2021届江南十校一模联考江南十校文科数学试卷
安徽省江南十校2022届高三3月一模联考文科数学试题及答案
2022届“江南十校”一模联考文科数学参考答案、解析及评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案C A D A C B B D A A D C ⒈【答案】C．【解析】集合{}{}1,3,5,1, 3 B A B ==I ，故选C．⒉【答案】A．【解析】易知原命题为真，逆命题为假，故选A.⒊【答案】D.【解析】由题知i z +=2，i z -=2则i i i i z z 54535)2(222-=-=+-=，故选D.⒋【答案】A．【解析】由()23cos 3cos b c A a C -=得()2cos 3cos cos 3b A a C c A b =+=，得3cos 2A =，得6A π=，故选A.⒌【答案】C．【解析】由2sin tan x x >且0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1cos 2x >，解得03x π<<，得2332p ππ==，故选C.⒍【答案】B.【解析】函数xx f 2)(=为偶函数，且在),0(+∞单调递增，,213cos ,15log 3log 42=>>π c b f f a >>==∴)3(log )3(log 25.0，故选B.⒎【答案】B.【解析】第一次执行得2,5S S =<，进入循环体得12,2a b ==，2i =；第二次执行得 4.5,5S S =<，进入循环体得14,4a b ==，3i =，第三次执行得8.75,5S S =≥，满足条件，输出3i =.故选B.⒏【答案】D.【解析】2318cos 2cos3cos 36y x y x y x ππ⎛⎫=−−−−−−−−→=−−−−−−−→=+ ⎪⎝⎭横坐标缩短到原来的倍向左平移个单位长度，故选D.⒐【答案】A.【解析】由21F PF ∆的面积为7可得37=P y ，所以352=P x ，则3OP =，故选A.⒑【答案】A．【解析】如图所示，分别取,AB CD 的中点为,E F ，连接EF ，EF 与»CD 交于H .记N 到侧面PAB 的距离为d ，由于PN 的长为定值，因此当且仅当d 最小时，PN 与侧面PAB 所成的角最小，即点N 在H 时，=HPE θ∠.由面PCD ⊥面ABCD 易知,3PF EF PF ⊥=，又3,1EF HF ==，则2PH EH ==所以HPE PEF θ=∠=∠，所以3tan 3θ=，即1sin 2θ=.故选A.⒒【答案】D.【解析】当0=a 时，()⎩⎨⎧-≤---≥+=+=1,11,11x x x x x x f ，图象为A；当1=a 时，()⎩⎨⎧-≤--≥+=++=1,11,121x x x x x x f ，图象为C；当1-=a 时，()⎩⎨⎧-≤---≥=-+=1,121,11x x x x x x f ，图象为B.综上，故选D.⒓【答案】C.【解析】由题设可知，要使3)(≥x f 成立，则,3)1(≥f 即.,3ln 21e a a e a ≥∴≥+⋅-下证：当e a ≥时，3)(≥xf 恒成立，a e ≥Q ，2ln )(1+-≥∴-x e x f x ，易知1ln ,1-≤≥-x x x e x （当1=x 时，两式等号成立）则32)1()(=+--≥x x x f ，得证.所以),[+∞∈e a .故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．⒔【答案】.【解析】因为-=+a b a b ，则⊥a b ，故0=⋅b a ，即()02122=+-=⨯+-⨯=⋅t t t b a ，得2±=t .⒕【答案】2.【解析】画图如下：由22y x z +=可构造()()0,0,,O y x P ，则2z PO =，动点P 在阴影区域，由图可知其最小值为点O 到直线02=-+y x 的距离的平方，211200222min =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=z .⒖【答案】0x y +=.【解析】设切线的切点为()000,ln 1x x x --，则切线的斜率为01ln k x =--，又切线过原点，所以000ln 1x x k x --=，所以0000ln 11ln x x x x --=--，解得01,1x k ==-，所以切线方程为x y -=，即0x y +=.⒗.【解析】设该半多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，内侧即为二十四等边体，其体积111202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=；由二十四等边体的对称性可知，其外接球的球心即为正方体中心，半径为中心到一个顶点的距离，则R故3243V =21V V =三．解答题:共70分.⒘【解析】⑴由13a =，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上，知1111n S S n n -=-，即()222n S n n n =+≥.当1n =时，113S a ==也符合上式，故22n S n n =+………………2分当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦；………………………………4分13a =也满足上式，故21n a n =+；…………………………………………………5分⑵111222n nn n a c n +⎛⎫⎛⎫==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则1211111111112122222222n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++⋅++-+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L①，两边乘以12得231111111111121222222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++⋅++-+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ②，①-②得123111111111122222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++++-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，……………………10分故()11212152252121212112112121212121211+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n n n n T .……12分【注】其他解法按每小题的分数相应赋分.⒙【解析】⑴图2中的,,,A C F E 四点共面，证明如下：…………………………………………………1分Q ////AE BD BG CF ，，又因为D G ，重合，∴//AE CF ，故,,,A C F E 四点共面；………………………………………………4分⑵因为,⊥⊥AB BD AB BC 且=BD BC B I ，⊥AB 平面BCFD ，又//AB ED ，则⊥ED 平面BCFD .因为M 是线段FC 上一点，则,,E D M 三点共面，又DE EDM ⊂面，所以EDM BCFD ⊥面面.…………………………8分又⊥ED 平面BCFD ，ED FC ∴⊥，当DM FC ⊥时，由于ED DM D =I ，故FC ⊥平面EDM ，则FC EM ⊥.在菱形BDFC 中，1204BCF DF ∠=︒=，，则sin 60DM DF =⋅︒=，又2ED AB ==，则4EM =.故三棱柱ABC EDF -的侧面积为()42424⨯+=+.………………………………………………12分⒚【解析】（1）整理数据如图：x （旋转角度：度）1836547290y （燃气用量：3dm ）130122139149172……………………………………………………2分（2）()()()51521199854,142.4,0.6167,142.40.616754109.0982109.0983240i i i i i x x y yx y b a xx ==--====≈=-⨯=≈-∑∑$$，…………6分故回归直线方程为0.617109.098y x =+$；……………………………………………………………7分（注：阅卷时，=109.098a $或=109.100a $均给本小问的满分）（3）21.47238.72 1.90310x --=-≈︒⨯⨯，即旋转角约为38.7︒时，烧开一壶水燃气用量最少（3min 121.9()y dm ≈$）.…9分回归直线与二次函数拟合两者关系时，相关指数分别为2212,R R ，则21269.110.820.81501.2R =-≈≈，22196.510.870.91501.2R =-≈≈.因为2212R R <，所以二次函数拟合效果更好.………………………………………………12分【注】用相关指数分析，也可通过残差大小比较得出相关指数大小关系，同样赋分.⒛【解析】（1）由=PF FA uuu r uur ，知焦点()1,0F 是PA 的中点，.........................................2分又抛物线2:4C y x =关于x 轴对称，所以PA x ⊥轴，则点P 的坐标为()1,2或()1,2-；................................................................5分（2）设点()()0011,,,P x y A x y ，由=PF FA λuuu r uur 得01y y λ=-①，设直线:1l x my =+与抛物线2:4C y x =联立得2440y my --=，所以()201=1610,4m y y ∆+>=-②，由①②可得204y λ=，........................................................................................8分设点()22,B x y ，由=PE EB μuuu ruur 得02y y μ=-③，直线:PB x ny a =+与抛物线2:4C y x =联立得2440y ny a --=所以()202=160,4n a y y a ∆+>=-④，由③④可得204y a μ=，................................................................................................10分又=4λμ，所以2200444y y a=⋅，考虑到点P 异于原点，所以00y ≠，解得4a =，此时()()22=16=1640n a n ∆++>.所以a 的值为4..........................................12分21.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()211ax x f x x -+'=，..............................................2分①当0≤a 时，()0f x '<，则()f x 在()0,+∞单调递减；..................................................4分②当0>a 时，由()00f x x '⎧<⎨>⎩，得10x a <<，故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；....................6分（2）由（1）可知：当0≤a 时，()f x 在()0,+∞单调递减，取点11,12n m a ==<-，显然()10f n a =-<，又()()()()()1ln 1ln 1ln 20f m am a m a a a m a a a =+--≥+--=-->，所以()f x 在()0,+∞内有唯一零点，且落在区间()n m ,内；..........................................................9分当0>a 时，取1411a x e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>>，则()2244ln 2ln ln 244242044a a f x ax x x x a a a ⎛⎫⎛⎫>-->-->⋅+-+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【由1ln -≤x x 得1,ln ><x x x ，得1,ln ><x x x ，化简得21ln ,14x x x >>】取()4101a x e -+<<<，则()()()22111ln 2ln ln 24444242044f x a x x a x a a a a x >+->+->--+---=+>.【由1ln -≤x x 得1,ln ><x x x ，得1x<<<，化简得211ln ,014x x x ><<】又由（1）可知()x f 在()+∞,0上先减后增，要保证()x f 只有一个零点，只需满足01=⎪⎭⎫ ⎝⎛a f 即可，代入化简得()()01ln 1=--a a ，解得1=a 或e a =，综上，a 的取值范围为0≤a 或1=a 或e a =.....................................................12分【注】当0≤a 时，不取点扣1分；当0>a 时，不取点不扣分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）由θθρcos sin +=，可知0>ρ.….…..….….….….….……1分所以θρθρρcos sin 2+=，又θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x ，则曲线C 的直角坐标方程为y x y x +=+22（y x ,不同时为0）.…………………………4分（2）当0,0>>y x 时，得曲线C 的第一象限内的直角坐标方程：y x y x +=+22，配方得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………………………………………5分则曲线C 在第一象限内的图形由一个直角边为1的等腰直角三角形和一个半径为22的半圆组成.…7分易知，曲线C 在第一象限内围成的图形面积为421π+，结合对称性可知曲线C 围成图形的面积为π+2.…………………………………………………10分23.[选修4-5:不等式选讲]（10分）【解析】（1）若2=a ，则41222≥-++x x .当1-<x 时，不等式化为414≥--x ，可得45-≤x ；当211<≤-x 时，不等式化为43≥，不成立；当21≥x 时，不等式化为414≥+x ，可得43≥x .……………………………………………………3分综上可得不等式的解集为45{-≤x x 或}43≥x ；……………………………………………………5分（2）因为存在0,x ∈R 使得)(4)(00a x g x f +-<成立，即使得1224200-+-<+a x a x 成立，4)1222(min 00<-+++∴a x a x ，…………………………………………………………………7分由绝对值不等式可知：122212220000+--+≥-+++a x a x a x a x 1+-=a ,……………9分即41<-a 可得a 的取值范围为}53{<<-a a .……………………………………………………10分。
安徽省江南十校届高三第一次联考(数学文)(江南十校一模).pdf
教学目标 了解切线长的概念． 理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用． 重点难点 1．重点：切线长定理及其运用． 2．难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题． 教学过程 一、复习引入 1．问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？ 2．问题2、经过圆外一点P，如何准确地作已知⊙O的切线？ 二、探索新知 从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线， 并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题． 问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA， 连结PO， 沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题． 老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，PB为OB 的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质， 我们很容易得到PA=PB，∠APO=∠BPO． 我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长， 叫做这点到圆的切线长． 注意切线与切线长的区别（幻灯片4） 从上面的操作几何我们可以得到： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 下面，我们给予逻辑证明． 例1．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线． 求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线． ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB 因此，我们得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（幻灯片5、幻灯片6） 小结：切线常用的6条性质：1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
安徽省江南十校2024届高三3月联考数学试卷含答案
2024届安徽省“江南十校”联考数学（答案在最后）姓名__________座位号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}221,10x A x B x x =≥=->∣∣，则A B ⋃=（）A.{}11x x -<< B.{}01x x ≤< C.{}1x x >- D.{}0x x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{}{}{}2210,1011xA x x xB x x x x =≥=≥=->=-<<，所以A B ⋃={}1x x >-，故选：C2.已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z =（）A.2i + B.2i- C.2i 5-+ D.2i 5--【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.【详解】()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-,所以2i z =+.故选：A.3.已知向量,a b 满足()()1,,3,1a b m a b +=-= .若//a b ，则实数m =（）A.13-B.13C.3D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出,a b的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算即得.【详解】由()()1,,3,1a b m a b +=-= ，得11(2,),(1,)22m m a b +-==- ，由//a b，得112022m m -+⋅+=，所以13m =.故选：B4.已知函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+<的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数，则ϕ为（）A.π6B.π6-C.π3D.π3-【答案】B 【解析】【分析】利用给定的图象变换求出()g x 的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得.【详解】依题意，()ππ3sin 263g x f x x ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()g x 是偶函数，得πππ,Z 32k k ϕ-+=+∈，而π||2ϕ<，则π1,6k ϕ=-=-.故选：B5.酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100ml 血液中酒精含量达到2079mg 为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2m g /m l .假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（）（精确到0.001.参考数据：lg20.3010,lg30.4771≈≈）A.7.963小时B.8.005小时C.8.022小时D.8.105小时【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出指数不等式，根据对数运算法则即可计算.【详解】由已知得：1.20.80.2x ⨯<，所以lg 6lg 2lg 313lg 213lg 2x +>=--，即0.30100.47710.77818.022130.30100.0970x +>=≈-⨯，所以8.022x >故选：C.6.已知函数()1ln f x x x=-在点()1,1-处的切线与曲线()212y ax a x =+--只有一个公共点，则实数a 的取值范围为（）A.{}1,9 B.{}0,1,9 C.{}1,9-- D.{}0,1,9--【答案】B 【解析】【分析】求出切线方程，再对a 分0a =和0a ≠讨论即可.【详解】由211()f x x x'=+得(1)2f '=，所以切线方程是2(1)123y x x =--=-，①若0a =，则曲线为2y x =--，显然切线与该曲线只有一个公共点，②若0a ≠，则223(1)2x ax a x -=+--，即2(3)10ax a x +-+=，由2(3)40a a ∆=--=，即21090a a -+=，得1a =或9a =，综上:0a =或1a =或9a =.故选：B.7.已知圆22:8120C x y x +-+=，点M .过原点的直线与圆C 相交于两个不同的点,A B ，则||MA MB +的取值范围为（）A.2)-+B.2]+ C.4)-+ D.4]+【答案】D 【解析】【分析】取线段AB 的中点P ，求出点P 的轨迹方程，再利用平面向量数量积的运算律及圆的性质求解即得.【详解】圆22:(4)4C x y -+=的圆心(4,0)C ，半径为2，取线段AB 的中点P ，连接CP ，当P 与圆C 的圆心C 不重合时，CP OP ⊥，点P 在以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧上，当P 与C 重合时，也在此圆弧上，因此点P 的轨迹是以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧，圆弧所在圆心为()2,0，方程为22(2)4(34)x y x -+=<≤，显然|||2|M MA MB P += ，过点M 与点(2,0)的直线斜率12k =-，过点M与点3(,的直线斜率23k =-，显然21k k <，即过点M 与点(2,0)的直线与该圆弧相交，因此max ||22MP == ，点M与点的距离为3，则||3MP > ，所以||MA MB +的取值范围为4]+.故选：D8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111,1,1n n n n a S n a b a +=+==+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为（）A.1B.32 C.76D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}1n a +的通项，再利用等比数列前n 项和公式求出n T 即可得解.【详解】数列{}n a 中，11a =，1n n a S n +=+，当2n ≥时，11n n a S n -=+-，两式相减得11n n n a a a +-=+，即121n n a a +=+，整理得112(1)n n a a ++=+，而211112a S a =+=+=，因此数列{}(2)1n a n +≥是首项为3，公比为2的等比数列，2132n n a -+=⨯，11a =不满足上式，则111112b a ==+，当2n ≥时，21132n n b -=⨯，1211111211721232332612n n n T ---=+⨯=+-⨯<-，而111726T b ==<，依题意，76M ≥，所以实数M 的最小值为76.故选：C【点睛】思路点睛：给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n S S a +-=转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名.在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上､下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数（AQI ）箱线图.AQI 值越小，空气质量越好；AQI 值超过200，说明污染严重.则（）A.该地区2023年5月有严重污染天气B.该地区2023年6月的AQI 值比5月的AQI 值集中C.该地区2023年5月的AQI 值比6月的AQI 值集中D.从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定信息，结合图示，逐项判断即得.【详解】对于A ，图2所示中5月份有AQI 值超过200的异常值，A 正确；对于B ，C ，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI 值比6月的AQI 值集中，B 错误，C 正确；对于D ，虽然5月有严重污染天气，但从图2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，AQI 值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月，D 正确.故选：ACD10.已知抛物线2:2E y px =的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上的点P （原点除外）反射，则反射光线平行于x 轴.经过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线E 于,B C 两点，经过点P 且垂直于x 轴的直线交x 轴于点Q ；抛物线E 在点P 处的切线l 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.2||PQ BF QF=⋅ B.2||PQ BC OQ=⋅C.PF MF = D.FN l⊥【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，得到各线段的长度，从而判断AB ，利用抛物线光学性质，结合抛物线的定义判断CD.【详解】对于AB ，设点(,)P x y ，则(,0)Q x ，y =，则||PQ =,2pBF p QF x ==-，所以2||22pPQ px px BF QF =≠-=⋅，故A 错误；又||2,||BC p OQ x ==，则2||2PQ px BC OQ ==⋅，故B 正确；对于C ，如下图所示，过点P 作x 轴的平行线RH ，与抛物线E 的准线KH 交于点H ，又题意所给抛物线的光学性质可得SPR MPF ∠=∠，又SPR PMF ∠=∠，所以MPF PMF ∠=∠，从而||||PF MF =，故C 正确；对于D ，因为SPR HPM ∠=∠，所以MPF HPM ∠=∠，即PM 为HPF ∠的角平分线，又由抛物线定义知PH PF =，结合||||PF MF =，可得四边形MFPH 为菱形，而y 轴经过线段FH 中点，从而PM 与y 轴的交点即为点N ，所以FN l ⊥，故D 正确.故选：BCD.11.已知点,,,S A B C均在半径为的球面上，ABC是边长为的等边三角形，SA BC ⊥，SA =，则三棱锥S ABC -的体积可以为（）A.3B.C.D.【答案】BC 【解析】【分析】利用线线垂直构造面面垂直结合三棱锥的外接球特征分类讨论计算即可.【详解】取,BC SA 的中点,D F ，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O，半径R =作⊥EO AD 于E ，连接,,AO AD OF ，易知,,AD BC AS AD A AS AD ⊥⋂=⊂、平面ADS ，因为SA BC ⊥，所以BC ⊥平面ADS ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC⊥平面ADS ，作⊥SG AD 于G 点，平面ABC ⋂平面ADS AD =，则SG ⊥平面ABC ，故三棱锥S ABC -的体积为211334ABC V S SG AB SG =⋅=⨯⨯⨯= ，由题意可知22,1,32AE AD OA OE OF ===⇒===，即11tan ,tan 23OAE OAF ∠=∠=，若S 在直线AO 的下方，则()111323tan tan 1175123SAD EAO FAO SG -∠=∠-∠====+⨯，若S 在直线AO 的上方，则()1123tan tan 1311123SAD EAO FAO SG +∠=∠+∠====-⨯，综上所述V =或335.故选：BC【点睛】思路点睛：先根据条件得出球心与S 点所在平面垂直于底面ABC ，再根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角,OAE OAF ∠∠，最后分类讨论S 点的位置计算三棱锥的高即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从0,2,4,6中任意选1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为__________.【答案】411【解析】【分析】根据两个计数原理及古典概型计算即可.【详解】根据题意可知：若从0,2,4,6中任意选1个不为0的数字有13C 3=种选法，从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有3！种组法，共333!54⨯⨯=种方法，其中偶数有1233C A 18⨯=个；若从0,2,4,6中选0，再从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有12C 2!4⨯=种组法，共13412⨯⨯=种方法，其中偶数有23A 6=个；所以该数为偶数的概率为1864541211P +==+.故答案为：41113.若函数()2f x +为偶函数，()15y g x =+-是奇函数，且()()22f x g x -+=，则()2023f =__________.【答案】3-【解析】【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.【详解】由题意可知()f x 关于2x =轴对称，()g x 关于()1,5中心对称，()()()()()()2221022228f x g x f x g x f x g x -+=⇒-+--=⇒---=-，所以()()8f x g x -=-，故()()()()262f x f x f x f x +-=-=++，所以()()()()2464f x f x f x f x +++=-⇒=+，即4T =是()f x 的一个正周期，则()()()202331f f f ==由()()()()26136f x f x f f -+=-⇒-+=-，且()()13f f -=，则()13f =-，故答案为：3-14.过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点F 的直线分别在第一､第二象限交E 的两条渐近线于,M N 两点，且OM MN ⊥.若23OM MN ON a +-=，则双曲线E 的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可.【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图所示：令MOF θ∠=，于是有tan b aθ=，由双曲线和两条渐近线的对称性可得：π2MON θ∠=-，因为OM MN ⊥，所以ππππ00π22242MON θθ<∠<⇒<-<⇒<<，即tan 1bb a aθ=>⇒>，在直角三角形MOF 中，设()tan 0,MF bm m MF bm OM am OMaθ===>⇒==，根据勾股定理可得：222222222221MF OM OF b m a m c c m c m +=⇒+=⇒=⇒=，或1m =-舍去，即,MF b OM a ==，在直角三角形MON 中，()222222tan tan π2tan 21bNM NM aba MONb b a OM a a θθ∠=-=-=-===--2222a bNM b a⇒=-，由勾股定理可知：22222222222a b ac ON NM OM a b a b a ⎛⎫=+=+= ⎪--⎝⎭，因为23OM MN ON a +-=，所以()2222222222222226306303a b ac a a b a ab c b a ab a b b a b a +-=⇒-+-=⇒-+-+=--2223230202b bb b a ab a a a ⎛⎫⇒+-=⇒-+=⇒= ⎪⎝⎭，或1b a =舍去，由222222224455b b c a c e a a a a-=⇒=⇒=⇒=⇒=，故答案为：5【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角的正切公式、由已知等式化简成为,a b 的齐次方程，进而求出双曲线的离心率.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 3sin cos c A a C b c +=+.（1）求A ；（2）若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点,B C 顺时针旋转15 ，30 ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC ∠= ，求AD .【答案】（1）π3A =（2）63【解析】【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合余弦定理、两角和的正弦公式进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理，由3sin cos 3sin sin cos sin sin c A a C b c C A A C B C+=+⇒+=+()3sin sin cos sin πsin C A A C A C C ⇒+=--+()3sin sin cos sin sin C A A C A C C⇒+=++3sin sin cos sin cos cos sin sin C A A C A C A C C ⇒+=++3sin cos sin sin C A A C C ⇒=+，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，π3sin cos sin sin 3sin cos 12sin 16C A A C C A A A ⎛⎫=+⇒=+⇒-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭，因为因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因此πππ663A A -=⇒=.【小问2详解】由（1）可知π3A =，由题意可知ππ,126ABD ACD ∠=∠=，而π6DBC ∠=，所以πππ5π5ππ7ππ,4341212612ABC ACB BCD ∠=⇒∠=--=⇒∠=+=π7πππ6124BDC ⇒∠=--=，在ABC中，由正弦定理可知：1232632,π5πππ22223sin sin sin 3126422BC AB AC AB ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭在DBC △中，由正弦定理可知：11π7πππ222222sin sin sin 4123422BC BD AC BD ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，在DBA中，由余弦定理可知：AD =.3=16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，1,2,60PB AB AD PD BAD ∠=====.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若二面角P BD A --的大小为120 ，点E 在棱PD 上，且2PE ED =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出BD =，再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间之间坐标系，求出相关法向量，根据线面角的空间向量求法即可.【小问1详解】证明:由余弦定理得BD =所以222222,AD AB BD PD PB BD =+=+，因此,AB BD PB BD ⊥⊥，又因为,,AB PB B AB PB ⋂=⊂平面PAB ，所以BD ⊥面PAB ，又因为BD ⊂平面ABCD ，故平面PAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】由于,AB BD PB BD ⊥⊥，所以二面角P BD A --的平面角为PBA ∠，即120PBA ︒∠=，在平面PAB 内过点B 作AB 的垂线，交AP 于F ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，且BF ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，得BF ⊥平面ABCD ，以B 为坐标原点，,,BA BD BF为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则1(0,0,0),(,0,22B D C P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，由于1(,0,22BC BP ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即013022x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =，则1y z ==，所以n =设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，2533,,3636CE CP PE CP PD ⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，63sin cos ,5CE n CE n CE nθ⋅∴===⋅，因此直线CE 与平面PBC所成角的正弦值为5.17.某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm 即视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.（1）试估计100件产品中不合格品的件数（精确到1）；（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱产品均采取不放回地随机抽取方式进行检验，箱与箱之间的检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受该箱产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝该箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受该箱产品，否则拒绝该箱产品.若该箱产品通过检验后生产方获利1000元；该箱产品被拒绝，则亏损89元.求100箱该产品利润的期望值.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-+≈≤≤，()()220.9545,330.9973.P Z P Z μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈【答案】（1）约为5件；（2）89330元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的概率求出这批产品的合格率即可得估计值.（2）利用互斥事件的概率及条件概率公式求出一箱产品通过的概率，再利用二项分布的期望公式及期望的性质计算即得.【小问1详解】分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数μ和σ，得产品的尺寸误差2)~(0,2X N ，(||4)(22)0.9545P X P X μσμσ≤=-≤≤+≈，因此估计这批产品的合格率为95.45%，样本的不合格品率为10.95450.0455-=，所以估计100件产品中有1000.0455 4.555⨯=≈件不合格品.【小问2详解】设1A =“抽检的第1件产品不合格”，2A =“抽检的第2件产品不合格”，则一箱产品被拒绝的事件为112)(A A A ，因此1121121121))())((((()(|))P A A A P A P A A P A P A P A A =+=+ 59559710010099990=+⨯=，设100箱产品通过检验的箱数为Y ，则893~(100,990Y B ，因此100箱利润1000(89)(100)10898900W Y Y Y =+--=-，所以平均利润893()(10898900)1089()890010891008900990E W E Y E Y =-=-=⨯⨯89330=（元）.18.已知矩形ABCD 中，,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线,HF BC 上的动点,R S 满足(),OR OF CS CF λλλ==∈R.（1）求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程；（2）当3λ=-时，过点R 的直线m （与x 轴不重合）和点P 轨迹交于,M N 两点，过点N 作直线:3l x =-的垂线，垂足为点Q .设直线MQ 与x 轴交于点K ，求KMN △面积的最大值.【答案】（1）221(62x y +=不含点(0,；（2）34.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量共线用λ表示点,R S ，再求出直线,ER GS 的方程，联立消去参数λ即得.（2）设出直线m 的方程，与点P 的轨迹方程联立，借助韦达定理求出点K 坐标，再建立三角形面积的函数关系，并求出最大值即得.【小问1详解】依题意，(()0,,,,E G FC ，设点)(,),(,0),R S P x y R x S y ，由OR OF λ=，得R x =，即,0)R ，由CS CF λ=，得)S y λ=-，即))S λ-，当0λ≠时，直线:ER y x =，直线:GS y x =+，联立消去参数λ得21(3y y x +-=-，即221(0)62x y x +=≠，当0λ=时，得交点P ，满足上述方程，所以直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程:221(62x y +=不含点(0,.【小问2详解】当3λ=-时，点(2,0)R -，过点R 的直线m可设为2(x ty t =-≠，由22236x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得：22(2)36ty y -+=，即22(3)420t y ty +--=，设1112)(,,)(,M x y N x y ，则12122242,33t y y y y t t -+==++，依题意，2()3,Q y -，直线1221:(3)3y y MQ y y x x --=++，令0y =，得点K 横坐标()212111212333K y x y x y x y y y y -+--=-=--，又111212)2,2(x ty ty y y y =-=-+，则122112211122112121212155(23(2)32352222)Ky y y y y y y ty y ty y y y x y y y y y y y y ++--+----+-=====-----，因此直线MQ 过定点5(,0)2K -，显然1212||11||||24KMN S KR y y y y =-=- ，而12||y y-===，令21(1)n t n=+≥，12y y-==≤=当且仅当2n=，即1t=±取等号，此时4KMNS=，所以KMN△面积的最大值为4.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.19.已知函数()()()e,,xf x x a x a f x=--∈'R是()f x的导函数.（1）证明：()f x'在(),-∞+∞上存在唯一零点x；（2）设函数()()2211e12xg x x ax x x⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭.①当e4,2a∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，求函数()g x的单调区间；②当e4,2a∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，讨论函数()g x零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②只一个零点.【解析】【分析】（1）对函数求导，构造()()1e xh x x a-=-+-利用其单调性结合零点存在性定理计算即可证明；（2）①先求导函数，构造()()1e xh x x a-=-+-，利用其单调性及()10h-<，得出1x>-，从而判定单调区间；②利用（1）、①的结论，分类讨论函数的单调性，极大值与0的关系判定零点个数即可.【小问1详解】由题意可知()()1e 1xf x x a +'=--，由()01e 0xf x x a -+'=⇒--=，令()1e xh x x a -=-+-，易知()y h x =在R 上单调递增，又11(1)0e a h a --=-<，若0a ≥，由于11a a +>-且11(1)20ea h a ++=->；若a<0，由于1a a ->-且11()12120e e a ah a a a --⎛⎫-=--=-->⎪⎝⎭；所以在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ，使得()00h x =，即()f x '在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ；【小问2详解】①当e 4,2a ∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，易知()()()()221e 1x g x x a x a x =+-+--+'()()11e e x xx x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，由（1）知()1e xh x x a -=-+-单调递增，且只存在一个零点0x ，注意到()3e 41e 02h a --=--≤-<，所以01x >-，可得在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，即此时()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，即此时()g x 单调递减；②易知()00g =，即()g x 的一个零点为0x =，（i ）当e 4e,2a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，由上可知()1e 0h a -=--<，即01x >-，此时在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则=1x -时取得极大值()24e102ea g +--=<，又()()()22252e 59e e 50g a =-->-->，即此时()g x 的零点只一个为0x =；（ii ）当a e =-时，易知01x =-，此时()0g x '≥，则()g x 在R 上单调递增，所以此时()g x 的零点只一个为0x =；（iii ）当e a <-时，易知01x <-，此时在区间()0,x -∞和()1,-+∞上，()0g x '<，()g x 单调递增，在()0,1x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则0x x =时取得极大值()()()002222000000000111e 1e 1e 122xx g x x ax x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++<++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为01x <-，所以()()2200111111022x x ++>⨯-+-+>，若200e 10x x ++≤，则()02200001e 1e 102xx x x x ⎛⎫++-++<⎪⎝⎭，若200e 10x x ++>，则()02200001e 1e 12xx x x x ⎛⎫++-++⎪⎝⎭()22000011e 11e 2x x x x ⎛⎫<++⨯-++ ⎪⎝⎭()()0220000e 2111e 110222x x x x x --⎛⎫<++⨯-++=< ⎪⎝⎭，所以()00g x <，同上此时()g x 的零点只一个为0x =；综上所述：()g x 的零点只一个为0x =.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。
安徽江南十校高三摸底联考文数试题含解析
江南十校2017届高三摸底联考文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，复数31z i=+，则z 的虚部为（ ） A ．32 B ．32- C ．32i - D ．-3 【答案】B考点：复数的运算及复数的概念.【方法点睛】本题考查复数的乘法除法运算，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理，对于复数),(R b a bi a z ∈+=，它的模为22b a +,实部为a ,虚部为b ；复数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的模，复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，同时注意运算的准确性.2.已知集合(){}{}22|log 11,|230A x x B x x x =-<=--<，则“x A Δ是“x B Δ的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：集合(){}(){}{}{}222|log 11=|log 1log 2|012|13,A x x x x x x x x =-<-<=<-<=<<{}{}{}2|230|(3)(1)0|13B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<所以集合A 是集合B 的真子集，所以“x A ∈”是“x B ∈”充分不必要条件.考点：集合的运算及充分必要条件的判定. 【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法 (1)命题判断法：设“若p ，则q ”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． (3)等价转化法：p 是q 的什么条件等价于非q 是非p 的什么条件.3.将函数()sin 2x cos2x f x =-的图像经过恰当平移后得到一个奇函数的图像，则这个平移可以是（ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位 D ．向右平移4π个单位 【答案】A考点：三角函数图像的平移.4.已知直线()20x ay a R ++=?与圆222210x y x y ++-+=相切，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．0或1 【答案】C 【解析】试题分析：圆222210x y x y ++-+=的方程可化为22(1)(1)1x y ++-=，所以它表示是以(1,1) 为圆心，以1为半径的圆，直线()20x ay a R ++=?与圆222210x y x y ++-+=相切，所以圆心的直线的距离等于圆的半径11=，解得=0a ，应选C.考点：直线和圆的位置关系.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24+．16+．24+．48 【答案】C考点：三视图.6.已知矩形ABCD 中，12,1,3AB AD AM AB ===，则MC MD 的值为（ ） A ．13B ．23C ．19D ．49【答案】C 【解析】试题分析：在矩形ABCD 中，0AB AD AM AD^\?，,由题意2=3MC MB BC AB BC +=+,13MD MA AD AB BC =+=-+, MC MD =2()3AB BC +?22122181()1393399AB BC AB AB BC AB BC BC -+=-+??=-+=,应选C.考点：向量数量积的运算.7.执行如图所示的程序框图，如果输入的x 值是407，y 值是259，那么输出的x 值是（ ）A ．2849B ．37C ．74D ．77 【答案】B考点：程序框图的应用.8.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，2369127,27a a a a ==，则当n T 最大时，n 的值为（ ） A ．5或6 B ．6 C ．5 D ．4或5 【答案】D考点：等比数列的通项公式及性质.9.已知实数,x y 满足044220x y x y x y ì-?ïï+?íï-+?ïî，则142yxz 骣琪=琪桫的最大值为（ ）A ．1B ．432 C ．4 D ．2【答案】C 【解析】试题分析：画出不等式044220x y x y x y ì-?ïï+?íï-+?ïî表示的可行域要求2214=2222yxx y x y z --骣琪=?琪桫，只要求出2x y -的最大值即可,令2k x y =-，即2y x k =-，由图像可得当过A (2,2)点时，k 取得最大值2，，此时2214=2222yx x yx y z --骣琪=?琪桫=4，所以142yx z 骣琪=琪桫的最大值为4.考点：线性规划.10.已知a 为第三象限角，4tan 23a =-，则sin α的值为（） A ．±．- C ．- D ．45-【答案】B 【解析】试题分析：a 为第三象限角，242tan 4tan 231tan 3a a a =-\=--，，解得1tan 2tan 2a a ==-或（舍去）22sin tan 2,sin 2cos ,sin cos 1,sin 0cos aa a a a a a a ==\=+=<，解得sin a =-考点：同角三角函数的基本关系.11.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为23，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．221128x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．22184x y -=【答案】D考点：双曲线的性质.12.已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且满足()()2f x f x +=-，若当[]0,1x Î时，()13x f x -=，则13log 10f 骣琪琪桫的值为（ ）A ．3B ．109C ．23D ．1027【答案】D 【解析】试题分析：定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以函数该函数是偶函数，满足函数()f x 满足()()2()f x f x f x +=-=，所以该函数的周期是2，133133log 10log 10,2log 103,3log 102=-<<-<<-，131log 1020-<+<，130log 1021<--<的若当[]0,1x Î时()13x f x -=，则133log 1021log 10311133310log 10log 102log 102=3=3327f f f ----骣骣骣琪琪琪=+=--?琪琪琪桫桫桫,应选D. 考点：函数的奇偶性及周期性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.函数()3221f x x x =-+的单调递减区间为 ___________．【答案】 440,0,33骣骣轾琪琪犏琪琪犏桫臌桫或【解析】试题分析：因为函数()3221f x x x =-+，所以函数()2434=3()3f x x x x x ¢=--，令()4=3()03f x x x ¢-<解得403x <<，所以函数()3221f x x x =-+的单调递减区间为440,0,33骣骣轾琪琪犏琪琪犏桫臌桫或.考点：函数的单调性及导数.14.某学校高三年级共有11个班，其中14班为文科班，511班是理科班，现从该校文科班和理科班中各选一个班的学生参加学校组织的一项公益活动，则所选两个班的序号之积为3的倍数的概率为__________． 【答案】1328【解析】试题分析：某学校高三年级共有11个班，其中14班为文科班，511班是理科班，现从该校文科班和理科班中各选一个班的学生参加学校组织的一项公益活动，共有47=28 种，所选两个班的序号之积为3的倍数的，从理科班可抽3的倍数班6,9，文科班有4种取法，共有8种取法时；文科班取3班时，理科班有7种选法；除去重复的两种，总共有13种取法，所以所选两个班的序号之积为3的倍数的概率1328. 考点：古典概型概率公式的应用.【方法点睛】（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.15.已知直线()200,0ax by a b -+=>>过点()1,1-，则12a b+的最小值为_________．【答案】32考点：基本不等式的应用.【方法点睛】（1）利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值；（2）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点. 16..已知数列{}n a 满足()*111223344521222113,,22n n n n n n n a a a n N S a a a a a a a a a a a a +-+==-∈=-+-++-，则10S = ___________．【答案】 -435 【解析】试题分析：因为()*111133,,222n n n n a a a n N a a ++==-∈∴-=-，所以数列{}n a 是首项为12公差为32-等差数列，322n a n =-+1223344521222121343522121=()()()n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+=-+-++--+-++-，222242()93=3=322n n n a a n na a a +-+++⨯=-（），所以2109103104352S ⨯-⨯=-=-.考点：等差数列通项公式及求和公式.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B Csin cos 20A a B a --=． （1）求B ∠的大小 ； （2）若b ABC =∆的面积为2，求,a c 的值． 【答案】（1）23B π=，（2）1221a a c c ⎧=-=⎧⎨⎨==⎩⎩或（2）由三角形的面积公式和余弦定理即可求得,a c 的值． 试题解析：(1sin cos 20A a B a --=，∴由正弦定理得sin sin cos 2sin 0B A A B A =-=，cos 2,sin 16B B B π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴23B π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵2221sinB 22cos ABC S ac b a c ac B∆⎧=⎪⎨⎪=+-⎩，∴2212sin 2322cos 73ac a c ac ππ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，即2225ac a c =⎧⎨+=⎩， ∴1221a a c c ⎧=-=⎧⎨⎨==⎩⎩或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：正余弦定理的应用.【方法点睛】1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角兴中，注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.18.（本小题满分12分）在2016年6月英国“脱欧”公投前夕，为了统计该国公民是否有“留欧”意愿，该国某中学数学兴趣小组随机抽查了50名不同年龄层次的公民，调查统计他们是赞成“留欧”还是反对“留欧”．现已得知50人中赞成“留欧”的占60%，统计情况如下表：（1）请补充完整上述列联表；（2）请问是否有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关？请说明理由．参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）见解析，（2）有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关【解析】试题解析：（1）由题意可得列联表如下：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）()()()()()()222502014106 6.4626243020n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯， ∵6.46 5.024>，∴有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：变量间的相关关系.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥A CDFE -中，四边形CDFE 为直角梯形，//,,CE DF EF FD AF ⊥⊥平面 CEFD ，P 为AD 的中点，12EC FD =．（1）求证：//CP 平面 AEF ； （2）设2,3,4EF AF FD ===，求点F 到平面 ACD 的距离．【答案】（1）见解析，（2试题解析：（1）证明：（方法一）设线段FD 的中点为Q ，连接PQ CQ 、．∵P 为AD 的中点，∴//PQ AF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∵12EC FD =，且//EC FD ，∴四边形CEFQ 为平行四边形，∴//CQ EF ． 又,CQ PQ Q AF EF F ==，∴平面 //PCQ 平面AEF ．∵CP ⊂平面 PCQ ，∴//CP 平面 AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（方法二）设线段AF 的中点为G ，连接PG EG 、．∵P 为AD 的中点，∴//PG FD ，且12PG FD =． 又∵12EC FD =，且//EC FD ，∴//PG EC ，∴四边形GECP 为平行四边形，∴//PC EG ． ∵EG ⊂平面 ,AEF PC ⊄平面 AEF ，∴//CP 平面 AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解：（方法一）∵四边形CDFE 为直角梯形，12,4,22EF FD EC FD ====． ∴四边形CEFQ 为正方形，CDQ ∆为等腰直角三角形．∴090FCD ∠=，即CD FC ⊥．又∵AF ⊥平面 CEFD ，∴AF CD ⊥．又FC AF F =，∴CD ⊥平面 AFC ，面CD ⊂平面 ACD ，∴平面 ACD ⊥平面 AFC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分过F 作FH AC ⊥于点H ，则FH ⊥平面 ACD ，即FH 为点F 到平面ACD 的距离．∵3,AF FC ==AC =，∴AF FC FH AC ===F 到平面ACD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：线面平行及点到平面的距离．20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离大1．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若在y 轴右侧，曲线 C 上存在两点关于直线20x y m --=对称，求m 的取值范围．【答案】（1）()()24000y x x y x =≥=<或；（2）9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）先设点M 的坐标为(),x y ．可得1MF x =+，再对列出,x y 的关于化简得，点M 的轨迹C 的方程（2）设曲线C 上的横坐标大于0的两点，关于直线20x y m --=对称，则可得所设两点所在的直线与直线20x y m --=垂直，且与抛物线有两个交点．且所设两点的中点在直线20x y m --=上可求得m 的取值范围试题解析：（1）设点M 的坐标为(),x y ．由题意，1MF x =+1x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 化简得，()()24000y x x y x =≥=<或，∴点M 的轨迹C 的方程为()()24000y x x y x =≥=<或．．．．．．．．．．．．．．．．．4分考点：求轨迹方程及求参数的取值范围.【方法点睛】一般直译法求轨迹方程有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
安徽省江南十校联考高考数学一模试卷(文科).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0≤x≤4}，B={0，1，2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知复数z满足z（1+i）=1（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i3．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，则函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．D．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．设f（x）=x+sinx（x∈R），则下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上单调递增C．f（x）的值域为R D．f（x）是周期函数7．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．28．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．9．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a5•a6=4，则数列{log2a n}的前10项和为（）A．5 B．6 C．10 D．1210．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．811．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且f（）=1，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0） B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）12．已知函数f（x）=x3﹣ax2+4，若f（x）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（3，+∞）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量=（1，2），=（3，x），若∥，则实数x=．14．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，S n为{a n}的前n项和．若S9=90，则a1=．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为．16．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，AB=，AD=2，求（Ⅰ）BD；（Ⅱ）∠ADB．18．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国38 51 32 28 16俄罗斯24 23 27 32 26（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间x变化的数据：时间x（届）26 27 28 29 30金牌数之和y（枚）16 44 76 127 165作出散点图如图1：（i）由图可以看出，金牌数之和y与时间x之间存在线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程；（ii）利用（i）中的回归方程，预测今年中国代表团获得的金牌数．参考数据：=28，=85.6，（x i﹣）（y i﹣）=381，（x i﹣）2=10附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．20．已知过原点O的动直线l与圆C：（x+1）2+y2=4交于A、B两点．（Ⅰ）若|AB|=，求直线l的方程；（Ⅱ）x轴上是否存在定点M（x0，0），使得当l变动时，总有直线MA、MB的斜率之和为0？若存在，求出x0的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=e x﹣（x＞﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）≤1．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．（Ⅰ）证明：BE=DE；（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2016年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0≤x≤4}，B={0，1，2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，找出两集合的交集，确定出交集中元素个数即可．【解答】解：集合A={x|0≤x≤4}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1，2}，元素个数为3．故选：B．2．已知复数z满足z（1+i）=1（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：由z（1+i）=1，得z===，故选：A．3．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，则函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点，得a的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，由此能求出函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点，得△=4a2﹣8＞0，解得a＜﹣或a＞．又a为正整数，故a的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，所以函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为．故选：D．4．已知函数f（x）=，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由已知先求f（2），根据复合函数的解析式再求f（），利用特殊角的三角函数值即可求值得解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=2，∴f（）=f（）=tan=，故选：C．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标和抛物线的焦点关系，得到c=5，根据双曲线的渐近线方程得到=，联立方程组求出a，b即可．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（5，0），双曲线焦点在x轴上，且c=5，∵又渐近线方程为y=±x，可得=，即b=a，则b2=a2=c2﹣a2=25﹣a2，则a2=9，b2=16，则双曲线C的方程为﹣=1，故选A6．设f（x）=x+sinx（x∈R），则下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上单调递增C．f（x）的值域为R D．f（x）是周期函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即可判断f（x）为奇函数，从而A正确；利用f′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数f（x）在R上单调递增，B正确；根据f（x）在R上单调递增，可得f（x）的值域为R，故C正确；由f（x）不是周期函数，可得D错误．即可得解．【解答】解：因为f（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣（x+sinx）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故A正确；因为f′（x）=1﹣cosx≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，故B正确；因为f（x）在R上单调递增，所以f（x）的值域为R，故C正确；f（x）不是周期函数，故选：D．7．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图所示，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过（﹣1，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故选：B．8．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论．【解答】解：类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：B．9．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a5•a6=4，则数列{log2a n}的前10项和为（）A．5 B．6 C．10 D．12【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质可得：a1a10=a2a9=…=a5a6=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a10=a2a9=…=a5a6=4，∴数列{log2a n}的前10项和=log2a1+log2a2+…+log2a10=log2（a1a2…a10）==10，故选：C．10．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次运行后s=2，a=3，n=1；第二次运行后s=5，a=5，n=2；第三次运行后s=10，a=9，n=3；第四次运行后s=19，a=17，n=4；第五次运行后s=36，a=33，n=5；第六次运行后s=69，a=65，n=6；此时不满足s＜t，输出n=6，故选：B．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且f（）=1，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0） B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的周期性可得ω，代入点的坐标可得φ值，可得函数的对称中心，结合选项可得．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期为4π，∴=4π，解得ω=，故f（x）=sin（x+φ），再由f（）=1可得×+φ=2kπ+，k∈Z，由|φ|＜可得φ=，故f（x）=sin（x+），由x+=kπ可得x=2kπ﹣，k∈Z∴f（x）的对称中心为（2kπ﹣，0），k∈Z，结合选项可知当k=0时，f（x）的一个对称中心为（﹣，0），故选：A．12．已知函数f（x）=x3﹣ax2+4，若f（x）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用参数分离法，进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值即可得到结论．【解答】解：由题意可知f（x）=x3﹣ax2+4=0，即a=x+有两个不等的正根，设h（x）=x+，x＞0，则h′（x）=1﹣=，令h′（x）=0，得x=2，由h′（x）＞0得x＞2，此时函数单调递增，由h′（x）＜0得，0＜x＜2，此时函数单调递减，即在x=2处取得极小值h（2）=2+=2+1=3，结合h（x）的图象可得a＞3，故选D二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量=（1，2），=（3，x），若∥，则实数x=6．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【解答】解：由向量=（1，2），=（3，x），若∥，可得x=2×3=6．故答案为：6．14．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，S n为{a n}的前n项和．若S9=90，则a1=2．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：由a n+1﹣a n=2，S n可知数列{a n}是公差为2的等差数列，由S9=9a1+×2=90，解得a1=2．故答案为：2．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意得|OP|=|OA|cos60°=，从而P（），代入椭圆方程得a=，由此能求出离心率．【解答】解：∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．∠POA=60°，且OP⊥AP，∴由题意得|OP|=|OA|cos60°=，∴由题意得P（），代入椭圆方程得：，∴a2=5b2=5（a2﹣c2），∴a=，∴离心率e=．故答案为：．16．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16，两个底面面积之和为=2；半圆柱的侧面积为π×1×4=4π，两个底面面积之和为，所以几何体的表面积为，故答案为：．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，AB=，AD=2，求（Ⅰ）BD；（Ⅱ）∠ADB．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△BCD中，由已知及正弦定理即可计算求得BD=的值．（Ⅱ）由已知及余弦定理可求cos∠ADB=的值，即可得解∠ADB=45°．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得：=，…故BD===3，…（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB=…==，…所以∠ADB=45°．…18．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国38 51 32 28 16俄罗斯24 23 27 32 26（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间x变化的数据：时间x（届）26 27 28 29 30金牌数之和y（枚）16 44 76 127 165作出散点图如图1：（i）由图可以看出，金牌数之和y与时间x之间存在线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程；（ii）利用（i）中的回归方程，预测今年中国代表团获得的金牌数．参考数据：=28，=85.6，（x i﹣）（y i﹣）=381，（x i﹣）2=10附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据题意，画出茎叶图，通过茎叶图得出概率结论；（Ⅱ）（i）计算线性回归方程的系数、，写出线性回归方程，（ii）利用回归方程计算x=31时的值即可．【解答】解：（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下，…通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散；…（Ⅱ）（i）计算===38.1，所以=﹣=85.6﹣38.1×28=﹣981.2；所以金牌数之和y关于时间x的线性回归方程为=38.1x﹣981.2；…（ii）由（i）知，当x=31时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值=38.1×31﹣981.2=199.9，故预测今年中国代表团获得的金牌数为199﹣165=34.9≈35枚．…19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由正方形的性质得AC⊥BD，由面面垂直的性质即可得到AC⊥平面EFBD；（II ）求出等腰梯形的上下底，利用勾股定理求出梯形的高，将多面体分解成四棱锥A ﹣BDEF 和四棱锥C ﹣BDEF 计算体积． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ．又平面EFBD ⊥平面ABCD ，平面EFBD ∩平面ABCD=BD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥平面EFBD ．（Ⅱ）∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD=AC=2，∴EF=，过F 作FM ⊥BD 于M ，∵四边形EFBD 为等腰梯形，∴MB=（BD ﹣EF ）=．∴FM==．设AC ∩BD=O ，则AO=．∴V C ﹣BDEF =V A ﹣BDEF =S 梯形BDEF •AO==．∴多面体ABCDEF 的体积V=2V A ﹣BDEF =2．20．已知过原点O 的动直线l 与圆C ：（x +1）2+y 2=4交于A 、B 两点．（Ⅰ）若|AB |=，求直线l 的方程； （Ⅱ）x 轴上是否存在定点M （x 0，0），使得当l 变动时，总有直线MA 、MB 的斜率之和为0？若存在，求出x 0的值；若不存在，说明理由． 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）先求出圆心C （﹣1，0）到直线l 的距离为，利用点到直线距离公式能求出直线l 的方程． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2．设l 的方程为y=kx ，代入圆C 的方程得（k 2+1）x 2+2x ﹣3=0，由此利用韦达定理，结果已知条件能求出存在定点M （3，0），使得当l 变动时，总有直线MA 、MB 的斜率之和为0． 【解答】解：（Ⅰ）设圆心C （﹣1，0）到直线l 的距离为d ，则d===，…当l 的斜率不存在时，d=1，不合题意当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx，由点到直线距离公式得=，解得k=±，故直线l的方程为y=．…（Ⅱ）存在定点M，且x0=3，证明如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线MA、MB的斜率分别为k1，k2．当l的斜率不存在时，由对称性可得∠AMC=∠BMC，k1+k2=0，符合题意当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx，代入圆C的方程整理得（k2+1）x2+2x﹣3=0，∴，．…∴+==．当2x0﹣6=0，即x0=3时，有k1+k2=0，所以存在定点M（3，0）符合题意，x0=3．…21．设函数f（x）=e x﹣（x＞﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）≤1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数f（x）的解析式和导函数，利用f′（x）＞0，函数单调递增，f′（x）＜0，函数单调递减；（Ⅱ）当a＞0时，求导，利用导数求得函数的单调性，根据单调性求得函数的最小值，利用f′（x0）=0，求得a的值，构造辅助函数g（x）=e x（﹣x2﹣x+1），（x＞﹣1），求导，求出函数的g（x）的极大值，由g（x）≤g（0）=0，即可证明f（x0）≤1．【解答】解：（I）当a=1时，f′（x）=e x﹣，…∵e x单调递增，﹣（x＞﹣1）单调递增，∴f′（x）在（﹣1，+∞）单调递增，且f′（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增…（II）证明：当a＞0时，f′（x）=e x﹣，∵e x单调递增，﹣（x＞﹣1）单调递增，∴f′（x）在（﹣1，+∞）单调递增．又f′（2﹣1）=﹣＞﹣，当b满足﹣1＜b＜且b＜0时，f′（b）＜0，故f′（x）存在唯一零点，设零点为x1，当x∈（﹣1，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣1，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，∴当x=x1时，f（x）取得最小值，由条件可得x1=x0，f（x）的最小值为f（x0）．…由于f′（x0）=﹣=0，∴a=•，f（x0）=﹣=﹣•x0•（x0+1）=（﹣﹣x0+1），…设g（x）=e x（﹣x2﹣x+1），（x＞﹣1），则g′（x）=e x（﹣x2﹣3x）=﹣x（x+3）e x，令g′（x）＞0，得﹣1＜x＜0；令g′（x）＜0，得x＞0，故g（x）在（﹣1，0）单调递增，（0，+∞）单调递减，g（x）≤g（0）=0，故f（x0）=g（x0）≤1．…四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．（Ⅰ）证明：BE=DE；（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）作出辅助线，根据AB⊥OE，AB⊥CD，可得OE∥CD，又O为BC的中点，得E为BD的中点，即可证得结论；（Ⅱ）设AC=t（t＞0），由射影定理，根据三角形中的知识，即可求得比值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB、OE，∵EA、EB为圆O的切线，∴OE垂直平分AB，又∵BC为圆O的直径，∴AB⊥CD，∴OE∥CD，又O为BC的中点，故E为BD的中点，∴BE=ED …解：（Ⅱ）设AC=t（t＞0），则AD=3t，CD=4t，在Rt△BCD中，由射影定理可得：BD2=DA•DC=12t2，∴BD=2t，在Rt△ABD中，AE=BD=t．∴AE：AC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得圆的直角坐标方程；（2）求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1 …（2）在直角坐标系中A（0，3），B（，）所以|AB|==3，直线AB的方程为：x+y=3所以圆心到直线AB的距离d==，又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为+1故△ABP面积的最大值为S==…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【考点】不等关系与不等式．【分析】（I）f（x）=|x|﹣|2x﹣1|=，由f（x，由f（x）＞﹣1，可得：或或，解出即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a＜2，可得：a2﹣a+1﹣==g（a）．对a分类讨论：当0＜a＜1时，当a=1时，当1＜a＜2时，即可得出．（I）f（x）=|x|﹣|2x﹣1|=，由f（x）＞﹣1，可得：【解答】解：或或，解得0＜x＜2，∴M=（0，2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a＜2，∵a2﹣a+1﹣==g（a）．当0＜a＜1时，g（a）＜0，∴a2﹣a+1＜；当a=1时，g（a）=0，∴a2﹣a+1=；当1＜a＜2时，g（a）＞0，∴a2﹣a+1＞；综上所述：当0＜a＜1时，∴a2﹣a+1＜；当a=1时，a2﹣a+1=；当1＜a＜2时，a2﹣a+1＞．2016年8月23日马鸣风萧萧。
广东省梅州市江南高级中学2021年高三数学文月考试题含解析
广东省梅州市江南高级中学2020-2021学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数①,②,则下列结论正确的是( )A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形.B．两个函数的图象均关于直线成轴对称图形.C．两个函数在区间上都是单调递增函数.D．两个函数的最小正周期相同.参考答案：【知识点】三角函数的性质C4C①，图像关于点成中心对称图形，关于直线成轴对称图形，在区间上是单调递增, 最小正周期为;②，图像关于点成中心对称图形，关于直线成轴对称图形，在区间上是单调递增, 最小正周期为,故选C.【思路点拨】此类题一般都是先化简，再根据化简后的结果，由三角函数的性质一一判断.2. 在区间内随机取两个数分别为，则使得函数有零点的概率为()A．B．C．D．参考答案：B略3. 已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=3，数列{a n a n+1}是公比为2的等比数列，则S10=（）A．1364 B．C．118 D．124参考答案：D【考点】数列的求和．【分析】利用数列的首项以及数列{a n a n+1}是公比为2的等比数列，求出数列的各项，然后求解S10即可．【解答】解：S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=3，数列{a n a n+1}是公比为2的等比数列，可得=2，解得a3=2，，a4=6，同理a5=4，a6=12，a7=8，a8=24，a9=16，a10=48，则S10=1+3+2+6+4+12+8+24+16+48=124．故选：D．4. 设三位数,若以为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数有（）A．12种 B．24种C．28种 D．36种参考答案：C5. 定义：“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字有这样的特征，称为回文数．设n是一任意自然数．若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数．例如，若n=1234321，则称n为一回文数；但若n=1234567，则n不是回文数．则下列数中不是回文数的是（）A．187×16B．1112 C．45×42D．2304×21参考答案：C【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】分别求出结果，利用回文数的定义进行判断．【解答】解：在A中，187×16=2992，是回文数；在B中，1112=12321，是回文数；在C中，45×42=1890，不是回文数；在D中，2304×21=48384，是回文数．故选：C．6. 执行如图的算法框图，如果输入p=5，则输出的S等于（）A. B. C. D.参考答案：C7. 已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：D 解析：的图象与的图象关于对称令因为在上单调递增①当时单调递增则满足题意解得②当时单调递减则满足题意解得综合①②可得【高考考点】求反函数复合函数单调性【易错点】：求复合函数单调性中换元后的新变元的取值范围易丢掉【备考提示】：掌握求复合函数单调区间的基本思路8. 已知函数f（x）=e x﹣（x＜0）与g（x）=ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）参考答案：B【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴对称的点，就是f（﹣x）=g（x）有解，也就是函数y=f（﹣x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内画函数y=f（﹣x）==（x＜0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象，结合图象解题．【解答】解：函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴有对称的点，就是f（﹣x）=g（x）有解，也就是函数y=f（﹣x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内画函数y=f（﹣x）==（x＜0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象：∴函数y=g（x）=ln（x+a）的图象是把由函数y=lnx的图象向左平移且平移到过点（0，）后开始，两函数的图象有交点，把点（0，）代入y=ln（x+a）得，=lna，∴a==，∴a＜，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，体现了数形结合的思想．9. 设函数f(x)定义为如下数表，且对任意自然数n均有若，则的值为A.1B. 2 C .4 D．5参考答案：D略10. 已知,=( )A. B.0 C.1D.2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）= ,g（x）=3lnx,其中a>0。
高三数学第一次联考江南十校一模,文试题
卜人入州八九几市潮王学校江南十校2021届高三数学第一次联考〔2021江南十校一模，扫描〕文2021年“江南十校〞高三第一次联考(文科数学)答案与解析一.选择题:本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.〔1〕解析∵()()()()13113133121112i i i i i z i i i i +⋅++++-====-+--⋅+，∴选B 〔2〕解析：∵{}11R C A x x =-≤≤，{}0B y y =≥，∴()R C A ∩B ={}10|≤≤x x ，应选C 〔3〕解析：∵0a b →→⋅>时，a →与b →的夹角为锐角或者零度角，∴p ∵函数()f x 在(],0-∞及(0,)+∞上都是减函数时，可能()f x 在0处是个跳跃点，∴q 也，∴选B 〔4〕解析：起始10k=通过条件框要满足“是〞，110,9S k =+=和1109,8S k =++=仍然满足“是〞，1109828,7S k =+++==到达题目要求，通过条件框要满足“否〞，所以选D 〔5〕解析：先算出三角函数值，然后根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填表可得，1 322 523 121 54 32 1412x = 18516y = 116316z = 所以选A〔6〕解析：年龄在[)20,60之间的人所占频率为：()0.0180.011200.58+⨯=，所以年龄在[)20,60之间的人大约有0.58300174⨯=万，应选C〔7〕解析：26y x x =-的图象是把26y x x =-的图象在x 轴下方的局部翻到上方，上方的局部保持不变，如图，y由图可知，画任意一条横线，根总是关于3x =对称，从下往上挪动可知：P 中所有元素的和可能是6,9,12，所以选B〔8〕解析：由tan 21tan A c B b +=和正弦定理得：1cos ,602A A =∠=，又由正弦定理得： 23222,sin sin 232C C==又∵c a <，∴060C ∠<，∴045C ∠=，应选B〔9〕解析：到直线l 的间隔为3的点的轨迹是以直线l 为旋转轴，以3为半径的无限延伸的圆柱面，此处只不过把这个圆柱面与平面α成60角摆放，用一个程度的平面去切它，不难想象，它应该是一个椭圆，所以选D图为〔10〕解析：由图分析知：直线0x by c ++=经过274x y x y +=⎧⎨+=⎩和211x y x +=⎧⎨=⎩的交点，即经过()3,1和()1,1-点，所以3010b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，∴1b =-，2c =-，应选D 二.填空题:本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分.〔11〕解析：∵()→→→+⊥a b a ， ∴2()00→→→→→→+⋅=⇒+⋅=a b a a a b 4→→⇒⋅=-a b cos 4θ→→⇒⋅=-a b1cos 2θ⇒=-∴23πθ= 〔12〕解析：由三视图知：多面体为右图所示，其外表积为：〔13〕解析：画出()y f x =与y x =的图象为：解出坐标为：22,33⎛⎫⎪⎝⎭和22,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由图知，解集为22,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭∪20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭〔14〕解析：对任意正整数k ，有231(1)(2)()log 3log 4log (2)k f f f k k +⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅=⋅⋅⋅⋅+lg3lg 4lg(2)lg 2lg3lg(1)k k +=⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅+lg(2)lg 2k +=2log (2)k =+．假设k 为“好数〞，那么2log (2)k Z +∈，从而必有22()l k l N *+=∈．令1222012l ≤-≤，解得210l ≤≤．所以[]1,2012内所有“好数〞的和为()()()2310222222M =-+-+⋅⋅⋅+-()2310222292026=++⋅⋅⋅+-⨯=． 〔15〕解析：过N 作1NPBB ⊥于点P ，连接MP ，可证1AA ⊥面MNP ∴①对 过M 、N 分别作11MR A B ⊥、11NS B C ⊥于点R 、S ，那么当M 、N 不是1AB 、1BC 的中点时，11A C 与RS 相交；当M 、N是1AB 、1BC 的中点时，11A C ∥RS ∴11C A 与MN 可以异面，也可以平行，故②④错由①正确知：面MNP ∥面111A B C D ，故③对应选①③ 三.解答题:本大题一一共6小题，一共75分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 〔16〕解析：〔Ⅰ〕∵()sin cos f x x x =+，∴()cos sin f x x x -=-．┄┄┄┄┄1分 又∵()2()f x f x =-，∴()sin cos 2cos sin x x x x +=-且cos 0x ≠1tan 3x ⇒=．┄┄┄┄┄┄┄┄3分 ∴22cos sin cos 1sin x x x x -+222cos sin cos 2sin cos x x x x x -=+21tan 2tan 1x x -=+611=；┄┄┄┄┄┄6分 〔Ⅱ〕由题知22()cos sin 12sin cos F x x x x x =-++()cos 2sin 21F x x x ⇒=++()214F x x π⎛⎫⇒=++ ⎪⎝⎭．┄┄┄┄┄┄┄10分∴当sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max ()1F x =．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分由222242k x k πππππ-+≤+≤+解得，单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分〔17〕解析：〔Ⅰ〕设通晓中文和英语的人数为x 人，通晓中文和日语的人数为y 人，通晓中文和韩语的人数为z 人，且,,x y z N *∈，那么 12310x x y z y x y z ⎧=⎪++⎨=⎪++⎩且03z <≤，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分那么依题意有：5,3,2.x y z =⎧=⎨=⎩ 所以这组志愿者有53210++=人；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分〔Ⅱ〕设通晓中文和英语的人为12345,,,,A A A A A ，甲为1A ，通晓中文和韩语的人为12,B B ，乙为1B ，那么从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的所有情况为：()()()()()()()()()()11122122313241425152,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 一共10个，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分同时选中甲、乙只有()11,A B 1个．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分 所以甲和乙不全被选中的概率为1911010-=．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 〔18〕〔Ⅰ〕证明：由题知：3AB =，4BC=，5CA =，∴AB BC ⊥．┄┄┄┄┄2分 又∵1AB BB ⊥， ∴AB ⊥平面11BCC B ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分〔Ⅱ〕解析：由题知：三棱柱111ABC A B C -的体积13412722=⨯⨯⨯=．┄┄┄┄┄6分 ∵ABP ∆和ACQ ∆都是等腰直角三角形，∴3AB BP ==，7AC CQ ==，┄7分 ∴13A CQPBV S -=四边形11(37)432032CQPB AB ⨯=⨯⨯+⨯⨯=．┄┄┄┄┄┄┄10分 ∴多面体111A B C APQ -的体积111ABC A B C V -=-A CQPB V -722052=-=．┄12分〔19〕解析：〔Ⅰ〕由()11322n n n a a a +--+=可得：11223n n n a a a +--+=， 即()()1123n n n n a a a a +----=，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分所以数列{}1n n a a +-是以2143a a -=为首项，23为公差的等差数列；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分〔Ⅱ〕由〔1〕知1422(1)(1)333n n a a n n +-=+-=+，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 于是累加求和得：121(23)(1)33n a a n n n =+++⋅⋅⋅+=+，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 所以11131n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 进而123111135312n a a a a n +++⋅⋅⋅+=->+5n ⇒>，∴最小的正整数为6n =．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分〔20〕解析：〔Ⅰ〕由题可知：2c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 ∴22242b a c b =-=⇒=．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分∴椭圆C 的方程为22184x y +=；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 〔Ⅱ〕假设存在椭圆上的一点()00,P x y ，使得直线1PF ，2PF 与以Q 为圆心的圆相切，那么Q 到直线1PF ，2PF 的间隔相等，()()122,0,2,0F F -，()1000:220PF x y y x y +--=，()2000:220PF x y y x y --+=．12d d ===，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 化简整理得：220008403280x x y -++=．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分∵点在椭圆上，∴220028x y +=． 解得：02x =或者08x =〔舍〕，02x =时，0y =1r =．∴椭圆上存在点P，其坐标为(或者(2,，使得直线1PF ，2PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分〔21〕解析：〔Ⅰ〕令()()h x f x x =-，那么()()10h x f x ''=-<，即()h x 在区间(1,)+∞上单调递减所以，使()0h x =，即()0f x x -=成立的x 至多有一解，┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 又由题设①知方程()0f x x -=有实数根， 所以，方程()0f x x -=只有一个实数根；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 〔Ⅱ〕由题意易知，111()(0,)(0,1)222g x x '=-∈⊂，满足条件②┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 令ln ()()3(1)22x x F x g x x x =-=--+>， 那么225()0,()20222e e F e F e =-+>=-+<，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 又()F x 在区间2[,]e e上连续，所以()F x 在2[,]e e 上存在零点0x ， 即方程()0g x x -=有实数根20[,]x e e ∈，故()g x 满足条件①，综上可知，()g x M ∈；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知：11()()()(ln ln )22g n g m n m n m -=---， 而0011()()()()22n m g x n m x '-=--， 所以原式等价于0ln ln 1n m n m x -=-，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分 该等式说明函数ln (1)y x x =>上任意两点(,ln )A m m 和(,ln )B n n 的连线段AB 〔如下列图〕，在曲线ln ()y x m x n =≤≤上都一定存在一点00(,ln )P x x ，使得该点处的切线平行于AB ，根据ln (1)y x x =>图象知该等式一定成立.┄┄┄┄┄14分。
2021年安徽省江南十校高考数学一模试卷(文科) (解析版)
2021年安徽省江南十校高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＞0}，集合B＝{x|4＜x≤7}，则A∪B＝（）A．（6，7]B．（4，7]C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）2．已知复数z＝1+i，是z的共轭复数，若•a＝2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．已知sinα＝，α∈（，），则tan2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A．0°B．1°C．2°D．3°5．函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知椭圆C：＝1（a＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为（）A．B．C．2D．37．设a，b为两条直线，则a∥b的充要条件是（）A．a，b与同一个平面所成角相等B．a，b垂直于同一条直线C．a，b平行于同一个平面D．a，b垂直于同一个平面8．若直线y＝kx与曲线（x﹣）2+（|y|﹣1）2＝1有交点，则k的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣1，1]C．[﹣，]D．[﹣，] 9．将数列{3n+1}与{9n﹣1}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则a10＝（）A．319 B．320C．321 D．32210．已知函数f（x）＝e|lnx|，记a＝f（1），b＝f（），c＝f（2），则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b11．如图，在△ABC中，∠BAC＝，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sin C ＝（）A．B．C．D．12．当x＞1时，函数y＝（lnx）2+alnx+1的图象在直线y＝x的下方，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，e﹣2）二、填空题（共4小题）.13．已知函数的最小正周期为，则ω＝．14．已知非零向量，满足||＝||，且||＝||，则和的夹角为．15．如图，A，F分别为双曲线＝1（a＞0）的右顶点和右焦点，过F作x轴的垂线交双曲线于H，且H在第一象限，A，F，H到同一条渐近线的距离分别为d1，d2，d3，且d1是d2和d3的等差中项，则C的离心率为．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△BCD是边长为1的等边三角形，AB＝AC＝AD＝，点M，N，P分别在棱AB，AC，AD上，平面MNP∥平面BCD，若，则三棱锥A ﹣BCD的外接球被平面MNP所截的截面面积为．三、解答题：共70分。
安徽省江南十校201X届新高三摸底联考数学(文)试题(附答案)
江南十校201X 届新高三模底联考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1．设复数z 满足(1)1,||i z i z -=+则=A ．0B ．1C ．2D ．22．已知2{|2,},{|log 1},M x x x N N x x M N =>-∈=<I 则= A ．{|21}x x -<< B ．{|22}x x -<<C ．{0，1}D ．{1}3．已知命题2:*,1,p x N x p ∀∈≥⌝则是 A ．2*,1x N x ∀∈<B ．2*,1x N x ∀∉≥C ．200*,1x N x ∃∉≥ D ．200*,1x N x ∃∉<4．22"2""00"a b a b ab+≤-><是且的 A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()lg(||1)f x x =-的大致图象是6．设{}n a 是等差数列，246a a +=，则这个数列的前5项和等于A ．12B ．13C ．15D ．187．下列命题正确的是 A ．在（,2ππ）内，存在x，使5sin cos 4x x +=B ．函数2sin()5y x π=+的图像的一条对称轴是45x π=C ．函数211tan y x =+的周期为2πD ．函数2sin y x =的图像可以由函数2sin(2)4y x π=-的图像向左平移8π个单位得到8．如下程序框图输出的结果是2021，则判断框内应填入的条件是A ．20?n ≤B ．20?n <C ．20?n >D ．20?n ≥9．已知,x y 满足约束条件02,02,32,x y z ax y y x ≤≤⎧⎪≤≤=-⎨⎪-≥⎩如果的最大值的最优解为4(2,)3，则a的取值范围是A ．1[,1]3B ．1(,1)3C ．1[,)3+∞D ．1(,)3+∞10．下列四个选项给出的条件中，能唯一确定四面体ABCD 的是 A ．四面体ABCD 三对对棱（即没有公共顶点的棱）分别相等，长度分别是1cm ，2cm,3cm B ．四面体ABCD 有五条棱长都是1cm C ．四面体ABCD 内切球的半径是1cm D ．四面体ABCD 外接球的半径是1cm第Ⅱ卷(非选择题,共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
江淮十校2021届高三第一次联考文科数学试题(含答案和解析)(2020.08)
江淮十校2021届高三第一次联考数学（文科）2020.8注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅芯把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效03.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.已知集合从={%|1" + 11<2},8 = »刍<1卜则/1。
（卜8）=A. [0,1） C. [1,2] D. （0,2]2.已知笈数z = a + i,则z的共舸发数的虚部为I - L\A.3iB. -3iC.3D. -33.巳知等比数列{册}的公比为gJT0<g<l”是“4-QpCO”的A.充要条件B,充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.达芬奇的经典之作《蒙娜丽梦》举世闻名.画中女了•神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧,设嘴角间的圆瓠长为L嘴角间的距离为4,圆弧所对的圆心角为6（。
为弧度角），则人d和。
所满足的恒等关系为5.已知抛物线/ =2.（0>。
）的焦点与椭圆名+若=1的右焦点重合，则抛物线的准线方程为A.”= -1B. x = 1 D.x=36 .某校阳光心理辅导室为了解高三同学们的心理状况，将高三年级20个班依次编号为1到20,现用系统抽 样的方法等距抽取5个班进行调杳，若抽到的编号之和为50,则抽到的最大编号为 A.14B.16C. 18D.208 .宋元时期数学名苫《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺，竹长两尺，松 U 自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序植图.若输入的 a,6分别为8,2,则输出的〃等于 A.2B.3C.4D.59 .要得到函数尸2cos ⑵-*）的图象，只需将函数厂小sin 2.一cos 24的图象 A.向左平移多个单位 B.向左平移于个单位 C.向右平移学个单位 D.向右平移点个单位10.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题:怎样在一个三角形中求一点,使它到每个顶点的距离之和 最小？现已证明:在△品。
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某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续 120 天苹果的日销售量(单 位:kg)，并绘制频率分布直方图如下：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；（同一组中的数据以 这组数据所在区间中点的值作代表）
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天 的苹果尽量新鲜，又能 80％地满足顾客的需求(在 10 天中，大约有 8 天可以满足顾客的需求)．请 问每天应该进多少千克苹果? （精确到整数位）
15．如图，A,F
分别为双曲线 C
:
x2 a2
y2 16
1(a
0)
的右顶点和
右焦点，过 F 作 x 轴的垂线交双曲线于 H，且 H 在第一象限，A，
F，H 到同一条渐近线的距离分别为 d1，d2，d3，且 d1 是 d2 和
d3 的等差中项，则 C 的离心率为__________．
2
16．如图，在三棱锥 A-BCD 中，△BCD 是边长为 1 的等边三角形， AB AC AD 2 3 ，点 M， 3
A． b a c
B． b c a
C． c b a
D． c a b
11．如图，在△ABC 中， BAC 2π ，点 D 在线段 BC 上， AD AC ， BD 1 ，则 sin C =
3
CD 4
A． 7 14
B． 21 14
C． 7 7
D． 21 7
12．当 x 1时，函数 y (ln x)2 a ln x 1 的图象在直线 y x 的下方，则实数 a 的取值范围是
21．（（12 分）
已知动圆 P与 x轴相切且与圆 x2 ( y 2)2 4 相外切，圆心 P 在 x轴的上方，P点的轨迹为曲线 C．
（1）求 C的方程；
（2）已知 E(4, 2) ，过点 (0,4) 作直线交曲线 C于 A,B 两点，分别以 A,B 为切点作曲线 C的切线相
A． 3 2
B． 3
C． 2 3
D． 3
1
7．设 a ， b 为两条直线，则 a∥b 的充要条件是 A． a ， b 与同一个平面所成角相等
B． a ， b 垂直于同一条直线
C． a ， b 平行于同一个平面
D． a ， b 垂直于同一个平面
8．若直线 y kx 与曲线 (x 3)2 ( y 1)2 1 有交点，则 k 的取值范围是
N，P 分别在棱 AB，AC，AD 上，使得平面 MNP∥平面 BCD，若 AM = 1 ，则三棱锥 A-BCD MB 2
的外接球被平面 MNP 所截的截面面积为_______．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
小星的一条边 AB 所在直线的倾斜角约为
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
5．函数
f
(x)
x cos x 2|x|
的图象大致为
A．
B．
C．
D．
6．已知椭圆
C：
x2 a2
y2
1(a
1) 的左、右焦点分别为
F1，F2，过
F1 的直线与椭圆交于
M，N
两点，
若△MNF2 的周长为 8，则△MF1F2 面积的最大值为
A． 3，3
B． 1,1
C．
2 2
，2 2
D．
3 3
，3 3
9．将数列 {3n1} 与{9n-1} 的公共项从小到大排列得到数列 {an} ，则 a10 =
A． 319
B． 320
C． 321
D． 322
10．已知函数 f (x) e|ln x| ，记 a f (1) ， b f (2) ， c f (2) ，则 3
D． ，2 3，
2．已知复数 z 1 i ， z 是 z 的共轭复数，若 z a 2 bi ，其中 a,b 均为实数C． 1
D． 2
3．已知 sin 3 ， (π , 3π) ，则 tan 2
5
22
A． 24 7
B． 24 25
C． 24 25
4．2020 年 12 月 4 日，嫦娥五号探测器在月球表
D． 24 7
面第一次动态展示国旗．1949 年公布的《国旗
制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有
一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个
角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三
颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，
以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，
OO1 ，OO2 ，OO3 ，OO4 分别是大星中心点与 四颗小星中心点的联结线， 16 ，则第三颗
A． ,e
B． (, e2 5) 2
C． (, 4 e 5) 2
D． ,e 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知函数 f (x) tan( x π )( 0) 的最小正周期为 π ，则 =__________．
3
2
14．已知非零向量 a , b 满足 a b a b ，且 a b ，则 a 和 a b 的夹角为__________．
的位置，点 C 到达点 F 的位置，E，F 不重合． （1）求证：BD⊥EF； （2）若 EF 3 ，求点 B 到平面 DEF 的距离． 2
20．（12 分） 已知函数 f (x) ax ax (a 0且a 1) ． （1）当 a e 时，求函数 f (x) 的最值； （2）设 g(x) 是 f (x) 的导函数，讨论函数 g(x) 在区间 (0,1) 零点的个数．
2021 届“江南十校”一模联考 数学（文科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．设集合 A {x | x2 5x 6 0} ，集合 B {x | 4 x7} ，则 A B
A． 6，7
B． 4，7
C． ，1 4，
18．（12 分）
已知各项均为正数的等差数列{an} 满足
a1
1，
a2 n +1
an2
2(an+1
an )
.
（1）求{an} 的通项公式；
（2）记 bn
1 an
an1 ，求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn ．
3
19．（12 分） 已知菱形 ABCD 边长为 1， AC 3 ，以 BD 为折痕把△ABD 和△CBD 折起，使点 A 到达点 E