用等价无穷小大患求极限的误区及一点补充

用等价无穷小大患求极限的误区及一点补充

摘要：等价无穷小代换方法是求极限中最常用的方法之一，利用等价无穷小代换求极限可以简化计算。分析了学生用等价无穷小代换求极限的常见错误；探讨了极限式中的和差项用等价无穷小代换的条件，并给出了相应的实例。 关键词：等价无穷小；代换；极限

等价无穷小代换方法是求极限中最常用的方法之一，恰当地选择要代换的无穷小，可以简化计算，因而也倍受青睐，但学生在应用时玩玩会出现一些常见的错误，下面就错误的根源做了相应的理论分析，并对等价无穷小代换定理做了一些补充，解决了困扰学生的问题，对学生掌握等价无穷小代换方法有着重要意义。

为了叙述方便，在以下讨论中，极限过程都指同一个变量的变化过程。若'

lim αα

=1，则称α与'α是该过程中的等价无穷小，记作α~]

2['~αα。关于等价无穷小代换，最常用的定理

是：

定理1 设α~'α，'~ββ，且''lim βα存在，则βαlim 存在，且βαlim = ]

1['

'

lim

βα。

推论1 设α~'α，'~ββ，且()''lim

βχαf 存在，则()'lim βχαf 存在，且()'

lim βχαf = ()]

2['

'lim

βχαf 。

推论 2 设α~

'α，且()χαf 'lim 存在，则()χαf lim 存在，且

()χαf lim =()

]

2['lim χαf 。

有上述定理及其推论可知，等价无穷小的代换，是分子或分母的整体代换，或分子、分母的分因式代换，是对极限式中的积商因子的代换，这是很多教材中都会提到的。学生在利用等价无穷小代换计算极限时往往容易出错，究其原因，是弄不清楚代换的原理及对象，另外就是对无穷小的等价概念不清楚。见下例。

例1：

χ

χ

χχ

3

tan sin lim -→

错解：当0→χ时，χχ~sin ，χχ~tan ，故有以下几种错误的结果;

(1)

χ

χ

χχ

3

tan sin lim -→=

χ

χ

χχ

3

lim -→ =0；

(2)

χ

χ

χχ

3

0tan sin lim -→=

χ

χ

χχ

3

0tan lim -→=31

-

； （3）

χ

χ

χχ

3

tan sin lim -→=

χ

χ

χχ

3

sin lim -→=6

1-

。 分析：以上错误在于对极限式中的无穷小进行了无条件的代换，若要依据定理1及其

推论来解，必须是对分子或分母进行整体代换，或者通过恒等变形后对其中的积商因子进行代换

]

3[。如下：

正解：当0→χ时，χχ~tan ，χχ2

2

1~

cos 1-， χ

χ

χχ

3

tan sin lim -→=

()

χ

χχχ

3

1cos tan lim -→=

χ

χχχ

3

20

21lim ⎪⎭

⎫

⎝⎛-

→=2

1

-

。 例2：

χχ

χχ3sin sin 2tan 3lim 0

-→ 解：χχ

χχ3sin sin 2tan 3lim 0-→=χχχχ3cos 3cos 3sec 3lim 2

-→=31

分析：此法是利用洛必达法则求解0

型不定式；有学生用等价无穷小代换来解，得：当0→χ时，χχ~sin ，χχ~

tan ，

故

χχχχ3sin sin 2tan 3lim 0-→=χχχχ323lim 0

-→=31

， 于是错误的得出结论：极限式中的和差项也可无条件的用等价无穷小换来求解极限。

关于和差项能否用等价无穷小代换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况下不能随意使用。这就会使学生产生困惑，例2中的和差项为什么进行等价无穷小的代换后结果正确，不知道问题出在哪里。为解决学生的困惑，下面就和差项的等价无穷小代换做一些补充。

定理2 设α~'α，'~ββ，且C =β

α

lim ， 若1-≠C ，则''~βαβα++； 若1≠C ，则''~βαβα--。 证明：若1-≠C ，

'

'lim βαβα++=βββαβα

''1

lim ++=βββββαβα'''1lim +•+

因为'~ββ，所以1'lim

=β

β，又定理1，C ==βα

βαlim ''lim ， 所以

''lim

βαβα++=1

1

++C C =1，即''~βαβα++； 同理，若1-≠C ，

''lim βαβα--=βββαβα

''1

lim --=βββββαβα'''1lim -⋅-=11--C C =1，

即''~βαβα--。

推论 设α~'α，'~ββ，'~γγ，'~μμ，且1lim

≠βαb a ，1lim ≠μ

γ

d c ，d c b a ，，，为常数，则当''''lim

μγβαd c b a ±±存在时，有μγβαd c b a ±±lim =]

2['

''

'lim μγβαd c b a ±±。

证明：

μγβαd c b a ±±lim =μβμγβαd b d c b a ⋅±±11

lim ；

'

'''lim μγβαd c b a ±±=''1'

'1

''

lim μβμγβαd b d c b a ⋅±±

由定理1及其推论得

1''

lim lim

≠=βαβαb a b a ， 1'

'lim lim

≠=μγμγd c d c ，