山东省高中学业水平考试数学知识点总结

山东省2010年高中学业水平考试数学知识点总结老师的话：同学们，学业水平考试快到了！如何把数学复习好？老师告诉你：回到课本中去！翻开课本，可以重温学习的历程，回忆学习的情节，知识因此被激活，联想由此而产生。

课本是命题的依据，学业水平考试试题难度不大，大多是在课本的基础上组合加工而成的。

因此，离开书本的复习是无源之水，那么如何运用课本呢？复习不是简单的重复，你们应做到以下6点：1、在复习每一专题时，必须联系课本中的相应部分。

不仅要弄懂课本提供的知识和方法，还要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解过程，揭示例、习题之间的联系及变换2、在做训练题时，如果遇到障碍，应有查阅课本的习惯，通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷，尽可能把问题回归为课本中的例题和习题3、在复习训练的过程中，我们会积累很多解题经验和方法，其中不少是规律性的东西，要注意从课本中探寻这些经验、方法和规律的依据4、注意在复习的各个环节，既要以课本为出发点，又要不断丰富课本的内涵，揭示课本内涵与试题之间的联系5、关于解题的表达方式，应以课本为标准。

很多复习资料中关键步骤的省略、符号的滥用、语言的随意性和图解法的泛化等，都是不可取的，就通过课本来规范6、注意通过对课本题目改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能。

现行课本一般是常规解答题，应从选择、填空、探索等题型功能上进行思考，并从背景、现实、来源等方面加以解释 必修一 一、集合1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）5. 一元一次不等式的解法：已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)31,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）6. 一元二次不等式的解集：解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax 。

（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <；当01a <<时，11x a<<；当1a =时，x ∈∅；当1a >时，11x a<<）7. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。

（1）()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）若在[0,]2π内有两个不等的实根满足等式cos 2321x x k =+，则实数k 的范围是_______.（答：[0,1)） 二、函 数1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2.函数f : A →B 是特殊的映射。

若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2） 3.研究函数问题时要树立定义域优先的原则：（1）函数lg 3y x =-的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4))；（2）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤）（3）复合函数的定义域：①若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________（答：{}42|≤≤x x ）；②若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．4.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法―①当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：21-≥a ）；（2）换元法①22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8-）；②21y x =++_____（答：(3,)+∞）t =，0t ≥。

运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；○3 sin cos sin cos y x x x x =++的值域为____（答：1[1,2-）；○44y x =+____（答：4]+）；（3）函数有界性法―求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x x y =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域（答： 1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2-∞）；（4）单调性法――求1(19)y x x x =-<<，229sin 1sin y x x=++的值域为______（答：80(0,)9、11[,9]2）；（5）数形结合法――已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2yx +及2y x -的取值范围（答：[、[）； （6）不等式法―设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞）。

5.分段函数的概念。

（1）设函数2(1).(1)()41)x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是____（答：(,2][0,10]-∞-）；（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是___（答：3(,]2-∞） 6.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法―已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。

（答：21()212f x x x =++） （2）配凑法―①已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x f 的解析式___（答：242()2,[f x x x x =-+∈）；②若221)1(xx x x f +=-，则函数)1(-x f =___（答：223x x -+）；（3）方程的思想―已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33f x x =--）； 7. 函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔1)()(0)()()()(-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f ； ⑶)(x f 是偶函数1)()(0)()()()(=-⇔=--⇔=-⇔x f x f x f x f x f x f ；⑷奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；8.函数的单调性。

如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？()y f u =（外层），()u x ϕ=（内层），则[]()y f x ϕ=当内、外层函数单调性相同时，[]()f x ϕ为增函数，否则[]()f x ϕ为减函数如：求()212log 2y x x =-+的单调区间。

设22u x x =-+，由0u >，则02x <<且12log u ↓，()211u x =--+，如图当(01]x ∈，时，u ↑，又12log u ↓，∴y ↓当[12)x ∈，时，u ↓，又12log u ↓，∴y ↑∴……）9. 函数图象⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：① 平移变换：ⅰ)()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“-”； ⅱ)0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“-”； ② 伸缩变换：ⅰ)()(x f y x f y ω=→=， （)0>ω———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的ω1倍；ⅱ)()(x Af y x f y =→=， （)0>A ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍；③ 对称变换：ⅰ)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0y )(x f y -=；ⅲ)(x f y =−→−=0x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =−−→−=xy )(1x f y -=；④ 翻转变换：ⅰ|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；ⅱ|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）；10．常用函数的图象和性质 （1）()0y kx b k =+≠一次函数： （2）反比例函数：()0ky k x=≠推广为()0ky b k x a=+≠-是中心'()O a b ，的双曲线。

（3）二次函数()2224024b ac b y ax bx c a a x a a -⎛⎫=++≠=++⎪⎝⎭的图像为抛物线顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，对称轴2bx a =- 开口方向：0a >，向上，函数2min 44ac b y a-=0a <，向下，2max44ac b y a-=应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程20ax bx c ++=，0∆>时，两根12x x 、为二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点，也是二次不等式20(0)ax bx c ++><解集的端点值。

②求闭区间［m ，n ］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程20ax bx c ++=的两根都大于02()0bk k a f k ∆≥⎧⎪⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩，一根大于k ，一根小于()0k f k ⇔<（4）指数函数：()01x y a a a =>≠， （5）对数函数：()log 01a y x a a =>≠，由图象记性质！（注意底数的限定！）（6）“对勾函数”()0ky x k x=+> 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？必修二 一、 立体几何 1．平行、垂直关系证明的思路平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→−线面平行的判定：a b b a a ααα⊂⊄⇒∥，面，∥面线面平行的性质：b a b αααβαβ⊂=⇒∥面，面，∥三垂线定理（及逆定理）：PA α⊥面，AO 为PO 在α内射影，a α⊂面，则a x(a>1)abαa OA a PO a PO a AO ⇒⇒⊥⊥；⊥⊥线面垂直：a b a c b c b c O a αα⊂=⇒⊥，⊥，，，⊥面面垂直：a a αββα⊂⇒⊥面，面⊥，l a a l a αβαβαβ=⊂⇒面⊥面，，，⊥⊥;a b a b a a αααβαβ⇒⇒⊥面，⊥面∥面⊥，面⊥∥a bα2．三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°o 0b b θαα⊂＝时，∥或（3）二面角：二面角l αβ--的平面角0180o o θθ<≤，三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。