高一数学必修一幂函数

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高一数学必修一幂函数及其图象和性质知识点总结

高一数学必修一幂函数及其图象和性质知识点总结

1 3.3幂函数
一、幂函数定义及解析式特点
1.定义:一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数。

2.解析式特点:①系数为1;②底为自变量;③指数为常数。

3.幂函数的指数除了可以取整数外,还可以取其他实数。

二、幂函数的图象
1.幂函数主要以11,2,3,,12
α=-为代表,来研究掌握0α<,01α<<,1α>时的大致图象和图象的性质。

2.同一坐标系中画出1232
,,,y x y x y x y x ====和1y x -=的图象,如下图:
三、幂函数图象特点
1.根据幂函数y x α=的图象可得到以下结论: (1)幂函数在()0,+∞都有定义,且都过()1,1点,不一定过()0,0点。

(2)幂函数都过第一象限,不过第四象限;
(3)当0α>时,在第一象限都是增函数;当0α<时在第一象限都是减函数。

2.(1)当0α<时,幂函数在第一象限是减函数,且和1y x
=在第一象限的图象 大致相同;
(2)当0α>时,函数在第一象限是增函数,且在第一象限的大致图象的特点 可细分为两种情况:
①01α<<时,幂函数的图象在第一象限“趴着增”,且在()0,1内,图象在直 线y x =的上方增,在()1,+∞图象在直线y x =的下方增。

②1α>时,幂函数的图象在第一象限“竖着增”,且在()0,1内,图象在直线。

高一数学 幂函数(两课时)必修1

高一数学 幂函数(两课时)必修1

高一数学必修1 幂函数(两课时)教学目标:知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用.过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法,来研究幂函数的图象和性质.情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.教学重点:重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律.教学程序与环节设计:问题引入.幂函数的图象和性质.教学过程与操作设计:师:引导学生应用画函数的性质画图象,如:定义域、奇偶性.师生共同分析,强调画图象易犯的错误.环节教学内容设计师生双边互动组织探究材料二:幂函数性质归纳.(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);(2)0>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸;当10<<α时,幂函数的图象上凸;(3)0<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于∞+时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.师:引导学生观察图象,归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律.生:观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,并展示各自的结论进行交流评析,并填表.尝试练习1.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值的大小:(1)433.2,434.2;(2)5631.0,5635.0;(3)23)2(-,23)3(-;(4)211.1-,219.0-.2.作出函数23xy=的图象,根据图象讨论这个函数有哪些性质,并给出证明.3.作出函数2-=xy和函数2)3(--=xy的图象,求这两个函数的定义域和单调区间.4.用图象法解方程:(1)1-=xx;(2)323-=xx.探究与发现1.如图所示,曲线是幂函数αxy=在第一象限内的图象,已知α分别取2,21,1,1-四个值,则相应图象依次为:.2.在同一坐标系内,作出下列函数的图象,你能发现什么规律?(1)3-=xy和31-=xy;(2)45xy=和54xy=.规律1:在第一象限,作直线)1(>=aax,它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列.规律2:幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关。

幂函数知识点高一必修一

幂函数知识点高一必修一

幂函数知识点高一必修一幂函数是高中数学中的一个重要概念,它在解决实际问题和理论推导中都有广泛应用。

在高一必修一的数学课程中,学生将首次接触到幂函数的概念和相关知识。

本文将从定义、性质、图像和应用等方面进行介绍,帮助学生更好地理解和掌握幂函数。

一、幂函数的定义幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数,其中$x$是自变量,$a$是常数且$a$可以为有理数、整数或实数。

当$a$为有理数时,幂函数的定义域是实数集;当$a$为整数时,幂函数的定义域可以是正实数集、负实数集或者零;当$a$为实数时,幂函数的定义域可以是正实数集和零集。

二、幂函数的性质1. 定义域:幂函数的定义域取决于指数的取值范围,通常为实数集或者特定的数集。

2. 奇偶性:当指数$a$为整数且为偶数时,幂函数是偶函数;当指数$a$为整数且为奇数时,幂函数是奇函数;当指数$a$为实数且为非整数时,幂函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 单调性:当指数$a>0$时,幂函数是增函数;当指数$a<0$时,幂函数是减函数。

4. 对称轴:当指数$a$为整数且为偶数时,幂函数的对称轴为$y$轴;当指数$a$为整数且为奇数时,幂函数没有对称轴。

三、幂函数的图像根据幂函数的性质可以推断出其图像的一些特点。

1. 当指数$a>1$时,幂函数的图像在原点左侧逐渐趋近于$x$轴且斜率逐渐增大;在原点右侧逐渐上升但斜率趋于0。

2. 当指数$a=1$时,幂函数的图像为直线$y=x$。

3. 当指数$0<a<1$时,幂函数的图像在整个定义域上单调递减,并且在$x$轴上趋于无穷。

4. 当指数$a=0$时,幂函数的图像为常数函数$y=1$。

5. 当指数$a<0$时,幂函数的图像在整个定义域上单调递减,但在$x$轴右侧逐渐趋近于0。

综上所述,幂函数的图像呈现出不同的形态和趋势,具体取决于指数的取值范围。

四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有广泛的应用,尤其在自然科学和工程技术领域。

高一数学必修一幂函数笔记手写

高一数学必修一幂函数笔记手写

高一数学必修一幂函数笔记手写一、幂函数定义幂函数是一种基本初等函数,形如 y=x^a 的函数即为幂函数。

在幂函数中,底数是自变量 x,指数是常数 a。

当 a 是正整数时,幂函数为递增函数;当 a 是负整数时,幂函数为递减函数;当 a 是0时,幂函数为常数函数。

二、幂函数的性质1. 奇偶性:当 a 是偶数时,幂函数为偶函数,即对于任意实数x,有 f(-x)=f(x);当 a 是奇数时,幂函数为奇函数,即对于任意实数 x,有 f(-x)=-f(x)。

2. 定义域:当 a 大于0时,幂函数的定义域为全体实数;当 a 小于0时,幂函数的定义域为大于等于0的实数。

3. 值域:当 a 大于0时,幂函数的值域为大于等于0的实数;当 a 小于0时,幂函数的值域为全体实数。

4. 单调性:当 a 大于0时,幂函数为递增函数;当 a 小于0时,幂函数为递减函数。

三、幂函数的图像幂函数的图像可以通过描点法或利用已知的初等函数的图像来得出。

例如,当 a=1 时,幂函数 y=x 是一条直线;当 a=2 时,幂函数 y=x^2 是一个抛物线;当 a=3 时,幂函数 y=x^3 是一个立方抛物线。

通过这些已知的初等函数的图像,我们可以大致得出其他幂函数的图像。

四、幂函数的计算在计算幂函数时,我们可以利用指数运算的性质进行化简。

例如,利用指数的乘法定理:a^m*a^n=a^(m+n),我们可以将复杂的幂运算化简为简单的乘法运算。

另外,我们还可以利用对数运算的性质来求解一些与幂函数相关的题目。

例如,利用对数的换底公式log_a(b)=log_c(b)/log_c(a),我们可以将不同底数的对数转化为同底数的对数,从而方便计算。

五、应用举例1. 解方程:例如解方程x^2-3x+2=0 可以转化为求解(x-1)^2-(1)^2=0,即 (x-1+1)(x-1-1)=0,从而得到 x=0 或 x=2。

2. 求值域:例如求函数 y=(x-1)^2-1 的值域可以通过观察图像得知最小值为-1,最大值为正无穷大,因此值域为 [-1,正无穷大)。

3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)

3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明:函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数.
学习新知
先看几个实例: (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克,那么他需要支付
的钱数P=t元,这里P是t的函数;
(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数;
(3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数;

m=0.

m=2
时,f(x)=
x
1 2
,图象过点(4,2);

m=0
时,f(x)=
x
3 2
,图象不过点(4,2),舍去.
综上,f(x)=
x
1 2
.
能力提升 题型三:利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)=m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2).

高一数学必修1《幂函数》教案

高一数学必修1《幂函数》教案

高一数学必修1《幂函数》教案教学目标:1. 理解幂函数的定义和性质,掌握画出幂函数的图象的方法。

2. 学会用不等式的方法解决幂函数方程的问题。

教学重点:1. 幂函数的定义和性质。

2. 画出幂函数的图象。

3. 不等式解法。

教学难点:1. 幂函数的图象,如何画出图象。

2. 不等式的解法,如何运用不等式解决幂函数方程的问题。

教学方法:1. 归纳法。

2. 演示法。

3. 分组讨论法。

教学内容:一. 幂函数1. 幂函数的定义:设a为正实数,x为任意实数,幂函数f(x)=$a^x$ 定义为f(x)=$a^x$。

2. 幂函数的性质:(1)当a>1时,幂函数f(x)严格单调递增;当0<a<1时,幂函数f(x)严格单调递减。

(2)当a>1时,幂函数f(x)在x轴的右侧无上界;当0<a<1时,幂函数f(x)在x轴的右侧无下界。

(3)当a=1时,幂函数f(x)为常函数y=1。

3. 幂函数的图象:(1)当a>1时,幂函数f(x)在右侧无上界,并超过x轴,图象接近x轴。

(2)当0<a<1时,幂函数f(x)在右侧无下界,趋近于x轴,图象在x轴上方。

(3)当a=1时,幂函数f(x)图象为直线y=1,在y轴上方。

4. 例题:(1)求幂函数y=$\frac{1}{4}$^x 的增减区间,并画出图象。

(2)求方程$\frac{1}{2x+1}$=8 的解。

二. 不等式的解法1. 不等式的性质:(1)等式两边加(减)同一个数、同一个式子,不等式的方向不变;(2)等式两边同乘(除)一个正数,不等式的方向不变;等式两边同乘(除)一个负数,不等式的方向反转。

2. 不等式的应用:利用不等式的性质,解决幂函数的方程。

3. 例题:求不等式$x^2$+2$\sqrt2x$+1<0 的解。

教学流程:1. 教师介绍幂函数的定义和性质,并简单讲解幂函数的图象。

2. 教师出示幂函数$f(x)=2^x$ 的图象,并让同学对幂函数的图象做出讨论,了解幂函数图象的特点,为下面的探究提供基础。

人教版高一数学必修一第一章知识点梳理幂函数

人教版高一数学必修一第一章知识点梳理幂函数

人教版高一数学必修一第一章知识点梳理幂函数定义:形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域:当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不会等于0的所有实数。

当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x 大于0时,函数的值域似乎大于0的实数。

在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数,0才进入函数的值域性质:对于a的取值为非零数列,有必要分成情况来讨论各自的特性:首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是r,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞),当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:排除了为0与负数两种可能,即对于x;0,则a可以是任意实数;排除了为0这种可能,即对于x;0和x;0的所有实数,q不能是偶数;排除了为有理数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。

总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的开集为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的开集为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则整数的定义域为不等于0的所有实数。

高一必修一幂函数的知识点

高一必修一幂函数的知识点

高一必修一幂函数的知识点高一必修一:幂函数的知识点高一数学课程中,幂函数是一个重要的学习内容。

幂函数是一种常见的函数形式,在生活和工作中有广泛的应用。

幂函数的研究是数学中的重要课题,掌握了幂函数的知识,对于理解数学的其他分支,如微积分等,具有重要的意义。

本文将重点介绍高一必修一中幂函数的知识点,帮助同学们更好地理解和应用幂函数。

一、幂函数的定义和性质幂函数是形如y = ax^n (a ≠ 0, n为整数)的函数,其中a称为底数,n称为指数。

幂函数的图象一般呈现出曲线的形式,其性质包括:1. 定义域和值域:当指数n为正整数时,定义域为全体实数集,值域为(0, +∞);当指数n为负整数时,定义域为非零实数集,值域为(0, +∞)与(-∞, 0)的并集,并具有一至多个零点;当指数n为零时,定义域为整个实数集,值域为{1}。

2. 奇偶性:当指数n为奇数时,幂函数关于y轴对称;当指数n为偶数时,幂函数关于原点对称。

3. 单调性:当指数n为正数时,幂函数在整个定义域上是递增的;当指数n为负数时,幂函数在定义域的两侧是递减的。

4. 极限性质:当x无限趋近于正无穷时,幂函数的值也趋近于正无穷;当x无限趋近于负无穷时,幂函数的值的符号取决于指数的奇偶性。

二、幂函数与图像的关系幂函数的图像是通过对幂函数的底数进行相同倍数的拉伸或压缩得到的。

具体来说,我们可以通过以下几个方面了解幂函数与图像的关系。

1. 底数a的变化对图像的影响:当底数a大于1时,幂函数的图像被压缩,曲线变得更陡峭;当底数a小于1时,幂函数的图像被拉伸,曲线变得更平缓。

2. 指数n的变化对图像的影响:当指数n为正数时,幂函数的图像在y轴上方增长,形成上升的曲线;当指数n为负数时,幂函数的图像在y轴下方增长,形成下降的曲线。

3. 圆形与直线的比较:幂函数的图像与圆的曲线相似,但在其特定区间内,幂函数的图像会出现与直线相切的情况,这时幂函数的曲线呈现出直线的性质。

高一数学人必修一课件第二章幂函数

高一数学人必修一课件第二章幂函数

感谢观看
THANKS
性质
一次幂函数具有比例性质 ,即y/x=n(常数),且 增减性与n的正负有关。
二次幂函数
定义
形如y=ax^2+bx+c(a≠0 )的函数。
图像
二次幂函数的图像是一条 抛物线,对称轴为x=b/2a,顶点坐标为(b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
性质
二次幂函数具有对称性、 有界性和单调性等性质, 其增减性取决于a的正负和 x的取值范围。
自由落体运动的位移
自由落体运动中,物体下落的位移h与时间t的关系可以表示为h=1/2gt^2(g为 重力加速度)。这个关系式是一个幂函数,其中指数为2。
经济生活中应用举例
复利计算
在金融领域,复利是一种计算利息的方法。假设本金为P,年利率为r,经过n 年后,本金和利息的总和为A=P(1+r)^n。这个公式中的(1+r)^n部分就是一 个幂函数。
06
练习题与课堂互动环节
练习题选讲
题目一
求函数$y = x^{2}$在 区间$[1,2]$上的最大值 和最小值。
题目二
判断函数$y = x^{3}$ 在$R$上的单调性,并 证明。
题目三
已知函数$y = x^{-2}$ ,求其在点$(1,1)$处的 切线方程。
学生自主函数的奇偶性?
高一数学人必修一课
件第二章幂函数
汇报人:XX
20XX-01-22
• 幂函数基本概念与性质 • 常见幂函数类型及其特点 • 幂函数在生活中的应用举例 • 幂函数与指数、对数等其他类型
函数关系探讨 • 求解幂函数相关数学问题方法技
巧总结 • 练习题与课堂互动环节
目录
01

高一数学必修第一册2019(A版)-《幂函数》教材分析

高一数学必修第一册2019(A版)-《幂函数》教材分析

3.3幂函数一、本节知识结构框图二、重点、难点重点:五个幂函数的图象与性质.难点:画3y x =和12y x =的图象,通过5个幂函数的图象概括出它们的共性. 三、教科书编写意图及教学建议教科书将幂函数的内容安排在函数的一般概念和性质之后,是高中阶段研究的第一类具体函数.教学中应注意通过对幂函数的讨论,引导学生加强对前面所学函数知识的理解和应用,体会研究具体函数的基本内容、过程和方法.根据《标准(2017版)》的要求,教科书从实际问题中得到5个常用的幂函数,通过归纳它们的共性,给出幂函数概念.教学时,只需对这5个函数的图象和性质进行认识,不必拓展到对一般幂函数的讨论.教学重点在于利用一般函数的概念、图象与性质研究这5个幂函数,体会研究一类函数的“基本套路”.因此,本节内容的学习可以看成是一般函数概念与性质的下位学习.1.幂函数的定义(1)教科书首先给出5个实例,目的是引出5个常用的幂函数,同时也体现了函数是刻画实际问题的重要模型.从第四个实际问题中获得的函数为c =,由于教科书将分数指数幂的内容安排在第四章“指数函数”中,因此这里用边框的形式直12S .因为这里不涉及分数指数幂的运算,所以教学中不必做过多解释.(2)教科书在给出5个实例后安排了观察栏目.实际上,其中有3个函数是学生在初中已经接触过的,它们分别是正比例函数、反比例函数和二次函数,这里要求学生从另一个角度看它们.因此,应引导学生从指数幂的形式入手,观察5个函数解析式中的底数、指数的共性,得出它们“都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量,幂的指数都是常数”,由此概括解析式的共性,获得幂函数的定义.(3)在获得幂函数的定义后,教科书设置了“思考”,引导学生回顾以往学习函数的经验,提出研究幂函数的基本内容和思路.教学中应引导学生回忆初中学习函数的过程,结合前面研究一般函数的内容,明确研究一类具体函数的基本过程:①根据函数的解析式求出函数的定义域;②画出函数的图象;③利用图象和解析式,讨论函数的值域、单调性、奇偶性等.2.5个幂函数的图象教科书直接在一个坐标系中给出了5个幂函数的图象.5个函数中,y x =,2y x =,1y x -=都是学生熟悉的,很容易画出图象;3y x =和12y x =的图象,在教学中应引导学生结合函数的解析式进行描点作图得到函数图象,要提醒学生取点时应注意代表性.最后,可以利用信息技术,在同一平面直角坐标系中画出5个函数的图象,便于学生观察它们的共性和个性,为得出性质奠定基础. 3.幂函数的性质教科书在函数图象后给出了一个探究栏目,引导学生通过函数的图象和解析式探索函数的性质.在明确了函数的研究内容,画出了函数图象后,应放手让学生展开自主探究。

高一上数学必修一第四章《4.4幂函数》知识点梳理

高一上数学必修一第四章《4.4幂函数》知识点梳理

高一上必修二第四章《指数函数、对数函数与幂函数》知识点梳理§4.4 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y =x α(α=-1,12,1,2,3)的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.知识点一 幂函数的概念一般地,函数y =x α称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.提醒 幂函数中底数是自变量,而指数函数中指数为自变量.知识点二 幂函数的图像和性质1.幂函数的图像在同一平面直角坐标系中,幂函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y =,y =x -1的图像如图.2.五个幂函数的性质y =xy =x 2y =x 3y =y =x -1定义域R R R [0,+∞){x |x ≠0}值域R [0,+∞)R [0,+∞){y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上是增函数在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数在R 上是增函数在[0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数12x 12x公共点(1,1)1.y =-1x 是幂函数.( × )2.当x ∈(0,1)时,x 2>x 3.( √ )3.y =与y =定义域相同.( × )4.若y =x α在(0,+∞)上为增函数,则α>0.( √ )一、幂函数的概念例1 (1)(多选)下列函数为幂函数的是( )A .y =x 3 B .y =(12)xC .y =4x 2D .y =x答案 AD解析 B 项为指数函数,C 中的函数的系数不为1,AD 为幂函数.(2)已知y =(m 2+2m -2)+2n -3是幂函数,求m ,n 的值.解 由题意得Error!解得Error!或Error!所以m =-3或1,n =32.反思感悟 判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y =x α(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.跟踪训练1 已知f (x )=ax 2a +1-b +1是幂函数,则a +b 等于( )A .2 B .1 C.12 D .0答案 A解析 因为f (x )=ax 2a +1-b +1是幂函数,所以a =1,-b +1=0,即a =1,b =1,则a +b =2.32x 64x 22m x二、幂函数的图像例2 如图所示,图中的曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图像,已知n 取±2,±12四个值,则对应于c 1,c 2,c 3,c 4的n 依次为( )A .-2,-12,12,2B .2,12,-12,-2C .-12,-2,2,12D .2,12,-2,-12答案 B解析 根据幂函数y =x n 的性质,故c 1的n =2,c 2的n =12,当n <0时,|n |越大,曲线越陡峭,所以曲线c 3的n =-12,曲线c 4的n =-2.反思感悟 解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图像越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y =x -1 或y =或y =x 3)来判断.跟踪训练2 函数f (x )=的大致图像是( )答案 A解析 因为-12<0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递减,排除选项B ,C ;又f (x )的定义域为(0,+∞),故排除选项D.三、比较幂值的大小12x 12x例3 比较下列各组数中两个数的大小:(1)(25)0.5与(13)0.5;(2)(-23)-1与(-35)-1;(3)与.解 (1)∵幂函数y =x 0.5在(0,+∞)上是单调递增的,又25>13,∴(25)0.5>(13)0.5.(2)∵幂函数y =x -1在(-∞,0)上是单调递减的,又-23<-35,∴(-23)-1>(-35)-1.(3)∵函数y 1=(23)x为R 上的减函数,又34>23,∴>.又∵函数y 2=在(0,+∞)上是增函数,且34>23,∴>,∴>.反思感悟 比较幂值大小的方法跟踪训练3 比较下列各组值的大小:(1),;(2),,1.42.解 (1)∵y =为R 上的偶函数,∴=.又函数y =为[0,+∞)上的增函数,且0.31<0.35,3423⎛⎫⎪⎝⎭2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫ ⎪⎝⎭23x 2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭2334⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫⎪⎝⎭()650.31-650.35121.2121.465x ()650.31-650.3165x∴<,即<.(2)∵y =在[0,+∞)上是增函数,且1.2<1.4,∴<.又∵y =1.4x 为增函数,且12<2,∴<1.42,∴<<1.42.幂函数性质的应用典例 已知幂函数y =x 3m -9 (m ∈N +)的图像关于y 轴对称且在(0,+∞)上单调递减,求满足的a 的取值范围.解 因为函数y =x 3m -9在(0,+∞)上单调递减,所以3m -9<0,解得m <3.又因为m ∈N +,所以m =1,2.因为函数的图像关于y 轴对称,所以3m -9为偶数,故m =1.则原不等式可化为.因为y =在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,所以a +1>3-2a >0或3-2a <a +1<0或a +1<0<3-2a ,解得23<a <32或a <-1.故a 的取值范围是Error!.[素养提升] (1)幂函数y =x α中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,也可由这些性质去限制α的取值.(2)通过具体实例抽象出幂函数的概念和性质,并应用单调性求解,体现了数学中数学运算与直观想象的核心素养.650.31650.35()650.31-650.3512x 121.2121.4121.4121.2121.433(1)(32)m m a a --+<-1133(1)(32)a a --+<-13x-1.下列函数是幂函数的是( )A .y =5x B .y =x 5C .y =5x D .y =(x +1)3答案 B解析 函数y =5x 是指数函数,不是幂函数;函数y =5x 是正比例函数,不是幂函数;函数y =(x +1)3的底数不是自变量x ,不是幂函数;函数y =x 5是幂函数.2.幂函数y =x α(α∈R )的图像一定不经过( )A .第四象限 B .第三象限C .第二象限 D .第一象限答案 A解析 由幂函数的图像可知,其图像一定不经过第四象限.3.设α∈{-1,1,12,3},则使函数y =x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A .1,3B .-1,1C .-1,3D .-1,1,3答案 A解析 可知当α=-1,1,3时,y =x α为奇函数,又因为y =x α的定义域为R ,则α=1,3.4.已知幂函数f (x )=kx α(k ∈R ,α∈R )的图像过点(12,2),则k +α等于( )A.12 B .1 C.32 D .2答案 A解析 ∵幂函数f (x )=kx α(k ∈R ,α∈R )的图像过点(12,2),∴k =1,f(12)=(12)α=2,即α=-12,∴k +α=12.5.已知f (x )=,若0<a <b <1,则下列各式中正确的是( )A .f (a )<f (b )<f(1a )<f(1b)B .f (1a )<f(1b )<f (b )<f (a )C .f (a )<f (b )<f (1b )<f(1a )D .f (1a )<f (a )<f(1b )<f (b )12x答案 C解析 因为函数f (x )=在(0,+∞)上是增函数,又0<a <b <1<1b <1a ,故f (a )<f (b )<f(1b )<f(1a).1.知识清单:(1)幂函数的概念.(2)幂函数的图像.(3)幂函数的性质及其应用.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:幂函数与指数函数的区别;幂函数的奇偶性.1.幂函数f (x )=x α的图像经过点(2,4),则f (-12)等于( )A.12B.14 C .-14 D .2答案 B解析 幂函数f (x )=x α的图像经过点(2,4),则2α=4,解得α=2;∴f (x )=x 2,∴f (-12)=(-12)2=14.2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )A .y =x -2 B .y =x -1C .y =x 2 D .y =答案 A解析 所给选项都是幂函数,其中y =x -2和y =x 2是偶函数,y =x -1和y =不是偶函数,故排除选项B ,D ,又y =x 2在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意,y =x -2在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意.3.设a =,b =,c =,则a ,b ,c 的大小关系是( )12x 13x13x 2535⎛⎫ ⎪⎝⎭3525⎛⎫⎪⎝⎭2525⎛⎫⎪⎝⎭A .a >c >bB .a >b >cC .c >a >bD .b >c >a答案 A解析 ∵y =(x >0)为增函数,又35>25,∴a >c .∵y =(25)x (x ∈R )为减函数,又25<35,∴c >b .∴a >c >b .4.在同一坐标系内,函数y =x a (a ≠0)和y =ax -1a的图像可能是( )答案 C解析 选项A 中,幂函数的指数a <0,则y =ax -1a 应为减函数,A 错误;选项B 中,幂函数的指数a >1,则y =ax -1a 应为增函数,B 错误;选项D 中,幂函数的指数a <0,则-1a >0,直线y =ax -1a在y 轴上的截距为正,D 错误.5.若幂函数f (x )的图像过点(2,2),则函数g (x )=f (x )-3的零点是( )A.3 B .9 C .(3,0) D .(9,0)答案 B解析 ∵幂函数f (x )=x α的图像过点(2,2),∴f (2)=2α=2,解得α=12,∴f (x )=,∴函数g (x )=f (x )-3=-3,由-3=0,得x =9.∴函数g (x )=f (x )-3的零点是9.6.已知幂函数f (x )=x α的部分对应值如表:x11225x 12x 12x 12xf (x )122则f (x )的单调递增区间是________.答案 [0,+∞)解析 因为f(12)=22,所以(12)α=22,即α=12,所以f (x )=的单调递增区间是[0,+∞).7.已知幂函数f (x )=x α(α∈R )的图像经过点(8,4),则不等式f (6x +3)≤9的解集为________.答案 [-5,4]解析 由题意知8α=4,故α=log 84=23,由于f (x )==x 2为R 上的偶函数且在(0,+∞)上递增,故f (6x +3)≤9即为f (6x +3)≤f (27),所以|6x +3|≤27,解得-5≤x ≤4.8.设a =,b =,c =,则a ,b ,c 从小到大的顺序是________.答案 b <a <c解析 由a =,b =,可利用幂函数的性质,得a >b ,可由指数函数的单调性得c >a ,∴b <a <c .9.已知幂函数f (x )=x α的图像过点P (2,14),试画出f (x )的图像并指出该函数的定义域与单调区间.解 因为f (x )=x α的图像过点P (2,14),所以f (2)=14,即2α=14,得α=-2,即f (x )=x -2,f (x )的图像如图所示,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递增区间为(-∞,0).10.已知幂函数f (x )=x 9-3m (m ∈N +)的图像关于原点对称,且在R 上单调递增.(1)求f (x )的解析式;(2)求满足f (a +1)+f (3a -4)<0的a 的取值范围.解 (1)由幂函数f (x )=x 9-3m (m ∈N +)的图像关于原点对称,且在R上单调递增,可得9-3m >0,解得m <3,m ∈N +,可得m =1,2,12x 23x 2312⎛⎫⎪⎝⎭2315⎛⎫ ⎪⎝⎭1312⎛⎫⎪⎝⎭2312⎛⎫ ⎪⎝⎭2315⎛⎫⎪⎝⎭若m =1,则f (x )=x 6的图像不关于原点对称,舍去;若m =2,则f (x )=x 3的图像关于原点对称,且在R 上单调递增,成立.则f (x )=x 3.(2)由(1)可得f (x )是奇函数,且在R 上单调递增,由f (a +1)+f (3a -4)<0,可得f (a +1)<-f (3a -4)=f (4-3a ),即为a +1<4-3a ,解得a <34.11.若函数f (x )=(m +2)x a 是幂函数,且其图像过点(2,4),则函数g (x )= log a (x +m )的单调递增区间为( )A .(-2,+∞) B .(1,+∞)C .(-1,+∞) D .(2,+∞)答案 B解析 由题意得m +2=1,解得m =-1,则f (x )=x a ,将(2,4)代入函数的解析式得,2a =4,解得a =2,故g (x )=log a (x +m )=log 2(x -1),令x -1>0,解得x >1,故g (x )在(1,+∞)上单调递增.12.函数y =-1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )答案 B解析 y =的图像位于第一象限且为增函数,所以函数图像是上升的,函数y =-1的图像可看作由y =的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图所示),将y =-1的图像关于x 轴对称后即为选项B.13.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y =x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是________.答案 9解析 由题意可知加密密钥y =x α(α为常数)是一个幂函数,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y =.由=3,得x =9,即明文是9.14.已知幂函数f (x )=,若f (a +1)<f (10-2a ),则a 的取值范围是________.12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x答案 (3,5)解析 ∵f (x )==1x(x >0),易知f (x )在(0,+∞)上为减函数,又f (a +1)<f (10-2a ),∴Error!解得Error!∴3<a <5.15.幂函数y =x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y =x α,y =x β的图像三等分,即有BM =MN =NA ,那么,αβ等于________.答案 1解析 由条件,得M (13,23),N (23,13),可得13=(23)α,23=(13)β,即α=13,β=23.所以αβ=13·23=lg 13lg 23·lg 23lg 13=1.16.已知幂函数g (x )过点(2,12),且f (x )=x 2+ag (x ).(1)求g (x )的解析式;(2)讨论函数f (x )的奇偶性,并说明理由.解 (1)设幂函数的解析式g (x )=x α(α为常数).因为幂函数g (x )过点(2,12),所以2α=12,解得α=-1,所以g (x )=1x.(2)由(1)得f (x )=x 2+a x.①当a =0时,f (x )=x 2.12x 23log 13log 23log 13log由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x),可知f(x)为偶函数.②当a≠0时,由于f(-x)=(-x)2+a-x=x2-ax≠x2+ax=f(x),且f(-x)=(-x)2+a-x=x2-ax≠-(x2+a x)=-f(x),所以f(x)是非奇非偶函数.综上,①当a=0时,f(x)为偶函数;②当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.。

高一数学新教材必修1《幂函数》说课稿

高一数学新教材必修1《幂函数》说课稿

高一数学新教材必修1《幂函数》说课稿
《幂函数》说课稿
 各位专家领导,早上好!
 今天我将要为大家讲的课题是幂函数。

 一、说教材
 1、教材的地位和作用:
 《幂函数》选自高一数学新教材必修1第2章第3节。

幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。

通过本节课的学习,学生将建立幂函数这一函数模型,并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数,进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识,因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。

 2、教学目标
 根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,制定如下教学目标:
 (1)基础知识目标:
 ①理解幂函数的概念,会画幂函数的图象。

 ②结合这几个幂函数的图象,理解幂函图象的变化情况和性质。

 ③了解分段函数及其表示。

 (2)能力训练目标:
 ①通过观察、总结幂函数的性质,培养学生概括抽象和识图能力。

 ②使学生进一步体会数形结合的思想。

 (3)情感态度与价值观
 1、通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应。

数学高一上册知识点幂函数

数学高一上册知识点幂函数

数学高一上册知识点幂函数幂函数是高中数学中的重要知识点之一,在高一上册的数学学习中,幂函数的概念和性质需要我们深入理解和掌握。

本文将围绕幂函数的定义、图像特征、基本性质以及幂函数的应用方面展开讨论。

一、幂函数的定义对于任意的实数a(a>0且a≠1)和实数b(b是任意实数),幂函数可以表示为 y=a^b。

其中,a被称为底数,b被称为指数。

幂函数的定义域一般为实数集。

二、幂函数的图像特征1. 当底数a>1时,随着指数b的增大,幂函数的增长速度也增大;当指数b<0时,幂函数的函数值趋于0,且在x轴的正半轴上递减。

2. 当0<a<1时,随着指数b的增大,幂函数的增长速度减小;当指数b<0时,幂函数的函数值趋于∞,且在x轴的正半轴上递增。

3. 当a=-1时,幂函数的图像为下凸函数,并且在x轴的奇数倍根处与x轴相切;在x轴的偶数倍根处,幂函数与x轴相交。

4. 当a=-1且b是奇数时,幂函数的图像在整个定义域上均与x轴相交;当b是偶数时,幂函数的图像在负半轴与x轴相交,在整个定义域上与x轴相切。

5. 当a<0且a≠-1时,幂函数的图像与a>0时的情况相似,但在定义域内有对称性。

三、幂函数的基本性质1. 幂函数的奇偶性:当指数b为奇数时,幂函数关于y轴对称;当指数b为偶数时,幂函数关于原点对称。

2. 幂函数的单调性:当底数a>0且a≠1时,幂函数随着指数b的增大,在定义域内递增或递减;当底数a<0时,幂函数在定义域内具有单调性,方向由指数的奇偶性决定。

3. 幂函数的零点和极限:当指数b>0时,幂函数的零点只有一个,即x=0;当指数b<0时,幂函数在x趋于0时函数值趋近于∞或者趋近于0。

四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有许多应用。

例如,金融领域的复利计算、物理学中的指数增长模型、生物学中的细胞分裂等等。

幂函数的特性使得它在描述和解决这些问题时具有较高的准确性和实用性。

高一数学必修1 幂函数-ppt

高一数学必修1 幂函数-ppt

(1,1)
(1,1)
知识应用:
例2.比较下列各组数的大小: 解后反思
1
1
< (1)1.32 ____1.4 2
(2)0.26 1 _>____ 0.27 1 (3)(5.2)2 _>____(5.3)2
两个数比 较大小时 ,何时用 幂函数模 型,何时 用指数函 数模型?
1
(4)0.7 2 __>___ 0.72
例3、证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数.
证明:任取x1,x2∈ [0,+∞),且x1<x2,则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0,
除了作差,还 有没有其它方
另附:
y x
奇函数
偶函数
非奇非偶 函数
α>1
0<α<1
α<0
2
4
-2
-1
y=f(x)
1.5 1
0.5
- 0.5 -1
- 1.5 -2 3
2.5 2
1.5 1
y=x3
1
2
3
y=x2
3
2 y=x-1
1
-4
-2
-1
-2
-3 6
2
4
6
5
4
3 y=x -2
2
0.5 1
-2
-1
-0.5
-1
1
2
3
-4
-2
-1
2.若幂函数y=f(x)的图象经过点(3, 27 )

人教版高中数学必修一第12讲:幂函数(学生版)

人教版高中数学必修一第12讲:幂函数(学生版)

人教版高中数学 幂函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y =x ,y =,y =,y =,的图像,了解它们的变化情况.2、通过对幂函数的研究,加深对函数概念的理解.一、定义:一般地,我们把形如()ay x a R =∈的函数叫做幂函数,其中a 为常数。

特别提醒:幂函数的基本形式是 y = ,其中x 是自变量,a 是常数. 要求掌握 y =x ,y = ,y = ,y =,y = 这五个常用幂函数的图象.二、幂函数性质:1、所有的幂函数在()0,+∞都有定义,并且图像都通过点()1,1;2、如果0a >,则幂函数的图像经过原点,并且在区间[)0,+∞上为增函数;如果0a <,则幂函数的图像不经过原点,并且在区间()0,+∞上为增函数是奇数(1)当a>0时,图象过定点(0,0),(1,1);在(0,+∞)上是增函数.(2)当a<0时,图象过定点(1,1);在(0,+∞)上是减函数;在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.三、如图,,,,,a b c d e f的大小关系为:a b c d e f<<<<<类型一幂函数的定义例1:在函数y=1x2,y=2x2,y=x2+x,y=3x中,幂函数的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3练习1:有下列函数:①y=3x2;②y=x2+1;③y=-1x;④y=1x;⑤y=;⑥y=2x.其中,是幂函数的有________(只填序号).练习2:函数y=(k2-k-5)x2是幂函数,则实数k的值是()A .k =3B .k =-2C .k =3或k =-2D .k ≠3且k ≠-2类型二 幂函数的图象和性质例2:幂函数y =x m ,y =x n ,y =x p ,y =x q的图象如图,则将m 、n 、p 、q 的大小关系用“<”连接起来结果是________.练习1:(2014~2015学年度江西鹰潭一中高一上学期月考)已知幂函数f (x )=kx α的图象过点⎝⎛⎭⎫12,2,则k -α=( ) A .12B .1C .32D .2练习2:(2014~2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知幂函数y =(m 2-5m -5)x 2m+1在(0,+∞)上单调递减,则实数m =( )A .1B .-1C .6D .-1或6类型三 函数值大小的比较例3:比较下列各组数的大小练习1:下列关系中正确的是( )A .(12)23 <(15)23 <(12)13B .(12)23 <(12)13 <(15)23 C .(15)23 <(12)13 <(12)23D .(15)23 <(12)23 <(12)13练习2:比较下列三个值的大小,,;1、如图曲线是幂函数y =x n 在第一象限内的图象,已知n 取±2,±12四个值,相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A .-2,-12,12,2B .2,12,-12,-2C .-12,-2,2,12D .2,12,-2,-122、下列命题中正确的是( ) A .幂函数的图象不经过点(-1,1) B .幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C .若幂函数f (x )=x a 是奇函数,则f (x )是定义域上的增函数D .幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、函数y =12x 的图象大致为( )4、设函数y =a x -2-12(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在幂函数y =x α的图象上,则该幂函数的单调递减区间是( )A .(-∞,0)B .(0,+∞)C .(-∞,0),(0,+∞)D .(-∞,+∞)5、若函数f (x )=(2m +3)xm 2-3是幂函数,则m 的值为________.6、(2014~2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知幂函数y =f (x )的图象过点(2,8),则f (x )=______________._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.如图所示为幂函数y =x m 与y =x n 在第一象限内的图象,则( )A .-1<n <0<m <1B .n <0<m <1C .-1<n <0,m <1D .n <-1,m >12.函数y =x 3与函数y =x 13的图象( )A .关于原点对称B .关于x 轴对称C .关于y 轴对称D .关于直线y =x 对称3.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x ),则下列结论中正确的是( )A .x >22%B .x <22%C .x =22%D .x 的大小由第一年产量确定4.某种细菌在培养过程中,每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个),则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )A .12hB .4hC .3hD .2h5.某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x 年,绿色植被面积可以增长为原来的y 倍,则函数y =f (x )的图象大致为( )能力提升6.若幂函数y=(m2-3m+3)x m2-m-2的图象不过原点,则m是__________.7.如果幂函数y=x a的图象,当0<x<1时,在直线y=x的上方,那么a的取值范围是________.8. 已知函数f(x)=(m2+2m)·x m2+m-1,m为何值时,f(x)是(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.9.定义函数f(x)=max{x2,x-2},x∈(-∞,0)∪(0,+∞),求f(x)的最小值.10. 已知幂函数y=x m2-2m-3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点,且关于y轴对称,求出m的值。

高中数学必修1 幂函数

高中数学必修1 幂函数

..过程与方法.、研究幂函数的图像幂函数性质凸越大,下凸的程度越大(你能找出原因吗?)上凸的程度越大(你能说出原因吗?).课外练习一、选择题1.下列函数中既是偶函数又是 ( )A .B .C .D .2.函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是 ( )A .41 B .1- C .4 D .4- 3.下列所给出的函数中,是幂函数的是( )A .3x y -=B .3-=xyC .32x y = D .13-=x y 4.函数34x y =的图象是( )A .B .C .D .5.下列命题中正确的是( )A .当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点C .若幂函数αx y =是奇函数,则αx y =是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限6.函数3x y =和31x y =图象满足( )A .关于原点对称B .关于x 轴对称C .关于y 轴对称D .关于直线x y =对称 7. 函数R x x x y ∈=|,|,满足( )A .是奇函数又是减函数B .是偶函数又是增函数C .是奇函数又是增函数D .是偶函数又是减函数8.函数2422-+=x x y 的单调递减区间是( )A .]6,(--∞B .),6[+∞-C .]1,(--∞D .),1[+∞-9. 如图1—9所示,幂函数αx y =在第一象限的图象,比较1,,,,,04321αααα的大小( ) A .102431<<<<<αααα B .104321<<<<<αααα C .134210αααα<<<<< D .142310αααα<<<<<10. 对于幂函数54)(x x f =,若210x x <<,则)2(21x x f +,2)()(21x f x f +大小关系是( ) A .)2(21x x f +>2)()(21x f x f +B . )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C . )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D . 无法确定二、填空题 11.函数的定义域是 .12.的解析式是.13.942--=a a xy 是偶函数,且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 .14.幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y mnk∈=-图象在一、二象限,不过原点,则nm k ,,的奇偶性为 . 三、解答题 15.(12分)比较下列各组中两个值大小1α3α4α2α(1)16.(12分)求证:函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数.17.(12分)下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y );();()(;);();()((A ) (B ) (C ) (D ) (E ) (F ) 18.(14分)利用幂函数图象,画出下列函数的图象(写清步骤).(1).参考答案一、CCBAD DCADA 二、11.; 12.)0()(34≥=x x x f ; 13.5; 14.k m ,为奇数,n 是偶数;三、15. 解:(1)+∞<<<+∞=7.06.00),0(116上是增函数且在函数x y1161167.06.0<∴ (2)函数),0(35+∞=在x y 上增函数且89.088.00<<.)89.0()88.0(,89.088.089.088.0353535353535-<-∴->-∴<∴即16.解: 显然)()()(33x f x x x f -=-=-=-,奇函数;令21x x <,则))(()()(22212121323121x x x x x x x x x f x f ++-=-=-, 其中,显然021<-x x ,222121x x x x ++=2222143)21(x x x ++,由于0)21(221≥+x x ,04322≥x ,且不能同时为0,否则021==x x ,故043)21(22221>++x x x .从而0)()(21<-x f x f . 所以该函数为增函数. 17.解:六个幂函数的定义域,奇偶性,单调性如下:(1)323x x y ==定义域[0,,既不是奇函数也不是偶函数,在[0,是增函数;.),0(16),0(15),0(14),0[3),0[22133223232331上减函数函数,在既不是奇函数也不是偶定义域为)(是减函数;是奇函数,在定义域)(是减函数;是偶函数,在定义域)(是增函数;,是偶函数,在定义域为)(是增函数;,是奇函数,在定义域为)(+∞==+∞==+∞==+∞==+∞==+--+--+-R xx y UR R x x y UR R x x y R x x y R x x y通过上面分析,可以得出(1)↔(A ),(2)↔(F ),(3)↔(E ),(4)↔(C ),(5)↔(D ),(6)↔(B ).18.解:(1)1)1(1112112222222++=+++=++++=x x x x x x x y 把函数21,x y =的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象.(2)1)2(35--=-x y 的图象可以由35-=x y 图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位而得到.图象略。

人教版高一数学必修一《幂函数》说课稿

人教版高一数学必修一《幂函数》说课稿

人教版高一数学必修一《幂函数》说课稿一、课程背景本节课是高中一年级数学必修课程中的《幂函数》单元。

作为高中数学的重要组成部分,幂函数是学生进一步了解函数概念和运算规律的基础,同时也是后续学习数学的基本工具之一。

本节课将通过讲解幂函数的定义、性质和图像特点,引导学生深入理解幂函数的基本概念和运算规律,以及在实际问题中的应用。

二、教学目标本节课的教学目标主要包括:1.了解幂函数的定义和基本性质;2.掌握幂函数的图像特点及其在实际问题中的应用;3.培养学生的数学思维和分析问题的能力。

三、教学重点与难点本节课的教学重点是:1.幂函数的定义和基本性质;2.幂函数的图像特点及其在实际问题中的应用。

教学难点是:1.帮助学生理解幂函数的性质和图像特点;2.引导学生将幂函数应用于实际问题的解决过程中。

四、教学过程1. 引入(5分钟)通过提问引入幂函数的概念,例如:你们是否有注意到某些数学公式中的指数部分?比如2的3次方、4的平方等等。

这些都是幂函数的具体例子。

接着让学生思考幂函数的定义和性质以及其在实际问题中的应用。

2. 概念解释与示例讲解(15分钟)首先,我们来明确幂函数的定义:幂函数是指以自变量x为底数的函数,形如f(x) = x^a(a为常数)。

解释完定义后,通过几个具体的例子,如f(x) = x^2和f(x) = x^3,来说明幂函数的性质和图像特点。

接着,我们来看一些常见的幂函数的图像特点:•当a > 0时,随着x的增大,函数值也会增大,图像呈现右上方向延伸的趋势;•当a < 0时,随着x的增大,函数值会减小,图像呈现右下方向延伸的趋势;•当a > 1时,随着x的增大,函数值的增长速度越来越快,图像呈现上升的趋势;•当0 < a < 1时,随着x的增大,函数值的增长速度越来越慢,图像呈现上升但趋于平缓的趋势。

3. 例题演练(20分钟)通过几个例题,让学生运用所学的幂函数的性质与图像特点,进行解题演练。

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2.4幂函数
经典例题:比较下列各组数的大小:
(1)1.5,1.7,1;(2)(-),(-),1.1;
(3)3.8,3.9,(-1.8);(4)31.4,51.5.
当堂练习:
1.函数y=(x2-2x)的定义域是()
A.{x|x≠0或x≠2}B.(-∞,0)(2,+∞)C.(-∞,0)[2,+∞)D.(0,2)
3.函数y=的单调递减区间为()
A.(-∞,1)B.(-∞,0)C.[0,+∞]D.(-∞,+∞)
3.如图,曲线c1, c2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限的图象,
那么一定有()
A.n<m<0 B.m<n<0
C.m>n>0 D.n>m>0
4.下列命题中正确的是()
A.当时,函数的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点
C.幂函数的图象不可能在第四象限内D.若幂函数为奇函数,则在定义域内是增函数
5.下列命题正确的是()
幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
图象不经过(—1,1)为点的幂函数一定不是偶函数
如果两个幂函数的图象具有三个公共点,那么这两个幂函数相同
如果一个幂函数有反函数,那么一定是奇函数
6.用“<”或”>”连结下列各式:,.
7.函数y=在第二象限内单调递增,则m的最大负整数是_______ _.
8.幂函数的图象过点(2,), 则它的单调递增区间是.
9.设x∈(0, 1),幂函数y=的图象在y=x的上方,则a的取值范围是.
10.函数y=在区间上是减函数.
11.试比较的大小.
12.讨论函数y=x的定义域、值域、奇偶性、单调性。

13.一个幂函数y=f (x)的图象过点(3, ),另一个幂函数y=g(x)的图象过点(-8, -2),
(1)求这两个幂函数的解析式;(2)判断这两个函数的奇偶性;(3)作出这两个函数的图象,观察得f (x)< g(x)的解集.
14.已知函数y=.
(1)求函数的定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.
2.4幂函数
参考答案:
经典例题:解:(1)∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同,且1的任何次幂都是1,因此,比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小,也就是比较函数y=x中,当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系,因为自变量的值的大小关系容易确定,只需确定函数y=x的单调性即可,又函数y=x在(0,+∞)上单调递增,且1.7>1.5>1,所以1.7>1.5>1.
(2)(-)=(),(-)=(),1.1=[(1.1)2]=1.21.
∵幂函数y=x在(0,+∞)上单调递减,且<<1.21,
∴()>()>1.21,即(-)>(-)>1.1.
(3)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0<3.8<1,3.9>1,(-1.8)<0,从而可以比较出它们的大小.(4)它们的底和指数也都不同,而且都大于1,我们插入一个中间数31.5,利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5.
当堂练习:
1.B ;
2. B ;
3. B ;
4. C ;
5. B ;
6. ,;
7. ;
8. (-∞, 0);
9. (-∞, 1);10. (0,+∞);
11.因,,所以
12.函数y=x的定义域是R;值域是(0, +∞);奇偶性是偶函数;在(-∞, 0)上递减;在[0, +∞ )上递增.
13.(1)设f (x)=xa, 将x=3, y=代入,得a=, ;
设g(x)=xb, 将x=-8, y=-2代入,得b=,;
(2)f (x)既不是奇函数,也不是偶函数;g(x)是奇函数;(3)(0,1).
14.这是复合函数问题,利用换元法令t=15-2x-x2,则y=,
(1)由15-2x-x2≥0得函数的定义域为[-5,3],
∴t=16-(x-1)2[0,16].∴函数的值域为[0,2].
(2)∵函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
(3)∵函数的定义域为[-5,3],对称轴为x=1,
∴x[-5,1]时,t随x的增大而增大;x(1,3)时,t随x的增大而减小.
又∵函数y=在t[0,16]时,y随t的增大而增大,
∴函数y=的单调增区间为[-5,1],单调减区间为(1,3).。

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