常用模拟低通滤波器特性

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三种模拟低通滤波器的设计：
1)巴特沃兹滤波器 (Butterworth 滤波器) (巴特沃兹逼近) 特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f↗，幅频特 性 其幅度平方函数：
单调↘。
A(2 )
A(2 ) H a ( j) 2
1
2N
1
j jc
N为滤波器阶数，如图1
图1 巴特沃兹滤波器 振幅平方函数
❖ （1）Chebyshev I型：在通带中是等波 纹的，在阻带内是单调的；
❖ （2）Chebyshev II型：在通带中是单调 的，在阻带内是等波纹的；
❖ 由应用的要求，决定采用哪种型式的 Chebyshev滤波器
（1）Chebyshev I型幅频特性和 零极点图（N=3）
N=3Chebyshev I型 ，下面我们仅讲此类型
例：N=3阶BF振幅 平方函数的极点分 布如图。
图2 三阶A(-S2)的极点分布
考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点(SP3，SP4，SP5)组 成的，它们分别为：
j 2
j 2
Sp3 ce 3 , Sp5 ce 3
, S p4 c
系统函数为：
Ha (s)
(S
S p3 )(S
（2）Chebyshev II型幅频特性和 零极点图（N=3）
N=3Chebyshev II型，其设计思想同Chebyshev I型，在此课程 中我们就不作介绍。
振幅平方函数为
A(2 )
H a ( j) 2
1
1
2VN2
(
c
)
—有效通带截止频率 c
—
与通带波纹有关的参量，
大 ，波
纹大。
0 <
巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率
处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次(N)很高，
为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的
。
c
H ( j) 2
1、引入原因
❖ Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻 带都随频率而单调变化，因此如果在通带边缘满 足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会 超过指标的要求，因而并不经济，所以更有效的 方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内， 或均匀分布在阻带内，或同时均匀在通带与阻带 内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精 度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的 逼近函数来完成。
<1
VN(x)—N阶切比雪夫多项式，定义为
VN (x)
cos(N cos1 x)
c os h(N
c os h1
x)
x 1 x 1
x 1时, VN (x) 1
x 1, x ,VN (x)
双曲余弦 cosh(x)= ex ex / 2
通带: 使信号通过的频带 阻带：抑制噪声通过的频带 过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围 Ωc ：截止频率。
过渡带为零， 阻带|H(jΩ)|=0 通带内幅度|H(jΩ)|=cons.， H(jΩ)的相位是线性的。
理想滤波器
图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。 通带内，分母Ω/Ωc<1, ( Ω/Ωc)2N《1，A(Ω2)→1。 过渡带和阻带，Ω/Ωc>1， ( Ω/Ωc)2N 》1, Ω增加， A(Ω2)快速减小。
2
2
2
2
这4个极点和2个零点在s 平面上的分布如图所示。
jIm[S] 1 j
2
S平面
1 j 2
0 2
1 j 2
2
1 j 2
Re[S]
S平面左半平面的2个极点和一个零点构成 Ha(s),右半平面的2个极点和一个零点构成 Ha(-s)。则：
Ha (s)
( 2 s) 1 j 1 j
(s )(s )
因果系统中
H ( j) h (t)e dt
式 ∴中ha(t)为系统a 的冲激响应，是实函0数。 a
jt
不难看出
Ha ( j)
0
ha
(t
)cos
t
j sin tdt
H a (
j)
H
a
(
j)
定义振幅平方函数
A(2 )
Ha ( j) 2
H
a
(
j)
H
a
(
j)
A(2 ) Ha ( j)Ha ( j) H a(s)Ha (s) s j (1)
式中 Ha(s)—模拟滤波器系统函数 Ha(jΩ)—滤波器的频率响应 |Ha(jΩ)|—滤波器的幅频响应
又 S=Baidu NhomakorabeaΩ，Ω2=-S2
∴ A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ
问题：由A(-S2)→Ha(S)
对于给定的A(-S2)，先在S复平面上标出A(-S2)的极点和零点，由(1)式知，A(-S2)的 极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、 零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)。
3 c
S p4 )(S
S p5 )
1 令
，得归一化的三阶BF：
c
H (s) 如果要还原的话，则有 a
S3
1 2S 2
2S
1
Ha (s) 1
(s / c )3 2(s / c )2 2(s / c ) 1
2)切比雪夫(chebyshev)滤波器 (切比雪夫多项式逼近) (选讲) 特点：误差值在规定的频段上等幅变化。
Ω=Ωc,
，
,幅度
衰减
，相当于3db衰减点。
A(2 ) 1 2
1 2
A(
2 c
)
1
A(0) 2
振幅平方函数的极点：
Ha (S) • Ha (S) 1 (
1 S
)2N
jc
令分母为零，得
1
S P (1) 2N ( jc )
可见，Butter worth滤波器的幅度平方函数 有2N个极点，它们均匀对称地分布在 |S|=Ωc的圆周上。
图7 切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低 通的A2(Ω)曲线
切比雪夫滤波器的
H 在通带范围 ( j) 2
内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。
可根据需要对通带内允许的衰减量(波动范围)提出要求，如要求波动范围小于1db。
2、Chebyshev滤波器的种类
❖ 在一个频带中，通带或阻带具有这种等 纹特性可分为：
为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点 可选用任一半。
书上例子
设已知幅度平方函数A(Ω2) = 2 2 应的模拟系统传输函数Ha(s)1 4
令s=jΩ，带入表达式得：
,求对
A(s 2 ) 2 s 2
( 2 s)( 2 s)
1 s4 (s 1 j )(s 1 j )(s 1 j )(s 1 j )