方差典型例题五(1)
方差
称 D( X ) 为 标 准 差 或 均 方 差 , 记 为σ ( X ).
3. 方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量 X 取 值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果
D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以
E(X) 作为随机变量的代表性好.
2
D( X ) D(Y ). 显然 D（X C） D（X） .
推广: 若 X1 , X 2 ,, X n 相互独立, 则有
D( X 1 X 2 X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) D( X n ).
D( a i X i ) a D( X i )
2
2
1 2σ 2 ( x μ) e d x. 2 πσ ( x μ )2 2 x x 2 2σ 2 ( )e d( ). 2π
( x μ )2
σ 2π 2
2
t2 2 2
t e
σ dt 2π 2π
2
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ 2 .
(教材P317附表8)
分 布 参数
0 p1 n 1,
数学期望
方差
p(1 p ) np (1 p )
两点分布
二项分布 泊松分布 均匀分布
p
np
0 p1
0
ab
0
1/
1 / 2
(a b) 2 (b a )2 12
第二节 方
差
一、随机变量方差的概念及性质
二、重要概率分布的方差
三、例题讲解 四、小结
关于方差和标准差的例题
一、选择题1、下列哪一项是方差的数学定义？A. 所有数据与平均数的差的平方和的平均数。
（正确答案）B. 所有数据与平均数的差的绝对值之和的平均数。
C. 所有数据与中位数的差的平方和的平均数。
D. 所有数据与平均数的和的平方的平均数。
2、如果一组数据的每个数都增加5，那么这组数据的方差将：A. 增加5。
B. 减少5。
C. 不变。
（正确答案）D. 变为原来的5倍。
3、下列哪一项不是标准差的特点？A. 标准差越大，数据越分散。
B. 标准差可以为负数。
C. 标准差是方差的平方根。
（正确答案）D. 标准差常用于衡量数据的离散程度。
4、下列哪一项描述的是标准差与方差的关系？A. 标准差是方差的平方。
B. 方差是标准差的平方。
（正确答案）C. 标准差与方差没有直接关系。
D. 标准差是方差的两倍。
5、如果一组数据的方差为0，那么这组数据的特点是：A. 所有数据都相等。
（正确答案）B. 所有数据都不相等。
C. 数据个数为0。
D. 数据中至少有一个负数。
6、下列哪一项不是计算方差时需要注意的？A. 先计算数据的平均数。
B. 计算每个数据与平均数的差。
C. 计算差的平方和的平均数。
D. 忽略数据中的异常值。
（正确答案）7、在比较两组数据的离散程度时，如果它们的方差相等，那么可以推断出：A. 这两组数据的平均数也一定相等。
B. 这两组数据的标准差也一定相等。
（正确答案）C. 这两组数据的中位数也一定相等。
D. 这两组数据的最大值和最小值也一定相等。
高二数学2.3.2 离散型随机变量的方差
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 求离散型随机变量的方差
求离散型随机变量的方差的步骤: (1)列出随机变量的分布列; (2)求出随机变量的均值; (3)求出随机变量的方差.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 袋中有 20 个大小相同的球,其中标记 0 的有 10 个,标 记 n 的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号.
探究一
探究二
探究三
探究四
错因分析:忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套 用公式,且对 D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,∴a=0.3. ∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0
均值 E(X)的平均偏离程度,我们称 D(X)为随机变量 X 的方差,并称其算术平 方根 ������(������)为随机变量 X 的标准差.
(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值 的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
(3)离散型随机变量的方差的性质: 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X).
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,得 a=±2. 又 E(η)=aE(ξ)+b,所以, 当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
经典例题：期望与方差
解：法一：(1)P＝1－CC16022＝1－4155＝32.即该顾客中奖的概率为23. (2)ξ 的所有可能值为：0,10,20,50,60(元)． 且 P(ξ＝0)＝CC16022＝13， P(ξ＝10)＝CC311C0261＝52， P(ξ＝20)＝CC13022＝115， P(ξ＝50)＝CC111C0261＝125， P(ξ＝60)＝CC111C0231＝115. 故 ξ 的分布列为：
所以随机变量 ξ 的分布列为
ξ0
2
3
4
5
P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24
随机变量 ξ 的数学期望 Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.
(3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( B BB＋B B B＋BB)
＝P( B BB)＋P(B B B)＋P(BB)＝2(1－q2)q22＋q22＝0.896； 该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48＋0.24＝0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大．
思路点拨：本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型 随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力．
解：(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等
于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件
思路点拨：分布列有两条重要的性质：pi≥0，i＝1,2,3，…；p1＋p2＋…＝1，利用第二 条性质可求 a 的值．由于 ξ 的可能取值为15，25，35，45，1，所以满足 ξ≥35或110＜ξ＜170的 ξ 值， 只能是在15，25，35，45，1 中选取，且它们之间在一次试验中为互斥事件，所以求得满足条件 的各概率之和即可．
总结归纳方差的性质
总结归纳⽅差的性质总结归纳⽅差的性质 ⽅差是在概率论和统计⽅差衡量随机变量或⼀组数据时离散程度的度量。
概率论中⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的⽅差（样本⽅差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平⽅值的平均数。
在许多实际问题中，研究⽅差即偏离程度有着重要意义。
以下是⼩编整理的总结归纳⽅差的性质，⼀起来看看吧。
总结归纳⽅差的性质篇1 ⼀.⽅差的概念与计算公式 例1 两⼈的5次测验成绩如下： X： 50，100，100，60，50 E(X )=72; Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离⼤。
⽅差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是 消除符号影响 ⽅差即偏离平⽅的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这⾥是⼀个数。
推导另⼀种计算公式 得到：“⽅差等于平⽅的均值减去均值的平⽅”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均⽅差，⽅差描述波动 ⼆.⽅差的性质 1.设C为常数，则D(C) = 0(常数⽆波动); 2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平⽅提取); 证： 特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(⽅差⽆负值) 特别地 独⽴前提的逐项求和，可推⼴到有限项。
⽅差公式： 平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表⽰这组数据个数，x1、x2、x3……xn表⽰这组数据具体数值) ⽅差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉╱n 三.常⽤分布的⽅差 1.两点分布 2.⼆项分布 X ~ B ( n, p ) 引⼊随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)， 3.泊松分布(推导略) 4.均匀分布 另⼀计算过程为 5.指数分布(推导略) 6.正态分布(推导略) 7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2); 8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2); ~ 正态分布的后⼀参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的 总结归纳⽅差的性质篇2 第⼀章实数 ⼀、重要概念 1.数的分类及概念数系表： 说明："分类"的原则：1)相称(不重、不漏) 2)有标准 2.⾮负数：正实数与零的统称。
方差的计算例题
方差的计算例题
（原创版）
目录
1.引言：介绍方差的概念和意义
2.方差的计算公式
3.方差的计算步骤
4.示例：一个具体的方差计算例题
5.结论：方差在统计学中的重要性和应用
正文
一、引言
方差是统计学中一个非常重要的概念，它是用来衡量一组数据的离散程度或者波动情况。
简单来说，方差越大，数据的波动性越大，反之亦然。
因此，方差的计算在数据分析和决策制定中起着重要的作用。
二、方差的计算公式
方差的计算公式为：s^2 = Σ(xi - x)^2 / n，其中 xi 代表每一个数据，x代表这组数据的平均值，n 代表数据的数量，Σ代表求和。
三、方差的计算步骤
1.求出这组数据的平均值 x；
2.求出每个数据与平均值的差的平方；
3.将上述差的平方求和；
4.将求和结果除以数据的数量 n。
四、示例：一个具体的方差计算例题
假设我们有一组数据：1, 2, 3, 4, 5。
首先，我们需要求出这组数
据的平均值，即 (1+2+3+4+5) / 5 = 3。
然后，我们求出每个数据与平均值的差的平方，分别为：(1-3)^2 = 4，(2-3)^2 = 1，(3-3)^2 = 0，(4-3)^2 = 1，(5-3)^2 = 4。
将这些差的平方求和，得到 10。
最后，将求和结果 10 除以数据的数量 5，得到方差 s^2 = 2。
五、结论
方差是衡量数据离散程度和波动情况的重要工具，它在统计学中有广泛的应用。
总体方差的区间估计例题
总体方差的区间估计例题以下是5道关于总体方差区间估计的例题及其解析：例题1：从某总体中随机抽取一个容量为10的样本，得到样本方差为4。
要求以95%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：根据卡方分布的性质，当样本容量足够大时，样本方差与总体方差之比服从卡方分布。
因此，我们可以使用卡方分布的分位数来计算置信区间。
对于95%的置信水平，卡方分布的分位数为0.025和0.975。
计算得到置信区间为[2.04, 7.96]。
例题2：从某总体中随机抽取一个容量为15的样本，得到样本方差为9。
要求以90%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：同样使用卡方分布的性质，计算得到90%置信水平下的卡方分布分位数为0.05和0.95。
计算得到置信区间为[4.78, 18.46]。
例题3：从某总体中随机抽取一个容量为20的样本，得到样本方差为16。
要求以99%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：对于99%的置信水平，卡方分布的分位数为0.005和0.995。
计算得到置信区间为[8.42, 31.84]。
例题4：从某总体中随机抽取一个容量为30的样本，得到样本方差为25。
要求以95%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：对于95%的置信水平和样本容量为30的情况，卡方分布的分位数为0.025和0.975。
计算得到置信区间为[17.67, 36.76]。
例题5：从某总体中随机抽取一个容量为50的样本，得到样本方差为100。
要求以90%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：对于90%的置信水平和样本容量为50的情况，卡方分布的分位数为0.05和0.95。
计算得到置信区间为[73.82, 131.72]。
三种投资组合的方差的例题
三种投资组合的方差的例题一、投资组合的方差=资产1的方差*资产1的权重的平方+2*资产1的标准差*资产1的权重*资产2的标准差*资产2的权重*二者相关系数+资产2的方差*资产2的权重的平方，标准差也就是风险。
他不仅取决于证券组合内各证券的风险，还取决于各个证券之间的关系。
二、投资组合的标准差计算公式为σP=W1σ1+W2σ2 各种股票之间不可能完全正相关，也不可能完全负相关，所以不同股票的投资组合可以减低风险，但又不能完全消除风险。
一般而言，股票的种类越多，风险越小。
拓展资料：如何做到投资的标的是比较分散的？一.相关性分析1.我们首先可以参考各投资标的之间的相关性，比如在买基金的时候，要注意不同基金之间的相关性——基金的相关性可以用“相关系数”来表达，其数值在-1到+1之间。
2.如果相关系数为正，代表正相关，其数值越趋近于+1，正相关性也就越高；如果相关系数为负，代表负相关，其数值越趋近于-1，负相关性也就越高。
3.如果你买的两只基金，其相关系数越趋近于-1，那么这两只基金的走势可能就刚好相反，因此也就达到了分散风险的效果。
4.还有另外两个关键因素必须要考虑的，一是均值，二是方差。
⑴所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。
用均值来衡量投资组合的一般收益率。
⑵所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。
我们把收益率的标准差称为波动率，表示投资组合的风险。
二、三种常见组合模式由于不同的人有不同的的投资类型和投资目标，所以在参考以上这两要素选择投资组合时，可从以下这三种基金模式出发：1.冒险进取型的投资组合这种组合适合于手中余粮不少、对风险的承受能力也比较强的投资者，每月收入要远远大于支出，将手中的闲散资金用于高风险、高收益组合投资，更能见效。
而如果是在普通的基金投资组合的选择上，可以自己构建偏股型基金组合或股票型基金组合，当然投资方向最好不同的股基。
2.稳中求进型的投资组合这一投资模式适合以下两个年龄段人群：从结婚到35岁期间，这个时间段还是精力充沛阶段、收入增长快，即使跌倒了也能很快爬起来；还有一个年龄段是45-50岁，这个年龄段的人，家庭负担减轻且家庭略有储蓄，也可以采用这个模式。
高中数学例题：方差、标准差
高中数学例题：方差、标准差例4．在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．【解析】 （1）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．（2）21251013146s =+++++甲[2(50－80)2+5(60－80)2+10(70－80)2+13(80－80)2+14(90－80)2+6(100－80)2]=150(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400)=172，2150s =乙(4×900+4×400+16－100+2×0+12×100+12×400)=256． ∴22s s <乙甲，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组成绩好些．（3）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好．（4）从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为14+6=20（人），乙组成绩大于或等于90分的人数为12+12=24（人），∴乙组成绩集中在高分段的人数较多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好【总结升华】 要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语．全方位地进行必要的计算，而不能习惯地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．举一反三：【变式1】甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现在从中抽测10个,它们的尺寸分别如下（单位:mm) 甲机床：10.2 10.1 10.0 9.8 9.9 10.3 9.7 10.0 9.9 10.1 乙机床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10.0分别计算上面两个样本的平均数和方差.如图纸规定零件的尺寸为10 mm ，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？ 【解析】101001011.101.102.10101=⨯=++=）（甲 x ，1010101104.103.10101=⨯=+++=）（乙 x .∴[]2222101.10101.10102.10101）（）（）（甲-+-+-= s =0.032mm[]22221010104.10103.10101）（）（）（乙-+-+-=s =0.062mm . ∴2甲s ＜2乙s∴用甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适.。
平均数、方差的运算性质
平均数、方差的运算性质
一、 平均数、方差的性质：
⑴如果数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，方差为2s ，那么一组新数据12,,n x b x b x b ++⋯⋯+的平均数为x b +，方差是2s .
⑵如果一组数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，方差为2s ，那么一组新数据12,,,n ax ax ax ⋯⋯的平均数为ax ，方差是22a s .
⑶如果数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，方差为2s ，那么一组新数据12,,,n ax b ax b ax b ++⋯⋯+的平均数为ax b +，方差是22a s .
二、 典型例题：
例1、如果一组数据12,,,n a a a ⋯⋯的方差是2，那么一组新数据
122,2,,2n a a a ⋯⋯的方差是（ ）
.A 2 .B 4 .C 8 .D 16
【答案】：.C
例2、已知样本1235,35,,35n x x x ++⋯⋯+，若12,,,n x x x ⋯⋯的方差是2，则
1235,35,,35n x x x ++⋯⋯+的方差是（ ）
.A 11 .B 18 .C 23 .D 36
【答案】：.B
例3、某班期末英语考试的平均成绩为75分，方差为225分，若每个学生都多考5分，下列说法正确的是（ ）
.A 方差不变，
平均分不变 .B 平均分变大，方差不变 .C 平均分不变，方差变大 .D 平均分变大，方差变大
【答案】：.B。
方差的计算例题
方差典型练习题例1 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：c m）甲：21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙：27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐.分析：本题既是一道和极差、方差和标准差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目.要求极差，只要用数据中最大值减去最小值，求到差值即可.利用方差的计算公式可以求到方差，将方差开平方就得标准差.解：甲的极差：42-14=28(cm)；乙的极差：44-16=28(cm).甲的平均值:乙的平均值:甲的方差:,乙的方差:（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以一种玉米的苗长的高.（3）因为，所以甲种玉米的苗长得整齐.例2 市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛.他们的成绩（单位：m）如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测，跳过1.65m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳过1.70m才能得冠军呢？解析：本题是一道数据分析有关的实际问题,主要考查数据的平均数、方差的计算方法及处理数据的能力.根据平均数及方差的计算公式可得（1）==1.69(m),==1.68（m）.(2)=0.0006(m2),=0.0035(m2),因为,所以甲稳定.（3）可能选甲参加，因为甲8次成绩都跳过1.65m而乙有3次低于1.65m; 可能选乙参加，因为甲仅3次超过1.70m.。
第5章方差分析
i
2 .
方法1 15 18 19 22 11 85 方法2 22 27 18 21 17 105 方法3 18 24 16 22 15 95
问：三种培训方法对产量是否有显著影响？
5 - 14
解：提出假设 H 0 ： 1 •2•3•
H 1 ： 1•， 2•， 3•不全相等
2.计算检验统计量
鞋 匠 端 详 着 眼前的 这位干 警，迟 疑了一 下说： “莫非 你是替 他取鞋 的吧?” “ 是 的 ， 我 是他的 所长， 请问要 付多少 钱?” 鞋 匠 漫 不经 心地从 柜台最 下层取
出 那 双 已 修 好的旧 军鞋。 他随口 说道： “你就 付三块 钱吧。 ” 所 长 付 过 钱， 当 他 要 接 过 鞋匠递 来的那 双鞋时 ，双手 不住地 颤抖。 “ 你 ……你 怎 么 啦?”鞋 匠 吃 惊 地 问 道。 “ 一 位 多好 的干警 啊!”所 长 沉 痛 地说： “上个 星期， 在一次
执 行 ‘ 严 打 ’任务 时，几 个歹徒 引爆了 一捆炸 药，歹 徒被炸 死了， 他却不 幸失去 了 双 脚 ……” “ 啊 ???”鞋 匠 张 大了 嘴巴， 呆住了 。 所 长 用 低 沉的 声音接
着 说 ： “ 这 双鞋他 已经用 不着了 ，他特 意让我 把钱还 给你， 谢谢了 。”说 完，大 步 走 了 。 鞋 匠 望 着这 双旧军 鞋，俯 下身子 ，拿出 鞋油把 它擦得 乌黑发 亮。
问：三种培训方法对产量是否有显著影响？
5 - 11
（3）单因素方差分析的步骤：
①提出假设：
H 0 ： 1 •2 • s•
H 1 ： 1•， 2•， ， s• 不全相等
②计算检验统计量 SST (xijx)2 xi2j1nT2
方差和标准差 知识讲解
方差和标准差——知识讲解【学习目标】1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义；2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测；3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、方差和标准差 1.方差在一组数据12,,n x x x …，中，设它们的平均数是x ，各数据与平均数的差的平方的平均数()[]222212)(...)(1x x x x x x nS n -++-+-=叫做这组数据的方差. 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好．（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2k 倍.2.标准差一般地，一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差. 要点诠释：（1）标准差的数量单位与原数据一致.（2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况.区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标.在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同.【典型例题】类型一、方差和标准差1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】按照“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法，利用求方差的公式：()[]222212)(...)(1x x x x x x nS n -++-+-=计算. 【答案】B【解析】该组数据的平均数是0，所以215s =2222(2)(1)12⎡⎤-+-++⎣⎦=2. 【总结升华】此类题关键是掌握求方差的步骤，记准求方差的公式.举一反三：【变式】学校篮球队五名队员的年龄分别为1715171615，，，，，其方差为0.8，则3年后这五名队员年龄的方差为______． 【答案】0.8.2.已知某样本的标准差是2，则这个样本的方差是（ ） A.1 B.2 C.2 D.4【思路点拨】根据标准差的概念计算．标准差是方差的算术平方根． 【答案】D ；【解析】解：由于方差的算术平方根就是标准差，所以样本的方差=22=4．故选D ．【总结升华】正确理解标准差的概念，是解决本题的关键．标准差是方差的算术平方根． 举一反三：【变式】下列说法：其中正确的个数有（ ） （1）方差越小，波动性越小，说明稳定性越好； （2）一组数据的众数只有一个；（3）数据2，2，3，2，2，5的众数为4； （4）一组数据的标准差一定是正数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 【答案】B.提示：（1）正确.类型二、方差和标准差的实际应用3.甲、乙两班举行汉字输入比赛，•参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：班级 参加人数 中位数 方差 平均字数 甲 55 149 191 135 乙55151110135（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀） （3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大． A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（3） 【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同. 【答案】B【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B. 【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义. 举一反三： 【变式】（2015•崇左）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是x 甲=85,x 乙=85，x 丙=85，x 丁=85，方差是2S 甲=3.8，2S 乙=2.3，2S 丙=6.2，2S 丁=5.2，则成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】B.解：∵2S 甲=3.8，2S 乙=2.3，2S 丙=6.2，2S 丁=5.2，∴2S 乙＜2S 甲＜2S 丁＜2S 丙， ∴成绩最稳定的是乙． 故选B ．4.（2016春•商水县期末）甲、乙两种水稻试验田连续5年的平均单位面积产量如下：（单位：吨/公顷）品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.410.310.89.79.8（1）哪种水稻的平均单位面积产量比较高？ （2）哪种水稻的产量比较稳定．【思路点拨】首先求得平均产量，然后求得方差，比较方差，越小越稳定． 【答案与解析】 解：（1）()19.89.910.11010.2105=++++=x 甲， ()19.410.310.89.7105=++++9.8=x 乙， 所以甲、乙两种水稻的平均产量一样高； （2）甲中水稻产量的方差是：[（9.8﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2]=0.02， 乙种水稻产量的方差是：[（9.4﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10.8﹣10）2+（9.7﹣10）2+（9.8﹣10）2]=0.244． ∴0.02＜0.244，∴产量比较稳定的水稻品种是甲．【总结升华】此题考查了方差，用到的知识点是方差和平均数的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．举一反三： 【变式】为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势． 【答案】5.8 5.2x x ==乙甲∵，，∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．222.160.56S S ==乙甲∵，，∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．5.（2015春•安达市期末）甲、乙两台机床同时加工直径为10mm 的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如下（单位：mm ）：甲 10 9.8 10 10.2 10 乙 9.9 10 10 10.1 10（1）分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；（2）根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些，说明理由． 【思路点拨】（1）根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可．（2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些． 【答案与解析】 解：（1）∵甲机床所加工零件直径的平均数是：（10+9.8+10+10.2+10）÷5=10，乙机床所加工零件直径的平均数是：（9.9+10+10+10.1+10）÷5=10，植株编号 1 2 3 4 5甲种苗高 7 5 4 5 8乙种苗高 6 4 5 6 5∴甲机床所加工零件直径的方差=[（10﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（10﹣10）2]=0.013，乙机床所加工零件直径的方差=[（9.9﹣10）2+（10﹣10）2+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2]=0.004，（2）∵S 2甲＞S 2乙，∴乙机床生产零件的稳定性更好一些．【总结升华】本题考查了平均数和方差，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S 2=[（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大． 举一反三：【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙8375808090859295(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由． 【答案】解：1(9582888193798478)858x =+++++++=甲(分)， 1(8375808090859295)858x =+++++++=乙(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分． (2)由(1)知85x x ==甲乙分，所以22221[(9585)(8285)(7885)]35.58s =-+-++-=甲， 22221[(8385)(7585)(9585)]418s =-+-++-=乙．①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为x x =甲乙，22s s <乙甲，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力． 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．。
计算方差的例子
计算方差的例子方差是统计学中常用的一个概念，用于衡量数据的离散程度。
在计算方差时，首先需要计算数据的平均值，然后计算每个数据与平均值的差的平方，最后将这些差的平方求和并除以数据的个数，得到方差。
下面将通过一些具体的例子来说明如何计算方差。
1. 例子一：假设有一组数据集合{1, 2, 3, 4, 5}，我们首先计算这组数据的平均值。
平均值等于所有数据的总和除以数据的个数，即(1+2+3+4+5)/5=3。
然后计算每个数据与平均值的差的平方，分别为(1-3)^2=4，(2-3)^2=1，(3-3)^2=0，(4-3)^2=1，(5-3)^2=4。
最后将这些差的平方求和并除以数据的个数，即(4+1+0+1+4)/5=2，得到方差为2。
2. 例子二：假设有一组数据集合{10, 20, 30, 40, 50}，我们首先计算这组数据的平均值。
平均值等于所有数据的总和除以数据的个数，即(10+20+30+40+50)/5=30。
然后计算每个数据与平均值的差的平方，分别为(10-30)^2=400，(20-30)^2=100，(30-30)^2=0，(40-30)^2=100，(50-30)^2=400。
最后将这些差的平方求和并除以数据的个数，即(400+100+0+100+400)/5=200，得到方差为200。
3. 例子三：假设有一组数据集合{2, 4, 6, 8, 10}，我们首先计算这组数据的平均值。
平均值等于所有数据的总和除以数据的个数，即(2+4+6+8+10)/5=6。
然后计算每个数据与平均值的差的平方，分别为(2-6)^2=16，(4-6)^2=4，(6-6)^2=0，(8-6)^2=4，(10-6)^2=16。
最后将这些差的平方求和并除以数据的个数，即(16+4+0+4+16)/5=8，得到方差为8。
4. 例子四：假设有一组数据集合{1, 3, 5, 7, 9}，我们首先计算这组数据的平均值。
方差的计算公式例题
方差的计算公式例题好的，以下是为您生成的关于“方差的计算公式例题”的文章：在数学的奇妙世界里，方差就像是一个调皮的小精灵，时不时跳出来考验我们的智慧。
说起方差，那可得从它的计算公式说起。
方差的计算公式是：$S^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 -\overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2]$ ，这里面的$n$表示样本数量，$\overline{x}$表示样本的均值。
我记得有一次给学生们讲方差的课，那场面可真是热闹。
我在黑板上写下了一组数据：85，90，88，92，95。
然后问同学们：“大家猜猜这组数据的方差是多少？”教室里瞬间炸开了锅，有的同学抓耳挠腮，有的同学眉头紧锁，还有的同学在纸上奋笔疾书。
这时候，小明举起了手，自信满满地说：“老师，我算出来了，均值是 90，然后一个个算差值的平方，加起来除以 5，方差是 5.6。
”我笑着点了点头，然后又在黑板上写了一组更复杂的数据：70，75，80，90，100。
这一下，大家都安静了下来，开始认真思考。
小红怯生生地说：“老师，这组数据看起来好难算啊。
”我鼓励她：“别害怕，咱们一步一步来。
先算出均值，再算差值的平方。
”经过一番计算，大家终于算出了方差是 125。
通过这些例题，咱们能发现方差其实就是反映一组数据离散程度的重要指标。
比如说，在比较两个班级的考试成绩时，如果一个班级成绩的方差小，就说明这个班级的成绩比较稳定，同学们的水平比较接近；要是方差大，那可能就意味着这个班级的成绩参差不齐，有的同学特别优秀，有的同学还需要加把劲。
再比如，在体育比赛中，比较运动员的成绩稳定性，方差也能派上大用场。
像射击比赛，运动员每次射击的成绩方差小，就说明他发挥稳定，技术过硬。
总之，方差的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要多做几道例题，多练习练习，就能轻松掌握啦。
统计学方差标准差例题
统计学方差标准差例题在统计学中，方差和标准差是两个重要的概念，它们用来衡量数据的离散程度，是统计分析中常用的指标。
接下来，我们将通过一些例题来深入了解方差和标准差的计算方法以及它们在实际问题中的应用。
例题一：某班级一次考试的成绩如下，60，75，80，85，90。
求这次考试成绩的方差和标准差。
解析：首先，我们需要计算这组数据的平均值。
将所有成绩相加，然后除以人数，即可得到平均值。
平均值 = (60 + 75 + 80 + 85 + 90) / 5 = 78。
接下来，我们计算每个数据与平均值的差的平方，并求和。
然后将和除以数据个数，即可得到方差。
方差 = ((60-78)² + (75-78)² + (80-78)² + (85-78)² + (90-78)²) / 5。
= (324 + 9 + 4 + 49 + 144) / 5。
= 530 / 5。
= 106。
最后，标准差就是方差的平方根。
标准差 = √106 ≈ 10.3。
所以，这次考试成绩的方差约为106，标准差约为10.3。
例题二：某工厂连续两天生产产品的次品率如下，0.05，0.07，0.04，0.06，0.08。
求这两天次品率的方差和标准差。
解析：同样地，首先计算这组数据的平均值。
平均值 = (0.05 + 0.07 + 0.04 + 0.06 + 0.08) / 5 = 0.06。
然后计算方差。
方差 = ((0.05-0.06)² + (0.07-0.06)² + (0.04-0.06)² + (0.06-0.06)² + (0.08-0.06)²) / 5。
= (0.01 + 0.01 + 0.04 + 0 + 0.04) / 5。
= 0.1 / 5。
= 0.02。
最后，计算标准差。
标准差 = √0.02 ≈ 0.14。
所以，这两天产品次品率的方差约为0.02，标准差约为0.14。
方差分析例题
第五章 方差分析习题一、选择题1．完全随机设计资料的方差分析中，必然有（ ）。
A. 组内组间SS SS >B.组内组间MS MS <C. 组内组间总＋＝SS SS SSD.组内组间总＋MS MS MS =E. 组内组间νν>2．当组数等于2时，对于同一资料，方差分析结果与t 检验结果（ ）。
A. 完全等价且tF =B. 方差分析结果更准确C. t 检验结果更准确D. 完全等价且F t =E. 理论上不一致3．在随机区组设计的方差分析中，若),(05.021ννF F >处理，则统计推论是（ ）。
A. 各处理组间的总体均数不全相等B. 各处理组间的总体均数都不相等C. 各处理组间的样本均数都不相等D. 处理组的各样本均数间的差别均有显著性E. 各处理组间的总体方差不全相等 4．随机区组设计方差分析的实例中有（ ）。
A. 处理SS 不会小于区组SSB. 处理MS 不会小于区组MSC. 处理F 值不会小于1D. 区组F 值不会小于1E. F 值不会是负数5．完全随机设计方差分析中的组间均方是（ ）的统计量。
A. 表示抽样误差大小B. 表示某处理因素的效应作用大小C. 表示某处理因素的效应和随机误差两者综合影响的结果。
D. 表示n 个数据的离散程度E. 表示随机因素的效应大小6．完全随机设计资料，若满足正态性和方差齐性。
要对两小样本均数的差别做 比较，可选择（ ）。
A.完全随机设计的方差分析B. u 检验C. 配对t 检验D.2χ检验E. 秩和检验7．配对设计资料，若满足正态性和方差齐性。
要对两样本均数的差别做比较， 可选择（ ）。
A. 随机区组设计的方差分析B. u 检验C. 成组t 检验D. 2χ检验E. 秩和检验8．对k 个组进行多个样本的方差齐性检验（Bartlett 法），得2,05.02νχχ>，05.0<P 按05.0=α检验，可认为（ ）。
A. 22221,,,k σσσ 全不相等 B. 22221,,,k σσσ 不全相等C. k S S S ,,,21 不全相等D. k X X X ,,,21 不全相等E. k μμμ,,,21 不全相等 三、计算题1、某课题研究四种衣料内棉花吸附十硼氢量。
中级财管求方差例题
中级财管求方差例题
当涉及到方差的计算时，我们需要知道一组数据的平均值。
下面是一个关于中级财务管理中方差的例题：假设你有以下一个股票的收益率数据（以百分比表示）：5, 8, -2, 3, 6
首先，计算这组数据的平均值：
(5 + 8 + (-2) + 3 + 6) / 5 = 4
然后，对每个数据点与平均值之差进行平方：
(5 - 4)^2 = 1
(8 - 4)^2 = 16
(-2 - 4)^2 = 36
(3 - 4)^2 = 1
(6 - 4)^2 = 4
接下来，计算这些平方差的平均值，即方差：
(1 + 16 + 36 + 1 + 4) / 5 = 12
所以，这组数据的方差为12。
方差是用来衡量数据的离散程度的指标，数值越大表示数据的波动性越高。
在财务管理中，方差可以帮助分析和评估投资组合的风险水平。
需要注意的是，在实际应用中，方差通常会结合其他指标一起使用，以全面评估风险和回报。
方差的计算及例题
概率分布
方差
p(1-p)
nk
P( X 1) p P( X 0) 1 p
P( X k ) C p (1 p)
k n k
k 0,1,2,, n
P( X k )
np(1-p)
k e
X 0, X 0
解 E (Y ) g ( x) f X ( x)dx
g ( x) 1dx ln x 1dx 0
1 2
1 2
1 2
1 1 1 1 1 ln ln 2 2 2 2 2 2
E (Y ) g ( x) f X ( x)dx
Hale Waihona Puke A B 1 3 2 A B 1 4 3 2
A 6, B6
(2)
E (Y ) E ( X )
2
x f ( x)dx 3 0 x (6 x 6 x)dx 10 2 4 E (Y ) E ( X )
1 2 2
2
x f ( x)dx 1 0 x (6 x 6 x)dx 7 37 2 2 D(Y ) E (Y ) E (Y ) 700
Xi X j
E ( X 2 ) E ( X i2 ) 2
i 1 n
n
1i j n
E( X i X j )
n
n 1 1 2 i 1 n 1i j n n( n 1)
1 1 2 n 2 Cn n n(n 1)
2
D( X ) E ( X ) E ( X ) 1
但 X 1 , X 2 ,, X n 不相互独立，