高中数学-定积分的概念测试
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．12201x dx -=⎰（ ）A ．12πB ．3128π+ C ．368π+ D ．364π+2．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．43．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．24．设1130,,a xdx b xdx c x dx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>5．对于函数()sin x f x x =， 30,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 在区间()0,π是单调函数 B ．函数()f x 只有1个极值点 C ．函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有极大值 D ．函数()f x 有最小值，而无最大值 6．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 7．定积分220[4(2)]x x dx --⎰的值为（ ）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-8．())122011d x x x --⎰的值是（ ）A ．π143- B ．π14- C ．π123- D ．π12-9．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y = ）A ．18B ．16C ．13D ．1210．函数()2,02x x f x x -<⎧⎪=≤≤，则22()f x dx -⎰的值为（ ）A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．811．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值12．=⎰（ ）A ．1B ．4π C ．2π D ．π二、填空题13．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．14．)2x dx =⎰______.15．设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=________ 16．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.17．曲线2yx x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.18．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 19．()40sin cos 2x a x dx π-=⎰，则实数a =____________. 20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(0)0f =，且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()'()g x f x f x λ=-，其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈，函数()y g x =的图象恒在x 轴上方，求实数λ的取值范围.22．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值． 23．已知函数2()11xf x x =++，2()e (0)ax g x x a =<． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若对任意1x ，2[0,2]x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．24．设函数()32,0{,0xx x x f x axe x ->=≤，其中0a >. （1）若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； （2）若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 25．计算下列各式的值． （1） ()0sin cos d x x x π-⎰；（2）2132d x x x +-⎰．26．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．3．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 4．D解析：D 【解析】根据微积分定理，3120022|33a x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，13410011|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。
定积分定义计算例题
定积分定义计算例题定积分是高中数学中比较重要的一个概念，也是数学中的一个重要工具。
下面是一些定积分的定义和计算例题：1. 定积分的定义：定积分是指在一定区间内，曲线和坐标轴之间的面积。
表示为：$int_a^bf(x)dx$。
其中，$a$和$b$是积分区间的两个端点，$f(x)$是被积函数。
2. 定积分的计算方法：(1) 划分区间：将积分区间分成若干个小区间。
(2) 求出每个小区间的面积：用等式$S=frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_2-x_1)$求出每个小区间的面积。
(3) 将每个小区间的面积相加：$int_a^bf(x)dx=sum_{i=1}^nfrac{1}{2}(y_i+y_{i+1})(x_{i+1}-x _i)$。
3. 计算例题：例1：计算$int_0^{pi/2}sin x dx$。
解：因为$sin x$在区间$[0,pi/2]$上单调递增，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。
设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=ifrac{pi}{10}$，$x_{i+1}=(i+1)frac{pi}{10}$。
每个小区间的面积为：$frac{1}{2}(sin x_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}$将每个小区间的面积相加，得到：$int_0^{pi/2}sin x dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}(sinx_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}approx1$例2：计算$int_0^1frac{1}{1+x^2}dx$。
解：因为$frac{1}{1+x^2}$在区间$[0,1]$上单调递减，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。
设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=icdot0.1$，$x_{i+1}=(i+1)cdot0.1$。
每个小区间的面积为：$frac{1}{2}left(frac{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right) cdot0.1$将每个小区间的面积相加，得到：$int_0^1frac{1}{1+x^2}dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}left(fra c{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right)cdot0.1approx0.78$。
高中数学 定积分 试题及解析
高中数学定积分试题一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣13．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1 6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e+C．e﹣D．e+19．定积分（+x）dx＝（）A．+B．C．+1D．10．若a＝（x+1）dx，b＝cos xdx，c＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．812．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜014．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．102415．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．816．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e17．直线y＝x与曲线y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．18．若函数f（x）＝A sin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B．C．1﹣D．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A．e2﹣1B．e2﹣C．e2﹣D．e2﹣21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A．B．C．D．﹣1 22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A．B．C．D．24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A．B．C．D．25．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B．C．D．026．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C．D．27．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A．B．C．D．828．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A．B．C．D．929．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝．34．计算定积分＝．35．（e x+2x）dx＝．36．计算：dx＝．37．若，则a＝．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是40．计算定积分sin xdx＝．41．定积分＝．42．的值为．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝．50．计算2xdx＝．参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π【分析】对2和分别积分，结合定积分的几何意义求解即可．【解答】解：＝+，而表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆在[0，2]部分的面积，故＝+＝2x+＝4+π，故选：A．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣1【分析】根据定积分的计算方法直接求解即可．【解答】解：＝（x﹣lnx）＝（e﹣1）﹣（1﹣0）＝e﹣2，故选：A．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．3．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．【分析】根据函数|1﹣x2|为偶函数，将原式转化为[0，2]上的定积分，再分别转化为[0，1]和[1，2]上分别积分即可．【解答】解：∵函数|1﹣x2|为偶函数，∴|1﹣x2|dx＝2＝2+2＝2（x﹣）|+2（）|＝4．故选：B．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．【分析】画出图象，利用定积分求出即可．【解答】解：＝b﹣＝，b＝1，故b＝1，把b＝1代入f（x）＝x2（x＞0），得a＝1，故选：C．【点评】考查定积分的应用，基础题．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1【分析】由定积分公式，求解．【解答】解：，故选：D．【点评】本题考查定积分，属于基础题．6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用定积分求出阴影面积，再求出概率．【解答】解：阴影部分的面积m＝，矩形的面积为n＝3，故阴影部分概率为，故选：B．【点评】考查了几何概型和用定积分求面积，基础题．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．【分析】依题意，＝（﹣x+2）dx+，根据定积分的几何意义，表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，计算即可．【解答】解：依题意，＝（﹣x+2）dx+其中表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，如图，所以＝（﹣x+2）dx+＝（2x﹣）|+＝，故选：C．【点评】本题考查了定积分的计算，定积分的几何意义，属于基础题．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e +C．e ﹣D．e+1【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：利用定积分的关系式的应用求出结果，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9．定积分（+x）dx＝（）A ．+B ．C ．+1D ．【分析】直接利用定积分的运算和几何意义的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．若a ＝（x+1）dx，b ＝cos xdx，c ＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】直接利用定积分和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：a ＝（x+1）dx ＝．b ＝cos xdx ＝，c ＝e x dx ＝所以：c＞a＞b故选：C．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．8【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（x2+2x ），进而计算可得答案．11【解答】解：根据题意，＝（x2+2x ）＝（4+4）﹣（4﹣4）＝8；故选：D．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式，属于基础题．12．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意分析，封闭图形面积即为（x+3）﹣（x2+1）在x＝﹣1到x＝2上定积分的值．【解答】解：令x+3＝x2+1，得x1＝﹣1，x2＝2，则S ＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查定积分的基本定理，涉及定积分的计算，属于基础题．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x ）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜0【分析】由定积分，微积分基本定理可得：f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，得解．【解答】解：如图，g（x ）＝f（t）dt ＝﹣，因为x∈（﹣1，0），12所以t∈（﹣1，0），故f（t）＞0，故f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，故选：B．【点评】本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题．14．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．1024【分析】由定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数得a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，得解【解答】解：因为a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，故选：C．【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数，属基础题．15．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．8【分析】联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），解得A（2，4），B（2，﹣4），由曲线，以及直线l：x＝2围成的封闭图形面积S，即可判断出正误．【解答】解：联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），所以曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为：S ＝＝＝2x2＝2×22﹣2×02＝8，13故选：D．【点评】本题主要考查积分的应用，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．16．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x ＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：根据封闭图形的组成，所以：＝＝．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17．直线y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．【解答】解：y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积S ＝＝＝．14故选：D．【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属基础题．18．若函数f（x）＝A sin（ωx ﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B ．C．1﹣D ．【分析】先求出f（x）的解析式，以及对应的零点，积分即可．【解答】解：依题意A＝1，＝＝π，∴T＝2π，ω＝＝1，∴f（x）＝sin（x ﹣），故当x ＝时，f（x）＝0．∴阴影面积为＝＝cos（x ﹣）|＝1﹣．故选：C．【点评】本题考查了正弦型函数的图象，定积分，主要考查计算能力，属于基础题．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A ．B ．C ．D ．15【分析】由题意利用积分法求出由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积．【解答】解：由题意，令S ＝x2dx ＝x 3＝×（1﹣0）＝，∴由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S ＝．故选：B．【点评】本题考查了定积分的几何意义与应用问题，是基础题．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A ．e2﹣1B ．e2﹣C ．e2﹣D．e2﹣【分析】先求出曲线与直线的交点，设围成的平面图形面积为S，利用定积分求出S 即可．【解答】解：由题意，曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形如图所示∴S ＝＝（）＝﹣＝故选：A．【点评】本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．﹣1【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．16【解答】解：由，解得或，则曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为S ＝（﹣x2）dx ＝（﹣x3）＝（﹣）﹣0＝，故选：C．【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【分析】根据题意，由定积分定理，可得汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt ＝（+t ）＝5.5；故选：C．【点评】本题考查了微积分基本定理，关键是理解定积分的几何意义．23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先计算出曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积，然后求出曲线y＝﹣x2﹣x与直线y＝kx的交点坐标，然后利用定积分计算直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x围17成区域的面积，等于曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积的一半，列方程求出k 的值．【解答】解：曲线y＝﹣x2﹣x与x轴交于（﹣1，0）和原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成的平面区域的面积为，联立，解得或，即直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x交于点（﹣k﹣1，﹣k2﹣k）和坐标原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x位于直线y＝kx上方区域的面积为＝＝，解得，故选：D．【点评】本题考察利用定积分计算曲边三角形的面积，关键在于积分函数与积分区间，属于中等题、24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，画出图象确定所求区域，结合定积分的几何性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图所示，阴影部分为曲线y＝x2与y＝x所围成的图形，其面积S＝S△ABO﹣S曲边梯形ABO ＝（x﹣x2）dx；故选：A．【点评】本题考查定积分的几何意义，要注意明确被积函数和积分区间．1825．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B ．C ．D．0【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为﹣1的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：联立方程可得，解得x＝﹣1，0，1，∴直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积S＝2（x﹣x3）dx＝2（）＝2（﹣）＝，故选：C．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．26．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C ．D ．【分析】确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．【解答】解：由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx＝（3x ﹣x3﹣x2）＝（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）＝，故选：C．19【点评】本题考查定积分求面积，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．27．由曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A ．B ．C ．D．8【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2与直线y＝6x围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由解得，∴曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积S ＝﹣（x ﹣2）dx ＝﹣（）＝﹣2＝．故选：A．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．28．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A ．B ．C ．D．9【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的面积，即可求得结论．【解答】解：由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3联立，解得y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是S ＝（﹣x2﹣2x+3）dx ＝（﹣x3﹣x2+3x ）＝．故选：B．【点评】本题给出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3，求它们围成的图形的面积，着重考查了20定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题．29．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【分析】由物理学知识知，变力F（x）所作的功对应“位移﹣力”只要求W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx，进而计算可得答案．【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx＝∫12（5﹣x2）dx＝（5x﹣x3）|12＝故选：C．【点评】本题属于物理学科的题，体现了数理结合的思想方法，属于基础题．30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx【分析】由圆的方程求得y关于x的解析式，再求出x的取值范围，根据圆的对称性和定积分的几何意义，写出圆的面积表达式．【解答】解：由圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0），得y＝±，由（x﹣a）2≤r2，解得a﹣r≤x≤a+r；根据圆的对称性和定积分的几何意义，计算圆的面积为S圆＝2dx．故选：D．【点评】本题考查了圆的方程与定积分的应用问题，是基础题．31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx【分析】由题意结合定积分的几何意义整理计算即可求得最终结果．【解答】解：定积分表示曲边梯形的面积，位于x轴上方为正面积，位于x轴下方为负面积，据此可得：由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积是．故选：C．【点评】本题考查定积分的几何意义及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．【分析】首先确定所给数据中唯一曲边三角形的点的个数，然后利用频率近似概率，结合几何概型求解曲边三角形的面积即可．【解答】解：由表可知，向矩形区域{（x，y）|1⩽x⩽e，0⩽y⩽1}内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其横坐标分别为2.5，1.22，2.52，2.17，1.89，2.22其频率为．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为．故选：D．【点评】本题考查了蒙特卡洛模拟的方法，频率值近似为概率值，将古典概型与几何概型联系起来即可，属于常考题目．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝1+．【分析】cos xdx可以直接积分，dx根据几何意义积分即可．【解答】解：dx表示单位圆在[0，1]上的部分的面积，即个单位圆的面积，∴cos xdx+dx＝sin x+＝1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．34．计算定积分＝．【分析】＝dx﹣dx，前式根据定积分的几何意义求解，后式直接积分即可得到所求．【解答】解：＝dx﹣dx，dx表示半圆y＝在[0，1]上部分的面积，即个单位圆的面积，∴＝dx﹣dx＝﹣x＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．35．（e x+2x）dx＝e2+3．【分析】直接利用定积分运算法则求解即可【解答】解：（e x+2x）dx＝e2﹣1+（22﹣0）＝e2+3，故答案为：e2+3【点评】题考查定积分的运算法则的应用，考查计算能力36．计算：dx＝π﹣．【分析】根据定积分的几何意义，结合圆的知识求解即可．【解答】解：依题意，dx表示半圆y＝，在x＝1和x＝2之间的部分与x轴围成的区域的面积，如图中阴影所示，依题意，△AOB为等边三角形，故B的纵坐标为∴dx＝π×22﹣＝π﹣，故答案为：π﹣．【点评】本题考查了定积分的求法，考查定积分的几何意义，主要考查计算能力和直观想象，属于中档题．37．若，则a＝2．【分析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值．【解答】解：若，则，即，所以a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：将直线方程与曲线方程联立可得，所以正直线y＝x和抛物线y＝﹣x2+2x交点坐标为（0，0），（1，1），结合图象可知围成的封闭图形的面积为．故答案为：．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．本题属于基础题．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是【分析】根据定积分的几何意义和积分法则求解即可．【解答】解：根据定积分的几何意义，由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是：S＝＝＝﹣0＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了定积分的几何意义与计算问题，是基础题．40．计算定积分sin xdx＝2．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得sin xdx＝（﹣cos x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，sin xdx＝（﹣cos x）＝cos0﹣cosπ＝2；故答案为：2．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．41．定积分＝+e．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（+e x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，＝（+e x）＝（+e）﹣（0+1）＝+e，故答案为：+e．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．42．的值为8π．【分析】利用定积分性质和圆的面积求出即可．【解答】解：根据定积分的性质，y＝sin3x为奇函数，在[﹣4，4]图象关于原点对称，定积分为0，y＝在x∈[﹣4，4]的面积为以（0，0）为圆心，半径为4的圆的面积的一半，故为8π，故答案为：8π．【点评】本题考查定积分的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为3﹣2ln2．【分析】求出曲线，直线y＝2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．【解答】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为＝（x2﹣2lnx）＝3﹣2ln2．故答案为：3﹣2n2．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．【分析】联立直线和抛物线，可得交点坐标，对y积分即可求得面积．【解答】解：联立y2＝x与y＝x﹣2可得，直线与抛物线的交点为（1，﹣1），（4，2），根据定积分的意义，图象所围成的阴影部分面积：S＝＝（）＝，故答案为：．【点评】本题考查了定积分的应用，定积分的几何意义，属于基础题．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为1．【分析】根据定积分的几何意义求解即可．【解答】解：依题意，令e+1＝e x+1，得x＝1，所以直线x＝0，y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的区域的面积为S＝＝＝（ex﹣e x）|＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的计算，属于基础题．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．【分析】计算出阴影面积，圆的面积，代入几何概型的概率计算公式即可．【解答】解：依题意，图中阴影面积为S＝2＝﹣2cos x|＝4，而圆的面积为S'＝π×π2＝π3，所以圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，圆的方程与面积，几何概型的概率计算，属于基础题．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．【分析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积【解答】解：由曲线y＝与直线y＝2x﹣1构成方程组，解得，由直线y＝2x﹣1与y＝0构成方程组，解得；∴曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为：S＝dx﹣（2x﹣1）dx＝﹣（x2﹣x）＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的计算问题，关键是求出积分的上下限，是基础题．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为e e﹣2e．【分析】运用定积分知识计算围城曲边梯形的面积可得结果．【解答】解：根据题意得，联立得；∴S＝＝e e﹣e﹣e（lne﹣ln1）＝e e﹣2e故答案为e e﹣2e．【点评】本题考查由定积分计算围成图形的面积．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝±6．【分析】求出直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）的两个交点，确定被积函数和被积区间，利用定积分可求出围成的封闭区域的面积，即可求出k的值．【解答】解：当k＞0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1上方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为＝k，得k ＝6；当k＜0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1下方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为，得k＝﹣6．故答案为：±6．【点评】本题考查利用定积分来计算面积，解决本题的关键是确定被积函数和被积区间，属于中等题．50．计算2xdx＝8．【分析】直接根据定积分的计算法则即可．【解答】解：2xdx＝x2＝32﹣12＝8，故答案为：8【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B．6C ．13D ．232．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．33．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 4．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．15．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-26．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）A ．1-或12-B ．1或12-C ．12-D ．17．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ） A ．240 B ．240-C ．60-D ．608．定积分2]x dx ⎰的值为（ ）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-9．设曲线e xy x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e--B ．2e 2e 4e-C ．2e e 14e--D ．2e 14e-10．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3B ．32ln 2+C ．223e -D ．e11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．4B．2 C．43D．2312．由曲线4y x=，1yx=，2x=围成的封闭图形的面积为()A．172ln22-B．152ln22-C．15+2ln22D．17+2ln22二、填空题13．()222sin4x x dx-+-=⎰______.14．由曲线xy e x=+与直线0,1,0x x y===所围成图形的面积等于________．15．曲线()sin0πy x x=≤≤与x轴围成的封闭区域的面积为__________．16．如图所示，则阴影部分的面积是 .17．1321(tan sin)x x x x dx-++⎰的值为______________________18．定积分()12xx e dx+=⎰__________．19．定积分()12xx e dx+=⎰__________．20．若()()4112ax x-+的展开式中2x项的系数为4，则21aedxx=⎰________________三、解答题21．已知函数()3812f x x x=+-.（1）求()f x的单调区间；（2）求函数()y f x =的极大值和极小值. 22．已知函数21()ln (1)12f x x ax a x =-+-+． （1）当1a =时，）求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）求函数()f x 在[]1,2x ∈时的最大值． 23．计算： （1）710C （2）()22224x x dx -+-⎰24．已知曲线C ：322321y x x x =--+，点1(,0)2P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.25．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围.26．已知函数f （x ）=3sin 2x cos 2x +cos 22x +m 的图象过点（56π，0）．（1）求实数m 值以及函数f （x ）的单调递减区间；（2）设y=f （x ）的图象与x 轴、y 轴及直线x=t （0＜t ＜23π）所围成的曲边四边形面积为S ，求S 关于t 的函数S （t ）的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力2．A解析：A【解析】由题意，得()13ln32n x f x nx-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以1n =；故选A.3．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．4．B解析：B【解析】因为1y k x'=+,所以10,1k k +==- ,选B. 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5．C解析：C 【详解】233003|aat dt t a ==⎰，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==故选：C6．B解析：B 【解析】试题分析：解：∵3304S xdx =⎰=18，,∴a 1+a 2=32a q (1+q)=12，⇒2q 2-q-1=0，⇒q=1或q=12-，故选B考点：等比数列的前n 项和, 定积分的基本运算点评：本题考查等比数列的前n 项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．7．D解析：D 【解析】试题分析：242a =-=-，62122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()()662112366112222rrrrr r rC x x C x----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1230,4r r -==，系数为()244612602C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.考点：定积分、二项式定理．8．B解析：B 【解析】试题分析：由定积分的几何意义有⎰表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆的14部分，而20xdx ⎰表示的是直线y x =，0,2,x x x ==轴所围成的面积，故2]x dx ⎰表示的图形如下图的阴影部分，面积为221122242ππ⨯-⨯=-.故选B.考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简.9．D解析：D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112x x S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.10．A解析：A 【解析】如图所示，曲边四边形OABC 的面积为11121212ln 12(ln ln1)1232eedx x e x ⨯⨯+=+=+-=+=⎰.故选A.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．11．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.12．B解析：B 【解析】 【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =，所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰，故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分【详解】因为故答案为2π【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分属于基础题 解析：2π【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分． 【详解】因为(222222sin sin 022x dx xdx ππ---+=+=+=⎰⎰⎰故答案为2π． 【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分，属于基础题.14．【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝(ex ＋x)dx 由牛顿莱布尼茨公式可得到答案【详解】根据定积分的几何意义得到面积S ＝(ex ＋x)dx ＝故答案为【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义以及常见函数解析：12e -【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ＝210111|1.222xe x e e ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭ 故答案为1.2e - 【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.15．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.16．【解析】试题分析：由题意得直线与抛物线解得交点分别为和抛物线与轴负半轴交点设阴影部分的面积为则考点：定积分在求面积中的应用【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用其中解答中根据直线方 解析：323【解析】试题分析：由题意得，直线2y x =与抛物线23y x =-，解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，抛物线23y x =-与x轴负半轴交点(，设阴影部分的面积为S，则1220(32)(3)S x x dx xdx =--+-⎰2332)xdx x dx ---+-⎰532933=+-． 考点：定积分在求面积中的应用．【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．17．0【解析】因为f(x)=x3+tanx+x2sinx−1⩽x ⩽1所以f(−x)=−x3−tanx−x2sinx=−f(x)所以f(x)为奇函数解析：0 【解析】因为f (x )=x 3+tanx +x 2sinx ，−1⩽x ⩽1 所以f (−x )=−x 3−tanx −x 2sinx =−f (x )， 所以f (x )为奇函数，21310x tanx x sinx dx -⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭⎰. 18．e 【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析：e 【解析】121212000(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰.点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．19．e 【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析：e 【解析】1212120(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．20．【解析】由题意得项的系数为所以点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系数可由某项得出参数项 解析：ln51-【解析】由题意得2x项的系数为221445224,2C aC a ⋅-⨯==，所以5225152ln |ln ln ln5 1.222e e dx x e x ==-=-⎰ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.三、解答题21．（1）22x -<<;（2）()()28f x f 极小值=-=-或()()224f x f ==极大值【解析】试题分析：（1）求出()f x '，求出()0f x '=，即可得到()f x 的单调区间；（2）由（1）可知，当2x =-时，()f x 有极小值，当2x =时，()f x 有极大值 试题∵()3812f x x x =+-，∴()()234f x x ='-，（1）由()0f x '<，解得2x >或2x <-； 由()0f x '>，解得22x -<<.所以，()f x 在()2,2-上单调递增，在(),2-∞-，()2,+∞上单调递减. （2）由（1）知，当2x =-时，()f x 有极小值，()()28f x f =-=-极小值， 同理，当2x =时，()()224f x f 极大值==.22．（1）32ln 22y x =-++（2）max 143ln 2,211()ln ,12232,12a a f x a a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()2f '，再根据点斜式可得切线方程；（2）先研究导函数符号变化规律：当12a ≤时，为正；当112a <<时，先正后负；当1a ≥时，为负，对应确定单调性，进而确定函数最值试题解：（1）当1a =时，()21ln 12f x x x =-+ ∴()1f x x x'=- ∴()322f '=-，即32k 切=- 已知切点为()2,1ln2-+ ∴切线的方程为：32ln22y x =-++ （2）∵()()()21112ax a x f x x x-+-+≤'=≤当0a ≤时，()0f x '>在[]1,2x ∈恒成立 ∴()f x 在[]1,2x ∈单调递增∴()()max 243ln2f x f a ==-++ 当102a <≤时，()f x 在[]1,2x ∈单调递增 ∴()()max 243ln2f x f a ==-++ 当112a <<时，()f x 在11,x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在1,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减 ∴()max 11ln 2f x f a a a⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 当1a ≥时，()f x 在[]1,2x ∈单调递减 ∴()()max 3122f x f ==-+ 综上所述()max 1432,211,12232,12a ln a f x lna a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩23．(1)120；(2)2π 【分析】（1）根据组合数的对称性计算；（2）将括号中内容拆分，一部分按定积分性质计算，另一部分使用定积分几何意义计算. 【详解】 （1）7310101098C =C ==1203⨯⨯！； （2）(222222=2x dx xdx ---+⎰⎰⎰，其中222xdx -⎰中()2f x x =是奇函数，所以 2220xdx -=⎰；2-⎰表示圆心在原点半径等于2的圆在x 轴上方的面积，故(2222242=2022x dx xdx ππ---++=+=⎰⎰⎰. 【点睛】 （1）计算()aaf x dx -⎰（0a >）时，若()f x 为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰；若()f x 为偶函数，则()2()2()aaaaf x dx f x dx f x dx --==⎰⎰⎰.（2）组合数对称性：C =C ()mn mn n m n -≤.24．2732. 【解析】试题分析：先根据导数的几何意义求得曲线在点P 处的切线，然后画出草图，结合图形得到被积函数和积分区间，最后由定积分求得图形的面积． 试题∵322321y x x x =--+， ∴2662y x x =--'．设切点为00(,)A x y ，则0200|662x x y x x =-'=-， ∴所求切线方程为20000(662)()y y x x x x -=---， 即，∵切线过点P （），∴ ， 整理得，解得，∴01y =， ∴点(0,1)A ．故切线方程为12(0)y x -=--，即． 由，解得．∴点B 的坐标为（）．画出图形如图所示．∴切线l 与C 围成的图形的面积333223232432000127[(12)(2321)](23)()|232S x x x x dx x x dx x x =----+=-+=-+=⎰⎰． 点睛：利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案． 25．(1)单调增区间为(ln 2,)+∞，单调减区间为(,ln 2)-∞.(2)1[0,]2e -. 【解析】试题分析：(1)求出函数的导数()2xh x e '=-,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)函数的导数,通过讨论m 的范围得到函数的值域,从而确定m 的具体范围即可. 试题（1）()()()()21,2xxh x f x g x e x h x e =-=--=-'.由()0h x '>得ln2x >，由()0h x '<得ln2x <.所以函数()h x 的单调增区间为()ln2,+∞，单调减区间为(),ln2-∞. （2）()xf x e e '=-.当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在区间(),1-∞上单调递减； 当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.1° 当1m ≤时，()f x 在(],m -∞上单调递减，值域为)1,me em ⎡--+∞⎣，()()2g x e x =-在(),m +∞上单调递减，值域为()(),2e m -∞-，因为()F x 的值域为R ，所以()12me em e m --≤-，即210m e m --≤.（*）由（1）可知当0m <时，()()2100mh m e m h =-->=，故（*）不成立.因为()h m 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,1上单调递增，且()()00,130h h e ==-<， 所以当01m ≤≤时，()0h m ≤恒成立，因此01m ≤≤.2° 当1m >时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在(]1,m 上单调递增，所以函数()1xf x e ex =--在(],m -∞上的值域为())1,f ⎡+∞⎣，即[)1,-+∞.()()2g x e x =-在（m ，＋∞）上单调递减，值域为()(),2e m -∞-.因为()F x 的值域为R ，所以()12e m -≤-，即112m e <≤-. 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是10,2e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 26．（1）12m =-，单调递减区间是42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）2()sin()(0)323s t t t ππ=-+<<．【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式降幂，化为y=162sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的形式，把点（56π，0）代入函数解析式求得m 的值，再代入函数解析式后利用复合函数的单调性求得函数f （x ）的单调递减区间；（2）对（1）中所求函数f （x ）求0到t 上的积分，即求被积函数f （x ）的原函数，代入积分上限和下限后作差得答案． 【详解】（1）f （x ）2x cos 2x +cos 22x +m=1122cosx m +++ =162sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． ∵f （x ）的图象过点（56π，0）， ∴510662sin m ππ⎛⎫+++=⎪⎝⎭，解得12m =-．∴f （x ）=6sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由322262k x k πππππ+≤+≤+，得42233k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ． 故f （x ）的单调递减区间是42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）由（1）得，f （x ）12sinx cosx +．∴012tS cosx dx ⎫=⎰+⎪⎪⎝⎭=01|2t sinx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=110022sint sin ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=32sin t π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．∴()32S t sin t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（203t π＜＜）． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
人教版数学高二《定积分的概念》 精品测试
《定积分的概念》金牌训练题一、选择题1．下列命题中不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛a －a f (x )dx ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛a －a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒为正，则⎠⎛ab f (x )dx >0 D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )dx >0，则f (x )在[a ，b ]上恒为正 解析：逐项验证(排除法)．A 中因为f (x )为奇函数，所以⎠⎛0a f (x )dx ＝－⎠⎛0－a f (x )dx ，即⎠⎛a －a f (x )dx ＝0，正确．B 中因为f (x )为偶函数，所以⎠⎛0a f (x )dx ＝⎠⎛0－a f (x )dx ，即⎠⎛a －a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx ，正确．C 项显然正确．故选D.答案：D2．下列结论中成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由定积分的概念知定积分就是一个极限值，而第i 个区间[i －1n ，i n]在n 趋向于无穷大时，取左右端点的函数值均可，故②③正确．答案：C3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )dx 的值是( )答案：D4．定积分⎠⎛ab f (x )dx 的大小( ) A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关答案：A5．下列值等于1的是( )A.⎠⎛01xdxB.⎠⎛01(x ＋1)dxC.⎠⎛011dxD.⎠⎛0112dx 答案：C6．曲线y ＝cos x ，x ∈[0，32π]与坐标轴围成的面积为( ) A ．4B ．2 C.52D ．3答案：D二、填空题 7．若cos xdx ＝1，则由直线x ＝0，x ＝π，曲线y ＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________．解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知y ＝sin x ，x ∈[0，π]的图象与x 轴围成的图形的面积是y ＝cos x ，x ∈[0，π2]的图象与x 轴围成的图形的面积的2倍，所以答案应为2. 答案：28．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 解析：由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成的面积为答案：答案：0三、解答题10．利用定积分的几何意义，求：解：(1) 的几何意义是圆x 2＋y 2＝4的面积的一半，其值为2π.(2)⎠⎛01xdx 的几何意义为直线y ＝x ，x ＝0，x ＝1和y ＝0围成的直角三角形的面积，其值为1211．已知⎠⎛0e xdx ＝e 22，⎠⎛0e x 3dx ＝e 44，计算下列定积分： (1)⎠⎛0e (2x ＋x 3)dx ； (2)⎠⎛0e (2x 3－x )dx .解：(1)⎠⎛0e (2x ＋x 3)dx ＝2⎠⎛0e xdx ＋⎠⎛0e x 3dx ＝e 2＋e 44. (2)⎠⎛0e (2x 3－x )dx ＝2⎠⎛0e x 3dx －⎠⎛0e xdx ＝e 42－e 22. 12．是否存在常数a ，使得的值为0，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．。
人教版高中数学选修2-2学业测评：1.5.3定积分的概念
学业分层测评(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．对于定积分 m＝2－1dx，以下说法正确的选项是() 31A．被积函数为 y＝－3x1B．被积函数为 y＝－31C．被积函数为 y＝－3x＋ C1 3D．被积函数为 y＝－3x1【分析】被积函数为 y＝－3.【答案】B2．(2016 ·菏泽高二检测 )已知定积分6f(x)dx＝8，且 f(x)为偶函数，则6f(x)dx0-6＝ ()A．0B．16C．12D．8【分析】偶函数图象对于 y 轴对称，故6＝6f(x)dx＝应选f(x)dx 216. B.-60【答案】B3．设 f(x)＝x2， x≥0，1 f(x)dx 的值是 ()则2x， x<0，-1A.1 x2dx-1B.1 2x dx-1C.21x x dx＋ 2 dx -10D.02x dx＋1x2dx-10【分析】被积函数 f(x)是分段函数，故将积分区间 [ －1,1]分为两个区间 [－1,0]和 [0,1] ，由定积分的性质知选 D.【答案】D4．以下各暗影部分的面积S 不能够用S＝b[f(x)－g(x)]dx求出的是()a【导学号： 60030035】【分析】定积分 S＝b[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与 g(x)之间a的暗影部分的面积，一定注意f(x)的图象要在 g(x)的图象上方，比较各选项，知D中 f(x)的图象不全在 g(x)的图象上方．【答案】 D5．定积分b f(x)dx的大小()aA．与 f(x)和积分区间 [a， b] 相关，与ξi的取法没关B．与 f(x)相关，与区间 [a，b] 以及ξi的取法没关C．与 f(x)以及ξi的取法相关，与区间 [a， b] 没关D．与 f(x)，积分区间 [a， b] 和ξi的取法都相关【分析】定积分的大小与被积函数以及区间相关，与ξi的取法没关．【答案】A二、填空题6．(2016 ·春高二检测长 )定积分3(－3)dx＝__________.1【分析】由定积分的几何意义知，定积分3(－3)dx 表示由 x＝1， x＝ 3 与 y＝－ 3，y＝01所围成图形面积的相反数．因此3(－3)dx1＝－ (2 ×3)＝－ 6.【答案】－67．定积分 2 －1|x|dx＝__________.-1215【分析】如图，|x|dx＝2＋2＝2.-1【答案】5 218．曲线y＝x与直线y＝ x， x＝ 2 所围成的图形面积用定积分可表示为________．2xdx－2121【分析】如下图，暗影部分的面积可表示为1x dx＝1x－x dx. 1【答案】21 x－x dx1三、解答题9．(2016 ·济南高二检测 )已知13123152274256 x dx＝4，1x dx＝ 4 ，1x dx＝3，x dx＝3 ，02求：(1) 23x3dx；(2)46x2dx；(3) 2(3x2－2x3)dx.011【解】(1)23233x dx＝3x dx 001323＝3x dx＋x dx011 15＝3 4＋ 4 ＝12.(2) 46x 2dx ＝6 4x 2dx112 242 7 56＝6x dx ＋x dx ＝ 6 ＝126.1 2 3＋3(3)2 3)dx ＝32 3 7 15 12(3x－2x 2x dx －22x dx ＝3× －2× ＝－ .11134210． 利用定积分的几何意义，求111－ x 2dx 的值．-1【解】y ＝ 1－x 2 － ≤≤ 表示圆 2＋y 2＝ 1 在 x 轴上方的半圆 (含圆与 x( 1 x 1) x轴的交点 )．依据定积分的几何意义，知12 21－ x dx 表示由曲线 y ＝1－x 与直-1线 x ＝－ 1，x ＝1，y ＝0 所围成的平面图形的面积，因此 1 1－x 2dx ＝S 半圆 ＝ 1π.-12[ 能力提高 ]1．(2016 ·冈高二检测黄)设曲线 y ＝x 2与直线 y ＝x 所围成的关闭地区的面积 为 S ，则以下等式建立的是 ()A ．S ＝ 1(x 2－x)dxB ．S ＝ 1(x － x 2)dxC ．S ＝ 1(y 2－y)dyD ．S ＝ 1(y － y)dy【分析】作出图形如图，由定积分的几何意义知，S ＝1 －2，(xx )dx选 B.【答案】 B2．已知和式 S ＝ p＋2p ＋3p ＋ ⋯＋n p1p ＋ 1(p>0)，当 n 向于 ∞ ， S 无穷 向于n一个常数 A ， A 可用定 分表示 ()【 学号： 60030036】A.11B. 1 px dxx dxC.1 p dxD. x pdx1 x1 n 01 1 p2 p3 p【分析】S ＝n n ＋ n ＋ n ＋ ⋯＋n p ＝ n i p 1，n n i ＝ 1 n∴ lim nip 1pn ·＝1x dx.n →∞i ＝ 1n 0【答案】B3．(2016 深·圳高二 )定 分2 0172 017 dx ＝________________.2 016【分析】由定 分的几何意 知，定 分表示由直x ＝ 2 016， x ＝ 2 017与 y ＝2 017，y ＝0 所 成矩形的面 ，因此2 017＝－ 2 016) ×2 017dx(2 0172 0172 016＝ 2 017.【答案】2 017x 3，x ∈ [－2， ，4．已知函数 f(x)＝2x ，[2，，求 f(x)在区 [－2,2 π]上的 分．cos x ， [ π，2π]，【解】由定 分的几何意 知23x dx ＝0，－ 2π＋－22xdx ＝2＝π－4，22πcos xdx ＝0. π由定 分的性 得2π＝23＋π＋2π2－4 f(x)dx x dx2xdx cos xdx＝π－2－ 22π。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念学业分层测评(含解析)新人教A版选修22
1.5.3 定积分的概念学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．关于定积分m ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫－13d x ，下列说法正确的是( ) A ．被积函数为y ＝－13xB ．被积函数为y ＝－13C ．被积函数为y ＝－13x ＋CD ．被积函数为y ＝－13x 3【解析】 被积函数为y ＝－13.【答案】 B2．(2016·菏泽高二检测)已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛-66f (x )d x ＝( )A ．0B ．16C ．12D ．8【解析】 偶函数图象关于y 轴对称，故⎠⎛-6 6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.故选B.【答案】 B3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x，x <0，则⎠⎛-11f (x )d x 的值是( )A. ⎠⎛-11x 2d xB. ⎠⎛-112xd x C. ⎠⎛-1 0x 2d x ＋⎠⎛012xd xD. ⎠⎛-102x d x ＋⎠⎛01x 2d x【解析】 被积函数f (x )是分段函数，故将积分区间[－1,1]分为两个区间[－1,0]和[0,1]，由定积分的性质知选D.【答案】 Db[f(x)－g(x)]d x求出的是( ) 4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影【解析】定积分S＝⎠⎛a部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方，对照各选项，知D中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．【答案】 Db f(x)d x的大小( )5．定积分⎠⎛aA．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)，积分区间[a，b]和ξi的取法都有关【解析】定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi的取法无关．【答案】 A二、填空题3(－3)d x＝__________.6．(2016·长春高二检测)定积分⎠⎛1【解析】由定积分的几何意义知，定积分3(－3)d x表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0⎠⎛13(－3)d x所围成图形面积的相反数．所以⎠⎛1＝－(2×3)＝－6.【答案】－62－1|x|d x＝__________.7．定积分⎠⎛-1【解析】 如图，⎠⎛-12|x |d x ＝12＋2＝52.【答案】 528．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．【解析】 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x .【答案】 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x三、解答题9．(2016·济南高二检测)已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .【解】 (1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.10．利用定积分的几何意义，求⎠⎛-1111－x 2d x 的值．【解】 y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆(含圆与x 轴的交点)．根据定积分的几何意义，知⎠⎛-111－x 2d x 表示由曲线y ＝1－x 2与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积，所以⎠⎛-111－x 2d x ＝S 半圆＝12π.[能力提升]1．(2016·黄冈高二检测)设曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x C ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y【解析】 作出图形如图，由定积分的几何意义知，S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ，选B.【答案】 B2．已知和式S ＝1p＋2p＋3p＋…＋npnp ＋1(p >0)，当n 趋向于∞时，S 无限趋向于一个常数A ，则A 可用定积分表示为( )A.⎠⎛011xd xB.⎠⎛01x pd xC.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1x pd x D.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x n p d x【解析】 S ＝1n ⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1n p＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n p ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n p＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n p ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i n p ·1n ，∴lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i n p ·1n ＝⎠⎛01x pd x .【答案】 B3．(2016·深圳高二检测)定积分⎠⎛2 0162 0172 017 d x ＝________________.【解析】 由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x ＝2 016，x ＝ 2 017与y ＝2 017，y ＝0所围成矩形的面积，所以⎠⎛2 0162 0172 017d x ＝(2 017－2 016)×2 017＝2 017.【答案】 2 0174．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[－2，2，2x ，[2，π，cos x ，[π，2π]，求f (x )在区间[－2,2π]上的积分．【解】 由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3d x ＝0，⎠⎛2π2x d x ＝2π＋4π－22＝π2－4，⎠⎛π2πcos x d x ＝0.由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )d x ＝⎠⎛－22x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝π2－4。
高中数学-定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用练习
高中数学-定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用练习1．定积分2(3)d x -⎰等于A ．−3B ．3C ．−6D ．62．定积分e1(1ln )d x x +⎰的值为A ．e 2+B ．e 1+C ．D ．e 1-3．定积分3209d x x -⎰的值为A ．9πB ．3πC ．94π D ．92π 4．求曲线2x y =与x y =所围成的封闭图形的面积时，下列式子正确的是 A ．12()d S xx x =-⎰B ．12()d S x x x =-⎰C ．120()d S y y y =-⎰D ．1()d S y y y =-⎰5．已知函数2(10)()1(01)x x f x x ⎧-≤≤=⎨<<⎩，则11()d f x x -⎰的值为A ．23 B ．32- C ．34-D ．34 6．如图，函数221y x x =-++与1y =相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是A ．1B ．43C 3D ．27．22(1cos )d x x ππ-+=⎰．8．曲线y x =与2y x =所围成的封闭图形的面积S = ．9．下列值等于1的定积分是 A ．1d x x ⎰ B ．1(1)d x x +⎰C ．11d x ⎰D ．101d 2x ⎰10．若222d 2mx x x -π--=⎰,则m 等于 A ．−1 B ．0 C ．1D ．211．如图所示，正弦曲线sin y x =，余弦曲线cos y x =与两直线0x x ==π,所围成的阴影部分的面积为A ．1B ．2C ．2D ．2212．一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度55()51V t t t=-++(的单位:s,v 的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是A ．55ln 10 mB ．55ln 11 mC ．(12+55ln 7) mD ．(12+55ln 6) m13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14B ．15C ．16D ．1714．已知函数()f x 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计1()d f x x ⎰的值约为A ．99100B ．310C ．910D ．101115．（高考陕西卷）定积分1(2e )d x x x +⎰的值为A ．e 2+B ．e 1+C ．D ．e 1-16．（高考山东卷）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．D ．417．（高考福建卷）如图,点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .18．（高考陕西卷）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．1234569101112131415161．C 【解析】因为2(3)d x -⎰23|32(3)06x =-=-⨯--⨯=-,故选C ． 2．C 【解析】根据已知条件,结合微积分基本定理可知e1e1(ln |=e 1ln )d =x x x x +⎰．【解题技巧】利用微积分基本定理求定积分时，关键是求出被积函数的原函数.3．C 【解析】由定积分的几何意义可得0x ⎰表示由曲线y =直线0x =，3x =围成的封闭图形的面积，即圆229x y +=在第一象限与x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积，C ．4．B 【解析】两曲线的交点的横坐标为0,1,所以积分区间为[0,1],结合图形及定积分的几何意5．D D. 6．B 【解析】可求出两曲线的交点坐标为(01),(21)，，，所以22220(211)d (2)d S x x x x x x =-++-=-+⎰⎰322014()|33x x =-+=．故选B.【名师点睛】定积分的应用主要有两方面:一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别. 7．2π+【解析】8．13【解析】由定积分公式可得331231220021211)d ()|(10)(10)33333S x x x x ==-=⨯--⨯-=⎰．9． C 【解析】由题意得10．B 【解析】由已知可得: y =的图象为圆:22(1)1x y ++=对应的上半部分，由定积分的几何意义可得0m =，故选B.11．D 【解析】由题中图形以及定积分的几何意义，可得所求阴影部分的面积等于D.12．B 【解析】令55501t t -+=+，注意到t >0，得t =10，即行驶的时间为10 s.由题意得，行驶的距离为s =1021000551(5)d [555ln(1)]|55ln1112t t t t t t -+=-++=+⎰，即紧急刹车后火车继续行驶的距离为55ln 11 m.13．C 【解析】根据题意，正方形OABC 的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y x =与y =OABC 中任取一点P ，点P取自阴影部分的概率为11616=.故选C ．【思路分析】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积，进而由几何概型计算公式即可得到答案.14．A 【解析】1()d f x x ⎰表示函数()f x 的图象与x 轴、直线0x =、直线1x =所围成的封闭图形的面积，由图象可知为题图中阴影部分的面积，而由已知条件可知阴影部分面积占长方形面积的33100，所以103399()d =3100100f x x ⨯=⎰，应选A.15．C 【解析】121212000(2e )d (e )|(1e )(0e )e x x x x x+=+=+-+=⎰，故选C .16．D 【解析】由已知得，23242001(4)d (2)|44S x x x x x =-=-=⎰，故选D . 【解题技巧】（1）利用定积分求平面图形面积的步骤:①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． （2）知图形的面积求参数:求解此类题的突破口:画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．17．512【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,阴影部分的面积S阴影=3222111754d44333|x x x=-=--=⎰,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=553412SS==阴影.18．1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示:原始的最大流量是1(101022)2162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py=(0p>)，因为该抛物线过点(5,2)，所以2225p⨯=，解得254p=，所以2252x y=，即2225y x=，所以当前最大流量是52353355222240(2)d(2)|(255)[2(5)(5)]257575753x x x x---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案为1.2．。
高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.5.3 定积分的概念
课时提升作业(十)定积分的概念一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014·广州高二检测)关于定积分m=dx，下列说法正确的是( )A.被积函数为y=-xB.被积函数为y=-C.被积函数为y=-x+C，D.被积函数为y=-x3【解析】选B.由定积分的定义知，被积函数为y=-.2.定积分f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是( )A.[-2，2]B.[0，2]C.[-2，0]D.不确定【解析】选A.由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是[-2，2].3.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.4.(2014·南昌高二检测)下列等式不成立的是( )A.[mf(x)+ng(x)]dx=m f(x)dx+n g(x)dxB.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-aC.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx=sinxdx+sinxdx【解析】选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时，要特别注意积分区间及被积函数的符号.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2014·长春高二检测)定积分(-3)dx=__________.【解析】3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，(-3)dx=-3dx=-6.答案：-66.计算：(1-cosx)dx=________.【解题指南】根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.【解析】根据定积分的几何意义，得1dx=2π，cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.答案：2π【一题多解】在公共积分区间[0，2π]上，(1-cosx)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cosx在[0，2π]上围成封闭图形的面积，如图，由于余弦曲线y=cosx在[0，π]上关于点中心对称，在上关于点中心对称，所以区域①与②的面积相等，所求平面图形的面积等于边长分别为1，2π的矩形的面积，其值为2π.所以(1-cosx)dx=2π.答案：2π三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2014·济南高二检测)已知x3dx=，x3dx=，x2dx=，x2dx=，求：(1)3x3dx.(2)6x2dx.(3)(3x2-2x3)dx.【解析】(1)3x3dx=3x3dx=3=3=12.(2)6x2dx=6x2dx=6(x2dx+x2dx)=6=126.(3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-.8.求定积分(-x)dx的值.【解析】(-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(图中阴影部分)的面积，故原式=×π×12-×1×1=-.【拓展延伸】1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S=f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=-f(x)dx.2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·黄冈高二检测)设曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy【解析】选B.将曲线方程y=x2与直线方程y=x联立方程组，解得x=0或x=1，结合图形可得B正确.2.如图所示，图中曲线方程为y=x2-1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.B.(x2-1)dxC.|x2-1|dxD.(x2-1)dx+(x2-1)dx【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出.【解析】选 C.由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx，故选C.【举一反三】将本题中的函数改为f(x)=x-1，则(x-1)dx=__________.【解析】直线y=x-1，与x=0，x=1.y=0围成的图形为三角形，面积为S=×1×1=.由定积分的几何意义得(x-1)dx=-.答案：-3.(2013·天津高二检测)曲线y=与直线y=x，x=2所围成的图形面积用定积分可表示为( )A.dxB.dxC.dxD.dx【解析】选A.如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·深圳高二检测)定积分2014dx=__________.【解析】根据定积分的几何意义2014dx表示直线x=2014，x=2015，y=0，y=2014围成的图形的面积，故2014dx=2014×(2015-2014)=2014.答案：20145.定积分(2+)dx=________.【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出2dx，dx.再由性质求和.【解析】原式=2dx+dx.因为2dx=2，dx=，所以(2+)dx=2+.答案：2+三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014·青岛高二检测)根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx.(2)cosxdx.(3)|x|dx.【解析】(1)如图(1)，xdx=-A1+A1=0.(2)如图(2)，cosxdx=A1-A2+A3=0.(3)如图(3)，因为A1=A2，所以|x|dx=2A1=2×=1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点(1)关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间.(2)正确利用相关的几何知识求面积.(3)不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.7.一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程.【解析】依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s=v(t)dt=tdt+(50-t)dt+10dt=300+400+200=900(米).关闭Word文档返回原板块。
高中数学专题1.5.3定积分的概念测试(含解析)2_2
定积分的概念（时间：25分，满分50分）班级 姓名 得分 1.（5分）定积分ʃba f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 【答案】 A【解析】积分=∫f(x)df(x)=[f(x)]^2/2=[f(b)]^2/2-[f(a)]^2/2=(a^2-b^2)/2 2．（5分）下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x ) 在[a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 【答案】 D3．（5分）已知()3156f x dx =⎰，则( )A. ()2128f x dx =⎰ B. ()3228f x dx =⎰C.()21256f x dx =⎰D.()()231256f x dx f x dx +=⎰⎰【答案】D【解析】由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝3及y ＝0的图象围成的曲边梯形可分拆成两个：由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝2及y ＝0的图象围成的曲边梯形和由y ＝f (x )，x ＝2，x ＝3及y ＝0的图象围成的曲边梯形．∴()()()32311256f x dx f x dx f x dx =+=⎰⎰⎰，故选D.4．（5分）下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则()0aaf x dx -=⎰B ．若f (x )是连续的偶函数，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则()0baf x dx >⎰D ．若f (x )在[a ，b )上连续且()0baf x dx >⎰，则f (x )在[a ，b )上恒正【答案】D5.（5分）设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b【答案】 B【解析】 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ10x 13d x ，a >b >c ，故选B.6．（5分）lim n →∞ln n1＋1n 2 1＋2n 2… 1＋n n2等于( )A ．ʃ21ln 2x d x B ．2ʃ21ln x d x C ．2ʃ21ln(1＋x )d x D ．ʃ21ln 2(1＋x )d x【答案】 B【解析】 lim n →∞ln n1＋1n 2 1＋2n 2… 1＋n n2＝lim n →∞2n ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1＋1n 1＋2n… 1＋n n ＝2lim n →∞ ∑ni ＝1ln 1＋i n n ＝2ʃ21ln x d x (这里f (x )＝ln x ，区间[1,2]或者2lim n →∞ ∑ni ＝1ln 1＋in n＝2ʃ10ln(1＋x )d x ，区间[0,1])．7．（5分）由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 【答案】 －ʃ0－πsin x d x【解析】 由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－ʃ0－πsin x d x . 8．（5分）已知12013x dx =⎰，22173x dx =⎰，则()2201x dx +⎰＝________.【答案】143【解析】∵220x dx ⎰＝120x dx ⎰＋221x dx ⎰＝178333+=，2012dx =⎰， ∴()2201x dx +⎰＝220x dx ⎰＋208141233dx =+=⎰.9.（5分）用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃ3(2x ＋1)d x ；(2)1－x 2d x .(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知⎰1－x 2d x 等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34，S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32，∴⎰1－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34.10．（5分）弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )=kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所做的功.【解析】将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所做的功为W =F·x .其长度为()1i b i b bx n n n-⋅∆=-=. 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所做的功分别记作ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n . (2)近似代替： 由条件知，()()()111,2,,i i b i b b W F x k i n n n n --⎛⎫∆≈⋅∆=⋅⋅=⎪⎭⋯ ⎝. (3)求和：()()()222221111101211.22n nn i i i i b n n b kb kb kb W W k n nnn n n ==--⎛⎫≈∆=⋅⋅=++++-=⋅=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⋯⎭∑∑(4)取极限：2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →+∞→+∞→+∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑. 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为22kb .。
高中数学 专题1.5.3 定积分的概念测试(含解析)新人教A
定积分的概念（时间：25分，满分50分）班级 姓名 得分 1.（5分）定积分ʃba f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 【答案】 A【解析】积分=∫f(x)df(x)=[f(x)]^2/2=[f(b)]^2/2-[f(a)]^2/2=(a^2-b^2)/2 2．（5分）下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x ) 在[a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 【答案】 D3．（5分）已知()3156f x dx =⎰，则()A. ()2128f x dx =⎰ B. ()3228f x dx =⎰C.()21256f x dx =⎰D.()()231256f x dx f x dx +=⎰⎰【答案】D【解析】由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝3及y ＝0的图象围成的曲边梯形可分拆成两个：由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝2及y ＝0的图象围成的曲边梯形和由y ＝f (x )，x ＝2，x ＝3及y ＝0的图象围成的曲边梯形．∴()()()32311256f x dx f x dx f x dx =+=⎰⎰⎰，故选D.4．（5分）下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则()0aaf x dx -=⎰B ．若f (x )是连续的偶函数，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则()0baf x dx >⎰D ．若f (x )在[a ，b )上连续且()0baf x dx >⎰，则f (x )在[a ，b )上恒正【答案】D5.（5分）设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b【答案】 B【解析】 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ10x 13d x ，a >b >c ，故选B.6．（5分）lim n →∞ln n＋1n2＋2n2＋n n2等于( )A ．ʃ21ln 2x d x B ．2ʃ21ln x d x C ．2ʃ21ln(1＋x )d x D ．ʃ21ln 2(1＋x )d x【答案】 B【解析】 lim n →∞ln n1＋1n21＋2n2…1＋n n2＝lim n →∞2n ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n1＋2n…1＋n n＝2lim n →∞ ∑ni ＝1ln 1＋i n n ＝2ʃ21ln x d x (这里f (x )＝ln x ，区间[1,2]或者2lim n →∞ ∑ni ＝1ln 1＋in n＝2ʃ10ln(1＋x )d x ，区间[0,1])．7．（5分）由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 【答案】 －ʃ0－πsin x d x【解析】 由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－ʃ0－πsin x d x . 8．（5分）已知12013x dx =⎰，22173x dx =⎰，则()2201x dx +⎰＝________.【答案】143【解析】∵220x dx ⎰＝120x dx ⎰＋221x dx ⎰＝178333+=，2012dx =⎰， ∴()2201x dx +⎰＝220x dx ⎰＋208141233dx =+=⎰.9.（5分）用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃ30(2x ＋1)d x ；(2)⎰1－x 2d x .(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知⎰1－x 2d x 等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34，S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32，∴⎰1－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34.10．（5分）弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )=kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所做的功.【解析】将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所做的功为W =F·x .其长度为()1i b i b bx n n n-⋅∆=-=. 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所做的功分别记作ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n . (2)近似代替： 由条件知，()()()111,2,,i i b i b b W F x k i n n n n --⎛⎫∆≈⋅∆=⋅⋅=⎪⎭⋯ ⎝. (3)求和：()()()222221111101211.22n nn i i i i b n n b kb kb kb W W k n nnn n n ==--⎛⎫≈∆=⋅⋅=++++-=⋅=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⋯⎭∑∑(4)取极限：2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →+∞→+∞→+∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑. 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为22kb .。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 2．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）A ．ln 2B ．1ln 2-C ．2ln 2-D ．1ln 2+4．())122011d x x x --⎰的值是（ ）A ．π143- B ．π14- C ．π123- D ．π12- 5．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．26．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ）A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰7．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 AB．2C ．π23-Dπ38．设函数e ,10()1x x f x x ⎧-≤≤⎪=<≤，计算11()d f x x -⎰的值为（ ） A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C．e 1e - D ．e 1πe 2-+ 9．由直线y= x - 4，曲线y =x 轴所围成的图形面积为（ ）A ．15B ．13C ．252D ．40310．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．设[0,1]()1,[1,0)x f x x x ∈=+∈-⎪⎩，则11()f x dx -⎰等于（ ）A ．12π+B ．122π+ C ．124π+ D ．14π+12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定二、填空题13．由函数()ln f x x x x =-的图像在点(,())P e f e 处的切线,l 直线1x e -=直线x e =（其中e 是自然对数的底数）及曲线ln y x =所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积S =_________.14．()222sin 4x x dx -+-=⎰______.15．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.16．定积分21d 1x x ⎰-的值为__________． 17．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.18．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）.19．1202x xdx -+=⎰__________20．若，则的值是__________．三、解答题21．设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-. (1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.22．设点P 在曲线2yx 上，从原点向(2,4)A 移动，如果直线OP ，曲线2y x 及直线2x =所围成的两个阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，如图所示.（1）当12S S 时，求点P 的坐标；（2）当12S S +有最小值时，求点P 的坐标.23．已知函数()3269f x x x x =-+-．若过点()1,P m -可作曲线()y f x =的切线有三条，求实数m 的取值范围． 24．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-. ①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为AB 的中点.求：（1）异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值； （2）点A 到平面1A EC 的距离. 26．已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．2．B解析：B 【解析】试题分析：阴影部分的面积()044sin cos (cos sin )|1S x x dx x x ππππ=-=--=+⎰由几何概型可知：向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是0ABCDS P S =矩形，故选B ． 考点：几何概型．3．D解析：D 【解析】试题分析：由题意，阴影部分E 由两部分组成，因为函数1(0),y x x=>当2y =时，1,2x =所以阴影部分E 的面积为1111221121ln |1ln 2,2dx x x ⨯+=+=+⎰故选D ． 考点：利用定积分在曲边形的面积．4．A解析：A 【详解】因为定积分11122000d )(x d x x x ⎫⎫=-⎪⎪⎭⎭⎰⎰⎰，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去13得到，即为143-π，选A. 5．C解析：C 【解析】f ′(x )=6x 2−18x +12，令f ′(x )=0得x 2−3x +2=0，解得x =1，或x =2. ∴当x <1或x >2时,f ′(x )>0，当1<x <2时,f ′(x )<0，∴f (x )在(−∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x =1时,f (x )取得极大值f (1)=5−a ， 当x =2时,f (x )取得极小值f (2)=4−a ，∵f (x )只有两个零点，∴5−a =0或4−a =0，即a =5或a =4. 本题选择C 选项.6．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.7．D解析：D 【解析】曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =的两个交点坐标分别为(π6,12),(5π6,12), 则封闭图形的面积为5π5π66ππ6611πsin cos |3223x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰本题选择D 选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()()0aaf x dx a ->⎰ ＝0.8．B解析：B 【解析】因为函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以1012110()d e d 1d x f x x x x x --=+-⎰⎰⎰，其中01101e 1e d e e e 11e e xxx ---==-=-=-⎰，1201d x x -⎰表示圆221x y +=在第一象限的面积，即12π1d 4x x -=⎰，所以11e 1π()d e 4f x x --=+⎰，故选B ．9．D解析：D 【详解】根据题意，画出如图所示：由直线4y x =-，，曲线2y x =x 轴所围成的面积为：4288221402(24)(4)42322xdx x x dx x x x x +⎰+=+-+=.故选D.10．C解析：C 【分析】由函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，得10122()cos 2f x dx xdx dx ππ--=+⎰⎰⎰，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，可得110100222()cos 2sin |2|123f x dx xdx dx x x πππ---=+=+=+=⎰⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】 利用()1111211()f x dx dx d x x x --+-=+⎰⎰⎰计算出定积分的值.【详解】 依题意得()10111211()f x dx dx d x x x --+-=+⎰⎰⎰202111π|π12424x x -⎛⎫=++⨯⨯=+ ⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查运算求解能力，属于基础题.12．C解析：C 【解析】依题意得f′(x)＝－sin x ＋2f′π()6 ，所以f′π()6＝－sin π()6＋2f′π()6，f′π()6＝，f′(x)＝－sin x ＋1，因为当x ∈ππ(,)22-时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x ＋x 在ππ(,)22-上是增函数，所以f π3⎛⎫-⎪⎝⎭＜f π3⎛⎫⎪⎝⎭,选C. 二、填空题13．【分析】利用导数求得切线的方程利用定积分计算出阴影部分的面积【详解】所以切线的方程为：故阴影部分面积为故答案为：【点睛】本小题主要考查切线方程的计算考查定积分计算面积属于中档题解析：2221122e e e++-【分析】利用导数求得切线l 的方程，利用定积分计算出阴影部分的面积. 【详解】()()()''ln ,ln 1,0f x x f e e f e e e ====-=，所以切线l 的方程为：y x e =-.故阴影部分面积为()2111ln ln |2eeeex x e dx x x x x ex ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭⎰2221111111ln ln 22e e e e e e e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--⋅+---+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦22121122e e e ⎡⎤=⋅---+⎢⎥⎣⎦2221122e e e ++-=. 故答案为：2221122e e e++-【点睛】本小题主要考查切线方程的计算，考查定积分计算面积，属于中档题.14．【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分【详解】因为故答案为2π【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分属于基础题 解析：2π【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分． 【详解】因为(222222sin sin 022x dx xdx ππ---+=+=+=⎰⎰⎰故答案为2π． 【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分，属于基础题.15．【分析】三角函数的对称性可得S=2求定积分可得【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx ）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为2﹣2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积解析：2【分析】三角函数的对称性可得S=2()4cosx sinx dx π-⎰，求定积分可得．【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2()4cosx sinx dx π-⎰=2（sinx+cosx ）40|π=2（22+22）﹣2（0+1）=22﹣2 故答案为22﹣2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．16．【解析】根据定积分的定义知故填解析：23【解析】根据定积分的定义知，1231111112d |3333x x x --⎛⎫==--= ⎪⎝⎭⎰，故填23.17．【解析】因为所以解析：43【解析】因为()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，所以()e1e231e0101114|ln |33f x dx x dx dx x x x =+=+=⎰⎰⎰ 18．②④⑤【解析】①函数在定义域内不为单调递减函数在和为单调递减函数；；②已知定义在上周期为4的函数满足则所以一定为偶函数；③若为奇函数则；④已知函数则即有极值充分性成立；有极值所以不必要；⑤函数为单调解析：②④⑤ 【解析】 ①函数()1f x x=在定义域内不为单调递减函数，在(,0)-∞ 和(0,)+∞ 为单调递减函数；；②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足()()22f x f x -=+， 则()(4)()f x f x f x =-=-所以()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰；④已知函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，2()32,f x ax bx c +'=+ 则0a b c ++=22224124()124()0b ac a c ac a c ac ⇒∆=-=+-=+-> ，即()f x 有极值，充分性成立；()10,2a b c f x ===-，，，也有极值，所以不必要； ⑤函数()sin f x x x =-为单调递增奇函数，所以0a b +>，则()()(),f a f b f b >-=-即 ()()0f a f b +>. 正确命题的序号为②④⑤19．【解析】表示以(10)为圆心1为半径的圆的个圆的面积所以π×12=；故答案为：解析：4π【解析】1202x xdx -+⎰表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆的14个圆的面积,所以14π×12=4π；故答案为：4π20．2【解析】试题分析：∵易得故答案为考点：定积分的计算解析：2 【解析】 试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.三、解答题21．(1)0,3a b ==-;(2)92. 【分析】（1）求出导函数，利用函数()32f x x ax bx =++在1x =处有极值2-，由()12f =-且()'10f =,解方程组，即可求得,a b 的值；（2）利用定积分的几何意义，先确定确定函数的积分区间，被积函数，再求出原函数，利用微积分基本定理，结合函数的对称性即可得结论. 【详解】(1)由题意知()2'32f x x ax b =++,()12f =-且()'10f =,即12,320,a b a b ++=-⎧⎨++=⎩,解得0,3a b ==-.(2)如图,由1问知()33f x x x =-.作出曲线33y x x =-的草图,所求面积为阴影部分的面积.由330x x -=得曲线33y x x =-与x 轴的交点坐标是()3,0-,()0,0和()3,0,而33y x x =-是R 上的奇函数,函数图象关于原点中心对称. 所以y 轴右侧阴影面积与y 轴左侧阴影面积相等. 所以所求图形的面积为()330213S x x dx ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 4213932|4220x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、定积分的几何意义以及微积分基本定理的应用，属于中档题. 已知函数的极值()f m n =求参数的一般步骤是：（1）列方程求参数()()'0f m nf m ⎧=⎪⎨=⎪⎩；（2）检验方程的解的两边导函数符号是否相反. 22．(1)41639⎛⎫⎪⎝⎭，；(2)()22，.【解析】分析：（1）设点P 的横坐标为t ，得点P 的坐标，利用定积分求解22128,2636t t S S t ==-+，利用12S S ，求得t 的值，即可求得点P 的坐标．（2）由（1）可求当12S S +，化简后，为t 的函数，再利用导数求得12S S +的最小值． 详解：（1）设点P 的横坐标为t （0＜t ＜2），则P 点的坐标为（t ，t 2）， 直线OP 的方程为y=tx S 1=∫0t （tx ﹣x 2）dx=，S 2=∫t 2（x 2﹣tx ）dx=38t 2t 36-+，因为S 1=S 2，，所以4t 3=，点P 的坐标为41639⎛⎫ ⎪⎝⎭， （2）S=S 1+S 2=333t 8t t 82t 2t 63633+-+=-+S ′=t 2﹣2，令S'=0得t 2﹣2=0，因为0＜t S'＜0t ＜2时，S'＞0所以，当S 1＋S 2有最小值，P 点的坐标为)．点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．23．1116m -<<【解析】 【分析】首先写出切线方程，然后将问题转化为方程有三个实数根的问题，利用导函数研究函数的极值即可确定m 的取值范围. 【详解】设过P 点的切线切曲线于点()00,x y ,则切线的斜率2003129k x x =-+-.所以切线方程为()()20031291y x x x m =-+-++，故()()23200000003129169y x x xm x x x =-+-++=-+-，要使过P 可作曲线()y f x =的切线有三条，则方程()()2320000003129169x x xm x x x -+-++=-+-有三解0032023129,m x x x ∴=--+()3223129g x x x x =--+令则()()()26612612g x x x x x =--=+-'易知1,2x =-为()g x 的极值大、极小值点，又()()11,16,g x g x =-=极小极大 故满足条件的m 的取值范围1116.m -<< 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线，导函数研究函数的极值，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围； （2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明； ②由①中所求，可得12ln()11k k k +>++，利用对数运算，即可证明.【详解】由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221af x x x '=+++. （1）由()01f '=，可得2202a++=，8a =-. 又当8a =-时，()()()2311x x f x x +'-=+，故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-.∵11e <-，82(1)(3)()2211x x f x x x x --+'=++=++.∴()0f x '>，当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增， 故2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立， 即：22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+， 即：260m tm +-≤对[]1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤即260m m --≤，且260m m +-≤，整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤， 解得：22m -≤≤，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1xF x x-'=+ 当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0F x F ∴<=即证.②由①可得：ln(1)(0)x x x +<> 令：11x k =+，得11ln(1)11k k +<++，即：12ln()11k k k +>++ ∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2 即证. 【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题.25．（1）1515（2）66【分析】（1）延长DC 至G ,使12CG DC =,连结12BG 、1D G ,则1D BG ∠就是异面直线1BD 与CE 所成的角. 在1D BG ∆中由余弦定理即可求得1cos D BG ∠.（2）过1A 作1AH CE ⊥交CE 的延长线于H .连结AH .可知AHE CBE ∆∆∽,进而求得AH 和1A H ,即可利用等体积11A ACE A A CE V V --=求得点A 到平面1A EC 的距离.【详解】（1）延长DC 至G ,使12CG DC =,连结12BG 、1D G ,如下图所示:∵//CG EB∴四边形EBGC 是平行四边形 ∴BG EC ∥∴1D BG ∠就是异面直线1BD 与CE 所成的角.在1D BG ∆中13D B =5BG =,221313122D G ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴1cos D BG ∠=2221112D B BG D G D B BG+-⋅5133154415152+-==⨯即异面直线1BD 与CE 15 （2）过1A 作1A H CE ⊥交CE 的延长线于H .连结AH .底面ABCD 如图所示.由于90AHE B ∠=∠=,AEH CEB ∠=∠,则AHE CBE ∆∆∽ ∴AH AECB CE= ∴52CE =,12AE =∴11255CB AE AH CE ⋅⋅=== 在1Rt A AH ∆中,11A A =,5AH =∴165A H =设点A 到平面1A EC 的距离为d 则由三棱锥体积公式可得：111133ACE A CE AA S d S ∆∆⨯=⨯ 即11111322⨯⨯⨯⨯=111613245d ⨯+所以6d =即点A 到平面1A EC 的距离为66. 【点睛】本题考查了空间中异面直线夹角的求法,将异面直线平移使其相交找到夹角是常用方法,利用等体积法求点到平面距离的方法,属于中档题.26．（1）x ＝23f (x )的极大值点，x ＝23f (x )的极小值点；（2）详见解析. 【解析】 【分析】(1)利用导数求函数f(x)的极值点；（2）先求出()221()1(1)f x x ax x x '=-++，设g (x )＝x 2－ax ＋1，对a 分类讨论求出函数的单调区间. 【详解】解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝ln x ＋61x +， 2221641()(1)(1)x x f x x x x x -+'=-=++.令f ′(x )＝0⇒x ＝列表(2)()222121()1(1)(1)a f x x ax x x x x +'=-=-+++， 设g (x )＝x 2－ax ＋1，∵x ＞0，∴①当a ＜0时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；②当a ＞0时，222()1124a a g x x ax x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭.当1－24a ≥0，即0＜a ≤2时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，方程g (x )＝0的两根分别为12,22a a x x +==，且0＜x 1＜x 2，∴当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(0，x 1)上单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，故函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(x 2，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤2时，函数f (x )的单调增区间为(0)∞，＋，没有减区间；当a ＞2时，函数f (x )的减区间为12()x x ，；增区间为(0，x 1)，(x 2，＋∞)． 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值点，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的图形的面积（ ）A ．18B ．19C ．20D ．212．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-3．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78544．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．45．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 6．已知是i 虚数单位，复数()1a i z a R i -=∈-，若01||(sin )z x dx ππ=-⎰，则a =（ ） A ．±1 B ．1 C ．1- D ．12±7．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π8．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．239．设曲线e xy x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e--B ．2e 2e 4e-C ．2e e 14e--D ．2e 14e-10．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 JC ．825 JD ．800 J11．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <12．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）. A ．224r πB ．283r πC ．514r πD ．42r π二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．由曲线2y x=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______．15．()1||214x ex dx -+-=⎰__________________16．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）.17．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．18．计算()2224x x dx -+-⎰得__________．19．如图，两曲线2y x =，2y x 围成图面积__________．20．定积分11d ex x ⎰的值为____________________. 三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由.22．函数()ln ,kf x x k R x=+∈．若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）．23．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值.24．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 25．利用定积分的定义，计算2211d x x ⎰的值． 26．已知函数()ln mf x x x=+()m R ∈. （1）若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切，求m 的值； （2）求()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ， 2x ，试求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】画出两曲线的图像，求得交点坐标，由定积分求得图形的面积即可. 【详解】根据题意，画出量曲线的图像，设其交点为,A B ，如下所示：联立22y x =和4y x =-， 解得()()2,2,8,4A B -， 根据抛物线的对称性， 即可得两曲线围成的面积28222d (24)d S x x x x x =++⎰⎰23022021622d 2233x x x ⎛⎫⎰== ⎪⎝⎭ 82(24)d x x x +⎰83222212432x x x ⎫=-+⎪⎭322212884832⎫=⨯-⨯+⨯⎪⎭322213822242323⎫-⨯-⨯+⨯=⎪⎭故所求面积为28222d (24)d x x x x x ++⎰⎰163833=+ 18=.故选：A. 【点睛】本题考查由定积分求解曲边梯形的面积，需要注意的是，本题中需要对曲边梯形的面积进行拆分求解，这是本题的难点.2．A解析：A将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.3．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题4．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．5．D【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．6．A解析：A 【解析】 因为11122a i a a z i i -+-==+-，所以222111()()22222a a z a +-=+=+，由定积分公式0011(sin )[cos ]|1x dx x x ππππ-=--=⎰，故22122112a a +=⇒=，即1a =±，应选答案A 。
高中数学——定积分的概念常考试题解析讲解
3
(−36.计算
1 3
2 3
2 2
1
15
7
1 ＝ ，1 ＝ ，0 ＝ ，7.已知
4
4
3
4 2
56
2 ＝ 3 ，求：
2
这就是定积分
的几何意义.
直线＝把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，
因此大曲边梯形的面积是两个小曲边梯形的面积1，
2之和，即＝2)
=
( )( 为常数)
1 () ± 2 () =
形”的所有边都是直线段.
思考3:能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边
图形”的面积问题？
求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求
和，④取极限.
1、求由直线＝0，＝1，＝0和曲线＝(－1)
围成的图形面积.
2、求由抛物线＝2与直线＝4所围成的曲边梯形
的面积.
求变速直线运动的(位移)路程
高中数学—定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积常考试题解析
1.5.2 汽车行驶的路程常考试题解析
思考1：如何计算下列两图形的面积？
思考2：如图，为求由抛物线＝2与
直线＝1，＝0所围成的平面图形
的面积，图形与我们熟悉的“直边
图形”有什么区别？
曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图
＝( < )，＝0及曲线＝()所围成的曲边梯形的面积.
(2)当函数() ≤ 0时,曲边梯形位于轴的下方,此时 等
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78542．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．23．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；②()3sin F x x x =+， ()23cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．的是（ ） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数4．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 5．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-6．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 7．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+8．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．2310．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A ．3B ．23-C ．π23-D ．π33-11．1204x dx -=⎰（ ）A ．4B ．1C ．4πD ．332π+12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．232319x x dx -⎫-=⎪⎪⎭⎰____________________.14．已知曲线与直线所围图形的面积______.15．424(16)x x dx --+=⎰__________．16．已知曲线y x =，2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．17．定积分()102xx e dx +=⎰__________．18．已知()12111,a x dx -=+-⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________19．若，则的值是__________．20．定积分120124x x dx π⎫--⎪⎭⎰的值______. 三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 22．已知函数()ln 3mf x x x x=++. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的[]0,2m ∈，不等式()()1f x k x ≤+，对[]1,x e ∈恒成立，求实数k 的取值范围.23．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 24．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．25．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-.①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 26．计算由直线4,y x =-曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S 。
人教版数学高二新课标 《定积分的概念》 同步测试
1．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则⎠⎛abf(x)d x－⎠⎛abf(t)d t的值() A．小于零B．等于零C．大于零D．不能确定解析：选B.在[a，b]上，f(x)的积分等于f(t)的积分，因此，其值为0. 2．已知⎠⎛t x d x＝2，则⎠⎛－t0x d x等于()A．0 B．2C．－1 D．－2解析：选D.∵f(x)＝x在[－t，t]上是奇函数，∴⎠⎛－tt x d x＝0.而⎠⎛－tt x d x＝⎠⎛－t0x d x＋⎠⎛0t x d x，又⎠⎛0t x d x＝2，∴⎠⎛－t0x d x＝－2.故选D.3．不用计算，根据图形，用不等号连接下列式子．⎠⎛01x d x________⎠⎛01x2d x(如图所示)．答案：>4．已知⎠⎜⎛π2sin x d x＝⎠⎜⎛π2sin x d x＝1，⎠⎜⎛π2x2d x＝π324，求下列定积分：(1)∫π0sin x d x；(2)⎠⎜⎛π2(sin x＋3x2)d x.解：(1)∫π0sin x d x＝⎠⎜⎛π2sin x d x＋⎠⎜⎛π2sin x d x＝2；(2)⎠⎜⎛π2(sin x＋3x2)d x＝⎠⎜⎛π2sin x d x＋3⎠⎜⎛π2x2d x＝1＋π38.一、选择题1．定积分⎠⎛ab f(x)d x的大小()答案：－⎠⎛－π0sin x d x 三、解答题10．已知⎠⎛01e x d x ＝e －1，⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ，⎠⎛02x 2d x ＝83，⎠⎛122x d x ＝2ln2.求：(1)⎠⎛02e x d x ； (2)⎠⎛02(e x ＋3x 2)d x ；(3)⎠⎛12(e x ＋1x )d x .解：(1)⎠⎛02e x d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛12e x d x ＝e －1＋e 2－e ＝e 2－1.(2)⎠⎛02(e x ＋3x 2)d x ＝⎠⎛02e x d x ＋⎠⎛02(3x 2)d x ＝⎠⎛02e x d x ＋3⎠⎛02x 2d x ＝e 2－1＋8＝e 2＋7.(3)⎠⎛12(e x ＋1x )d x＝⎠⎛12e x d x ＋12⎠⎛122x d x＝e 2－e ＋ln2.11．用定积分的意义求下列各式的值． (1)⎠⎛－11 4－x 2d x ； (2)⎠⎛－12 2x d x . 解：(1)由y ＝4－x 2可得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于所对圆心角为π3的弓形面积CED 与矩形ABCD 的面积之和 S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝AB ·BC ＝23，∴⎠⎛－114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.(2)⎠⎛－122x d x 表示由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0以及y ＝2x 所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴⎠⎛－12 2x d x ＝2×42－1×22＝4－1＝3.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5 x ∈[－1，1)x x ∈[1，π)sin x x ∈[π，3π]，求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分．解：由定积分的几何意义知⎠⎛－11x 5d x ＝0.⎠⎛π3πsin x d x ＝0(如图所示)⎠⎛－13πf (x )d x＝⎠⎛－11x 5d x ＋⎠⎛1πx d x ＋⎠⎛π3πsin x d x ＝⎠⎛1πx d x ＝12(π2－1)．。
高中数学课时跟踪检测(十四)定积分的概念(含解析)北师大版选修22
高中数学课时跟踪检测（十四）定积分的概念（含解析）北师大版选修22课时跟踪检测（十四） 定积分的概念1．下列等式不成立的是( )A. ⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a bg (x )d x B. ⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋b －a C. ⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛a bg (x )d x D. ⎠⎛－2π 2πsin x d x ＝⎠⎛－2π 0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x解析：选C 由定积分的性质知选项A ，B ，D 正确，故选C. 2．定积分⎠⎛13(－3)d x ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A ⎠⎛133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.3．求由曲线y ＝e x，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分上限和积分下限分别为( )A ．e 2,0 B ．2,0 C ．2,1D ．1,0解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，x ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝e 2.所以积分上限为2，积分下限为0.4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125C.127D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1， 各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝981＝19.5．已知⎠⎛a bf (x )d x ＝6，则⎠⎛a b6f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛a b 6f (x )d x ＝6⎠⎛a bf (x )d x ＝36.答案：366．计算⎠⎛124－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．易知AB ＝3，∠AOB ＝π3，故S 阴＝16×4π－12×1×3＝2π3－32. 答案：2π3－327．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1) ⎠⎛023x 3d x ；(2) ⎠⎛146x 2d x ；(3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x . 解：(1) ⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x ＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2) ⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x＝3×73－2×154＝－12.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．解：由定积分的几何意义知⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1， ∴⎠⎛05f (x )d x ＝⎠⎛02x d x ＋⎠⎛23(4－x )d x ＋⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学-定积分的概念测试
1．定积分⎠⎛0
1
1d x 的值等于
( ) A ．0 B ．1 C.1
2 D ．2
答案 B
2．已知⎠⎛1
3
f (x )d x ＝56，则
( ) A.⎠⎛1
2
f (x )d x ＝28
B.⎠⎛2
3f (x )d x ＝28
C.⎠⎛1
22f (x )d x ＝56
D.⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛2
3
f (x )d x ＝56 答案 D
3．如图所示，⎠⎛a b
f 1(x )d x ＝M ，⎠⎛a
b f 2(x )d x ＝N ，则阴影部分的面积为
( )
A ．M ＋N
B ．M
C ．N
D ．M －N
答案 D
4．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式
( )
(1)⎠⎛01
x d x ________⎠⎛0
1x 2d x (图1)；
(2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛1
2
x d x (图2)；
(3)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛0
2
2d x (图3)． 答案 (1)> (2)< (3)<
1．定积分可以表示图形的面积
从几何上看，如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a
b f (x )d x 就表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分⎠⎛a
b f (x )d x 的几何意义． 2．定积分表示图形面积的代数和
被积函数是正的，定积分的值也为正，如果被积函数是负的，函数曲线在x 轴之下，定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和．
3．此外，定积分还有更多的实际意义，比如在物理学中，可以用定积分表示功、路程、压力、体积等．
4．定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (u )d u ＝⎠⎛a
b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)，另外定积分⎠⎛a
b f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得的值也不同，例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛0
3(x 2
＋1)d x 的值就不同.。