高中数学专题练习-存在与恒成立问题

高中数学专题练习-存在与恒成立问题

[题型分析·高考展望]“存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决.此类题目主要出现在函数与导数结合的解答题中，难度高，需要有较强的分析能力和运算能力.训练时应注意破题方法的研究.

常考题型精析

题型一恒成立问题

例1(·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a).

(1)求g(a)；

(2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.

点评恒成立问题一般与不等式有关，解决此类问题需要构造函数利用函数单调性求函数最值，从而说明函数值恒大于或恒小于某一确定的值.

变式训练1(·山东)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.

(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；

(2)若∀x＞0，f(x)≥0成立，求a的取值范围.

题型二存在性问题

例2(·辽宁)已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－8

3(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin

x)·ln(3－2x π).

证明：(1)存在唯一x0∈(0，π

2)，使f(x0)＝0；

(2)存在唯一x1∈(π

2，π)，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.

点评“存在”是特称量词，即“有的”意思，证明这类问题的思路是想法找到一个“x0”使问题成立即可，必要时需要对问题进行转化.若证“存在且唯一”则需说明除“x0”外其余不能使命题成立，或利用函数单调性证明此类问题.

变式训练2(·浙江)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R).

(1)当b＝a2

4＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式；

(2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围.

高考题型精练

1.(·辽宁)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()

A.[－5，－3]

B.[－6，－9 8]

C.[－6，－2]

D.[－4，－3]

2.(·大连模拟)若正实数x，y满足x＋y＝2，且1

xy≥M恒成立，则M的最大值为()

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()

A.(－∞，＋∞)

B.(－2，＋∞)

C.(0，＋∞)

D.(－1，＋∞)

4.若函数f(x)＝(x＋1)·e x，则下列命题正确的是()

A.对任意m<－1

e2，都存在x∈R，使得f(x)

B.对任意m>－1

e2，都存在x∈R，使得f(x)

C.对任意m<－1

e2，方程f(x)＝m只有一个实根

D.对任意m>－1

e2，方程f(x)＝m总有两个实根

5.(·天津模拟)若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(－∞，0)

B.(－∞，4]

C.(0，＋∞)

D.[4，＋∞)

6.若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()

A.e x≤1＋x＋x2

B.

1

1＋x

≤1－

1

2x＋

1

4x

2

C.cos x≥1－1

2x

2 D.ln(1＋x)≥x－

1

8x

2

7.已知函数f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－a

4x＋

3

2，若任意给定的x0∈[0,2]，总存在两个不同的

x i(i＝1,2)∈[0,2]，使得f(x i)＝g(x0)成立，则实数a的取值范围是()

A.(－∞，－1)

B.(1，＋∞)

C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D.[－1,1]

8.(·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________.

9.设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________.

10.已知函数f(x)＝x－

1

x＋1

，g(x)＝x2－2ax＋4，若对于任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使

f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________.

11.(2015·湖南)已知a>0，函数f(x)＝a e x cos x(x∈[0，＋∞)).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.

(1)证明：数列{f(x n)}是等比数列；

(2)若对一切n∈N*，x n≤|f(x n)|恒成立，求a的取值范围.

12.(·陕西)设函数f(x)＝ln x＋m

x，m∈R.

(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；

(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x

3零点的个数；

(3)若对任意b>a>0，f(b)－f(a)

b－a

<1恒成立，求m的取值范围.