信度理论——完全信度与部分信度
心理测量学第三章信度
第三章信度心理测验就是对某些心理特质的个别差异进行测量的工具，对心理特质的测量与对物理属性，如物体长度和重量等的测量是一样的。
不同的是心理测量所测量的是抽象的心理特质，工具是心理测验，而物理测量的对象则是物体的重量和长度等特性，工具是尺子和天平。
心理测量与物理测量的另一个共同点是二者都难以避免误差的影响。
在对物体的长度进行测量时，物体的热胀冷缩，测量者读取刻度的准确性等因素都会使测量出的长度与物体的实际长度不符，在不同时间、地点的测量值会有出入。
就是说，在不同情景下测量结果是不稳定的，与测量情景和测量条件有关的误差称随机误差（random error）。
由于这一误差是由测量过程造成的，因此也称测量误差（measurement error）。
另一方面，使用一把尺子对物体的长度进行测量时，这把尺子本身的质量也可能造成误差。
如果一把尺子本身就是有问题的，测量出的物体的长度自然就不准确。
这类误差与测量情景引进的误差不同，只要在测量时使用这把尺子，误差就会恒定地存在，无法消除。
这类由测量工具本身造成的误差称为系统误差（system error）。
对心理的测量与对物理的测量一样，也同样存在这两类误差。
与这两类误差相对应，心理测验中引入了信度和效度的概念。
信度研究涉及了测验分数的可靠性和稳定性，也即如何控制和减少随机误差。
效度研究则涉及了测量的系统误差，也即如何提高测量工具本身的准确性。
第一节经典测验理论的信度观教育与心理测验的目的是将个体的心理特质数量化，从而更精确地研究心理的个别差异。
在廿世纪初心理测量实践的推动下，测验理论产生了。
经过几十年的发展，到廿世纪五十年代初，教育与心理测验理论对测验的构建、误差的控制、测验结果的统计分析及解释等问题已形成一个完整的理论体系。
为与以后产生的项目反应理论和概化理论相区别，人们习惯上将这一理论体系被称为经典测验理论（Classical Test Theory，简称CTT）。
信度概述
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（三）信度系数
大部分的信度指标都以
相关系数表示，即用同一被
试样本所得的两组资料的相
关系数作为测量一致性的指
标，称作信度系数（rxx ）。
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Institute of Applied Psychology， Chongqing University
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对信度系数要注意三点： 第一，在不同情况下，对不同样本，采用不同方法会
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（四）信度的作用
信度是衡量一个量表质量高低的重要指标之一，信度
不合要求的量表是不能使用的，人们在编制和信度的作用表现三个
方面：
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定义三：信度乃是一个测验X（A卷）与它的任意一
个“平行测验”Xˊ（B卷）的相关系数。即：
rxx=Pxxˊ
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在上述三个定义中，信度是就一批人的数据而言的， 并不是用同一种工具反复测量同一个人（定义三除外）。
• 信度概述
• 信度的概念 • 信度的三种统计定义 • 信度的相关系数 • 信度的作用
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• （一）信度的概念
信度（reliability）指测
量结果的稳定性程度。换言之，
如果能够用同一测量工具反复 测量某人的同一种心理特质，则其多次测量的结果间的一致性程度就 叫信度，有时候也成为测量的可靠性。 一般来说，一个好的测量必须具有较高的信度，也即是说，一个 好的测量工具，只要遵守操作规则，其结果就不应随工具的使用者或 使用时间等方面的变化而发生较大变化。
信度理论
m 值 或者最优齐次估计X 是风险保费的最优线性估计．
3.如果 a , 那么 z 1, 在直觉上这也是很清楚的．在
j 这种情况下，关于其它合同的结果不提供任何关于第 个
风险的信息．
4. 如果 s , 那么z 0. 如果在一个固定的风险参数
2
下理赔记录变化的幅度非常大，那么个体记录对估计实际 风险保费就没有太大的参考价值了．
j 不过这意味着对第
组的非齐次信度保费不依赖来自于
2 i j s 其它第 组的数据． 在齐次信度保费中假设了比值 / a 是已知
m 的；而在非齐次信度保费还额外假设了 已知．
定理 7 . 2 . 4 （平衡 Buhlmann 模型；非齐次估计 量）设 X jt 分布与上一个定理中相同，现用非齐次 线性组合 g
注7.2.3（最优信度因子的渐近性）
1 ．如果T 那么z 1. 理赔记录越多，我们对个体风 险保费的把握就越大． 这个渐近情形并非与实际很吻合， 因 为这里假设了风险属性不随着时间而变化．
2 ．如果 a 0, 那么 z 0, 如果预期的个体理赔额同分 布，那么保单组合里面就没有非齐次现象．于是总体均
非寿险保费的估算可以根据两类数据： 一类是通过观察得到的本险种一组保单的近期损失数据， 这类数据确定的保险费成为经验保险费，记为 PM e ； 另一类是同险种保单早期损失数据或类似险种保单的同期 损失数据，它是根据人们的主观选择得到的数据，所以称 为先验信息数据。 这类数据确定的保费叫作先验信息保费， 记为 PM 0 。
它有一个最优值
例7 . 2 . 5 （例7.2.1中的信度估计）
E[MSB]=aT+s2
E[MSW]=s2
例7.2.1最终的信度因子
信度、效度、难度、区分度
信度、效度、难度、区分度一、信度(稳定性)信度是表明评价工具质量的又一重要指标，主要指测验结果的前后一致性程度。
(多次测量的一致性)根据影响信度的不同因素，可以把信度分为以下几类，信度指标通常用相关系数表示。
1.再测信度用同一种测验在不同时间里两次测验同一组学生，然后统计两次测试成绩的相关，求得的相关系数即为再测信度系数。
信度系数的最大值为1，表示再测信度最高;最小值为0，表示再测信度最低。
2.分半信度将一个测验分为等质量的两半，求这对半分的两半测验所得分数的一致性程度，即为分半信度。
3.评分者信度把相同的测验结果提供给不同的评分者打分，若不同评分者给的分数大致相同，说明该测验有较高的信度。
二、效度(准确性)效度是指一个测验或测量工具能真实地测量出所要测量的事物的程度。
一次测验是否有效，主要看其是否能准确地测量所要测量的东西。
测验的效度有多种类型，主要有内容效度、构想效度和预测效度。
根据不同的需要，一个测验可以采用一种或几种效度。
1.内容效度所谓测验的内容效度，是指它从需要测验的教材中提取样本的适当程度。
内容效度的高低，取决于测验题目的代表性，要看选出的题目能否包含所测量内容范围的主要方面，并使各方面题目比例适当。
2.构想效度所谓测验的构想效度，是指一个测验能够测量理论上的构想或内在心理特性的程度。
3.预测效度所谓测验的预测效度，是指一个测验能够预测学生将来某种特定行为或表现的程度。
预测得越准，效度就越高。
例：在小学低年级的某次测验中，由于数学试卷中试题的文字表述过于复杂，学生不能完全理解题干的要求，也不能正确的解答题目，以至于该试卷无法正确测量学生数学学习的状况。
据此可以判断这次数学测验是( )A.高信度的B.低信度的C.低效度的D.高效度的【答案】C。
解析：信度强调某一次测验前后多次测量所得结果的一致程度。
效度强调某一测验的测量结果的有效性和准确性。
该试卷无法准确测量学生学习的状况，说明这次教学测验是低效度的。
保险精算方法_三_信度理论
在瑞士 ,将整个汽车责任险的保单组合分成许多子组合 。 0 私人轿车
01 四轮私人轿车 02 三轮私人轿车 03/ 04 用于商业运输的私人轿车 05 出租轿车 1 运货车 10 工作运货车 11 商业运货车 12 农用运货车 13 工业运货车 14 小型电动运货车 2 摩托车 20 小型摩托车
一 、保险费分摊中的问题
保险费率的厘订是保险实践中的核心问题之一 。通常采取由上而下的方法 , 即首先要做 到整个保单组合的“收支平衡”(这里收支平衡指 :保单组合的净风险保费 = 保单组合总索赔量 的期望值) ,然后再将保单组合的净风险保费分摊到各个保单 。
比如某个汽车险的保单组合中共有 200 辆车的合同 , 根据对历史数据的分析知道每年的 索赔总额约为 60 万元 。如何将这 60 万元分摊到每部车呢 ? 最简单的做法是平均分配 。每部 车每年的净保费为 3000 元 。但在绝大多数情况下这样的做法是不合理的 ,对保险业的经营也 是不利的 。要弄清其中的道理 ,我们先来看保单组合的所谓非同质性 (或称非齐性) 。
cjit X it ]2
(8)
i =1 t =1
由
Q cj
=0得
kn
∑∑ cj = E[μ(Θj) ] -
cjit E ( Xit)
(9)
i =1 t =1
代入 (8) 式可得
Q = E [μ(Θj) - E μ(Θj) 再对 Cjrω求导并令导数为 0 ,我们得到
kn
∑∑cjit ( X it -
心理学中的各种信度和效度
心理学中的各种信度和效度一、信度所谓信度，指的是测量结果的稳定性程度，其操作定义是，信度乃是一个测验X与它的任意一个“平行测验X＇的相关系数。
无关因素、测验的长度、测验试题的区分度、被试团体的代表性都会影响信度。
（一）重测信度1、定义：利用同一量表，让同一被试群体在不同时间两次施测之后的相关值。
这一信度值表示的是测验结果的稳定性，故也称之为稳定性系数。
2、形式：施测——经过适当时间——再施测3、举例：假设有一份主观幸福感调查表，先后两次施测于10名学生，时间间隔为半年，结果如下表所示，求该测验的重测信度。
4、使用的前提条件（1）所测量的心理特质必须是稳定的。
（2）遗忘和练习的效果基本上互相抵消。
（3）在两次施测的间隔期内，被试在所要测查的心理特质方面没有更多的学习和训练。
5、注意事项（1）有些测验不宜采用重测法估计信度，如测量推理和创造力的测验。
那些不易受重复使用影响的测验才能用再测法估计信度。
如感觉运动测验、人格测验。
（2）两次测验间隔的时间要适当，并注意提高被试的积极性（3）测验手册中报告重测信度时应说明两次施测的间隔，以及在此期间内被试的有关经历（4）时间间隔的把握：适宜时间间隔依照测验目的、性质及被试特点而定，可以是几分钟甚至几年。
例如对于年幼儿童的间隔要小；年长群体的间隔可大。
但智力测验的间隔不能太短，成就测验的间隔不能太长。
一般间隔时间不超过六个月，既不能让被试记住上一次测验的内容，又不能让其特质发生变化，或对所学知识产生遗忘。
6、重测信度的评价：（1）优点：能够提供有关测验结果是否随时间而变异的资料，可作为预测受测者将来行为表现的依据。
（2）缺点：易受练习和记忆的影响，前后两次施测间隔的长短必须要适度。
（二）复本信度1、什么是复本：任何测验只是所有可能题目中的一份取样，所以可编制许多平行的等值测验，叫做复本。
复本等值要符合下列条件：（1）各份测验测量的是同一种心理特性。
（2）各份测验具有相同的内容和形式。
第二章 信度
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奇数 20 题 （X)
偶数 20 题 （Y）
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（2）库得-理查逊（Kuder&Richardson)系数（采 用0，1记分时 ）
KR20
n ( n-1
第二讲 信度
内容： 1.信度的含义 2.信度的计算方法 3.影响测验信度的因素 4.提高测验信度的方法
（一）什么是信度 信度是指测量结果的稳定性或可靠性程度。 一个好的测量必须具有较高的信度，其结果就不应 随工具的使用者或使用时间等方面的变化而发生较 大的变化。 信度可以理解为：信度指实测值（观察分数）和真 值（真分数）相差的程度；信度指两次重复测量或 等值测量之间的关联程度。
3.内部一致性系数 (1)分半信度 在测验无复本且只能施测一次的情况下，通 常用分半法估计信度，即将测题分成对等的两 半，根据各人在这两半测验的分数，用皮尔逊 积差相关公式计算其相关系数，作为信度指标。 分半信度考察的是两半题目之间的一致性， 故这种信度系数也称内部一致性系数。计算分 半信度仍然可用积差相关方法。
也可用下列公式：其中Ｘ、Y为同一 被试的两个分数，Ｓx、Ｓy为两组分 数的标准差。Ｘ、Y为两组分数的平均 数，Ｎ为被试人数。
∑ ＸY／Ｎ－ＸY rxy = ＳxＳy
《信度理论》课件
可以帮助研究人员确定调查数据的可靠性和一致性，从而得出更准确的
结论。
信度在沟通交流中的应用
• 信度在沟通交流中的应用：信度理论可以帮助沟通者评估信息 的真实性和可信度，从而做出更明智的沟通决策。例如，在商 务谈判中，信度评估可以帮助谈判者判断对方提供的信息是否 真实可和统计学领域
信度理论主要应用于概率论和统计学领域，用于估计某一事件或现象发生的可能性。
信度理论不适用于所有情况
虽然信度理论在某些情况下非常有用，但它并不适用于所有情况。例如，在处理复杂系统或不确定性较高的问题 时，信度理论可能无法提供准确的估计。
信度理论与其他方法的比较
与贝叶斯方法比较
自然语言处理
利用信度理论处理自然语言中的不确定性，提高 机器翻译、文本摘要等任务的准确性。
图像识别
结合信度理论对图像识别中的不确定性进行建模 ，提高图像分类、目标检测等任务的可靠性。
3
强化学习
将信度理论应用于强化学习中，为智能体提供更 准确的奖励信号，提高其决策能力。
THANKS
感谢观看
与概率论的结合
探讨信度理论与概率论之间的联系，借鉴概率论的严谨性和规范 性，完善信度理论。
与贝叶斯统计的融合
将贝叶斯统计的推理方法引入信度理论，为处理不确定性和主观判 断提供新的思路。
与决策科学的结合
研究信度理论在决策科学中的应用，为决策者提供更可靠的决策依 据。
信度理论在人工智能领域的应用前景
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信度理论的局限与挑战
信度理论的有效性
信度理论的有效性取决于数据的质量和数量
信度理论依赖于大量的数据来计算信度，如果数据质量不高或数量不足，可能会 导致信度计算不准确。
信度理论对异常值敏感
第四章 信度理论
信度与误差的关系 三种误差
抽样误差：抽样产生的误差
测量误差：偶然因素引起的不易控制的误差
系统误差：由与测量无关的因素引起的具有一定系
统性和规律性的误差
误差对信度的影响 抽样误差：不影响信度
测量误差：是影响信度的主要因素
系统误差：不影响信度
信度的理论定义
误差是随机的，即误差的平均数等于0，且呈正态分布
误差分数与真分数之间无相关
则获得分数、真分数和误差分数之间具有如下关系
2 t 2
2 e
2 t
2 t 2 t 2 2 t
2 e 2 t
测验的长度：测验所包含的测题的数量。
测验的长度越大，信度越高。
nrll rnn 1 n 1rll
对于预期信度的测验长度调整
rnn 1 rll n rll 1 rnn
被试的能力全距
1 r rnn 1 2 n
2 0
真分数模型 提出者：Charles Spearman（相关研究） 历史: 1904 逻辑性 测量分数易犯错误 1913 数学性
1904 Spearman：测验分数之间的相关低 于“真正客观值”之间的相关 1907 Spearman：易犯错误的度量 1913 Spearman：真正客观值
经典真分数 模型
信度的理论定义
从逻辑上讲，信度是一组测验分数中真分数方差 与获得分数方差的比率。 测验分数的含义
Xt X Xe
真分数的意义
无限次重复同一测验所得分数的平均数 真分数的获得完全依赖于所采用的测量过程
信度和效度
信度和效度什么是信度？简单地说信度就是指测量数据和结论的可靠性程度，也就是说测量工具能否稳定地测量到它要测量的事项的程度。
我们可以举例说明信度的问题：如果想知道某人的体重，我们可以叫两个人来估计，一个人的估计为150镑，另一个人的估计为300镑，那么我们就可以认为，叫别人来估计体重是非常不可信的方法。
如果用磅秤,连续测量两次的结果都是相同的，因而我们可以说，在测量体重方面，用磅秤的方法要比叫人来估计更可信。
我们可以用信度系数来表示信度的大小如何计算信度我们知道在进行测量时，误差是难免的，这就使得真实值和测量值之间是不可能完全一致。
我们可以这样来表示真实值和测量值之间的关系。
X=T+B+E T表示真实值，B表示偏差即系统误差，E表示测量误差即随机误差。
由于系统误差很难分解，因而有些书中的分解式将系统误差包括在真实值之中，因而X可以简单地概括为X=T+E 对于测量误差E，一般假定他的期望值是0，却与真实值相独立，在此假定下，可以证明：E(x)=E(T)实得分数和真分数的总体均值相等。
σ2x=σ2T+σ2E实得分的方差等于真分数的方差与误差方差之和。
信度一般规定是真分数的方差在总体方差中所占的比例，即：信度系数Rxx=σ2T/σ2X=1-(σ2E/σ2X)信度系数越大，表明测量的可信程度越大。
信度类型(一) 重测信度这种方法通常是重复同样的测量来检验信度信度系数可以用相关系数来表示。
假如我们第一次测量时的观测值是X，第二次的观测值是Y,那么重测信度就等于X与Y的相关系数。
但重复测量时，我们要注意两次测量的时间间隔要恰当。
如果时间间隔太久，可能会发生一些变故，影响到被调查者的态度，那么前后的测量就会有很大的差异。
（二）复本信度复本是针对原本而言的，它是原本的复制品。
对一项调查的问题，让被调查者接受问卷测量，并同时接受调查问卷的副本的调查，然后根据结果计算原本和复本的相关系数，就得到复本信度。
（三）折半信度通常是在无副本且不准备重测的情况下，我们就用折半信度来计算信度系数。
信度和效度
② 复本信度(Parallel-forms Reliability)
复本是相对于原本而言的,它是原本的复制品,对一项调 查的问题,让被调查者接受问卷测量,并同时接受这份问 卷的复本的调查.然后根据调查结果计算其相关系数,就 得出了复本信度
2. 信度系数
大部分信度指标都以相关系数( r )来表示, 即用同一样本所得到的两组资料的相关系数作 为测量一致性的指标,称为信度系数,信度系数 可以解释为,在所测对象实得分数的差异中有多 大的比例是由测量对象本身的差别决定的.
3 .信度的类型
① 再测信度(Test-retest Reliability )
② 调查者是否按规定程序和标准,是否有 意或无意地对被调查者施加影响,纪录的认 真程度等.
③ 测量内容是否措辞含糊不清,不易理解.
④测量环境和时间如研究人员对被调查 者有较大的干扰,他人在场的影响,两次测 量的时间间隔太长等.
二.效度(Validity)
1. 效度的概念
效度是指正确性程度,即测量工具确 能测出其所要测量的特质的程度.效度越 高级表示测量结果越能显示出所要测量 对象的真正特征.
③ 折半信度( Split-half Reliability)
在无复本且不准备重测的情况下,通常采用折半法一估 计信度,折半法是将调查来的结果按题目的单
双分成两半计分,再根据各个人的这两部分的总分计算 其相关系数,就得到折半信度
4. 影响信度的因素
①被调查者:如是否耐心,认真,专注,不受 情绪波动影响,一般说来调查时间越,提出 的问题越多,越复杂,信度越低.
信度与效度
分半信度实际上反映的只是两半测验项目之间 的相关系数，由于在其他条件相同的情况下， 测验越长，信度越高，因而分半法经常会低估 信度，必须通过一些公式去加以修正，借以估 计整个测验的信度。
同质性信度
同质性主要代表测验内部所有题目间的一致性。 当各个测题的得分有较高的正相关时，不论题
目的内容和形式如何，其测验为同质的。 相反，即使所有题目看起来好像测量同一特质，
所谓真分数就是一个测量工具在测量没有误差时，所 得到的纯正值。
这实际上是个循环定义，因为一个量具若测得真值， 便没有误差。
真分数的操作定义是，经过无数次测量所得的 平均值。
可见，真分数是一个在理论上构想出来的概念，在 实际测量中是得不到的，因为一个测量工具无论多 么精确，也会有误差，我们只能通过改进量具来接 近真值，而不能完全得到它。
但相关很低或为负相关时，其测验为异质的。
此外，对于一些复杂的、异质的心理学变量， 采用单一的同质性测验是不行的，因而常常采 用若干个相对异质的分测验，并使每个分测验 内部具有同质性，这样每个分测验就能用来预 测异质效标的某一方面。
评分者信度
评分者信度用于测量不同评分者之间所产生的 误差。为了衡量评分者之间的信度高低，可随 机抽取若干份测验卷，由两位评分者按评分标 准分别给分，然后再根据每份测验卷的两个分 数计算相关，即得评分者信度。
把任何一个测验成绩都看做是真分数和测量误差 的和，这是经典测量理论的基本思想 X=T+E
这里X为实得分数或观测分数，T是假设的真分 数，E是测量误差。
关于测量误差(E)有以下假设：
1)如果对一个人测量无数次，其平均误差为0，即 E=0
2)真分数和测量误差是相互独立的，即rTE=0 3)误差分数和实得分数的相关为0，即rEX=0
信度理论及信度的估计
内部一致性系数
分半法 斯皮尔曼—布朗公式 斯皮尔曼—布朗通式 费拉南根公式 不要求两个分半测验分数 卢龙公式 的变异数相等 基于项目协方差的方法 库德—理查逊公式 克隆巴赫α 系数
影响信度系数的因素
分数分布范围的影响 要求：使测量团体呈异质性。 测验长度的影响 可以通过增加测验长度的方式提高信度 值。 测验难度的影响 应该有一个适当的难度水平，以产生最 广的分数分布。
Ch6 信度理论及信度的估计
浙江师大心理系 李新宇 xyli@ /eduxin/oblog
真分数理论回顾
真分数模型
X T E
基本假设： （1）误差的平均数为零。 （2）误差分数与真分数相互独立。 （3）两次的测量的误差分数之间的相关为 零。
统计学理论回顾
方差 方差的性质 相关 积差相关 回归 方差分析
Hale Waihona Puke 度的定义操作定义 对测量一致性程度的估计 理论定义 对一组测验分数中真分数方差与实测分数 方差的比率。
rtt rt
2
S St
2
2
S e 2 的关系 信度与
rtt 1
Se St
2 2
信度指的是一组测验之间的一致性，而不是个人的分数 的一致性。
测量误差的来源
测验本身 测验题目取样不当；测验题目格式不妥；测题 的难度过高或过低；测题的指导语用词不当； 测验时限过短。 测验实施 物理环境；主试方面；意外干扰；评分不客观， 计算、登记分数出错。 被试 应试动机；焦虑；生理因素；学习、发展和教 育；测验经验。
信度估计的不同方法
信度名词解释
信度名词解释信度是指测量工具或测试的稳定性和一致性。
在社会科学研究中，信度是指同一测量工具在相同或类似的条件下，重复测量所得到的结果之间的一致性程度。
信度是评价一个测量工具或测试的可靠性的指标，它反映了测量工具所衡量的概念是否真实可靠。
在研究中，信度是非常重要的，因为一个测量工具或测试如果没有足够的信度，其结果将难以被视为真实有效的。
缺乏信度的测量工具可能导致不准确的结果，这将影响到对研究问题的理解和结论的可靠性。
信度可以通过不同的方法进行评估。
其中一种常用的方法是重测法，即在一定时间间隔内对同一样本进行两次测量，然后比较两次测量结果之间的一致性。
另一种常用的方法是内部一致性方法，例如Cronbach's alpha系数和分裂半信度。
这些方法基于测量工具内部各项之间的相关性，来评估其信度。
在测量工具的开发过程中，研究者通常会进行信度分析，以确保其测量工具的信度。
这可以通过在预测试阶段进行试验，然后根据试验结果对测量工具的问题进行修正和优化来实现。
信度分析还可以根据研究需求和研究对象的特点进行选择，以保证测量工具的信度评估是有效和可靠的。
在实际应用中，信度的评估可以有助于判断一个测量工具的合理使用范围。
研究者可以使用信度来确定测量工具在测量概念时的可靠性水平。
如果测量工具的信度较高，那么使用该工具测量同一概念的不同个体将得到相似的结果，从而增加了对研究结论的信心。
信度也与其他概念相关，例如有效性和效度。
有效性是指测量工具对所测量的概念的准确性程度。
一个测量工具可以是有效的，但如果它的信度很低，那么它对概念的测量结果同样可能是不可靠的。
效度是指测量工具是否能够正确地测量所要测量的概念。
在研究中，信度、有效性和效度通常被同时考虑，以确保测量工具的全面性和可靠性。
总结起来，信度是指测量工具或测试的稳定性和一致性。
它是评估一个测量工具或测试可靠性的重要指标。
信度的评估可以通过重测法和内部一致性方法进行。
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Z60 = 0.528 Z100 =
,
M = 200. 10 Z60 = 0.682, 6
7
0.682 × 187.5 + (1 − 0.682) × 200 = 191.5. (b) Z60 = 0.467 Z100 = , M = 197.6.
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. (r, p), r > 0, 0 < p < 1, ¯ ≤ (1 + r)µ (1 − r)µ ≤ X p, µ . ¯ ≤ (1 + r)µ) ≥ p, P ((1 − r)µ ≤ X ¯ X (r, p)
7
µ
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(r, p), r > 0, 0 < p < 1, ¯ ≤ Zµ + rµ) = p P (Zµ − rµ ≤ Z X ¯ Z X (r, p)
Title Page
.
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n < nF . ¯ ≤ Zµ + rµ) P (Zµ − rµ ≤ Z X ¯ −µ −rµ X rµ =P ≤ ≤ ¯) ¯ ) Z var (X ¯) Z var (X var (X ¯ −µ X rµ =P = p, ≤ ¯ ¯ var (X ) Z var (X ) ¯ −µ X , yp = ¯) var (X 1+p Φ −1 2 √ rµ rµ n = yp = , ¯) Zσ Z var (X √ r nµ Z= = yp σ n . nF
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7.2.3 . N
X1, X2, · · · , Xm, · · · , λ
N
N .
7
S=
i=1
Xi,
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Xi yp = inf y : P
y
2 µ0, σ0 .
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S − E (S ) var (S ) σ0 µ0
r = 0.09 334.1 474.3 819.2 1336.3 r = 0.04 1691.3 2,401.0 4147.4 6765.1
7
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√ rµ n σ
≥ yp :
7
(1) √ r n σ ≤ = µ yp (2) :
7
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n ≥ nF
Z = 1, n , 1}, nF
,
7
Z = min{ nF
.
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: n , λ0
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n/λ0; ¯ X
¯) var (X
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σ2 µ2 ¯ var (X ) = ≤ . n λ0 ;
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(3) σ n ≥ λ0 ( )2 . µ σ 2 , λ0 µ . , σ n F = λ0 ( )2 . µ
7
100
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400-800 24 2400-2800 3
800-1200 32 2800-3200 1
1200-1600 21 3200-3600 1
1600-2000 10 3600+ 0o Back
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(r, p)
r = 0.1 270.6 384.2 663.6 1082.4 r = 0.05 1082.4 1536.6 2654.3 4329.6
λ0
r = 0.08 422.8 600.3 1036.8 1691.3 r = 0.03 3006.7 4268.4 7373.1 12026.8 r = 0.07 552.3 784.0 1354.2 2209.0 r = 0.02 6765.1 9604.0 16589.4 27060.3
≤y
≥p .
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: yp λ ≥ ( )2 1 + r , E (S ) . S=
N i=1 Xi
2
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(r, p)
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: (1) ,S :
7
P ((1 − r)E (S ) ≤ S ≤ (1 + r)E (S )) =P =P =P √
yp
yp 1.645 1.96 2.576 3.29
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7.2
p = 0.9 p = 0.95 p = 0.99 p = 0.999 p = 0.9 p = 0.95 p = 0.99 p = 0.999 r = 0.2 67.7 96.0 165.9 270.6 r = 0.06 751.7 1067.1 1843.3 3006.7
2 λ(σ0 y
+
µ2 0)
σ0 µ0
≥ p,
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2
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≥ yp , 7.2.1 ,
λ ≥ ( rp )2 1 + n = 1,
.
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(2)
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7.3.
n < nF , ¯ X µ, , M . 0 < Z < 1, ,
, ¯ + (1 − Z )M u ˆ = ZX Z .
7.
7
7.1.
: (1) X2, · · · , Xn. ? (2) Xj . , j X1, X2, · · · , Xn ? n X1
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, X1, X2, · · · , Xn X1, X2, · · · , Xn µ. µ . µ.
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¯ ,X ¯ − µ| ≤ rµ) = P p ≤ P (|X √
(r, p) √ ¯ −µ X rµ n √ ≤ . σ σ/ n
7
rµ n ≥ yp . σ . ,
0
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=
yp r
2
.
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. , , ,
7
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¯ = X1 + · · · + Xn . X n µ, ¯ µ ˆ = (1 − Z )M + Z X, 0≤Z≤1 Z . Z=1 ¯, X 0<Z<1 ¯ ¯ X M, X , , 1, ¯ X . . , . ,M .
λrµ0 2 +µ2 ) λ(σ0 0
−rE (S )
var (S ) S − E (S ) var (S ) S − E (S ) var (S )
≤
S − E (S ) var (S ) rE (S )
≤
rE (S ) var (S )
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≤ ≤
var (S ) λrµ0
19305 340575 .
7
Z=
n = nF ,
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340575 × Z + 366833 × (1 − Z ) = 354662 ( 354662 19305
).
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= 18.37
.
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7.3.2 . (r, p) = (0.05, 90%). X 60 = 180.0 , 189.47 ; 20 X 80 = 185.0 , 190.88 ; 20 X 100 = 187.5 . , 100 ( : , n = 60 , , . ).
: n
7
n (r, p)
X
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nF X
, (r, p) .
n ≥ nF
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7.2.1 , . ,
2 . σ0 E (X1). n, µ0
X1, X2, · · · , Xn λ > 0, ¯ X (r, p) .
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7.3.1 , .
7.2.2 , 366833 ,