高等代数试卷及答案--(二)
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一、填空题 (共10题,每题2分,共20 分)
1.只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2.二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫
⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
的矩阵为__________________。
3.设A 是实对称矩阵,则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4.正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5.标准正交基下的度量矩阵为_________________________。
6.线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7.在22P ⨯中定义线性变换σ为:()a b X X c d σ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,写出σ在基11122122,,,E E E E 下的
矩阵_______________________________。
8.设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间,且12V V ⊆,若12dim dim V V =,则_____________________。 9.叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10.向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅(1)与基12,,,n βββ⋅⋅⋅(2)下的坐标分别为x 、y ,且从基(1)到基(2)的过渡矩阵为A ,则x 与y 的关系为_____________________________。
二、判断题 (共10 题,每题1分,共10分)
1.线性变换在不同基下的矩阵是合同的。( ) 2.设σ为n 维线性空间V 上的线性变换,则()1
0V V σσ
-+=。
( ) 3.平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法,构成实数域上的线性空间。( ) 4.设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间,则
12n V V P ⊕= ( )
5.2
2
11n
n i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭
∑∑为正定二次型。( )
6.数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。( )
7.把复数域C 看作复数域上的线性空间,C ξ∀∈,令σξξ=,则σ是线性变换。( ) 8.若σ是正交变换,那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。( ) 9.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。( ) 10.若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换,则σ不可对角化。( )
三、计算题 (共3题,每题10分,共30分)
1.设线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为122212221A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,求σ的特征值与特征向量,并
判断σ是否可对角化?
2.t 取什么值时,下列二次型是正定的?
()222
123123121323,,5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+
3.设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为:11
121321
222331
32
33a a a A a a a a a a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,求σ在基()12,,0k k P k εε∈≠且,3ε下的矩阵B 。 四、证明题 (共4题,每题10分,共40分)
1.证明:
1
2
n A λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭与12
i i in B λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
相似,其中12,,,n
i i i ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅的一
个排列。 2.证明:和
1s
i
i V =∑是直和的充要条件为:{}()1
1
02,3,,i i
j
j V V i s -===⋅⋅⋅∑。
3.设A 是n 级实对称矩阵,且2A A =,证明:存在正交矩阵T ,使得:
11110
0T AT -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
4.证明:1
2
n A λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 与 12
i i in B λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
合同, 其中12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅的一个排列。
答案
一.1.零 2.3996⎛⎫
⎪⎝⎭
3.充分大
4.正交矩阵
5. E
6.有n 个线性无关的特征向量
7.
0000000
a b a b c d
c d ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
8.
12
V V = 9.
()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=+-
10. X AY =
二.1. ⨯ 2. ⨯ 3. ⨯ 4.√ 5. ⨯ 6. ⨯ 7. ⨯ 8. √ 9. ⨯ 10. √
三.1.解:()()()2
1
22
2
1
2512
2
1
A f E A λλλλλλλ---=-=---=-+--- (3分) 所以,σ的特征值为11λ=-(二重)和25λ=。把11λ=-代入方程组
()0E A X λ-=得:
122122122222022202220x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩
基础解系为1101n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 2011n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
因此,σ属于1-得两个线性无关得特征向量为: 112223,ξεεξεε=-=- 因而属于1-的全部特征向量就是1122k k εε+ ,1k 、2k 取遍P 中不全为零的全部数对 (6
分),再用25λ=代入()0E A X λ-=得:基础解系3111n ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,因此,属于5的全部特征向量是3k ξ,k 是P 中任意不等于零的数。 (9分)
因为σ有三个线性无关的特征向量,所以σ可能对角化。 (10分)
2.解:f 的矩阵为:1112125t A t -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
10>,
21101
t t t =-> , 2540A t t =--> 。得:4
05t -<<