一元二次方程的解法例析

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一元二次方程的解法及其应用

一元二次方程的解法及其应用一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。

解法：一元二次方程的解法主要有两种：因式分解法和求根公式法。

1. 因式分解法：当一元二次方程的形式可以直接因式分解时，使用因式分解法可以快速求得其解。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。

根据零乘法，当一个乘积等于零时，其中一个或多个因子必须为零。

因此，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，从而解得x = -2或x = -3。

这两个解是方程的根，即方程的解集为{-2, -3}。

2. 求根公式法：对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式法求得其解。

根据求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，我们可以直接计算出方程的解。

例如，对于方程2x^2 + 5x - 3 = 0，根据求根公式，我们有x = (-5 ±√(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)。

计算得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4，进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4，即x = (-5 ± 7) / 4。

因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4或x = (-5 - 7) / 4，简化得x = 1/2或x = -3/2。

解集为{1/2, -3/2}。

应用：一元二次方程的解法在数学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 几何问题：一元二次方程的解法可以应用于几何问题中，例如求解二次函数的零点，即方程y = ax^2 + bx + c = 0的解，可以帮助我们确定函数的图像与x轴的交点，从而求得抛物线的顶点、焦点等信息。

2. 物理问题：在物理学中，一元二次方程的解法可以用于解决与运动和力有关的问题。

一元二次方程四种解法例题

一元二次方程四种解法例题一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。

下面是四种解法例题：1. 解法一：使用因式分解法例题：解方程x^2 - 5x + 6 = 0解答：首先，观察方程中的系数 a、b、c，可以发现 a = 1，b = -5，c = 6。

根据因式分解法，我们需要找到两个数的乘积等于 c，且两个数的和等于 b。

在本例中，c = 6，因此我们需要找到两个数的乘积等于 6。

观察可知，3 和 2 的乘积等于 6，且它们的和等于 -5。

因此，我们可以将方程进行因式分解：(x - 3)(x - 2) = 0根据零乘法，当一个乘积等于 0 时，至少有一个因子等于 0。

因此，我们可以得到以下两个方程：x - 3 = 0 或 x - 2 = 0解上述两个方程，得到：x = 3 或 x = 2所以，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为 x = 3 或 x = 2。

2. 解法二：使用求根公式例题：解方程2x^2 - 3x - 2 = 0解答：根据求根公式，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在本例中，a = 2，b = -3，c = -2。

将这些值代入求根公式，我们可以得到：x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4*2*(-2))) / (2*2)= (3 ± √(9 + 16)) / 4= (3 ± √25) / 4= (3 ± 5) / 4因此，我们得到两个解：x1 = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2x2 = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -1/2所以，方程2x^2 - 3x - 2 = 0的解为 x = 2 或 x = -1/2。

3. 解法三：使用配方法例题：解方程x^2 + 4x - 5 = 0解答：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用配方法来求解。

一元二次方程解法例子

一元二次方程解法例子一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c分别为常数，且a≠0。

解一元二次方程的一般方法是使用求根公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

下面将列举10个关于一元二次方程解法的例子。

例子1：已知一元二次方程2x^2+3x-4=0，求解该方程。

解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=2，b=3，c=-4，可以得到x=(-3±√(3^2-4×2×(-4)))/(2×2)。

进一步计算可得x=(-3±√(9+32))/4，即x=(-3±√41)/4。

因此，该方程的解为x=(-3+√41)/4和x=(-3-√41)/4。

例子2：已知一元二次方程x^2-5x+6=0，求解该方程。

解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=1，b=-5，c=6，可以得到x=(-(-5)±√((-5)^2-4×1×6))/(2×1)。

进一步计算可得x=(5±√(25-24))/2，即x=(5±√1)/2。

因此，该方程的解为x=(5+√1)/2和x=(5-√1)/2。

例子3：已知一元二次方程3x^2+5x+2=0，求解该方程。

解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=3，b=5，c=2，可以得到x=(-5±√(5^2-4×3×2))/(2×3)。

进一步计算可得x=(-5±√(25-24))/6，即x=(-5±√1)/6。

因此，该方程的解为x=(-5+√1)/6和x=(-5-√1)/6。

例子4：已知一元二次方程2x^2-7x+3=0，求解该方程。

解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=2，b=-7，c=3，可以得到x=(-(-7)±√((-7)^2-4×2×3))/(2×2)。

一元二次方程的解法及应用

一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。

解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。

本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。

一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。

具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。

二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。

其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。

例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。

三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。

一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。

具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。

一元二次方程及其解法

一元二次方程及其解法一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，且a ≠ 0。

解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法、公式法和完成平方法等。

本文将逐一介绍这些解法，并通过例子加深理解。

一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，可以利用因式分解的形式将方程解出。

具体步骤如下：1. 将方程ax^2 + bx + c = 0进行因式分解，得到(ax + m)(x + n) = 0的形式；2. 根据分解得到的(x + m)(x + n) = 0，可得到两个线性方程x + m = 0和x + n = 0；3. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -m和x = -n。

例如，解方程2x^2 + 5x + 3 = 0：1. 将方程因式分解为(2x + 1)(x + 3) = 0；2. 得到两个线性方程2x + 1 = 0和x + 3 = 0；3. 解得x = -1/2和x = -3。

二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，可以利用配方法将其转化为可因式分解的形式。

具体步骤如下：1. 对方程ax^2 + bx + c = 0，将b项的系数b拆分成两个数p和q，使得p + q = b且pq = ac；2. 将方程重写为ax^2 + px + qx + c = 0，并进行合并得到ax^2 +(p+q)x + c = 0；3. 将方程的前两项进行因式分解，并重写为a[x^2 + (p+q)x] + c = 0；4. 提取公因式，得到a[x(x + (p+q))] + c = 0；5. 将方程重新整理为a(x + p)(x + q) = 0的形式；6. 根据分解得到的(x + p)(x + q) = 0，可得到两个线性方程x + p = 0和x + q = 0；7. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -p和x = -q。

例如，解方程2x^2 + 7x + 3 = 0：1. 将方程配成2x^2 + 6x + x + 3 = 0；2. 可以选择p = 3和q = 1，满足p + q = 7且pq = 6；3. 将方程重写为2x(x + 3) + (x + 3) = 0，并合并得到2x(x + 3) + (x +3) = 0；4. 提取公因式，得到(x + 3)(2x + 1) = 0；5. 因式分解后得到(x + 3)(2x + 1) = 0；6. 得到两个线性方程x + 3 = 0和2x + 1 = 0；7. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -3和x = -1/2。

解一元二次方程的方法

解一元二次方程的方法一元二次方程在初中数学中是一个重要的概念，也是数学学习中的一个难点。

掌握解一元二次方程的方法对学生来说至关重要。

本文将介绍几种解一元二次方程的方法，并通过具体的例子来说明。

一、因式分解法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a≠0，我们可以尝试使用因式分解法来解方程。

首先，我们将方程进行因式分解，得到(ax+m)(x+n)=0，其中m和n是待定系数。

然后，根据零乘法，我们得到两个方程ax+m=0和x+n=0。

解这两个方程，即可得到方程的解。

例如，解方程x^2-5x+6=0。

我们可以将方程进行因式分解，得到(x-2)(x-3)=0。

根据零乘法，我们得到两个方程x-2=0和x-3=0。

解这两个方程，可得到方程的解x=2和x=3。

二、配方法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a≠0，我们可以使用配方法来解方程。

首先，我们将方程两边同时乘以一个适当的常数，使得方程的左边可以表示为一个完全平方。

然后，我们将方程进行变形，得到一个平方差的形式。

最后，我们可以通过开平方的方法求解方程。

例如，解方程x^2-6x+8=0。

我们可以通过配方法来解方程。

首先，我们将方程两边同时乘以4，得到4x^2-24x+32=0。

然后，我们将方程进行变形，得到(2x-4)^2-16=0。

最后，我们通过开平方的方法求解方程，得到2x-4=±4。

解这个方程，可得到方程的解x=2和x=6。

三、求根公式法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a≠0，我们可以使用求根公式法来解方程。

一元二次方程的解可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得。

例如，解方程2x^2-5x+2=0。

我们可以使用求根公式法来解方程。

根据求根公式，我们可以得到方程的解x=(5±√(5^2-4*2*2))/(2*2)。

计算得到，方程的解x=1/2和x=2。

综上所述，解一元二次方程的方法包括因式分解法、配方法和求根公式法。

一元二次方程的解法详细解析

一元二次方程的解法详细解析只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

下面小编和你具体讲解一元二次方程的四种解法例析。

一元二次方程的解法例析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。

在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。

根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。

一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。

因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。

下面再讲一元二次方程的解法。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。

配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。

公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。

先化为一般形式再用公式。

因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。

方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。

【举例解析】例1：已知，解关于的方程。

分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。

解：由得：或，当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即，解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。

通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。

一元二次方程解法例子

一元二次方程解法例子一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a不等于0。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式以及图像法等。

下面将分别以这些方法为例，详细介绍解一元二次方程的步骤和原理。

一、因式分解法：因式分解法是一种常用的解一元二次方程的方法，适用于方程可以通过因式分解得到的情况。

具体步骤如下：1. 将方程移到一边，使方程等于0。

2. 尝试将方程进行因式分解，将其拆分为两个一次因式的乘积。

3. 令每个一次因式等于0，解出对应的一次方程。

4. 得到方程的解。

例如，解方程x^2 - 5x + 6 = 0：1. 将方程移到一边，得到x^2 - 5x + 6 = 0。

2. 尝试将方程因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

3. 令每个一次因式等于0，解出x - 2 = 0和x - 3 = 0，得到x = 2和x = 3。

4. 方程的解为x = 2和x = 3。

二、配方法：配方法是解一元二次方程的另一种常用方法，适用于方程无法通过因式分解得到的情况。

具体步骤如下：1. 将方程移到一边，使方程等于0。

2. 通过添加或减去一个适当的常数，将方程转化为一个完全平方的形式。

3. 对得到的完全平方进行求根运算，得到方程的解。

例如，解方程2x^2 + 7x - 3 = 0：1. 将方程移到一边，得到2x^2 + 7x - 3 = 0。

2. 通过添加或减去一个适当的常数，将方程转化为一个完全平方的形式。

这里可以通过添加3/2来转化方程，得到2x^2 + 7x + 3/2 - 3 - 3/2 = 0，化简得到2x^2 + 7x - 3/2 = (x + 3/2)^2 - 25/4 = 0。

3. 对得到的完全平方进行求根运算，得到x + 3/2 = ±√(25/4)，即x + 3/2 = ±5/2，解得x = -3/2 ± 5/2，即x = -4或x = 1/2。

(完整版)《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

(3 )方法一：《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1.解下列一元二次不等式2 2 2(1)x 5x0 ； (2)x 4x 4 0 ； ( 3) x 4x 5 0所以，原不等式的解集是 {x|x 2}所以原不等式的解集是{x|x 2}原不等式整理得x 2 4x 50.思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答解析： (1) 方法一：因为所以方程 (5)2 4 1 0 25 0x 2 5x 0的两个实数根为:X iX 25x 0的解集是{x|05}.方法二： 2x 5x 0x(x 5)x x 解得x 0 或 x 0，即 0 x 55或xx 5 2x因而不等式 x 5x 0的解集是{x |0 x方法一：因为 0，方程x 2 4x 4 0的解为捲X 2 2 .函数y2x 4x 4的简图为：方法二：x 2 4x 4 (x 2)220 (当 x 2时，(x 2)0)2函数y5}.因而不等式x因为0,方程x2 4x 5 0无实数解,函数y x2 4x 5的简图为：所以不等式x2 4x 5 0的解集是方法二： 2 2x 4x 5 (x 2) 1 1 0所以原不等式的解集是•原不等式的解集是总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁(如第是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，3. 当二次项的系数小于举一反三：【变式1】解下列不等式(1) 2x2 3x(3) 4x2 4x【答案】(1 )方法一：0时, 般都转化为大于0后,2、3小题)；当0且(如第1小题).再解答.因为方程2x23x22x6x2x0.(3)2 43x 2y 2x2 3x(2) 250的两个实数根为:2的简图为:函数0的解集是:X i12，x2{x|x(2x 1)(x1 、{x|x 或x2(2)整理，原式可化为3x2 6x 2 0,因为方法二：•••原不等式等价于•••原不等式的解集是:0,2方程3x 6x 2 0的解x, 12)1或x 2}.20,2}.,X2 1332所以不等式的解集是 (1八.(3 )方法一：因为 02由函数y 4x 4x 1的图象为:1原不等式的的解集是｛—｝•2方法二：•/原不等式等价于：(2x 1)2 0,•••原不等式的的解集是2方程 x 2x 3 0无实数解,3的简图为：函数2的简图为:方法二：x 2 2x 3 •原不等式解集为 . 【变式2】解不等式：6 x 2 【答案】原不等式可化为不等式组 x 2(x1)2 2 x 2x12，即(X 4)(xx(x 1)3) 0 03解得x•原不等式的解集为｛x|类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2.不等式x 2 mx n 0的解集为x (4,5)，求关于x 的不等式nx 解集。

一元二次方程的解法归纳总结

一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法.在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法.我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.一、直接开平方法解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;（3）对于一元二次方程()c b ax =+2: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）022=-x ; （2）081162=-x .分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）22=x2±=x ∴2,221-==x x ;（2）1681,811622==x x 491681±=±=x ∴49,4921-==x x . 例2. 解下列方程:（1）()0932=--x ; （2）()092122=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）()932=-x 33±=-x∴33=-x 或33-=-x∴0,621==x x ;（2）()92122=-x ()4312922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或232-=-x ∴232,23221-=+=x x . 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A ）032=-x （B ）()0412=--x （C ）022=+x （D ）()()2221-=+x 习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=ba 【】（A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3习题4. 解下列方程:（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .习题5. 解下列方程:（1）()09142=--x ; （2）4312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.（1）{}=--3,2min _________;（2）若(){}1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+-y x ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）二、因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:（1）移项把方程的右边化为0;（2）化积将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;（3）转化令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;（4）求解解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.例1. 用因式分解法解方程:x x 32=.解:032=-x x()03=-x x∴0=x 或03=-x∴3,021==x x .例2. 用因式分解法解方程:()()01212=---x x x . 解:()()0211=---x x x()()()()011011=+-=---x x x x ∴01=-x 或01=+x∴1,121-==x x .例3. 解方程:121232-=-x x .解:0121232=+-x x()()023044322=-=+-x x x∴221==x x .例4. 解方程:332+=+x x x .解:()0332=+-+x x x()()()()0310131=-+=+-+x x x x x∴01=+x 或03=-x∴3,121=-=x x .因式分解法解高次方程例5. 解方程:()()0131222=---x x . 解:()()031122=---x x()()()()()()022*******=-+-+=--x x x x x x∴01=+x 或01=-x 或02=+x 或02=-x∴2,2,1,14321=-==-=x x x x .例6. 解方程:()()0343222=+-+x x . 解:()()043322=-++x x()()()()()0113013222=-++=-+x x x x x∵032>+x∴()()011=-+x x∴01=+x 或01=-x∴1,121=-=x x .用十字相乘法分解因式解方程对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当ac b 42-=∆≥0且∆的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.例7. 解方程:0652=+-x x .分析:()124256452=-=⨯--=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式. 解:()()032=--x x∴02=-x 或03=-x∴3,221==x x .例8. 解方程:03722=++x x .分析:25244932472=-=⨯⨯-=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.解:()()0312=++x x∴012=+x 或03=+x ∴211-=x ,32-=x . 例9. 设方程()012012201420132=-⨯-x x 的较大根为a ,方程020*******=-+x x 的较小根为b ,求b a -的值.解:()012012201420132=-⨯-x x ()()()()()()()0120131011201301201320130112013120132013222222=+-=-+-=-+-=--⨯+-x x x x x x x x x x∴01=-x 或0120132=+x ∴22120131,1-==x x ∵a 是该方程的较大根∴1=a020*******=-+x x()()020121=+-x x∴01=-x 或02012=+x∴2012,121-==x x∵b 是该方程的较小根∴2012-=b∴()201320121=--=-b a .习题1. 方程x x 22=的根是__________.习题2. 方程()022=-+-x x x 的根是__________.习题3. 方程0442=+-x x 的解是__________.习题4. 方程()()232+=-+x x x 的解是__________.习题5. 如果()0211+=--x x x ,那么x 的值为【】（A ）2或1- （B ）0或1（C ）2 （D ）1-习题6. 方程()x x x =-2的根是__________.习题7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程0862=+-x x 的根,则该三角形的周长为__________.习题8. 解下列方程:（1）()()x x x -=-2223; （2）()1232+=+x x ;（3）()222344x x x -=+-; （4）2422-=-x x .习题9. 解下列方程:（1）0322=--x x ; （2）0452=+-x x .习题10. 解方程:()()01122122=++++x x .三、配方法解用配方法解一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移把常数项移到方程的右边,注意变号;c bx ax -=+2（2）二化在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;ac x a b x -=+2 （3）三配即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）四开直接开平方; aac b a b x 2422-±=+ （注意:当ac b 42-=∆≥0时方程有实数根）（5）五转把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;a acb a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ （6）解解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=. 说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件是ac b 42-=∆≥0,求根公式为:aac b b x 242-±-=. 例1. 用配方法解方程:0142=--x x .解:142=-x x()5252414422±=-=-+=+-x x x x ∴52=-x 或52-=-x ∴52,5221-=+=x x .例2. 解方程:03232=-+x x .分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步骤,在移项之后,要化二次项系数为“1”. 解:3232=+x x910319119132132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+x x x x x 31031±=+x ∴31031=+x 或31031-=+x ∴31031,3103121--=+-=x x . 例3. 用配方法解关于x 的方程:02=++q px x （q p 42-≥0）.解:q px x -=+224244244222222q p p x q p p x p q p px x -±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++∴242,24222q p p x q p p x --=+-=+ ∵q p 42-≥0 ∴24,242221q p p x q p p x ---=-+-=. 说明: q p 42-≥0既是二次根式q p 42-有意义的条件,也是一元二次方程02=++q px x 有实数根的前提.因此把q p 42-叫做一元二次方程02=++q px x 的根的判别式.习题1. 用配方法解方程0142=++x x ,配方后的方程是【】（A ）()322=+x （B ）()322=-x （C ）()522=-x （D ）()522=+x 习题 2. 若方程082=+-m x x 可以通过配方写成()62=-n x 的形式,那么582=++m x x 可以配成【】（A ）()152=+-n x （B ）()12=+n x （C ）()1152=+-n x （D ）()112=+n x 习题3. 用配方法解方程:（1）012=-+x x ; （2）01632=+-x x ;（3）0652=--x x ; （4）011242=--x x .四、公式法一元二次方程的求根公式一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的求根公式为:aac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0）当042<-ac b 时,一元二次方程无实数根.例1. 证明一元二次方程的求根公式.分析:用配方法可以证明一元二次方程的求根公式.证明:02=++c bx axaac b a b x a ac b a b x ab ac a b x a b x ac x a b x cbx ax 2424424422222222222-±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+-=+ ∴a ac b a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ ∴aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-= 即一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根为a ac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0）. 注意:当ac b 42-≥0时,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有实数根;当042<-ac b 时,二次根式ac b 42-无意义,方程无实数根.公式法解一元二次方程的一般步骤:用公式法解一元二次方程的一般步骤是:（1）把一元二次方程化为一般形式;（2）确定c b a ,,的值,包括符号;（3）当ac b 42-≥0时,把c b a ,,的值代入求根公式求解;当042<-ac b 时,方程无实数根.例1. 用公式法解方程:0622=-+x x .分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式,并正确确定c b a ,,的值,包括符号.解:6,1,2-===c b a∴()496241422=-⨯⨯-=-ac b ∴4714491±-=±-=x ∴2471,2347121-=--==+-=x x . 例2. 解下列方程:（1）242=+x x ; （2）x x x 8110442-=++.解:（1）0242=-+x x()24244422=-⨯-=-ac b ∴6226242244±-=±-=±-=x ∴62,6221--=+-=x x ;（2）091242=++x x014414494412422=-=⨯⨯-=-ac b ∴80128012±-=±-=x ∴2321-==x x . 说明:当042=-ac b 时,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个相等的实数根. 例3. 解方程:0162=+-x x .解:()3243646422=-=--=-ac b ∴22322462326±=±=±=x ∴223,22321-=+=x x .用公式法解一元二次方程获得的启示对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）,可以用c b a ,,的值确定方程解的情况以及方程的解,并且求根公式里面的二次根式ac b 42-有意义的条件即为方程有解的条件:当ac b 42-≥0时,二次根式ac b 42-,一元二次方程有实数根;当042<-ac b 时,二次根式ac b 42-无意义,一元二次方程无实数根.（1）当042>-ac b 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;（2）当042=-ac b 时,方程有两个相等的实数根.把ac b 42-叫做一元二次方程根的判别式,用“∆”表示,所以ac b 42-=∆.在不解方程的前提下,可以由∆的符号确定一元二次方程根的情况.习题1. 解方程:（1）622=-x x ; （2）21342-=--x x x ;（3）0222=+-x x ; （4）()122-=+x x .习题2. 已知a 是一元二次方程0142=+-x x 的两个实数根中较小的根.（1）求201842+-a a 的值; （2）化简并求值:aa a a a a a a 112121222--+---+-.五、换元法解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时,我们可以通过整体换元的方法,把方程转化为一元二次方程进行求解,从而达到降次或变复杂为简单的目的.换元法的实质是换元,关键是构造元和设元,体现的是转化化归思想.用换元法解某些高次方程例1. 解方程:03224=--x x .分析:这是一元四次方程,可设y x =2（注意:y ≥0）,这样通过换元就把原方程转化为关于 y 的一元二次方程.解:设y x =2,则有:y ≥0∴0322=--y y()()031=-+y y∴01=+y 或03=-y∴3,121=-=y y∵y ≥0∴3=y （1-=y 舍去）∴32=x ∴3,321-==x x .用换元法解具有一定结构特点的方程例2. 解方程:()()022322=+---x x . 分析:注意到该方程中整体()2-x 出现了两次,可整体设元,从结构上简化方程.解:设t x =-2,则有:0232=+-t t()()021=--t t∴01=-t 或02=-t∴2,121==t t∴12=-x 或22=-x∴4,321==x x .例3. 解方程:()()0128222=+---x x x x . 分析:本题中的方程若展开整理,则得到的是一个高次方程,但方程本身具有非常明显的结构特点,可整体换元,不用展开即可得到一个简洁的一元二次方程.解:设y x x =-2,则有:01282=+-y y()()062=--y y∴02=-y 或06=-y∴6,221==y y∴22=-x x 或62=-x x解方程22=-x x 得:2,121=-=x x ;解方程62=-x x 得:3,221=-=x x综上,原方程的解为3,2,2,14321=-==-=x x x x .例4. 解方程:112122=+-+x x x x . 分析:方程中21xx +与12+x x 互为倒数,若设t x x =+21,则t x x 112=+,经过这样的换元,最后可把原方程转化为关于t 的整式方程,且为一元二次方程.解:设t x x =+21,则有:12=-tt 整理得:022=--t t()()021=-+t t∴2,121=-=t t ∴112-=+x x 或212=+x x 由112-=+xx 得:012=++x x ,此时方程无解; 由212=+xx 得:0122=--x x ,解之得:1,2121=-=x x . 综上,原方程的解为1,2121=-=x x .例5. 解方程:01122=+++xx x x .分析:设y x x =+1,则22112222-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+y x x x x .解:01122=+++x x x x02112=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 设y x x =+1,则有:022=-+y y()()021=+-y y∴01=-y 或02=+y∴2,121-==y y ∴11=+x x 或21-=+x x 由11=+x x 得:012=+-x x ,此时方程无解; 由21-=+x x 得:0122=++x x ,解之得:121-==x x .综上,原方程的解为121-==x x .本题变式: 已知实数x 满足01122=+++x x x x ,那么x x 1+的值是【】（A ）1或2- （B ）1-或2 （C ）1 （D ）2-例6. 已知()()1212222=+++y x y x ,求22y x +的值.分析:整体设元:设m y x =+22,则m ≥0,据此注意根的取舍.解:设m y x =+22,则有:m ≥0∴()121=+m m整理得:0122=-+m m解之得:4,321-==m m∵m ≥0 ∴3=m∴22y x +的值为3.习题1. 解下列方程:（1）()()6222=+++x x x x ; （2）()()061512=+---x x .习题2. 解方程:1222=---xx x x .习题3. 阅读下面的材料,回答问题:解方程04524=+-x x ,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是: 设y x =2,则原方程变形为:0452=+-y y ①解之得:4,121==y y当1=y 时,12=x ,解之得:1±=x ;当4=y 时,42=x ,解之得:2±=x .综上,原方程的解为:2,2,1,14321-==-==x x x x .（1）在由原方程得到方程①的过程中,利用_________法达到_________的目的,体现了数学的转化思想;（2）解方程:()()0124222=-+-+x x x x .特殊一元二次方程的解法举例某些方程的解需采用特殊的处理和方法,下面列举几例.例1. 解方程:()()7751522=++++x x x x .分析:若把该方程展开并整理,会得到一个一元四次方程,这不是我们想看到的结果.可使用换元法解该方程:设t x x =++152,这样就能把原方程转化为关于t 的一元二次方程. 解:设t x x =++152,则原方程可转化为:()76=+t t∴0762=-+t t()()071=+-t t∴01=-t 或07=+t∴7,121-==t t∴1152=++x x 或7152-=++x x由1152=++x x 得:052=+x x ,解之得:5,021-==x x ;由7152-=++x x 得:0852=++x x ,此时方程无解.综上,原方程的解为5,021-==x x .例2. 解方程:022=-+x x .解法1:当x ≥0,原方程可化为:022=-+x x ,解之得:1=x （2-=x 舍去）;当0<x 时,原方程可化为:022=--x x ,解之得:1-=x （2=x 舍去）.综上所述,原方程的解为1,121-==x x .解法2:原方程可化为:022=-+x x ∴()()021=+-x x ∵02>+x ∴1,01==-x x∴1,121-==x x∴原方程的解为1,121-==x x .解法3:（图象法）原方程可化为:x x =+-22 设x x g x x f =+-=)(,2)(2,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象如图所示.∵两个函数的图象有两个交点()1,1-和()1,1 ∴方程x x =+-22有两个实数根,且根为1,121=-=x x∴原方程的解为1,121=-=x x .习题1. 参照例2的解法,解方程:03362=+---x x x .例3. 解方程:()()()()484321=----x x x x .解:()()()()483241=----x x x x∴()()48654522=+-+-x x x x设t x x =+-552,则有:()()4811=+-t t∴49,48122==-t t∴7,721-==t t当7552=+-x x 时,解之得:2335,233521-=+=x x ; 当7552-=+-x x 时,此时方程无解.综上所述,原方程的解为2335,233521-=+=x x . 习题2. 方程027422=-+-x x 的所有根的和为_________.习题3. 已知实数x 满足01122=+++x x x x ,那么x x 1+的值是【】（A ）1或2-（B ）1-或2 （C ）1（D ）2-。

一元二次方程的解法3种

x 2 a 0(a 0) ( x a ) b
2 2
(ax c) d (d 0, a 0)
2
（1）
3、填空： 2
（2）（3）
（4）
（5）
25 5 2 2 x 5 x __ x 2 _ 4 4 2 2 4 2 x x __ x __ 9 3 3 9 3 2 3 2 x x __ x __ 64 8 4 2 p p 2 x px __ x __ 2 4
2 2
基础练习补充：
2、用配方法解下列方程：
1 x 6 x 8 0 2 24 10 x x 2 2 3 x 15 8 x 4 2 x 990 x
2 2
2
1 1 2 5 x x 2 0 6 x 2 x 1 0 3 2
用配方法解一元二次方程 x 2 x 24 0
2
配方的过程可以用拼图直观地表示。
直观感受配方
x 2 2 x 24 0
x( x 2) 24
x
24
x
1 1 X 1
X+2 x x
1
25
12
小结
1、两种解法：
（1）直接开平方法；（2）配方法. 2、整体的数学思想.
基础练习补充：
系数化为1，移项，配方，开方，求解，定根
书P34
解下列方程：（1）x 0.6 x 0.16 0
2 2
（2）x 2 5 x 4 0
直接开平方法
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0)
或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)

一元二次方程四种解法例题

一元二次方程四种解法例题一元二次方程是我们学习高中数学课程中的重要内容，解一元二次方程是解决实际问题和数学推理的基础。

本文将介绍一元二次方程的四种解法，通过例题来演示每种解法的具体步骤和思路。

一、配方法解一元二次方程配方法是一种常见且基础的解一元二次方程的方法。

这种方法的核心思想是将方程化简为一个完全平方的差或和的形式。

下面通过一个例题来说明配方法的具体过程。

例题：解方程x^2+6x+8=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=1，b=6，c=8。

Step 2: 将方程化简为完全平方的差在这个例题中，我们需要找到两个数m和n，使得x^2+6x+8能够表示为(x+m)^2+n的形式。

通过观察和试验，我们可以得到(x+2)^2-4的形式。

Step 3: 利用完全平方的差公式进行化简将方程x^2+6x+8=x^2+4x+4-4化简为(x+2)^2-4=0。

Step 4: 得到方程的解因此，方程的解为(x+2)^2=4，解得x+2=±2，即x=-4和x=0。

通过配方法解决问题，我们得到了方程x^2+6x+8=0的解为x=-4和x=0。

二、因式分解解一元二次方程因式分解是一种常用的解一元二次方程的方法，通过分解方程的左边和右边为两个因式相乘的形式，进而解得方程。

下面通过一个例题来说明因式分解的具体过程。

例题：解方程x^2-5x=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=1，b=-5。

Step 2: 因式分解方程将方程x^2-5x=0因式分解为x(x-5)=0。

Step 3: 得到方程的解因此，方程的解为x=0和x=5。

通过因式分解解决问题，我们得到了方程x^2-5x=0的解为x=0和x=5。

三、完成平方解一元二次方程完成平方是一种常用的解一元二次方程的方法，通过将方程两边进行平方，消去符号，进而解得方程。

下面通过一个例题来说明完成平方的具体过程。

例题：解方程3x^2-4x+1=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=3，b=-4，c=1。

一元二次方程的解法与应用

一元二次方程的解法与应用一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c分别代表实数系数。

求解一元二次方程是解决实际问题中的关键数学技巧之一，本文将介绍一元二次方程的解法以及其在实际生活中的应用。

一、一元二次方程的解法解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法等。

接下来将分别介绍这些解法。

1.1 因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，可以通过因式分解法直接求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个解。

1.2 配方法对于无法直接因式分解的一元二次方程，可以通过配方法将其转化为可因式分解的形式。

具体步骤如下：（1）将方程整理为完全平方形式，即将x^2项的系数设为1，如方程2x^2 - 5x + 3 = 0，可以将其转化为x^2 - (5/2)x + 3/2 = 0。

（2）将方程进行配方，即构造一个完全平方的二次式。

对于上述方程，可以通过添加一个恰当的常数使方程左侧变为(x - 5/4)^2 = 1/16。

（3）根据完全平方公式，得到(x - 5/4)^2 = 1/16的解为x - 5/4 =±1/4，解得x = (5 ± 1)/4，即x = 1或x = 6/4。

1.3 求根公式法求根公式是解一元二次方程的通用方法，它直接给出了方程的解表达式。

求根公式表示为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c为方程的系数。

通过代入系数值，可以求得方程的解。

二、一元二次方程的应用一元二次方程的应用广泛，特别是在物理学、金融学以及日常生活中的各种问题中。

以下将介绍一些典型的应用情况。

2.1 抛物线的轨迹一元二次方程描述了抛物线的形状，因此在物理学中常用于研究物体的抛物线轨迹。

例如，通过分析一元二次方程可以确定一个投射物体的最高点、最远点等关键参数，从而帮助我们预测物体的运动轨迹。

一元二次方程的解法及韦达定理

一元二次方程的解法及韦达定理编号：撰写人：审核：一、一元二次方程的解法：例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程： x 2-5x+6=0【总结】以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如—x 2=a 的方程，我们可以用直接法。

方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b 的方程也是用直接开方的方法。

②如果例1例2例32 例：解方程：x 2+x=13、公式法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。

根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-2b a进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：x 1=2b a -+，x 2=2b a-- 注意点：① 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

② 解题步骤要规范。

例:解方程：x 2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。

4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。

例例5那就可以6x 1(1) 当∆>0的时候，方程有两个不同的实数根。

(2) 当∆=0的时候，方程有两个相同的实数根。

(3) 当∆<0的时候，方程没有实数根。

没有实数根与没有根是两个不同的概念。

判别式的运用：（1）求方程系数的取值范围。

例：已知方程ax 2+8x+a=0有两个不同的实数根，求a 的取值范围。

（2）求最大值最小值的问题。

例1：求2236x y x x +=++的最大值和最小值。

例2：已知a>0,b>0,且a+2b+ab=30,求a 、b 为何值时，ab 取得最大值。

三、韦达定理对于方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为：x1x2那么就有：x1+x2=ba-,x1x2=ca.除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：（1）|x1-x2|=a （2）11x+21x=ab-(3)11x21x=ac注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。

掌握一元二次方程的解法对于学生来说是十分重要的，因为它不仅能够帮助学生解决实际问题，还能够培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

本文将介绍一元二次方程的解法，并通过实例进行说明。

一、解法一：因式分解法对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解决。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。

根据乘法逆元的性质，我们知道只有当(x + 2) = 0或者(x + 3) = 0时，方程才能成立。

因此，方程的解为x = -2或者x = -3。

二、解法二：配方法如果一元二次方程无法通过因式分解法解决，我们可以尝试使用配方法。

例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 2)(x + 4) = 0。

然后，我们可以得到(x + 2) = 0或者(x + 4) = 0，进而求得方程的解为x = -2或者x = -4。

三、解法三：求根公式如果一元二次方程无法通过因式分解法或者配方法解决，我们可以尝试使用求根公式。

一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

其中，a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。

例如，对于方程2x^2 + 5x + 3 = 0，我们可以通过求根公式得到x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*3)) / (2*2)。

进一步计算可得x = -1或者x = -1.5。

因此，方程的解为x = -1或者x = -1.5。

四、解法四：图像法除了上述的解法，我们还可以通过绘制一元二次方程的图像来求解方程。

例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以绘制出它的图像。

通过观察图像，我们可以发现方程的解为x = 1或者x = 3。

一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题

一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题(一)一元二次方程的一般形式：()002≠=++a c bx ax 其中c b a ,,为常数，x 为未知数。

根的判别式：ac b 42-=∆ 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系： 0<∆时，方程①无实根；0=∆时，方程①有且只有一个实根，或者说方程①有两个相等的实根；ab x 2-= 0>∆时，方程①有两个不相等的实根。

aacb b x 2422,1-±-=（二）二次函数的一般形式：形如()a b ac a b a y a c bx ax y 442x 0222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==≠++= 其中c b a ,,为常数，x 为自变量。

顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b P 44,22，其中直线a bx 2-=为对称轴，1、（1）0<a 时，函数c bx ax y ++=2的图象开口向下，函数c bx ax y ++=2在abx 2-=取到最大值，即ab ac y 442max-=，对任意a b ac y R x 44,2-≤∈.（2）0>a 时，函数c bx ax y ++=2的图象开口向上，函数c bx ax y ++=2在abx 2-=取到最小值，即ab ac y 442min-=，对任意a b ac y R x 44,2-≥∈.2、二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴交点个数的判断：0<∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点；0=∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相切，有且只有一个交点； 0>∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点。

3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a 的正负）、对称轴、∆.（三）一元二次不等式的概念：形如()002≠≠++a c bx ax 其中连接c bx ax ++2与0的不等号可以是><≥≤,，，或≠.（四）三个两次之间的关系一元二次方程、一元二次不等式、二次函数基本步骤：化正-----计算--------求根--------写解集（大于取两边，小于取中间）【典型例题】【类型一】一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的解法【方法一】求根公式法步骤：①计算∆；②若0<∆，则方程无实根；若0≥∆，利用求根公式aacb b x 2422,1-±-=. 【例1】求解下列方程.（1）0442=-+x x （2）0122=-+x x【练习】解下列方程.（1）03522=-+x x （2）862=-x x【方法二】十字相乘法利用十字相乘法求解方程()002≠=++a c bx ax 的前提条件是：0≥∆，也就是保证方程()002≠=++a c bx ax 必须有实根.十字分解依据：对于方程()002≠=++a c bx ax 而言，c b a ,,均为整数。

一元二次方程的4种解法

一元二次方程的4种解法一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。

其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四种解法，它们分别是直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法。

1. 直接开平方法解决此类问题的关键在于观察一元二次方程等号是否可以直接开平方，若可以先移项，再两边开平方即可例：一元二次方程 x²-36=0解法：x²-36=0x²=36x=±42. 因式分解法把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

提公因式法几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数。

字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。

取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净，全家都搬走，留1把家守。

要变号，变形看正负。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式例：用因式分解法解方程y2＋7y＋6＝0；方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0；y＋1＝0或y＋6＝0；∴y1＝-1，y2＝-6。

3. 配方法在基本代数中，配方法是一种用来把二次多项式化为一个一次多项式的平方与一个常数的和的方法。

一元二次方程解法归纳总结

一元二次方程解法归纳总结一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。

解一元二次方程的过程基于求根公式，通过代入已知数值并进行计算，可以得到方程的解。

本文将对一元二次方程的解法进行归纳总结，并以示例来说明每种解法的具体步骤。

一、因式分解法当一元二次方程可以被因式分解时，可以利用因式分解的性质来解方程。

具体步骤如下：1. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式；2. 设方程两边分别等于0，并利用因式分解的性质，将方程的左侧分解为两个因子的乘积；3. 令每个因子分别等于0，解得每个因子的解，即得到方程的解。

例如，考虑方程：x^2 - 5x + 6 = 01. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式：(x - 2)(x - 3) = 02. 令每个因子分别等于0：x - 2 = 0 或者 x - 3 = 03. 解得x的值：x = 2 或者 x = 3所以，方程的解为x = 2或者x = 3。

二、配方法当一元二次方程无法通过因式分解来解时，可以使用配方法（也称为“加法配平法”）来解方程。

具体步骤如下：1. 将方程化为一个可完全平方的形式，即将方程的左侧表示为完全平方的平方差形式；2. 根据配方法的原则，将方程的右侧与左侧进行配平，使得方程两侧相等；3. 对方程两侧进行化简，得到一个可求解的简化方程；4. 解简化方程，即可得到原方程的解。

例如，考虑方程：x^2 - 6x + 9 = 41. 将方程化为一个完全平方的形式：(x - 3)^2 = 42. 配方法的原则是：对方程的右侧加上一个适当的数，使得方程两侧相等。

在本例中，我们需要加上5。

所以，将方程两侧加上5：(x - 3)^2 + 5 = 4 + 53. 化简得到简化方程：(x - 3)^2 + 5 = 94. 解简化方程：(x - 3)^2 = 4由于平方的结果是4，所以x - 3 = ±2解得x的值：x = 3 ± 2所以，方程的解为x = 1或者x = 5。