高考线性规划题型归纳

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线性规划的常见题型

线性规划的常见题型一、基础能力【一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．技能掌握1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．二、题型分解题型一：求线性目标函数的最值1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2题型二：求非线性目标的最值4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围． 6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2题型三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．73B ．37C ．43D ．3410．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．题型四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？三、练习巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．06．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12二、填空题21．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩． 28．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．29．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．30．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．33．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．34．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．35．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．。

高考数学热点问题专题练习——线性规划作图与求解知识归纳及典型例题分析

线性规划——作图与求解一、基础知识（1）线性约束条件：关于变量,x y 的一次不等式（或方程）组（2）可行解：满足线性约束条件的解(),x y（3）可行域：所有可行解组成的集合（4）目标函数：关于,x y 的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 ② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。

例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。

例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。

考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限所在区域含在y x ≤表示的区域之中。

（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或(),0F x y <）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数）① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a z y x b b =-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关。

线性规划常见题型及解法例析

品有直接限制因素的是资金和劳动力,通过调查,得
到这两种产品的有关数据如表２．
资金
成本
劳动力(工资)
单位利润
单位产品所需资金/百元
月资金供应
电子琴(架) 洗衣机(台)
量/百元
３０
２０
６
８
５
１０
３００
１１０
试问:怎样确定这两种产品的月供应量,才能使
故选:
B．
思路与方法:本题运用数形结合思想,采用了图
组作出可行域,如图３所示．
由
图３可知,△ABC 的面积即为
所求．
易得
S梯形OMBC ＝
１
×(
２＋３)×２＝５,
２
图３
１
S梯形OMAC ＝ × (
１＋３)×２＝４．
２
所以 S△ABC ＝S梯形OMBC －S梯形OMAC ＝５－４＝１．
思路与方法:本题中的可行域是三角形,而这个
不规则的三角形面积很难直接求解,于是将它看作梯
解法求最值,先在平面直角坐标系中画出可行域,然
形 OMBC 的一部分,利用梯形 OMBC 与梯形 OMAC
后平行移动直线 z＝３x＋４y 即可求出最大值．
ï
,
且当
b≥０
b为
íy≥０, 时,恒有ax＋by≤１,求以a,
ï
îx＋y≤１
坐标的点 P (
a,
b)所构成的平面区域的面积．
解析:设 z＝ax ＋by,根据题意可知,想要 ax ＋

线性规划常见题型及解法

线性规划常见题型及解法线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上12方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D、解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选 C线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。

线性规划高考试题精选

线性规划高考试题精选（一）一•选择题（共15小题）f 2jt+3y-3<01•设x, y满足约束条件：：，/ '，则z=2x+y的最小值是（）[y+3>QA. - 15B.- 9C. 1D. 9X32 .若x, y满足、x^y》2,则x+2y的最大值为（）A. 1B. 3C. 5D. 9x+3y=C33. 设x, y满足约束条件* dl，则z=x+y的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3x-2y+5<04. 已知x, y 满足约束条件则z=x+2y的最大值是（）「y<2A.- 3B.- 1C. 1 D . 35. 若x、y满足约束条件r十y-3》0,则z=x+2y的取值范围是（）x-2y^0A . [0, 6]B . [0, 4] C. [6, +x） D . [4, +^）r3x+2y-6<06 .设x, y满足约束条件则z=x- y的取值范围是（）A . [ - 3, 0] B. [ - 3, 2] C. [0, 2] D . [0, 3]7.已知x, y满足约束条件3x+y+5<0，则z=x+2y的最大值是（）x+3^0kA . 0B . 2 C. 5 D . 6x-l-2y-2^08 .设变量x, y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（A. ：：B. 1C. ；D. 33 29 .已知变量x, y满足约束条件迁^，则4x+2y的取值范围是（）A. [0, 10]B. [0, 12]C. [2, 10]D. [2, 12]2垃亨+6〉010. 不等式组5心0，表示的平面区域的面积为（）X<2LA. 48B. 24C. 16D. 12y-y+l^O11. 变量x、y满足条件y^Cl ，则（x- 2）2+y2的最小值为（）g>-1A. B.二C. 5 D.2 2yCx12. 若变量x, y满足约束条件x+y< 1且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,贝U m- n等于（）A. 8B. 7C. 6 D . 513 .设x, y满足约束条件' x+y-2>0 ,当且仅当x=y=4时，z=ax- y取得最小值，x<4则实数a的取值范围是（）A . [ - 1, 1] B. （-X, 1）C. （0, 1）D. （-X, 1）u（1 , +x）x+y-3^0x^y-3^014 .实数x, y满足' 玫応珀，若z=2x+y的最大值为9,则实数m的值为（）A . 1B . 2 C. 3 D . 415 .平面区域的面积是（x2 + y2<2Lr B C -,-D. 上71~T~.选择题（共25小题）23.设实数x , y 满足约束条件- ,若目标函数 z=ax+by (a >0, b >0)\+2y<l16 •设x , y 满足约束条件2x+y>-l ，则z=3x- 2y 的最小值为 ____________L x-y^O17 .若x , y 满足约束条件* s+y-2<0,则z=3x- 4y 的最小值为 ___________ . \-y+l=C018 .已知x , y 满足约束条件r+y-9*C0,则z=5x+3y 的最大值为 ___________ .L x>l19. 若实数x , y 满足.- ■：，如果目标函数z=x- y 的最小值为-2,则实数I. x+y^nim= _____ .20. 已知a > 0, x , y 满足约束条件 5y<3 若z=2x+y 的最小值为1,则y^a(x-3)a= _____ .\+2y>021. ______________________________________________________________ 设z=x+y 其中x,y 满足rwVO ，若z 的最大值为6,则z 的最小值为______________ .L O^yCkfx>022.已知点x , y 满足不等式组' y>0 ，若ax+yw 3恒成立，则实数a 的取值L 2x+y^2范围是 _______ .的最大值为10,则a 2+b 2的最小值为_________ .x+y-l^O 24. _________________________________________________ 已知实数x , y 满足则二的最小值为 _________________________________________[y>-l Mx-y+2>0 x>0x+rC225. _________________________________________________ 若变量x, y满足* 2x-3穴9,则x2+y2的最大值是_______________________________ .x>0L.-；的取值范围是■：'的范围是 ------- %-y 亠26. 设变量x , y 满足约束条件s-2y+2>0 ,则L x+y-1^0f0<x<227. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组，虫3 给定，若M （x , y ）为D 上的动点，点A 的坐标为（2，1），则面•杰的最大值为r2x+y<428. 已知动点P （x ，y ）满足：宀 _，则x 2+y 2 - 6x 的最.h//+i+y ）>i小值为鼻>029. _______________________________________________ 已知实数x ，y 满足r+y<7，则艺的最小值是 __________________________________l 計 2<2y * X230. _______________________________________________ 设实数x ，y 满足* x+y>l ，则2y - x 的最大值为 ______________________________ .盂 031. ______________________________________________________________ 设x 、y 满足约束条件，则目标函数z=x 2+y 2的最大值为 ______________________ .QO, y>0s-y^O32. 已知x ，y 满足约束条件"时応2，若z=ax+y 的最大值为4，则a __________f x <2 ____33. 若x ，y 满足约束条件' x+y-2>0，则讥霉代的最小值是 ___________ .x-y+2^0 34.若x , y 满足约束条件r+y< 1 ,则 y>-L x-2y4-l>035.已知实数x ，y 满足：：x<2 ____________ ，z=2x- 2y - 1,则z 的取值范围是#+厂1>036. 若实数x，y满足不等式组' 2x-3y-8<0,目标函数z=kx- y的最大值为12,x>lL第4页（共35页）39.已知不等式组-表示的平面区域的面积为:,则实数k= _________3最小值为0,则实数k= _______ ."2x+y+2>037. 若实数x 、y 满足不等式组* x+y+mrC^O ，且z=y -2x 的最小值等于-2,则实数m 的值等于38. 设x , y 满足不等式组2x-y-l<0,若z=ax+y 的最大值为2a+4，最小值为 L 3x-y-2^0a+1，则实数a 的取值范围为 ________40.已知变量x , y 满足的约束条件' ，若x+2y >- 5恒成立，则实数aL x>a的取值范围为 _______线性规划高考试题精选（一）参考答案与试题解析一•选择题（共15小题）r2x+3y-3<01. （2017?新课标U ）设x , y 满足约束条件-2s-3y+3>0,则z=2x+y 的最小值是 y+3^0 （） A . - 15B .- 9 C. 1 D . 9r2x+3y-3<0【解答】解：x 、y 满足约束条件< 2x-3y+3>0的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由 f 解得 A （- 6,- 3）, l2x-3y+3=0则z=2x+y 的最小值是：-15. 故选：A .\<32. （2017?北京）若x, y满足r+y>2,则x+2y的最大值为（）A. 1B. 3C. 5D. 9【解答】解：x, y满足x+y>2的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由. ,可得A (3, 3),目标函数的最大值为：3+2X 3=9.t+3y<33. （2017?新课标I）设x,y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3x+3y=C3【解答】解：x, y满足约束条件rp>L的可行域如图：，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由（尸° 解得A （3, 0）,z+3y=3L所以z=x+y的最大值为：3.x^2y+5=C04. （2017?山东）已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（）・虫2A.—3B.—1C. 1D. 3K^2y+5=C0【解答】解：x, y满足约束条件* X+3A0的可行域如图：目标函数z=x+2y经y<2L过可行域的A时，目标函数取得最大值，由:严解得A （—1, 2）,x-2y+5^0目标函数的最大值为：-1+2 X 2=3.故选：D.5. （2017?浙江）若x、y满足约束条件' x-hy-3^0,则z=x+2y的取值范围是（）A. [0, 6]B. [0, 4]C. [6, +x）D. [4, +^）^>0【解答】解：x、y满足约束条件r十,表示的可行域如图：x-2y^0目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由严金0解得c（2, 1）,x-2y-0目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4, +x）.故选：D.r3x+2y-6<06. (2017?新课标川)设x, y满足约束条件r>0则z=x- y的取值范围是( )A. [ - 3, 0]B. [ - 3, 2]C. [0, 2]D. [0, 3]r3i+2y-6<0【解答】解：x, y满足约束条件*心0的可行域如图：y>0L目标函数z=x- y,经过可行域的A, B时，目标函数取得最值，由’解得A (0, 3),(3x+2y-6=0(v=0 由厂解得B (2, 0),l3x+2y-6=0目标函数的最大值为：2,最小值为：-3,目标函数的取值范围：[-3, 2].故选：B.A J\-y+3=C07. (2 017?山东)已知x,y满足约束条件3x+y+5C0,则z=x+2y的最大值是( )A. 0B. 2C. 5D. 6【解答】解：画出约束条件宀計卩+5<0表示的平面区域，如图所示；忙+3>08. (2017?天津)设变量x , y 满足约束条件 ,则目标函数z=x+y 的最【解解: 变量 x , y 满足约束条件' 的可行域如由严口解得A (-3, 4),此时直线y=-丄x+ z 在y 轴上的截距最大,2 2 所以目标函数z=x+2y 的最大值为 Z max = - 3+2 X 4=5.故选：C.大值为（）9 3A .B. 1C. — D . 33 2目标函数z=x+y 结果可行域的A 点时，目标函数取得最大值, 由可得A (0, 3),目标函数z=x+y 的最大值为：3. (x=0 故选：D .yx+2y-2^0x+2y-2>0则4x+2y的取9. （2017?大庆三模）已知变量x, y满足约束条件（勺+厅, 值范围是（）A. [0, 10]B. [0, 12]C. [2, 10]D. [2, 12]【解答】解：法1:作出不等式组卩电表示的平面区域，l-Kx-Ki得到如图的四边形及其内部，其中A（2, 1）, B（0, 1）,设z=F（x, y）=4x+2y，将直线I: z=4x+2y进行平移，可得当I经过点A时，目标函数z达到最大值，z最大值=F（2, 1）=10, 当I经过点B时，目标函数z达到最小值，z最小值=F（0, 1）=2 因此，z=4x+2y的取值范围是[2, 10]. 法2:令4x+2y=u（x+y）+入（x- y）,贝叮"十[一°,解得卩=3入I卩-k二2故4x+2y=3 （x+y）+ （x- y）,又 1 w x+y< 3 ,故3< 3 （x+y）w 10 ,又-1 w x-y< 1,所以4x+2y€ [2 , 10].故选C.2x-y+6^=010. （2017?潮州二模）不等式组,表示的平面区域的面积为（）x<2A. 48B. 24C. 16D. 12‘2 垃-y+6〉0【解答】解：画出不等式组表示的平面区域如图阴影所示，X<2L则点 A （- 2, 2）、B （2,- 2）、C （2, 10）,所以平面区域面积为&ABC=丄|BC?h=, X（10+2）x（2+2）=24.x-y+l^O11. （2017?汉中二模）变量x、y满足条件' ¥<1 ，则（x-2）2+y2的最小值玄>-1为（）D (2, 0)的距离的平12. (2017?林芝县校级三模)若变量x , y 满足约束条件* 且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为m 和n ,则m -n 等于( )A . 8 B. 7 C. 6 D . 5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2x+y ,得 y=- 2x+z ,平移直线y=- 2x+z ,由图象可知当直线y=-2x+z 经过点C 时,直线y=- 2x+z 的截距最大，此时 z 最大,由FT解得I.尸T A .B . ： C. 5 D. '2 2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z= (x -2) 2+y 2,则z 的几何意义为区域内的点到定点方，由图象知CD 的距离最小，此时z 最小. 由严得严,即C (0, 1), t x-y+l=O (y=l此时 z= (x - 2) 2+y 2=4+1=5,即C (2,- 1),此时最大值z=2X 2-仁3, 当直线y=- 2x+z 经过点B 时,故选：C.直线y= - 2x+z的截距最小，此时z最小，由解得(尸T，即 B (- 1,- 1),I尸x 1尸1最小值为z=- 2- 1= -3,故最大值m=3，最小值为n= - 3,则m- n=3-( - 3) =6,故选：C\-y^013. (2017?瑞安市校级模拟)设x, y满足约束条件' x+y-2>0 ,当且仅当x=y=4时，z=ax- y取得最小值，则实数a的取值范围是( )A. [ - 1, 1]B. (-X, 1)C. (0, 1)D. (-X, 1)U( 1 , +x)【解答】解：作出约束条件' x+y-2>0所对应的可行域(如图阴影), x<4变形目标函数可得y=ax- z,其中直线斜率为a,截距为-z,••• z=ax- y取得最小值的最优解仅为点A (4, 4),•••直线的斜率a v 1,即实数a的取值范围为(-X, 1)故选：B.实数m 的值为（） A . 1B. 2C. 3D . 4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）. 由 z=2x+y 得 y= - 2x+z , 平移直线y=- 2x+z ,由图象可知当直线y=- 2x+z 经过点B 时，直线y=- 2x+z 的截距最大, 此时z 最大，此时2x+y=9. 由严空，解得佗,即B （ 4, 1）, [x-y-3=0 ly=lT B 在直线y=m 上，••• m=1, 故选：A14. （2017?肇庆一模）实数 x . y 满足*&+卩-3〉0：2”迂° ,若z=2x+y 的最大值为9，则15. （2017?五模拟）平面区域V>W3x的面积是（.x2+y£C2A. B. C. D. 112 6 12 6【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则区域是圆心角是.是扇形, 5K~2F故面积是X K X 2=二.选择题（共25小题）\+2y<l16. （2017?新课标I）设x, y满足约束条件* ，则z=3x- 2y的最小值z-y^O\+2y<l【解答】解：由x, y满足约束条件2x+y>-l作出可行域如图,x-r<0L由图可知，目标函数的最优解为A,联立卩+T，解得人（—1,1）. i2x+y=-l••• z=3x- 2y 的最小值为-3X 1 - 2X 仁-5.故答案为：-5.A Jx-y>017. （2017?新课标川）若x, y满足约束条件r十y-2〈0,则z=3x- 4y的最小值y>0为 -1 .【解答】解：由z=3x- 4y,得y=；x-,作出不等式对应的可行域（阴影部分），4 4平移直线y=；x-王，由平移可知当直线y= x-王4 4 4 4经过点B （1, 1）时，直线y= x-的截距最大，此时z取得最小值，4 4将B的坐标代入z=3x- 4y=3 - 4= - 1,即目标函数z=3x- 4y的最小值为-1.故答案为：-1.平移直线y=-_二厶，则由图象可知当直线由1x+y-9= 0 解得x=4即 B (4, 5),\-y+l=C018. （2017?明山区校级学业考试）已知x, y满足约束条件r+y-gO ,则z=5x+3y 的最大值为35 .【解答】解：不等式组对应的平面区域如图:由z=5x+3y 得y=-3经过点B时直线y=-二-匸的截距最大,此时z最大,此时M=z=5X 4+3X 5=35,故答案为：35z=x— y的最小19. （2017?重庆模拟）若实数x, y满足*2x7，如果目标函数值为-2,则实数m= 8 .【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x- 1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x- y取得最小值, y=2x-l故，,x+y=int解得x=… ,y=〃 ],3 3代入x —y=—2得…—叮-=—2? m=83 3xAi20. （2017?湖南三模）已知a>0, x, y满足约束条件5y<3若z=2x+y的最y>a（x-3）小值为1,则a= 「._z_【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y,将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由卩" 得：，代入直线y=a （x—3）得，a#;[2x+y=l I 尸-1 2故答案为：Ix+2y>021. （2017?山东模拟）设z=x+y其中x, y满足rXO，若z的最大值为6，则O<y<kLz的最小值为 -3 .【解答】解：作出可行域如图：直线x+y=6过点A（k，k）时，z=x+y取最大，二k=3，z=x+y过点B处取得最小值，B点在直线x+2y=0上,•-B （- 6, 3），二z的最小值为=-6+3= - 3.故填：-3.垃>022. （2017?黄冈模拟）已知点x, y满足不等式组，若ax+y< 3恒成立, 则实数a的取值范围是（-%, 3].3x-y-6<0 x-y+2^0z 也最大.，即 A (4, 6).英>0【解答】解：满足不等式组的平面区域如右图所示,由于对任意的实数x 、y ,不等式ax+y w 3恒成立，根据图形，可得斜率-a >0或-a >k AB = =- 3,解得：a w 3,则实数a 的取值范围是(-%, 3].故答案为：(-%, 3].23. (2017?惠州模拟)设实数x,y 满足约束条件，工〉°，若目标函数z=ax+by t y>0(a > 0, b > 0)的最大值为10，则a 2+b 2的最小值为【解答】解：由z=a>+by (a >0, b >0)得y=—・•.，作出可行域如图：I a > 0, b > 0,•••直线y=厂「的斜率为负，且截距最大时，z 也最大.b b即 2a+3b - 5=0,-1 >直线的截距最大，此时此时z=4a+6b=10,24. （2017?历下区校级三模）已知实数x , y 满足7丁1》0 ,贝卩 1 —.「的最小值为【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图,的几何意义是区域内的点与点 E （3, 0）的斜率,K -3由图象知AE 的斜率最小，由严］弓得（日，丘-y+l 二 0 （y=l 即 A (0, 1),故答案为：1即（a , b ）在直线2x+3y -5=0上，a 2+b 2的几何意义为直线上点到原点的距离的平方, 则原点到直线的距离则a 2+b 2的最小值为d 2=13故答案为：•此时「的最小值为联立厲爲,解得B （3，- 1），x 2+y 2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方,其最大值| OB| 2=于+ (- 1)=10,故答案为：r2x^r-2<026. （2017?遂宁模拟）设变量x , y 满足约束条件x-2y+2>0 ,则z+y-1^0【解答】解：不等式组 *2护2>0表示的区域如图,t x+y-1^0「的几何意义是可行域内的点与点（-1 ,-"构成的直线的斜率问题.25. （2017?平遥县模拟）若变量x,y 满足、加-3y<9 ,则x 2+y 2的最大值是 10L x>0x+y^2【解答】解：由约束条件' 2x-3y<9作出可行域如图，L x>0当取得点A (0, 1)时, 」取值为2,x+1当取得点C (1, 0)时, -取值为',x+1 2 故答案为：.匸27.(2017?渭南一模)在平面直角坐标系xOy 上的区域定，若M (x , y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2, r0<x<2D 由不等式组' y<3 给 1),则丽顾的最大值为令 z= " " L =2x+y ，化为 y= - 2x+z ,作出可行域如图,第24页（共35页）由图可知，当直线y=-2x+z过B (2, 3)时，z有最大值为2X2+3=7.故答案为：7.r2x+y<428. (2017?湖北二模)已知动点P (x, y)满足：出工_ ___.(VZ^+1-J (Jy'+l+Q Ai 则x2+y - 6x的最小值为._!L一9 一【解答】解：由-V : -r- ■ 1 ,••• y+> y+|y|》°，丁• r s八...Vy +l+v，••函数f (x) =.,•■,•是减函数，••• x< y，r2x+y<4•••原不等式组化为' x>0 .该不等式组表示的平面区域如下图：I x2+y2- 6x= (x- 3) 2+y2- 9.由点到直线的距离公式可得，P (3, °)区域中A (〔• I )的距离最小，所以x2+y2- 6x的最小值为一^ .9故答案为：-「.9则：的最小值是_〔_.\>029. （2017?盐城一模）已知实数x , y 满足y+y<?, 2y 【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示: 由于■■可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率,x 结合图形可知，当直线过 OA 时斜率最小.由于露L 可得A （ 4,3），此时故答案为：「. -2-330.(2017?和平区校级模拟)设实数x,y满足】r y<2x+y^>l，则2y- x的最大值为5f y<2【解答】解：画出,的可行域如图：将z=2y- x变形为y= x+ z作直线y= x将其平移至A时，直线的纵截距最大,2 2 2z最大，由(尸2可得A (- 1, 2),Lx+y=lz的最大值为：5.- 031. (2017?德州二模)设x、y满足约束条件x-y+2>0 ，贝阳标函数z=y+『QCh y>0的最大值为52 .【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC其中A (0, 2), B (4 , 6) , C (2 , 0) , O为原点设P (x , y)为区域内一个动点,贝U | OP| = , . J表示点P到原点O的距离z=>2+y2=| OP| 2,可得当P到原点距离最远时z达到最大值因此，运动点P使它与点B重合时，z达到最大值--z最大值=42+62=52故答案为：52s-y^O32. (2017?镇江模拟)已知x, y满足约束条件5y<2，若z=a)+y的最大值为4,贝U a= 2 .【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).则 A (2, 0), B (1,1),若z=ax^y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,此时，目标函数为z=2x+y,即y=- 2x+z,平移直线y=- 2x+z，当直线经过A (2, 0)时，截距最大，此时z最大为4,满足条件，若z=ax^y过B时取得最大值为4,贝U a+仁4,解得a=3,此时，目标函数为z=3x+y,即y=- 3x+z,平移直线y= - 3x+z，当直线经过A (2, 0)时，截距最大，此时z最大为6,不满足条件，故a=2；故答案为：2.\<2 _______________33. （2017?南雄市二模）若x, y满足约束条件r+y-2>0 ,则厶2+ /的最小值是一二•\<2【解答】解：x, y满足约束条件0的可行域如图：x-y+2^0则，的几何意义是可行域的点到坐标原点距离，由图形可知OP的距离最小，直线x+y- 2=0的斜率为1,所以|OP|=「.故答案为：-.v34. （2017?青城区校级一模）若x, y满足约束条件r+y<l ,则工的范围y> 1 X+1z=2x- 2y-（阴影部分）.1+E 是：’..—____ 3^~【解答】解：作出不等式组-x+y<l对应的平面区域如图: 的几何意义是区域内的点到定点 D （- 1, 0）的斜率，由图象知CD的斜率最小，由卩：得C （斗冷），tx+y=l 2 2X则CD的斜率z=「—,2+1 3即z二"的取值范围是（0, 1 ],x+1 335. （2017?梅河口市校级一模）已知实数x, y满足：：x<2则z的取值范围是【一』【解答】解：不等式对应的平面区域如图：由z=2x- 2y- 1得y=x-匚一，平移直线由平移可知当直线y=x-——，经过点C时,故答案为：「.. 一-3由严y+m , 得(x+y-l=O 直线y=x -二的截距最小，此时z 取得最大值,2由(尸2 ，解得严，即C (2,- 1), b+y-l=O I 尸-1 此时 z=2x — 2y - 1=4+2 - 1=5, 可知当直线y=x-_l 二，经过点A 时，2 直线y=y=x-'■的截距最大，此时z 取得最小值, 2'：■，即 A (；「) y "3代入 z=2x- 2y - 1 得 z=2X 1 - 2X …-1 = -3 3 3故 z € [ - ], 5).故答案为：［-,5)g+y -36. (2017?深圳一模)若实数x , y 满足不等式组2x-3y-8<0, 目标函数z=kx -y 的最大值为12,最小值为0,则实数k= 3.K+y-4=C0【解答】解:实数x, y 满足不等式组2x-3y-S<0的可行域如图：得：A( 1,3),L QiB (1,- 2),C (4, 0).① 当k=0时，目标函数z=kx- y 的最大值为12,最小值为0，不满足题意.② 当k >0时，目标函数z=kx- y 的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx- y 过 C (4, 0)时，Z 取得最大值12.当直线z=kx- y过A (1, 3)时，Z取得最小值0.可得k=3,满足题意.③当k v 0时，目标函数z=kx- y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx- y过C (4, 0)时，Z取得最大值12.可得k=- 3,当直线z=kx- y过，B (1,- 2)时，Z取得最小值0•可得k=- 2, 无解.综上k=3故答案为：3.2芨+y+戈>037. (2017?夏邑县校级模拟)若实数x、y满足不等式组-，且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于 -1 .【解答】-1解：由z=y- 2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A (1, 0)时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值为-2,即y- 2x=- 2,点A也在直线x+y+m=0上，贝U m= - 1 ,l+y-尺038. (2017?阳山县校级一模)设x, y满足不等式组2x^-l<0 ,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1，贝U实数a的取值范围为[—2, 1].【解答】解：由z=ax+y得y=- ax+z,直线y= - ax+z是斜率为-a, y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则 A (1 , 1), B (2, 4),••• z=ax^y的最大值为2a+4，最小值为a+1,•••直线z=ax^y过点B时，取得最大值为2a+4,经过点A时取得最小值为a+1,若a=0,则y=z,此时满足条件，若a>0,则目标函数斜率k=- a v0,要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足-a> k BC=- 1,即0v a< 1,若a v0,则目标函数斜率k=- a>0,要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足-a< k Ac=2,即-2< a v 0,），综上-2w a w 1, 故答案为：[-2, 1].39. （2017?许昌三模）已知不等式组 rXO 表示的平面区域的面积为寺，则y^x-k^O 实数k= 4.【解答】解：画出不等式组表示的平面区域, 如图所示, 由题意可知k >0,可行域的三个顶点为A （0, 0）,B （鱼上）c （些空 ••• AB 丄 BC, |AB 匸k , 2点C 到直线AB 的距离为解得k=4, 故答案为：4.40. （2017?白银区校级一模）已知变量x, y满足的约束条件，若x+2y芷AnL>-5恒成立，则实数a的取值范围为[-1,1].【解答】解：由题意作出其平面区域，则实数a的取值范围为[-1,1].故答案为：[-1,1].。

线性规划基本题型

例5
(2023年北京-7)设不等式组
3x表x达y旳y平1面13
0 0
区(A域)(1为，D3，] 若(B指)数[2，函3数] y=(aCx旳) (1图，像2上] 存在(D区)[域35D，x上+旳∞3]点y，则9a旳0取值范围是
解：作出可行域如右图所示绿色
区域． 0<a<1 时， x>0 时， 0<ax<1 ， y=ax
离旳平方旳最值问题．
题型三求非线性目旳函数旳最值—斜率型
例3
x＋y－6≥0，已知实数 x，y 满足4x－3y＋12≥0，
x≤4.
求xy的最大值与最小值.
【解】
x＋y－6≥0，作出不等式组4x－3y＋12≥0，
x≤4
平面区域，如图所示．
表示的
(1)令 z＝xy，则 y＝zx.故求xy的最大值与最小值就是求不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的最大值与最小值，由图易知，kOC 最小，kOA 最大．
联立2x＋x＋2yy＝＝4500 ，得xy＝＝2100 ， ∴A(10,20)． ∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20＝70.
题型二求非线性目旳函数旳最值—距离型
若目旳函数不是线性函数，我们可先将目旳函数变形找到它旳几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0 ，求：
的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值 12，即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163＋2＝ 265，故2a＋3b的最小值为265.
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高考数学线性规划题型总结

高考数学线性规划题型总结文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]线性规划常见题型及解法一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。

数形结合是数学思想的重要手段之一。

习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是（）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .22x y +解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。

22x y +的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（） A 、13，1 B 、13，2C 、13，45D 、13，25图2x y O22 x=2y =2 x + y =2BA2x + y - 2= 0x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0OyxA解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 练习2、已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________． 2，0三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例3、在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形。

高考线性规划必考题型非常全)

线性规划专题一、命题规律讲解1、求线性（非线性）目标函数最值题2、求可行域的面积题3、求目标函数中参数取值范围题4、求约束条件中参数取值范围题5、利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即简单线性规划的最优解。

例1 已知4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y =+，求z 的最大值和最小值例2已知,x y 满足124126x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩，求z=5x y -的最大值和最小值二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。

它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。

例3 已知,x y 满足，224x y +=，求32x y +的最大值和最小值例4 求函数4y x x=+[]()1,5x ∈的最大值和最小值。

三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。

它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。

例5 已知实数,x y 满足不等式组10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，求22448x y x y +--+的最小值。

高中简单线性规划基础题型总结

高中简单线性规划基础题型总结熊明军简单线性规划属于操作性知识，是高考必考知识点，历年不变，必有一选择或填空题。

下面结合例题，总结高中简单线性规划问题的基础题型，方便同学们快速掌握相关内容。

线性规划问题的基础题型，可根据目标函数的特点，将其分为三类：类型一（直线）：by ax z +=【理论】点到直线的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出直线by ax +=0；③判断可行域顶点到直线by ax +=0的距离：()max max ,z y x P d ⇒⇒和()min min ,'z y x P d ⇒⇒【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求y x z 2-=的最值。

【解析】分三步走：①作出可行域：②作出直线y x 20-=：③判断直线y x 20-=到可行域顶点C B A 、、间的距离：平移、目测或代点都能判断，得()()11231,3,max max =⨯-=⇒⇒=z B l B d d ；()()119279,7,min min -=⨯-=⇒⇒=z C l C d d 。

类型二（圆）：()()22b y a x z -+-= 【理论】两点之间的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出圆()()222b y a x d -+-=；③判断可行域上的点到圆心()b a ,的距离（即半径r ）：()max max max ,z y x P d r ⇒⇒=和()min min min ,'z y x P d r ⇒⇒=【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求()()2211-+-=y x z 的最值。

【解析】分三步走：①作出可行域：②作出圆()()22211-+-=y x d ：r d =且半径r 由小到大逐渐作圆。

③判断圆心()1,1到可行域上点间的距离，也就是与可行域有交点的圆中半径r 的大小：目测或用圆规作圆都能判断，得()()()()10019179,7,22max max max =-+-=⇒⇒==z C D C d d r ；()()211411,2222min min min min =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==⇒==d z l D d d r AB . 类型三（斜率）：m n x a b y m a m n x m a b y a n mx b ay z --⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--= 【理论】两点确定的直线的斜率。

高考中的十种线性规划题型

规划问题的一般步骤:
① 准确画出可行域;
②
易错点:
距离的最值的最优解是在可行
域的顶点还是边界处。
(
练习 3.
2
0
1
6 年江苏卷 )已知实数 x,
y
x-2
y+4≥0,

2
2
满足
2
x+y-2≥0,则 x +y 的取值范围
3
x-y-3≤0,

是
根据目标函数的几何意义找到最优解;③ 求
x,
x≥1,

x+y
x+y≤3, 若 z=2
y 满足约束条件
,
x-3)

y≥a(

2
2
,则 A ∩B 所表
|(
x-1)+ (
y)
y -1)≤1}
答案:
D
x-y≥0,

则 a 的取值范围是(
(
练习 9.
2
0
1
2 年重庆卷 )设平面点集 A
3
A. π
4
练习 1
2.(
2
0
0
7 年北京卷 )若不等式组
y 满足约

x-1≥0,

y
则的最大值为
x
x+y-4≤0,

束条件
x-y≤0,
{
(
,
x,
|
x-y ≥1,
ax +y >4,
x -ay ≤2}
y)
则(

高考线性规划必考题型非常(20200721230123)

线性规划专题一、命题规律讲解1、求线性（非线性）目标函数最值题2、求可行域的面积题3、求目标函数中参数取值范围题4、求约束条件中参数取值范围题5、利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标x,y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标x, y 即简单线性规划的最优解。

x 4y 3 例1 已知3x 5y 25 ，z 2x y ，求z 的最大值和最小值x 1x y 1例2 已知x, y 满足2x 4y 1 ，求z= x 5y 的最大值和最小值x 2y 6二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。

它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标x,y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标x, y 即最优解。

例3 已知x, y 满足，x2 y2 4，求3x 2y 的最大值和最小值例4 求函数y x 4x 1,5 的最大值和最小值。

x三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。

它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标x,y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标x, y 即最优解。

x y 1 0例5 已知实数x, y 满足不等式组x y 1 0 ，求x2 y2 4x 4y 8 的最小值。

例6实数x,y满足不等式组x y 0 ,求丄」的最小值x 12x y 2 0四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形(或一条曲线段)，区域内的各点的点坐标x,y即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标x,y即最优解。

八种经典线性规划例题最全总结(经典)

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。

八种经典线性规划例题最全总结(经典)

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330mm+>⎧⎨-<⎩,故0＜m＜3，选 C七、比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

线性规划题型整理与例题(含答案)

积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

高考线性规划题型归纳

线性规划常见题型及解法一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题2x-y<2<x-y>-1，则z=2x+3y 的最大值为x+y>1解析：如图1,画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。

数形结合是数学思想的重要手段之一。

例1、设变量x 、y 满足约束条件习题1、若x 、y 满足约束条件 /则z=x+2y 的取值范围是()A 、[2,6]B 、[2,5]C 、 [3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l :x+2y 二0，将By=21向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故选A。

'勺・、Ix=2 x+y ■=2二已知线性约束条件，探相嵐性目标关系最值问题例2、已知 x >1,<x -y +1<0,则x 2+y 2的最小值是2x —y —2<0解析：如图2,只要画出满足约束条件的可行域，而示可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A (1,2)-z o件的最优解。

x 2+y 2的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关V-2A 是满足条图2x 2+y 2表系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

值分别是(即|AO12=13，最小值为原点到直线2x +y -2=0的距离的平方，即为4，选C，最小值为x +y 一2W0<x 一y +2>0表示的平面区域是一个三角形。

y >0易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2),B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：S =-\BC I -1AO1=1X 4X2=4.从而选B 。

22点评：有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。