2 第1讲 分层演练直击高考
1．下列各式中不能化简为PQ →
的是( ) A .AB →＋(P A →＋BQ →
) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C .QC →－QP →＋CQ →
D ．P A →＋AB →－BQ →
解析：选D .AB →＋(P A →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋P A →＝P A →＋AQ →＝PQ →；(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →
)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →；QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； P A →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →， 显然由PB →－BQ →得不出PQ →
， 所以不能化简为PQ →
的式子是D .
2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |
D ．|－λa |≥|λ|a
解析：选B .对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．
3．(2018·浙江省新高考学科基础测试)设点M 是线段AB 的中点，点C 在直线AB 外，|AB →
|＝6，|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|，则|CM →
|＝( ) A ．12 B ．6 C ．3
D ．32
解析：选C .因为|CA →＋CB →|＝2|CM →|，|CA →－CB →|＝|BA →|，所以2|CM →|＝|BA →
|＝6， 所以|CM →
|＝3，故选C .
4．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( ) A ．a B ．b C ．c
D ．0
解析：选D .因为a ＋b 与c 共线，所以a ＋b ＝λ1c .① 又因为b ＋c 与a 共线，所以b ＋c ＝λ2a . 由①得b ＝λ1c －a .所以b ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，
所以?
????λ1＋1＝0，λ2＝－1，即?????λ1＝－1，λ2＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.
5．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A .若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ?q ， 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ＞0，故q ?/ p . 所以p 是q 的充分不必要条件，故选A .
6．(2018·温州市普通高中模考)已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．(1， 2 ]
D ．(0， 2 )
解析：选B .由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →
(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1
k
＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．
7．已知?ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →
＝________(用a ，b 表示)． 解析：
如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →
＝－a －b . 答案：b －a －a －b
8．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →
|的取值范围是________．
解析：BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →
|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3＜|BC →|＜13.综上可知3≤|BC →
|≤13. 答案：[3，13]
9．(2018·温州质检)如图所示，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →
，若AD →＝15
AB →＋λAC →
(λ∈R )，则λ的值为 ________．
解析：因为BG →＝2GO →，所以AG →＝13AB →＋23AO →＝13AB →＋13AC →，又CD →∥AG →，可设CD →＝mAG →
，从
而AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝????1＋m 3AC →＋m 3AB →.因为AD →＝15AB →＋λAC →
，所以m 3＝15
，λ＝1＋m 3＝6
5.
答案：6
5
10．(2018·杭州中学高三月考)已知P 为△ABC 内一点，且5AP →－2AB →－AC →
＝0，则△P AC 的面积与△ABC 的面积之比等于________． 解析：因为5AP →－2AB →－AC →
＝0， 所以AP →＝25AB →＋15
AC →，
延长AP 交BC 于D ，则53AP →＝23AB →＋13AC →＝AD →
，
从而可以得到D 是BC 边的三等分点，且CD ＝2
3
CB ，
设点B 到边AC 的距离为d ，则点P 到边AC 的距离为23×35d ＝2
5d ，
所以△P AC 的面积与△ABC 的面积之比为2
5.
答案：25
11．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →
，m ，n ∈R ，求1n ＋1
m
的值．
解：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝1
3(a ＋b )
－m a ＝????13－m a ＋1
3
b . 由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →
， 即n b －m a ＝λ????13－m a ＋1
3
λb ，
从而???－m ＝λ???
?1
3－m ，n ＝1
3λ，
消去λ，得1n ＋1
m
＝3.
12.
在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →
＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 解：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12
b .
AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →
)
＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋1
3
b .
1．(2018·广州市综合测试(一))设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( ) A .13 B ．12
C .23
D ．34
解析：选B .因为CP →＝2P A →
，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高
相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →
||CP →|
＝1
2
.
2．(2018·福建省普通高中质量检查)已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →＝xAB →＋yAC →
，则xy 的取值范围是( ) A .????19，49 B ．????
19，14 C .????29，12
D ．????29，14
解析：选D .由题意，知P ，B ，C 三点共线，则存在实数λ使PB →＝λBC →
????－23
≤λ≤－13，所以
AB →－AP →＝λ(AC →－AB →)，所以AP →＝－λAC →＋(λ＋1)AB →
，则?
????y ＝－λx ＝λ＋1，所以x ＋y ＝1且13≤x ≤23，
于是xy ＝x (1－x )＝－????x －122
＋14，所以当x ＝12时，xy 取得最大值14；当x ＝13或x ＝2
3时，xy 取得最小值2
9
，所以xy 的取值范围为????29，14，故选D . 3．(2018·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 的延长线，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n ＝________．
解析：作BG ∥AC ，则BG ∥NC ，|BG ||AN |＝|BM |
|AM |.
因为O 是BC 的中点，所以△NOC ≌△GOB ， 所以|BG |＝|NC |，又因为|AC |＝n |AN |， 所以|NC |＝(n －1)|AN |，所以
|BG |
|AN |
＝n －1. 因为|AB |＝m |AM |，所以|BM |＝(1－m )|AM |， 所以|BM ||AM |＝1－m ，所以n －1＝1－m ，m ＋n ＝2.
答案：2
4．(2018·温州市四校高三调研)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →
，它们的夹角为120°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →
，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．
解析：