对数及指数、对数、幂函数
指数函数幂函数对数函数的比较
指数函数幂函数对数函数的比较1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一些数学里的“明星”——指数函数、幂函数和对数函数。
这三位可不是普通的数学函数，它们在生活中扮演着重要的角色，像是在演一场大戏，各自有各自的风格和特点。
别看它们名字听起来很高大上，其实咱们可以用简单易懂的方式来理解它们，今天就让我们轻松愉快地把这些数学概念捋一捋！2. 指数函数的魅力2.1 指数函数是什么先来看看指数函数，简单来说，它的形式就是 ( f(x) = a^x )，其中 ( a ) 是一个正数，比如 2、3、甚至更大。
这个函数的特征就是，随着 ( x ) 的增加，函数值会迅速飞涨，简直就像是火箭发射！想象一下，当你用 ( a=2 ) 时，( x ) 从 1 增加到 10，结果就从 2 跑到了 1024，哇哦，真是个“数”字飞人！2.2 日常应用这玩意儿在哪用呢？比如说，利息计算就是个典型的例子。
银行给你存款利息，随着时间的推移，利息就像坐上了直升机，飞速增长。
这让人觉得，哦，时间就是金钱，没错！而且在科学和工程领域，指数函数也经常被用到，比如放射性衰变、人口增长等，简直无处不在。
3. 幂函数的风采3.1 幂函数是什么再说说幂函数，它的形式是 ( f(x) = x^n )，其中 ( n ) 是个常数。
你可以把它想象成在做一些小型的数学“杂技”，当 ( n ) 是正整数时，随着 ( x ) 的增加，函数值也是在慢慢上涨，但没那么快。
就像爬山一样，虽然一路上坡，但总有些缓冲。
3.2 常见场景幂函数在生活中也常常见到，比如说，物体的体积和边长的关系就是个典型的例子。
如果你有一个立方体，边长增加一倍，体积可是翻了八倍哦，真是让人惊掉下巴！而且在物理学中，许多公式，比如牛顿的引力定律，也都涉及到幂函数的运算，可以说是非常“靠谱”的小伙伴。
4. 对数函数的智慧4.1 对数函数是什么接下来我们要聊的是对数函数，形式为 ( f(x) = log_a(x) )。
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))
幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。
对数函数指数函数幂函数
对数的公理化定义真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的;但是,根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等第二,根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立比如,log-2 4^-2 就不等于-2log-2 4；一个等于4,另一个等于-4通常我们将以10为底的对数叫常用对数common logarithm,并把log10N记为lgN;另外,在科学技术中常使用以无理数e=···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数natural logarithm,并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系：当a 〉0,a≠ 1时,a^x=N→X=logaN;由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论：负数和零没有对数；loga 1=0 loga a=1 a为常数对数的定义和运算性质一般地,如果aa大于0,且a不等于1的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数;底数则要大于0且不为1 真数大于0对数的运算性质：当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么：1logaMN=logaM+logaN;2logaM/N=logaM-logaN;3logaM^n=nlogaM n∈R4换底公式：logAM=logbM/logbA b>0且b≠15 a^logbn=n^logba 证明：设a=n^x 则a^logbn=n^x^logbn=n^x·logbn=n^logbn^x=n^logba 6对数恒等式：a^logaN=N;logaa^b=b对数与指数之间的关系当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒aN右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数;1 对数函数的定义域为大于0的实数集合;2 对数函数的为全部实数集合;3 函数图像总是通过1,0点;4 a大于1时,为单调增函数,并且上凸；a小于1大于0时,函数为单调减函数,并且下凹;5 显然对数函数无界;对数函数的常用简略表达方式：1logab=logab2lgb=log10b3lnb=logeb对数函数的运算性质：如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么：1logaMN=logaM+logaN;2logaM/N=logaM-logaN;3logaM^n=nlogaM n属于R4loga^kM^n=n/klogaM n属于R对数与指数之间的关系当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于logaNloga^kM^n=n/klogaM n属于R换底公式很重要logaN=logbN/logba= lnN/lna=lgN/lgaln 自然对数以e为底 e为无限不循环小数lg 常用对数以10为底对数函数的常用简略表达方式1常用对数:lgb=log10b2自然对数:lnb=logebe=... 通常情况下只取e= 对数函数的定义对数函数的一般形式为 y=㏒ax,它实际上就是指数函数的图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数,可表示为x=a^y;因此里对于a的规定a>0且a≠1,同样适用于对数函数;右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数;性质定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是｛x ︳x>0｝,但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx2x-1的定义域,需满足｛x>0且x≠1｝ ;｛2x-1>0 =〉x>1/2且x≠1,即其定义域为｛x ︳x>1/2且x≠1｝值域：实数集R定点：函数图像恒过定点1,0;单调性：a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸；0<a<1时,在定义域上为单调减函数,并且下凹;奇偶性：非奇非偶函数,或者称没有奇偶性;周期性：不是周期函数零点：x=1注意：负数和0没有对数;两句经典话：底真同对数正底真异对数负数学术语指数函数是中重要的;应用到值e上的这个函数写为exp x;还可以等价的写为e,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 ,还称为数;指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在x 等于 0 的时候等于 1;在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna;即由导数知识：da^x/dx=a^xlna;作为变量x的函数,y=e x 的总是正的在x轴之上并递增从左向右看;它永不触及x轴,尽管它可以任意程度的靠近它所以,x轴是这个图像的水平;它的是 ln x,它定义在所有正数x上;有时,尤其是在中,术语指数函数更一般性的用于形如ka x 的指数函数函数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数;本文最初集中于带有底数为欧拉数 e 的指数函数;指数函数的一般形式为y=a^xa>0且≠1 x∈R,从上面我们关于的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况;在函数y=a^x中可以看到：1 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a等于０函数无意义一般也不考虑;2 指数函数的值域为大于0的实数集合;3 函数图形都是下凸的;4 a大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的;5 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数程中当然不能等于0,函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置;其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置;6 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交;7 函数总是通过0,1这点,若y=a^x+b,则函数定过点0,1+b8 显然指数函数无界;9 指数函数既不是奇函数也不是偶函数;10当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性;11当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数; ......底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数,图像会向左平移；减去一个数,图像会向右平移;在fX后加上一个数,图像会向上平移；减去一个数,图像会向下平移;即“上加下减,左加右减”底数与指数函数图像：指数函数1由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点1,a可知：在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大;2由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点-1,1/a可知：在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小;3指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”;如右图;幂的大小比较：比较大小常用方法：1比差商法：2函数单调性法；3中间值法：要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小;比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意：1对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;例如：y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增即x的值越大,对应的y值越大,因为5大于4,所以y2大于y1.2对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断;例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过0,1然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.3对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较;如：<1> 对于三个或三个以上的数的大小比较,则应该先根据值的大小特别是与0、1的大小进行分组,再比较各组数的大小即可;<2> 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”即比较它们与“1”的大小,就可以快速的得到答案;那么如何判断一个幂与“1”大小呢由指数函数的图像和性质可知“同大异小”;即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向例如： a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0时,a^x大于1,异向时a^x小于1.〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数说明理由.⑴y=4^x因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数；⑵y=1/4^x因为0<1/4<1,所以y=1/4^x在R上是减函数定义域：实数集指代一切实数R 值域：0,+∞分式化简的方法与技巧1把分子、分母分解因式,可约分的先约分2利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母3把其中适当的几个分式先化简,重点突破.指数函数4可考虑整体思想,用换元法使分式简化指数函数图像与指数函数性质之间的对应关系1曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为-∞,+∞.2曲线在x轴上方,而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠指数函数近X轴x轴是曲线的渐近线〈=〉函数的值域为0,+∞3曲线过定点0,1〈=〉x=0时,函数值y=a0零次方=1a>0且a≠14a>1时,曲线由左向右逐渐上升即a>1时,函数在-∞,+∞上是增函数；0<a<1是,曲线逐渐下降即0<a<1时,函数在-∞,+∞上是减函数.形如y=x^aa为常数的函数,即以为幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数;当a取非零的时是比较容易理解的,而对于a取时,初学者则不大容易理解了;因此,在里,我们不要求掌握为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识;特性对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数即p、q互质,q和p都是整数,则x^p/q=q次根号下x的p次方,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的是0,＋∞;当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/x^k,显然x≠0,函数的定义域是－∞,0∪0,＋∞;因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数；排除了为0这种可能,即对于x<0或x>0的所有实数,q不能是偶数；排除了为负数这种可能,即对于x为大于或等于0的所有实数,a就不能是负数;定义域总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q 的来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数;在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数;在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数;而只有a为正数,0才进入函数的;由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.第一象限可以看到：1所有的图形都通过1,1这点.a≠0 a＞0时图象过点0,0和1,12当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数;3当a大于1时,幂函数图形下凸；当a小于1大于0时,幂函数图形上凸;4当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大;5显然幂函数无界限;6a=2n,该函数为偶函数｛x|x≠0｝;7 0<a<1时,只在第一象限内有图像,即x≥0.图象幂函数的图象：。
(完整)指数函数、对数函数、幂函数图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一)指数与指数函数1．根式 (1）根式的概念(2)．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa n n ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义)。
2．有理数指数幂 （1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且。
②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算. （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0，r 、s ∈Q). ②（a r )s=a rs(a>0，r 、s ∈Q)。
③（ab ）r=a r b s（a 〉0，b>0,r ∈Q ）。
. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数n 为偶y=a xa 〉1 0〈a<1图象定义域 R值域 （0，+∞）性质（1）过定点（0，1） （2）当x 〉0时，y>1。
x 〈0时,0<y<1（2) 当x>0时，0<y 〈1。
x<0时, y>1（3)在（—∞，+∞)上是增函数（3）在（—∞,+∞)上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,(2）y=b x,（3），y=c x（4），y=d x的图象，如何确定底数a,b ，c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1〉d 1>1〉a 1>b 1，∴c>d 〉1>a 〉b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1)对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
幂函数、指数函数、对数图像及性质
质
x>1时, y>0
x>1时, y<0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
x
小
x
指数函数的图象和性质 y a
图 象 性 值域:
y
x
(a 0且a 1)
a>1
y 1 o
0<a<1
1 o R (0,&#义域:
过定点: 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1, 当x<0时，y>1. 质 当x<0时，0<y<1. 单调性：是R上的增函数 单调性：是R上的减函数 奇偶性： 非奇非偶 奇偶性： 非奇非偶
1. 幂函数的图像
y x, y x , y x ,
2 3
y
y x , y x
的图象.
1 2
y x3 y x2 y x
1
yx
1
1 2
yx
1
O1
y x 2
x
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，
并且图象都通过点(1,1)； (2) 如果a＞0，则幂函数图象过原点， 并且在区间 [0,＋∞)上是增函数；
3、对数函数的图像
y log2 x y log0.5 x y lg x
y log0.1 x
1
对数函数的图象和性质
a>1 图 象
o y (1, 0) x
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质学习幂函数的定义，了解幂函数的基本形式f(x) = x^a。
探讨幂函数的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。
1.2 幂函数的图像与性质绘制常见幂函数的图像，观察图像的特点。
分析幂函数的单调区间、极值等性质。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质学习指数函数的定义，了解指数函数的基本形式f(x) = a^x。
探讨指数函数的性质，包括单调性、稳定性、特殊点等。
2.2 指数函数的图像与性质绘制常见指数函数的图像，观察图像的特点。
分析指数函数的单调性、渐近线等性质。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质学习对数函数的定义，了解对数函数的基本形式f(x) = log_a(x)。
探讨对数函数的性质，包括单调性、反函数关系、对数规则等。
3.2 对数函数的图像与性质绘制常见对数函数的图像，观察图像的特点。
分析对数函数的单调性、渐近线等性质。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等基本运算法则。
探讨对数运算的性质，如对数的中项定律、对数的换底公式等。
4.2 对数的复合运算法则学习对数的复合运算，如对数的乘方、对数的开方等。
探讨复合运算的性质，如对数的乘方公式、对数的开方公式等。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在求解方程中的应用学习使用对数函数求解指数方程、对数方程等。
探讨对数函数在求解方程时的性质，如对数函数的单调性、对数函数的零点等。
5.2 对数函数在解决实际问题中的应用学习使用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
探讨对数函数在解决实际问题时的应用方法和对数函数的近似计算等。
第六章：幂函数的应用6.1 幂函数在几何中的应用学习幂函数在几何中的作用，如计算体积、面积等。
探讨幂函数在几何问题中的解题方法。
6.2 幂函数在物理中的应用学习幂函数在物理中的作用，如温度、速度等。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的定义及性质。
2. 掌握对数的定义及其运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
教学内容：第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质1.2 幂函数图像的特点1.3 幂函数的应用第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质2.2 指数函数图像的特点2.3 指数函数的应用第三章：对数函数3.1 对数的定义与性质3.2 对数函数图像的特点3.3 对数函数的应用第四章：对数及其运算法则4.1 对数的换底公式4.2 对数的运算法则4.3 对数函数的图像与性质第五章：实际问题中的应用5.1 利用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题5.2 练习题及解答教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义、性质及应用。
2. 利用数形结合法，引导学生观察函数图像，加深对函数性质的理解。
3. 通过例题和实际问题，培养学生的应用能力。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对幂函数、指数函数和对数函数的理解程度。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
3. 进行单元测试，评估学生的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT，展示幂函数、指数函数和对数函数的图像及性质。
2. 教材和辅导书，提供相关知识点的详细讲解和例题。
3. 网络资源，查阅实际问题中的应用案例。
教学时间安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：2课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：1课时幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案（续）教学内容：第六章：指数与对数的互化6.1 指数与对数的关系6.2 指数与对数的互化方法6.3 指数与对数互化在实际问题中的应用第七章：对数函数的图像与性质7.1 对数函数的图像特点7.2 对数函数的性质7.3 对数函数图像与性质的应用第八章：对数函数在实际问题中的应用8.1 对数函数解决生长、衰减问题8.2 对数函数在几何问题中的应用8.3 对数函数在其他领域的应用第九章：对数方程与对数不等式9.1 对数方程的解法9.2 对数不等式的解法9.3 对数方程与对数不等式的应用第十章：总结与拓展10.1 幂函数、指数函数和对数函数的总结10.2 数学思想与方法的拓展10.3 课后习题与思考题教学方法：1. 采用讲授法，讲解指数与对数的关系、互化方法及其应用。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案一、教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的概念及其性质。
2. 掌握对数的定义及其运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
二、教学内容：1. 幂函数：定义、性质及应用。
2. 指数函数：定义、性质及应用。
3. 对数函数：定义、性质及应用。
4. 对数的运算法则：乘法法则、除法法则、幂法则、对数换底公式。
三、教学重点与难点：1. 重点：幂函数、指数函数和对数函数的概念及其性质，对数的运算法则。
2. 难点：对数函数的应用，对数的运算法则的推导和应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质和对数运算法则。
2. 利用例题和练习题，让学生通过自主学习和合作交流，巩固所学知识。
3. 运用信息技术辅助教学，展示函数图像，增强学生对函数性质的理解。
五、教学过程：1. 导入：通过复习幂函数、指数函数的概念和性质，引出对数函数的概念。
2. 新课讲解：讲解对数函数的定义、性质和对数运算法则，结合实例进行解释。
3. 例题讲解：分析并解决有关对数函数的例题，让学生掌握对数函数的解题方法。
4. 练习与讨论：学生自主完成练习题，合作交流解题心得，教师进行点评和指导。
6. 课后作业：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对幂函数、指数函数、对数函数概念及其性质的掌握情况。
2. 练习题完成情况：检查学生对对数函数及其运算法则的应用能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思：2. 针对学生的薄弱环节，调整教学策略，提高教学效果。
3. 探索更多有效的教学方法，激发学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸：1. 引导学生思考实际生活中的幂函数、指数函数和对数函数现象，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
2. 介绍对数函数在其他学科领域的应用，如物理学、生物学等，拓宽学生的知识视野。
幂函数对数函数指数函数增长速度比较
幂函数对数函数指数函数增长速度比较幂函数、对数函数和指数函数是高中数学中经常涉及的三种基本函数类型。
这三种函数具有不同的定义和性质，它们的增长速度也各不相同。
下面，我将从三个方面分别阐述幂函数、对数函数和指数函数的增长速度及其比较。
一、幂函数的增长速度幂函数的一般形式为y=x^a，其中a为正实数，x为自变量，y为因变量。
当a>1时，幂函数的增长速度比线性函数快，而当0<a<1时，则比线性函数慢。
幂函数随着x的增大而增大，增长速度越来越快，但增长速度的大小与指数a的大小有关。
例如，y=x^2和y=x^3的增长速度比y=x和y=x^1.5快，因为x^2和x^3比x和x^1.5的增长速度更快。
另一方面，y=x^0.5和y=x^0.3的增长速度比y=x慢，因为x^0.5和x^0.3比x的增长速度更慢。
二、对数函数的增长速度对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为正实数且a ≠ 1，x为正实数。
对数函数随着x的增大而增加，但增长速度非常缓慢。
例如，y=log2(x)和y=log3(x)的增长速度比y=log5(x)和y=log10(x)慢，因为以2或3为底的对数的增长速度比以5或10为底的对数慢。
三、指数函数的增长速度指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，x为自变量。
指数函数随着x的增大而快速增加。
例如，y=2^x和y=3^x的增长速度比y=1.5^x和y=1.1^x快，因为2和3比1.5和1.1更大。
比较三种函数的增长速度根据上述三种函数的增长速度特性，我们可以得出以下结论：1. 当x越来越大时，指数函数的增长速度最快，其次是幂函数，最慢的是对数函数。
2. 如果幂函数和指数函数的底相同，那么指数函数的增长速度比幂函数快。
例如，y=2^x的增长速度比y=x^2的增长速度快。
3. 如果对数函数和指数函数的底相同，那么对数函数的增长速度比指数函数慢。
例如，y=log2(x)的增长速度比y=2^x的增长速度慢。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案教学目标：一、知识与技能：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的定义及其性质。
2. 掌握对数的定义及其运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
二、过程与方法：1. 通过实例探究幂函数、指数函数和对数函数的图象与性质。
2. 通过对数函数的图象和性质，理解对数及其运算法则。
3. 运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题，提高数学建模能力。
三、情感态度与价值观：1. 培养对数学的兴趣和好奇心，感受数学的运用价值。
2. 培养学生的团队合作精神，提高学生的解决问题的能力。
教学重点与难点：重点：幂函数、指数函数和对数函数的定义及其性质；对数的定义及其运算法则。
难点：幂函数、指数函数和对数函数在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习幂函数、指数函数的定义及其性质。
2. 引导学生思考：幂函数、指数函数在实际生活中有哪些应用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解对数的定义：以2为底的对数表示为log2(x)，意义为2的几次方等于x。
2. 引导学生通过实例理解对数的意义。
3. 讲解对数的性质：对数的真数必须大于0；对数的底数必须不等于1；对数的相反数、对数的倒数、对数的乘积和除法等性质。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固对数的定义及其性质。
2. 解答学生疑问，指导学生掌握对数的运算法则。
四、应用拓展（10分钟）1. 让学生举例说明幂函数、指数函数和对数函数在实际生活中的应用。
2. 引导学生运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
五、课堂小结（5分钟）2. 强调对数的运算法则及其应用。
教学反思：本节课通过讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义及其性质，让学生掌握对数的定义及其运算法则。
在教学过程中，注重引导学生思考实际生活中的应用，提高学生的数学建模能力。
通过课堂练习和应用拓展，巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。
幂函数、指数函数和对数函数
幂函数、指数函数和对数函数一、幂函数1、函数k x y =〔k 为常数，Q k ∈〕叫做幂函数2、单调性： 当k>0时，单调递增；当k<0时，单调递减3、幂函数的图像都经过点〔1，1〕二、指数函数1、xa y =〔0>a 且1≠a 〕叫做指数函数，定义域为R ，x 作为指数2、指数函数的值域：），（∞+03、指数函数的图像都经过点〔0，1〕4、当a>1时，为增函数；当0<a<1时，为减函数5、指数函xa y =数的图像：a>1 0<a<1三、对数1、如果a(a>0,且a ≠－1〕的b 次幂等于N ，即N a b=，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中，a 叫做底数，N 叫做真数2、零与负数没有对数，即N>03、对数恒等式：N aNa =log4、(重点强调〕a>0,且a ≠－1，N>05、常用对数：以十为底的对数，记作lg N6、自然对数：以e 为底的对数，记作in N7、对数的运算性质：如果a>0,a ≠1，M>0,N>0,那么（1）N M MN a a a log log )(log += （2）N M NMa a alog log log -= （3）M n M a n a log log = 8、对数换底公式：)01,01,(log log log >≠>≠>=N b b a o a NNN b a b ，，其中9、指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b四、反函数1、对于函数)(x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应〔即一个x 对应一个y 〕，且满足)(x f y =，这样得到的x 关于y 的函数叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=，习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，说以把它改写为))((1A x x fy ∈=-函数)(x f y = 反函数)(1x f y -=定义域 D A 值域AD3、函数)(x f y =的图像与反函数)(1x f y -=的图像关于直线x y =对称五、对数函数1、函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数，是指数函数的反函数2、对数函数的图像都在y 轴的右方3、对数函数的图像都经过点〔1，0〕4、当a,x 范围相同时，y>0；当a,x 范围不同是，y<0,〔范围指的是0<x<1和x>1两个范围〕5、对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且的图像6、对数函数的定义域：x>07、对数函数的单调性：当a>1时，单调递增；当0<a<1时，单调递减六、简单指数方程指数里含有未知数的方程叫做指数方程1、819252=+-x x（1）将方程化为同底数幂的形式：225992=+-x x2252=+-∴x x 解得：5,021==x x（2）指对互换：281log 2592==+-x x ，解得：5,021==x x2、0155252=-⋅-x x换元法：令)05>=t t x（，则原方程化为01522=--t t ，解得：（舍）3,521-==t t 1,55==∴x x3、11235-+=x x两边同取以十为底的对数，得：1123lg 5lg -+=xx ，3lg )1)(1(5lg )1+-=+∴x x x （0)3lg 3lg 5)(lg 1(=+-+∴x x ，解得：5log 13lg 5lg 113+=+=-=x x 或七、简单对数方程对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程〔解对数方程须检验，真数＞0〕1、化为同底：2)532(log 2)1(=-++x x x2)1(2)1()1(log )532(log +=-+++x x x x x ，532)1(22-+=+x x x062=-+x x ，3,221-==x x经检验，x=2为原方程的解2、换元：1log 325log 225=-x x令t x =25log ，则t x 125log =，所以原方程化为：1312=-t t0232=-+∴t t ，解得32,121=-=t t当1-=t 时，1log 25-=x ，251=∴x当32=t 时，32log 25=x ，3165=∴x经检验，它们都是原方程的根 所以原方程的解为321165,32==x x。
第二章 幂函数、指数函数、对数函数第四节对数函数
第一节 第二节 第三节 第四节
函数 幂函数 指数函数 对数函数
第四节 对数函数
一、对数的定义及运算
1.对数的定义 我们知道 23 8,现在提出相反的问题,2 的多少次幂等于 8?如何表示这种逆运算?我们采用一个新
的式子:log 83表示,这里的 2 称为底数,8 称为真数,3 称为 2
(3) 在 0,+ 内单调递增
(4) 当x +,y +; x 0时,y -
(1) x > 0
(2) 当x = 1时,y = 0; 当x > 1时,y 0; 当0 < x < 1时,y 0
(3) 在 0,+ 内单调递减
(4) 当x +,y ; x 0时,y
例 7 比较下列各组里两个数的大小.
例 3 用loga x,loga y,loga z表示下列各式
(1) loga x2 y3;
(2)
loga
xy z2
.
解 (1) loga x2 y3 2loga x3loga y;
(2)
loga
xy z2
loga
xy
loga
z2
loga
x
loga
y
2loga
z.
4.常用对数、自然对数、对数的换底公式 我们规定,以
x
,
y
10x
,
y
ex
的反函数.
三、对数函数的图像和性质
y
y a x a>1
y
y= x
y ax
0<a<1
y log a x
1
a>1
指数函数,对数函数与幂函数
指数函数,对数函数与幂函数
1.指数函数：指数函数的形式为f(x)=a^x，其中a为一个正实数，x为自变量，f(x)为因变量。
指数函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。
指数函数的特点是在x轴上的一个点处，曲线的斜率等于函数值。
指数函数在数学、科学、经济等领域中有着广泛的应用。
2. 对数函数：对数函数的形式为f(x)=loga(x)，其中a为一个正实数且不等于1，x为自变量，f(x)为因变量。
对数函数是指数函数的反函数，也就是说f(x)表示a的x次方等于某个数时，x的值。
对数函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。
对数函数在数学、物理、计算机等领域中有着广泛的应用。
3. 幂函数：幂函数的形式为f(x)=x^a，其中a为一个实数，x 为自变量，f(x)为因变量。
幂函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。
幂函数在数学、物理、经济等领域中有着广泛的应用，如面积、体积、电阻、功率等的计算。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的重要函数类型，它们在许多领域中都有着广泛的应用。
熟练掌握这些函数的性质和应用，对于学习数学、物理、计算机等学科都有着重要的意义。
- 1 -。
指数_对数_幂函数必备知识点
指数_对数_幂函数必备知识点指数、对数和幂函数是数学中非常重要的概念和工具。
它们在各个领域中都有广泛的应用，包括科学、工程和经济等方面。
在这篇文章中，我们将详细介绍指数、对数和幂函数的必备知识点。
1. 指数函数（Exponential Functions）a.当a>1时，指数函数是递增函数，随着x的增加，函数值也增加；b.当0<a<1时，指数函数是递减函数，随着x的增加，函数值减小；c.当x=0时，f(x)=a^0=1；d.当x<0时，f(x)=a^x=1/a^(-x)。
指数函数在各个领域的应用非常广泛，比如在物理学中描述指数增长、衰变等现象，在经济学中描述复利现象等。
2. 对数函数（Logarithmic Functions）对数函数是指数函数的逆运算。
对数函数可以表示为f(x) =loga(x)，其中a为底数，x为正实数。
常见的对数函数有以10为底数的常用对数函数，即f(x) = log10(x) = lg(x)，以及以e为底数的自然对数函数，即f(x) = ln(x)。
对数函数具有以下特点：a.对数函数是递增函数，随着x的增加，函数值也增加；b. 当x=a时，f(a) = loga(a) = 1；c. 当x=1时，f(1) = loga(1) = 0；d.当a>1时，对数函数在定义域内的所有正实数上都有定义；e.当0<a<1时，对数函数只在定义域内的正实数中的一部分上有定义。
对数函数在数学和科学中有广泛的应用。
例如，对数函数可以用来解决指数方程、求解复利问题等。
3. 幂函数（Power Functions）幂函数是以x为底数，并以常数为指数的函数形式。
幂函数可以表示为f(x)=x^k，其中k为常数。
幂函数具有以下特点：a.当k>0时，幂函数是增函数，随着x的增加，函数值也增加；b.当k<0时，幂函数是减函数，随着x的增加，函数值减小；c.当k=0时，幂函数为常数函数，函数值始终为1幂函数在各个领域中都有广泛的应用。
最全的高中幂-指数-对数-三角函数知识点总结
最全的高中幂-指数-对数-三角函数知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一.幂 函 数一、幂函数定义：形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
注意：幂函数与指数函数有何不同？【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 观察图：归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：二、幂函数的性质归纳：幂函数在第一象限的性质：0>α，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（+∞,0）上单调递增。
0<α，图像过定点（1,1），在区间（+∞,0）上单调递减。
探究：整数m,n 的奇偶与幂函数nm x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系？结果：形如nmx y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性（1）当m ，n 都为奇数时，f （x ）为奇函数，图象关于原点对称； （2）当m 为奇数n 为偶数时，f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称； （3）当m 为偶数n 为奇数时，f （x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.三、幂函数的图像画法：关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。
指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为水平的射线； 指数小于0,在第一象限为双曲线型； 四、规律方法总结：1、幂函数)1,0(==ααx y 的图像：2、幂函数),,,,(互质q p Z q p p qx y ∈==αα的图像：3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．二．指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。
指数函数、对数函数、幂函数的图像及性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s=a rs(a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数y=a x a>1 0<a<1图象定义域R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1;x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xa N a a=>≠且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log Nax=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。
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函数（2）学案主备人：_________ 编号：___005______ 【本课概论】1、对数的定义：在方程N =xa 中，已知底数和幂，定义指数N log a x =2、指数函数x a x f =)(，对数函数xx f a log )(=，幂函数a x x f =)(【概念应用】1、利用对数的降次特征化简大数据运算。
2、利用指数函数、对数函数和幂函数刻画数学模型。
【知识点及习题剖析】 对数1、对数的定义与转化。
在N log a x=中，a 叫做底数，N 叫做真数，该式读作“x 等于N 以a 为底的对数”其中a>0且a ≠1，真数N>0（若N=0或N<0则无意义） 指数式N =xa与对数式N log a x =可相互转化。
例：将指数式64126=-，对数式416log 21-=分别转为对数式和指数式。
解：①6641log 2-= ②16214=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-剖析：指数式和对数式底数相等，真数与幂相等，指数与对数相等，不要搞混。
2、对数的运算法则（请自行用对数的定义推导）。
推导过程： 公式：①MNN M a a alog log log =+②NM N M aa a log log -log =③Mn M a n a log log =nMM a alog log n=④x a a x a xa ==log log例1：求125log 3log 30log 31022+-的值。
解：由公式②④③⑤得原式=310log 3)5log 2(log 35log 310log 13101010102==+=+⋅剖析：合理运用公式。
记住从对数里提为降次，放到对数里为升次。
*例2（应用）：已知5.145.23170log ,2416777216log 22==求5.2317016777216的近似值。
解：5.95.14245.2317016777216log 2=-=， 3.7144.110002225.2317016777216105.9=≈==（实际724左右，误差2%以内）剖析：合理运用对数及编制好的对数表可以极大地简化问题。
3、常用对数与自然对数。
定义：MM 10log lg =，称为常用对数。
MM e log ln =，称为自然对数，其中自然对数的底数e=2.718281828459……例1：求5100lg解：525100lg 100lg 5==剖析：lg 和ln 只是一种简写的记法，对数公式完全可以套用。
例2：计算50lg 2lg )5(lg 2⋅+解：12lg 5lg 2lg )5lg 2(lg 5lg 2lg 5lg 2lg )5(lg )15(lg 2lg )5(lg 原式22=+=++⋅=+⋅+=+⋅+=剖析：遇到与lg 有关的问题，想尽一切办法将真数靠近10的幂（尤其是看到2和5）。
注意辨别：!15lg 2lg ,15lg 2lg ≠⋅=+4、换底公式（请同学们自己证明）指数形式：xa xb ba⋅=log 对数形式：abb c c a log log log =例：计算8log 7log 6log 5log 4log 3log 765432⋅⋅⋅⋅⋅解：4log 3log 4log 3log 4log 3log 222232=⋅=⋅类推得原式=38log 2=剖析：当参与计算的若干个对数的底数不同时，应用换底公式将其变为同一个底数然后计算。
由换底公式有b a a b log log 1=及b b a alog log 1-=（待会习题要用）指数函数、对数函数和幂函数 指数函数1、指数概念的推广。
由 n n n na a a )()(1==得，n n a a 1=由此可定义nmppa a Z n m nm p Q p a =>∈=∈则),0n ，,(设:）（对于p 为无理数的情况，定义)(lim Q q a aq pq p∈=→，即无限接近于该数的有理数。
例：求46394369)()(a a ⋅解：42249316149613146394369)()(a a a a a a a =⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅剖析：合理运用根号和分数次幂的转化，将若干次幂转为一次幂运算。
指数的运算法则在实数范围内通用。
2、指数函数的定义、定义域、值域。
定义：形如xaxf=)(的函数称为指数函数，其中1且0≠>aa。
由定义易推知，指数函数的定义域为R，值域为(0,+∞）例：下列函数中，值域不为R+的是（ D ）（A）y=5x-21（B）y=(31)1-x（C）y=1)21(-x（D）y=x21-解：前三项都为指数函数，且指数的定义域都为R，因此其值域为(0,+∞）（第三项中对(0,+∞）开根号仍为(0,+∞））。
排除法可知选D。
剖析：注意指数函数的值域为(0,+∞）当且仅当定义域为R！因此看到指数函数一定要先判断指数的定义域再解答。
3、指数函数的图象与性质。
利用描点法作图可得：观察图象有以下结论：①指数函数不为奇函数、偶函数。
当a>1时，函数在R内单调递增；当0<a<1时，函数在R内单调递减。
②所有的指数函数都经过(0,1)（想想这是为什么？）③指数函数的图像始终在x轴上方，即值域为(0,+∞）。
当a>1时，函数向左收敛于0，向右发散；当0<a<1时，函数向右收敛于0，向左发散。
例：已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b的图像必定不经过（A）(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解：首先观察0<a<1，得知函数图像在R上单调递减。
然后观察b<-1，因为指数函数必定经过(0,1），所以该函数与y轴交点必定在负半轴。
考虑到它是减函数，因此当x>0时，y必定小于0，即函数不可能经过第一象限。
剖析：一定要分清a的范围。
不同的a对应的图象的增减性、敛散性不同。
指数函数的图象经过点（0,1）也是常用的隐含条件之一。
*4、指数函数的导数。
一般地，指数函数xa=y的导数为aay x ln'=（证明过程略）当a=e时，函数xe=y的导数为它本身，即x e==yy'这是自然对数许多神奇性质中的一个，有许多的应用。
1、对数函数的定义、定义域与值域。
形如xx f a log )(=的函数称为对数函数，其中a>0且a ≠1。
由对数函数的定义可推知：对数函数定义域为（0，﹢∞），值域为R 。
特别地，对数函数和指数函数互为逆函数。
即若xx g a x f a x log )(,)(==则有fg g f x x f g x x g f ====--11,即,)]([,)]([2、对数函数的图象及其性质。
用描点法作出对数函数的图象。
观察图象可得对数函数的几个性质： ①对数函数不为奇函数、偶函数。
当a>1时，函数在(0,+∞）内单调递增；当0<a<1时，函数在(0,+∞）内单调递减。
②所有的对数函数都经过(1,0)（这又是为什么？）③对数函数的图像始终在y 轴右方，即定义域为(0,+∞）。
对数函数在趋于0时或趋于+∞时皆发散。
④底数相同，指数函数的图象与对数函数的图象关于y=x 对称（逆函数的特征） 例：已知函数xx f a log )(=(0<a<1)在[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，求a 的值。
解：由0<a<1可知f 在区间[a,2a]上是减函数，故x=a 处即为最大值，x=2a 处为最小值。
代入得f(a)=1，312log )2(==a a f a ，即a a 231=，解得42或0±=a考虑到a>0，解得42=a 。
剖析：同样关注指数函数中a 的取值。
不管做什么题目，当看到指数函数的时候，首先要想 到定义域为正实数集！（这点非常重要，因为这涉及到复杂函数中整个函数的定义域）*3、对数函数的导数。
一般地，对数函数x y a log =的导数为ax y ln 1'=（证明过程略）当a=e 的时候，函数x y ln =的导数为xy 1'=1、幂函数的定义、定义域、值域与图象。
形如a x x f =)(的函数称为幂函数。
幂函数的图象、定义域与值域随a 的不同而不同。
下面列出的是其中常见的几种：观察图象可以发现，所有的幂函数都过点（1,1）（为什么？） 例：函数221m m xy --=在第二象限单调递增，求m 的最大负整数。
解：22-+=m m xy，观察到m 为负整数，因此枚举m 即可。
当m=-1时，22-+m m=-2，2-=x y 在第二象限递增。
因此m=-1。
剖析：幂函数的性质不可能全部学习，但它们并不算难。
做到题目时简单推推即可。
枚举法指将可能情况一个个列出来的方法，有时候没有头绪时可能很有用。
2、幂函数的导数 一般地，幂函数a x y=的导数为1'-=a ax y可以证明，对于a ≠0的其它所有实数，上述关系都是成立的。
例：求函数882xxy +=在(0,+∞)内的最小值。
解：令08116'3=+-=x y ，解得3324128==x ，代入得()22221323min +=y 【习题】 选择1．函数f （x ）=(a 2-1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2<a （C ）a<2 （D ）1<2<a2、函数y=121-x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）⋃（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）⋃（0，+∞）3.若方程a x-x-a=0有两个根，则a 的取值范围是（ ） （A ）（1，+∞） （B ）（0，1） （C ）（0，+∞） （D ）φ 4．下列关系中正确的是（ ）（A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32（C ）（51）32<（21）31<（21）32（D ）（51）32<（21）32<（21）315、 2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 6、 nn ++1log （n n －＋1）等于（ ） A 、1B 、－1C 、2D 、－2填空1．化简⨯53xx 35xx×235xx = 。
2、若log a x ＝log b y ＝－21log c 2，a ，b ，c 均为不等于1的正数，且x ＞0，y ＞0，c ＝ab ，则xy ＝________3、 若2log 2,log 3,m na a m n a+===___________________4、已知f(x)=2x,g(x)是一次函数，记F （x ）=f[g(x)],并且点（2，41）既在函数F （x ）的图像上，又在F -1（x ）的图像上，则F （x ）的解析式为 _____ . 5、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 若2510a b ==，则11a b+= . 计算、解答1、222522122(lg )lg lg (lg )lg +⋅+-+2、91log 81log 251log 532•• 3、4839(log 3log 3)(log 2log 2)++4、(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)5、设0<a<1,解关于x 的不等式a 1322+-x x >a522-+x x 。