高中数学解题策略专题精编--圆锥曲线
高中数学圆锥曲线题解题方法
高中数学圆锥曲线题解题方法圆锥曲线是高中数学中的重要内容，涉及到椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在解题过程中，我们需要掌握各种曲线的特点和性质，并且熟练运用相关的公式和定理。
本文将以具体的题目为例，介绍高中数学圆锥曲线题的解题方法和技巧。
一、椭圆题解题方法椭圆是一个非常常见的圆锥曲线，其特点是离心率小于1，呈现出闭合的形状。
在解椭圆题时，我们需要掌握以下几个关键点。
1. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率e的计算公式为e = √(1 - b²/a²)，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是指离心率上的两个点，准线是指离心率上的两条直线。
椭圆的焦点和准线与椭圆的参数有一定的关系，可以通过参数的值来确定。
下面以一个具体的椭圆题目为例，说明解题方法。
【例题】已知椭圆C的标准方程为(x-2)²/9 + (y+1)²/4 = 1，求椭圆C的离心率、焦点和准线方程。
解题思路：1. 根据标准方程，可以得出椭圆C的长半轴为3，短半轴为2。
2. 利用离心率的计算公式，可以得出椭圆C的离心率为e = √(1 - 4/9) = √(5/9)。
3. 根据离心率的定义，可以得出椭圆C的焦点坐标为(F1,F2) = (2±3√5, -1)。
4. 利用焦点和准线的定义，可以得出椭圆C的准线方程为x = 2±3√5。
通过以上步骤，我们成功求解了椭圆C的离心率、焦点和准线方程。
在解题过程中，我们需要熟练掌握椭圆的标准方程和相关公式，以及灵活运用相关的定义和定理。
二、双曲线题解题方法双曲线是另一种常见的圆锥曲线，其特点是离心率大于1，呈现出两支无限延伸的形状。
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线解答题的策略
攻克圆锥曲线解答题的策略1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离d =③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-=或12AB y y =-（4）两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且2a参数方程：cos ,sin x a y b θθ==(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅<距离式方程：2a =(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22222b b p a a椭圆：；双曲线：；抛物线：(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21F F 、是椭圆13422=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（ ）A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：122tan2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S122cot2F PF P b θ∆=在双曲线上时，S（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==∙=⋅）(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。
（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22p px x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设()11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =ba 43-2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0∆≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元··，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略在高中数学的学习中，圆锥曲线定点问题是一个比较复杂且应用范围较广的问题。
解决这类问题需要掌握一定的基本知识和解题策略。
以下是解决圆锥曲线定点问题的一些策略。
一、掌握基本概念在解决圆锥曲线定点问题时，需要首先掌握圆锥曲线的基本概念，如圆锥曲线的方程、焦点等。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线等，它们的方程有所不同。
例如，椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中$a$和$b$分别是椭圆的长轴和短轴。
对于椭圆，其焦点可以通过以下公式计算得出：$$\sqrt{a^2-b^2}$$同样的，双曲线和抛物线的方程也有所不同，需要掌握不同曲线的特点和方程。
二、通过变点法解题在解决圆锥曲线定点问题时，可以采用变点法来解决。
所谓变点法，就是将曲线上的点看作是参数，通过变化不同的参数来求解定点。
例如，对于抛物线，可以将其方程表示为：$$y=ax^2+bx+c$$将其看作是一个三次方程，可以用代数方法求出其两个根，即为两个定点的横坐标。
对于椭圆和双曲线，同样可以采用变点法来解决问题。
例如，对于椭圆，可以将其方程表示为：三、利用对称性解题在解决圆锥曲线定点问题时，还可以利用曲线的对称性来解决问题。
对称性分为轴对称和中心对称两种，分别适用于不同类型的曲线。
对于轴对称的曲线，可以通过轴对称的性质来求出定点。
例如，对于抛物线，可以利用其轴对称的特点，将横坐标取反后解出定点的纵坐标。
对于中心对称的曲线，可以将中心点作为定点，并将问题转化为距离中心点相等的两点。
例如，对于椭圆和双曲线，可以找到曲线的中心点，并将问题转化为距离中心点相等的两点的问题。
四、结合几何意义解题在解决圆锥曲线定点问题时，还可以结合几何意义来解决问题。
例如，对于椭圆和双曲线，可以将其看作是一个椭圆形或双曲线形的水池，定点则表示水池壁上的水龙头。
通过观察水龙头的位置和水池的形状，可以计算出水龙头离水池壁的距离以及水龙头的相对位置，从而求得定点。
圆锥曲线压轴题解题策略
圆锥曲线压轴题解题策略圆锥曲线问题将几何与代数知识有机结合在一起,较好地考察了学生的数学思维和创新,灵活处理问题的能力,是高考命题的热点之一.本文重点分析圆锥曲线的解题策略,希望同学们读后对圆锥曲线有一个新的认识,并通过自己不断地领悟和练习提高自己的解题能力. 一、知识准备圆锥曲线解题的本质就是将题干中的条件和提干中条件和图形中隐含的几何特征转化成等式或不等式,最后通过代数运算解决问题,而其中的关键是怎样转化或构造不等式.1．抓住定义构造等式，定义是圆锥曲线的核心和根本，涉及焦点时，优先用第一定义或第二定义。
2．抓住题中特殊几何关系来构造等式或应用几何关系使解题简化。
①内心 1、三条角平分线支点2、角平分线上的点到两边距离相等3、切线长定理4、面积法（S △ABI +S △ACI +S △BCI =S ABC ） ②重心 1、中线交点 2、AH=2HD③重心 三条高线交点（可用垂直构造等式）④外心 垂直平分线交点（垂直平分线的性质构造等式） ⑤三角形两边之和大于第三边（焦点三角形） ⑥直线与圆锥曲线相交 （1）两不同交点⇒△＞O （2）交于左右两支⇒X 1X 2＜O （3）交于同一支⇒X 1X 2＞O⑦用点与圆坐位曲线的关系来构造等式或不等式(1)在椭圆上1220220=+b ya x（2）在椭圆外220220bya x +＞1（3）右椭圆内220220bya x +＜1⑧用曲线本身的一些坐标限制（在椭圆中，-a≤x≤a,-b≤y≤b ） ⑨用k 相等（三点共线）注：条件已用完，当缺少等式时，且无明显几何特征时，考虑用⑦、⑧、⑨。
3．用其它条件构造等式或不等式 ①用非负数k 2，R ，|x|大于0构造 ②问题中的要求与条件中的范围相联系③结合参数方程，利用参数的几何意义或三角函数的有界性，构造不等式。
4．与平面几何的联系①圆 直径所对的圆周角为90度（可用垂直构造等式） 相交弦，割线长定理②中位线（坐标原点为中点，往往考虑不到） 5．点差法①直线与曲线相交，且出现中点时，常常使用。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学中，圆锥曲线定点问题是常见的一类题型，解题策略主要包括以下几个方
面。
对于给定的圆锥曲线方程，可以通过观察确定一些基本信息。
通过判断该方程代表的
图形是圆、椭圆、抛物线还是双曲线，来确定图形的形状和对称轴位置。
还可以通过确定
方程中的参数来确定图形的大小和方向。
可以通过求解方程组的方法来确定圆锥曲线上的特殊点。
一般情况下，方程组的解就
是图形上的定点。
对于椭圆，可以将方程组分别代入圆心坐标，然后解方程得出坐标点。
对于抛物线，可以将方程代入顶点的坐标，然后解方程得出坐标点。
对于双曲线，可以将
方程分别代入两个焦点的坐标，然后解方程得出坐标点。
还可以通过求解方程的导数来确定圆锥曲线上的特殊点。
导数表示了曲线的斜率，特
殊点一般对应着导数为0的点。
通过求解导数为0的方程，可以得出特殊点的横坐标，然
后代入原方程求出对应的纵坐标。
还可以利用圆锥曲线的对称性质来确定特殊点的位置。
椭圆和双曲线对称轴的中点就
是图形的中心点，抛物线的顶点和对称轴的交点就是图形的定点。
需要注意的是，在解题过程中要注意将问题转化为数学方程进行求解。
根据具体的题
目要求，可以使用代数、几何或者直接计算的方法求解。
还要注意合理利用已知条件和定理，以及运用数学分析能力解答问题。
圆锥曲线定点问题的解题策略包括观察判断图形的基本信息、求解方程组和导数方程、利用对称性质以及合理利用已知条件和定理等方面。
通过灵活运用这些策略，可以较快地
解决圆锥曲线定点问题。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题是一类常见的题型，主要涉及到椭圆、双曲线和抛物线的
定点问题。
解题过程中，可以采用以下策略：
1. 确定问题类型：首先需要确定所给的曲线是椭圆、双曲线还是抛物线，这决定了
应该采用何种解题方法。
2. 寻找已知条件：仔细阅读题目，找出已知条件，包括焦点坐标、准线方程、离心
率等。
有时候需要结合已知条件推导出更多的条件。
3. 确定要求的内容：根据题目要求，确定需要求解的内容是焦点坐标、准线方程还
是其他的参数。
4. 建立数学模型：根据已知条件和要求，利用椭圆、双曲线或抛物线的性质建立数
学模型，可以使用几何方法或代数方法。
5. 使用几何方法解题：对于椭圆和抛物线问题，可以使用几何方法解题，通过画图、标记角度或辅助线等方式，找到需要求解的重要几何点，然后根据几何关系得到解答。
6. 使用代数方法解题：对于双曲线问题，由于其性质较为特殊，通常需要使用代数
方法进行推导和解题。
可以利用焦准离心率定义方程，代入已知条件，列出方程组求解。
7. 检查解答：在得到解答后，要仔细检查是否满足题目要求和已知条件，确保求解
结果的准确性。
除了以上策略外，还需要注意以下几点：
1. 熟练掌握曲线的性质和公式，包括焦准离心率定义方程、准线方程、焦点坐标
等。
2. 多做练习题，不同类型的定点问题需要采用不同的解题方法，通过大量的练习可
以熟悉不同的解题思路。
3. 注意画图，画出清晰准确的图形能够帮助理解题目和解题思路。
4. 与同学讨论，多与同学交流解题思路和方法，可以互相启发和补充。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略高中数学中，圆锥曲线是一个重要的章节，其中关于圆锥曲线定点问题的解题策略是学习的重点之一。
在高中数学课程中，圆锥曲线定点问题通常涉及到椭圆、双曲线和抛物线，这些问题需要我们运用数学知识和技巧来解决。
本文将针对高中数学圆锥曲线定点问题的解题策略进行详细的分析和讲解，希望对学生们有所帮助。
一、建立坐标系解决圆锥曲线定点问题需要建立一个合适的坐标系，通常我们选择直角坐标系或者极坐标系。
建立坐标系的目的是为了便于定点的表示和计算，将问题转化为坐标系中的几何图形，从而利用数学工具进行分析和求解。
在建立坐标系时，需要根据问题的具体特点选择合适的坐标系，同时要注意将坐标系与圆锥曲线的性质相结合，以便于准确表示和计算。
二、利用圆锥曲线的方程对于椭圆、双曲线和抛物线，它们都有各自的方程。
在解决定点问题时，我们需要利用这些方程进行推导和计算，从而得到定点的坐标。
具体来说，对于椭圆，其标准方程为 \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1，而对于双曲线，其标准方程为 \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1。
而对于抛物线，其标准方程为 y^2 = 2px。
在解决定点问题时，我们可以根据圆锥曲线的方程进行推导和计算，得到定点的坐标。
三、运用几何性质进行分析在解决定点问题时，我们可以利用圆锥曲线的几何性质进行分析和推导。
对于椭圆而言，它具有关于 x 轴和 y 轴的对称性，这就意味着椭圆的中心即为它的定点。
而对于双曲线来说，它具有两条渐近线，我们可以利用这一性质来求双曲线的定点。
对于抛物线而言，其焦点即为其定点。
利用圆锥曲线的几何性质进行分析能够帮助我们简化问题，从而更容易找到定点的坐标。
四、利用代数方法进行计算一旦建立了坐标系，并且使用了圆锥曲线的方程和几何性质进行分析后，我们就可以利用代数方法进行计算，从而求解定点的坐标。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略解题策略：1. 理解问题：首先要仔细阅读题目，理解题目所给的信息和要求，并明确问题的解题思路和目标。
2. 画图：在解题过程中，可以先画出图形，帮助我们更加清晰地理解问题，进而分析解题的关键点。
3. 表达式的建立：根据题目所给的条件和要求，建立相关的数学表达式。
可以利用坐标系来表示点的位置，利用直线的方程来表示直线的性质等。
4. 求解：根据建立的数学表达式，利用数学方法进行求解。
可以使用代数方法（如方程的求解），几何方法（如直线的判定条件）等。
5. 检验：对求解得到的结果进行检验，确保其符合题目的要求。
6. 总结：对解题过程进行总结和归纳，使解题思路和方法更加明确，方便以后遇到类似问题的解决。
举例说明：问题：平面直角坐标系中，已知圆锥曲线的焦点为F(3,0)，准线方程为x=4，直线l通过点A(1,2)，与曲线交于点B，求点B的坐标。
1. 理解问题：题目给出了圆锥曲线的焦点和准线方程，要求求解通过点A与曲线交于点B的坐标。
2. 画图：首先在平面直角坐标系上画出焦点F和准线x=4，再画出点A(1,2)和直线l，观察图形，分析解题的关键点。
3. 表达式的建立：由于曲线的对称性，焦点F与准线上的点B的距离相等，即FB=FA，且AB的斜率与曲线在点B处的切线垂直，由此可以建立数学表达式。
- 设点B的坐标为(x,y)，则FB的距离为√((x-3)^2+y^2)；- 直线l的斜率为k，设直线l的方程为y=kx+b；- 点A(1,2)在直线l上，代入点A的坐标得到b=2-k。
- 直线l与曲线有交点B，即直线l和曲线的方程有解。
将直线的方程代入曲线方程得到一个二次方程。
4. 求解：将建立的数学表达式代入二次方程，求解该方程，得到点B的坐标。
5. 检验：将求解得到的点B的坐标代入直线的方程和曲线的方程中，检查是否满足题目的要求。
6. 总结：总结解题过程和方法，将解题策略应用到其他类似的问题中。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略高中数学中，圆锥曲线定点问题是常见的一类问题，涉及到圆锥曲线的焦点、顶点等相关知识。
解决这类问题时，我们可以采用以下策略：1. 熟悉圆锥曲线的定义和性质：了解椭圆、双曲线和抛物线的定义，以及它们的焦点、顶点、直径等基本概念。
2. 根据题目给出的条件，确定所涉及的圆锥曲线类型：通过观察题目给出的条件，判断所给曲线的类型，是椭圆、双曲线还是抛物线。
确定曲线类型后，就可以根据相应的性质解决问题。
3. 求出圆锥曲线的方程：根据已知条件，建立相应的方程。
可以利用焦点和准线的性质，根据准线到焦点的距离和焦点到曲线上某一点的距离之和等于常数的性质，得到方程。
4. 利用焦准距性质求出定点的坐标：根据题目中给出的条件，利用圆锥曲线的焦点和准线的定义，求出焦准距，从而确定定点的坐标。
5. 求解定点的坐标：通过联立方程求解定点的坐标。
将定点的坐标代入方程中，求解方程组，得到定点的坐标。
6. 检验结果：将求得的定点的坐标代入所建立的方程，检验是否满足约束条件。
理论上，定点应该满足题目给出的条件，如果不满足，需要重新检查求解过程，找出错误。
7. 注意特殊情况：对于圆锥曲线定点问题，有时候会出现特殊情况。
题目给出的条件可能无解，此时需要特别处理。
还需要注意题目中所给出的条件是否充分，需要对题目进行分析。
通过以上的解题策略，我们可以较好地解决高中数学中的圆锥曲线定点问题。
但需要注意的是，这类问题需要对圆锥曲线的定义和性质有一定的了解，并掌握求解坐标方程和方程组的方法。
在解题过程中，要注意化简、代数运算和正确使用性质，辅助工具如图纸和计算器等也可以帮助解题。
解题时要思维敏捷，注意整体把握，避免陷入细节的纠结。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略解题策略：1. 了解基本概念：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，每种曲线都有特定的数学方程。
首先需要了解这些曲线的基本概念和方程形式。
2. 确定已知条件：阅读题目，找到已知条件，例如已知的点和方程等。
将这些已知条件以及需要求解的未知量明确写下来。
3. 判断题目类型：根据已知条件和需要求解的未知量，判断题目属于什么类型，是求点、直线、方程、焦点等。
根据题目类型确定解题方法。
4. 利用方程求解：根据已知条件和题目类型，使用合适的数学方法和技巧，利用方程进行求解。
可以代入已知条件，将未知量表示为方程的参数，或利用已知条件推导出新的方程。
5. 运用几何知识：对于圆锥曲线的点问题，可以运用几何知识进行解答。
根据题目中已知的几何性质，利用直线的斜率、两点间距离、垂直平分线等性质进行求解。
6. 检查答案：在求解出结果后，要仔细检查是否符合题目要求和已知条件。
特别是对于圆锥曲线问题，要检查结果的合理性，例如点是否在曲线上、方程是否满足曲线的性质等。
7. 练习题目：为了熟练掌握解题方法，需要进行大量的练习题目。
选择不同难度和类型的题目进行练习，不断提高解题能力。
8. 理解解题思路：通过解题过程，理解解题思路和方法的原理。
这将有助于对其他类型的题目进行类比，并且能够更好地应用数学知识解决问题。
9. 学会归纳总结：在解题过程中，将所学的方法和技巧进行归纳总结，形成自己的解题方法和思路。
这样可以提高解题的速度和效果，更好地解决数学问题。
总结：解决高中数学圆锥曲线定点问题的关键是掌握基本概念和方程形式，灵活运用方程进行求解，并结合几何知识进行验证。
通过大量练习和总结，加深对解题方法的理解和掌握，提高解题的能力。
高中数学圆锥曲线解题思路
高中数学圆锥曲线解题思路
一、基本方法
1、待定系数法，基本量，求直线方程中的参数，求曲线方程中的a、b、c、
e、p。
2、齐次方程法，比值问题，解决离心率渐近线夹角等比值问题。
3、韦达定理法，直线和曲线的相交问题。
对交点设而不求，勇韦达定理实现转化，如果根很容易求得，需要直接求根。
4、点差法，弦中点问题，对端点设而不求。
也叫五条等式法，点满足方程2个，中点公式2个，斜率公式1个。
5、距离转化法，将斜线上的长度问题，比例问题，向量问题，转化为直线上的问题。
二、基本思想
1、常规求值需要找等式，求范围找不等式。
2、是否存在”当存在解决不存在的自然无解。
3、过“定点”“定值”先设参变量，然后说明和变量无关。
定点问题：常把参数的齐次项放在一起，令=0。
或者特殊值探解。
定值问题：把变动的参数表示出来，然后证明和参数无关，或者特殊求值，在进行一般证明。
最值问题：几何法，二次配方法，三角代换法，均值不等式，切线方法
4、有些题思路易成，但是难以实施，需要优化方法，才具有可行性，积累经验。
5、大部分题目只要忠诚的准确的将条件表达出来，一般都会产生思路。
三、解题套路
1、一化（点，直线，曲线化成代数式）
2、二代（点代入线，点代入曲线）
3、图形特点的代数化
4、解方程组出答案。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略高中数学中，圆锥曲线定点问题是一个常见的问题。
它是指在给定的圆锥曲线上寻找点或多个点，满足一些特定的条件。
这些问题广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将讨论解决圆锥曲线定点问题的一些策略，希望能帮助读者更好地理解和解决这些问题。
一、基本概念在讨论解决圆锥曲线定点问题的策略之前，我们需要先梳理一下一些基本概念：1、圆锥曲线：圆锥曲线是指在圆锥体上交一个平面而得到的曲线，包括抛物线、椭圆、双曲线等。
2、焦点：对于椭圆和双曲线来说，焦点是一个非常重要的概念。
椭圆和双曲线的定义中，焦点是唯一确定的点，并在曲线的性质中发挥着重要的作用。
3、直线：与圆锥曲线相交的直线，通常是指切线、法线、对称轴等。
二、解题策略1、利用圆锥曲线的对称性质：这是圆锥曲线解题中最基本也是最常用的策略之一。
许多圆锥曲线都具有对称性质，比如椭圆和双曲线都有对称轴。
如果我们得到了一个点，可以根据对称性质得到一些其他的点或信息。
例如，如果给出了椭圆上的一个点P，可以由椭圆的对称性质来获得点P'，P'是椭圆的长轴的中点，并且在P、P'、圆心之间的连线是垂直于椭圆的短轴的。
同样，如果给定点Q位于双曲线上，可以利用双曲线的对称性质来找到一个关于中心对称的点Q'。
2、利用切线的性质：对于任何一条曲线，切线都是一个非常重要的线性特征。
圆锥曲线也不例外，可以利用切线的性质来解决一些问题。
例如，如果我们要找到椭圆上的一个点，使得从该点引出的切线平行于给定直线l，则可以利用椭圆的切线性质来解决问题。
具体来说，我们可以利用椭圆的切线可以视为长轴、短轴的平分线的性质，以及平行线间的角度相等的性质，来求出该点的位置。
3、利用焦点的性质：椭圆和双曲线的焦点在圆锥曲线的理论研究和应用中扮演着非常重要的角色。
如果要找到某个点，使得到该点的距离与两个焦点的距离之差为定值k，我们可以利用椭圆或双曲线的焦点性质来解决问题。
高中数学高分秘籍圆锥曲线的解策略
高中数学高分秘籍圆锥曲线的解策略在高中数学的学习中，圆锥曲线无疑是一个重点和难点。
它不仅在高考中占据着重要的地位，而且对于培养我们的数学思维和解题能力也有着极大的帮助。
然而，很多同学在面对圆锥曲线问题时，常常感到无从下手，或者在解题过程中出现各种错误。
那么，如何才能在圆锥曲线这一板块取得高分呢？下面我将为大家分享一些实用的解题策略。
一、扎实掌握基础知识要想在圆锥曲线的题目中取得高分，首先必须扎实掌握相关的基础知识。
这包括圆锥曲线的定义、标准方程、性质等。
椭圆的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
其标准方程有两种形式：当焦点在 x 轴上时，方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a＞ b ＞ 0\））；当焦点在 y 轴上时，方程为\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞b ＞0\））。
椭圆的性质包括范围、对称性、顶点、离心率等。
双曲线的定义是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的动点的轨迹。
其标准方程也有两种形式：当焦点在 x 轴上时，方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）；当焦点在 y 轴上时，方程为\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
双曲线的性质包括渐近线、离心率等。
抛物线的定义是平面内到一定点和一条定直线的距离相等的动点的轨迹。
其标准方程有四种形式：＼（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\）），＼（y^2 ＝－2px\）（＼（p ＞ 0\）），＼（x^2 ＝ 2py\）（＼（p ＞0\）），＼（x^2 ＝－2py\）（＼（p ＞ 0\））。
抛物线的性质包括焦点、准线等。
只有对这些基础知识了如指掌，我们才能在解题时迅速准确地运用它们。
二、学会分析题目条件在面对圆锥曲线的题目时，我们要学会仔细分析题目所给出的条件。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题是数学中的一个重要知识点，涉及到直线与圆锥曲线的交点、定点问题等。
解题的策略一般包括以下几个方面：
1. 明确问题要求：首先要清楚问题要求求解什么，例如求交点的坐标、定点的坐标等，明确问题的目标是解决问题的第一步。
2. 寻找相关方程：根据问题所涉及的圆锥曲线类型，如抛物线、椭圆、双曲线等，
确定相应的方程。
对于抛物线可以使用一般方程y=ax^2+bx+c，对于椭圆可以使用标准方
程\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，对于双曲线可以使用标准方程
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1等。
寻找到相关方程是解题的基础。
3. 解方程求解：根据问题所给的条件和方程，利用数学方法解方程组，求解出未知
数的值。
根据具体的题目要求，可能会涉及到一元二次方程、二元一次方程、高次方程等，可以利用因式分解、配方法、根的判别式等方法求解。
4. 计算坐标值：根据求解出的未知数的值，可以得到所求点的坐标。
根据坐标的定义，可以通过具体的计算将结果转化为坐标值，例如将x和y值代入方程，计算出相应的
坐标点。
5. 检查答案：在得到结果后，需要对结果进行检查，确保所得答案符合原题要求，
并且满足数学上的要求。
对于涉及到图形的问题，可以通过作图验证答案的正确性。
解决高中数学圆锥曲线定点问题的关键是明确问题要求，寻找相关方程，解方程求解，计算坐标值，最后进行答案的检查。
通过多进行练习和实践，加强对数学知识的理解和掌握，可以提高解决此类问题的能力。
圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略(解析版)
圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题成为圆锥曲线的定值问题.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点题型，解题过程中应注重解题策略，善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性.题型一：定值问题解答圆锥曲线定值问题的策略：1、把相关几何量用曲线系的参变量表示，再证明结论与参数无关.求解这类问题的基本方法是“方程铺路、参数搭桥”，解题的关键是对问题进行综合分析，挖掘题目中的隐含条件，恰当引参，巧妙化归.2、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关，即特殊到一般的思想.1、两点间的距离为定值例1：（2021·广东中山市高三期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x y a b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2.【详解】（1）由题意知2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=， 过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=， 椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 解题思路：设动点()00,P x y ，由题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可.2、求某一代数式为定值例2：（2021·全国高三模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，离心率2e =，焦距为4. （1）求双曲线C 的方程；（2）设M 是双曲线C 上任意一点，且M 在第一象限，直线MA 与MF 的倾斜角分别为1α，2α，求122αα+的值.【答案】（1）2213y x -=；（2）π. 【详解】（1）由242c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，得12a c =⎧⎨=⎩，所以2223b c a =-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=.（2）由（1）知双曲线C 的方程为2213y x -=，所以左顶点()1,0A -，右焦点()2,0F .设()()0000,0,0M x y x y >>，则22013y x -=.当02x =时，03y =，此时1MA k =，1π4α=，2π2α=， 所以122παα+=；当02x ≠，010tan 1MA y k x α==+，020tan 2MF yk x α==-.因为()220031y x =-，所以()()()()()00000001222220000000221211tan 22113111y x y x y x y x x y x x y x α+++-====-+-+--⎛⎫- ⎪+⎝⎭，又由点M 在第一象限，易知1π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,πα∈，所以122παα+=. 综上，122αα+的值为π.解题思路：利用点在双曲线上，满足22013y x -=，利用整体代换思想求出1tan 2α和2tan α相反.例3：（2021·安徽安庆市高三一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过椭圆左焦点F 的直线0x -+=与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA ､MB 交椭圆分别于A ､B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证∶直线AB 的斜率为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）直线0x -+=过左焦点F ，所以()F ，c =又由124OMF M S y ∆==可知1=2M y从而椭圆经过点12M ⎫⎪⎭由椭圆定义知1242a =+=，即2a = 故椭圆的方程为22:14x C y +=.（2）由条件知，直线MA MB 、斜率存在，且两直线斜率互为相反数，设直线(12MA y k x -=：交椭圆于点()11,A x y ，直线(12MB y k x -=--：交椭圆于点()22,B x y ，由(221244y k x x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得()()22224141230k x k x k +-++--=1=1x =，112y =+故1)2A +，同理可得221)2B +，k ===即证直线AB. 解题思路：将直线(12MA y k x -=：与椭圆方程联立求出交点221)2A +的坐标，再将A 中的k 用k -替换，即可求出B 点坐标，，再利用斜率公式，化简，即可.例4.（2021·河南高三月考（理））已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),S x y 满足直线AS 与BS 的斜率之积为34-，记动点S 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么样的曲线；（2）设M ，N 是曲线C 上的两个动点，直线AM 与NB 交于点P ，90MAN ∠=︒. ①求证：点P 在定直线上；②求证：直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.【答案】（1）()221243x y x +=≠±，曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含A ，B 两点；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（1）解：由题意，得()32224y y x x x ⋅=-≠±+-， 化简，得()221243x y x +=≠±，所以曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含A ，B 两点. （2）证明：①由题设知，直线MA ，NB 的斜率存在且均不为0. 设直线AM 的方程为()20x ty t =-≠，由AM AN ⊥，可知直线NA 的斜率为NA k t =-，方程为12x y t=--.由2212,{3412,x y t x y =--+=得()2243120t y ty ++=， 解得21243N ty t =-+，则2221126824343N t t x t t t -⎛⎫=-⋅--= ⎪++⎝⎭，即2226812,4343t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线NB 的斜率为222120343684243NBtt k t tt --+==--+， 则直线BN 的方程为()324y x t =-，将()324y x t=-代入2x ty =-，解得14x =-， 故点P 在直线14x =-上.②由（1），得34NA NB k k ⋅=-，34MA MB k k ⋅=-，所以3394416NA NB MA MB k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.结合1NA MA k k ⋅=-，得916MB NB k k ⋅=-为定值.即直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.解题思路：①设直线AM 的方程，由AM AN ⊥，可得直线AN 方程，与椭圆联立可求点N 坐标，进而可求得直线BN 方程，与AM 联立即可得证点P 在定直线上；②由（1）得34NA NB k k ⋅=-，34MA MB k k ⋅=-，又AM AN ⊥，进而可得直线NB与直线MB 的斜率之积.例5、（2021·江苏南通市高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且直线OA ，OB 的斜率之积为34-，点M为线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求证：OMBAMNS S △△为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）53. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22911,214c a a b +==，又222a b c =+，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）设()()()112233,,,,,A x y B x y N x y ，因为点M 为线段OA 的中点，所以11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，因为B ，M ，N 三点共线，所以BN BM λ=， 所以()()3123121,122x x x y y y λλλλ=+-=+-，又因为A ，B 点在椭圆上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 又因为直线OA ，OB 的斜率之积为34-，所以1212340x x y y +=， 因为点N 在椭圆上，所以2233143x y +=，即()()()()()12122222221122341341482261x y x y x x y y λλλλ++-+-+=+，所以()22114λλ+-=，解得85λ=，所以85BN BM =,则53BM MN =，所以152132BOMB B AMNN N OM d BM Sd Sd MN AM d ⋅⋅====⋅⋅为定值.解题思路：设()()()112233,,,,,A x y B x y N x y ，根据M 为线段OA 的中点和B ，M ，N 三点共线，由BN BM λ=，表示点N 的坐标，再根据A ，B ，N 在椭圆上，结合直线OA ，OB 的斜率之积为34-，求得λ，从而得到BM 与MN 的比值，然后由1212BOMB B AMNN N OM d BM S dSd MN AM d ⋅⋅===⋅⋅求解. 例6、（2021·山东泰安市高三期末）已知椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为)(2,0A -，点31,2⎛⎫-⎪ ⎭⎝在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过橢圆C 的右焦点F 作斜率为)(0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与直线2b x c=交于点P ，Q ，则FP FQ ⋅是否为定值？请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，94-. 【详解】（1）∵2a =，点31,2⎛⎫-⎪ ⎭⎝在椭圆C 上，∵219144b +=，∵23b =，∵椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）是定值94-，理由如下：设)(11,M x y ，)(22,N x y ，直线l 的方程为)()(10y k x k =-≠，由)(221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得)(22224384120k x k x k +-+-=，∵2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，设)(3,P P y ，)(3,Q Q y ，则11322P y y x =++，∵)(111151522P k x y y x x -==++， 同理可得)(22512Q k x y x -=+，∵)(11512,2k x FP x ⎛⎫- =⎪⎪ +⎭⎝，)(22512,2k x FQ x ⎛⎫- =⎪⎪ +⎭⎝， ∵)()()()()()(212121221212122511144252224k x x x x x x FP FQ kx x x x x x ---++⋅=+=++++++222222222412819434342541216444343k k k k k k k k k --+++=+=--++++，∵FP FQ ⋅为定值94-．解题思路：设直线l 的方程，与椭圆方程联立，设)(3,P P y ，)(3,Q Q y ，由三点共线可得P y ，Q y ，结合韦达定理坐标表示FP FQ ⋅可得.3、求某一个量为定值例7、（2021·江苏盐城市伍佑中学高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值.【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析. 【详解】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故C 的标准方程为22195x y +=. （2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ， 设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，由010133TA PA y yk k x x =⇒=++'①， 020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++， 又2211195x y +=，故2211195x y -=-，所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+.所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③ 由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点， 所以设直线PQ 的方程为2x my =+，（直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率）代入22195x y +=整理，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=解得092x =. 所以点T 横坐标为定值92. 解题思路：设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，根据TA PA k k =，TB QB k k =可得0126123333x y x x x y --=⋅++，根据11(,)P x y 在椭圆C 上，代入方程化简整理可得0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---，设直线PQ 的方程为2x my =+，与椭圆C 联立，得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,y y y y +⋅的表达式，代入上式即可.例8、（2021·湖北武汉市高三月考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右顶点分别为A ，B ，过椭圆内点2,03D ⎛⎫⎪⎝⎭且不与x 轴重合的动直线交椭圆C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，43PD BD ==. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线AP ，AQ 和直线l ：x t =分别交于点M ，N ，若MD ND ⊥恒成立，求t 的值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）29t =-或103t =.【详解】（Ⅰ）由43BD =，得24233a =+=，故C 的方程为22214x y b+=，此时24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.代入方程2116199b +=，解得22b =，故C 的标准方程为22142x y +=. （Ⅱ）设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立.得()224322039m m y y ++-=.设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()()1221224323292m y y m y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩.①此时直线AP 方程为11(2)2y yxx ，与x t =联立.得点11(2),2t y M t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理，点22(2),2t y N t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭.由MD ND ⊥，1MD ND k k ⋅=-.即()()1212(2)(2)1222233t y t y t x t x ++⋅=-⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以221212288(2)0333t y y t my my ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即()2221212122864(2)0339m t y y t m y y y y ⎛⎫⎡⎤++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 将①代入得：()()()222222232(2)2323264039929292t m m t m m m ⎡⎤-+-⎛⎫⎢⎥+--+= ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 化简得：()22222232(2)323264203t t m m m ⎛⎫⎡⎤-++---++= ⎪⎣⎦⎝⎭. 即222(2)403t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.2223t t ⎛⎫+=±- ⎪⎝⎭.解得29t =-或103t =.解题思路：设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理得1212,y y y y +，再联立AP 方程得M 同理得N 坐标，结合MD ND ⊥恒成立得1MD ND k k ⋅=-，化简计算可得参数t 值.例9、（2021·陕西榆林市高三一模（理））已知椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a与抛物线2:2(0)C x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆Γ于A ，B 两点，且1AB =.（1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，若P 为椭圆Γ上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与椭圆Γ的焦点F 为圆心，F 交于M ，N 两点，求证：MN 为定值.【答案】（1）椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C的方程为：2x =；（2）证明见解析. 【详解】（1）椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a可得焦点(，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p =①，由22221p y y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得22214p x a +=，解得x =，所以1AB ==②，由①②可得：24a =，p =所以椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C的方程为：2x =；（2）设(,)P m n ，则2214+=n m ，圆P 的方程为：2222()()-+-=+x m y n m n ，圆F的方程为：22(5+-=x y ，所以直线MN的方程为：(10+--=mx n y ， 设点F 到直线MN 的距离为d ，则2d ====.||2MN ==. 所以MN 为定值.解题思路：设(,)P m n ，则2214+=n m ，写出圆P 和圆F 的方程，两个圆的方程相减可得直线MN 的方程，计算点F 到直线MN 的距离为d ，再利用||MN =.题型二、证明动直线过定点或动点在定直线上的问题解答圆锥曲线的定点问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.1、直线过定点问题例10、（2020·江西吉安市高三其他模拟（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点12P ⎫⎪⎭，且离心率e =（1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点Q ⎫⎪⎪⎝⎭总满足AQO BQO ∠=∠，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =所以22221b e a =-=⎝⎭，即224a b =， 又椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点12P ⎫⎪⎭，代入椭圆方程可得223114a b +=， 联立方程组可得222231144a b a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，()2216410k m ∆=-+>，即2241m k <+， 122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，AQ BQ k k +===，即()()1221kx m x kx m x ⎛⎛+++ ⎝⎭⎝⎭()121220kx x m x x ⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭得()()22244814033k m km m m k ⎛⎫----+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得m =，直线l 的方程为(y k x =-，所以，直线l 恒过定点).解题思路： 设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，又因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，将韦达定理代入得出答案.例11、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解题思路：设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y yx x +=--，通过计算化简即可求得定点.例12、（2021·山东德州市高三期末）已知点1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22121x y +=；（2）证明见解析，（-2,0）. 【详解】(1)设椭圆的标准方程为()22221,,x y P x y a b+=由题意可得2222221(,)(,)0c a x y x c y x c y b c a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-⋅+=⎪+=⎪⎩解得：222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆C 的标准方程：22121x y +=.(2)设直线l ：1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+则1111221122,1111MF NF y kx m y kx mk k x x x x ++====++++ 有22121x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去 y 得：222(12)4220k x mkx m +++-=，所以2221222122168(1)(12)04122212k m m k mk x x k m x x k ⎧⎪∆=--+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩因为x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等， 所以x 轴为直线1MF 与1NF 的角平分线，所以111212011MF NF kx m kx mk k x x +++=+=++，即 12122()()20kx x m k x x m ++++= 所以2222242()201212m mk km k m k k --+++=++ 整理化简得：2m k =即直线l ：2(2)y kx m kx k k x =+=+=+ 故直线恒过定点（-2,0）.解题思路：先用设而不求法表示出1212,x x x x +，然后分析得到110MF NF k k +=，代入，求出2m k =，即可证明直线过定点（-2，0）."设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.2、动点在定直线上的问题例13、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【详解】 解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+，所以b =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅= 解得21,c = 所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=. 显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x =故点M 在定直线4x =上.解题思路：设直线PQ 的方程为1x my =+，联立椭圆方程，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由韦达定理，可知12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，将直线AP 的方程()112+2y y x x =+与直线BO 的方程()2222y y x x =--联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果.例14、（2021·福建高三模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，12P ⎛ ⎝⎭在C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）,E F 设为短轴端点，过()0M ，1作直线l 交椭圆C 于AB 、两点(异于,E F )，直线AE BF 、交于点T .求证：点T 恒在一定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）因为点1,24P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，所以222141a b ⎝⎭+=， 又12c e a ==，222a b c =+，所以24a =，23b =， 故所求椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(10x ≠，20x ≠).()222214388034120y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+-=⎩， 122843kx x k -+=+，122843x x k -=+，且有1212x x kx x +=. 1122::AEBFy l y x x y l y x x ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(10x ≠，20x ≠) 11111y kx x x +====，故1y ⎤=⎥⎦2kx x xx x x +++-=3x x x x +-=3=故点T 恒在一定直线3y =上.解题思路：设出直线1y kx =+，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理求出,AE BF 的直线方程，联立求出交点纵坐标为3，进而可得结果.3、圆过定点问题例14、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点，证明见解析，定点为(1,0),(1,0)-. 【详解】解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=，解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--. 在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.解题思路： 设00(,)P x y ，设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，与椭圆方程联立由0∆=，求出切线的斜率0034x k y =-，得出切线方程000334x x y y y =-+，由条件求出12,B B 坐标，在x 轴上取点(),0M t ，由120MB MB ⋅=得出答案.【巩固训练】1、（2020·广东高三一模）已知点()2,1P --为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上一点，且椭圆C的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，过点P 作直线PA ，PB ，与椭圆C 分别交于点A ，B ．（1）求椭圆C 的标准方程与离心率；（2）若直线PA ，PB 的斜率之和为0，证明：直线AB 的斜率为定值．【答案】（1）22163x y +=，离心率为2；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题设，得22411a b+== 由①②解得26a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22163x y +=，椭圆C 的离心率为2c e a ===． （2）直线AB 的斜率为定值1.证明：设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -， 记11(,)A x y ，22(,)B x y ．设直线PA 的方程为1(2)y k x +=+，与椭圆C 的方程联立，并消去y 得()()222212848840k x k k x k k ++-+--=，则2-，1x 是该方程的两根，则212884212k k x k ---=+，即21244212k k x k-++=+． 设直线PB 的方程为1(2)y k x +=-+，同理得22244212k k x k --+=+．因为()1112y k x +=+，()2212y k x +=-+，所以()()()212121212121228224121812ABkk x k x k x x y y k k k x x x x x x k +++++-+=====---+，因此直线AB 的斜率为定值．2、（2021·山西阳泉市高三期末（理））已知圆22:4C x y +=，点P 为圆C 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设D 为PQ 的中点，且D 的轨迹为曲线E (PQD 三点可重合). （1）求曲线E 的方程；（2）不过原点的直线l 与曲线E 交于M ､N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率1k ､k ､2k 成等比数列，记以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，试探究12S S +是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）12S S +是否为定值，为54π．证明过程见解析．【详解】（1）设(,)D x y ，则有(,2)P x y ，又P 在已知不上，∴2244x y +=，所以曲线E 的方程为2214x y +=；（2）设直线l 方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ，0t ≠，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x ktx t +++-=，2222644(14)(44)0k t k t ∆=-+->， ∴122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+， 111y k x =，222y k x =，∵1k ､k ､2k 成等比数列，∴2121212y y k k k x x ==，∴2221212121212()()()kx t kx t k x x kt x x t k x x x x +++++==，212()0kt x x t ++=，又0t ≠，∴12()0k x x t ++=，228014k tt k -+=+，解得12k =±．1228414kt x x kt k +=-=-+，22122442214t x x t k-==-+， 22222222121212()2162(22)4444x x x x x x k t t t t +=+-=--=-+=，22222222121122()()2244OM ON S S OM ON x y x y ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222222222211221212124()()4()2()2x y x y kx t kx t k x x kt x x t +++=++++=+++++222244825k k t t =+-+=，∴1254S S π+=为定值． 3、（2021·湖北宜昌市高三期末）已知点A 、B坐标分别是(-，0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且它们斜率之积是12-．（1）试求点P 的轨迹Γ的方程；（2）已知直线:4l x =-，过点()2,0F -的直线（不与x 轴重合）与轨迹Γ相交于M ．N 两点，过点M 作MD l ⊥于点D ．求证：直线ND 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）221(84x y x +=≠±；（2）证明见解析，()3,0-. 【详解】（1）设(),P x y ，由题意得：12PA PB k k ⋅=-12=-，化简得22184x y +=．又x ≠±，∴点P 的轨迹方程为221(84x y x +=≠±．（2）方法一：由椭圆的对称性知，直线ND 过的定点必在x 轴上， 由题意得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，∴()1212my y y y =-+，2112:(4)4y y ND y x y x -=+++，令0y =， ∴()()12122121424y x y my x y y y y +++=-=---()1211212121221y y y my y y y y y y -+++=-=-=--，3x =-，∴直线ND 过定点()3,0-．方法二：由题意可得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，()12422m y m -=+，()22422m y m +=+， ()2112121122(4)2:(4)42y y x my y y y y ND y x y x my -+++-=++=++2244)2222m x m m m my -+++++=+2222(4)3)2222x x m m my my +-+++==++ ∴3x =-时0y =， ∴直线ND 过定点()3,0-.4、（2021·安徽池州市高三期末（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点、右焦点分别为A ，F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，直线AD ，AE 斜率分别为1k ，2k ，证明：12kk kk +为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）由题意可得2222222312112a b c a a b c ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎪⎪⎩，解得2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）证明：由（1）可知()1,0F ，则直线l 的方程为()1y k x =-.联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=.设()11,D x y ，()22,E x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，所以()()1212121212112222k x k x y yk k x x x x --+=+=+++++12331122k x x ⎛⎫=-+- ⎪++⎝⎭()()()()()12121212123434222224x x x x k k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=-=-⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦2222228344324128244343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⨯+⎢⎥++⎣⎦()222223816122412161612k k k k k k ⎡⎤++⎢⎥=--+++⎢⎥⎣⎦ 222112k k k k ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭， 所以1211kk kk k k ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭（定值）.5、（2021·安徽蚌埠市高三二模（理））已知圆()22:224E x y ++=，动圆N 过点()2,0F 且与圆E 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）P ，Q 是曲线C 上的两个动点，且OP OQ ⊥，记PQ 中点为M ，OP OQ t OM ⋅=，证明：t 为定值.【答案】（1）22162x y +=；（2）证明见解析.【详解】解：（1）点()2,0F 在圆()22:224E x y ++=内，∴圆N 内切于圆E，∴NE NF EF +=>，所以N 点轨迹是以E ，F为焦点的椭圆，且a =2c =，从而b =故点N 的轨迹C 的方程为：22162x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，若直线PQ 斜率存在，设直线PQ 方程为y kx m =+，联立22162y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222136360k x kmx m +++-=，122613km x x k -+=+，21223613m x x k-=+ 因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，即12220x x y y +=.化简得：()()22121210k x x km x x m ++++=，即()22222366101313m km k km m k k--+⋅+⋅+=++， 从而，222330m k --=，①因为OP OQ ⊥，且M 为PQ 中点，所以2PQ OM =， 在直角ABC 中，记原点O 到直线PQ 的距离为d ，则2OP OQ d PQ d OM ⋅==，由①知，原点O 到直线l的距离为d ===所以t.若直线PQ 斜率不存在，设直线PQ 方程为x n =，联立22162x n x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得p n ⎛ ⎝，,n ⎛ ⎝ 由OP OQ ⊥得n =t = 综上，t.6、（2021·江苏无锡市高三月考）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>过点(2,1)-，216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标； （2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．【答案】（1）22182x y +=，()4,0A ；（2）(4)6y x =±-；（3）PM 与QN 的交点恒在直线2x =上，理由见解析.【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>过点(2,1)-可得22411a b +=且2c e a ==，又由222c a b =-， 解得228,2a b ==，即椭圆C 的方程为22182x y +=，又由抛物线216y x =-，可得准线方程为:4l x =，所以()4,0A .（2）设()00,N x y ，则004,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭， 联立方程组()2200220018241328x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001,x y ==当5,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-；当5,,(1,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-； 所以直线MN的方程为4)y x =-. （3）设()()4,,4,P t Q t -，可得:4MN x ky =+， 设()()1122,,,M x y N x y联立方程组224480x ky x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()224880k y ky +++=，所以12122288,44k y y y y k k +=-=++，则1212y y ky y +=-， 又由直线111114:44y t tx y PM y x x x --=+--，222224:44y t y tx QN y x x x ++=---， 交点横坐标为()121212242ky y y y x y y ++==+，所以PM 与QN 的交点恒在直线2x =上.7、（2021·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值； （3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.【答案】（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c +=又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，， 设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，， 可得(0,)(,0)P km Q m -，， 由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111xm x λ=-，同理222xm x λ=-，又123，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=，则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∴2m =，(满足②) 故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 8、（2020·湖北高三月考）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若平面上一点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7. （1）求抛物线C 的方程；（2）又已知点P 为抛物线C 上任一点，直线PA 交抛物线C 于另一点M ，过M 作斜率为43k =的直线MN 交抛物线C 于另一点N ，连接.PN 问直线PN 是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由.【答案】（1）28y x =；（2）过定点，1,34⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】(1)由已知，定点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7.272p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4p =，即抛物线的方程28y x =(2)设11(,)P x y ，22(,)M x y ，33(,)N x y ，则121211212222888PM y y y y k y y x x y y ++=-=+=-，同理：238MNk y y =+，138PN k y y =+， 由23843MN k y y ==+知：236y y +=，即236y y =- ① 直线11128:()PM y y x x y y -=-+，即1212()8y y y y y x +-=过(2,3)A 求得1211633y y y -=- ② 同理求直线PN 方程1313()8y y y y y x +-= ③ 由①②得13133()2y y y y =+- 代入③得1313()3()28y y y y y x +-++=13()(3)280y y y x +-+-=故3y =且280x -=时，直线PN 恒过点1,34⎛⎫⎪⎝⎭. 9、（2021·北京高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】解：（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+， 直线BN 的方程是()322y x =-. 所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上. ②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2223484120kx k x k+-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+. 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++. 令4x =，得1162=+y y x . 直线BN 的方程是()2222y y x x =--.令4x =，得2222y y x =-. 所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦. ()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦ ()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭. 所以点Q 在直线4x =上.10、（2021·安徽高三月考（理））已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A ，B 两点． （ⅰ）若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率； （ⅱ）作PQ AB ⊥于点Q ，求证：12QF QF +是定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）12-；（ii ）证明见解析．【详解】解：（1）由题意得：222221a b c ba ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2,1,a b c ===得椭圆的标准方程为：2214x y +=（2）（ⅰ）设()00,P x y ，切线()00y y k x x -=-，则22005x y +=。
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高中数学解题策略专题--圆锥曲线直线与圆锥曲线的问题是解析几何解答题的主要题型，是历年高考的重点和热点。
欲更快地解题，需要解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理。
一、条件或目标的认知与转化解题过程是一系列转化过程，解题就是要将所解题转化为已经解过的题。
转化的基础是——认知已知、目标的本质和联系。
有了足够的认知基础，我们便可化生为熟或化繁为简。
1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。
在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。
因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。
（1）向弦中点转化例1.已知双曲线 =1（a>0,b>0）的离心率，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为（1）求双曲线方程；（2）若直线（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围。
略解：（1）所求双曲线方程为（2）由消去y得：由题意知，当时，①设中点则C、D均在以A为圆为的同一圆上又∴②于是由②得③由②代入①得，解得m<0或m>4 ④于是综合③、④得所求m的范围为（2）向弦长转化例2．设F是椭圆的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足（1）求点P的轨迹C2的方程；（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使成立的直线l 的方程。
分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代的等价条件：设弦AD、BC的中点分别为O1、O2，则，故，据此得于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。
略解：椭圆C1的中心点P分所成的比λ=2。
（1）点P的轨迹C2的方程为（2）设直线l的方程为①①代入椭圆C1的方程得，故有故弦AD中点O1坐标为②①代入椭圆C2的方程得，又有故弦BC中点O2坐标为，③∴由②、③得④注意到⑤于是将②、③、④代入⑤并化简得：由此解得。
因此，所求直线l的方程为2．化繁为简解析几何是用代数方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题有这样的感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。
解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。
化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。
（1）借助投影对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向x轴（或y轴或其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。
例3．如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物线于P1 、P2两点，在线段P1 、P2上取一点Q，使、、的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。
解：设又设直线l的方程为①①代入得由题意得或②且③又由题意得④作P1、Q、P2在直线y=-1上的投影P1′、Q′、P2′（如图）又令直线l的倾斜角为则由得∴同理，∴将上述三式代入④得⑤∴将③代入⑤得∴⑥∴将⑥代入①得⑦于是由⑥、⑦消去参数k得⑧再注意到②式，由⑥得或⑨因此，由⑧、⑨得所求点Q的轨迹方程为（2）避重就轻事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。
例4．已知点P、Q在椭圆上，椭圆中心为O，且，求椭圆中心O 到弦PQ的距离。
分析：这里需要P、Q点坐标，对此，如果直面直线PQ方程和椭圆方程联立方程组，则不论是求解P、Q坐标，还是利用所设P、Q坐标，都不免招致复杂局面。
于是转而考虑侧面迂回，避重就轻，同时，注意到P、Q两点的双重属性，想到避开正面求解，而由直线OP（或OQ）方程和椭圆方程联立方程组解出点P（或点Q）坐标。
解（避重就轻，解而不设）：设则由得（1）当点P、Q不在坐标轴上时，设直线OP的方程①则直线OQ的方程为②将①代入椭圆方程易得∴③将②代入椭圆方程易得∴④∴由③、④得⑤又在中作于H，于是由及⑤式得=∴（2）当点P、Q在坐标轴上时，同样可得，从而有。
于是由（1）（2）知所求椭圆中心O到弦PQ的距离为。
直线与圆锥曲线相交的问题，适当处置交点坐标是解题繁简乃至解题成败的关键环节。
循着教材中关于曲线交点的定位，直线与圆锥曲线的交点坐标，首先是立足于“解”，其次是辅助于“设”。
于是，在宏观上围绕着“解”与“设”的选择，产生出两对解题思路：解而不设与设而不解；既设又解与不解。
在这里，“设”是举手之劳，问题在于，在一个具体问题中，“解”的火候如何把握？“不解”的时机如何捕捉？以下继续作以探索。
二、求解交点坐标的“度”的把握个体与整体是辩证的统一，循着“个体”与“整体”的辩证关系，立足于“解”交点坐标，主要是以下两种选择：1、半心半意，解至中途从认识目标切入，如果目标不是交点的横坐标或纵坐标的个体，而是关于交点横坐标（或纵坐标）的和与积的对称式，则一般选择从直线方程与曲线方程的联立方程组入手，解至中途运用韦达定理，进而对目标进行转化、靠拢，直至利用上述结果解决问题。
例1.设斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点，以线段AB为边作矩形ABCD，使，求矩形ABCD的对角线交点M的轨迹方程。
解：设直线AB的方程为。
由由题意①由韦达定理得②∴③再设AB中点为，则有，注意到四边形ABCD为矩形，故有，且，由此得由（4）得⑥⑥代入（5）得化简得⑦再注意到①中，由（5）得∴⑧因此由⑦、⑧得所求动点M的轨迹方程为。
点评：本例是“立足于一条直线与曲线相交”的问题。
这里所说的“立足于一条直线与曲线相交”的问题，是指这样两种题型：（1）问题由一直线与曲线相交引出；（2）问题中虽然出现多条直线与同一曲线相交，但这些直线的引出存在着明显的顺序（或依赖关系），整个问题构建在某一条直线与曲线相交的基础之上，对此，我们的求解仍倚仗于对交点坐标“既设又解”的策略。
这里的“解”，是解直线方程与曲线方程所联立的方程组，是“半心半意”地求解，解至中途运用韦达定理，因此，此类问题的解题三部曲为（1）全心全意地设出交点坐标；（2）“半心半意”地求解上述方程组，解至中途运用韦达定理；（3）对题设条件主体进行分析、转化，使之靠拢并应用（2）的结果导出既定目标。
2、真心实意，求解到底当目标的转化结果不是交点横标（或纵标）的对称式，而是交点坐标的个体时，则需要真心实意地将求解交点坐标进行到底。
例2.正方形ABCD的中心为M（3，0），一条顶点在原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线E，一条斜率为的直线l，若A、B两点在抛物线E上，而C、D两点在直线l上，求抛物线E和直线l的方程。
解：由题意设抛物线E的方程为，直线l的方程为。
又设正方形ABCD的（一条）对角线的斜率为k，则由∴直线AM、BM的方程分别为再设则由得①又点A、B在抛物线E上，故有②③于是由①、②、③解得。
故得A（4，2）、B（1，1）、因此可知，所求抛物线E的方程为；所求直线l方程为。
点评：上述问题中出现“相对独立的多条直线与同一曲线相交”，即问题中多条直线的出现没有确定的顺序或依赖关系，各条直线之间具有相对独立性。
对此，我们仍然运用对交点坐标“既设又解”的策略，不过，这里的“解”不是解直线方程与曲线方程所联立的方程组，而是解关于所设交点坐标的等式所联立的方程组；这里的“解”不是“半心半意”地解至中途运用韦达定理，而是全心全意地去解出交点坐标，因此，此类问题的解题三部曲为：（1）全心全意地设出交点坐标；（2）全心全意地求解所设交点坐标满足的方程所联立的方程组，解出所设交点坐标；（3）利用（2）的结果追求既定目标。
三、求解交点坐标的转换与回避解决直线与圆锥曲线相交问题招致复杂局面或陷入绝境，究其原因，大多是求解直线与圆锥曲线所联立方程组惹的祸。
因此，面对所给问题，当能预见到求解上述方程组的繁难程度时，能转换正面求解（交点坐标）便尽量转换，能回避正面求解（交点坐标）便尽量回避。
1、设而不解这里所谓的“设而不解”，是指设出交点坐标之后，借助已知方程，运用交点坐标去表示已知条件或主要目标。
其中，用所设交点坐标去构造有关直线的斜率最为多见。
例1．设椭圆的上半部有不同三点A、B、C，它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B的纵坐标与椭圆的半焦距相等，求线段AC的中垂线在y轴上的截距。
分析：考察线段AC的中垂线方程，易知其斜率由点A、C同名坐标的差式表出，弦中点由点A、C同名坐标的和式表出。
由此想到对交点坐标“设而不解”，并借助焦点半径公式求解。
解：设，弦AC中点M(x0,y0)。
由已知椭圆方程得又运用椭圆第二定义可得，∴由题设条件得①而∴②此时，注意到点A、C在椭圆上，故有③④③—④得⑤∴②代入得由此得⑥∴由②、⑥得，即AC中点于是可知弦AC的中垂线方程为⑦∴在⑦中令x=0得由此可知，所求弦AC的中垂线在y轴上的截距为2、不设不解这是解决直线与曲线相交问题的至高境界。
因此，欲适时地正确选择对交点坐标“不设不解”，需要我们对问题或图形本质的深刻认知，需要我们对有关知识的深厚积淀或升华。
（1）利用圆锥曲线定义回避交点坐标例2．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，，且，求椭圆的离心率。
解：注意到这里涉及点P处两条焦点半径，故考虑利用椭圆定义1。
设椭圆方程为。
又设，则由题意得①根据椭圆定义得∴②∴①代入②得，解得③再由得∴④∴③代入④得化简得，∴由此解得。
（2）借助有关图形性质回避交点坐标例3．已知直线l：与⊙相交于A、B两点，当时，求⊙C的方程。
提示：圆心C到弦AB的距离（弦心距）注意到由圆的弦的性质得，由此解得a的值。
（3）利用有关问题的深入认知回避交点坐标这是处置直线与曲线乃至两曲线相交问题的重要策略，现以例4示范说明。
例4．已知圆M与圆相交于不同两点A、B，所得公共弦AB平行于已知直线，又圆M经过点C（-2，3），D（1，4），求圆M的方程。
解（利用对圆的根轴方程的认知廻避交点坐标）：设圆M方程为①又已知圆方程为②∴①—②得上述两圆公共弦AB所在直线方程∴由题设得③注意到点C、D在圆M上，故有④⑤∴将①、②、③、联立解得∴所求圆M的方程为四、高考真题1.（全国卷A）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆在焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。
（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。
分析：（1）求椭圆离心率，首先要求关于a，b，c的等式。
为此，从设出椭圆方程与直线AB的方程切入，运用对A、B坐标“既设又解”的策略；（2）注意到这里的点为椭圆上任意一点，故考虑对点的坐标“设而不解”。