理论力学课后知识题目解析第6章刚体的平面运动分析
理论力学06_4刚体平面运动_加速度
§6.3* 平面运动刚体上点的加速度由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加速度合成定理求出。
设已知某瞬时图形内A 点的加速度a A ，图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。
以A 点为基点，分析图形上任意一点B 的加速度a B 。
因为牵连运动为动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度a e =a A 。
相对运动是点B 绕基点A 的转动，故相对加速度a r =a BA ，其中a BA 是点B 绕基点A 的转动加速度。
由式 (5.3.7)可得图6-13 加速度分析的基点法 α (6.3.1) BA A B αα+=由于B 点绕基点A 转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a ，故式(6.3.1)可写为t BA a n BAa (6.3.2) n t BA BA A B a a a ++=即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
当基点A 和所求点B 均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为(6.3.3)n t n t n t BA BA A A B B a a a a a a +++=+在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A 和B 连线方向垂直，相对法向加速度沿点A 和B连线方向从B 指向A ；仅当点A 和B 的运动轨迹已知时，才可以确定点A 和B 的切向加速度a 和及法向加速度和a 。
t BA a n BA a t A t B a n A a n B 在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要素。
因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。
当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。
例6.3-2：半径为R 的车轮沿直线滚动，某瞬时轮心O 点的速度为v O ，加速度为a O ，如图a 所示。
理论力学简明教程第六章答案
第六章 分析力学滔滔长江东逝水，浪花淘尽英雄。
达朗贝尔，拉格朗日，哈密顿等许多前贤相聚于此“力学论剑”，其“冲击波”使非线性问题也不攻自破。
长江后浪推前浪，你或许在此能够加倍“忘乎因此‘。
微分方程将叱咤风云。
[要点分析与总结]1虚功原理：（平稳时）理想条件下，力学系的平稳条件是各质 点上的主动力所作的虚功之和为零：10ni i i W F r δδ==•=∑用广义坐标来表述：310n ii i x W F q q ααδδ=∂==∂∑ 2达朗贝尔原理（动力学下的虚功原理）： 1()0ni i i i i W F m r r δδ==-•=∑〈析〉r δ，W δ均是在时刻未转变（0dt =）时所假想的量，而广义坐标a q 能够是角度，长度或其它的独立的坐标变量。
3拉格朗日方程()d T TQ dt q q ααα∂∂-=∂∂ (1,2,3,,)a s =在保守力下，取拉氏数 L T V =-方程为：()0d L L dt q q αα∂∂-=∂∂ 假设拉氏数中L 不显含广义坐标q β，那么：0Lq β∂=∂ 即 循环积分： Lp const q ββ∂==∂ 4微振动非线性系统在小角度近似下，对拉氏方程的应用 5哈密顿函数与正那么方程 （1） 哈密顿函数1(,,)sH p q t L p q ααα==-+∑式中T Lp q q ααα∂∂==∂∂为广义坐标动量 （2） 正那么方程Hq P Hp q H Lt tαααα∂=∂∂=-∂∂∂=-∂∂ (1,2,3,,)a s =假设哈氏函数H 中不显含广义坐标q β，那么：0Hp q ββ∂=-=∂ 即：循环积分 Tp const q ββ∂==∂ 在稳固条件下（H 中不显含t ），12sp q T ααα==∑那么有能量积分：H T V =+6泊松括号1[,]()sG H G HG H q p p q ααααα=∂∂∂∂=-∂∂∂∂∑ 7哈密顿原理与正那么变换 （1）哈密顿原理保守力系下：210t t Ldt δ=⎰概念：21t t S Ldt =⎰为主函数（3） 正那么变换通过某种变数的变换，找到新的函数*H ，使正那么方程的形式不变（相当于坐标变换）。
理论力学第6章 刚体的平面运动分析
于是，平面图形的平面运动分解为随同基点A的平移 （牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）。
刚体平面运动时 ，刚体上各点的轨迹 、速度与加速度各不 相同。 平移运动的轨迹
、速度和加速度随基
点选取的不同而不同 。
平面运动的转动角速度以及角加速度 都与基点的位置无关
＝ lim
1 2 lim t 0 t t 0 t
A
vA
AC ＝
0
vA
瞬时速度中心的概念－速度瞬心的特点
y´
vC A
P
S
0
C
1. 瞬时性－不同的瞬时， 有不同的速度瞬心； 2. 唯一性－某一瞬时只 有一个速度瞬心；
vA
x´
vA
A
3. 瞬时转动特性－平面图 形在某一瞬时的运动都可以视 为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬 时转动.
应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 —— 速度瞬心法
瞬时速度中心法
瞬时速度中心的概念 应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 —— 速度瞬心法 几种特殊情形下瞬时速度中心位 置的确定
瞬时速度中心的概念
y´
P
vA
平面图形S上的基点A，基点 速度vA ,平面图形角速度 0 。 过A点作vA的垂直线PA，P A上各点的速度由两部分组成：
S
应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 —— 速度瞬心法
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体的平面运动—— 刚体上处于同一平面内 各点到某一固定平面的距离保持不变。
前面研究了点的复合运动。这里研究刚体 的平面运动。刚体的平面运动可以看做与点的 复合运动相对应。是两个典型代表对象的典型 复合运动。
工程力学课后习题与答案全集
工程力学习题答案第一章静力学根底知识思考题：1. ×;2. √;3. √;4. √;5. ×;6. ×;7. √;8. √习题一1．根据三力汇交定理，画出下面各图中A 点的约束反力向。
解：〔a 〕杆AB 在A 、B 、C 三处受力作用。
由于力p 和B R 的作用线交于点O 。
如图〔a 〕所示，根据三力平衡汇交定理， 可以判断支座A 点的约束反力必沿 通过A 、O 两点的连线。
〔b 〕同上。
由于力p 和B R 的作用线 交于O 点，根据三力平衡汇交定理， 可判断A 点的约束反力向如 以下图〔b 〕所示。
2．不计杆重，画出以下各图中AB 杆的受力图。
解：〔a 〕取杆AB 为研究对象，杆除受力p 外，在B 处受绳索作用的拉力B T ，在A 和E 两处还受光滑接触面约束。
约束力A N 和E N 的向分别沿其接触外表的公法线，并指向杆。
其中力E N 与杆垂直，力A N 通过半圆槽的圆心O 。
AB 杆受力图见以下图〔a 〕。
(b)由于不计杆重，曲杆BC 只在两端受铰销B 和C 对它作用的约束力B N 和C N ，故曲杆BC 是二力构件或二力体，此两力的作用线必须通过B 、C 两点的连线，且B N =C N 。
研究杆AB ，杆在A 、B 两点受到约束反力A N 和B N ，以及力偶m 的作用而平衡。
根据力偶的性质，A N 和B N 必组成一力偶。
(d)由于不计杆重，杆AB 在A 、C 两处受绳索作用的拉力A T 和C T ，在B 点受到支座反力B N 。
A T 和C T 相交于O 点，根据三力平衡汇交定理，可以判断B N 必沿通过 B 、O 两点的连线。
见图(d ).第二章 力系的简化与平衡思考题：1. √;2. ×;3. ×;4. ×;5. √;6. ×;7. ×;8. ×;9. √.1． 平面力系由三个力和两个力偶组成，它们的大小和作用位置如图示，长度单位为cm ，求此力系向O 点简化的结果，并确定其合力位置。
理论力学第六章习题答案
解 y x
a
A 动系圆环
a a = a rn + a en + a k
a ay = −rω 2 − 3rω 2 − 2rω 2 = −6rω 2 a ax = 0
B 动系圆环
a a = a rn + aen + a k
y x b y x
e a ay = −a n ( 2 / 5 ) = − 2 rω 2
o
曲柄长 OA = r
并以匀角速度 ω 绕 O 轴转动
o
装在水平
杆上的滑槽 DE 与水平线成 60 角 杆 BC 的速度
试求当曲柄与水平轴的交角分别为 ϕ = 0
30o 时
解
以 A 为动点
以 BC 杆为动系 有
va = ve + vr
在 ϕ = 0° 时 矢量右如图
υ BC = v e =
3 3 va = ωr 3 3
a a = a an + a at = a e + a rt + a rn + a c
式中各矢量如图 把各矢量分别向 x 方向和 y 方向投影得:
a an cos 60° + a at cos 30° = − a e cos 30° − a r cos 30° + a c cos 60° − a rn cos 60° a at sin 30° − a an sin 60° = − a e sin 30° + a rt sin 30° + a c sin 60° − a rn sin 60°
齿 条 又 带 动 半 径 为 0.1m 的 齿 轮 D 绕 固 定 轴 O1 转 动
ω = 5rad/s
理论力学6—刚体的基本运动分析
6.1 刚体的平行移动
平动的实例
夹 板 锤 的 锤 头
6.1 刚体的平行移动
2. 平动的特点
定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完 全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点 的加速度也相等。 证明：
rA rB BA
◆速度 刚体平动时，刚体内任一线段AB 的长度和方向都保持不变。 因而 x
a a a R w
2 2 n 2
4
a tan 2 an w
( Rw ) 2 an Rw 2 R v2
即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的 大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的 乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
如果ω与同号，角速度的绝对 值增加，刚体作加速转动，这 时点的切向加速度 aτ 与速度 v 的指向相同。 如果ω与异号，刚体作减速转 动，aτ与v的指向相反。 点的全加速度为：
6.1 刚体的平行移动
刚体的两种最简单的运动是平行移动和定轴转动。以后可 以看到，刚体的更复杂的运动可以看成由这两种运动的合 成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。
1. 刚体的平动
在运动过程中，刚 体上任意一条直线 都与其初始位置保 持平行。具有这种 特征的刚体运动， 称为刚体的平行移 动，简称为平动。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在 轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径 R 等于该点 到轴线的垂直距离。 由于点M绕点O作圆周运动，用自然法表示。点M的弧坐标为
s Rj
动点速度的大小为
ds dj v R Rw dt dt
理论力学 8.刚体的平面运动
三、平面运动分解为平动和转动
1.平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位臵，我们只需 确定平面图形内任意一条线段的位臵．
任意线段AB的位臵可
用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示．因此图形S 的位 臵决定于 x A , y A , 三个 独立的参变量．所以
x A f1 (t ) 平面运动方程 y A f 2 (t ) f 3 (t ) 对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 x A , y A , ， 图形S 在该瞬时的位臵也就确定了。
上投影，有
vB AB vA AB
—速度投影定理
即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此 相等．这种求解速度的方法称为 速度投影法．
例1.曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。 求： 当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 a.基点法 b.速度投影法
=45º 时
研究AB，已知 v , v 的方向，因此 A B 可确定出P点为速度瞬心
v A l , AP l AB v A / AP l /l （ v B BP AB 2l ()
）
=0º 时
vA
P
v A l, AP AB l AB v A / AP l / l （ vB 0
５. 注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位臵不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。
速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
例2.曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。 用瞬心 法求：当 =45º ，0º ，90º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。
清华理论力学课后答案6
vE 10 = 3 = 5.77 rad/s ， CE 3
r3 = r1 + 2r2 ，可得轮 1 的角速度 v r +r （顺时针） ω1 = M = 1 2 ω4 = 12ω4 ， r1 r1
轮 1 的转速为 （顺时针）. n1 = 12n4 = 10800 r/ min ，
kh da
习题解答
作图示几何关系，图中 v A = v ，解得
解法二：在直角三角形△ACO 中，
sin ϑ =
̇ cosϑ = − R x ̇ ϑ x2 ̇ = v, x = R sin ϑ ，解得 AB 杆的角速度为 其中， x
2 ̇ = − sin ϑ v ， ϑ cos ϑ R （负号表示角速度转向与 ϑ 角增大的方向相反，即逆时针）
（d） (e) =
再选定销钉 B 为动点，摇杆为动系，如图（c） ，有
a B = aen + aet + ar + ac
由式（d）,(e)得 大小： 方向： 向 BO 轴上投影 解出 ae = aBO − ac ，于是摇杆的角加速度为
τ n
a
n BO
a
n e
+
a
t e
+
a r + ac
？
2 RωO
O1B ⋅ ω 2 O1
其中 ae = aC′ = a A + a 大小: 方向: ？ √
t c ′A
答
aB
=
aA
案
+
网
杆的角速度为 ω AB =
vA = 1 rad/s ，而 C 点的牵连速度为 C AB A
t a BA
+
II第6章平面运动刚体上各点的运动分析
aa ：aa=?，方位：AB，指向：假设 ar ：arτ =?，方位CA，指向：假设
a
n r
vr2
R 4v02
3R
方向：A→C
因牵连运动为平动，故有
n
aa
ae
a r
ar n
将上式向n轴投影，得
aa sin ae cos arn
aa (ae cos arn ) sin
3 3
(a0
8 3
v02 R
§3-2 平面运动刚体上各点的加速度分析
一. 基点法 已知：图形S内一点A的加速度aA和图
形的ω, α（某一瞬时）。求：该瞬时图
形上任一点B的加速度。
取A为基点，将平动坐标系铰接于A点，
取B点为动点，则B点的运动分解为相对
α
运动为圆周运动和牵连运动为平动。
aa aB ; ae aA; ar aBA aBA aBnA
vB BI AB 2l()
例3 四连杆机构中曲柄 OA长 r，连杆 AB长 2r ，摇杆
O1B长 2 3r。在图示瞬时，四连杆机构中的点O、B 和 O1位
于同一水平线上，而曲柄 OA与水平线垂直。如曲柄的角速
度为 O 角，求点B 的速度。
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B的速度 A、B两点速度方向已知 vA rO
基点A通过铰链连接，则有：
平面图形的运动（绝对运动）=
y
B
xA
x
A yA
图形随动系（基点A）的平动（牵连运动）
+ 图形相对于动系绕基点的转动（相对运动）
注意：动系在基点处与刚体铰接，并且作平动；
平面图形相对于基点可以进行转动。
例如：车轮的运动。
车轮的平面运动可以看成是车轮随
知识资料理论力学(九)(新版)
Word-可编辑四、刚体的平面运动应用合成运动的概念，将刚体的平面运动分解为平动和转动，并据此来研究平面运动刚体的角速度、角加速度及其刚体上任一点的速度和加速度。
（一）刚体的平面运动方程1．平面运动的特点在运动过程中，刚体上任一点离某固定平面的距离一直保持不变，称这种运动为刚体的平面运动。
刚体的平面运动可以简化为一平面图形在其自身平面内的运动。
2．运动方程设平面图形S在固定平面Oxy内运动(图4－2—15)，显然，图形S的位置彻低由其上任一线段O’M的位置所决定。
这就是说，图形S在任一瞬时的位置可用任一点O’的坐标xo’、yo’及O’M与x轴正向间的夹角φ来表示。
即刚体的平面运动方程可写为通常，将O’点称为基点。
（二）平面运动分解为平动和转动若取Oxy为静系，平面图形上任一点O’为基点，并在O’点上固结一随其作平动的动系O’x’y’(图4—2—15)。
则图形S的相对运动为绕基点O’的转动；图形的绝对运动就是平面运动；而牵连运动为动系随问基点O’的平动。
由此可见，平面图形S的运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
为了方便，在下面讲述中，普通将不再图示动系和静系。
千里之行，始于足下应该注重，平面运动随同基点的平动逻辑与基点的挑选有关，而绕基点的转动逻辑与基点的挑选无关。
因此，在论及角速度和角加速度时，无需指明它们是对哪个基点而言的，并可统称为图形的角速度和角加速度。
又因动系作平动，故在动系中看见到图形的角速度与角加速度就是图形相对静系的绝对角速度和绝对角加速度。
（三）平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度有三种求解主意，如表4—2—7所示。
通常，瞬心法和投影法应用较多。
表中，关系式M O O M O M v v '')'()( 称为速度投影定理，该定理对任何运动形式的刚体都是适用的。
因为它是一个代数方程，故按照此定理可求出式中一个未知量。
由瞬心法所表述的关系式可知，当以速度瞬心C 为基点时，平面图形上各点的速度分布逻辑与刚体绕定轴转动时一样。
理论力学刚体的平面运动
A的速度为
vA vO vAO 2vO
B的速度为
vB vO2 vBO2 2vO
同理，可得D的速度为
A
vDO
vD
D vO O
vO
vAO
vA
vO B vO
vCO
C
vBO vO
vB
vD 2vO
9.3.2 速度投影法
应用矢量投影定理，将该矢量式 vB vA vBA向
AB连线投影 。
vA cos vB cos
结论：刚体的平面运动可以 简化为平面图形S 在其自身 平面内的运动。
9.1.3 刚体的平面运动方程
在平面图形S内建立平面直角坐标系Oxy，为确定
平面图形 S 在任意瞬时 t 的位置，只须确定其上任意
线段 AB 的位置，而线段 AB 的位置可由点 A 的坐标
xA，yA 和线段 AB 与 x 轴（或 y 轴）的夹角j 来确定。
9.1.2 平面运动的简化
⑴ 作平面Ⅱ∥定平面Ⅰ且与 刚体相交成一平面图形S 。当刚体 运动时，平面图形S 始终保持在平 面Ⅱ内。平面Ⅱ称为平面图形S 自 身所在平面。
⑵ 在刚体上任取⊥平面图形S 的直线A1A2 ， A1A2 作平动，其上各 点都具有相同的运动。
⑶ A1A2 和图形S 的交点 A 的运动可代表全部A1A2 的运动， 而平面图形S 内各点的运动即可代表全部刚体的运动。
[vB ]AB [v A ]AB
（9-3）
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在 这两点连线上的投影相等。速度投影定理是刚体上任 意两点间的距离保持不变的必然结果。适用于任何形 式的刚体运动。
应用速度投影定理求速度的方法称为速度投影 法。
例9-4 用速度投影法求例9-1中点B的速度。
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
第六章 刚体的基本运动 习题全解[习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=ϕ（ϕ以rad 计，t 以s 计）。
试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解：角速度： 2394)34(t t t dt ddt d -=-==ϕω 角加速度：t t dtddt d 18)94(2-=-==ωα速度： )94(2t r r v -==ω)/(2)094(5.0|20s m r v t =⨯-⨯===ω)/(5.2)194(5.0|21s m v t -=⨯-⨯==切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα法向加速度：22222)94()]94([t r rt r v a n -=-==ρ 加速度： 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+=)/(8165.0)094(0324|24220s m r a t =⨯=⨯-+⨯== )/(405.1581.305.0)194(1324|24221s m r a t =⨯=⨯-+⨯== 物体改变方向时，速度等于零。
即：0)94(2=-=t r v )(667.0)(32s s t ==[习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。
后因刹车，该点以)/(1.02s m t a t =作减速运动。
设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。
解：t dtd a t 1.04.022-===ϕρα （作减速运动，角加速度为负）t dt d 25.022-=ϕ12125.0C t dtd +-=ϕ2130417.0C t C t ++-=ϕ12124.005.0)125.0(4.0C t C t dtd R v +-=+-⨯==ϕ104.0005.0|120=+⨯-==C v t图题46-251=C0000417.0|2130=+⨯+⨯-==C C t ϕ 02=C ，故运动方程为： t t 250417.03+=ϕt t t t R s 100167.0)250417.0(4.033+-=+-==ϕ速度方程：1005.02+-=t v)/(8.910205.0|22s m v t =+⨯-== 切向加速度：)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=⨯-=-== 法向加速度：222)25125.0(4.0+-⨯==t a n ρω)/(1.240)252125.0(4.0|2222s m a t n =+⨯-⨯==[习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。
平面机构的运动分析
2、机构中瞬心的数目
因为每两个构件就有一个瞬心所以由N个构件 含机架组成的机构总的瞬心数K为
k = NN-1 / 2
N----机构中的构件含机架数
构件数 4 瞬心数 6
56
8
10 15 28
2.2.2 速度瞬心的求法
举例：求曲柄滑块机构的速度瞬心
解：瞬心数为：N＝nn-1/2＝6 n=4
1.作瞬心多边形圆
2.直接观察求瞬心
3.三心定律求瞬心
P13
1
∞
4
2
P24 P23
3
P14
3
P12
2
P34 4
1
铰链四杆机构曲柄摇杆机构 已知：各杆长度及ω1;
求：所有瞬心及ω3..
解：K=6 即 P12、P13、P14、P23、P24、P34 其中 P12、P14、P23、P34由定义求得；
由定义瞬心P12应是构件1和2上的绝对速度相同大 小相等、方向相同的等速重合点故瞬心P12必不在K 点
只有当P12位于P13、P23的连线上时构件1及2的重合点 的速度方向才能一致
故P12与P13 P23必在同一 直线上即第三个瞬心P12 应与P13 P23共线
2.2.3 速度瞬心在机构速度分析中的应用
2.3 用矢量方程解析法作平面机构速度和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理和作法
矢量方程图解 相对运动图解法
依据的原理 理论力学中的 运动合成原理
基本作法
1. 根据运动合成原理列机构运动的矢量方程 2. 根据按矢量方程图解条件作图求解
机构运动 分析两种 常见情况
◆同一构件上两点间速度及加速度的关系
理论力学_第06章_刚体的平面运动分析_4 (NXPowerLite)
vB= vA+ vBA
x´ 其中， B点相对速度(定轴转动线速度)：
(B点绕A点 作定轴转动)
vBA = ω ×rB
任意点的速度 = 基点绝对速度 + B点相对速度 (矢量和)
速度分析： 速度投影法
速度投影定理法：
用速度投影定理分析平面 图形上点的速度的方法
vBA vB
B
rAB B vA A A vA
定轴转动
曲柄滑块机构
直线平移
刚体平面运动的模型简化
刚体平面运动： 刚体上处于同一平面内的各点到固定平面的
距离保持不变 运动轨迹在各平面内
S2面内：
S和A点到S1面的距离相同，S点相对A 点转动或静止（两点间距固定，不可
能相对平动；二者可同时平动）；
面内各点运动可由SA直线的运动代表
A1A2线上：
yP
r2 (l-l1) l
sin ωt
平面运动分解（平移+转动）
在t内，平面图形由位置I运动到Ⅱ， 线段从AB运动到A´B´
A点处地安放平移坐标系，其原点A称为基 点。
由平面运动方程可见: A点固定不动，刚体作定轴转动 线段AB方位不变（=常数），刚体作平移
平面运动分解为随基点A的平移（牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）
B 速度分析： 瞬时速度中心法
rAB B A A vA
vA
vB= vA+ vBA vBA = ω ×rB
瞬时速度中心的概念
只有vA和vBA共线时, 合速度才可能为0
y’ vCA
P
C
S
vA
0 A
vA
过A点作vA的垂直线PA，PA上各点的速度由两
理论力学习题解答(第六章)
6－1在图示四连杆机构中，已知：匀角速度O ω，OA =B O 1=r 。
试求在°=45ϕ且AB ⊥B O 1的图示瞬时，连杆AB 的角速度AB ω及B 点的速度。
解：连杆AB 作平面运动，由基点法得BA A B v v v +=由速度合成的矢量关系，知φcos v A BA =v杆AB 的角速度)(/AB /O BA AB 2122+==ωωv （逆时针）B 点的速度2245/r cos v O A B ω=°=v （方向沿AB ）6－2. 在图示四连杆机构中，已知：3.021===L B O OA m ，匀角速度2=ωrad/s 。
在图示瞬时，11==L OB m ，且杆OA 铅直、B O 1水平。
试求该瞬时杆B O 1的角速度和角加速度。
解：一．求1ω60230..OA v A =×=⋅=ω m/s取A 为基点，则有BA A B v v v += 得 23.0/6.0ctg v v A B ===ϕ m/sm09.2)3.01()3.0/6.0(sin /v v 2/122A BA =+×==ϕ杆B O 1的角速度67630211../BO /v B ===ω rad/s 顺时针 二．求1ε取点A 为基点，则有n BA A a a a a a ++=+ττBA nB B将上式向X 轴投影21222857s /m .B O /ctg v )sin AB /v (OA ctg a )sin /a (a a a sin a cos a sin a BBA n B n BA A B nBA A n B B +=⋅+⋅+⋅−=++−=−=+−ϕϕωϕϕϕϕϕττ杆B O 1的角加速度7.1923.0/8.57/11===B O a B τεrad/s 2逆时针6－3.图示机构中，已知：OA =0.1m ， DE =0.1m ，m 31.0=EF ，D 距OB 线为h=0.1m ；rad 4=OA ω。
理论力学刚体平面运动加速度分析
O点为基点
avC = avO + avCnO + avCt O
aCt O = r ⋅α = aO
aCnO
=
r
⋅ω2
=
vO2 r
y
αω
O aO
vO x
aCt O
aCnO aO
C
aC
=
aCnO
=
vO2 r
速度瞬心具有加速度
6-3 刚体平面运动的加速度分析
刚体平面运动的加速度分析解题步骤
1、速度分析：首选速度瞬心法（不选择速度投影 法），求平面运动刚体的角速度。 2、加速度分析：基点法。弄清点的运动是直线还是 曲线.画加速度分析图。未知加速度方向可以假设。 法向加速度方向可确定。 3、利用投影式求未知加速度。 a 加速度矢量式能求解两个未知数 b 投影时应按公式的原始形式进行投影,与坐标轴的 指向一致为正,相反为负。 4 速度瞬心的加速度≠0, 因而速度瞬心法不能用于求加速度。
思考：1、刚体平面运动加速度分析是不 是也有三种方法？
2、速度瞬心的加速度是否为零？ 加速度瞬心是否存在？
6-3 刚体平面运动的加速度分析
基点法
运动分解：B点的加速度= 随基点A的平动加速度 ＋ 绕基点A的转动的加速度
avB = avA + avBnA + avBt A
a
t BA
B
aA
αω A
a
n BA
小结
速度分析
1、基点法 vvB = vvA + vvBA
vBA = AB ⋅ ω
2、速度投影法
[vB
] AB
=
[v
A
] AB
3、速度瞬心法
理论力学7—刚体的平面运动
解: 设齿轮O1转动方向为逆时针, 则齿轮O2的转 动方向为顺时针。因A1, A2和O1, O2在一条铅直 线上, 所以A1, A2点的速度均为水平方向, 如图 所示 。 因B1B2作平面运动, vC⊥B1B2, 由速度投影定理 知vB1, vB1也应垂直于B1B2而沿水平方向。
C
vA
AB
A
O
vB
B
(3) 已知图形上两点A和B的速度相互平行， 并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则 速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端 点连线的交点C上。
A B C
vA vB
A C
vA
vB
B
(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等, 如图所示，图形的速度瞬心在无限远处。 (即瞬时平移：此时物体上各点速度相等， 但加速度不一定相等)
vB v A vBA
vA
B AB
由图中几何关系得：
vA vBA 20 cm/s sin 30 vBA AB 1rad s 方向如图所示。 l
M
30°
vB vA cot 30 10 3 cm/s
vA
A
以A为基点，则M点的速度为
y
B
vM v A vMA
vA
O
A 30º
vB BC1 AB AB sin 30 AB l 2 3r 3 r 2 3l 3
D 30º
C1
AB
B
vB
BC
C C2
连杆BC作平面运动，瞬 心在C2点，则
vC
BC
vB 3r BC2 3l
vC CC2 BC
3r 3
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第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。
试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=（2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。
作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。
则角速度杆AB 为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：RvR v A A ==ωhv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===习题6-1图ABCv 0hθ习题6－2图PωABv CABCv ohθ习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图v A = vv B = v ωAωBR vR v B B 22==ω B A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。
试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。
解：杆BC 的瞬心在点P ，滚子O 的瞬心在点D BDv B ⋅=ωBPBD BP v B BC ⋅==ωω ︒︒⨯=30sin 27030cos 36012 rad/s 8=PC v BC C ⋅=ωm/s 87.130cos 27.08=︒⨯=6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
解：图（a ）中平面运动的瞬心在点O ，杆BC 的瞬心在点C 。
图（b ）中平面运动的杆BC 的瞬心在点P ，杆AD 做瞬时平移。
习题6-5图习题6-4图习题6-4解图习题6-5解图(a)习题6-6图习题6-6解图l ϕυl2BO 1ωABAυB υO1O ABωω(a)o90DCv Bv CAv ABωOE6－6 图示的四连杆机械OABO 1中，OA = O 1B =21AB ，曲柄OA 的角速度ω= 3rad/s 。
试求当示。
ϕ= 90°而曲柄O 1B 重合于OO 1的延长线上时，杆AB 和曲柄O 1B 的角速度。
解：杆AB 的瞬心在O3===ωωOAv AAB rad/s ωl v B 3= 2.531===ωωlvB B O rad/s6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A 有向右的速度v A = 0.8m/s ，试求卷轴中心O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？解：如图333.16.08.03.09.0==-=A O v ωrad/s2.1689.09.0=⨯==O O v ωm/s卷轴向右滚动。
6－8 图示两齿条以速度1v 和2v 作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r ，求齿轮的角速度及其中心O 的速度。
解：如图，以O 为基点： r v v O O ω+=1r v v O O ω-=2解得：221v v v O +=r v v O 221-=ω6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度ω= 20rad/s ，试求当曲柄OA 在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE 的速度。
已知OA = 400mm ，AC = CB = 20037mm 。
习题6-7图A1vOB2v A1vOB2vv OωO习题6－8图 习题6－8解图习题6－9图(b)DED v v =ACBCv ωAv DOE解：OA 定轴转动；AB 、CD 平面运动，DE 平移。
1．当ϕ= 90°，270°时，OA 处于铅垂位置，图（a ）表示ϕ= 90°情形，此时AB 瞬时平移，v C 水平，而v D 只能沿铅垂， D 为CD 之瞬心 v DE = 0同理，ϕ= 270°时，v DE = 02．ϕ= 180°，0°时，杆AB 的瞬心在B ϕ= 0°时，图（b ），A C v v 21=（↑） 此时CD 杆瞬时平移421====A C D DE v v v v m/s （↑） 同理ϕ= 180°时，v DE = 4m/s （↓）6－10 杆AB 长为l = 1.5 m ，一端铰接在半径为r = 0.5 m 的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。
轮沿地面作纯滚动，已知轮心O 速度的大小为v O = 20 m/s 。
试求图示瞬时（OA 水平）B 点的速度以及轮和杆的角速度。
解：轮O 的速度瞬心为点C ，杆AB 的速度瞬心为点P 405.020===r v O O ωrad/s 2202==r v O A ωm/sθωcos 5.145sin 220︒==AP v A AB210==14.1 rad/s)45cos(cos θθ+︒=A B v v9.12)tan 45sin 45(cos 220=︒-︒=θB v m/s6－11 图示滑轮组中，绳索以速度v C = 0.12m/s 下降，各轮半径已知，如图示。
假设绳在轮上不打滑，试求轮B 的角速度与重物D 的速度。
解：轮B 瞬心在F 点 v E = v C 112.012.0102603==⨯⨯=-EB v ωrad/s 06.02121====C E B D v v v v m/sAO Av O BAO Av O BCv A v B P习题6－10图习题6－10解图ωOωABθ 习题6－9解图Fr υ 60ωD EGυOAeυAυe ωC DυFυFEυG习题6－11图6－12 链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA 为一摇杆，且CA ⊥DE 。
曲柄OA = 200mm ，CO = CE = 250mm ，曲柄转速n = 70r/min ，CO = 2003mm 。
试求当ϕ= 90°时（这时OA 与CA 成60°角）F 、G 两点的速度的大小和方向。
解：动点：OA 上A ；动系：DCEA ；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。
3π4.130π2.0=⨯=⋅=n OA v A ωm/s π37.021e ==A v v m/s 12π74.03π7.0e e =⨯==CA v ωrad/s 48π7254.0===e D E v v ωm/s397.02348π730cos =⋅=︒=E G v v m/s （→） 397.0==G F v v m/s （←）6－13 平面机构如图所示。
已知：OA = AB = 20 cm ，半径r = 5 cm 的圆轮可沿铅垂面作纯滚动。
在图示位置时，OA 水平，其角速度 = 2 rad/s 、角加速度为零，杆AB 处于铅垂。
试求该瞬时：（1）圆轮的角速度和角加速度； （2）杆AB 的角加速度。
解：（1） 圆轮的角速度和角加速度cm /s 40=⋅=ωOA v A杆AB 瞬时平移，AB = 0cm /s 40==A B v vrad/s 8==r vB B ω0n==BA B a a0==raB B α习题6－12图习题6－12解图A OB ω习题6－13解图AOBωv Av Ba Aa At BA a (a)(b)（2）杆AB 的角加速度。
0t=-BA A a a ，22t cm /s 80=⋅==ωOA a a A BA2trad/s 4==ABa BA ABα6－14 图示机构由直角形曲杆ABC ，等腰直角三角形板CEF ，直杆DE 等三个刚体和二个链杆铰接而成，DE 杆绕D 轴匀速转动，角速度为0ω，求图示瞬时（AB 水平，DE 铅垂）点A 的速度和三角板CEF 的角加速度。
解：（1）求点A 的速度0ωωa DE v E =⋅=三角板CEF 的速度瞬心在点F0ωa v v E C ==曲杆ABC 的速度瞬心在点O02ωa OA OCv v CA =⋅=（2）求三角板CEF 的角加速度n t n t FE FE E F F a a a a a ++=+将上式沿水平方向投影0t n ==FE F a a （因为v F = 0）0t==FEa FE CEF α6－15曲柄连杆机构在其连杆中点C 以铰链与CD 相连接，DE 杆可以绕E 点转动。
如曲柄的角速度rad/s 8=ω，且cm 25=OA ，cm 100=DE ，若当B 、E 两点在同一铅垂线上时，O 、A 、B 三点在同一水平线上， 90=∠CDE ，求杆DE 的角速度和杆AB 的角加速度。
习题6—14解图v Av Cv Ea Ea E nFE a t F an F a tFEa O(a)(b)(b) 解：（1）求杆DE 的角速度cm /s 200=⋅=ωOA v A杆AB 的速度瞬心在点B cm/s 1002==AC v v 对杆CD 应用速度投影定理cm /s 5030sin =︒=C D v vrad/s 5.0==DEv DDE ω （2）求杆AB 的角加速度ntBA BA A B a a a a ++= 将上式沿铅垂方向投影t0BA a=， 0t ==ABa AB ABα6－16 试求在图示机构中，当曲柄OA 和摇杆O 1B 在铅垂位置时，B 点的速度和加速度（切向和法向）。
曲柄OA 以等角加速度0α= 5rad/s 2转动，并在此瞬时其角速度为0ω= 10rad/s ，OA = r = 200mm ，O 1B = 1000mm ，AB = l = 1200mm 。
解：1．v ：0ωr v A = v B //v A ∴ 0=AB ω2102.00=⨯==ωr v B m/s （1） 2．a ：ttntnBA A A B B a a a a a ++=+上式沿AB 方向投影得：θθθθcos sin cos sin t n t nAABBa a a a +=+即169.0169.0tan tan 12020n t n t ⋅-+⋅=-+=BO v r r a a a a BBA AB αωθθ 70.352.0169.0)12102.0(22=⨯+⨯-⨯=m/s 2 （169.04.12.02.02.12.0tan 22==-=θ）4122n==Ba m/s 2 B a ：⎪⎩⎪⎨⎧==2t 2n m/s7.3m/s4B B B a a a （方向如图）6－17 图示四连杆机构中，长为r 的曲柄OA 以等角速度0ω转动，连杆AB 长l = 4r 。