误差合成与分配
测量误差的合成和分配
对测量结果可采用正确度，精密度 和准确度三种评价方法。 1．正确度 表示测量结果中系统误差大小程度。 系统误差愈大，正确度愈低；系统误差 愈小，正确度愈高。
2．精密度 表示测量结果中随机误差的大小 程度，也简称为精度。随机误差的大 小可用测量值的标准偏差 x 来衡量, x 越小，测量值越集中，测量的精 密度越高；反之，标准确偏差 x 越 大，测量值越分散，测量精密度越低 。
测量时应兼顾误差大小、测 量的难易程度及其他因素选择 最佳测量方案。
式中 y ——被测量 y 的相对误差； x1——直接测量 x 的绝对误差； 1 x 2——直接测量 x 的绝对误差。 2
同理，当被测量 y 由m个分项合成时, 误差传递公式为
y
i 1
m
f xi xi
(2-21)
(2-22)
y
i 1
m
ln f xi xi
i 式中 x—— 第i个测量分项的测量值； x—— i 直接测量量 x i 的绝对误差。
3．抓住主要误差项进行分配 当分项误差中某项误差特别大时， 就可以不考虑次要分项的误差，或酌情 分给次要分项少量误差比例，确保主要 项的误差小于总合的误差。 若主要误差项有若干项，这时可把 误差在这几个主要误差项中分配，考虑 采用等准确度或等作用分配原则。
2.5
2.5.1
测量结果的描述与处理
测量结果的评价
–12.4344→12.43 –0.69499→0.69 63.73501→63.74 25.3250→25.32
–17.6955→17.70
123.1150→123.12
• 需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正确结果为0.69 ，错误做法是： 0.69499→0.6950→0.695→0.70。
误差的合成与分配
y 2 2 x f 1 2 x 1 2 2 ... x f n 2 x n 2 2 2 1 n i j x fi x fj x i2j2
y N 2 x f 1 2x 1 N 2 ... x f n 2x n N 2 2 1 n i j x f i x fj x iNjN
y 2 fx 1 2 ,x 2 2 , ,x n 2
y N fx 1 n ,x 2 n , ,x n n
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
函数随机误差为：
f
f
f
y 1 x 1 x 1 1 x 2 x 2 1 ... x n x n 1
f
f
f
y 2 x 1 x 1 2 x 2 x 2 2 ... x n x n 2
sin c o s
可得正弦函数的角度系统误差公式为：
1 f f
f
1n f
c o s( x 1 x 1 x 2 x 2 ... x n x n ) c o si 1 x i x i
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
例3-1 用弓高弦长法间接
测量最大直径 D，直接测得其
量，其相应的随机误差为：
x 1: x 1 1 , x 1 2 ,..., x 1 N x 2 : x 2 1 , x 2 2 ,..., x 2 N
x n : x n 1 , x n 2 ,. . . , x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
N 个函数值为： y 1 fx 1 1 ,x 2 1 , ,x n 1
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且 一般为多元函数，其表达式为：
yf(x1,x2,...xn)
对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示， 则上式的函数增量为：
第三章 误差的合成和分配
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim x i 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
s i n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
尺寸轴工件的直
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故 称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-13
函数标准差计算
y 2( x f1)2 x 2 1 ( x f2)2 x 2 2 ( x fn)2 x 2n 2 1 in j x fi x fjm N 1xiN m xjm
3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
《误差理论与数据处理(第6版)费业泰》课后习题答案
《误差理论与数据处理》练习题第一章 绪论1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。
相对误差=0.3100%0.3%100.5-⨯≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2（h 1+h 2）/T 2给定。
今测出长度（h 1+h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果（h 1+h 2）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1+h 2）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。
由21224()g h h Tπ=+,得：2224 1.042309.81053(/)2.0480g m s π=⨯= 当12()h h +有微小变化12()h h ∆+、T 有T ∆变化时，令12h h h =+ g 的变化量为：22121212231221212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h Th h T T TTh h h h T Tπππ∂∂∆=∆++∆=∆+-+∆∂+∂∆=∆+-+2223224842()g g g h T h h Th T T T T h h T Tπππ∂∂∆=∆+∆=∆-∆∂∂∆=∆- g 的最大相对误差为：22222222124422[][]244()0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480T T h h h h g h T T T T T g h Th h h T Tππππ∆∆∆-∆-∆∆∆===-+±⨯±=-⨯≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ∆<也即 21212242[()()]0.001Tg h h h h T Tπ∆∆=∆+-+< 22420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106TT T π∆±-⨯<±-∆< 求得：0.00055()T s ∆<1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。
电气测试4 2_6测量数据处理 7误差合成与分配
1
2017-02-17
例 2-12
用一块 U m =100V，s＝0.5级电压表进行测量，其示值为 85.35V，试确定有效数字位数。 解：该量程的最大误差为： •
2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤
对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含 有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测 量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分 析和处理。 数据处理的基本步骤如下： ① 用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。 n ② 求算术平均值 x 1 x i n i 1 式中，x 是指可能含有粗差在内的平均值。
i xi x
i 1
i 0
n
若 i 的代数和约等于零，说明 的代数和约等于零 说明 x 的计算是正确的；否则 的计算是正确的 否则 说明计算 x 时有错，要重新计算。 ˆ 。利用贝赛尔公式 ④ 求标准差的估计值
ˆ
1 n 2 i n 1 i 1
9
10
ˆx ⑧ 求算术平均值标准差估计值
3
2.6.2 有效数字的位数
• 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零 的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例 如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数 字。 • 可见，数字“0”在一个数值中，可能是有效数字，也可能 不是有效数字。
4
2.6.3 有效数字的运算规则 • 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进 行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参 加 算的各个数 以精度最差的 个为基准进行 加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行 舍入处理（也可多保留一位欠准数字），计算结 果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理（也 可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算 简便准确。
第4讲-误差合成与分配
实际测量中，测量误差常常是由许多因素产生的； 在间接测量中，测量误差与各个直接测量量有关。
当某项误差与若干分项有关时，这项误差称为总 误差，各分项的误差都叫分项误差或部分误差。
•测量误差的合成 •测量误差的分配
1
2.7.1 误差传递公式 总误差与分项误差的关系是各种各样的，如和差关系、
19
2.7.5 等作用分配
是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定 相等，但它们对测量误差总合的作用是相同的，即
——
1
=
——
2
= • • • = —— n
x1
x2
xn
根据系统误差合成公式可得:
y
j =———— n——xj
20
[例] 通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上 消耗的功率。已测出电流为100mA，电压为3V，算出 功率为 300 mW。 若要求功率测量的系统误差不大于 5%，问电压和电流的测量误差多大时才能保证上述 功率误差的要求？
系统误差的合成可用式 = j 计算, 现设其 j=1
中第K项误差K为微小误差。根据有效数字的规则， K可忽略不计的判断准则如下：
23
当总误差取一位有效数字时，若 K <(0.1~0.05) , 则K可忽略；
当总误差取二位有效数字时，若 K <(0.01~0.005) , 则K可忽略。
2. 随机误差的微小准则
y = B • A+ A • B
y= A+ B 当都有正负号时, 应取 y=± (|A | + | B |) (2)商函数的合成误差
设y=A/B, A与B的误差为A与B, 则
y = —1— A – —A— B
第三章 误差的合成与分配 (全)
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
误差分配
误差
已定系统误差 未定系统误差 随机误差
设个误差因素皆为随机误差，且互不相关
式中，Di为函数的部分误差， 若已给定σ y，需确定Di或相应的σi，使满足
按等作用（各部分误差的影响相同）原
则分配误差：
即：
故：
或：
其中： δ是函数的总极限误差，δi是各单项误差的极限误差
按可能性调整误差：
1、按等作用原则分配误差可能会出现不合理 的情况，有时候会导致某些测量值的精度需 要高精度的仪器和更大的劳动（近视比较重 的可能需要再配一副眼镜）才能保证
2、当个部分误差一定时，相应的测量值的误 差与传递系数成反比，故其相应测量值的误 差并不相等
验算调整后的误差：
测量一圆柱体的体积时，可以通过测量高和圆柱 直径来计算，要求测量的体积的相对误差为1%， 试确定直径D和高度h的测量精度（已知直径和高 度的公称值为D=20mm，h=50mm）
算人：郭永奇
误差的合成 和分配
函数误差的计算 随机误差的合成
系统误差的合成
系统误差与随机误 差的合成
函数系统误差的计算
函数随机误差的计算 标准差的合成 极限误差的合成 已定系统误差的合成
未定系统误差的合成 按极限误差合成
按标准误差的合成
误差分配
微小误差取舍和最 佳测量方案
误差分配：已知给定测量的总误差，选择合理的测量方案，进行误差 分配，确定各单项误差，保证测量精度。
直径用2级千分尺，20mm的极限误差为±0.013mm,高度用 分度值为0.10mm的游标卡尺测量，50mm测量范围的极限误 差为±0.150mm.
远远小于要求的157.08,故不够合理，改用分度值为 0.05mm的游标卡尺测量，50mm测量范围内，极限误差为 ±0.08mm。检验符合要求
误差的合成与分配全
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其 它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。 研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。 对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算
在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
若在测量过程中，有r个单项已定系统误差，其误差值分别为 V 1 ,
V2,...,Vr，相应的误差传递系数为 a1,a2,...,ar ，则按代数和法合成
的总的已定系统误差为：
r
V a i Vi
i1
在实际测量中，已定系统误差应用修正值去消除。若由于某种 原因未被消除，则应用代数和法合成。一般情况下，最后测量结 果不应含有已定系统误差。
22
二. 未定系统误差
定义： 未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，而 只能或只需估计出其不致超过某一极限范围 e i 的系统误差。
1. 未定系统误差的特征及其评定
未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测 量时其值固定不变，因而不具有抵偿性。所以利用算术平均 值法不能减少它对测量结果的影响。这是它与随机误差的重 要差别。
(i )(i )
(i )2 (i )2
(xi , xj )
(xik xi )(x jk x j )
k
(xik xi )2 (x jk x j )2
k
k
（5）理论计算法： 有些误差的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求的。
16
第二节 随机误差的合成
随机误差具有随机性，其取值不可预知，用测量的标准差 或极限误差表征其取值的分散程度。
误差与理论分析实验报告
误差与理论分析实验报告实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法。
二、实验原理 （1）正态分布设被测量的真值为0L ，一系列测量值为i L ，则测量列中的随机误差i δ为:i δ=i L -0L (式中i=1，2，…..n)正态分布的分布密度: ()()222f δσδ-=正态分布的分布函数: ()()222F ed δδσδδ--∞=,式中σ-标准差（或均方根误差）；它的数学期望为:()0E f d δδδ+∞-∞==⎰它的方差为:()22f d σδδδ+∞-∞=⎰（2）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...nin i l l l l x n n=++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11nni i i i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有:1ni i v ==∑01）残余误差代数和应符合：当1n i i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1ni i v =∑为零；当1ni i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1ni i v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1ni i l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1ni i v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
误差理论与数据处理
L2 L L1
第4节 最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
第4节 最佳测量方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用 什么方法确定各个因素，才能使测量结果的 误差最小？
随机误差 考虑因素 系统误差 已定系统误差
采用修正消除
未定系统误差
第4节 最佳测量方案的确定
函数的标准差：
∂f ∂f ∂f 2 2 σy = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
第3节 误差分配
【解】计算体积V0 π D2 0
3.1416×202 ×50 =15708m 3 V0 = h0 = m 4 4
体积的绝对误差:
δV =V0 ×1%=15708mm3 ×1%=157.08mm3
一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:
δD =
δV 1
第4节 最佳测量方案的确定
选择最佳函数误差公式原则： 选择最佳函数误差公式原则：
间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 包含直接测量值最少的函数公式。 应选取包含直接测量值最少 包含直接测量值最少 不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同， 误差较小的直接测量值的函数公式。 则应选取误差较小的直接测量值 误差较小的直接测量值
三、验算调整后的测量极限误差
第五节误差分配
1、按等作用原则分配误差可能会出现不合理的情况，有时候会导致某些测量值的精度需要高精度的仪器和更大的劳动（近视比较重的 可能需要再配一副眼镜）才能保证
式中，Di为函数的部分误差， 设个误差因素皆为随机误差，且互不相关
微小误差取舍和最佳测量方案
系统误差与随机误差的合成
测量一圆柱体的体积时，可以通过测量高和圆柱直径来计算，要求测量的体积的相对误差为1%，试确定直径D和高度h的测量精度（已 知直径和高度的公称值为D=20mm，h=50mm） 若已给定σ y，需确定Di或相应的σi，使满足
按等作用（各部分误差的影响相同）原
则分配误差：
即：
故：
误差
已定系统误差 未定系统误差 随机误差
若已给定σ y，需确定Di或相应的σi，使满足 2、当个部分误差一定时，相应的测量值的误差与传递系数成反比，故其相应测量值的误差并不相等 式中，Di为函数的部分误差， 1、按等作用原则分配误差可能会出现不合理的情况，有时候会导致某些测量值的精度需要高精度的仪器和更大的劳动（近视比较重的
或：
其中： δ是函数的总极限误差，δi是各单项误差的极限误差
按可能性调整误差：
1、按等作用原则分配误差可能会出现不合理 的情况，有时候会导致某些测量值的精度需 要高精度的仪器和更大的劳动（近视比较重 的可能需要再配一副眼镜）才能保证
2、当个部分误差一定时，相应的测量值的误 差与传递系数成反比，故其相应测量值的误 差并不相等
第五节误差分配
Hale Waihona Puke 误差的合成 和分配函数误差的计算 随机误差的合成
系统误差的合成
系统误差与随机 误差的合成
误差的合成与分解1相对测量时需用54255mm的量块组做
第3章 误差的合成与分解3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为：140l mm =，140l mm =，212l mm =，3 1.25l mm =，4 1.005l mm =。
经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分10.7l m μ∆=-，20.5l m μ∆=+，30.3l m μ∆=-，40.1l m μ∆=+；lim 10.35l m δμ=±，lim 20.25l m δμ=±，lim 30.20l m δμ=±，lim 40.20l m δμ=±。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
【解】量块组的关系为：1234L l l l l =+++，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。
已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。
12340.70.50.30.10.4L l l l l m μ∆=∆+∆+∆+∆=-+-+=-所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E 为：(0.4)0.4E L m μ=-∆=--= 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：lim 0.515L m δμ===±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6a mm =，44.5b mm =，11.2c mm =，已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=，0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为0.8a mm δ=±，0.5b mm δ=±，0.5c mm δ=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
【解】立方体体积： V=abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：0161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯=体积V 的系统误差为：31.20.80.5161.644.511.2[]80541.44()2745.744()V V V a b ca b c a b c V a b c abc mm ∂∂∂∆∆∆∂∂∂-∆=∆+∆+∆=++=++=考虑测量系统误差后的立方体体积：3077795.69677795.70()V V V mm =-∆=≈ 又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：lim 33729.1()V mm δ=====±故测量结果为：3lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±3-3 长方体的边长分别为1a 、2a 、3a ，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为1σ、2σ、3σ。
第三章误差的合成与分配
系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差
(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差
i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
误差理论第三章误差合成与分配
f xn xn
f 其中， i 1, 2, , n 为各个直接测量值的误差传递系数。 xi 1) 当函数形式为线性公式：y a1 x1 a2 x2 an xn
2）当函数为三角函数时： sin f x1 , x2 , 的系统误差为： sin 而角度系统误差为：
5
则函数y的随机误差为： y1
f f x11 x21 x1 x2 f f x12 x22 x1 x2
f xn1 xn f xn 2 xn
y2
f f yN x1N x2 N x1 x2
同理其它三角函数的角度系统误差为： 对 cos f x1 , x2 , 1 , xn , sin
f xn xn
f xn xn
f x1 x1
4
对 tan f x1 , x2 , 对 cot f x1 , x2 ,
Байду номын сангаас
2
§3-1 函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它 量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量 是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各 个直接测量值的函数，即函数误差。
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y =f x1 , x2 , , xn ,
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量按照已知的函数关系式计算出被测的量因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数而间接测量误差则是各个直接测量值的函数即函数误差
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, xn xn )
得到
f f y x1 x2 x1 x2
f xn xn
函数标准差计算
或 y
（3-2）
2, , n) f xi (i 1, 为各个输入量在该测量点 误差传递系数 ( x1 , x2 , , xn )
处的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
xi 和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
2
2
或 令 则
f ai xi
f f 2 y x12 x2 x1 x2
（3-14）
y a12 x12 a22 x 22
ρ ij=0
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
y2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
2
2
f 2 xn xn
f 2 xn xn
y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy f f f dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
（3-1）
函数系统误差计算公式
• 若已知各个直接测量值的系统误差⊿x1，⊿x2，…， ⊿xn 由 y 的全微分，函数系统误差 ⊿y的计算公式
y f f f x1 x2 ... xn x1 x2 xn
函数误差的概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
, xn x1 , x2 , 与被测量有函数关系的各个直接测量值
• 5.计算系统误差值
将已知各误差值及误差传递系数代入直径的系统误差式，得
• 6.给出测量结果
通过修正可消除所求得的直径系统误差△D，则被测直径的实际尺寸为
例２
•
用量块组做标准件的测量
相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组 由四块量块研合而成，它们的基本尺寸如下：
已知各尺寸偏差及其测量极限误差分别为
2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2
2
n f f f 2 ij xi xj xn 2 1i j xi x j xn
2
xi xi 第i个直接测得量 的标准差
线性函数的系统误差计算
函数形式为线性关系的函数系统误差为
（3-3）
线性关系的函数式中的各个误差传递系数ai为常数。
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
正弦函数的系统误差计算公式
函数 系统误差 （3-5）
因
则有
（3-6） 同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。
例1 用弓高弦长法间接测量大直径D
• 如图所示，直接测得其弓高h和弦长s，然后通过函数关 系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及其 系统误差为
求测量结果。
求解：
• 1. 建立函数关系式
• 2.计算直径D0值 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径D0为
3.计算直径D的系统误差
直径D的系统误差公式为
• 4.计算各误差传递系数值
对于式(3—1)
若以各测量值的随机误差δ1，δ2，…．δn代替各微分 量dx1，dx2，…，dxn只能得到函数的随机误差δy， 而得不到函数的标准差σy。
函数随机误差的数学模型
数学模型
函数的一般形式
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
变量中只有随机误差 即： y y f ( x1 x1 , x2 x2 , 泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
( x1 , x2 , , xn )
f xi 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 y xi
处的误差传递系数
相关系数的讨论
若定义
•
若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时， 相关项
则有
本章重点和难点
★函数系统误差和函数随机误差的概念 ★随机误差的合成 ★未定系统误差和随机误差的合成 ★误差分配 ★微小误差取舍准则 ★最佳测量方案的确定 重点掌握：函数误差的计算方法； 掌握：误差和成方法及系统误差与随机误差的 异同点；
了解：误差分配的基本步骤。
第一节 函数误差
• 前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题， 但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进 行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度， 需要采用间接测量。 • 间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一 定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计 算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所 得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是 各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函 数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究 误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误 差计算，也有称之为误差合成。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量 带来的测量误差？
解：量块组尺寸的系统误差为
故量块组按基本尺寸使用时的修正值为－0.4μm
使用该量块组做相对测量带来的测量误差为
故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出±0.５１μm
二、函数随机误差计算
• 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的， 对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。 因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各 测量值的标准差之间的关系。