3.1刚体的转动定律
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定轴转动：转轴相对参考系静止。
3.一般运动：可看成平动和转动的叠加。如车轮的转动
三、自由度(degree of freedom)
自由度：确定一个物体在空间的
位置所需的独立坐标的数目。它反 映了运动的自由程度 火车：被限制在轨道上运动，自由度为1 轮船：在一水平面上运动，自由度为2
飞机：在空中飞行，自由度为3
rO
T
解
(1)
(2)
Fr J
mg T ma
Tr J
Fr 98 0.2 2 39.2 rad/s J 0.5 F
mgr J mr 2
mg
两者区别
a r
98 0.2 2 21.8 rad/s 0.5 10 0.2 2
三
转动惯量
角坐标为标量。但可有正负。
2.角位移 (angular displacement) 描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移 3.角速度 (angular velocity) 描写刚体转动快慢和方向 的物理量。 d lim 角速度 t 0 t dt
M M1 M 2 M 3
2） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M ji
d
ri
F ji i F
ij
rj
j
Mij M ji
二
转动定律 1）单个质点m与转轴 刚性连接
Ft mat mr M rF 2 M rFt mr
加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动，
2. 转动 (rotation) 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同
一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线
就叫做转轴 (axis of rotation)。如果转轴是固定不动的，
就叫做定轴转动 (fixed-axis rotation)。
刚体的自由度
考虑到刚体既有平动又有 转动，其独立坐标数由质心坐 标，转轴的方位角与刚体绕转 轴的转动角度决定。 (1) 确定定点位置。空间任何 一个点需要三个独立坐标来确 定位置，因此用三个坐标如 C(x,y,z) 来 决 定 刚 体 上 某 一 定 x 点位置。 z
o
y
（ 2 ）刚体的方位由其轴的取向决定，确定空间直线 的方位坐标有两个，借用纬度角与经度角来描述，在 直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示： （3）刚体绕定轴转动时，需要一 个坐标来描述，选定参考方向后， z 转动位置用表示。 p 刚体共有 6 个自由度，其中 3 个平 动自由度，3个转动自由度。
二、平动和转动
1.平动（translation） 当刚体运动时，如果刚 体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持它的方 向不变，这种运动叫平动。
特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视为质点 刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所质点的
位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和
都可代表整个刚体的运动。
2
v v0 at
x x0 v0t at
1 2
2 2 0
0 t 2 1 0 0t 2 t
v v 2a( x x0 ) 2 02 2 ( 0 )
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因受制动 而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和 在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时 飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、 切向加速度和法向加速度(线量) .
2
2
该点的切向加速度和法向加速度(线量)
π 2 2 at r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 an r 0.2 (4 π) m s 31.6 m s
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速 度 0 0 ，经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内， 转子转过多少转？ d ct ，积分 解 由题意，令 ct，即
J m r
j
2 j j
J r dm
2
M J
刚体在合外力矩的作用下，所获得的角加速度与 合外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比 .
说明
( 1)
M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同
现在将这些方法用之于刚体和流体的研究．
一、刚体（rigid body）
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体 ----物体内任意两点的距离不变 刚体运动研究的基础：刚体是由无数个连续分布的质 点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元dm。 每个质点运动都服从质点力学规律。刚体的运动是这 些质量元运动的总和。
物体有几个自由度 ，它的 运动定律可归结为 几个独 立的方程。 o
y
x
四、 刚体转动的角量描述
1.角坐标 (angular position) 描写刚体转动位置的物理量。 在转动平面内，过O点作 一极轴，设极轴的正方向 是水平向右，则OP与极轴 之间的夹角为。
o
P
x
角称为角坐标（或角位置）。
2 ( 0 )
转过的圈数
75π N 37.5 r 2π 2π
（2）t
π 0 t (5 π 6)rad s 1 4 π rad s 1 6 t 6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 （3）
6s 时，飞轮的角速度
v r 0.2 4π m s 2.5 m s
J m r , J r dm
2 j j 2 j
物理意义：转动惯性的量度 .
转动惯性的计算方法
质量离散分布刚体的转动惯量
R
y
v2
p
P
v1
x
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
刚体上任一质元的速度表示为： v r , v r 3.角加速度 (angular acceleration) d lim t 0 t dt
M ij 0
j
rj
m j
Fej
M
j
ej
( m r )
2 j j
Fij
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以 M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到
d M J J dt
刚体定轴 转动定律
定义转动惯量 转动定律
M
O
z
r
m
Ft
Fn
F
质量元受外力 F ，内力 F ij ej 2 Mej Mij m j rj
外力矩 内力矩
2）刚体
z
O
rj
Fej
m j
Fij
2 M M m r ej ij j j j j
z
O
M ij M ji
转动 平面
r
（2 ）
M
Z
rF2 sin F 2 d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。
F 1
转动 平面
F
（3）F1对转轴的力矩为零， 在定轴转动中不予考虑。
r
F2
（4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
讨论 1）合力矩等于各分力矩的矢量和
a
0
0 a
定轴转动的特点
1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a不同； 3） 运动描述仅需一个坐标 .
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
第三章
刚体和流体的运动
§3-1 刚体模型及其运动
一般的力学分析方法可归纳为：
(1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型； (2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象作为突破口 (3)根据受力情况，正确地画出受力图； (4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原理、定律， 列出方程式； (5)根据要求，求解方程，统一变量，积零为整，用积分法求 出结果.积分上下限的选取要特别注意 (6)讨论分析所得结果，检验是否正确．
1 2 π 3 2 ct rad s t 转子的角速度 2 150 d π 3 2 rad s t 由角速度的定义 dt 150 t π 3 2 得 0 d 150 rad s 0 t dt π 3 3 有 rad s t 450
转动定律解题步骤
1、隔离物体，分析受力；
M J
2、建立坐标，求力矩；
3、列出方程，求解。
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， (见图)
求 (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速度
所以
0
d
dt t 1 2 c tdt 得 ct 2 0
当t=300s 时
18000r min1 600π rad s1
2 2 600 π π 3 3 c 2 rad s rad s 2 t 300 75
c 2 t 2 (π 75) rad s 3
M
M
O
z
力是引起质点或者平动 d M Fr sin Fd 物体运动状态（动量） d: 力臂（O点到力F的作用线的垂直 变化的原因；力矩是引 距离） 起转动物体运动状态 （角动量）变化的原因。 F
M r F
r
F
*百度文库P
Fi 0 , Mi 0
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N (300 ) 3 10 2π 2π 450
§3-2
一
力矩 转动惯量
定轴转动定律
力矩 刚体绕 O z 轴旋转,力 F 作 用在刚体上点 P,且在转动平 面内, r 为由点O 到力的作用 点 P 的位矢 . F 对转轴 Z 的力矩
r
v
ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： v2 dv d 2 , a r at r r n r dt dt
角加速度是矢量，但对于刚体定轴转 动角加速度的方向只有两个，在表示角 加速度时只用角加速度的正负数值就可 表示角加速度的方向，不必用矢量表示。 说明： 角坐标、角位移、角速度和角 加速度等角量是用来描述定轴转动刚体 的整体运动，也可用来描述质点的曲线 运动； 位矢、位移、速度、加速度等线量是 用来描述质点的运动。
1 0. 5 π rad s , t = 30 s 时， 解： （1） 0 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动
0
t
05π π 1 rad s rad s 2 30 6
2 2 0
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π) 2 75 π rad 2 2 ( π 6)
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
力不在转动平面内
M r F r ( F1 F 2 ) r F1 r F 2 r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。 注（1）在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力在转动平面内 的分力对转轴的力矩。
3.一般运动：可看成平动和转动的叠加。如车轮的转动
三、自由度(degree of freedom)
自由度：确定一个物体在空间的
位置所需的独立坐标的数目。它反 映了运动的自由程度 火车：被限制在轨道上运动，自由度为1 轮船：在一水平面上运动，自由度为2
飞机：在空中飞行，自由度为3
rO
T
解
(1)
(2)
Fr J
mg T ma
Tr J
Fr 98 0.2 2 39.2 rad/s J 0.5 F
mgr J mr 2
mg
两者区别
a r
98 0.2 2 21.8 rad/s 0.5 10 0.2 2
三
转动惯量
角坐标为标量。但可有正负。
2.角位移 (angular displacement) 描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移 3.角速度 (angular velocity) 描写刚体转动快慢和方向 的物理量。 d lim 角速度 t 0 t dt
M M1 M 2 M 3
2） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M ji
d
ri
F ji i F
ij
rj
j
Mij M ji
二
转动定律 1）单个质点m与转轴 刚性连接
Ft mat mr M rF 2 M rFt mr
加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动，
2. 转动 (rotation) 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同
一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线
就叫做转轴 (axis of rotation)。如果转轴是固定不动的，
就叫做定轴转动 (fixed-axis rotation)。
刚体的自由度
考虑到刚体既有平动又有 转动，其独立坐标数由质心坐 标，转轴的方位角与刚体绕转 轴的转动角度决定。 (1) 确定定点位置。空间任何 一个点需要三个独立坐标来确 定位置，因此用三个坐标如 C(x,y,z) 来 决 定 刚 体 上 某 一 定 x 点位置。 z
o
y
（ 2 ）刚体的方位由其轴的取向决定，确定空间直线 的方位坐标有两个，借用纬度角与经度角来描述，在 直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示： （3）刚体绕定轴转动时，需要一 个坐标来描述，选定参考方向后， z 转动位置用表示。 p 刚体共有 6 个自由度，其中 3 个平 动自由度，3个转动自由度。
二、平动和转动
1.平动（translation） 当刚体运动时，如果刚 体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持它的方 向不变，这种运动叫平动。
特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视为质点 刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所质点的
位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和
都可代表整个刚体的运动。
2
v v0 at
x x0 v0t at
1 2
2 2 0
0 t 2 1 0 0t 2 t
v v 2a( x x0 ) 2 02 2 ( 0 )
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因受制动 而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和 在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时 飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、 切向加速度和法向加速度(线量) .
2
2
该点的切向加速度和法向加速度(线量)
π 2 2 at r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 an r 0.2 (4 π) m s 31.6 m s
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速 度 0 0 ，经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内， 转子转过多少转？ d ct ，积分 解 由题意，令 ct，即
J m r
j
2 j j
J r dm
2
M J
刚体在合外力矩的作用下，所获得的角加速度与 合外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比 .
说明
( 1)
M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同
现在将这些方法用之于刚体和流体的研究．
一、刚体（rigid body）
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体 ----物体内任意两点的距离不变 刚体运动研究的基础：刚体是由无数个连续分布的质 点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元dm。 每个质点运动都服从质点力学规律。刚体的运动是这 些质量元运动的总和。
物体有几个自由度 ，它的 运动定律可归结为 几个独 立的方程。 o
y
x
四、 刚体转动的角量描述
1.角坐标 (angular position) 描写刚体转动位置的物理量。 在转动平面内，过O点作 一极轴，设极轴的正方向 是水平向右，则OP与极轴 之间的夹角为。
o
P
x
角称为角坐标（或角位置）。
2 ( 0 )
转过的圈数
75π N 37.5 r 2π 2π
（2）t
π 0 t (5 π 6)rad s 1 4 π rad s 1 6 t 6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 （3）
6s 时，飞轮的角速度
v r 0.2 4π m s 2.5 m s
J m r , J r dm
2 j j 2 j
物理意义：转动惯性的量度 .
转动惯性的计算方法
质量离散分布刚体的转动惯量
R
y
v2
p
P
v1
x
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
刚体上任一质元的速度表示为： v r , v r 3.角加速度 (angular acceleration) d lim t 0 t dt
M ij 0
j
rj
m j
Fej
M
j
ej
( m r )
2 j j
Fij
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以 M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到
d M J J dt
刚体定轴 转动定律
定义转动惯量 转动定律
M
O
z
r
m
Ft
Fn
F
质量元受外力 F ，内力 F ij ej 2 Mej Mij m j rj
外力矩 内力矩
2）刚体
z
O
rj
Fej
m j
Fij
2 M M m r ej ij j j j j
z
O
M ij M ji
转动 平面
r
（2 ）
M
Z
rF2 sin F 2 d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。
F 1
转动 平面
F
（3）F1对转轴的力矩为零， 在定轴转动中不予考虑。
r
F2
（4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
讨论 1）合力矩等于各分力矩的矢量和
a
0
0 a
定轴转动的特点
1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a不同； 3） 运动描述仅需一个坐标 .
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
第三章
刚体和流体的运动
§3-1 刚体模型及其运动
一般的力学分析方法可归纳为：
(1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型； (2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象作为突破口 (3)根据受力情况，正确地画出受力图； (4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原理、定律， 列出方程式； (5)根据要求，求解方程，统一变量，积零为整，用积分法求 出结果.积分上下限的选取要特别注意 (6)讨论分析所得结果，检验是否正确．
1 2 π 3 2 ct rad s t 转子的角速度 2 150 d π 3 2 rad s t 由角速度的定义 dt 150 t π 3 2 得 0 d 150 rad s 0 t dt π 3 3 有 rad s t 450
转动定律解题步骤
1、隔离物体，分析受力；
M J
2、建立坐标，求力矩；
3、列出方程，求解。
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， (见图)
求 (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速度
所以
0
d
dt t 1 2 c tdt 得 ct 2 0
当t=300s 时
18000r min1 600π rad s1
2 2 600 π π 3 3 c 2 rad s rad s 2 t 300 75
c 2 t 2 (π 75) rad s 3
M
M
O
z
力是引起质点或者平动 d M Fr sin Fd 物体运动状态（动量） d: 力臂（O点到力F的作用线的垂直 变化的原因；力矩是引 距离） 起转动物体运动状态 （角动量）变化的原因。 F
M r F
r
F
*百度文库P
Fi 0 , Mi 0
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N (300 ) 3 10 2π 2π 450
§3-2
一
力矩 转动惯量
定轴转动定律
力矩 刚体绕 O z 轴旋转,力 F 作 用在刚体上点 P,且在转动平 面内, r 为由点O 到力的作用 点 P 的位矢 . F 对转轴 Z 的力矩
r
v
ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： v2 dv d 2 , a r at r r n r dt dt
角加速度是矢量，但对于刚体定轴转 动角加速度的方向只有两个，在表示角 加速度时只用角加速度的正负数值就可 表示角加速度的方向，不必用矢量表示。 说明： 角坐标、角位移、角速度和角 加速度等角量是用来描述定轴转动刚体 的整体运动，也可用来描述质点的曲线 运动； 位矢、位移、速度、加速度等线量是 用来描述质点的运动。
1 0. 5 π rad s , t = 30 s 时， 解： （1） 0 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动
0
t
05π π 1 rad s rad s 2 30 6
2 2 0
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π) 2 75 π rad 2 2 ( π 6)
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
力不在转动平面内
M r F r ( F1 F 2 ) r F1 r F 2 r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。 注（1）在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力在转动平面内 的分力对转轴的力矩。