2011年全国初中数学联赛试卷及解答

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知2=+b a ，

4)1()1(2

2-=-+-a

b b a ，则ab 的值为 （ ）

A ．1.

B ．1-.

C ．2

1

-. D ．21.

【答】B.

由

4)1()1(2

2-=-+-a

b b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-， 即04)(2)(3

322=++++-+ab b a b a b a ，

即2

2

2

2

22()2()40a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1-=ab ．

2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条

高线长的最大值为 （ ）

A ．5.

B ．6.

C ．7.

D ．8. 【答】B.

设△ABC 的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为h

S

S S 2,

202,52．显然

20

252S

S >

，于是由三边关系，得 ⎪⎩⎪⎨⎧>+>+,

25

2202,522202h S S S S h S S 解得320

4<

3

．

方

程

)

2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为

（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答】C.

当1||≥x 时，方程为)2)(324(12

+-=-x x ，即0349)324(2=+---x x ，

解得1x =

24x =-，均满足1||≥x ．

当1||

+-=-x x ，即0347)324(2=-+-+x x ，

解得32x =，满足1||

综上，原方程有3个解．

.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，

由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）

A ．5组.

B ．7组.

C ．9组.

D ．11组. 【答】C.

显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．

又因为45921=+++ ，所以正方形的边长不大于45

[

]114=．由于 4352617+=+=+=； 5

362718+=+=+=；

546372819+=+=+=+=；

64738291+=+=+=+； 65748392+=+=+=+．

所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，

有5种方法。

故满足条件的“线段组”的组数为1×4＋5＝9． 5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE

（

）

A ．21+.

B ．6.

C ．132-.

D ．31+. 【答】 D.

过F 作AB 的垂线，垂足为H ．∵︒=∠60DAB ，2=-=FD AD AF ， ∴︒=∠30AFH ，1=AH ，3=

FH ，

又∵︒=∠15EFG ，

∴EFG AFH AFG EFH ∠-∠-∠=∠︒=︒-︒-︒=45153090， 从而△FHE 是等腰直角三角形，所以HE ＝FH

， ∴ 31+=+=HE AH AE ． 6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则z

y x 432++的值为 （ ）

H

C

E

A ．1.

B ．23.

C ．2.

D ．2

5. 【答】C. 由已知等式得

2=+++z y x zx xy ，3=+++z y x xy yz ，4=+++z y x yz zx ，所以2

9=++++z y x zx yz xy ．

于是，

25=++z y x yz ，23=++z y x zx ，21=++z y x xy ．所以 35=x y ，3=y z ，3

5=x y ，

即x y z 53==。

代入

2111=++z y x ，得2153511=++x x x ，解得10

23=x ． 所以

2523543

532432==++=++x x x x z y x ．

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A ． 【答】 15︒。

延长AB 到D ，使BD ＝BC ，连线段CD ，则1

2

D BCD ABC A ∠=∠=∠=∠，所以CA ＝CD 。

作AB CE ⊥于点E ，则E 为AD 的中点，故

111

()(22)2222

AE DE AD AB BD ==

=+=+=+

(2(2BE AB AE =-=+-+=在

Rt △BCE

中

，cos 2

EB EBC BC ∠=

=，所以30EBC ∠=︒，故 ︒=∠=

∠152

1

ABC A ． 2．二次函数c bx x y ++=2

的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．

【答】 2．

D

E B