理论力学课后知识题目解析第6章刚体的平面运动分析

第6章 刚体的平面运动分析

6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。

解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=

（2）

α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 2

2

1t αϕ=

（3）

起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示

AP 位置转过

θϕϕ+=A

因动齿轮纯滚，故有⋂

⋂

=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =

， ϕϕr

r R A += （4）

将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧

+=+=+=22

2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα

6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。

解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度

v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为

杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为

6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。

解：

R

v

R v A A ==ω

h

v AC v AP v AB

θθω2000cos cos ===

习题6-1图

A

B

C

v 0

h

θ

习题6－2图

P

ωAB

v C

A

B

C

v o

h

θ

习题6－2解图

习题6-3解图

习题6-3图

v A = v

v B = v ωA

ωB

R v

R v B B 22=

=

ω B A ωω2=

6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。

解：杆BC 的瞬心在点P ，滚子O 的瞬心在点D BD

v B ⋅=ωBP

BD BP v B BC ⋅==

ωω ︒︒⨯=

30sin 27030cos 36012 rad/s 8=

PC v BC C ⋅=ω

m/s 87.130cos 27.08=︒⨯=

6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。

解：图（a ）中平面运动的瞬心在点O ，杆BC 的瞬心在点C 。

图（b ）中平面运动的杆BC 的瞬心在点P ，杆AD 做瞬时平移。

习题6-5图

习题6-4图

习题6-4解图

习题6-5解图

(a)

习题6-6图

习题6-6解图

l ϕ

υ

l

2B

O 1ωA

B

A

υB υO

1

O AB

ωω

(a)

o

90D

C

v B

v C

A

v A

B

ωO

E

6－6 图示的四连杆机械OABO 1中，OA = O 1B =

2

1

AB ，曲柄OA 的角速度ω= 3rad/s 。试求当示。ϕ= 90°而曲柄O 1B 重合于OO 1的延长线上时，杆AB 和曲柄O 1B 的角速度。

解：杆AB 的瞬心在O

3===

ωωOA

v A

AB rad/s ωl v B 3= 2.531===ωωl

v

B B O rad/s

6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A 有向右的速度v A = 0.8m/s ，试求卷轴中心O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？

解：如图

333.16

.08

.03.09.0==-=

A O v ωrad/s

2.16

8

9.09.0=⨯==O O v ωm/s

卷轴向右滚动。

6－8 图示两齿条以速度1v 和2v 作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r ，求齿轮的角速度及其中心O 的速度。

解：如图，以O 为基点： r v v O O ω+=1

r v v O O ω-=2

解得：

22

1v v v O +=

r v v O 221-=ω

6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度ω= 20rad/s ，试求当曲柄OA 在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE 的速度。已知OA = 400mm ，AC = CB = 20037mm 。

习题6-7图

A

1v

O

B

2

v A

1v

O

B

2v

v O

ωO

习题6－8图 习题6－8解图

习题6－9图