初升高数学衔接班教案(教师版)韦达定理的运用
教案韦达定理
教案韦达定理TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．x2+2x﹣4=0 3x2+2x﹣6=0 2x2﹣5x﹣3=0x 1+x2=? x1+x2=? x1+x2=?x 1x2=? x1x2=? x1x2=?问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴aacbbx2421-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。
初高中数学衔接课程教案3.6一元二次方程⑵
3.6一元二次方程⑵同学们,大家好:今天和大家一起来复习一元二次方程第2课——韦达定理.请大家回忆:一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,则x 1+x 2=_______,x 1·x 2=________.韦达定理:一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,则x 1+x 2=－b a ,x 1·x 2=c a. 韦达定理在高中数学中运用非常广,看它的应用.例1 已知一元二次方程x 2－3x+m=0有一个根是4,求方程的另一个根.解1:x=4代入方程得42－3×4+m=0,得m=－4,∴原方程为x 2－3x －4=0,解得x 1=4,x 2=－1.解2:设方程另一根为x 2,由韦达定理知,4+x 2=3∴x 2=－1.注:①涉及一元二次方程根问题,先考虑用韦达定理.例2 已知方程x 2+2x －2015=0两根x 1,x 2,求下列各式的值.⑴x 12+x 22; ⑵1x 1+1x 2; ⑶(2x 1－1)(2x 2－1); ⑷|x 1－x 2|分析:此题如果直接求x 1,x 2,再代入各式,太繁,应该用韦达定理来解.解:∵方程x 2+2x －2015=0两根x 1,x 2,∴x 1+x 2=－2,x 1·x 2=－2015⑴x 12+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1·x 2=(－2)2－2(－2015)=4034.⑵1x 1+1x 2=x 1+ x 2x 1x 2=－2－2015=22015; ⑶(2x 1－1)(2x 2－1)=4x 1·x 2－2(x 1+x 2)+1=4(－2015)－2(－2)+1=－8055;⑷|x 1－x 2|=(x 1+x 2)2－4x 1·x 2=(－2)2－4(－2015)=8122注:②此题体现高中数学中一种重要的方法:整体代换;③将所给关于x 1,x 2的代数式,用x 1+x 2,x 1·x 2表示,是今后经常遇到的题型,大家要认真体会,熟练掌握.例3 已知关于x 的方程x 2－x+a －4=0,根据下列条件,求a 的取值范围.⑴方程两个实根都大于0;⑵方程两个实根,一个大于0,另一个小于0;⑶方程两个实根,一个大于3,另一个小于3.分析:如果求出两根,是无理根,再解无理不等式,太难,还是用韦达定理.解:设方程两实数根为x 1,x 2,由韦达定理知, x 1+x 2=1,x 1·x 2=a －4.⑴∵两根都大于0∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=1－4(a －4)≥0x 1+x 2=1>0x 1·x 2=a －4>0解得⎩⎨⎧a ≤174a>4∴4<a ≤174. ⑵∵两根一个大于0,另一个小于0 ∴⎩⎨⎧ Δ=1－4(a －4)>0x 1·x 2=a －4<0解得⎩⎨⎧ a<174a<4∴a<4.⑶分析:此题能直接用x 1+x 2,x 1·x 2来解题吗?不行,要利用x 1－3,x 2－3来求解.⑶解∵两根一个大于3,另一个小于3∴⎩⎨⎧ Δ=1－4(a －4)>0(x 1－3)(x 2－3)<0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a<174x 1x 2－3(x 1+x 2)+9<0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a<174(a －4)－3+9<0解得⎩⎪⎨⎪⎧a<174a<－2∴a<－2.小结:本节课我们一起复习了一元二次方程的韦达定理,它在高中数学中非常重要,大家会学会用x 1+x 2,x 1·x 2表示含x 1,x 2的代数式,会用韦达定理解有关一元二次方程根的问题. 下面给大家留一份课后练习,请大家及时完成.。
初高中数学衔接课程讲义-新高一数学讲义 韦达定理专题
新高一数学讲义 韦达定理专题【知识点睛】1、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有 122222b b b b x x a a a a ---+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．注意：韦达定理应用的前提是0≥∆补充定理：||||21a x x ∆=-【例题精讲】【例题1】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【例题2】关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．【例题3】已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．【例题4】一元二次方程042=+-a x x 有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围.【巩固练习】1、下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ）（A ）1个 ; （B ）2个 ; （C ）3个 ; （D ）4个.2、已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．3、若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．4、若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．【学习巩固】【练习1】（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ；（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ;（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ；（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．【练习2】 一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且【练习3】 若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 ( )A ．2B ．2-C ．12D ．92【练习4】 若方程22(1)30x k xk -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．【练习5】 设12,x x 是方程20x p x q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x q x p ++=的两实根，则p = ____ ，q = _____ ．【练习6】求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数.【练习7】 已知关于x 的一元二次方程2(41)210x mx m +++-=．(1) 求证：不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．【练习8】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：x 13＋x 23．【练习9】已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．【练习10】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由; (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．【家庭作业】【练习1】（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于；（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是.【练习2】已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A（B）3 ；（C）6；（D）9.【练习3】已知关于x的方程22(2)04mx m x---=．（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．。
高一数学初高中衔接学案：韦达定理
初高中衔接——一元二次方程根与系数的关系【知识要点】一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=- (3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【例4】若12,x x 是方程2220160x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -【巩固练习】1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是()A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 3．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 4．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．5．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．6．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 7．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求mn的值．8．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．。
韦达定理及其应用课件-2022年初高衔接数学
方法总结
当 = −1时，
方程为 2 − 16 + 5 = 0，∆> 0满足题意；
当 = 17时，
方程为 2 + 30 + 293 = 0，
∆= 302 −4 × 1 × 293 < 0 ，不满足题意，
所以舍去；
综上所述： 的值为−1.
点拨精讲
变式探究2：
已知1 和2 一元二次方程4 2 − 4 + + 1 = 0的
则有
−± 2 −4
，
2
−+ 2 −4
−− 2 −4
−2
1 + 2 =
+
=
=− ；
2
2
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
2 −( 2 −4)
1 ∙ 2 =
∙
=
2
2
42
4
= 2= ；
4
知识梳理
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
因此这两个数是−2和6.
总结提炼
本节课重点研究了一元二次方程韦达定理的
综合应用，能够利用韦达定理求一些与实数根有
关代数式的值，并能够利用根的情况逆向构造所
需要的一元二次方程，这种思想的渗透与领悟希
望大家细细品味，学会用数学的眼光思考世界！
项系数为1）是 2 −(1 + 2 ) + 1 ∙ 2 = 0.
点拨精讲
探究一：已知方程求代数式的值
例1、 若1 和2 分别是一元二次方程2 2
＋5－3＝0的两根，试求下列各式的值：
（1）(1 − 5)(2 − 5)
（2）|1 − 2 |
教案韦达定理
教案：韦达定理（一）张其生一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 2．教学难点：韦达定理的灵活应用． 三、教学过程（一）定理的发现及论证323,2310x x αβαβ--=+提出问题：已知是方程的两根，如何求的值你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？ 学生：如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q. 观察、思考、探索：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？学生：x1+ x2=52, x1•x2=32教师：如何验证？问题2；对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？学生：x1+x2=-，x1·x2=，教师：如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？学生：设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴a acbbx24 21-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理韦达（法国1540－1603）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x 2+px+q=0．结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便． （二）定理的应用例1、关于x 的方程x 2-2x +m=0 的一根为2 ，求另一根和m 的值。
韦达定理教案
韦达定理教案教案标题：探索韦达定理教学目标：1. 了解并理解韦达定理的概念和应用。
2. 掌握使用韦达定理解决三角形相关问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 韦达定理的定义和基本概念。
2. 韦达定理在解决实际问题中的应用。
教学难点：1. 学生对于韦达定理的应用理解深度。
2. 学生在解决实际问题时的思考和分析能力。
教学准备：1. 教师准备教学投影仪，展示相关示意图和计算过程。
2. 准备课本和练习题集等教材资料。
3. 给学生准备纸和笔，以及计算器。
教学过程：引入（5分钟）：1. 教师可以通过一个简单有趣的问题来引起学生对韦达定理的兴趣。
例子：在平面内，有三条线段，它们分别连接一个点和一个普通的五边形的三个顶点。
这三个线段的长度分别是3、4和5，那么这个五边形的面积是多少呢？2. 引导学生思考可能的解决方法，引出韦达定理。
讲解与示范（15分钟）：1. 通过示意图和具体的数学推导，讲解韦达定理的定义和公式表达方式。
2. 给出韦达定理的一些示例问题，并详细解答过程。
3. 强调韦达定理在解决实际问题中的应用，如测量三角形的边长、面积等。
实践与巩固（20分钟）：1. 学生个别或分组完成一些练习题，检验对韦达定理的理解和应用能力。
2. 提供不同难度的问题，鼓励学生运用韦达定理解决实际场景中的三角形问题。
总结与拓展（10分钟）：1. 教师与学生总结韦达定理的要点和应用方法。
2. 引导学生思考并讨论韦达定理的拓展应用，如四边形、多边形等。
课后作业：1. 布置一些与韦达定理相关的作业题，以巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生在实际生活中观察和应用韦达定理。
教学资源：1. 教师投影仪、示意图PPT等。
2. 课本和练习题集等教材。
3. 白板和彩色笔等。
评估与反馈：1. 教师针对学生的课堂表现和作业完成情况进行评估，并及时给予反馈。
2. 针对学生对韦达定理的理解程度和问题解决能力，进行个别指导和辅导。
韦达定理的教案
韦达定理的教案教案标题：韦达定理的教案教学目标：1. 理解韦达定理的概念和应用。
2. 掌握使用韦达定理解决三角形边长和角度的方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 韦达定理的定义和公式推导。
2. 运用韦达定理解决实际问题。
3. 引导学生进行逻辑推理和问题解决。
教学难点：1. 理解韦达定理的几何意义。
2. 运用韦达定理解决复杂的三角形问题。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、计算器、教学课件、实物三角形模型。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、量角器。
教学过程：引入：1. 引导学生回顾勾股定理的概念和应用，并与韦达定理进行对比。
2. 提问：你们知道韦达定理是什么吗？它有什么作用？讲解：1. 通过教学投影仪展示韦达定理的定义和公式推导过程，并解释其几何意义。
2. 引导学生理解韦达定理的应用场景，如计算三角形的边长和角度。
示范：1. 通过实物三角形模型，展示如何使用韦达定理计算三角形的边长和角度。
2. 指导学生进行模仿实践，自主解决一些简单的韦达定理问题。
练习：1. 分发练习题，包括计算三角形边长和角度的各种情况。
2. 引导学生在小组内讨论解题思路，并互相检查答案。
拓展：1. 提供一些复杂的韦达定理问题，鼓励学生进行深入思考和解决。
2. 鼓励学生在解题过程中进行逻辑推理和问题分析，培养其问题解决能力。
总结：1. 总结韦达定理的定义和应用，并强调其在几何问题中的重要性。
2. 鼓励学生将所学知识应用到实际生活中，如测量建筑物高度等。
作业：1. 布置相关的作业题目，巩固学生对韦达定理的理解和应用能力。
2. 鼓励学生在作业中提出自己的问题，并积极探索解决方法。
教学反思：1. 回顾本节课的教学过程和效果，总结教学中存在的问题和不足。
2. 提出改进措施，并在下一次教学中加以改进。
通过以上教案的设计和实施，学生将能够全面理解韦达定理的概念和应用，并能够运用韦达定理解决各种三角形问题。
同时，通过引导学生进行逻辑思维和问题解决的训练，培养其综合素质和学习能力。
韦达定理教案范文
韦达定理教案范文一、教案概述本教案针对高中数学课程中的韦达定理进行讲解和练习。
韦达定理是高中数学的重要内容之一，它是用来求解二次方程根的一种方法。
本教案以理论讲解和例题演练相结合的方式，旨在帮助学生深入理解韦达定理的原理和应用。
二、教学目标1.理解韦达定理的定义和原理；2.掌握使用韦达定理解二次方程的方法；3.能够灵活运用韦达定理求解实际问题。
三、教学内容1.韦达定理的定义和原理；2.韦达定理的应用；3.实际问题的解决方法。
四、教学步骤及教学方法1.引入新课(5分钟)通过引入类比，向学生介绍韦达定理，让学生从直观的例子中理解韦达定理的定义和原理。
2.理论讲解(25分钟)通过讲解例题和解题思路，详细阐述韦达定理的应用方法和步骤，包括如何列方程、如何计算韦达定理的公式、如何求解根等。
3.例题演练(15分钟)以课本上的习题为例，分组演练韦达定理的应用，教师抽取几道题目，引导学生进行讨论和解答，同时解答学生在解题过程中出现的疑惑和问题。
4.进一步拓展(10分钟)通过提供一道拓展习题，引导学生思考如何将韦达定理应用于实际问题的解决。
5.小结与作业布置(5分钟)对本节课的重点内容进行小结，鼓励学生进行课后练习，并布置相应的作业。
五、教学手段及教具教学手段：讲解、演练、互动探究。
教具：教师课件、习题、实物类比。
六、教学评估1.在课堂上观察学生的主动参与情况；2.检查学生在例题演练中的解题思路和结果；3.对学生的课堂表现进行口头评估。
七、教学资源教师课件、学生课本、习题集。
八、教学反思通过对学生课后作业的批改和教学评估，进一步了解学生对韦达定理的掌握情况。
在下节课中，可以根据学生的学习情况，进一步引导学生应用韦达定理解决更加复杂的实际问题。
同时，在讲解过程中，要注意与学生的互动，鼓励学生积极思考和提问，培养学生的解决问题的能力。
初高中衔接-第4讲、韦达定理(教师版)
第4讲、韦达定理1、定理内容对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=。
注：①韦达定理研究的是一元二次方程根和方程系数之间的关系；②定理成立的条件：判别式240b ac ∆=-≥即方程有解的情况下（个数不要求）；③方程要先化为一般式；④1212,b cx x x x a a+=-=负号不要忘。
2、证明过程先由公式法求出一元二次方程一般式20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x ，即42b x a-±=；再计算12x x +、12x x ⋅的值即可。
3、推论：（1）以根12,x x 的一元二次方程可表示为21212()0x x x x x x -++⋅=或0))((21=--x x x x 。
（2）若一元二次方程首项系数为1（20x px q ++=）的两根为12,x x ，则1212,x x p x x q +=-⋅=。
4、韦达定理的应用（1）判定根的符号①若120c x x a ⋅=>，120bx x a +=->则：两根同正，120,0x x >>；②若120c x x a ⋅=>，120bx x a +=-<则：两根同负，120,0x x <<；③若120c x x a ⋅=<，120bx x a +=->则：两根异号，12,x x 一正一负；①若120c x x a ⋅=<，120bx x a+=-<则：两根异号，12,x x 一正一负。
注意：求与方程的根有关代数式的值时，一般先将所求的形式化为两根之和积的形式再整体代入。
韦达定理初中教案
韦达定理初中教案教学目标：1. 理解并掌握韦达定理的内容及应用；2. 能够运用韦达定理解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 韦达定理的表述及证明；2. 韦达定理的应用。
教学难点：1. 韦达定理的推导过程；2. 灵活运用韦达定理解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示韦达定理的推导过程和应用实例；2. 学生准备笔记本，记录重要的知识点和解题步骤。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一元二次方程的根与系数的关系；2. 提问：你们认为一元二次方程的根与系数之间有什么联系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍韦达定理的背景和意义；2. 讲解韦达定理的表述及证明过程；3. 通过例题展示韦达定理的应用。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 挑选几位学生的作业进行讲解和分析。
四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考：如何利用韦达定理解决实际问题？2. 举例讲解如何利用韦达定理解决实际问题；3. 让学生分组讨论，提出自己遇到的实际问题，共同解决。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结韦达定理的表述和应用；2. 提问：你们认为韦达定理在数学中有什么重要性？教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生练习题的完成情况；3. 学生对实际问题的解决能力。
教学反思：本节课通过讲解韦达定理的表述及证明，让学生了解并掌握韦达定理的内容及应用。
在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对韦达定理有一定的理解。
但在拓展与应用环节，部分学生对如何将韦达定理应用于实际问题还存在一定的困难。
在今后的教学中，可以更多地举一些实际例子，让学生更好地理解和运用韦达定理。
【教学设计】韦达定理.doc
《韦达定理专题复习》教学设计
一、教学目标
知识技能目标
1.能说出根与系数的关系；
2.会利用根与系数的关系解有关的问题。
过程性目标
在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦。
情感态度目标
1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯；
2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神。
二、重点和难点：
重点：使用韦达定理的使用前提；
难点：对根与系数这一性质进行应用。
三、情感态度和价值观
1．保持对数学和生活的兴趣，增强对数学的亲近感，乐于探究科学奥秘。
2．通过参与实验活动，体验科学探究的乐趣，学习科学研究的方法，培养实践能力以及创新意识。
六、教学过程
=OC·OD=48。
05.韦达定理学案
2016届自主招生数学教学内容05．韦达定理学案【教学目标】1．通过具体特例获得韦达定理，从而渗透归纳猜想的思想．2．会用韦达定理解有关一元二次方程根与系数关系的问题，渗透化归的思想． 【教学重点】通过具体特例获得韦达定理，从而渗透归纳猜想的思想． 【教学难点】会用韦达定理解有关一元二次方程根与系数关系的问题． 【教学过程】 一．复习引入 1．问题（1）解方程0322=--x x ；051892=+-x x ，并分别求两根之和21x x +与两根之积21x x ．问题（2）分别考察21x x +与21x x 方程系数的关系．2．归纳猜想：若21,x x 是一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac ba c bx ax 的两个根，则21x x +, 21x x 与c b a ,,的关系．二．韦达定理 1．韦达定理：若21,x x 是一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个根，则ab x x -=+21,ac x x =21．反之，如果ab x x -=+21,ac x x =21，则21,x x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 两个根． 2．学生给出证明：3．练习1：若下列方程有解，试分别写出两根之和与两根之积．（1）06322=-+x x ； （2）01442=+-x x ； （3）06322=++x x ．练习2：：已知方程022=++c bx x 两根和为23-，两积为-3，求a , b 的值．三．定理应用例1．已知21,x x 是方程02=++m mxx 的两个根．（1）求m 的取值范围；（2）当2-=m 时，求2221x x +的值；（3*）求2221x x +的取值范围．例2．已知抛物线322-+-=mx x y 与x 轴交于不同两点A 、B ．（1）若A 点横坐标为1，求B 点的横坐标； （2）若A 、B 两点间距离为1，求m 的值．（或条件改为：方程0322=-+-mx x两根为21,x x ）练习：已知方程06322=-+x x 两根为21,x x ，分别求221)(x x -；2221x x +；1221x x x x +；3231x x +的值．例3*．已知方程01)1(2=+-+x m x 有两个不同的实数解21,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）若0,021>>x x ，求m 的取值范围．四．小结与作业1．小结：韦达定理实质：反映了一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 根与系数的关系，在解决实际问题过程中，往往不通过求解方程的根而解决问题．注意的是：定理的前提是：方程有解（如例1、例3）． 今后常会碰到：用a , b , c 表示2221x x +；||21x x -等．2．可给出韦达定理其他证明： （1）0,0122121=++=++c bx ax c bx ax 两式相减求得21x x +（注意21x x =的讨论）；两式相加可得21x x ． （2）由))((212x x x x a c bxax --=++比较可得．3．作业：见讲义。
初高中数学衔接教材---韦达定理公开课教学设计
《韦达定理及其应用》教学设计设计者：海口二中庞桔云一.教材分析《韦达定理及其应用》是初高中数学衔接教材的一节重要内容.本节内容是在初中学过的二次项系数为1时根与系数的关系的基础上进行的，教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。
通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
二.学情分析本课的教学对象是刚从初中升高一的学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；在教学中应多类比初中学过的知识，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
根据教学内容的地位和作用结合学生的具体学习情况，我制定了如下的教学目标和教学重难点：三.教学目标知识与技能：理解一元二次方程根与系数的关系，并会用根与系数的关系解决各类数学问题。
过程与方法：经历观察——转化——类比的思维过程得出韦达定理，逐步掌握从特殊到一般的转化思想。
情感态度与价值观：激发求知欲，提高探索数学知识的积极性，通过合作学习，培养学生的动手探究、交流合作的能力和探索精神.四.教学重、难点教学重点：一元二次方程的根与系数的关系的应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的理解。
五.教学策略与手段教学策略与方法：观察发现、类比引导、相互探究讨论，自我展示讲解的教学方法.教学手段：将多媒体技术和传统的教学手段相结合.其目的是充分发挥各种媒体的特长，在优化组合的基础上，提高教学效率，改善教学效果.六.教学过程。
韦达定理教案（大全五篇）
韦达定理教案（大全五篇）第一篇：韦达定理教案教案：韦达定理一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．三、教学过程（一）定理的发现及论证提出问题：已知α，β是方程2x2-3x-1=0的两根，如何求α3+β3的值1.你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1）2和3 2）—4和7问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？观察、思考、探索：2x-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？ 2问题2；对于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？22结论1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-bc,x1x2=aa结论2．如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．（二）定理的应用例1、关于x的方程x-2x+m=0 的一根为2，求另一根和m的值。
2例2.已知α,β是方程2x2-3x-1=0的两根,不解方程，求下列各式的值.11(1)+(2)(α+1)(β+1)αβ(3)α2+β2（5）α+β33(4)|α-β|例2、已知x1,x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根且x1x2-(x1+x2)=115，求k值。
例3已知实数a,b分别满足a+2a=2,b+2b=2且a≠b,求222211+的值 ab（三）总结一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，为进一步学习使用打下坚实基础．韦达定理的内容2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=- ba，1·2=xxca②如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2第二篇：韦达定理代数式的值教案根与系数的关系2教学目标：1、会利用韦达定理求出与根有关的代数式的值2、学会灵活多变的代数式变形3、会求作新方程一、知识回顾1、设、代数式是方程=。
初高中衔接教材教案2韦达定理、一元二次方程、判别式
一元二次方程【学习目标】：1．熟练掌握一元二次方程的解法及其根的判断；2．理解韦达定理并能运用其来处理相关问题。
【复习引入】：一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法及韦达定理的运用．1．概念:方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 称为一元二次方程．2．基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．3．对于方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)，△=b 2-4ac 称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个 的实数根，即当△=0时，方程有两个 的实数根，即当△＜0时，方程 实数根．4． (1)若一元二交方程ax 2+bx +c =0 （a ≠ 0）的两个根为x 1,x 2，则x 1+x 2=_____，x 1x 2=_______. （韦达定理）(2)若x 1,x 2是方程x 2+px +q =0的二根，则p =______, q =_______，以实数x 1,x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________.【典例欣赏】：例1. 试用多种方法解方程：x 2－3x +2=0例2. 已知m,n 为整数，关于x 的三个方程：x 2+(7－m )x +3+n =0有两个不相等的实数根；x 2+(4+m )x +n +6=0有两个相等实数根；x 2－(m －4)x+n+1=0没有实数根. 求m,n 的值 。
变题：已知实数x 、y 满足01222=+-+-+y x xy y x ，试求x 、y 的值。
例3．若21,x x 是方程0201022=-+x x 的两个根，试求下列各式的值：（1）21x x +，21x x ⋅；（2）2111x x +；（3）2221x x +，21x x -；（4）)1()1(21+⋅+x x例4．已知21,x x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。
初三升高一数学暑假班衔接课：02—韦达定理-教师版
高一数学暑假班（教师版）高一数学暑假课程韦达定理（教师版）1 / 20韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。
而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．一、运用韦达定理，求方程中参数的值【例1】已知方程5x2＋kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．高一数学暑假课程韦达定理（教师版）3 / 204 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．设方程的另一个根为1x ，则5621-=x ，531-=∴x ．由5253(k-=+-，得7-=k ．所以，方程的另一个根为53-．k 的值为-7．【巩固训练】1．1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．【难度】★★ 【答案】5132m -<≤2．0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值． 【难度】★★ 【答案】58 【解析】由方程的结构可知a 、b 1是方程08199952=+-x x 的两根，由韦达定理可得58=b a二、运用韦达定理，求代数式的值【例2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根．5 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）(1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：分别变形为可以利用x 1＋x 2和x 1x 2来表示的形式．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根，2521-=+∴x x ，2321-=x x ．(1)∵|x 1-x 2|2=21x ＋22x -2x 1x 2=(x 1＋x 2)2-4x 1x 223(425(2-⨯--=6425+=449=， 27||21=-∴x x ． (2)493425)23()23(2)25()(2)(112222121221222122212221+=--⨯--=-+=⋅+=+x x x x x x x x x x x x 937=． (3)31x ＋32x =(x 1＋x 2)(21x -x 1x 2＋22x )=(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2-3x 1x 2]8215)]23(325[()25(2-=-⨯--⨯-=．评析：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：6 / 20高一数学暑假课程 韦达定理（教师版） 设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a acb b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=． 于是有下面的结论：【例3】已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：运用根的意义和根与系数关系解题．解：由于α、β是方程x 2＋2x -5=0的实数根，∴α2＋2α-5=0，αβ=-5，∴α2＋2α=5 ∴α2＋αβ＋2α=α2＋2α＋αβ =5-5=0评析：注意利用变形为可以用根系关系表示的形式．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1) 恰当组合； (2) 根据根的定义降次； (3) 构造对称式．【例4】关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．7 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】3【巩固训练】1．已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．【难度】★★ 【答案】02．设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值． 【难度】★★ 【答案】3100-3．设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值． 【难度】★★ 【答案】-5三、利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况【例5】已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析8 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 【解析】分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此其根的判别式应大于等于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得x 1＋x 2=-2(m -2)，x 1·x 2=m 2＋4． ∵21x ＋22x -x 1·x 2=21， ∴(x 1＋x 2)2-3x 1·x 2=21， 即[-2(m -2)]2-3(m 2＋4)=21，化简，得m 2-16m -17=0，解得m =-1，或m =17． 当m =-1时，方程为x 2-6x ＋5=0，Δ>0，满足题意；当m =17时，方程为x 2＋30x ＋293=0，Δ=302-4×1×293<0，不合题意，舍去． 综上，m = -1．评析：在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．【例6】已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：利用判别式和根与系数关系共同解决本题．解：由Δ=-32m ＋16≥0得21≤m ．x 1＋x 2=-m ＋1，041221≥=m x x ． ∴x 1与x 2可能同号，分两种情况讨论：9 / 20韦达定理（教师版）(1)若x 1>0，x 2>0，则⎩⎨⎧>>+02121x x x x ，解得m <1且m ≠0．21≤∴m 且m ≠0． (2)若x 1<0，x 2<0，则⎩⎨⎧><+002121x x x x ，解得m >1，与21≤m 相矛盾．综上所述：当21≤m 且m ≠0时，方程的两根同号．【例7】一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】【解析】构造二次函数()a x x x f +-=42，由()03<f 即可满足题意【例8】已知一元二次方程222(9)560x a x a a +-+-+=一个根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围． 【难度】★★【答案】 【解析】构造二次函数()()659222+-+-+=a a x a x x f ，由()00<f 且()02<f 即可满足题意【巩固训练】1．已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围3<a 382<<a10 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】m >72．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】3．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ． (1) 求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根．(2) 若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析： 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．11 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 解：(1)△=2m 2-4m +4=2(m -1)2+2>0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2) ∵x 1·x 2=24m -≤0，∴1x 、2x 异号或其中一根为0，∴对212+=x x 可分两种情况讨论，去掉绝对值.当x 1≥0，x 2<0时，-x 2-x 1=2，即-(m -2)=2，解得m =0， 此时，方程为x 2+2x =0，解得x 1=0，x 2=-2； 当x 1≤0，x 2>0时，x 2+x 1=m -2=2，解得m =4， 当m =4时，x 2-2x -4=0， 解得11x =，21x =.4．若关于x 的方程20x x a ++=的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】2a <-四、 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例9】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 【难度】★★ 【答案】B【解析】评析 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程12 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．【例10】解方程121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ． 【难度】★★【答案】-1，-4，28952895-+，． 【解析】分析：观察方程左边两式的关系，用换元法，令t x x xx =-++4322代入求解．【巩固训练】1．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】11182m <≤ 【解析】提示：根据两边之和、两边之差的关系及△≥0得到．2．已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程04721(222=+-+-m mx x 的两个根．(1) 当m =2和m >2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由；(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ=1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长；13 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）(3) 在(2)的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan ∠BDC 和tan ∠BCD ． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】(1)当m =2时，x 2-4x +4=0． ∵△=0，方程有两个相等的实数根．∴AB=CD ，此时AB ∥CD ，则该四边形是平行四边形； 当m >2时，△=m -2>0， 又∵AB+CD=2m >0，∴AB≠CD ． 该四边形是梯形．(2) 根据三角形的中位线定理可以证明：连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半． 则根据PQ=1，得CD-AB=2．由CD-AB=||||21a x x ∆=-解得m =3 当m =3时，则有x 2-6x +8=0， ∴x =2或x =4， 即AB=2，CD=4(3)根据该梯形是等腰梯形，平移一腰，则得到等边△BEC ． ∴∠BCD=60°，∠BDC=30°．tan ∠BDC•tan ∠BCD=1．评析：对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．14 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD=m ，BD=n ，AC 2：BC 2= 2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求：m ，n 为整数时，一次函数y =mx +n 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】=∴m =2n …①， ∴4n 2-m 2-8n +16≥0，把①代入上式得n ≤2…②， 则x 1+x 2=8(n -1)，x 1•x 2=4(m 2-2)，依题意有(x 1-x 2)2<192，即[8(n -1)]2-16(m 2-12)<192， ∵m 、n 为整数，∴n 的整数值为1，2，当n =1，m =2时，所求解析式为y =2x +1，当n =2，m =4时，解析式为y =4x +2．15 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．一、选择题1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，3 【难度】★★ 【答案】C2．在R t △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 【难度】★★ 02=++p qx x16 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【答案】B3．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．21 【难度】★★ 【答案】C4．两个质数a 、b 恰好是整系数方程x 2-99x +m =0的两个根，则baa b +的值是 ( )A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．979413【难度】★★ 【答案】B5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为 ( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x【难度】★★ 【答案】D6．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )17 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）A ．0≤m ≤1B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤1【难度】★★ 【答案】C二、填空题7．关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______【难度】★★ 【答案】-18．CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ． 【难度】★★ 【答案】69．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．【难度】★★ 【答案】510．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：设x 1，x 2是方程的两个根，则①x 1+x 2=-p ，②x 1x 2=q ， ∵②-①得：p+q=28，18 / 20高一数学暑假课程∴x 1x 2-x 1-x 2=28， ∴x 1x 2-x 1-x 2+1=28+1， ∴x 1(x 2-1)-(x 2-1)=29， 即(x 1-1)(x 2-1)=29， ∵两根均为正整数，∴x 1-1=1，x 2-1=29或x 1-1=29，x 2-1=1，∴方程的两个根是：x 1=2，x 2=30．或x 1=30，x 2=2． 故答案为：x 1=30，x 2=2．三、解答题11. 若关于x 的一元二次方程3x 2+3(a +b )x +4ab =0的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：(a +b )2≤4正确．理由：原式可化为(x 1+x 2)2-=3x 1x 2+1， ∴(a +b )2=4ab +1，∵△=9(a +b )2-4×3×4ab ≥0， ∴3(a +b )2-4×4ab ≥0， ∴4ab ≤3，∴4ab +1≤4，即(a +b )2≤4．12．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ． (1) 当k 为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x19 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】(1)512k ≤；(2) 0．13．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac =4(m -2)2-4(m 2-3m +3)=-4m +4>0，∴m <1， 结合题意知：-1≤m <1．(1)∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4(m -2)2-2(m 2-3m +3)=2m 2-10m +10=6 ∴m==∴当m =-1时，式子取最大值为10．14．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根，并且使方程20xx a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根，试求a b c ++的值．【难度】★★★【答案】见解析∴x2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根，因此两式相减有(a-1)(x2-1)=0，当a=1时，这两个方程无实根，故x2=1，从而x1=1，于是a=-2，b+c=-1，所以a+b+c=-3．高一数学暑假课程韦达定理（教师版）20 / 20。
初高中数学衔接学案三韦达定理
初高中数学衔接学案三.根与系数的关系学习目标：灵活应用韦达定理解决一元二次方程根与系数的关系 .（说明：根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，但在高中解决二次方程的问题时，经常用到，高中教材却未安排专门的讲授。
）二．问题导学问题1：当042≥-ac b 时，请写出一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）的两根1x ,2x ，并求出1x +2x ； 21x x ⋅问题2：使用韦达定理时应满足那些条件？问题3：思考：我们能说方程0322=+-x x 的两根之和为21，两根之积为23吗？ 三．例题精讲例1已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。
例2 若1x 和2x 分别是一元二次方程22x ＋5x －3＝0的两根。
（1）求|1x －2x |的值； （2）求221211x x +的值； （3）31x ＋32x 。
例3已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数。
例4 若关于x 的一元二次方程2x －x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围。
四．衔接训练1．已知关于x 的方程2x ＋k x －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）22.关于x 的一元二次方程a 2x －5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）3.若关于x 的方程2x ＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1（D ）04.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程22x －8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（ ） （A （B ）3 （C ）6 （D ）95.如果a 、b 是方程012=-+x x 的两个实数根，那么代数式3223b ab b a a +++ 的值是____________.6.已知菱形ABCD 的边长为5，两天对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程03)12(22=++-+m x m x 的两根，则m 等于（ ）A ．-3 B.5 C.5或-3 D.-5或37．已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=。
韦达定理的运用
一元二次方程跟与系数关系韦达定理的应用一 教材分析本节教学内容为“韦达定理的应用”,此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法;韦达定理联系了方程根与系数的关系,是学生在解决应用问题中的重要工具,具有广泛的应用价值,根据教材内容,由学生已知的认知结构及原由的知识水平,制定如下教学目标:二 教学目标1、巩固上一节学习的韦达定理,并熟练掌握韦达定理的应用;2、提高学生综合应用能力三 教学重难点重点:运用韦达定理解决方程中的问题难点:如何运用韦达定理四 教学过程一 回顾旧知,探索新知上节课我们学习了韦达定理,我们回忆一下什么是韦达定理如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x那么ac x x a b x x =⋅-=+2121, {老师:由韦达定理我们可知,韦达定理表示方程的根与系数的关系,如果在方程中遇到需要求解根的情况,我们是否能用韦达定理来解决呢 今天我们将来探讨这个问题;二 举例分析例 已知方程0652=-+kx x 的一根是2,求它的另一根及k 的值;请同学们分析解题方法:思路:应用解方程的方法,带入法解法一:把X=2代入方程求的K=-7把K=-7代入方程:06752=--x x 运用求根公式公式解得53,221-==∴x x 提问:同学们还有没有其它方法呢启发学生,我们已知方程一根,求另一根,我们否能用韦达定理建立一个关系,求解方程; 解法二:设方程的两根为21,x x ,则21,2x x =是未知数用韦达定理建立关系式53,56222-=∴-=x x 7,53,27,52212-=-==∴-=∴-=+k x x k k x 对比分析,第二种方法更加简单总结:在解方程的根时,利用韦达定理会使求解过程更为简单,且不用解方程,直接求某些代数式的值例2 不解方程,求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的1平方和；2倒数和方法小结:1运用韦达定理求某些代数式的值,关键是将所求的代数式恒等变形为用2121,x x x x ⋅+的代数式表示;2格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为; ②求出2121,x x x x ⋅+的值 ; ③将所求代数式用2121,x x x x ⋅+的代数式表示 ; ④ 将2121,x x x x ⋅+的值代人并求值;三 综合运用 巩固新知1、求一个一元二次方程,使它的两根分别是解：2、设21,x x 是方程03422=-+x x 的两根,利用根与系数的关系,求下列各式的值;1()()1121++x x2()221x x - 32112x x x x + 3 已知方程032=+-m x x 的两根差的平方是17,求M 的值板书设计。
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方程与方程组以及不等式
韦达定理
一、 【归纳初中知识】
1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。
2、对于任意的一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax ，通过判别式ac b 42-=∆能够判断其方程解的个数。
二、 【衔接高中知识】
我们已经知道)0(02
≠=++a c bx ax 如果有两个解，则其分别为； a ac b b x 2421-+-=，a
ac b b x 2422---= 则我们可以得到⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 上面揭示了二次方程的根与系数c b a ,,之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。
反之，若21,x x 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+a c
x x a b x x 2121，则我们可以说21,x x 一定是)
0(02≠=++a c bx ax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。
三、 【例题精讲】
例1：若21,x x 是0122=-+x x 的两个根，求：
（1）2221x x +；（2）22
2111x x +；（3）21x x -；（4）3231x x +,. 解析：略，注意a
x x x x x x ∆=-+=-21221214)(
例2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为5-和
32. 解析：0)32)(5(=-+x x 或03103132=-+
x x
例3：已知关于x 的方程014
1)1(22=+++-k x k x ，根据下列条件，分别求出满足条件的k 值.
（1）方程两实根之积为5；（2）方程两实根满足21x x =.
解析：（1）451410)141(4])1([22122=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=≥+-+-=∆k k x x k k （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎩
⎪⎨⎧>⇒>∆-=⇒=+=⇒=∆⇒=⇒=无解23010230212121k k x x k x x x x 综上，若21x x =，则2
3=
k
例4：若21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个根，当m 为何值时，2221x x +取得最小值？请你求出这个最小值 解析：23222322)2(2)(222
212212221+-=-+⋅-=-+=+m m m m m x x x x x x 当43=m 时，有最小值8
7 例5：已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且两根平方和比两根
之积大21，求m 的值.
解析：1017163)(221221212221-=⇒⎩
⎨⎧≥∆--=-+=-+m m m x x x x x x x x
例6：若关于x 的方程02=++a x x 有两个根：
（1）当其中一个大于1，另一个小于1时，求a 的取值范围；
（2）当两个根都小于1时，求a 的取值范围.
解析：（1）由已知设0)1)(1(1,12121<--⇒<>x x x x 且0>∆
所以20
41021)()1)(1(212121-<⇒⎩⎨⎧>-<+=++-=--a a a x x x x x x （2）法一：41204102)1)(1(21≤<-⇒⎩⎨⎧⇒
≥-=∆>+=--a a a x x 法二：借鉴二次函数图形，根据两根均小于1可知当1=x 时，函数值011>++a ，同时也需满足0≥∆
例7：若21,x x 是方程01)12(22=+++-k x k x 的两实数根，且均大于1.
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若2
121=x x ，求k 的值 解析：（1）143430)1(4)12(101)12(1)1)(1(22221≠≥⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≥⇒≥+-+=∆≠⇒>++-+=--k k k k k k k k x x 且 （2）)(171)12(29219)12(3122221
221212121舍去或==⇒++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+⇒=+=+k k k k x k x x x k x k x x
***例8：已知b a ,是一元二次方程012=--x x 的两个实数根，求)2(2
2-+b a a 的值. 解析：120
101222-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=--b b b b a a 01)1()2(2222=+=+-=-+=-+∴ab ab a a b a a b a a
课后习题
1、关于x 的一元二次方程0522=++-a a x ax 其中一个根是0，则a =10-或
2、关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ：
（1）若有一个根为0，则7=m ，此时方程另一个根为：1
（2）若两根之和为53-
，则9-=m ，此时方程两个根分别为：1,58- 3、方程01222=-+x x 的两根为21,x x ，则321=-x x
4、设21,x x 为方程02=++q px x 的两根，且1,121++x x 为方程02
=++p qx x 的两根，则________________,==q p 解析：由题意有⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=++--=+-⇒⎩⎨⎧=++-=++⎩⎨⎧=-=+3112)1)(1(221
212121q p p q p q p p x x q x x q x x p x x 和 *5、已知实数c b a ,,满足b a -=6，92
-=ab c ，则____________,______,===c b a 解析：由题意有的两根是方程096,9
6222=++-⇒⎩⎨⎧+==+c x x b a c ab b a 300)9(4362==⇒=⇒≥+-=∆∴b a c c
***6、若1≠ab ，且09201952=++a a ，05201992=++b b ，则9
5=a b 解析：的两根为方程09201951,091201915092019509120191505201992222=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=++=+⋅+⋅
⇒=++x x b a b b
a a
b b b b
故5
9=b a 7、已知关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 两根之比为5:3，求证：21564b ac = 证明：设222222121211564156415641585,3b ac ac b a c a b a c
k x x a b k x x k x k x =⇒=⇒=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-==+⇒==
8、已知方程05)2(22
2=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 解析：由题意⎪⎩⎪⎨⎧==⇒-=-⇒+=≤⇒≥---⇒≥∆)(31)2(45)(24
90)5(4)2(402212
122舍去或a a a a x x x x a a a 综上，1=a
9、若一元二次方程04)1(2=++-x m x 的两个根均满足30≤≤x ，求m 的取值范围 法一：借助函数图像可知：
①当3,0==x x 时函数值均0≥3
1004)1(39≤⇒≥++-⇒m m ②350≥-≤⇒≥∆m m 或 ③对称轴5132
10≤≤-⇒≤+≤
m m 综上，3103≤≤m
法二：设两根为21,x x ，则有31033
503100)3)(3(51602121≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤⇒≥∆≤⇒≥--≤≤-⇒≤+≤m m m m x x m x x 或。