第五章 角动量 关于对称性

第五章 角动量 关于对称性

§5.1质点的角动量

一质点的角动量

为了描述质点相对某一参考点的运动，引入动量矩（或角动量）的概念。

1定义：质点对于参考点的位置矢量与质点动量的矢积叫质点对该点的角动量（或动量矩）。

用“L ”表示。 L r mv r p =⨯=⨯

L

是矢量：

其大小：以r 和p

为邻边的平行四边形的面积。sin L rp γ=

γ ：由r 逆时针转道p ，r 和p

的夹角

其方向：垂直r 和p 平面且r 、p 和L

构成右手螺旋关系。

2说明：L r mv r p =⨯=⨯

：含有因子p

，因此L

和参考系选择有关。

含有因子r ，r

依赖于参考点的位置，

故L

和参考点的选择有关。 如图所示：O 点离直线运动的轨迹越远，L

越大。

为了明确L 对参考点的依赖性，作图时常把角动量L

矢量的起点置于

参考点上。

3量纲：2

1

dim L L MT -= 4单位：SI 中：2/kg m s ⋅ 二 力对一参考点的力矩

O ：空间一参考点； F

：作用力； A ：受力质点（力的作用点）

1力矩：受力质点A 相对O 点的位置矢量r

与力F

矢量的矢积τ

，叫做力F

对参考点O 的

力矩。 r F τ=⨯

是矢量。

大小：sin rF τα= α：由r 沿小于π的角转到F 时，r 和F

成的角

方向：垂直于r

和F

决定的平面，r

、F

和τ

成右手螺旋关系。

2说明：τ 依赖于r ，所以τ 和参考点的选择有关。τ

的起点也画在参考点上。 3单位：SI 中：“牛顿米”（N m ） 4量纲：2

2

L MT

-

o

O

r

p

5几个力的力矩的矢量和

若一个质点同时受几个力的作用，则诸力力矩的矢量和：

12i n

i r F r F r F r F r F ⨯=⨯+⨯++⨯=⨯∑∑

结论：诸力矩的矢量和等于合力对于参考点的力矩

三 质点对参考点的角动量定理和守恒定律 1质点对参考点的角动量定理

()i d F mv dt =∑ ()()

i d d r F r mv r mv dt dt

⨯=⨯=⨯∑ 又()()()d dr d d r mv mv r mv v mv r mv dt dt dt dt

⨯=

⨯+⨯=⨯+⨯

而0v mv ⨯=

所以()()i d d d r F r mv r mv L dt dt dt τ=⨯=⨯=

⨯=∑ 质点对参考点的角动量定理的数学表达式：d L dt

τ=

内容：质点对参考点O 的角动量对时间的变化率等于作用于质点合力对该点的力矩。 例题：习题5.13

2质点对参考点的角动量守恒定律

若 τ

=0，则0d L dt

= L =恒矢量

内容：若作用于质点的合力对参考点O 的力矩总保持为零，则质点对该点的角动量不变。

例1：质点作匀速直线运动，所受合力为零，对任何参考点的力矩也为零，角动量为恒量。

例2：行星受万有引力的作用绕太阳转动，万有引力是有心力，

力心在太阳中心，有心力对力心的力矩为零，所以行星对太阳中心的角动量守恒。

四 质点对轴的角动量定理和守恒定律 1力对轴的力矩：

O ：参考点； 质点A 受力F ，A 相对于O 点的位矢为r

，

力F 对O 点的力矩：r F τ=⨯

定义：过O 点取z 坐标轴，F

对O 点的力矩在z 轴上

的投 影

z τ叫力对z 轴的力矩。

过质点A 作一平面和z 轴垂直，将r

分解成和z 轴平

行与垂直的1r 和2r

；F 分解为在平面内的1F 及和z 轴平

行的2F

。则： 121211122122

()()r F r r F F r F r F r F r F τ=⨯=+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯

因为 22r F

，所以220r F ⨯=

令 112r F τ=⨯

，12F τ⊥

，而2F z

轴，所以1τ

和z 轴垂直。

令

221r F τ=⨯

，22r τ⊥ ，而2r z 轴，所以2τ

和z 轴垂直

所以力对O 点力矩在z 轴上的投影

11sin z r F τα=

α ：面对z 轴观察，由1r

逆时针转到1F

转过的角度。

力对轴（z 轴）的力矩：力F 对O 点的力矩在过O 点轴（z 轴）上的投影，或者说力F

对z

轴上O 点的力矩在z 轴上的投影称为力对轴（z 轴）的力矩，用z τ表示。

F

对z 轴上不同点点的力矩不同，但在z 轴上的投影相同。

若 r

和F

恰在与z 轴垂直的平面上，则力对z 轴的力矩为：sin z rF τα= 2质点对轴的动量矩

依照上面研究力矩的方法

定义：质点对轴上某点的动量矩在轴上的投影叫质点对轴的动量矩，用“z L ”表示。 11()sin z z L r p r p γ=⨯=

γ：面对z 轴观察由1r 逆时针转到1p

转过的角度。

1r ：质点到轴的垂直距离； 1p

：动量在与z 轴垂直平面上的分量。 若 r 和p

恰在与z 轴垂直的平面上，则sin z L rp γ= 3 质点对轴的角动量定理

质点对参考点O 的角动量定理： d L dt

τ=

过O 点作z 轴，将上式对z 轴投影得：z

z dL dt

τ= 4 质点对轴的角动量守恒定律：

若0z τ=，则

0z

dL dt

=，z L =恒量。

§5.2质点系的角动量定理及角动量守恒定律

一质点系对参考点的角动量定理及角动量守恒定律