综合法与分析法之间的内在联系
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综合法与分析法之间的内在联系
276600 山东莒南三中 刘凤淑 丁士彦 [丁士彦简介]生于 1967 年 5 月,92 年曲阜师大毕业,现任中学高级数学教师,十多篇 论文或课件曾在省、国级教学杂志上发表或获奖. ph:13864973770 Email:shiyand163@163.com
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维 方式。 1. 综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的 结论。又叫顺推证法或由因导果。 其推理方式可用框图表示为： P→ Q1 → Q1 Q2 → → Q2→… Q3 →…→ QnQ
改错：只需将“∵”改为“要证” ， “∴” 改为“只需证” 。 3. 综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明 （教科书 P.99 例 3） 。一般是先用综合法由已知条件 P 推出一个中间结论 M，再用分析法探 求，发现 M 正是使所证结论 Q 成立的充分条件；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论 Q 成立的充分条件 M ，再用综合法由已知条件 P 推出 M。 证明过程可用框图表示为 ：
Pn-1M PP1
Байду номын сангаас
→
P1P2
→…→
Qm-1Qm
←…←
Q1 Q2
←
QQ1
（先） 或
QQ1 Qm-1 M
（后）
Q1 Q2
→
→…→
Pn-1 Pn
←…←
P1 P2
←
PP1
例2 教科书中对本题的证法是先综合后分析,框图如上一行的形式;我们还可以改用下 一行的框图,先分析后综合来证. 1-tan α 2 1+tan α
其中 Q 表示所要证明的结论，Q1、Q2、Q3…Q0 分别表示使 Q、Q1、Q 2…Qn 成立的充分条件， Q0 表示最后寻求到的一个明显成立的条件。 分析法常用的表达格式为： 要证 Q，只需证 Q1，只需证 Q2，…，只需证 Q 0，由于 Q 0 显然成立，所以 Q 成立。 综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的 关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法。 三 值得注意的几点 1． 综合法的每一步都是三段论（或其简略形式） ，大前提一定要正确，否则证明易出 错。 2. 使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明 格式上应体现出“分析”探讨性（ “要证…，只需证…” ） ，而非直接肯定结论。 例 1 求证 3 + 7 <2 5 2 2 错证：∵ 3 + 7 <2 5 ， ∴（ 3 + 7 ） <（2 5 ） ， ∴10+2 21 <20， ∴ 21 < 5 ，∴21<25，∴原不等式成立。 错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了。
2
证 明 :
要 证
=
1-tan β 2 2(1+tan β )
2
1, 只 需 证
sin α 2 con α 2 sin α 1+ 2 con α
2
=
sin β 12 con β ， 2 sin β 2(1+ ) 2 β con β 即证 sin α - con α =
2 2 2 2
2
1 1 2 2 2 2 ( con β -sin β ), 即证 1-2sin α = (1-2sin β )， 2 2
其中 P 表示已知或定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，Q1、Q2…表示中间结 论。 综合法常用的表达格式为： ∵P，∴Q1；又∵…，∴Q2；…，∴Qn；又∵…，∴Q 2. 分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求它成立的充分条件， 找到了这个条件，即说明所要证明的结论成立。又叫逆推证法或执果索因法。 其推理方式可用框图表示为： QQ 1 → P1Q Q P2 Q → Q2Q3 →…→ Qn Q0
即证 4sin α -2sin β =1 ③. 2 另一方面,因为(sinθ - conθ ) -2 sinθ conθ =1, 所以将已知中的①②代入上式, 2 2 即得 4sin α -2sin β =1 ③. 于是问题得证. 4. 综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的,因此往往可以互相改写,但须 注意二者表达格式的迥异.
276600 山东莒南三中 刘凤淑 丁士彦 [丁士彦简介]生于 1967 年 5 月,92 年曲阜师大毕业,现任中学高级数学教师,十多篇 论文或课件曾在省、国级教学杂志上发表或获奖. ph:13864973770 Email:shiyand163@163.com
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维 方式。 1. 综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的 结论。又叫顺推证法或由因导果。 其推理方式可用框图表示为： P→ Q1 → Q1 Q2 → → Q2→… Q3 →…→ QnQ
改错：只需将“∵”改为“要证” ， “∴” 改为“只需证” 。 3. 综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明 （教科书 P.99 例 3） 。一般是先用综合法由已知条件 P 推出一个中间结论 M，再用分析法探 求，发现 M 正是使所证结论 Q 成立的充分条件；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论 Q 成立的充分条件 M ，再用综合法由已知条件 P 推出 M。 证明过程可用框图表示为 ：
Pn-1M PP1
Байду номын сангаас
→
P1P2
→…→
Qm-1Qm
←…←
Q1 Q2
←
QQ1
（先） 或
QQ1 Qm-1 M
（后）
Q1 Q2
→
→…→
Pn-1 Pn
←…←
P1 P2
←
PP1
例2 教科书中对本题的证法是先综合后分析,框图如上一行的形式;我们还可以改用下 一行的框图,先分析后综合来证. 1-tan α 2 1+tan α
其中 Q 表示所要证明的结论，Q1、Q2、Q3…Q0 分别表示使 Q、Q1、Q 2…Qn 成立的充分条件， Q0 表示最后寻求到的一个明显成立的条件。 分析法常用的表达格式为： 要证 Q，只需证 Q1，只需证 Q2，…，只需证 Q 0，由于 Q 0 显然成立，所以 Q 成立。 综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的 关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法。 三 值得注意的几点 1． 综合法的每一步都是三段论（或其简略形式） ，大前提一定要正确，否则证明易出 错。 2. 使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明 格式上应体现出“分析”探讨性（ “要证…，只需证…” ） ，而非直接肯定结论。 例 1 求证 3 + 7 <2 5 2 2 错证：∵ 3 + 7 <2 5 ， ∴（ 3 + 7 ） <（2 5 ） ， ∴10+2 21 <20， ∴ 21 < 5 ，∴21<25，∴原不等式成立。 错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了。
2
证 明 :
要 证
=
1-tan β 2 2(1+tan β )
2
1, 只 需 证
sin α 2 con α 2 sin α 1+ 2 con α
2
=
sin β 12 con β ， 2 sin β 2(1+ ) 2 β con β 即证 sin α - con α =
2 2 2 2
2
1 1 2 2 2 2 ( con β -sin β ), 即证 1-2sin α = (1-2sin β )， 2 2
其中 P 表示已知或定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，Q1、Q2…表示中间结 论。 综合法常用的表达格式为： ∵P，∴Q1；又∵…，∴Q2；…，∴Qn；又∵…，∴Q 2. 分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求它成立的充分条件， 找到了这个条件，即说明所要证明的结论成立。又叫逆推证法或执果索因法。 其推理方式可用框图表示为： QQ 1 → P1Q Q P2 Q → Q2Q3 →…→ Qn Q0
即证 4sin α -2sin β =1 ③. 2 另一方面,因为(sinθ - conθ ) -2 sinθ conθ =1, 所以将已知中的①②代入上式, 2 2 即得 4sin α -2sin β =1 ③. 于是问题得证. 4. 综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的,因此往往可以互相改写,但须 注意二者表达格式的迥异.