高等代数试卷及答案--(二)

一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。

2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。

3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。

4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。

5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。

6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。

7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。

8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。

9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。

10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。

二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。

（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。

（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。

（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。

（ ）6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。

（ ）7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ∀∈，令σξξ=，则σ是线性变换。

（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。

（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。

（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。

（ ）三、计算题 （共3题，每题10分，共30分）1．设线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求σ的特征值与特征向量，并判断σ是否可对角化？2．t 取什么值时，下列二次型是正定的？()222123123121323,,5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+3．设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为：111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求σ在基()12,,0k k P k εε∈≠且，3ε下的矩阵B 。

四、证明题 （共4题，每题10分，共40分）1．证明：12n A λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与12i i in B λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，其中12,,,ni i i ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅的一个排列。

2．证明：和1sii V =∑是直和的充要条件为：{}()1102,3,,i ijj V V i s -===⋅⋅⋅∑。

3．设A 是n 级实对称矩阵，且2A A =，证明：存在正交矩阵T ，使得：111100T AT -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4．证明：12n A λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 与 12i i in B λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭合同， 其中12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅的一个排列。

答案一．1．零 2．3996⎛⎫⎪⎝⎭3.充分大4.正交矩阵5. E6.有n 个线性无关的特征向量7.0000000a b a b c dc d ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭8.12V V = 9.()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=+-10. X AY =二．1. ⨯ 2. ⨯ 3. ⨯ 4.√ 5. ⨯ 6. ⨯ 7. ⨯ 8. √ 9. ⨯ 10. √三．1.解：()()()212221251221A f E A λλλλλλλ---=-=---=-+--- （3分） 所以，σ的特征值为11λ=-（二重）和25λ=。

把11λ=-代入方程组()0E A X λ-=得：122122122222022202220x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩基础解系为1101n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 2011n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因此，σ属于1-得两个线性无关得特征向量为： 112223,ξεεξεε=-=- 因而属于1-的全部特征向量就是1122k k εε+ ，1k 、2k 取遍P 中不全为零的全部数对 （6分），再用25λ=代入()0E A X λ-=得：基础解系3111n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因此，属于5的全部特征向量是3k ξ，k 是P 中任意不等于零的数。

（9分）因为σ有三个线性无关的特征向量，所以σ可能对角化。

（10分）2.解：f 的矩阵为：1112125t A t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭10>，21101t t t =-> ， 2540A t t =--> 。

得：405t -<<∴当405t -<<时，f 是正定的。

3．解：()11112123131a a k a kσεεεε=++ （2.5分）()()2121222323k ka a k ka σεεεε=++ （2.5分）()()31312323331a a k a kσεεεε=++ （2.5分）∴σ在基下的矩阵为11121321222331323311a ka a B a a a k k a ka a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2.5分） 四．1.证：任意n 维向量空间V ，V ∀的基12,,,n ααα⋅⋅⋅，则∃唯一()L V σ∈使()()121212n n n λλσααααααλ⎛⎫⎪⎪⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭（3分） 即()i i i σαλα= 1,2,,i n =⋅⋅⋅()111i i i σαλα∴=()222i i i σαλα=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅()in in in σαλα=∴σ在基12,,,i i in ααα⋅⋅⋅下的矩阵为B （6分） ∴A 与B 相似（1分）2．证：1sji V=⇒∑是直和 {}0ii j iV V ≠∴=∑ （3分）11i ijijj j iV VV V-=≠⊆∑∑ {}110i ij j V V -=∴=∑ （2分）⇐令110s s ααα-+⋅⋅⋅++= ()11s s ααα-∴=-+⋅⋅⋅+11s s sjj V Vα-=∴∈∑ （3分）0s α∴=，同理1210s ααα-=⋅⋅⋅===1si i V =∴∑是直和。

（2分）3．证：设λ是A 的任一特征值 0α∴∃≠ ，使A αλα=()22A A αλαλα∴== 2A A = ，2λαλα∴=()20λλα∴-= 0α≠ 20λλ∴-=1λ∴=或0λ= A 实对称矩阵∴∃正交矩阵T ，使11100T AT -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4．证：A 、B 对应的二次型分别为()22211122,,n n n f x x x x x λλλ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+ ()22211122,,n i i in ing y y y y y λλλ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+ 令1122i i n iny x y x y x =⎧⎪=⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪=⎩ ， ()()221111,,,,n i i in in n g y y x x f x x λλ⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ 所以，A 与B 合同。