误差合成与分配
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本章重点和难点
★函数系统误差和函数随机误差的概念 ★随机误差的合成 ★未定系统误差和随机误差的合成 ★误差分配 ★微小误差取舍准则 ★最佳测量方案的确定 重点掌握：函数误差的计算方法； 掌握：误差和成方法及系统误差与随机误差的 异同点；
了解：误差分配的基本步骤。
第一节 函数误差
• 前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题， 但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进 行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度， 需要采用间接测量。 • 间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一 定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计 算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所 得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是 各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函 数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究 误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误 差计算，也有称之为误差合成。
• 如图所示，直接测得其弓高h和弦长s，然后通过函数关 系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及其 系统误差为
求测量结果。
求解：
• 1. 建立函数关系式
• 2.计算直径D0值 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径D0为
3.计算直径D的系统误差
直径D的系统误差公式为
• 4.计算各误差传递系数值
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量 带来的测量误差？
解：量块组尺寸的系统误差为
故量块组按基本尺寸使用时的修正值为－0.4μm
使用该量块组做相对测量带来的测量误差为
故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出±0.５１μm
二、函数随机误差计算
• 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的， 对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。 因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各 测量值的标准差之间的关系。
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
( x1 , x2 , , xn )
f xi 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 y xi
处的误差传递系数
相关系数的讨论
若定义
•
源自文库
若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时， 相关项
则有
函数误差的概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
, xn x1 , x2 , 与被测量有函数关系的各个直接测量值
• 5.计算系统误差值
将已知各误差值及误差传递系数代入直径的系统误差式，得
• 6.给出测量结果
通过修正可消除所求得的直径系统误差△D，则被测直径的实际尺寸为
例２
•
用量块组做标准件的测量
相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组 由四块量块研合而成，它们的基本尺寸如下：
已知各尺寸偏差及其测量极限误差分别为
线性函数的系统误差计算
函数形式为线性关系的函数系统误差为
（3-3）
线性关系的函数式中的各个误差传递系数ai为常数。
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
正弦函数的系统误差计算公式
函数 系统误差 （3-5）
因
则有
（3-6） 同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。
例1 用弓高弦长法间接测量大直径D
ρ ij=0
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
y2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
2
2
f 2 xn xn
f 2 xn xn
f f x2 可得： y y f ( x1 , x2 ,..., xn ) x1 x1 x2 f xn xn
, xn xn )
得到
f f y x1 x2 x1 x2
f xn xn
函数标准差计算
或 y
y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy f f f dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
（3-1）
函数系统误差计算公式
• 若已知各个直接测量值的系统误差⊿x1，⊿x2，…， ⊿xn 由 y 的全微分，函数系统误差 ⊿y的计算公式
y f f f x1 x2 ... xn x1 x2 xn
2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2
2
n f f f 2 ij xi xj xn 2 1i j xi x j xn
2
xi xi 第i个直接测得量 的标准差
对于式(3—1)
若以各测量值的随机误差δ1，δ2，…．δn代替各微分 量dx1，dx2，…，dxn只能得到函数的随机误差δy， 而得不到函数的标准差σy。
函数随机误差的数学模型
数学模型
函数的一般形式
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
变量中只有随机误差 即： y y f ( x1 x1 , x2 x2 , 泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
（3-2）
2, , n) f xi (i 1, 为各个输入量在该测量点 误差传递系数 ( x1 , x2 , , xn )
处的
xi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
xi 和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
2
2
或 令 则
f ai xi
f f 2 y x12 x2 x1 x2
（3-14）
y a12 x12 a22 x 22
★函数系统误差和函数随机误差的概念 ★随机误差的合成 ★未定系统误差和随机误差的合成 ★误差分配 ★微小误差取舍准则 ★最佳测量方案的确定 重点掌握：函数误差的计算方法； 掌握：误差和成方法及系统误差与随机误差的 异同点；
了解：误差分配的基本步骤。
第一节 函数误差
• 前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题， 但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进 行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度， 需要采用间接测量。 • 间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一 定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计 算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所 得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是 各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函 数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究 误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误 差计算，也有称之为误差合成。
• 如图所示，直接测得其弓高h和弦长s，然后通过函数关 系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及其 系统误差为
求测量结果。
求解：
• 1. 建立函数关系式
• 2.计算直径D0值 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径D0为
3.计算直径D的系统误差
直径D的系统误差公式为
• 4.计算各误差传递系数值
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量 带来的测量误差？
解：量块组尺寸的系统误差为
故量块组按基本尺寸使用时的修正值为－0.4μm
使用该量块组做相对测量带来的测量误差为
故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出±0.５１μm
二、函数随机误差计算
• 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的， 对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。 因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各 测量值的标准差之间的关系。
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
( x1 , x2 , , xn )
f xi 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 y xi
处的误差传递系数
相关系数的讨论
若定义
•
源自文库
若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时， 相关项
则有
函数误差的概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
, xn x1 , x2 , 与被测量有函数关系的各个直接测量值
• 5.计算系统误差值
将已知各误差值及误差传递系数代入直径的系统误差式，得
• 6.给出测量结果
通过修正可消除所求得的直径系统误差△D，则被测直径的实际尺寸为
例２
•
用量块组做标准件的测量
相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组 由四块量块研合而成，它们的基本尺寸如下：
已知各尺寸偏差及其测量极限误差分别为
线性函数的系统误差计算
函数形式为线性关系的函数系统误差为
（3-3）
线性关系的函数式中的各个误差传递系数ai为常数。
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
正弦函数的系统误差计算公式
函数 系统误差 （3-5）
因
则有
（3-6） 同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。
例1 用弓高弦长法间接测量大直径D
ρ ij=0
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
y2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
2
2
f 2 xn xn
f 2 xn xn
f f x2 可得： y y f ( x1 , x2 ,..., xn ) x1 x1 x2 f xn xn
, xn xn )
得到
f f y x1 x2 x1 x2
f xn xn
函数标准差计算
或 y
y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy f f f dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
（3-1）
函数系统误差计算公式
• 若已知各个直接测量值的系统误差⊿x1，⊿x2，…， ⊿xn 由 y 的全微分，函数系统误差 ⊿y的计算公式
y f f f x1 x2 ... xn x1 x2 xn
2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2
2
n f f f 2 ij xi xj xn 2 1i j xi x j xn
2
xi xi 第i个直接测得量 的标准差
对于式(3—1)
若以各测量值的随机误差δ1，δ2，…．δn代替各微分 量dx1，dx2，…，dxn只能得到函数的随机误差δy， 而得不到函数的标准差σy。
函数随机误差的数学模型
数学模型
函数的一般形式
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
变量中只有随机误差 即： y y f ( x1 x1 , x2 x2 , 泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
（3-2）
2, , n) f xi (i 1, 为各个输入量在该测量点 误差传递系数 ( x1 , x2 , , xn )
处的
xi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
xi 和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
2
2
或 令 则
f ai xi
f f 2 y x12 x2 x1 x2
（3-14）
y a12 x12 a22 x 22