电力网络理论讲课图论基础

定义9 树和补树：没有回路且包含全部顶 点的连通子图叫连通图G的树T；树T的补 ② 图叫补树。 (1)包含全部节点； (2)不包含回路； (3)连通 树 补树
2 4
①
3
5
③
6
④
树支
连支
1 ，2 ，3
4 ，5 ，6
1
单连支回路
定义10 同构（或同形）
设有两个图G1 = (V1, E1)和G2 = (V2, E2)，若 在其顶点集合之间存在双射，即存在一一 对应的关系，使得边之间有如下的关系： 设
中国邮路问题
1962年中国数学家管梅谷提出： 一个邮递员从邮局出发递送邮件，要 求对他所负责的辖区的每条街至少走 一次，问如何选取路程最短 的路线？ 这个问题称为中国邮路问题。 该问题可用专门的算法来求解。 （最优化问题）
平面图与非平面图问题
相传国王有5个儿子，他在遗嘱中 写着把国土分成5块给儿子，规定各块 之间都要有交界线，但5个儿子提出在 自己分到的领土上都要修一个王宫，并 且各个王宫之间都要有路直接相通而不 能交叉，这问题能否解决？
定义4 子图和补图：设G 和H为两个图，若 V(H) V(G) , E(H) E(G) ,且H中边的重数 不超过G中对应边的重数，则称H 是G 的子 图. 记为H G 。有时又称G是H的母图。 当H G ，但H ≠ G时，则记为H G ， 且称H为G的真子图。G的生成子图是指满 足V(H) = V(G)的子图H。
v1
v5
v4
v3 G
v1 v2
H1
v4 v3
v1
v5 v
2
v4 v3
H2
v2
上图中，H1与H2均为G 的子图，其中H2 是 G 的生成子图，而H1 则不是。 导出子图 设V’是V的一个非空子集。以V’为顶 点集，以两端点均在V’中的边的全体为边集所 组成的子图，称为G的由V’导出的子图，记为 G[V’]；简称为G的导出子图，
只考虑电网络中各元件之间的连接关系时， 可将网络中的每一个元件用一条线段表示，称 为边，元件的端点用顶点表示，这样便构成了 电网络图，以下简称网络图或图。图的组成元 素称为图元，边和顶点是最基本的图元。
一个实际系统抽象为图后，物理对象以边 的形式出现，因此边是实体图元；顶点的作用 是将边连接成图，所以顶点是连接图元。
若用小圆点代表点， 连线代表边，则可将一 个图用“图形”来表示 , 如例1 中的图可表为
v1
v4
v2
v3
注: 也可记边 uv 为e ，即 e = uv。
例2 设V = {v1,v2,v3,v4}，E = {e1,e2,e3,e4,e5}，其中
e1= v1v2， e2 = v2v3， e3 = v2v3， e4 = v3v4，
四色问题
1840年数学家茂比乌斯（Möbius）提出一个猜 想：任何平面地图，总可以把它的一个国家用 四种颜色的一种着染，使相邻国家着不同色。 这就是著名的四色猜想。如：
1890年希五德（Heawood）指出 “4换为5”猜想成立。 1976年两位数学家在三台百万 次的电子计算机上花了1200小 时证明了猜想成立。猜想成为 定理。
电 网 络 理 论
主讲人：李畸勇
广西大学电气工程学院
考核方式
1.平时（40%）+期末笔试（60%）
2.平时（40%）+期末小论文（60%）
考核方式二选一
图论基础
自然界和人类社会中的大量事物 及事物之间的关系，常可以用图形来 描述。例如：物质结构，电气网络， 城市规划，交通运输，信息传递，工 作调配，事物关系等等都可以用点和 线连起来的图模拟。
图论发展史
图论是组合数学的一个分支，也 是近几十年来最活跃的数学分支之一. 到目前为止，它已有二百六十多年的 发展历史。 图论是拓扑学的一个分支，拓扑 学（Topology）最初由德国数学家 Listing提出。
Königsberg七桥的故事
Königsberg七桥位于前苏联的加 里宁格勒，历史上曾是德国东普鲁士 省的省会，霹雷格尔横穿城堡，河中 有两个小岛B与C，并有七座桥连接岛 与河岸及岛与岛（见图）。是否存在 一种走发，从四块陆地中的任意一块 开始，通过每一座桥恰好一次再回到 起点。
e5 = v4v4 则 G = (V, E) 是一个图。
v1 e1 v4 e5
e2
e4
v2
e3
v3
相关概念: （1） 若边e = uv , 此时称 u 和v 是 e 的端点; 并称 u 和 v 相邻，u (或v)与 e 相关联。若两条 边有一个共同的端点，则称这两条边相邻。 （2）特殊点、边 孤立点：不与任何边相关联的点； 环：两端点重合的边； 重边：连接两个相同顶点的边的条数，叫 做边的重数。重数大于1的边称为重边。
（2）图同构的几个必要条件：① 顶点数相同； ② 边数相同；③ 度数相等的顶点个数相同。 定义 设 v为 G 的顶点，G 中与 v 为端点的边 的条数（环计算两次）称为点 v 的度数，简 称为点v的度，记为 dG (v)，简记为 d(v)。
每一条线段称作图的边（Edge），每一 个节点称作图的顶点（Vertex）。
图的基本概念
一．图的定义
定义1 一个图 G 定义为一个有序对(V, E)， 记为G = (V, E)，其中 （1）V是一个非空集合，称为顶点集或点 集，其元素称为顶点或点； （2）E是由V中的点组成的无序点对构成的 集合，称为边集，其元素称为边，且同一点 对在 E 中可出现多次。
定义6 割点、可分图和不可分图：如果移 去某个顶点后G不再连通，那么这个顶点叫 连通图G的割点。存在割点的连通图是可分 图，不存在割点的连通图是不可分图。
割集 在连通图G中，满足下列条件的边的最小集合 称为图G的割集：若移去该边集中所有的边， 将使图分离为两个且仅有两个彼此分离而又各 自连通的子图；若保留该边集中的任一条边不 被移去，图G仍然是连通的。
定义7 有向图和无向图：赋予了方向的边 叫有向边，有向边构成有向图，不存在有 向边的图是无向图。 定义8 回路：当一条通路的始端顶点与终 端顶点重合，即通路闭合，则这种闭合通路 称为回路。任何回路的顶点数等于边数，当 回路的顶点数和边数都为1时称为自回路或 自环。
在图2.2中，边1、2、3构成回路，回路可表 示为L (1，2，3)。边1、2、5、6构成另一 回路，还可找出多个其他的回路。回路中 结点数与边数相同。
设G1 (V1,E1 )和G2 (V2 ,E2 )是两个图，若V1 V2 , 则称G1与G2是不相交的;若E1 E2 ,则称G1与G2是 边不重的。
定义5 顶点的度：一个顶点关联边的数量是 该顶点的度。 所有顶点之间都有边连接的图叫完备图，v个 顶点的完备图，每个顶点的度都等于v-1。
对于大型复杂网络，传统的分 析方法已不能适应，取而代之的是以 网络图论为基础的现代网络分析方法， 它是现代网络理论的一个重要方面。 图论是数学领域中拓扑学的一个分支， 图论通过点和线组成的图形，构成模 拟物理系统的数学模型，并根据图的 性质进行分析，提供研究各种系统的 分析方法。
在电网络分析中，网络图论提供了 选取网络独立完备变量的理论依据，并 通过引入网络矩阵方程使列写网络方程 系统化。网络方程用矩阵形式表示，不 仅清晰直观，而且易于用计算机建立和 求解方程。在计算机辅助网络分析和综 合、以及电力网络分析等方面都将用到 网络图论的理论。
导出子图G[V\V’]记为 G -V’ ；它是G中删除 V’中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得 到的子图。若 V’={v}, 则把G-{v}简记为G–v。 边导出子图 假设E’是E的非空子集。以E’为 边集，以E’中边的端点全体为顶点集所组成 的子图称为G的由E’导出的子图，记为G[E’ ] ；简称为G的边导出子图，边集为 E \ E’ 的G 的导出子图简记为 GE’ 。若E’ ={e }，则用 G–e来代替 G-{e}。
环球旅行与Hamilton问题
1859年 Hamilton 提出这样一个 问题：一个正十二面体有20个顶点， 它们代表世界上20个重要城市。正十 二面体的每个面均为五边形，若两个 顶点之间有边相连，则表示相应的城 市之间有航线相通。 Hamilton 提出 “能否从某城市出发经过每个城市一 次且仅一次然后返回出发点？”
符号说明: 图G 的顶点集也记为V(G), 边集也记 为E(G)。图G 的顶点数（或阶数）和边数可分 别用符号 n(G) (或 |V(G)| ) 和 m(G)表示。 例1 设 V ={v1, v2, v3, v4}，E ={v1v2 , v1v2, v2v3 }，
则 G = (V, E) 是一个4阶图。
u1 , v1 V1
u2 , v2 V2 ，对应为：u1 u2
v1 v2
当且仅当 u1v1 E1 ，u2v2 E2 ；且
u1v1 的重数与 u2v2
来自百度文库
的重数相同，则称两图同构，记为G1≌G2。
例如
≌
说明：(1) 两个同构的图均有相同的结构，没有 本质上的差异, 差异只是顶点和边的名称不同。
割集可以这样来确定：如图所示，在图 上画一条不经过顶点且不与同一边重复相 交的封闭曲线，如图中虚线所示，则与此 曲线相交的边组成一割集。
图中边1、2、5、6组成一割集，可用C(1，2， 5，6)表示。移去该割集后，边3、4为两个分 离的连通子图。有向连通图的割集可以定义 方向，其方向为由一个子图指向另一个子图。 若取割集C(2，3，5)，则分离的一个子图中 仅有一顶点。在图论中允许有孤立的顶点存 在，但不能存在没有顶点的边。
定义2 关联集合：顶点关联的全部边构成顶 点的关联集合。
v3 e6 e2 e8 v4 e7 e5 v2 e3 v1 e1 e4
v3 e6 e2 v4 e7 e5 v2 e3 v1 e1 e4
定义3 连通图和非连通图：任意两个顶点 间都存在路径的图G为连通图，否则为非 连通图。
孤立顶点
电网络存在图不连通而物理连通的情况
相对补图/complementary graph ：Ｇ＝（Ｖ， Ｅ）是图，Ｇ’＝（Ｖ’，Ε’）是Ｇ的子图， Ｅ”＝Ｅ－Ｅ’，Ｖ” ＝V－V’或是Ｅ”中边 所关联的所有顶点集合，则Ｇ”＝（Ｖ”， Ｅ”）称为Ｇ’关于Ｇ的相对补图。 补图： 关于完全图的子图的补图称为此子图的 绝对补图，若子图记为Ｇ，则补图记为 G C 。
涉及到平面图及非平面图的概念。
要求每对顶点之间 都有一条边连接， 而且边与边在不是 顶点的地方不能相 交，称5个顶点的 完备图，K5表示。
图论的应用范围很广，它不但能应 用于自然科学，也能应用于社会科学。 它非但广泛应用于电信网络、电力网络、 运输能力开关理论、编码理论、控制论、 反馈理论、随机过程、可靠性理论、化 学化合物的辨认、计算机的程序设计、 故障诊断、人工智能、印刷电路板的设 计、图案识别、地图着色、情报检索， 也应用于语言学、社会结构、经济学、 运筹学、遗传学等。
正十二面体的顶点与棱的关系可以 用平面上的图表示，把正十二面体的顶 点与棱分别对应图的顶点与边，就得到 正十二面体图。
七桥问题与环球旅行的区别？ 前者要求找一条路，必须经过图 中每条边且只能经过一次，而定点次 数不限制；后者要求找一条回路经过 图中的每个顶点，且只经过一次，而 经过边的次数不受限制。
能否从某个地点出发经过每个桥一 次且仅一次然后返回出发点？
A
B C
D
这就是著名的Königsberg七桥问题， 即一笔画问题；也是图论的起源。
欧拉判定规则
（a）连接奇数个桥的陆地只有一个或 超过两个以上时，不能实现一笔画。 （b）连接奇数个桥的陆地仅有两个时， 则从两者中任一陆地出发，可以实现一 笔画而停在另一陆地。 （c）每块陆地都连接偶数个桥时，则 从任一陆地出发，都可以实现一笔画而 回到出发点。
(3) 点集与边集均为有限集合的图称为有限 图，本书只讨论有限图。只有一个顶点而无边 的图称为平凡图。边集为空的图称为空图。 (4) 既没有环也没有重边的图称为简单图。 其他所有的图都称为复合图。
例3
●
平凡图
简单图
非简单图
边构成的连续通路叫路径（path）。 仅有一条边的路径叫自环（self loop）。 若两条边的两个顶点分别相同，那么这两 条边称为并联边。 没有并联边和自环的图叫简单图。 边与其两端之顶点相互关联。一个边关联 的两个顶点相互邻接，具有共同顶点的边 也相互邻接，前者是顶点邻接，后者是边 邻接。