离散数学3关系剖析
离散数学 第3章 二元关系
则R∪S,R∩S,R-S, R 等可分别定义如下:
x(R∪S)y xRy∨xSy x(R∩S)y xRy∧xSy x(R-S)y xRy∧x$y x R y xRy
第3章 二元关系
例3.1-3平面上的几何图形是平面R2 的子集,也是一
种关系.设(参看图3.1―2) R1={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧x2+y2≤9} R2={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧1≤x≤3) ∧(0≤y≤3)}
n
上 的 m 元 关 系 . 那 么 R1=R2, 当 且 仅 当 n=m, 且 对 一 切 i,1≤i≤n,Ai=Bi,并且R1和R2是相等的有序n重组集合
第3章 二元关系
3.1.2 二元关系
最重要的关系是二元关系.本章或
第3章 二元关系
第3章
二元关系
3.1 基本概念 3.2 关系的复合
3.3 关系上的闭包运算
3.4 偏序关系
3.5 等价关系和划分
第3章 二元关系
3.1
3.1.1 关系
基本概念
关系的数学概念是建立在日常生活中关系的概念 之上的.让我们先看两个例子 例3.1-1 设A={a,b,c,d}是某乒乓球队的男队员集合, B={e,f,g}是女队员集合.如果A和B元素之间有混双配对
第3章 二元关系
图 3.1―1
第3章 二元关系
A叫做关系R的前域,B叫做关系R的陪域
D(R)={x｜y(〈x,y〉∈R)}叫做关系R的定义域 R(R)={y｜x(〈x,y〉∈R)}叫做关系R的值域 关系是序偶的集合,对它可进行集合运算,运算结果 定义一个新关系.设R和S是给定集合上的两个二元关系,
关系的是a和g,d和e.我们可表达为:
离散数学关系
离散数学关系离散数学关系是一种在有限集上定义的函数，用来描述两个集合之间的关系。
它是抽象数学中最基本的元素，它描述由一列实例构成的集合之间的关系。
离散数学关系有三种：一对一映射(one-to-one mapping)、可枚举映射(enumerable mapping)和量级(order)关系。
1、一对一映射：一对一映射是每个元素都有唯一的映射关系，一个域元素只能映射到一个定义域元素，而且每个定义域元素也只被一个域元素映射。
2、可枚举映射：可枚举映射是指有多个域元素可以映射到一个定义域元素，反之亦然，定义域元素也可以映射到多个域元素，但不一定要求每一个域元素都被映射。
3、量级(order)关系：量级关系是一种非抽象的关系，它可以用来描述元素之间的关系，但不能用唯一的映射关系表示。
量级关系表示一组元素之间的大小或者其他特征的排列顺序，比如“比”，“等于”，“交换”等等，它们可以表示不止一种关系。
二、关系的性质1、可满足性：可满足性是指关系的存在与否与域元素具体的值之间的关系。
可满足关系的存在可以通过满足一定的条件来进行检查，不满足的情况下就会说明这个关系不存在。
2、唯一性：唯一性是指关系的定义域与域元素之间的唯一映射关系。
唯一性可以用来确定定义域元素与域元素之间的唯一映射关系，它不能够产生重复的映射关系。
3、可枚举性：可枚举性是一种可以将定义域与域元素之间的映射关系一一列出来的性质。
可枚举性允许定义域元素有多个域元素与之映射，但它不一定满足唯一性。
4、可组合性：可组合性是一种可以将两个定义域之间的关系组合起来的性质。
可组合性可以将多个关系组合为一个或多个新的关系，从而可以更好的表达更多更复杂的关系。
三、应用1、在离散数学中，离散数学关系经常用来描述中间结果或概念之间的关系。
2、在计算机科学中，离散数学关系常常作为数据结构的基础，用来表示复杂的逻辑结构。
3、在数据库系统中，离散数学关系的应用非常广泛，用来表示不同表之间的关系。
离散数学-3-5 关系及其表示
MR=
其关系图是：
10
二、关系矩阵和关系图
例 设A=1,2,3,4，R是A的二元关系，定义为： R=<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>,<3,1>,<4,3>,<4,2>,<4,1> 写出A上二元关系R的关系矩阵。 1 0 0 1 解：R的关系矩阵为： MR=
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
7
二、关系矩阵和关系图
设给定的两个有限集合X={x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}，R为从X到 Y的一个二元关系。则对应于关系R有一个关系矩阵 R=[rij]mn，其中 关系矩阵M 关系矩阵
1 rij = 0
< xi , y j >∈ R < xi , y j >∉ R
(i=1,2,…，m；j=1,2,…，n) 设给定的两个有限集合X={x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}，R为从X到 Y的一个二元关系。在平面上作m个结点分别记作x1,x2,…,xm，然后另 作n个结点分别记作y1,y2,…,yn。如果xi Ryi，则可自结点xi至结点yj处 作一有向弧，其箭头指向yj ，如果xi Ryi ，则xi至yj处没有线段联结。 例：设A={a1,a2},B={b1,b2,b3},R={〈a1,b1〉,〈a2,b1〉,〈a1,b3〉, 〈a2,b2〉},则其关系矩阵为：
ranR = { y | (∃x )(< x, y >∈ R )}
R的前域和值域一起称作R的域 的域，记作FLD R即 的域 FLD R=domR∪ranR 例题1 例题 P106
离散数学中关系的等价类划分方法
离散数学中关系的等价类划分方法在离散数学中，关系是描述元素之间具有某种联系或性质的数学概念。
而等价关系是其中一种重要的关系类型，它可以将元素分为相互等价的类别。
本文将介绍离散数学中关系的等价类划分方法，并探讨其应用。
一、等价关系的定义在离散数学中，等价关系是一种具有以下三个性质的二元关系：1. 自反性（Reflexivity）：对于集合中的任意元素a，a与自身是等价的。
2. 对称性（Symmetry）：对于集合中的任意元素a和b，如果a与b是等价的，则b与a也是等价的。
3. 传递性（Transitivity）：对于集合中的任意元素a、b和c，如果a与b是等价的，b与c也是等价的，则a与c是等价的。
基于上述定义，我们可以利用等价关系将集合划分为若干个等价类，每个等价类包含具有相同性质或联系的元素。
二、等价类划分方法在离散数学中，常用的等价类划分方法有以下几种：1. 等价关系的特征矩阵法：特征矩阵法是一种基于矩阵运算的等价类划分方法。
首先，我们可以通过矩阵来表示给定的等价关系，其中矩阵的行和列表示集合中的元素，而矩阵的元素表示对应元素之间的关系。
例如，对于集合{1,2,3,4,5}，若等价关系R定义为{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}，则对应的特征矩阵为：```1 1 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 10 0 0 1 1```接下来，我们可以通过矩阵的幂运算来判断两个元素是否属于同一个等价类。
具体而言，对于矩阵的幂运算A^n（n为正整数），若矩阵A的第i行第j列元素为1，则A^n的第i行第j列元素也为1；若矩阵A的第i行第j列元素为0，则A^n的第i行第j列元素仍为0。
通过不断进行矩阵的幂运算，直到得到的矩阵不再发生变化，我们可以确定出所有的等价类。
2. 等价类的划分法：等价类的划分法是一种基于划分操作的等价类划分方法。
离散数学中的逻辑关系及其应用
离散数学中的逻辑关系及其应用离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的结构及其上的操作。
逻辑关系是离散数学中的一个重要概念，它在数学、计算机科学等领域都有广泛应用。
本文将介绍离散数学中的逻辑关系及其应用。
1. 逻辑关系的定义及性质离散数学中的逻辑关系是指一种二元关系，即对于某个集合中的两个元素，这两个元素之间有一种特定的关系。
在逻辑中，这个关系通常表示为“P → Q”，其中P和Q是两个命题，表示“如果P成立，则Q也成立”的关系。
逻辑关系有以下几种性质：（1）自反性：对于任意元素a，a与自己之间存在关系。
（2）对称性：对于任意元素a和b，如果a与b之间存在关系，那么b与a之间也存在关系。
（3）传递性：对于任意元素a、b和c，如果a与b之间存在关系，b与c之间也存在关系，那么a与c之间也存在关系。
2. 逻辑关系的应用（1）逻辑门电路逻辑门电路是计算机硬件的基本组成部分，它们的功能是根据输入的命题逻辑值计算出输出的命题逻辑值。
逻辑门电路包括与门、或门及非门等，它们之间的逻辑关系可以用逻辑代数中的公式来表示。
（2）判断与证明逻辑关系在数学证明中有广泛应用，可以用来判断某些语句、假设或结论是否成立。
常见的逻辑关系有蕴含关系、等价关系和充分必要条件等，它们在判断和证明中有重要作用。
（3）数据结构逻辑关系在数据结构中也有着广泛的应用。
例如在二叉树中，每个节点有两个子节点，子节点之间存在着父子关系。
在图论中，节点之间则存在着边的关系。
这些关系可以使用逻辑关系来描述和分析。
3. 总结逻辑关系是离散数学中的重要概念，它无处不在，在数学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
熟练掌握逻辑关系的定义及性质，对于深入理解离散数学和其它相关领域有着重要的意义。
离散数学中的关系
离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。
这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。
在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。
等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。
例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。
偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。
例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。
全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。
离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。
函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。
包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。
通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。
同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。
离散数学3_4
说明：COV A中有多少个序偶，哈斯图就有多少条直线
例：前例中的COVA={<2,4>,<2,6>,<3,6>,<4,8>} 画出哈斯图。
8
4
6
2
3
集合A={2,3,4,6,8}上 的整除关系的哈斯图
哈斯图的意义在于:元素之间 从下向上有线相连，则这两 个元素存在着偏序关系;反之 则不存在偏序关系。如：左 图中，2，8两个元素有线从 下向上相连，故2，8存在着 偏序关系，即2|8；而4和6， 6和8，3和8，2和3则不存在 偏序关系。
<N,≤>都是良序集合。
定理: (1)良序集合一定是全序(线序)集合。 (2)有限的全序(线序)集合一定是良序集合。 例：大于0小于1的全部实数，按大小次序关系是一 个全序集合，但不是良序集，因为集合本身无最小 元。
14 无 2 无
无
极大元／极小元／最大元／最小元的特点
定理3-8.1 令<A,≼>为偏序集且B⊆A，若B有最大 (最小)元，则必是唯一的。 证明 假定a和b两者都是B的最大元素，则a≼b和b≼a， 从≼的反对称性，得到a=b。B的最小元情况与此类似。
(1)只要集合非空，极大元与极小元一定存在,并且可 能不唯一;反链中所有元素既是极大元又是极小元。
注意：求COVA的方法是依次考察偏序关系中的每个 非自反序偶<x,y>(x≠y),只要不存在序偶xRz和zRy 并且z≠x≠y,则<x,y>应进入COVA。
‘盖住’集合的图形表示法——哈斯图 哈斯图的画法： (1)用小圆圈代表元素 (2)如果x≼y，且x≠y,则将代表y的小圆圈画在代表x的 小圆圈上方 (3)如果<x,y>∈COV A,则在x与y的小圆圈之间用直线 连接。
离散数学 第三章 关系与映射 课件
则有
c) ( R 2 R3 ) R 4 R 2 R 4 R3 R4 d ) ( R 2 R3 ) R 4 R 2 R 4 R3 R4
定理2 已知集合 X , Y , Z , W ,
X Y Z W
R1 R2 R3
则有
(R 1 R 2 ) R 3 R 1 (R 2 R 3 )
MR 3
MR 4
2.关系的运算
1）关系的交、并、补、差
前已述及，关系是序偶(有序对)的集合，
因此可以对关系进行运算。若R, SAB，则 R∪S，R∩S，~R，R-SAB.
2）复合关系 设 R 是从集合 X 到 Y 的关系 , S 是从 Y 到 Z 的关系,把 X 到 Z 的关系定义为 R S
R 6 { a, a , a, b , b, b , c, c }
R 7 { a, b , b, c , a, c } R 8 { a, b , b, c , c, a } R 9 { a, b , a, c } R 10 { a, b }
A上关系R是反自反的 x (xAxRx)
该定义表明了，一个反自反的关系R中， 不应包括有任何相同元素的有序对。
由定义说明中，可知真包含关系是反自
反的，但包含关系不是反自反的；小于关系<
是反自反的，而≤不是反自反的。
应该指出，任何一个不是自反的关系，未
必是反自反的；反之，任何一个不是反自反的
(3,1),(3,2),(2,1)}
0 1 MR 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
优点 便于在计算机上表达, 自动判定R的性质. 缺点 X中元素个数较大时 不方便,不便于判定传递关系.
离散数学中的关系发展及其应用简介
一、离散数学中的关系发展离散数学是数学的一个分支，它研究离散对象和离散结构。
在离散数学中，关系是一个非常重要的概念。
关系是集合之间元素之间的某种对应关系。
通过对关系的研究，可以揭示出集合间的密切通联和规律，对于解决实际问题有着重要的应用价值。
1. 关系的起源关系的概念最早可以追溯到19世纪，当时的数学家们开始研究集合的性质和元素之间的通联。
而关系正是从这种研究中产生的，它描述了一个或多个集合中元素之间的某种通联，帮助人们理解集合之间的通联和结构。
2. 关系的分类根据研究的对象和性质，关系可以被分为多种类型，常见的有等价关系、偏序关系、全序关系、函数关系等。
不同类型的关系有着不同的性质和特点，在离散数学中有着广泛的应用。
3. 关系的性质关系的性质是关系论研究的核心内容之一。
通过对关系的性质进行分析和研究，可以揭示出集合之间的通联和规律，为解决实际问题提供重要的理论基础。
关系的性质包括传递性、对称性、反对称性等，这些性质对于关系的应用起着重要的作用。
二、关系在离散数学中的应用在现实生活和科学研究中，关系的概念和性质在离散数学中得到了广泛的应用。
下面我们将介绍一些离散数学中关系的应用。
1. 社交网络中的关系在现代社会中，社交网络已经成为人们日常生活的重要组成部分。
而社交网络中的人与人之间的关系，正是离散数学中关系概念的一个重要应用。
通过对社交网络中人际关系的建模和分析，可以揭示出人际之间的通联和规律，对于研究社交网络的结构和特点具有重要意义。
2. 数据库中的关系在数据库中，关系型数据库是一种非常常用的数据库模型。
在关系型数据库中，通过对数据之间的关系进行建模和管理，可以实现数据的高效组织和查询。
关系型数据库模型正是建立在离散数学中关系概念的基础之上，它在企业管理、科研领域等方面有着广泛的应用。
3. 计算机科学中的关系在计算机科学中，关系的概念被应用在各个领域。
例如在算法设计中，通过对数据之间的关系进行分析和建模，可以设计出高效的算法；在人工智能领域，关系的概念也被用于建模和分析复杂问题；在计算机网络中，关系的概念被应用于描述网络拓扑结构等。
离散数学_集合与关系_关系
13
例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
8
关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
1Байду номын сангаас
离散数学第3章-集合与关系
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
离散数学-3-10 等价关系与等价类revised
U [a] R = A
三、商集
下面进一步证明，集合A上的一个划分确定了A的元素间等价 关系。 定理3 P133 定理3-10.3 集A上的一个划分确定了A的元素间的 一个等价关系。
证明：设S={S1, S2, …, Sm}为集A的一个划分。定义R：aRb当且仅当a, b在同一分块中。下面证明R为A上等价关系。 1）因a与a在同一块中，故aRa，即R是自反的。 2）若a, b在同一块中，则b, a也在同一块中，故有aRb,bRa，即R对称。 3）若a与b在同一块中，b与c在同一块中，则必有a与c在同一块中，即 aRb, bRc必有aRc，故R传递的。 可见R为A上等价关系。 *上述结论实际提供了一个由划分构造等价关系的做法。
因此：R1={<1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 1>，<3,2>}∪ IA = EA R2={<2,3>,<3,2>}∪ IA R3={<1,3>,<3,1>}∪ IA R4={<1,2>,<2,1>} IA R5={<1,1>,<2,2>,<3,3>}∪IA
11
9
三、商集
P134 例题4：设A={a, b, c, d, e}, S={{a, b},{c},{d, 例题4 e}}为A的划分，试由S确定A的等价关系R。 解：我们用如下办法产生一个等价关系。 {a, b}×{a, b} = {<a, a>, <a, b>, <b, a >, <b, a>} {c}×{c} = {<c, c>} {d, e}×{d×e} = {<d, d>, <d, e>, <e, d>, <e, e>} 对上面产生集合求并，即为R。 R＝{<a, a>, <b, b>, <c, c>, <d, d>, <e, e>，<a, b>, <b, a>, <d, e>, <e, d>}
离散数学-3-12序关系.ppt
六．良序集
P145 定理3-12.3 每一个有限的全序集一定是良序的。 证明：设 ,且＜A，＞为全序集。 若＜ A，＞不是良序的，则必有非空子集 B，在 B 中不存 在最小元。 因 B 有限，故在 B 中必可找到两个元素 x, y 无关（即 xy， 或yx都不成立） 但x,yA，这与＜A，＞全序矛盾。
同理若B中没有元x满足bx, xb，则b称为B的极 小元。
12
四．极大元和极小元
P143例6：设A={2, 3, 5, 7, 14, 15, 21}，R为A上整除 关系，B={2, 7, 3, 21, 14}，求B上极大元与极小元。 解：CovA={<2, 14>, <3, 15>, <3, 21>, <5, 15>, <7, 14>, <7, 21>},哈斯图如下：
2,3
， ，
6
2 1
最大元6
3
最小元
上界为 下界为 上确界为
无 6， 12 1
6
1
，
， ， ，
24
五．上界与下界
例：X={a , b, c}， A=P(X)， ＜A，＞ 思考：若B={{a, b}, {b, c}, {b}, {c}, } 1）最大元？极大元？上界？上确界？ 则没有最大元；极大元{a, b}, {b, c}；上界，上确 界为{a, b, c}； 2）最小元，极小元，下界，下确界？ 最小，极小，下界，下确界都为。 若B={{a},{c}}时？ 则没有最大元；极大元为{a},{c}；上界为{a, c}, {a, b, c}；上确界为{a, c}； 没有最小元；极小元为{a},{c}；下界，下确界为。
例3的哈斯图为：
离散数学 3-5 关系及其表示3-6 关系的性质
三、传递性
1、定义：设R是集合X上的二元关系，如果对于任意 x，y，zX，每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，
z>R，则称R是传递的。 R在X上传递 (x)(y)(z)(xXyXzX<x,y>R<y,z>R <x,z>R) 例： R1={<x,y>,<z,x>,<z,y>}是传递的，
一、关系（Relation）
1、关系 定义3-5.1：任一序偶的集合确定了一个二元关系R， <a，b>R记作aRb，称a与b有关系，<a，b>R记 作aRb，称a与b没有关系。 例如，>={<x，y>|x，y是实数且x>y} 说明： (1)把关系R这种无形的联系用集合这种“有形”的实 体来描述，为今后的描述和论证带来方便。 (2)序偶是讲究次序的，如果有<a，b>R未必有<b， a>R ，即a与b有关系R，未必b与a有关系R。 例：甲与乙有父子关系，但乙与甲没有父子关系。
＞＝｛(-1, -2), (0, -1), (0, -2), (1, -2), (1, -1), (1, 0)｝ Dom＞＝｛-1, 0, 1｝ Ran＞＝｛-2, -1, 0｝
UA＝｛(-2, -2), (-2, -1), (-2,0), (-2,1), (-1,-2), (-1,-1),
(-1, 0), (-1, 1), (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1),
例 设A＝｛1,2,3,4,5｝,B＝｛a,b,c｝, 则ρ 1＝｛(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)｝是A到B的关系, 而ρ 2＝｛(a,2),(c,4),(c,5)｝是B到A的关系。
离散数学-关系-3
3-9 集合的覆盖与划分
在A的所有划分中基数最大的划分叫做A的最大划分，基数最小的划分 叫做A的最小划分。在上例中，E是A的最大划分，G是A的最小划分。 例 设A=⎨1,2,3⎬，试确定A的所有划分。 解: 有一个划分块的划分是: ⎨⎨1,2,3⎬⎬ 有两个划分块的划分是: ⎨⎨1⎬,⎨2,3⎬⎬, ⎨⎨2⎬,⎨1,3⎬⎬, ⎨⎨3⎬,⎨1,2⎬⎬ 有三个划分块的划分是：⎨⎨1⎬,⎨2⎬,⎨3⎬⎬ 下图是A的所有划分的示意图。(a)表示有一个划分块的划分 ⎨1,2,3⎬⎬。(b)、(c)和(d)表示有两个划分块的划分⎨⎨1⎬,⎨2,3⎬⎬、 ⎨⎨2⎬,⎨1,3⎬⎬和⎨⎨3⎬,⎨1,2⎬⎬。(e) 表示有三个划分块的划分 ⎨⎨1⎬,⎨2⎬,⎨3⎬⎬。
3-9 集合的覆盖与划分
例 设 A=⎨a,b,c⎬，以下是A的子集构成的集合： S=⎨⎨a,b⎬,⎨b,c⎬⎬, Q=⎨⎨a⎬,⎨a,b⎬,⎨a,c⎬⎬ D=⎨⎨a⎬,⎨b,c⎬⎬, G=⎨⎨a,b,c⎬⎬ E=⎨⎨a⎬,⎨b⎬,⎨c⎬⎬, F=⎨⎨a⎬,⎨a,c⎬⎬ 试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪些集 合既不是覆盖，也不是划分？ 解：S和Q是A的覆盖，但不是划分；D、G和E是A的覆盖，也是 划分；F不是A的覆盖，也不是划分。 集合G=⎨⎨a,b,c⎬⎬是单元素集,它有一个元素⎨a,b,c⎬。对单 元素集⎨⎨a,b,c⎬⎬,认为它的元素的并集就是⎨a,b,c⎬,同时 也认为它的元素是两两互不相交的。所以集合G=⎨⎨a,b,c⎬⎬ 是A的划分。
3-10 等价关系与等价类
例 设R=⎨<x,y>⏐ x∈I∧y∈I∧x ≡ y mod k⎬是整数集合I上的二元关 系。证明R是等价关系。 ⑴ 因为 a-a=k×0，所以 a≡a mod k，<a,a>∈R。故R是自反的。 ⑵ 若<a,b>∈R，a≡b mod k，a-b=k×t，t∈I， b-a=-(a-b)=k×(–t)，–t∈I，b≡a mod k，<b,a>∈R。 故R是对称的。 ⑶ 若<a,b>∈R且<b,c>∈R，a-b=k×t1，t1∈I，b-c=k×t2，t2 ∈I， a-c=(a-b)+(b-c)=k×t1+k×t2=k×(t1+t2)，t1+t2∈I，<a,c>∈R， 故R是传递的。 所以R是整数集合I上的等价关系。 证明：设a,b,c是任意的整数。
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南京工程学院
实验报告
课程名称离散数学
实验项目名称关系
实验学生班级 K网络工程121
实验学生姓名王云峰
学号 240121525
实验时间11月15日
实验地点信息楼
实验成绩评定
指导教师签字年月日
)若∀x∀y(x、y∈A∧xRy→yRx)称R是对称的；(3)若∀x∀y∀z(x、y、z∈A∧xRy∧yRz→xRz)，称R是传递的；
4)若R是自反的、对称的和传递的，则称R是等价关系。
在程序实现中，集合和关系用都用集合方式输入。
六、实验总结与思考
判断任意一个关系是否为自反关系、对称关系、传递关系和等价关系？
若是等价关系，求出其所有等价类。
设R⊆A×A，(1)若∀x(x∈A→xRx)，称R是自反的；(2)若∀x∀y(x、y
∈A∧xRy→yRx)，称R是对称的；(3)若∀x∀y∀z(x、y、z∈A∧xRy∧yRz→xRz)，称R是传递的；(4)若R是自反的、对称的和传递的，则称R是等价关系。
在程序实现中，集合和关系用都用集合方式输入。
抽象原则：任给一
个性质P，就确定了一个集合A，A的元素恰好是具有性质P的对象。
子集、包含、包含于、真包含、全集U 、基数#A-元素个。
幂集ρ(A)：A的全部子
集的集合交∩、并∪、差—、补~集。
有穷集的计数原理：
#(A∪B∪C)=#A+#B+#C-#(A∩B) -#(A∩C) -#(B∩C)+#(A∩B∩C)4. 空串ε、连接运算、字母表Σ、Σ*、语言、闭包A*=A^0∪A^1∪… A^0=ε
正闭包A+= A^1∪…5. 有序偶<x,y>：将2个对象xy按规定的顺序构成的
序列。
笛卡尔乘积A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B},AB是集合二元关系R：任何有
序偶的集合R。
<x,y>∈R、xRy、xy有关系R定义域dom(R)、值域ran(R)
全域关系Ux、恒等关系Ix关系矩阵、关系图自反的、反自反的、对称的、
反对称的、传递的复合关系RοS：R是X到Y的关系，S是从Y到Z的关系，则X到Z的一个关系RοS满足结合律逆关系R^-1 （RοS)^-1=S^-1 ο R^-1自反闭包r(R)=R∪Ix、对称闭包s(R)=R∪R^-1、传递闭包t(R)=R^1 ∪
R^2…偏序≤：关系是自反的、反对称的、传递的全序、线序：可比严格偏序：反自反、传递的遮盖、哈斯图、最大元、极大元、上界、最小上界良序的：每个非空子集有最小元覆盖、划分、等价关系：自反的、对称的、传递。