决策论模型

若为联合方案，如何分担投资？
例3. 某理事会3个派别分别占有4、3、2 个席位。表决提案时超过半数才可通过。各 派同时投票。估计各派在提案表决中的权重。
对策论与竞争、仲裁问题的数学模型
§1商品价格决定
N
如图所示某居民区，
V
居民均匀分布在圆 A
周上，圆周内不能
2/3
居住。N、V、Z为 三家商店。三商店
悲观主义者：选最差效用的最好者Maximin。
如上例中：A:－2；B：0；C：3； 其中3最大，故选决策C。
乐观主义者：从最好中选最好Maximax.
如上例中：A：10；B：8；C：3； 其中3最大，故选决策A。
后悔者：构 造后悔阵(对每种 自然状态，用最 大效用与该状态 每个效用之差)， 例4的后悔阵为：
最好 较好
A0 3 B2 0 C7 1
坏
Row Maximax
55 33
07
Minimax
合作对策 Shapley值
例1. 甲、乙、丙3人经商，若单干每人仅获 利1元。甲乙合作可获利7元；加丙合作可获利 5元；乙丙合作可获利4元；3人合作可获利10 元。今3人合作，问如何分配10元收入？
定义：有甲参加和无甲参加时此合作 的收入之差，为甲在此种合作中的贡献。
11
10
9
8
价价 价
格格 格
高中低 高中低 高中低 高中低 高中低 高中 低
0.5 .15
0.5 .15
0.5 .15
0.5 .15
0.5 .15 .35 0.5 .15
3). 不确定型决策:多种自然状态，每种自 然状态发生的概率未知。(如上例中概率未 知)
主观主义者：凭主观定出概率转为风险决策。
例1. 背包问题
例2. N台机器，N个工作，每台机器安排 一项工作，如何安排生产费用最小？
例3. 欧洲城市道路，走遍各市，如何走
路线最短？
2). 风险决策， 产值 天气 最好 较好 坏 多种自然状态，每 策略
种自然状态发Leabharlann Baidu的 概率已知。
A
B
例4：农夫的
决策(单级决
C
策)。
概率
10 1
8
4
3
3
0.15 0.60
|p1－p2| 2ac/3; |p1－p2|4ac/3; |p1－p3|2ac;
合作对策是指定了特征函数的I中n人的 合作结果, 用向量函数： (v)=(1(v), 2(v), …, n(v))表示。
其中：i(v)= w(|S|)[v(S)－v(S－{i})] S Si w(|S|)= (|S|－1)!(n－ |S|)! n!
(v)为由v定义合作的Shapley值。
实际中常把I中各种合作得利定义为特 征函数，Shapley恰为获利分配。
Shapley值满足： 1).合作获利对每个人的分配与赋予其记
号{i}无关。
2). 各人分配之和等于合作获利。
3).若{i}对每一个他参加的合作都无贡 献则他不获利。
4). 每人从合作获利的分配不少于他单 干所得。
例1：计算如表：
S
{1} {1, 2} {1, 3} {1, 2, 3}
v(S)
17
例2. 3城市污水处理方案：沿河有3个城市1、2、
3如图。3市可单独 处理厂，也可联合 1
建厂。设Q为污水
2
处理量(吨/秒)，L为
3
管道长(km)，
Cp＝6.6Q0.51L 为铺设管道费用。 GT＝730Q0.712为建厂费用。3城市污水排放量 分别为：Q1＝5，Q2＝3，Q3＝5。试从节约 投资角度为3城市制定污水处理方案。此方案
－2 0
3 0.25
例5. 某工厂因某工艺老化，生产成本高。 工厂管理和级数人员欲采用新工艺，各种情 况如下表，(若研究或谈判买专利失败，则采 用原工艺生产，并保持原产量不变)试决定采 用何决策？
效 方 按原 买专利成功 自行研究成功
益 案 工艺 价格 值 生产
(概率)
(0.8) 产量 增加 不变 产量
甲：1－0＝1(元) 甲乙：7－1＝6(元) 甲丙：5－1＝4(元) 甲乙丙：10－4＝6(元)
甲应得的收入应为以上4个贡献的加权平均。 一般n 人合作对策模型可叙述如下： I={1，2，…，n}，对I任意子集SI对应 一个实数，v(S)满足： v( )=0 ; v(S1US2)v(S1)+v(S2) (S1 S2) 则称v 为定义在I上的特征函数。
5 10
v(S-{1})
01
14
v(S)-v(S-{1})
16
46
|S|
12
23
w(|S|)
1/3 1/6 1/6 1/3
w(|S|)[v(S)-v(S-{i})] 1/3 1 2/3 2
甲应获利： 1(v)＝1/3＋2/3＋2=4(元) 类似得：乙获利： 2(v)＝3.5(元)
丙获利： 3(v)＝2.5(元)
经营同一种商品。
Z
价格分别为p1, p2, p3。顾客到哪购物根据 价格和路途往返费用总开销而定。故两商
店价格不超过路程消耗。
问题：如何选取p1, p2,p3使获利最大？
假设：圆半径＝a，顺时针由N旋转到 A的圆心角为(A); (N)=0, (V)=/3; (Z)= ; NV, VZ, ZN上的顾客只可能 到弧两端的商店购物，具体到哪一家 由价格和往返路费决定。交通费c/km;
决策论简介
1.决策无处不在 2.描述与决策 3.决策的要素： 1).被选方案：决策者可控制。
2).自然状态：构成决策的环境，决策者不可控制。 3).结果：1个行动与1个自然状态结合就是1个结果。 4).效用：决策者对每一个结果的满意程度。
5).目标：决策者想要什么
4.决策形式的基本类型：
1).确定型决策：自然状态就1个，选效用大者。
0< pi kc i=1、2、3
1. 决定p1, p2,p3 的关系。
A点顾客到N、Z购物的总开销分别为：
p1＋2ac(2－ ); p3＋2ac(－ )
因假设他不到V购物，所以：
p2＋2ac(2－＋/3) p1＋2ac(2－) p2＋2ac(－/3) p3＋2ac(－ )
p1－p2 2ac/3; p1－p2 4ac/3 类似讨论A VZ, ZV可得：
(0.6) 产量 增加 不变 产量
价格低落(0.15) -100 -200 -300 -200 -300
价格中等(0.5) 0
50 50 0 -250
价格高涨(0.35) 100 150 250 200 600
1
决策树
自行研究
买专利
3
失败
成功(0.6)
2
成功(0.8) 失败
7
6
5
4
产量不增 产量增 产量不增 产量增