用等价无穷小大患求极限的误区及一点补充

关于求极限的等价无穷小替换法

关于求极限的等价无穷小替换法
极限的等价无穷小替换法是一种常用的求极限的方法，即把要求的极限表达式中的极限变量用一个等价的无穷小来替换。

首先，我们要先了解什么是无穷小，无穷小就是指表达式中的变量很小，但不能为0，可以用“趋于0”来替换。

比如，要求求解函数y=ln(1+x)的极限，当x趋于0时，
显然，y趋于什么？
此时，我们可以把x变量用一个等价的无穷小dx来替换，即y=ln(1+x)变为y=ln(1+dx)。

并且，要把x的幂次也用无穷小dx来取代，即y=ln(1+x)
变为y=ln(1+dx)，即y=ln(1+dx^n)。

然后，我们就可以把ln(1+dx^n)分解为
ln(1+dx)+ln(1+dx^2)+ ... +ln(1+dx^n)，即
y=ln(1+dx)+ln(1+dx^2)+ ... +ln(1+dx^n)。

根据极限的性质，当dx趋于0时，每一项ln(1+dx^n)都
趋于0，即y=ln(1+dx)+ln(1+dx^2)+ ... +ln(1+dx^n)趋于0。

因此，函数y=ln(1+x)的极限就是0，即当x趋于0时，y
也趋于0。

综上所述，极限的等价无穷小替换法是一种常用的求极限的方法，即把要求的极限表达式中的极限变量用一个等价的无穷小来替换，然后结合极限的性质，就可以求得极限的值。

这种方法可以很大程度上简化求极限的过程，因此，在求极限时，可以尝试使用极限的等价无穷小替换法来进行求解。

无穷大量与无穷小量在教学中应注意的几个问题

无穷大量与无穷小量在教学中应注意的几个问题作者：张爱丽来源：《教育界·上旬》2015年第05期【摘要】本文指出了无穷大量和无穷小量在教学中应注意的一些问题，并给出了无穷大量的一些性质和等价无穷大量的定义，以及用它们来讨论级数敛散性的优越性。

【关键词】无穷大量 ; ;无穷小量 ; ;敛散性一、前言我们在研究变量的变化过程中，经常会遇到两类变量：一种是在某种变化过程中无限趋近于零，这种变量我们称为无穷小量;另外一种是在某种变化过程中无限趋近于正负无穷，称为无穷大量。

无穷大量和无穷小量是高等数学中的重要概念。

在教学中研究无穷大量与无穷小量的结论和性质对学习高等数学的其他内容有很大帮助。

无穷大与无穷小在一元微积分，特别是在极限的理论中有着非常重要的地位。

微分在变化为零的过程中是无穷小，导数是无穷小量之比的极限，定积分实质是无穷小量的积累。

函数的连续性、极限的四则运算法则、无穷小量的阶等均是无穷小量给出的等等，许多概念都建立在无穷大量和无穷小量的基础上。

二、无穷大量和无穷小量的说明和性质的补充1.无穷大和无穷小是变量，但不是单调地越变越大，或者越变越小无穷大与无穷小是变量，它们表示的是量的变化趋势。

因此不能简单地把它们看成很大的数与很小的数。

除了0以外其他再小的数也不是无穷小量。

一个无穷大量在变化过程中开始时也可能取很小的数值。

无穷大与无穷小同一般变量的极限一样，本质上主要表现在变化的终极状态，而不在变化过程中的任何有限的阶段。

需要说明的是，无穷大不是越变越大，无穷小同样也不是越变越小。

在教学中应向学生说明这两种说法只用于表现单调变化的情况，而无穷大与无穷小的变化过程有可能不是单调的。

2.高数课本中对无穷小量的性质讲得比较充分，无穷大量相对较少，下面就无穷大量的运用做一些补充2.1 无穷大量阶的比较定义：设u，v是在同一个自变量的变化过程中的无穷大量，则u比v的极限也是这个变化过程中的极限。

（1）如果u比v极限为0，u是比v低阶的无穷大;（2）如果u比v极限为无穷，u是比v高阶的无穷大;（3）如果u比v极限为常数（不为0），u与v是同阶无穷大;（4）如果u比v极限为1，u与v是等价无穷大;（5）如果u比v的k次方的极限为常数（不为0），k大于0，u是关于v的k阶无穷大。

等价无穷小在求函数极限中的应用

等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ．常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ．性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-．例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ．注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3．利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ．例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→xx x x x x x x x x x x x ．例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ．注当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ．例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1limx x x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．2011.11(6):112~114。

对《用等价无穷小代换求极限的两个误区》一文的修正和补充

对《用等价无穷小代换求极限的两个误区》一文的修
正和补充
误区一：等价无穷小之间没有区别
修正：等价无穷小之间是有区别的。

每一个等价无穷小在某段时间内只能进行一步代换，而不能在这一步中做出一种明确的选择。

补充：等价无穷小代换求极限的运算实质上是一种数学归纳法，需要把无穷小的元素分成不同的类别，并在不同的时间节点上进行分析。

误区二：给出的等价无穷小表达式就是原函数的极限
修正：给出的等价无穷小表达式只是用来判断极限是否存在、极限是否等于多少，但它并不等于原函数的极限。

补充：等价无穷小代换求极限只是用来证明极限存在的一种方法，它有可能给出的极限与原函数的极限不相等，这时候就要通过其他方式来证明极限的相等。

用等价无穷小代换求极限的两个误区

用等价无穷小代换求极限的两个误区
等价无穷小替换的误区：代数和或差的各个部分无穷小不能分别做替换；复合函数的中间变量不能做等价无穷小替换。

在一个变化过程中，a趋于0的速度和b趋于0的速度一样快，而且，在这个变化过程中它们比值的极限为1，比值的极限是1。

用等价无穷小替换原则是：整个识式子中的乘除因子可用等价无穷小替换，而加减时一般不能用等价无穷小替换。

这些等价无穷小的式子来源于泰勒公式展开式，一般取了前面的1到3项。

如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数。

用得较多的是泰勒公式在x ＝0处的展开式。

在出现加减的式子中，如果要使用等价无穷小，就需要注意了，否则易算错。

对于f（x）／g（x）型：在使用等价无穷小替换时，如果分母（分子）是x的k次方，本着上下同阶的原则，应把分子（分母）展开到x的k次方。

大学高等数学等价无穷小

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。

其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。

1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。

如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。

关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。

2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。

f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。

当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。

但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。

此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。

碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。

也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。

极限运算时最容易忽略的两个问题

㊀㊀㊀解题技巧与方法１３７㊀㊀极限运算时最容易忽略的两个问题极限运算时最容易忽略的两个问题Һ丁艳风㊀（郑州升达经贸管理学院基础部，河南㊀郑州㊀４５１１９１）㊀㊀ʌ摘要ɔ极限是分析学科的工具．本文主要论述了初学者在求极限时易忽略的两种情况：首先分析了等价无穷小代换在加减中怎么使用，从而避免学生在求极限时发生类似的错误；其次分析了当函数表达式复杂时，如何使用泰勒公式简化函数，便于求极限，同时总结了使用泰勒公式的技巧，为学生后续求极限提供了解题效率更高的方法．ʌ关键词ɔ极限；等价无穷小代换；泰勒公式；麦克劳林公式引㊀言高等数学的研究对象是函数，而研究函数的工具是极限．这就决定了高等数学中的许多基本概念都以极限思想为基石，因此，学好极限对高等数学的学习有着举足轻重的作用．函数的极限运算是高等数学的核心内容之一，而选择极限的计算方法的合适与否，直接关系到计算过程是否简便快捷及计算结果是否正确．笔者通过大量的实践教学发现：在求极限的过程中，学生最易忽略也最易出错的两个问题：一㊁等价无穷小代换在加减中的使用；二㊁泰勒公式在求极限中的化繁为简的运用．针对以上两个问题笔者利用例子来分析和研究．一㊁等价无穷小代换在加减中的使用等价无穷小代换是解决００型未定式极限的一个非常有效的途径和手段．在高等数学教材中，等价无穷小代换定理仅仅以极限积或商的形式表现等价无穷小代换，并没有给出该方法的使用局限性和适用范围．特别是对于解决０－００或０＋００型未定式极限时，学生在利用等价无穷小代换定理计算极限时往往容易出错，究其原因是学生没有弄清楚代换的条件及对象．另外就是对无穷小的等价概念模糊不清，导致出现许多学生乱套公式的现象．因此，教师应对此问题加以强调和关注．１．几种常见的等价无穷小首先弄清楚一个概念：无穷小是相对于一个极限过程而言的，一个变量在某个极限过程中是无穷小量，在另一个极限过程中就不一定是无穷小量了．如ｓｉｎｘ在ｘң０时是无穷小量，但是在ｘң１或ｘңπ２时，都不是无穷小量，所以在使用等价无穷小代换时首先应准确判断一个量是否为无穷小量．其次熟记常见的几个等价无穷小代换公式：当ｘң０时，ｓｉｎｘｘ；ａｒｃｓｉｎｘｘ；ｔａｎｘｘ；ａｒｃｔａｎｘｘ；ｅｘ－１ｘ；ｌｎ（１＋ｘ）ｘ；１－ｃｏｓｘｘ２２；ｎ１＋ｘ－１ｘｎ．以上公式不仅要熟记，对于公式的推广形式更要会灵活运用：在ｘ的某个变化过程中，只要关于ｘ的函数φ（ｘ）ң０，则上面公式中的所有ｘ都可以换为φ（ｘ）．即：当ｘң （表示任何过程）时，有φ（ｘ）ң０，则有ｓｉｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ａｒｃｓｉｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ｔａｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ａｒｃｔａｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ｅφ（ｘ）－１ φ（ｘ）；ｌｎ［１＋φ（ｘ）］ φ（ｘ）；１－ｃｏｓφ（ｘ）［φ（ｘ）］２２；ｎ１＋φ（ｘ）－１ φ（ｘ）ｎ．在此基础上也能推出许多其他公式，因此，我们要熟记上述公式．２．等价无穷小代换在加减中的使用等价无穷小代换定理只给出了函数在乘除之间可以使用，在加减中是否能使用没有给出明确的说明，致使有些学生在做练习时出现如下解法：如：求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ．虽然上式分子是相减的形式，但有的学生看都不看就将其写成如下形式：ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｘｘ３＝０．显然上述方法是错误的，原因在哪里呢？原因主要在于初学者在使用课本中的等价无穷小代换定理时没有注意：用等价无穷小代换时需要换掉整个分子或分母，而不能只换掉分子或分母的一部分．那么，我们遇到这种问题时该如何处理呢？下面的定理就告诉我们该怎么做！定理１㊀设α（ｘ），β（ｘ），αᶄ（ｘ），βᶄ（ｘ），γ（ｘ），γᶄ（ｘ）（均不为０）都是同一变化过程中的无穷小量，已知α（ｘ） αᶄ（ｘ），β（ｘ） βᶄ（ｘ），γ（ｘ） γᶄ（ｘ），（１）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ－１，则有ｌｉｍα（ｘ）＋β（ｘ）[]ｇ（ｘ）γ（ｘ）＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）＋βᶄ（ｘ）[]ｇ（ｘ）γᶄ（ｘ）．（２）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ１，则有ｌｉｍα（ｘ）－β（ｘ）[]ｇ（ｘ）γ（ｘ）＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）－βᶄ（ｘ）[]ｇ（ｘ）γᶄ（ｘ）．该定理的证明许多文献中都有介绍，这里只给出定理的应用．此定理告诉我们若分子为某两个无穷小量的和或差时，只要满足条件就可以使用等价无穷小代换．如前面的例子：求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ．上式的分子为两个无穷小量的差，但是ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｔａｎｘ＝１，不满足定理的条件，所以不能直接使用等价无穷小代换．事实上，我们可以先对分母进行等价无穷小代换，再使用洛必达法则或者把分子化为两个因式乘积的形式再使用等价无穷小代换．正确的解法：ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ＝ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘ３＝ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ（ｃｏｓｘ－１）ｘ３＝ｌｉｍｘң０－ｘｘ２２ｘ３＝－１２．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３８㊀例１㊀求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎ２ｘ－ｔａｎｘ３１＋ｘ－１．解㊀当ｘң０时，ｓｉｎ２ｘ２ｘ，ｔａｎｘｘ，３１＋ｘ－１ｘ３，因为ｌｉｍｘң０ｓｉｎ２ｘｔａｎｘ＝ｌｉｍｘң０２ｘｘ＝２ʂ１（满足定理的条件），所以ｌｉｍｘң０ｓｉｎ２ｘ－ｔａｎｘ３１＋ｘ－１＝ｌｉｍｘң０２ｘ－ｘｘ３＝３．显然，我们在满足定理条件时使用等价无穷小代换就不会出错了．其实，除了分子是某两个等价无穷小量的和或差可以用等价无穷代换外，分母是两个无穷小量的和或差也有相同的结论，因为有下面的定理．定理２㊀设α（ｘ），β（ｘ），αᶄ（ｘ），βᶄ（ｘ）（均不为０）都是同一变化过程中的无穷小量，已知α（ｘ） αᶄ（ｘ），β（ｘ） βᶄ（ｘ），（１）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ－１，则有ｌｉｍα（ｘ）＋β（ｘ）[]＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）＋βᶄ（ｘ）[]．（２）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ１，则有ｌｉｍα（ｘ）－β（ｘ）[]＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）－βᶄ（ｘ）[]．例２㊀求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎ５ｘ２－ｔａｎｘ２ｓｉｎ２ｘ２＋ｔａｎｘ２．解㊀当ｘң０时，因为ｌｉｍｘң０ｓｉｎ５ｘ２ｔａｎｘ２＝５ʂ１，ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ２ｓｉｎ２ｘ２＝１２ʂ－１（满足定理的条件），所以ｌｉｍｘң０ｓｉｎ５ｘ２－ｔａｎｘ２ｓｉｎ２ｘ２＋ｔａｎｘ２＝ｌｉｍｘң０５ｘ２－ｘ２２ｘ２＋ｘ２＝４３．当然，若先使用换元法把ｘ２化为ｔ，再使用洛必达法则也很容易就能解决本题；也可以使用泰勒公式进行计算，这就是我们接下来要讲的另一个学生不易想到的问题．二㊁泰勒公式在求极限中的化繁为简的运用求函数极限的方法有很多，对于００ ɕɕ等型未定式，我们常用的是洛必达法则，此法则简单易掌握，但具有一定的局限性，即对于繁杂的函数并不适用．当遇到使用洛必达法则求极限越求导越麻烦时，我们不妨换一下思路，利用泰勒公式进行求解，因为泰勒公式不仅能起到化繁为简的作用，也能解决大多方法解决不了的问题．接下来，我们将对利用泰勒公式计算００型未定式极限的方法进行探讨．１．泰勒公式和麦克劳林公式在利用泰勒公式求解函数极限时，我们通常采用带有佩亚诺余项的泰勒公式．即：ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋ｆᶄ（ｘ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆᵡ（ｘ０）２！（ｘ－ｘ０）２＋＋ｆ（ｎ）（ｘ０）ｎ！（ｘ－ｘ０）ｎ＋ｏ（（ｘ－ｘ０）ｎ）．（１）令ｘ０＝０，则（１）式为ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋ｆᶄ（０）ｘ＋ｆᵡ（０）２！ｘ２＋＋ｆ（ｎ）（０）ｎ！ｘｎ＋ｏ（ｘｎ）．（２）（２）式称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式．２．无穷小量的运算想要熟练掌握泰勒公式，还需掌握下面的运算．无穷小量的运算：ｍ，ｎ为正整数，ｑ＝ｍｉｎ｛ｍ，ｎ｝，则有下列式子成立：ｏ（ｘｍ）ʃｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｘｑ），ｏ（ｘｍ）ｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｘｍ＋ｎ），ｘｍｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｘｍ＋ｎ），ｋｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｋｘｎ）＝ｏ（ｘｎ）．３．例题解析我们下面结合着可以使用泰勒公式的例子来对此法做一个分析：例３㊀求极限ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４．分析㊀分式的分母为ｘ４，因此解答本题的关键是将ｓｉｎｘ２，ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘｓｉｎｘ进行泰勒展开并确定其具体展开到第几项．我们先把２ｃｏｓｘｓｉｎｘ利用倍角公式化为ｓｉｎ２ｘ．ｓｉｎｘ２，ｓｉｎｘ，ｓｉｎ２ｘ的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式展开式分别为ｓｉｎｘ２＝ｘ２－ｘ６３！＋ｘ１０５！－＋（－１）ｎｘ４ｎ＋２（２ｎ＋１）！＋ｏ（ｘ４ｎ＋２）．（３）ｓｉｎｘ＝ｘ－ｘ３３！＋ｘ５５！－＋（－１）ｎｘ２ｎ＋１（２ｎ＋１）！＋ｏ（ｘ２ｎ＋１）．（４）ｓｉｎ２ｘ＝２ｘ－（２ｘ）３３！＋（２ｘ）５５！－＋（－１）ｎ（２ｘ）２ｎ＋１（２ｎ＋１）！＋ｏ［（２ｘ）２ｎ＋１］．（５）ａ．若将它们最低分别展开到ｘ的２阶㊁３阶㊁３阶：ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘ＝ｘｓｉｎｘ２－２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝ｘ３＋５ｘ３３＋ｏ（ｘ３）．（６）则ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４＝ｌｉｍｘң０８３ｘ３＋ｏ（ｘ３）ｘ４极限不存在．ｂ．若将它们最低分别展开到ｘ的６阶㊁５阶㊁５阶：ｘｓｉｎｘ２－２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝－ｘ７６＋ｘ５４＋ｏ（ｘ５），则ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４＝ｌｉｍｘң０－ｘ７６＋ｘ５４＋ｏ（ｘ５）ｘ４＝０．ｃ．若将它们最低分别展开到ｘ的１０阶㊁７阶㊁７阶：ｘｓｉｎｘ２－２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝－２３ｘ７１２０＋ｘ５４＋ｏ（ｘ７），则ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４＝ｌｉｍｘң０－２３ｘ７１２０＋ｘ５４＋ｏ（ｘ７）ｘ４＝０．由ａ，ｂ和ｃ可知，由于每个函数变量的幂次不同，它们展开的次方也多少有点差异．若将三个函数展开到ｘ的３阶以下，无法求出正确的极限；若将三个函数展开到ｘ的６阶以上，可以正确求出极限，但ｘ６后面的更高阶的因式与ｘ４作商求极限后均为０，无计算的必要，所以三个函数ｓｉｎｘ２，ｓｉｎｘ，ｓｉｎ２ｘ分别展开到６阶㊁５阶㊁５阶最合适．故由例３可以总结如下：利用泰勒公式对形如００型未定式求极限，遵循上下几乎同阶原则，即将分子上的函数展开到与分母同幂次或接近的项即可．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［２］张卓奎，王金金．高等数学［Ｍ］．北京：北京邮电大学出版社，２０１７．［３］陈大桥，等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推广［Ｊ］．成都师范学院学报，２０１４，３０（５）：１１７－１１９．［４］刘艳．泰勒公式在函数极限计算中的方法探讨［Ｊ］．教育教学论坛，２０２０（２８）：３２８－３２９．。

对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨

对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨哎呀，大家好呀！今天咱们来聊聊一个听上去有点拗口的话题——对等价无穷小代换和洛必达法则求极限。

乍一听，这些名字就像天书一样，让人觉得高深莫测。

不过，别担心，咱们今天就把这块硬骨头啃下来，轻松愉快，保证不让你打瞌睡。

先来看看什么叫“对等价无穷小代换”。

这玩意儿听起来挺复杂，其实就像是你和朋友在一起的时候，偷偷把一瓶水换成了可乐，味道差不多，谁都没发现。

简单来说，就是在求极限的时候，把一个复杂的表达式换成一个简单的，换得恰到好处，效果也不错。

比如，当你在求某个函数的极限时，里面夹杂了许多复杂的项，就像一锅乱炖，找不到重点。

这个时候，咱们就用对等价无穷小代换，把那些复杂的东西换成简单的，结果往往会出人意料地好。

再说说洛必达法则，嘿嘿，这可真是一个神奇的法宝。

就像是你在厨房做饭，突然发现盐没了，结果你就一抹手，随便拿点儿别的东西来调味，最后做出来的菜居然味道超棒。

洛必达法则就是这样，当你碰到极限的形式是0/0或者∞/∞的时候，别慌，直接对分子和分母分别求导，然后再求极限。

这种方法就像开了挂一样，直接把难题变成了小菜一碟。

说到这，可能有人会问，这两者到底有什么关系呢？哈哈，关系可大了！对等价无穷小代换和洛必达法则，就像是一对默契的搭档，一个是潜行的特工，一个是直冲的战士，组合起来简直无敌。

很多时候，你在用洛必达法则的时候，其实就是在利用了无穷小的特性。

这就像你在打游戏的时候，利用一些小技巧，才能打出高分，事半功倍嘛！有趣的是，很多学生在学习这些方法的时候，脑子里满是问号，觉得特别抽象。

极限的世界就像一场大冒险，只有勇敢尝试，才能发现宝藏。

咱们在求极限的时候，关键是要抓住那种“微小”的感觉，体会到这些“无穷小”究竟是怎么回事。

就像你在沙滩上，捡到一颗小贝壳，虽然不起眼，但如果你细细品味，背后其实蕴藏着大海的秘密。

举个例子，假设你在计算极限，碰到一个0/0的情况。

这个时候，别着急，先用对等价无穷小代换，看看能不能把它转化成简单的形式。

考研数学利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题【可编辑全文】

可编辑修改精选全文完整版2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。

下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。

例1：求极限30tan sin lim x x x x→- 解：3300tan sin lim lim 0x x x x x x x x →→--== 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．若~',~'ααββ,则~''αβαβ--.考察这个命题，lim lim lim 11αβααβαβββαββαααβββ''''-⋅-''-==---，当lim 1αβ≠时,这个命题是真命题；当lim 1αβ=时,命题是假命题．对于例1，因为， sin ,tan ,''x x x αβαβ====，00sin lim lim 1tan x x x x αβ→→== 所以，证明的结论是错误的．正确解答:2333000tan sin tan (1cos )12lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→--==. 例2：求201sin(sin )lim x x x x→ 错误解答: 2200011sin(sin )sin 1lim lim lim sin 0x x x x x x x x x x x→→→=== 错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：而根据无穷小的比较的定义，当1()x n Z n π∈取时，21sin(sin )x x 和21sin x x 均为0，所以不能用等价无穷小的代换．正确解答：当0x ≠时，22211sin(sin )sin x x x x x ≤≤，2211sin(sin )sin x x x x x x x≤≤0(0)x →→ 所以，由夹逼准则知原函数极限为0．例3：求极限sin lim x x xπ→ 解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1．应该为：sin sin lim 0x x x πππ→==. 注意：①乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限．②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3．巩固相应知识点① 无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim(0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim (0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 ② 常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,。

等价无穷小在加减中替换误区

等价无穷小在加减中替换误区
代数和或差的各个部分无穷小不能分别做替换。

一.等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换），变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。

二.数学分析的基础概念指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。

极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。

三.用等价无穷小替换原则是：整个识式子中的乘除因子可用等价无穷小替换，而加减时一般不能用等价无穷小替换。

这些等价无穷小的式子来源于泰勒公式展开式，一般取了前面的1到3项。

如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数。

用得较多的是泰勒公式在x＝0处的展开式。

等价代换在极限计算中的问题

等价代换在极限计算中的问题
tan x 在0x =处的Taylor 展开式为：
(2)(2)(52)3171217tan 31532(21)(2)(112)5!
n n n x x B n x x x n x -=+++-+-+ sin x 在0x =处的 Taylor 展开式为：
等价无穷小代换的本质是利用函数在0x =处的Taylor 展开式进行计算的，当计算中出现无穷小量相加或者相减时，不能不加考虑的使用等价代换。

例如，在求30tan sin lim sin 2x x x x
→-时，若直接用tan ~(0)x x x →与sin ~(0)x x x →进行代换就会得到如下错误的结果：
3300tan sin lim
lim 0sin 28x x x x x x x x
→→--== 但实际上 ()()33535333000111()tan sin 1362lim lim lim sin 28816
x x x x x x x o x x o x x x x x x →→→+--++-===。

事实上，虽然当0x →时，tan x 与sin x 都等价于x ，即tan sin 0x x -=，但这是忽略了关于x 的高阶无穷小量后得到的结果；本质上，tan sin 0x x -≠，而是等价于x 的高阶无穷小312
x 。

所以，在加减中进行等价代换的时候，一定要注意高阶项对结果的影响。

这也是为什么人们简单地总结为不能用在加减上，只能用在乘除上。

35
2122sin (1)()3!5!
(21)!n n n x x x x x r x n ++=-+-+-++。

等价无穷小在求函数极限中的应用

等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ．常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ．性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-．例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ．注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3．利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ．例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→xx x x x x x x x x x x x ．例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ．注当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ．例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1limx x x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．2011.11(6):112~114。

高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题

高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题高等数学，求极限时等价无穷小替换的问题极限是数学中非常重要的概念，在求解数学问题时经常被使用。

它的性质之一就是求解极限的过程中，有时数值会改变，但最终答案却不会改变。

为了更好地求取极限，我们常常会将极限中有无穷小的量用一个相同或相近的数值来替换。

这就是所谓的“等价无穷小替换”。

等价无穷小替换是一种常见的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。

下面就来详细讨论这一技巧。

首先，要理解等价无穷小替换，首先要明白极限的概念。

极限是数学中一个指的是一个数列中元素取值的极限的概念，它表示的就是某一数列的取值将要趋向于某一值，但又不会实际到达这一值，这一值称为极限。

因此，求取极限并不是实际到达极限值，而是求取在某种条件下，数列元素将趋于某个值，虽然不能够实际取到这个值，但是可以通过极限的性质来近似的求取这个值。

而在求取极限的过程中，有时数值会发生改变，但最终答案却不会改变，此时，就可以用等价无穷小替换的方式来帮助我们求取极限值。

所谓等价无穷小替换，就是将无穷小的或接近无穷小的量用一个等价的数值来代替，而这个等价的数值往往要比无穷小要大得多，这样就可以再计算中省去大量的计算量，从而达到求取极限的目的。

例如，求取极限∫ x*dx当x=1时，积分项为1/2如果我们使用等价无穷小替换的思想，就可以将x替换成接近1的数值。

比如x=1.001，这时积分项为1.0005，可以看出，即使把x 取值替换成1.001，最终积分结果也快准确，而且这种操作大大缩减了计算量。

上述就是等价无穷小替换的一般思想，即求取极限时，如果遇到无穷小或接近无穷小的量，就可以使用等价无穷小替换的思想，用一个小的数字来替代，从而达到节省计算量和提高精度的效果。

等价无穷小替换也有一定的局限性，它并不是永远可靠的。

在某些情况下，它会导致计算结果的误差变大。

因此，当使用等价无穷小替换时，需要谨慎细致，以免造成计算错误。

综上所述，等价无穷小替换是一种非常有用的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。

用等价无穷小代换求极限的几个问题

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２１３０用等价无穷小代换求极限的几个问题用等价无穷小代换求极限的几个问题Һ周继振㊀张晓亮㊀许㊀峰㊀（安徽理工大学数学与大数据学院，安徽㊀淮南㊀２３２００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文指出了高等数学中应用等价无穷小代换求极限的几种常见错误，分析了产生错误的原因，并给出了应用等价无穷小求极限的条件．ʌ关键词ɔ无穷小；等价无穷小代换；极限ʌ基金项目ɔ安徽省教育厅省级质量工程支持：２０２０ｊｙｘｍ０４４０．等价无穷小代换是高等数学中求极限的一个有效且重要的方法，也是学生需要掌握的重点内容，其在考研和数学竞赛中经常出现．然而，看似简单的等价无穷小代换也有很多陷阱，若学生对使用等价无穷小代换的条件不能够深入理解，则极易出现各种错误．本文将分析使用等价无穷小代换时出现的常见错误以及原因．首先来回忆一下相关概念．定义１㊀若ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝０，则称当ｘң０时，ｆ（ｘ）为无穷小．定义１中的极限过程ｘң０可以换为其他极限过程，例如ｘңɕ或ｘң１＋，根据定义１，易得１ｎ（ｎңɕ），ｘ２（ｘң０），１ｘ－１（ｘңɕ）均为无穷小．本文的极限过程总以ｘң０为代表．定义２㊀设ｌｉｍｘң０α＝ｌｉｍｘң０β＝０，若ｌｉｍｘң０βα＝Ｃ，则称ｘң０时，α与β是同阶无穷小．若Ｃ＝１，则称ｘң０时，α与β是等价无穷小，记为α β．根据高等数学中的两个重要极限，易得当ｘң０时，ｓｉｎｘｘ，ｌｎ（１＋ｘ）ｘ．等价无穷小的重要性体现在下面的定理上．定理１㊀设α αᶄ，β βᶄ，ｘң０，且ｌｉｍｘң０βᶄαᶄ存在，则ｌｉｍｘң０βα＝ｌｉｍｘң０βᶄαᶄ．该定理的证明在高等数学教科书上能查到，在此证明省略．应用定理１时，大多是省略验证条件ｌｉｍｘң０βᶄαᶄ存在．下面通过一个例子来说明在求解极限时如何使用定理１．例１㊀求极限ｌｉｍｘң０１＋ｘｓｉｎｘ－１ｅｘ２－１．解㊀因为１＋ｘ－１ｘ２，ｅｘ－１ｘ，ｘң０，故ｌｉｍｘң０１＋ｘｓｉｎｘ－１ｅｘ２－１＝ｌｉｍｘң０１２ｘｓｉｎｘｘ２＝１２ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１２．那么在使用的过程中学生容易犯的错误是什么呢？或者需要注意的地方有哪些呢？一㊁加减运算中不可用等价无穷小代换，同阶不等价无穷小可以用等价无穷小代换例２㊀求极限ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｓｉｎ３ｘ．该题的常见错误是分子直接用等价无穷小ｓｉｎｘｘ，ｘң０代换，从而得出错误结论，即ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｓｉｎ３ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｘｘ３＝ｌｉｍｘң００ｘ３＝０．正解㊀根据泰勒公式，易得ｓｉｎｘ＝ｘ－１３！ｘ３＋ｏｘ３()，故ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｓｉｎ３ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｘ－１３！ｘ３＋ｏｘ３()()ｘ３＝ｌｉｍｘң０１３！ｘ３－ｏｘ３()ｘ３＝１６．例３㊀求极限ｌｉｍｘң０ｃｏｓｓｉｎｘ()－ｃｏｓｘｘ４．请读者指出下面的解题过程错在哪里．ｌｉｍｘң０ｃｏｓｓｉｎｘ()－ｃｏｓｘｘ４＝－２ｌｉｍｘң０ｓｉｎｓｉｎｘ＋ｘ２ｓｉｎｓｉｎｘ－ｘ２ｘ４＝－ｌｉｍｘң０（ｓｉｎｘ＋ｘ）（ｓｉｎｘ－ｘ）２ｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ２－ｓｉｎ２ｘ２ｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ３＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘ４ｘ３＝１２４．上面倒数第二步作等价无穷小代换ｓｉｎｘｃｏｓｘｓｉｎｘ，ｘң０是错误的，在这里继续用洛必达法则就可得出正确结论．正解㊀接上面解题过程的第三步可得ｌｉｍｘң０ｃｏｓ（ｓｉｎｘ）－ｃｏｓｘｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ２－ｓｉｎ２ｘ２ｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ３＝ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ１２ｘ２＝１６．在加减运算中，什么条件下可以用等价无穷小代换呢？下面的定理２给出了回答．定理２㊀设α αᶄ，ｘң０，ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＝０且ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ存在，则ｌｉｍｘң０α－βγ＝ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ．证明㊀利用极限的运算法则，直接展开计算得. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２５㊀数学学习与研究㊀２０２１３０ｌｉｍｘң０α－βγ＝ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＋αᶄ－βγ()＝ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＋ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ＝ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ．定理证毕．条件ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＝０也可以记为α－αᶄ＝ｏ（γ），即α－αᶄ为γ的高阶无穷小．例３中，显然ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ３＝ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ１－ｃｏｓｘ()４ｘ３＝１８，不符合定理２的条件．例４㊀求极限ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ２．解㊀因为ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ２＝ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ１－ｃｏｓｘ()４ｘ２＝ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓｘ４ｘ＝０，故可用等价无穷小代换ｓｉｎｘｃｏｓｘｓｉｎｘ，ｘң０，得ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ２＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘ４ｘ２＝０．二㊁复合函数的中间变量不可用等价无穷小代换这里以高等数学中常见的未定型为例．例５㊀求ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ２．解㊀ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ２＝ｌｉｍｘң０１＋ｓｉｎｘ－ｘｘ()ｘｓｉｎｘ－ｘ[]ｓｉｎｘ－ｘｘ３＝ｅｘｐｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｘｘ３{}＝ｅ－１６．若这里采用等价无穷小来化简计算，则得如下的错误结论：ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ２＝ｌｉｍｘң０ｘｘ()１ｘ２＝１．下面分析上面的错误解法到底错在哪里．定理３㊀α αᶄ β，ｘң０，ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝ɕ，ｌｉｍｘң０ααᶄ()ｆ（ｘ）＝１且ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）存在，则ｌｉｍｘң０αβ()ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）．证明㊀注意到αβ()ｆ（ｘ）＝ααᶄˑαᶄβ()ｆ（ｘ）＝ααᶄ()ｆ（ｘ）ˑαᶄβ()ｆ（ｘ），从而ｌｉｍｘң０αβ()ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң０ααᶄ()ｆ（ｘ）ˑｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）．定理证毕．根据定理３，得ｌｉｍｘң０αβ()ｆ（ｘ）不能代换为ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）的原因是ｌｉｍｘң０ααᶄ()ｆ（ｘ）＝１未必成立．易验证例５不满足定理３的条件，见例５的正解过程．请读者验证ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ可以作等价无穷小代换ｓｉｎｘｘ，ｘң０．类似于定理３，可得００型也可用等价无穷小代换．推论１㊀设α αᶄ，ｘң０，ｌｉｍｘң０β＝０且ｌｉｍｘң０βｌｎαᶄ存在，则ｌｉｍｘң０αβ＝ｌｉｍｘң０αᶄβ．证明㊀注意到αβ＝ｅｘｐβｌｎα{}＝ｅｘｐβｌｎααᶄ＋ｌｎαᶄ[]{}，从而ｌｉｍｘң０αβ＝ｅｘｐｌｉｍｘң０βｌｎα{}＝ｅｘｐｌｉｍｘң０βｌｎααᶄ＋ｌｎαᶄ[]{}＝ｅｘｐｌｉｍｘң０βｌｎαᶄ{}＝ｌｉｍｘң０αᶄβ．定理证毕．例６㊀求ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓｘ()ｘ．解㊀ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓｘ()ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ２２()ｘ＝ｌｉｍｘң０１２()ｘｌｉｍｘң０ｘ２()ｘ＝ｅｘｐｌｉｍｘң０２ｘｌｎｘ{}＝０．三㊁遇零不可用等价无穷小代换在定理１中，当ｘң０时，ｌｉｍｘң０α＝０，切记，当ｘʂ０时，则αʂ０．例７㊀指出ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ２ｓｉｎ１ｘｘ＝ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎ１ｘ＝０的错误，并给出正确解法．解㊀令ｘｎ＝１ｎπ，则ｘ２ｎｓｉｎ１ｘｎ＝０，ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ() ｘ２ｓｉｎ１ｘ，ｘң０错误，正解如下．显然，ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()＝ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘɤｘ２ｓｉｎ１ｘɤｘ２，故对∀ε＞０，取δ＝ε，当０＜｜ｘ｜＜δ时，有ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()ｘ＝ｘ２ｘɤ｜ｘ｜＜δ＝ε，从而ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()ｘ＝０．上述几种利用等价无穷小代换求极限的方法，学生容易出错的原因是没有理解等价无穷小以及等价无穷小代换在乘除中的应用，个别题目在满足一定的条件下，加减和复合运算中也可以使用等价无穷小代换，但是条件验证较为复杂，这里不推荐使用．ʌ参考文献ɔ［１］许峰，范自强．高等数学：上［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１６．［２］赵琼．用等价无穷小代换求极限的两个误区［Ｊ］．高等数学研究，２００９，１２（５）：１７－１８．［３］国防科学技术大学大学数学竞赛指导组．大学数学竞赛指导［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００９．. All Rights Reserved.。

考研数学满分经验谈：等价无穷小在求极限中的应用

考研数学满分经验谈：等价无穷小在求极限中的应用考研数学中求极限的题目是每年必考的，而利用等价无穷小求极限是最重要的方法，熟练使用等价无穷小替换对于快速正确求解极限题目必不可少。

使用等价无穷小首先必须注意所求极限是否为不定型，然后再确定求极限的函数分子分母是否在同一趋势下均为无穷小，是否可化为分子分母均为无穷小的形式。

例如求当x趋于无穷时函数sin x/x的极限。

sin x当x趋于0时为无穷小，但当x趋于无穷时极限不存在，前者是通常会遇到的情况，而后者较少出现(当然，近来出现频率渐有增加)。

对此题目，若不细心，根据习惯使用当x趋于0时sin x的等价无穷小x进行替换求极限便大错特错了!此题目中的函数极限并非不定型，而须根据无穷小量的性质求极限，即无穷小量与有界变量之积为无穷小量。

其次，在计算极限时，若表达式中分子或分母是几项相乘或相除，其中某项极限存在且不为零，可以先将其计算出来。

但加减法不适用。

这是便于计算极限时随时简化函数形式，免得在一遍遍誊写过程中出错。

再者，计算不定型极限时，若函数表达式中分子或分母是几项相乘的形式，可以使用等价无穷小替换。

这就需要考生记住一些常用等价无穷小的形式。

一般情况下，加减法不能使用等价替换，但若达到精确度时，也可以使用等价无穷小替换(这一点在2013无师自通《考研数学复习大全》中有更清晰地描述)。

例如limx→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2，因为分母是二阶无穷小，所以可以用ln(1+x2)～x2，1-cosx～x2/2，从而limx→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2= limx→0[x2+ x2/2]/x2=3/2。

又如limx→0[x-sinx]/x3，因为分母为三阶无穷小，若用sinx～x，则会导致错误的结果，事实上limx→0[x-sinx]/x3= limx→0[1-cosx]/3x2=1/6。

等价无穷小替换在求函数极限中有重要作用，在使用任何方法的过程中都可使用等价无穷小替换将形式繁琐的函数简化，再进一步计算。

用等价无穷小代换求极限的误区及一点补充

Ｋｅｏｄ：ｑｉｌｎｅｉｎｔｉａ；ｅ１ｃｍｅｔｆｄｌｔｙｗｒｓｅｖｅｃｉｓｌｒｐａｅｎ；ｎｍｉｕａｉｆｎｅｍｉｉｓ
等价无穷小代换方法是求极限中最常用的方法之一，恰当地选择要代换的无穷小，可以简化计算，因而也倍受青睐，但学生在应用时往往会出现一些常见的错误，下面
ｃｎｂｅｌｃｄｂｑｕｖｌｎｎｎｉｓｍａ；ａｈａｅｔｍｅ，ｓｍｅａｐｌａｉｎｅａｌｓａｅｇｖｎ．ａｒｐａｅｙｅｉａｅｃｅｉｅｉｆｔｉｌｔｔｅｓｍｉｅｏｐｉｔｏｘｍｐｅｒｉｅｃ
Ｈｕｉ口２０３Ｃｉ）ａ ’ ２３０ｈｎａ
Ａｂｔａｔｑｉａｅｃｎｉｉｓｍａｅｌｃｍｅｔｉｏｅｏｅｍｏｔｃｍｍｏｔｏｓｕｅｏｆｄｌｔ．Ｔｅｃｌｕａｉｎｆｒｆｄｎｓｒｃ：Ｅｕｖｎｅｉｆｎｔｉｌｒｐａｅｎｓｎｆｔｓｏｌｅｈｎｍｅｈｄｓｄｔｎｉｓｈａｃｌｔｏｎｉｇｉｍｉｏｉｌｔｃｎｂｉｌｅｔｑｉａｅｃｆｎｔｓｌｒｐａｅｎｈｏｅｉｓａｅｓｍｐｉｄｗｉｅｕｖｌｎｅｉｉｉｉｅｌｃｍｅｔｅｒｍ．Ｔｉｐｐｒａａｙｅｈｏｍｉｉｆｈｎｅｍａｔｈｓａｅｎｓｓｔｅｃｍｍｏｓａｅｎｆｄｎｍｉｌｎｍｉｋｓｉｎｉｇｌｔｔｉｉｓ

等价无穷小量代换的两个误区

等价无穷小量代换的两个误区
庞帮艳;于晓要
【期刊名称】《山东轻工业学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(000)002
【摘要】通过实例分析等价无穷小量代换应用的便捷性，针对等价代换存在的两个误区，分别从无穷小量阶的定义和泰勒公式出发，分析导致错误的原因，通过实例证明了其应用的可行性，拓广等价无穷小量代换方法使用的范围。

【总页数】2页(P92-93)
【作者】庞帮艳;于晓要
【作者单位】商丘工学院，河南商丘476000;商丘工学院，河南商丘476000【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.对《用等价无穷小代换求极限的两个误区》一文的修正和补充 [J], 杨丽娜;
2.等价无穷小量代换的两个误区 [J], 庞帮艳;于晓要;
3.用等价无穷小代换求极限的两个误区 [J], 赵琼
4.等价无穷小量代换求函数极限的深度拓展 [J], 裴海杰;杜宛娟
5.等价无穷小量代换及泰勒公式在极限运算中的应用 [J], 李珊;栗巧玲;余旭洪;;;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。