一元二次方程的解法例析

一元二次方程的解法例析

【要点综述】：

且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。

下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：

方法适合方程类型注意事项

直接开平方法

≥0时有解，＜0时无解。

配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，

再进行配方。

公式法

≥0时，方程有解；＜0

时，方程无解。先化为一般形式再用公式。

因式分解法方程的一边为0，另一边分

解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。

【举例解析】

例1：已知，解关于的方程。

例2：用开平方法解下面的一元二次方程。

（1）；（2）

（3）；（4）

说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，

像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，

只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。

例3：用配方法解下列一元二次方程。

（1）；（2）

说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。

配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；

再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。

例4：用公式法解下列方程。

（1）；（2）

说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。

例5：用分解因式法解下列方程。

（1）；（2）

说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的。

把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。

从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，

转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0，把方程另一边分解因式，配方，或利用求根公式法。

另外，在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单

方法时，

即考虑化为一般形式后使用公式法。

例6：选用恰当的方法解下列方程。

（1）；（2）

（3）；（4）

总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。

【附训练典题】

1、用直接开平方法解下列方程：

（1）；（2）；

（3）；（4）.

2、用配方法解下列方程：

（1）；（2）；

（3）；（4）.

3、用公式法解下列方程：

（1）；（2）；（3）；（4）.

4、用因式分解法解下列方程：

（1）；（2）；

（3）；（4）.

5、选用适当的方法解下列方程：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）