B.± C.- D.-解析:∵{a n}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π.∴a7=,tan(a2+a12)=tan 2a7=tan=-.答案:D3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()A.1升B.升C.升D.升解析:设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由题意得解得所以a5=a1+4d=.答案:B4.导学号33194007在等差数列{a n}中,如果a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0()A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根解析:∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3.又a4+a6=2a5=6,∴关于x的方程为x2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4×10<0,∴无实数解.答案:A5.已知log a b,-1,log b a成等差数列,且a,b为关于x的方程x2-cx+d=0的两根,则d=.解析:由已知,得log a b+log b a=-2,即=-2,从而有(lg a+lg b)2=0,可得lg a=-lg b=lg ,即ab=1.故由根与系数的关系得d=ab=1.答案:16.导学号33194008已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=.解析:由题意设这4个根为+d,+2d,+3d.可得=2,∴d=.∴这4个根依次为.∴n=,m=或n=,m=.∴|m-n|=.答案:7.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?解在数列{a n}中,a1=5,公差d1=8-5=3.∴a n=a1+(n-1)d1=3n+2.在数列{b n}中,b1=3,公差d2=7-3=4,∴b n=b1+(n-1)d2=4n-1.令a n=b m,则3n+2=4m-1,∴n=-1.∵m,n∈N+,∴m=3k(k∈N+),又解得0<m≤75.∴0<3k≤75,∴0<k≤25,∴k=1,2,3, (25)∴两个数列共有25个公共项.8.导学号33194009已知数列{a n}中,a1=,a n a n-1+1=2a n-1(n≥2,n∈N+).数列{b n}中,b n=(n∈N+).(1)求证:{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式,并求其最大、最小项.(1)证明由a n a n-1+1=2a n-1,得a n a n-1-a n-1=a n-1-1,∴=b n,又b n-1=,∴b n-b n-1==1(n≥2,n∈N+).∵b1==-,∴数列{b n}是以-为首项,1为公差的等差数列.(2)解由(1)知b n=n-3.5,又由b n=得a n=1+=1+.点(n,a n)在函数y=+1的图像上.显然,在区间(3.5,+∞)上,y=+1递减且y>1;在区间(0,3.5)上,y=+1递减且y<1.因此,当n=4时,a n取得最大值3;当n=3时,a n取得最小值-1.第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为. 解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.导学号33194010已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;(3)当S n是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,即S6=6×23+×(-4)=78.(3)S n=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.(2017全国1高考)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列的前11项和为() A.-45 B.-50 C.-55 D.-66解析:∵S n=,∴=-n,∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.又a4=1+3×,a k=1+(k-1)d,由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足S n>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1 260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=8.导学号33194013设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=.若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.第2课时a n与S n的关系及裂项求和法课后篇巩固探究A组1.已知数列{a n}的前n项和S n=,则a5的值等于()A. B.- C. D.-解析:a5=S5-S4==-.答案:B2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为()A. B. C. D.解析:∵S5==15,∴a1=1,∴d==1,∴a n=1+(n-1)×1=n,∴.设的前n项和为T n,则T100=+…+=1-+…+=1-.答案:A3.设{a n}(n∈N+)是等差数列,S n是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6和S7均为S n的最大值解析:由S5<S6得a1+a2+…+a5<a1+a2+…+a5+a6,∴a6>0.又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,故B正确;同理由S7>S8,得a8<0,又d=a7-a6<0,故A正确;由C选项中S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0.而由a7=0,a8<0,知2(a7+a8)>0不可能成立,故C错误;∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6与S7均为S n的最大值,故D正确.故选C.答案:C4.数列的前n项和S n为()A.B.C.D.解析:,于是S n=.答案:C5.设函数f(x)满足f(n+1)=(n∈N+),且f(1)=2,则f(20)为()A.95B.97C.105D.192解析:∵f(n+1)=f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=.∴f(2)-f(1)=,f(3)-f(2)=,……f(20)-f(19)=,∴f(20)-f(1)==95.又f(1)=2,∴f(20)=97.答案:B6.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k=.解析:a n=S n-S n-1=(n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10(n≥2),又a1=S1=-8符合上式,所以a n=2n-10.令5<2k-10<8,解得<k<9.又k∈N+,所以k=8.答案:87.设数列{a n}的前n项和为S n,S n=,且a4=54,则a1=.解析:因为a4=S4-S3==27a1,所以27a1=54,解得a1=2.答案:28.数列1,,…,,…的前n项和S n=.解析:因为==2,所以S n=1++…+=2=2.答案:9.正项数列{a n}满足-(2n-1)a n-2n=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解(1)由-(2n-1)a n-2n=0,得(a n-2n)(a n+1)=0,即a n=2n或a n=-1,由于{a n}是正项数列,故a n=2n.(2)由(1)知a n=2n,所以b n=,故T n=.10.导学号33194014已知等差数列{a n}的前n项和为S n,n∈N+,且a3+a6=4,S5=-5.(1)求a n;(2)若T n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|,求T5的值和T n的表达式.解(1)设{a n}的首项为a1,公差为d,易由a3+a6=4,S5=-5得出a1=-5,d=2.∴a n=2n-7.(2)当n≥4时,a n=2n-7>0;当n≤3时,a n=2n-7<0,∴T5=-(a1+a2+a3)+a4+a5=13.当1≤n≤3时,T n=-(a1+a2+…+a n)=-n2+6n;当n≥4时,T n=-(a1+a2+a3)+a4+a5+…+a n=n2-6n+18.综上所述,T n=B组1.若等差数列{a n}的通项公式为a n=2n+1,则由b n=所确定的数列{b n}的前n项之和是()A.n(n+2)B.n(n+4)C.n(n+5)D.n(n+6)解析:由题意知a1+a2+…+a n==n(n+2),∴b n==n+2.于是数列{b n}的前n项和S n= n(n+5).答案:C2.已知一个等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n为()A.24B.26C.25D.28解析:设该等差数列为{a n},由题意,得a1+a2+a3+a4=21,a n+a n-1+a n-2+a n-3=67,又a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=a4+a n-3,∴4(a1+a n)=21+67=88,∴a1+a n=22.∴S n==11n=286,∴n=26.答案:B3.已知数列{a n}满足a1=1,a n=a n-1+2n(n≥2),则a7=()A.53B.54C.55D.109解析:∵a n=a n-1+2n,∴a n-a n-1=2n.∴a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,a n-a n-1=2n(n≥2).∴a n=1+4+6+…+2n=1+=n2+n-1.∴a7=72+7-1=55.答案:C4.已知数列{a n}为,…,+…+,…,如果b n=,那么数列{b n}的前n项和S n为()A. B. C. D.解析:∵a n=,∴b n==4,∴S n=4=4.答案:B5.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+n+1,则a n=.解析:当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.此时,当n=1时,2n=2≠3.所以a n=答案:6.导学号33194015设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知S6=36,S n=324,若S n-6=144(n>6),则数列的项数n为.解析:由题意可知由①+②,得(a1+a n)+(a2+a n-1)+…+(a6+a n-5)=216,∴6(a1+a n)=216,∴a1+a n=36.∴S n==18n=324,∴n=18.答案:187.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=+2(n-1)(n∈N+).(1)求证:数列{a n}为等差数列,并求a n与S n;(2)是否存在自然数n,使得S1++…+-(n-1)2=2 019?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.(1)证明由a n=+2(n-1),得S n=na n-2n(n-1)(n∈N+).当n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-(n-1)a n-1-4(n-1),即a n-a n-1=4,故数列{a n}是以1为首项,4为公差的等差数列.于是,a n=4n-3,S n==2n2-n.(2)解存在自然数n使得S1++…+-(n-1)2=2 019成立.理由如下:由(1),得=2n-1(n∈N+),所以S1++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.令2n-1=2 019,得n=1 010,所以存在满足条件的自然数n为1 010.8.导学号33194016数列{a n}的前n项和S n=100n-n2(n∈N+).(1)求证{a n}是等差数列;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和.(1)证明a n=S n-S n-1=(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]=101-2n(n≥2).∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1,∴数列{a n}的通项公式为a n=101-2n(n∈N+).又a n+1-a n=-2为常数,∴数列{a n}是首项a1=99,公差d=-2的等差数列.(2)解令a n=101-2n≥0,得n≤50.5.∵n∈N+,∴n≤50(n∈N+).①当1≤n≤50时a n>0,此时b n=|a n|=a n,∴{b n}的前n项和S n'=100n-n2;②当n≥51时a n<0,此时b n=|a n|=-a n,由b51+b52+…+b n=-(a51+a52+…+a n)=-(S n-S50)=S50-S n,得数列{b n}的前n项和为S n'=S50+(S50-S n)=2S50-S n=2×2 500-(100n-n2)=5 000-100n+n2.由①②得数列{b n}的前n项和为S n'=。