初中数学相似三角形的判定定理
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q 同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由△B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，△AB=8cm，BC=16cm，△BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，△△B是公共角，△①当=，即=时，△PBQ△△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP △△ABC ，解得：x=1.6，△经4或1.6秒钟△PBQ 与△ABC 相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】证明：∵AC=2，BC=221031=+，AB=4，DF=222222=+，EF=2202621=+，ED=8，∴12AC BC AB DF EF DE ===， ∴△ABC ∽△DEF ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．2BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。
在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。
本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。
一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。
1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。
1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。
例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。
2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。
具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。
3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。
具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。
相似三角形的性质在数学中应用广泛。
例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。
初中数学相似三角形专题练习题-相似三角形的判定和应用
相似三角形的判定【知识梳理】1.相似三角形的概念：如果两个三角形的三个角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形2.相似比：相似三角形对应边的比叫相似比，如果两个三角形的相似比为1，则这两个三角形是全等三角形3.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
4.相似三角形判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似5.相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似6.相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似7.直角三角形相似的判定定理：斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似【例题剖析】【例1】在ABC ∆和'''C B A ∆中，有下列条件（1）''''C B BC B A AB =，(2) ''''C B BCC A AC =， (3) '∠=∠A A ，(4) 'C C ∠∠=，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断ABC ∆∽'''C B A ∆的共有几组（ ）A. 5组B. 4组C. 3组D. 2组【例2】下列命题：（1）三边对应边成比例的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；（3）一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；（4）一个角对应相等的两个等腰三角形相似．其中正确的是（ ）A. (1)(3)B. (1)(4)C. (1)(2)(4)D. (1)(3)(4)【例3】如图,矩形ABCD 是由三个正方形ABEG ,GEFH ,HFCD 组成的, 证明：AEF ∆∽AEC ∆笔记 思考【例4】 已知：如图，在ABC ∆中，CE BD ,分别是AB AC ,边上的高．求证：ABD ∆∽ACE ∆【例5】如图，已知AEACDE BC AD AB ==，试说明CAE BAD ∠=∠【经典习题】（A ）组1.下列各组条件中，不能判定△ABC 和△A 1B 1C 1相似的是（ ）A.11B A AB ＝11C B BC ，∠A ＝∠A 1 B. 11B A AB ＝11C B BC ＝11C A ACC. ∠C ＝∠C 1，11C B BC ＝11C A ACD. ∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 12.下列命题中，正确的是（ ）A. 所有的矩形都相似B. 所有的直角三角形都相似C. 有一个角是100°的所有等腰三角形都相似D. 有一个角是50°的所有等腰三角形都相似 3.下列命题中，真命题是（ ）A. 所有直角三角形都相似B. 所有等腰三角形都相似C.所有等腰直角三角形都相似D. 所有菱形都相似笔记 思考4.如图，点D 是ABC ∆边AC 上一点，满足∠CBD ＝∠A ，则（ ）A. △CBD ∽△BADB. △CBD ∽△CABC.△ABD ∽△ACBD. 图中没有相似三角形 5.下列命题一定正确的是（ ）A. 两个等腰三角形一定相似B. 两个等边三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D. 两个含有30°角的三角形一定相似 6.下列说法正确的是（）A. 相似三角形是全等三角形B.不相似的三角形可能是全等三角形C.不全等的三角形不是相似三角形 D ．全等三角形是相似三角形的特例． 7. 如图，在ABC ∆中，90BAC °∠=，AD BC ⊥，垂足为点D ，ABC ∠的平分线分别交AD .AC 于点E .F ，连结DF ，下列结论中错误的是（ ）A. ABD ∆∽ADC ∆B.BDF ∆∽DFA ∆C.BDE ∆∽BAF ∆D.ABE ∆∽CBF ∆8. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）A. 有一个角为60°的两个等腰三角形B. 有一个角为80°的两个等腰三角形C.有一个角为90°的两个等腰三角形D. 有一个角为100°的两个等腰三角形9. 如图，已知△ABC 是直角三角形，∠C=90°，DA ⊥AB ．欲使△ABC 与△DBA 相似，除了添加角上的条件如∠ABC=∠DBA 外，还可添加一个边上的条件是 ．（只需填写一个你认为符合要求的条件）（B ） 组10. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABCCBAD笔记 思考11. 已知：如图,△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E.F 是AB 边所在直线上的两点，且∠ECF ＝135° （1）求证：△ECA ∽△CFB（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域12.如图，在ABC ∆中，90CAB °∠=，CFG B ∠=∠，过点C 作CE AB ∥，交CAB ∠的平分线AD 于点E（1）不添加字母，找出图中所有相似的三角形，并证明（2）证明：FC ADCG ED=(C)组13.已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点B 为圆心，BD 长为半径画弧，交AD 于点E ．求证：AB AD AC AE ⋅=⋅ABCDE 笔记 思考14.已知：如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，∠A=36º，AC=BC ，AC 2=AB·AD ．求证：（1）△ABC ∽△CAD ；（2）△BCD 是等腰三角形．15.如图，在直角坐标系内，A （0，6），B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P.Q 移动的时间为t 秒。
初中相似三角形知识点归纳
初中相似三角形知识点归纳分享借鉴.初中相似三角形知识点11.相似三角形定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.2.相似三角形的表示方法:用符号∽ 表示,读作相似于 .3.相似三角形的相似比:相似三角形的对应边的比叫做相似比.4.相似三角形的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似.从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的对应边相等的条件改为对应边成比例就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法.6.直角三角形相似:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的`斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.7.相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2初中相似三角形知识点21.相似三角形的定义对应角相等.对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.如果三边分别对应A,B,C和a,b,c:那么:A/a=B/b=C/c即三边边长对应比例相同.2.相似三角形判定对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(AA)判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似(SSS)判定定理4:两三角形三边对应平行,则两三角形相似.判定定理5:两个直角三角形中,斜边与直角边对应成比例,那么两三角形相似.其他判定:由角度比转化为线段比:h1/h2=Sabc3.相似三角形性质(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.初中相似三角形知识点3一.平行线分线段成比例定理及其推论:1.定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.3.推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条线段平行于三角形的第三边.二.相似预备定理:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.三.相似三角形:1.定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.2.性质:(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应线段(边.高.中线.角平分线)成比例;(3)相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.说明:①等高三角形的面积比等于底之比,等底三角形的面积比等于高之比;②要注意两个图形元素的对应.3. 判定定理:(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例,那么这两个直角三角形相似.四.三角形相似的证题思路:五.利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤:一定:先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中;二找:再找出两个三角形相似所需的条件;三证:根据分析,写出证明过程.如果这两个三角形不相似,只能采用其他方法,如找中间比或引平行线等. 六.相似与全等:全等三角形是相似比为1的相似三角形,即全等三角形是相似三角形的特例,它们之间的区别与联系:1.共同点它们的对应角相等,不同点是边长的大小,全等三角形的对应边相等,而相似三角形的对应的边成比例.2.判定方法不同,相似三角形只求形状相同的,大小不一定相等,所以改对应边相等成对应边成比例.初中相似三角形知识点。
三角形的相似性质相似三角形的判定及其应用
三角形的相似性质相似三角形的判定及其应用相似三角形的判定及其应用相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它在几何图形的相似性及其应用方面具有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及在实际问题中的应用。
一、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用的方法有以下几种：1. AA判定法（角-角相似判定法）当两个三角形中有两个对应的角相等时，这两个三角形就是相似的。
如下图所示，∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]2. AAA判定法（全等三角形的判定法）如果两个三角形的三个内角相对应相等，那么这两个三角形是相似的。
如下图所示，∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，∠C1 = ∠C2，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]3. SSS判定法（边-边-边相似判定法）当两个三角形的对应边长度成比例时，这两个三角形就是相似的。
如下图所示，AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度利用相似三角形的性质，可以通过测量一个物体的阴影和遮挡的长度，来计算出物体的真实高度。
如下图所示，通过测量△ABC的阴影长度BD和实际高度AC，可以利用相似三角形的比例关系计算出物体的真实高度。
[插入示意图]2. 地图比例尺在地图上，为了能够容纳更多的信息，通常会使用比例尺来缩小地图的尺寸。
利用相似三角形的性质，可以通过测量地图上的距离和实际距离来确定比例尺的大小，进而测量其他地点的实际距离。
3. 相似三角形的分割比例在一些几何问题中，需要将一个三角形或长方形划分成若干个部分，利用相似三角形的性质可以确定每个部分的长度比例。
数学相似的概念
数学中，相似是指两个图形形状相同，但大小不一定相等。
相似图形的一组对应边长成比例，且对应角相等。
全等图形是相似的特例，即它们的形状相同且大小相等。
相似三角形的判定定理有：
1.相似三角形对应角相等，对应边的比相等。
2.两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形相似。
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则三角形ABC的周长与三角形DEF的周长之比等于它们的相似比，面积之比等于相似比的平方。
在实际问题中，相似三角形经常被用来解决实际问题，例如测量不可直接测量的距离、高度等。
相似三角形的应用范围很广，如工程测量、建筑设计等。
以上信息仅供参考，如有需要建议查阅初中数学教辅资料。
相似三角形的判定和性质
相似三角形的判定和性质相似三角形是初中数学中非常重要的概念之一。
在解决与三角形相关的问题时，正确地判定两个三角形是否相似，以及了解相似三角形的性质，对于我们解题有着重要的指导作用。
本文将介绍相似三角形的判定方法和一些重要的性质，希望能帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。
一、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AAA判定法、AA判定法和SAS判定法。
1. AAA判定法AAA判定法即“全等角对应相等”，即两个三角形的三个角分别相等。
如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似的。
例如，如果一个三角形的三个角分别是60°、50°和70°，另一个三角形的三个角分别是60°、50°和70°，那么这两个三角形就是相似的。
2. AA判定法AA判定法即“对应角相等”，即两个三角形的两个角分别相等。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们可能相似，但还需要进一步判定。
例如，如果一个三角形的两个角分别是60°和50°，另一个三角形的两个角分别是60°和50°，那么这两个三角形可能是相似的，但还需要进一步判定。
3. SAS判定法SAS判定法即“两边成比例且夹角相等”，即两个三角形的两条边成比例且夹角相等。
如果两个三角形的两边成比例且夹角相等，那么它们一定是相似的。
例如，如果一个三角形的两条边分别是5cm和8cm，另一个三角形的两条边分别是10cm和16cm，并且两个三角形的夹角都是60°，那么这两个三角形就是相似的。
二、相似三角形的性质了解相似三角形的性质，可以帮助我们更好地解决与三角形相关的问题。
1. 边长比例性质相似三角形的对应边长之比相等。
即如果两个三角形相似，那么它们的对应边长之比相等。
例如，如果两个三角形ABC和DEF相似，那么AB/DE=BC/EF=AC/DF。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法相似三角形是初中数学中一个非常重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要判定两个三角形是否相似，因此掌握相似三角形的判定方法对于解题至关重要。
接下来，我们将介绍相似三角形的判定方法，希望能够帮助大家更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来看相似三角形的定义。
两个三角形中，对应的三条边的比值相等，并且对应的角度也相等，那么这两个三角形就是相似的。
根据这个定义，我们可以得出相似三角形的判定方法。
一、AAA相似判定法。
AAA相似判定法是最简单的相似三角形判定方法之一。
当两个三角形的对应角分别相等时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF的对应角分别相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形就是相似的。
二、AA相似判定法。
当两个三角形的一个角相等，且其对边成比例时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形就是相似的。
三、SAS相似判定法。
SAS相似判定法是指当两个三角形的一个角相等，且两对边成比例时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，AC/DF=BC/EF，那么这两个三角形就是相似的。
四、SSS相似判定法。
SSS相似判定法是指当两个三角形的三条边成比例时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。
以上就是相似三角形的判定方法，通过这些方法，我们可以轻松地判断两个三角形是否相似。
在实际问题中，我们可以根据这些判定方法来解决各种相关的几何问题，例如计算相似三角形的边长比例、求解相似三角形的面积等等。
总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，掌握相似三角形的判定方法对于解题至关重要。
希望通过本文的介绍，大家能够更好地理解和掌握相似三角形的判定方法，为解决实际问题提供帮助。
初中数学相似三角形口诀归纳,文末附解题思路,童鞋学起来
初中数学相似三角形口诀归纳，文末附解题思路，童鞋学起来初中数学相似三角形口诀归纳，文末附解题思路，童鞋学起来许多平时记不住、记不牢、不好记、很抽象的知识，通过朗朗上口的口诀来学习，就能变得轻松有趣，还能收到事半功倍的效果，这种寓教于乐的学习方式，对于需要大量掌握学科知识的孩子来说，是一条难得的捷径。
今天老师分享的是初中数学相似三角形的口诀。
可能有的同学对何为相似三角形还有所不解，我们先来看看相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
下面我们正式进入口诀学习时刻，注意文末还附有解题思路哦~~~相似三角形终极策略口诀:第一首【原始】遇等积，化比例，同侧三点找相似;四共线，无等边，射影平行用等比;四共线，有等边，必有一条可转换;两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
第二首【整理】遇等积，化比例，横找竖找定相似;不相似，不用急:等线等比来代替;有射影，或平行，等比传递我看行;四共线，有等边，必有一条可转换;两共线，上下比，过端平行条件边;彼相似，我条件，创造边角再相似。
相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比一、相似三角形的概念平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
(这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
二判定定理常用的判定定理有以下6条:判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为:两角对应相等，两个三角形相似。
)(AA) 判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似。
相似三角形的判定与运用
相似三角形的判定与运用相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及一些常见的运用场景。
一、相似三角形的判定方法相似三角形的判定有两种常见的方法：AAA相似判定法和AA相似判定法。
1. AAA相似判定法如果两个三角形的对应角度相等，则可以判定它们是相似三角形。
具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以得出它们相似。
2. AA相似判定法如果两个三角形的对应两个角度相等且对应两边成比例，则可以判定它们是相似三角形。
具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以得出它们相似。
二、相似三角形的运用相似三角形在几何学和实际生活中都有许多应用，下面将介绍其中的几个常见场景。
1. 测量高度或距离利用相似三角形的性质，可以通过测量已知物体的高度或距离，计算未知物体的高度或距离。
假设有一棵树和一根竖直杆子，若树的阴影长度和竖直杆子的阴影长度相等，且树的高度未知，可以通过测量竖直杆子的高度和阴影长度，利用相似三角形的比例关系计算出树的高度。
2. 观察远处物体的大小利用相似三角形，可以观察远处物体的大小。
例如，当我们看到远处的山脉或塔楼时，由于距离较远，无法直接测量其实际高度，但可以测量其与身边物体（如人、建筑等）的相对高度关系。
通过相似三角形的比例关系，可以推算出远处物体的实际高度。
3. 制作地图在制作地图或建筑图纸时，常常用到相似三角形的原理。
由于实际空间较大，无法完整地呈现在纸上，必须将其缩小比例绘制。
通过相似三角形的比例关系，将实际长度与图纸上的长度进行对应，可以保持地图的几何形状和尺寸的相似性。
4. 相机拍摄在摄影领域，相似三角形也有广泛的应用。
例如，远摄模式下，通过调整焦距和光圈，可以使远处景物保持相对清晰，从而利用相似三角形的性质，捕捉到远离镜头的物体。
初中数学知识点：相似三角形的三个判定定理
初中数学知识点：相似三角形的三个判定定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
要点诠释：
（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
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初中数学知识归纳三角形的相似性质与判定
初中数学知识归纳三角形的相似性质与判定三角形是初中数学中的基础概念，而相似三角形作为三角形的一种特殊性质，是数学中一个重要的知识点。
相似性质与判定在解决三角形问题、计算和证明中具有广泛的应用。
本文将就初中数学中三角形的相似性质与判定进行归纳总结。
一、相似性质的定义和判定方法相似性质是指两个或更多个三角形的对应角相等，对应边成比例的性质。
在数学中，我们可以通过以下方法来判定三角形的相似性质：1. AA相似判定法AA相似判定法是指如果两个三角形的两个对角分别相等，则这两个三角形相似。
其中的AA是指两个对角分别相等。
2. SAS相似判定法SAS相似判定法是指如果两个三角形的一个对边成比例，而这两个对边之间的夹角相等，则这两个三角形相似。
其中的SAS是指边对应成比例，而夹角相等。
3. SSS相似判定法SSS相似判定法是指如果两个三角形的三条边相互成比例，则这两个三角形相似。
其中的SSS是指三边对应成比例。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等相似三角形中的相应角是对应相等的，即对应顶点间的角度相等。
这是相似三角形的基本性质之一。
2. 对应边成比例相似三角形中的对应边是成比例的，即对应边的比值相等。
这是相似三角形的另一个基本性质。
3. 相似三角形的比例尺在相似三角形中，对应边的比值等于两个三角形的相似比例尺。
根据这个比例尺，可以解决多种三角形相关的问题。
三、应用举例下面通过几个具体的例子，来说明相似性质与判定在初中数学中的应用。
例1：已知两个三角形的两个角分别相等，并且边长比值为3:4，求这两个三角形的周长比值。
解析：根据已知条件，可以判定这两个三角形相似。
而相似三角形的对应边成比例，所以这两个三角形的周长比值也等于3:4。
例2：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且AB=8cm，BC=12cm，DE=10cm，求EF的长度。
解析：根据相似三角形的对应边成比例的性质，可以列出比例式：AB/DE = BC/EF。
相似三角形的定义及判定方法
相似三角形的定义及判定方法相似三角形是初中数学中的一个重要概念，在几何学中有着广泛的应用。
了解相似三角形的定义及判定方法对于解决相关问题非常有帮助。
本文将介绍相似三角形的定义，以及根据三个条件来判定两个三角形是否相似。
首先，让我们来了解相似三角形的定义。
相似三角形是指具有相同形状但可能不相等的三角形。
两个三角形相似的条件是：对应角相等且对应边成比例。
换句话说，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边之间的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
接下来，我们来讨论判定两个三角形相似的方法。
根据相似三角形的定义，我们可以得出以下三种判定方法。
方法一：AAA相似判定法如果两个三角形的三个对应角分别相等，那么它们就是相似的。
例如，如果两个三角形的三个角分别为∠A、∠B、∠C和∠A'、∠B'、∠C'，如果有∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'，那么这两个三角形就是相似的。
方法二：AA相似判定法如果两个三角形的两个对应角相等，那么它们就是相似的。
例如，如果两个三角形的两个角分别为∠A、∠B和∠A'、∠B'，如果有∠A=∠A'、∠B=∠B'，那么这两个三角形就是相似的。
方法三：边比例相等判定法如果两个三角形的对应边的比例相等，那么它们就是相似的。
例如，如果两个三角形的三条边分别为AB、BC、CA和A'B'、B'C'、C'A'，如果有AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，那么这两个三角形就是相似的。
需要注意的是，上述的方法一般只适用于已知两个三角形相似的情况。
在实际问题中，我们往往需要根据已知条件来判定两个三角形是否相似。
综上所述，了解相似三角形的定义及判定方法对于解决相关问题非常重要。
相似三角形的定义是指具有相同形状但可能不相等的三角形，判定方法包括AAA相似判定法、AA相似判定法和边比例相等判定法。
初中相似三角形知识点
初中相似三角形知识点初中相似三角形知识点11.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号"∽"表示，读作"相似于"。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截成的三角形与原三角形相似。
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的"对应边相等"的条件改为"对应边成比例"就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的`斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2初中相似三角形知识点21.相似三角形的定义对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如果三边分别对应A,B,C和a，b，c：那么：A/a=B/b=C/c即三边边长对应比例相同。
2.相似三角形判定对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(AA)判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似(SAS)判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似(SSS)判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
相似三角形的全等判定条件
相似三角形的全等判定条件在初中数学中，我们学习到了各种各样的三角形相关知识。
在这些知识中，相似三角形是比较基础而重要的一个。
相似三角形不同于全等三角形，但是它们有很多相似之处。
在此，我们将讨论相似三角形的全等判定条件，探究相似三角形与全等三角形的关系。
一、相似三角形在初中数学中，我们学习到两个图形相似的定义是：两个图形在形状上相似，但是大小不一定相等。
对于三角形而言，具体地讲，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形就是相似的。
我们可以用“∠”来表示角度。
例如，若∠A=∠B , ∠B=∠C，那么三角形ABC 与三角形BCA就相似。
需要注意的是，这里没有规定对应边的长度要求相等或者成比例。
相似三角形有很多有趣的性质，这些性质在学习初高中数学时都非常重要。
我们可以通过相似三角形来计算高度、距离、比例等等问题。
甚至在画图、构建物体等方面也用到了相似三角形的概念。
二、三角形的全等判定条件在三角形中，如何判断两个三角形是全等的呢？首先，我们需要知道两个三角形全等的定义是：两个三角形既在形状上相等，又在大小上完全相等。
具体而言，如果两个三角形的对应三边长度分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
在判定两个三角形是否全等时，我们可以利用以下的三角形全等判定条件：1. SSS判定法：若两个三角形各边长度分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法：若两个三角形的一个角和与其相对的两边的长度分别相等，则这两个三角形全等。
3. ASA判定法：若两个三角形的两个角和它们之间的一条边的长度分别相等，则这两个三角形全等。
4. RHS判定法：若两个三角形中，一个角和两侧边分别与另一个三角形中的一个角和两侧边完全相等，则这两个三角形全等。
通过这些判定法则，我们可以轻松地判断两个三角形是否全等。
三、有了全等三角形的判定条件，我们想必对相似三角形的全等判定条件也有一个直观的印象了。
类似于全等三角形，我们可以列出相似三角形的全等判定条件：1. AA判定法：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
初中数学相似三角形定理知识点总结
初中数学相似三角形定理知识点总结相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
下面是小编为大家带来的初中数学相似三角形定理知识点总结，欢迎阅读。
相似三角形定理1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号"∽"表示，读作"相似于"。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截成的三角形与原三角形相似。
初中数学相似三角形定理知识点总结从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的"对应边相等"的条件改为"对应边成比例"就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2。
相似三角形知识点总结(初中数学)
图形的相似知识点一、比例的基本性质1.有关概念：如果d c b a ::=或dc b a =，那么a,b,c,d 成比例，其中b,c 称为比例内项，a,d 称为比例外项。
2.（1）若dc b a =，那么bc ad =。
（2）反比性质： a c b d b d a c=⇔=。
（3）合比性质：若d c b a =，那么dd c b b a ±=±。
（4）等比性质：若)0(≠+++===n d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 。
知识点二、成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段。
知识点四、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC,BC （AC>BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，即AB AC AC BC =或2AC AB BC =⋅，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点． ==AB AC AC BC 618.0215≈-，称为黄金分割比。
知识点五、平行线分线段成比例的基本事实1.两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线截得的线段也相等。
如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC,DF 被直线l 1,l 2,l 3截得的线段分别为AB ，BC 和DE ，EF ，若AB=BC ，则DE=EF 。
2.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC,DF 被直线l 1,l 2,l 3所截，那么DFEF AC BC DF DE AC AB EF DE BC AB ===,,。
知识点六、相似图形1.相似图形定义：直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的。
相似的图形特点：形状相同，但大小不一定相等。
2.相似三角形的有关概念（1）定义：我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形（如图所示）；（2）表示方法：ABC ∆和C B A '''∆相似，记作C B A ABC '''∆∆∽,读作ABC ∆相似于C B A '''∆，符号“∽”读作“相似于”。
初中数学公式定理：相似三角形定理
初中数学公式定理：相似三角形定理
相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（ASA）
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比
性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
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相似三角形的判定教学目标1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用“∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式；2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1；3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长.4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l.一、复习1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形）本节学习相似三角形的定义及相关判定定理.二、学习新课相似三角形的概念：我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一.[说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例．相似比的概念：相似三角形对应边的比，叫做相似比（或相似系数）．[说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性．②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形．注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比.如图，是相似三角形，则相似可记作∽.由于，则与的相似比，则与的相似比.猜测两个三角形全等与相似的区别与联系：当两个相似三角形的相似比时，这两个相似三角形就成为全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例.想一想：如果∽，∽那么与相似吗？利用相似三角形的定义说理.得到相似三角形具有传递性（性质）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.思考问题：（l）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？（2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？练习一：选择题下列四组图形，必是相似形的是（）Ａ、有一个角为的两个等腰三角形；Ｂ、有一个角为的两个等腰梯形；Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边形；Ｄ、有一个角为的两个等腰三角形.新授2：相似三角形的预备定理课本通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是：（1）本定理的导出不仅复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础。
（2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，基本图形在“平行线分线段成比例”出现过．（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，做题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现错误（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置．（5）有平行就有成比例线段，有平行就有相似三角形． 我们称由预备定理得到的相似三角形为“平行线型”的相似三角形.新授3：相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）. C 1B 1A 1ED C B A1.判定两个三角形全等的方法有哪几种？ SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL ．2.全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？ “对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”．3.我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．4.如图在△ABC 和△ 中，，△ABC 和△是否相似？5.我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？ ①相似三角形的定义，②预备定理．6.根据本命题条件，探讨时应采用哪种方法？为什么？预备定理，因为用定义条件明显不够．7.采用预备定理，必须构造出怎样的图形？8.应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？（1）在△ABC 边AB （或延长线）上，截取 ，过D 作DE ∥BC 交AC 于E ．“作相似．证全等”．（2）在△ABC 边AB （或延长线上）上，截取，在边AC （或延长线上）截取AE =，连结DE ，“作全等，证相似”．（教师向学生解释清楚“或延长线”的情况）三、巩固练习1、已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°, ∠B=80°, ∠E=80°, ∠F=60°.(1)求证: △ABC∽△DEF;(2)写出对应边成比例的式子.2、（1）已知:如图5-58,直线BE,DC交于A, ∠E=∠C.求证:DA·AC=BA·AE.（2）若图形作以下变化，结论是否依然成立，请证明.3、已知:如图,Rt△ABC中, ∠ABC=90°,BD AC于D.(1)图中有几个直角三角形?它们相似吗?为什么?(2)用语言叙述第(1)题的结论:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.(3)写出相似三角形对应边成比例的表达式.四、小结1、相似三角形的定义，相似比的概念2、三角形相似与全等的判定方法的类比.3、三角形相似的判定定理1，并强调判定相似需且只需两个独立条件.4、常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知角度计算得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤同角的余(补)角相等.六、说明1、相似三角形的概念是本节的重点也是本节的难点.相似三角形是研究相似形的最重要和最基本的图形，是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，全等形是相似形的特殊情况，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性.2、相似三角形的预备定理和相似三角形的判定定理的证明，类比全等三角形学习.3、理解常见图形，掌握常用的找对应角的方法.相似三角形的判定教学目标1．掌握相似三角形的判定定理2;2、会运用所学的两个定理判定三角形相似，计算相似三角形的边长等.3、了解判定定理2的证题方法与思路,应用判定定理2.一、复习引入1．问题1：什么叫做相似三角形？它们在形状上、大小上有何特征？什么叫做相似比?结合图形复述相似三角形的预备定理和判定定理1.2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？3.类比全等三角形的“边角边”，我们来看问题2.本节学习相似三角形判定定理2.问题2：如上图，在和中，如果,那么和相似吗？分析：≌（SAS），再利用三角形一边的平行线判定定理，得到DE//BC，可以转化为相似三角形预备定理中的平行线.二、新课新授1：相似三角形的判定定理2的推导及文字和符号表述.通过问题2，得到相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.∽新授2：相似三角形的判定定理2的应用例题1 已知如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA=1，0B=1.5,0C=3,OD=2.求证:与是相似三角形.分析：判断是否有成比例的线段,再利用判定定理2.议一议:图中是否还有相似三角形?答：∽问题:(1)两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似?为什么?(2)等腰三角形ABC与等腰三角形DEF有一角相等,这两个三角形是否相似?为什么?例题2 已知如图,点D是的边AB上的一点,且.求证:∽.分析:已知条件是一个乘积式,将它改写成比例式,得到,观察这个比例式中的四条线段结合图形,可以依据相似三角形的判定定理2推出结论.这是比较困难的技巧问题,也是证题的关键步骤.三、巩固练习练习1:书后练习24.4(2)/1练习2：（1）书后练习24.4(2)/2（2）D在的△ABC边AB上,且 =AD•AB，则△ABC∽△ACD,理由是.（3）一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形相似.(填“一定”、“不一定”或“一定不”)（4）如图，在中，若，则下列比例式正确的是：练习3:补充(1)在和中,则当DF=时,∽ .(2)如图,P为AB上一点(AB>AC),要使∽,可添加一个条件.(3) 如图，D是△ABC一边BC上的一点，△ABC∽△DBA的条件是( )(C) (D)（4）如图，在中，AB=AC，D点是CB的延长线上一点，E是BC延长线上的一点，且满足 =DB·CE.求证：（1）△ADB∽△EAC （2）若∠BAC=，求∠DAE的度数.四、课堂小结1、三角形相似与全等的判定方法的类比.2、三角形相似的判定定理2，并强调判定相似需且只需两个独立条件.,强调对应边成比例.五、作业布置书后练习1-3，练习册24.4（2）五、教学设计说明1、相似三角形的判定定理2是本节的重点也是本节的难点，证明的导出过程多多理解，重点理解“角”是“两条对应边的夹角”.2、例题及练习是相似三角形的判定定理2的应用，由浅入深，图形由简单到复杂.（3）相似三角形的判定教学目标1、掌握相似三角形的判定定理3；2、会综合运用所学的三个定理判定三角形相似，进行相关证明与计算.4. 了解判定定理3的证题方法与思路,应用判定定理3，如网格问题.一、复习引入1．复述已经学习过的判定三角形相似的定理.(1)定义法：对应角相等、对应边成比例；(2)预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似；(4)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.下面学习相似三角形判定定理3二、学习新课新授1：相似三角形的判定定理3的推导及文字和符号表述.问题3：类比三角形全等的判定，思考猜测问题3.如图在和中，如果，那么和相似吗？分析：同样可以利用相似三角形预备定理来证明.通过问题3，又得到相似三角形的判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.∽新授2：相似三角形的判定定理3的应用例题3 已知如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点.求证：∽.（分析：利用中位线的性质，可得两个三角形三边对应成比例，根据相似三角形的判定定理3，可得两个三角形相似）证明：例题4（补充）如图，在正方形网格上有两个三角形和求证：.△∽△证明：设小正方形边长为1，则由勾股定理可求得：＝，，，，又＝2，＝5.∴∶∶，∶＝∴∴△∽△.三、巩固练习练习1:书后练习24.4(3)/1练习2：（1）书后练习24.4(3)/2（2）书后练习24.4(3)/3（3）以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（）A B C D（4）如图，是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是.（A ）△BDE ；（B ）△BCD ；（C ）△FGH ；（D ）△BFG .四、课堂小结1、三角形相似与三角形全等的判定方法的类比.2、三角形相似的判定定理3，并强调用判定3证明相需三个条件,强调对应边成比例.3、得到判定三角形相似的方法有：(1)定义法：对应角相等、对应边成比例；(2)预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似；(4)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似(5) 判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似. 五、说明1.相似三角形的判定定理3是本节的重点，证明的导出过程要掌握，重点理解三边对应成比例.2.例题及练习的教学是相似三角形的判定定理3的应用，建议由浅入深，图形由简单到复杂，对于网格问题应注意解题方法3.总结所得到判定三角形相似的方法.B C D AE F GHK24.4（4）相似三角形的判定教学目标1．了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用．2．通过了解定理的证明方法，提高利用已学知识证明新命题的能力．3. 了解判定定理的证题方法与思路,应用判定定理.一、复习引入1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种）2．叙述预备定理、判定定理1、2、3，其中判定定理1、2、3的证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似）3．什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质?直角三角形全等有特殊的判定定理.同样我们要探讨判定直角三角形相似的特殊定理.下面学习直角三角形相似的判定定理.二、学习新课问题4：如图,在中，如果，那么相似吗？分析：将已知条件与相似三角形判定定理3的条件比较.新授1：直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.∽.注：直角三角形的判定除了用此判定定理外，还可以用前面所学的判定定理.新授2：直角三角形相似的判定定理的应用.例题4 已知如图，在四边形ABCD中，，求证：.例题5 已知如图，,垂足为点D，DE//AC.则图中共有几对相似三角形？请证明.三、巩固练习练习1：如图，在中，于D，下列条件:（1）（2）（3）（4），其中一定能判定是直角三角形的共有（）A、3个B、2个C、1个D、0个练习4：在中，，求证：练习5：已知，在中，，E是BC的中点，DE交AC的延长线于点F.求证：.四、小结直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用．六、教学设计说明1、直角三角形的判定定理是本节的重点也是本节的难点，证明的导出过程掌握2、例题及练习的教学是直角三角形的判定定理的应用，建议由浅入深，图形由简单到复杂.24.4（5）相似三角形的判定教学目标综合运用所学判定定理结合相似三角形的定义进行判定或计算.根据图形特征和已知条件选择判定定理进行证明和计算.一、复习引入主要内容是相似三角形的判定定理(其中有任意三角形相似的三个判定定理和直角三角形相似的判定定理).二、学习新课新授1:1.关于三角形的判定方法(1)定义法：对应角相等、对应边成比例；(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形和原三角形相似；(3)判定定理1.两角对应相等两三角形相似；(4)判定定理2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(5)判定定理3.三边对应成比例的两三角形相似；(6)直角三角形相似的判定方法.①以上各种判定方法均适用;②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似；③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.2.判定定理的适用范围(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.(2)有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.(3)直角三角形判定先考虑判定直角三角形相似的方法.还可以考虑一般三角形相似的方法. [说明]一般不用定义来判定三角形的相似.3.相似三角形与全等三角形判定方法的联系相似的判定两边成比例夹角相等三边对应成比例两角相等一直角边与斜边对应成比例4、相似三角形的判定定理的作用：①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等、线段成比例；③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件.5、三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.新授2:综合运用所学判定定理结合相似三角形的定义进行判定计算例题 5 已知，在△和△中，，，垂足、分别在边、上，且.求证：∽.D 1C 1B 1A 1D CBA例题6、已知：点分别在射线PM 、PN 、PT 上，AB //，BC //.求证:∽.T NMPC 1B 1A 1CBA一题多解三、巩固练习练习1、如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE 于G.求证：＝AF·FC..练习2、如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于H，则图中相似的三角形共有()对.A.3B.4C.5D.6练习5、如图，D是△ABC一边BC上的一点，△ABC∽△DBA的条件是( )A. B. C.＝CD·BC D.＝BD·练习6、已知过平行四边形ABCD的顶点C作一直线CF交BD于点E，交DA的延长线于点F，交AB于点M.求证：.四、小结1.关于三角形的判定方法2.判定定理的适用范围3.相似三角形与全等三角形判定方法的联系4、相似三角形的判定定理的作用5、三角形相似的基本图形6、根据已知条件和图形特征灵活选用相似三角形的判定定理是本节的重点也是本节的难点。