综合法与分析法之间的内在联系
分析方法与综合方法
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综合方法的优缺点及适用范围
优点
• 整合事物的内在联系和规律
• 发现新的联系和规律
缺点
• 可能忽视事物的细节和局部
• 需要较高的综合素质和创新能力
适用范围
• 研究事物的整体性和系统性
• 解决复杂问题和创新领域
分析方法与综合方法的综合运用与优化
综合运用
优化
• 在研究过程中，根据需要灵活运用分析方法和综合方法
CREATE TOGETHER
SMART CREATE
分析方法与综合方法：理论应用与实例
01
分析方法与综合方法的基
本概念
分析方法的定义与特点
分析方法是一种深入研究事物内部的方法
• 通过分解、剖析、观察等手段
• 了解事物的本质和规律
• 强调细节和局部
分析方法的特点
• 深入：深入挖掘事物的内在联系
• 细致：关注事物的细节和局部
域
归纳综合方法及其应用
归纳综合方法
应用领域
• 通过归纳手段从具体事物中提炼出一般规律
• 哲学：研究世界观、认识论等
• 如：归纳法、类比法等
• 科学：研究科学方法、科学发现等
• 艺术：研究艺术创作、审美规律等
演绎综合方法及其应用
演绎综合方法
• 通过演绎手段从一般规律推导出具体事物
• 如：演绎法、推理法等
• 员工满意度分析：评估员工满意度、激励措施等
品创新
综合方法在科技创新中的应用
科技创新中的综合方法
• 跨学科研究：整合不同学科的知识和技术，解决复杂问题
• 创新方法论：研究创新过程、创新策略等
• 技术路线图：规划技术发展路径，指导科技创新方向
用“综合法”和“分析法”解答复合应用题
用“综合法”和“分析法”解答复合应用题所谓的应用题是根据生产和日常生活中的实际问题用文字或语言表示数量关系的题目。
应用题通常分为简单应用题和复合应用题两类，用两步或两步以上的运算解答的应用题就是复合应用题。
复合应用题是由两个或两个以上的一步计算应用题组合而成的，所以它的数量关系比较复杂，解题思路和解题办法也就比较复杂，因此重视和掌握复合应用题的解题方法是解复合应用题的关键。
下面，笔者就用“综合法”和“分析法”解答复合应用题谈谈自己的一点体会。
“综合法”就是从应用题的已知条件出发，从条件和条件之间的关系、条件和问题之间的关系入手，逐步推出所求的问题。
例：某农场有两个果园共30亩，第一个果园收苹果3500箱，第二个果园收苹果2800箱，每箱苹果重100千克。
平均每亩收苹果多少千克？用“综合法”分析：已知第一个果园收的箱数和第二个果园收的箱数，可求出两个果园共收的总箱数；已知每箱的重量和总箱数，可求出总产量；已知总产量和总亩数，可求出亩产量。
“分析法”是从应用题的问题出发，根据数量关系探求解答这个问题需要具备的条件，如果题中没有给出所需的条件，就提出新的问题，再探求解答这个新问题需要具备的条件，直到所找的条件在应用题里都是已知的为止。
上题用“分析法”分析：要求每亩产量，必须知道“总产量”和“总亩数”。
题中总亩数已知而总产量题里没有给；要求出总产量，必须知道每箱的重量和总箱数，又每箱重量已知而总箱数题中没有直接给出；要求总箱数，必须知道第一个果园收的箱数（3500箱）和第二个果园收的箱数（2800箱），这些都是已知条件。
分析完毕。
“综合法”适用于数量关系比较简单、比较直接的较简单的应用题，一般是一步、两步，最多是三步应用题。
综合法是按分析过程从前往后列出算式。
“分析法”适用于数量关系比较复杂、比较隐蔽、步骤较多的题目，一般都是三步以上应用题。
分析法要从后往前，逆向写出算式。
复合应用题的解答，首先要认真审题，紧扣题中的重点句子、关键词语来理解题意。
三年级奥数用分析法和综合法解决问题
第八讲用分析法和综合法解决问题一、知识概述分析法就是从问题入手，根据数量关系，找出解决问题所需要的条件。
综合法是由已知条件出发转向问题的分析方法。
它们是两种相反的思维方式，我们解决问题时可以将两种方法综合利用。
二、例题讲解例1、甲乙两个工程队共同修建一条800的公路，需要10天完成。
甲队每天修50米，乙队每天修多少米？思路点拔：利用分析法分析。
列式800÷10﹣50=30（米）利用综合法分析列式800÷10﹣50=30（米）练习：1、食堂买进一批大米，每天吃150斤，吃了5天后还剩下100斤，问原来买进大米多少斤？2、师徒二人加工一批零件，师父每小时加工60个，徒弟每小时少加工15个，3小时后完成了这批零件，问这批零件有多少个？例2、师徒两人合做600个零件，师父每小时做80个，徒弟每小时做60个，两人加工2小时后，还剩下多少个没有做？思路点拔：用综合法分析这道题：600-（80+60）×2=320（个）利用分析法分析600-（80+60）×2=320（个）练习：3、甲乙两车从相距1000千米的两地相向而行，甲每小时行驶120千米，乙每小时行驶100千米，经过3小时后，两车还相距多少千米？4、 妈妈带了300元去买衣服，上衣花了150元，裤子花了120元，妈妈还剩下多少钱？例3、 修路队要修一条长2000米的路，已经修了5天，每天修200米，剩下的如果每天修250米，还需要几天修完？思路点拔：利用综合法分析﹙2000-200×5﹚÷250 =1000÷250=4(天)利用分析法分析（2000-200×5）÷250=1000÷250=4（天）练习：5、妈妈带了100元去买水果，她先买了8斤苹果，苹果每斤7元，后来她有买了梨，梨每斤4元，妈妈还可以买几斤梨？6、师徒二人加工1020个零件，师徒二人一起加工3小时，师父每小时加工100个，徒弟每小时加工80个，剩下的由徒弟独自完成，徒弟还需要多长时间才能完成？例4、甲车间有25个人，平均每人每天生产20个零件，乙车间有30人，平均每人每天生产18个零件，如果装一台机器需要20个零件，那么甲乙两车间的个人每天生产的零件可以装几台机器？思路点拔：利用综合法分析问题（25×20+30×18）÷20 =（500+540）÷20=1040÷20=52（台）利用分析法分析（25×20＋30×18）÷20=（500+540）÷20=1040÷20=52（台）练习：7、一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套，提高工作效率后，还要多少天才能完成任务？8、妈妈去买水果，她买了3千克的苹果，每千克8元，又买了6千克的梨，每千克6元。
分析综合法
提要分析法就是执果索因的解题方法，即首先抓住问题的结论，追索结论成立的条件，该条件找到后，在追索该条件成立的另一个条件，这样一直追索下去，直到最后出现显然成立的条件；综合法是一种由因索果的解题方法，从顺序上看其与分析法恰好相反，是从已知到未知（即从题设到结论）的推理方。
解题时，分析法和综合法是交替使用的。
知识全解一．分析法的概念解数学问题，若从命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论成立的条件，直至这个结论成立的条件就是已知条件，这种方法叫作分析法。
它的思维形式是逆向推理。
对问题的分析过程不能代替解答过程的书写，通常是“倒退着分析”，书写解题过程时则需反过来“顺着书写”。
二．综合法的概念解数学问题，若从已知条件出发，运用已学过的公理、定义和定理逐步推理，直到推出结论为止，这种方法叫作综合法。
用综合法进行推理时，语气是肯定的，且每一步推理都必须是正确的。
书写时应先写原因后写结论，一般都用“因为……，所以……”来表述推理。
在叙述过程中，当前面一步陈述的结论，同时是后面一步陈述的条件时，常把后一步推理的条件省略不写。
三．分析综合法的概念对于比较复杂的数学问题，利用分析法和综合法很难解决问题，常常将分析法和综合法结合起来使用。
一方面从已知条件入手，看能推出什么结论；另一方面从结论着眼，想需要找到什么条件，从而找到解题途径。
这种方法称为分析综合法。
寻求解题要因题而异，有时用分析法，有时用综合法；有时用分析法分析思路，用综合法书写表达；有时分析法，综合法同时并用，一边分析，一边综合或交替使用。
四．分析法，综合法的解题策略应用分析法证明数学问题，尤其是证明几何问题时，语言是假定的；若要证明A成立则先证明B成立，若要证明B成立，则先证明C成立……应用综台法时，语气是肯定的，且每一步的推理都必须是正确的。
解题时，分析是为了综合，综合又必须根据分析。
因而有的题目往往同时应用两种方法：一边分析，一边综合，有时甚至交替运用。
巧用分析法和综合法攻克简答题
泳 的人 由深水走 向浅水 的过程中 ，赤脚踩在石块 上的 感 觉有没有变化？为什么？
措 施 二
且会 比以前更亮些 ， 是为什么？ 这 分析 ： 亮 （ 终现象 ） 更 最 ？一功率变 大？一电压 基 本不变 ， 只能是电阻变小 ？—灯丝粗细没变 ， 只能是 长 度变短？—搭接 （ 已知 ） 综合 ： 接～ 长度 变短一 电阻 变小一功率 变大一 搭 更亮。 答案： 搭接后 ， 灯丝长度变短 ， 丝电阻变小 ， 电 灯 在 压不变 时灯泡 的功率 变大 ， 所以会更亮。 通过 以上例 子 ， 你该了解这个新 “ 朋友 ” 了吧 ？ 这种 方法能够解 答初 中物理 中大部分简答题 ，如果遇到很 特别 的简答题 ， 要把这 两种方法合起来使用 ， 同时用分 析法 与综合 法找到答题路线 ，最终再用综合 法写出答 案。 而在 有的问题 中 ， 还要将反推法和分析法结合在一
法 ” 个新 朋 友 吧 ！ 这 分析和综合 是逻 辑思维方法。分析 的方法是在思 维 中把对象分解 为不 同的组成部分 、 方面 、 特性 等 ， 对
它们分别加 以研究 的方法 。综合是把分解开来 的不 同 部分 、 面再组合为一个整体而加以研究 的方法。 方 分析 和综合是两种方 向相反 的思维方法 ， 同时又相互联系 ， 相互转化 ， 分析 中有综合 ， 综合 中有分析。 试举 一例体会一下这种方法 。 例 １在 家用冰箱压缩机突然启动时 ，室 内正在发 光的灯泡会 突然变 暗， 这是 什么原 因？ 分析法 ： 灯泡变暗？（ 功率变ｓ ｂ？②一 电阻基本 不变 ，灯泡 两端电压变小？③一干路 导线两端 电压变 大？ 一干路导线 中的电流变大？ （ ⑤一干路 中的电功率
变大 ？（ ＿冰 箱 压 缩 机 突 然 启 动 。 §－ ＞ 通 过 这 一 逻 辑 思 维 过 程 ，准 确地 找到 了产 生 这 一 现象 的原 因， 也找到 了答题 的关键点 ， 抓住 了答题 的采
高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案2 新人教A版选修1-2
§2.2.1 综合法和分析法（3）学习目标1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质. 学习过程一、课前准备5051 复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：综合法和分析法的综合运用 问题：已知,()2k k Z παβπ≠+∈,且2sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+=∙=求证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++.新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证：222()16a b ab -=.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.※ 典型例题例1 已知,A B 都是锐角，且2A B π+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒变式：已知1tan 12tan αα-=+，求证：3sin 24cos 2αα=-.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例2 在四面体P ABC -中，PD ABC ⊥∆，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.变式：如果,0a b >，则lg lg lg 22a b a b++≥.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明. ※ 动手试试练 1. 设实数,,a b c 成等比数列，非零实数,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证2a c x y +=.练2. 已知54A B π+=，且,()2A B k k Z ππ≠+∈，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.三、总结提升 ※ 学习小结1. 直接证明包括综合法和分析法.2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.※ 知识拓展综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题（ ）. ①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m nm n αα⎧⇒⎨⊂⎩其中为真命题的是 （ ）A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）. A ．a ，b 均为负数，则2a b ba+≥B 22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a+∈++≥4. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β ②若α⊥r，β⊥r，则α∥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥α，n⊥α，则m⊥n5. 已知:23)0p <, 则p 是q 的 条件.1. 已知,,a b c R +∈，,,a b c 互不相等且1abc =.111a b c<++.2. 已知,,,a b c d 都是实数，且22221,1a b c d +=+=，求证：||1ac bc +≤.。
综合法和分析法
综合法和分析法综合法和分析法在研究学科领域中是两种常见的研究方法。
综合法是指通过对各种不同的材料、数据和观点进行整合和综合，以便从中得出全面的结论和理解。
分析法则是通过对研究对象的各个方面进行分解，研究其组成部分以及它们之间的关系，以便深入分析和理解问题。
综合法在研究领域中被广泛运用，具有很高的可靠性和适用性。
通过综合不同的材料和观点，我们可以从多个角度对问题进行分析和解释，以提供更全面的研究结果。
综合法注重整体性思维，能够考虑到问题的各个方面，并找到它们之间的联系和共同点。
这种方法还可以帮助我们发现问题的不足之处，并提出改进和优化的建议。
然而，综合法也存在一些限制和挑战。
首先，由于需要处理大量的材料和观点，综合法可能会非常耗时和繁琐。
其次，由于材料和观点的多样性，可能存在信息的冲突和矛盾，这需要我们在整合的过程中面对和解决。
最后，综合法需要研究人员具备较高的分析和综合能力，以便处理和整合各种不同的信息和观点。
相比之下，分析法注重研究对象的细节和内部结构。
通过对研究对象进行分解和分析，我们可以更深入地了解其组成和特征，并揭示其内在的规律和原理。
分析法强调的是逐步推导和推理，通过分析对象的各个方面来得出结论和解释。
这种方法通常用于对复杂问题的解析和深入研究，能够帮助我们更好地理解问题的本质和内在机制。
然而，分析法也有一些局限性。
首先，由于分析法强调细节和局部，可能会忽视整体的视角和综合的信息。
其次，分析法可能会产生过于复杂和抽象的结论，这可能会使得解释和应用变得困难。
最后，分析法需要研究人员具备扎实的专业知识和技术背景，以便进行准确和有效的分析。
在实际研究中，综合法和分析法通常会结合使用，以取长补短。
综合法可以帮助我们从多个角度全面地了解问题，而分析法则可以帮助我们深入研究问题的细节和内部结构。
这种综合运用可以提高研究的可靠性和有效性，以得出更准确和全面的结论。
综合法和分析法作为两种研究方法，具有各自的优势和限制。
小学数学：分析法和综合法
分析法和综合法分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。
分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。
1. 分析法和综合法的概念。
分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。
综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。
分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。
在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。
实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。
如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。
数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。
综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。
如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。
再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。
因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。
2. 分析法和综合法的重要意义。
大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。
探析“分析法”与“综合法”在化学教学中的应用
探析“分析法”与“综合法”在化学教学中的应用一、问题的提出化学教学一般是从学生已有的知识和经验出发，引导学生观察具体物质和现象，先从感性认识到理性认识，再通过实践活动去运用化学知识，解决认知矛盾，发展认识能力。
在这个认知过程中，需要逻辑思维方法的指导进而得出结论。
分析和综合是思维的基本过程[1]。
分析法是把对象整体分解为各个部分、方面、层次、因素，把复杂的事物分解为简单要素分别加以认识的一种思维方法；而综合法是在分析的基础上，把事物的各个方面在思维中结合成一个统一的整体进行考察、研究的逻辑方法。
分析强调的是对个体的研究，而综合强调的是对整体的研究。
但在实际的教学研究中两种方法是相互依存、彼此渗透、互为补充的。
教师若能将分析法与综合法很好地结合起来进行教学，不仅可以优化教师的教学方式，还可以改善学生的学习方式，从而取得事半功倍的教学效果。
元素化合物知识是中学化学的基本知识构成，是化学学科学习的基础，也是认识化学物质、解决化学问题的必要调节机制之一。
但长期以来，很多教师感到元素化合物教学内容庞杂，不好教。
学生普遍感到元素化合物内容繁多杂乱、记忆困难，出题点变幻莫测[2]。
针对这一现象，本文从元素化合物知识特点出发，利用分析与综合的方法分析内容特点，改进教学方法，提高教学效果。
二、知识的呈现体现分析与综合的辩证统一（一）共性与差异性相统一不论是金属元素及其化合物还是非金属元素及其化合物，都存在着共性和差异性。
在整个知识结构中安排这一内容，就是让学生对两部分的差异性进行分析思考，综合归纳出它们之间所存在的共性，从而实现从整体上把握它们的主要性质。
其中，分析的目的就是揭示其中的各个不同点；综合的目的是归纳出这几个部分当中的相同点，得出具体的结论。
例如，在学习金属与氧气、与水、与酸等反应以后，运用综合法找出金属的共性。
同时让学生分析比较钠、铝、铁分别与氧气、与酸、与水的反应，明确它们之间存在差异，并将该差异与金属活动性联系起来。
北师大版高中数学选修(2-2)-1.2分析法与综合法的区别和联系
分析法与综合法的区别和联系一、知识要点：综合法与分析法是中学数学解题思想中最基本的两种方法．所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件或某些已经证明过的结论出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知…可知1…可知2…结论”．所谓分析法，是指“执果索因”的思想方法，即从结论出发，不断地去寻找须知，直至达到已知事实为止的方法．分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论须知1须知2…已知”；基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“ ”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式。
二、综合应用(2)综合证明表述如下：∵ AF是直线，且∠1=∠2(已知)，∴∠3=∠4(等量减等量其差相等)．又∵ BE＝CD(已知)，BC=BC(公共边)，∴△EBC≌△DCB(边角边)．∴ BD=CE(全等三角形对应边相等)．例1 已知AD是∠BAC的平分线，DE∥CA，且交AB于E(如图)．求证：DE=AE．思路分析(1)用综合法探求，其思路如下： (2)用分析法探求，其思路如下：至此，恰好是题设条件，问题得到解决．评述：由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述．因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述．例如对下面这道数学问题：例2 已知AF是直线，∠1=∠2，BE=CD，如图4－4．求证：BD=CE．思路分析 (1)分析思路如下：至此步骤，均为题设中提供的条件，问题获得解决．。
分析与综合法
AD BD
1
4．前进型分析法 这种分析法，其思路是从整体物中已经成立的某 一部分出发，运用已有的知识逐步寻找并扩展到 其它部分成立的条件，最终挺进到原事物成立的 必要条件，也就是原命题成立的必要条件。
数论常用的方法
例3 设在一个由实数组成的有限数列中，任意7个相继项的 和都是负数，而任意11个相继项的和都是正数，试问，这 样的数列最多能包含多少项。 解：从已经明确的部分出发，即（最小项） ∵a1+…+a7＜0，a1+a2+…+a11＞0， ∴a8+a9+…+a11＞0。（由已知：到11项是已成立的部分） 顺序往前推进，可得a11+a12+…+a14＞0，则有 a8+a9+…+2a11+…+a14＞0。 但∵ a8+a9+…+a14＜0，∴a11＞0。（从11进到14，得a11＞0） 用同样的方法，顺序往前推进，可得a12＞0，a13＞0，因 而a11+a12+a13＞0，(推至16项)但因为a11+a12+…+a17＜0， ∴a14+…+a17＜0。(考察17项) 另一方面，从a7+…+a17＞0及a7+…+a13＜0，可得 a14+…+a17＞0。与前矛盾，因此项数≤16。(从11前进到17项， 第17项不成立，故只能是≤16)
分析与综合法
一、分析法与数学解题的分析法 1、分析法：把研究的对象分为各个组成部分，各个不同的 因素、不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而认识 和理解事物的一种方法，这是方法论中的分析法，也是数 学思想方法中的分析法。 2、数学解题中的分析法： 指从结果追溯到其产生的原因的思维方法，它是从所需要 论证的结论出发，以一系列的已知定义、定理为依据逐步 逆推，从而达到已知条件（也叫执果索因）
浅谈分析法和综合法在初中数学中的应用
教改教研数学意识，是指人们在数学学习、数学应用的过程中，逐渐形成的对数学的见解和看法。
数学意识通常可以在三个不同的层次中表现出来，首先，在生活实践方面，数学意识表现为能够主动地用数学知识来观察、分析、处理一些问题。
这里主要体现了数学观察推理意识、数学敏感性等。
其次，在数学学科内部，表现为能够理解数学的学科意义，理解数学知识的内涵，懂得数学知识的应用价值等。
数学中有许多概念，从深层次讲，它们代表的是一种意识或观念。
最后，在数学文化方面，也蕴涵着一定的数学意识——理解数学这门学科的科学意义，文化内涵，懂得数学的美和价值等。
在小学数学教学中，学生的实践能力主要体现在学生能从不同角度发现实际问题中所包含的数学信息，探索多种解决问题的方式与方法，并能运用已有的数学知识独立地解决实际问题的能力。
《数学课程标准》也明确指出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，学生在实践中会真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，提高综合运用所学知识解决实际问题的能力。
数学教学，应从学生已有的知识经验出发，让学生亲身经历参与特定的教学活动，获得一些体验，并且通过自主探索，合作交流，将实际问题抽象成数学模型，并对此进行解释和应用。
基于此认识，我认为在新教材的教学中，应体现以下几点：一、源于生活，创设轻松愉快的学习情境苏霍姆林斯基指出，教师在教学中如果不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，而只是不动情感的脑力劳动，就会带来疲倦。
因此，我们的教学应营造一种轻松愉快的情境，使学生乐此不疲地致力于学习内容。
数学离不开生活，生活中处处有数学。
在教学中，以教材为蓝本，注重密切数学与现实生活的联系，创设轻松愉快的数学情境。
现实的学习情境，可以激发学生学习数学的兴趣，充分调动学生学习的积极性和主动性，诱导学生积极思维，使其产生内在学习动机，并主动参与教学活动。
如教学“认位置”，以学生眼前的教室为情境，为学生提供了一个观察生活中人与人、人与物、物与物之间位置关系的场景，让学生在从指定观察到自由观察、换位观察的过程中不断加深对知识的认识和理解，使他们不光会表述物体间的位置关系，还能感受到物体间位置关系的相对性，从而使学习变成一种主动探索的过程。
分析和综合法
分析和综合法
分析法：分析是把整体分解为部分，把复杂的事物分解为简单要素分别加以
研究的一种思维方法。
分析的任务是从事物或现象的总体中，分出构成该事物或现象的部分、要素和属性，使事物的各种届性和本质清晰地呈现在人们的面前。
客观对象是多种质的复杂统一体，或者说是多种规定的复杂统一体。
人们为了从总体上把握复杂事物的本质，必须首先把统——体的各个部分、各种要素暂时地割裂开来，把被考察的因素从统一体中暂时抽取出来，暂时孤立起来．以便让它单独地起作用。
分析方法在认识中的作用首先表现在：它能把复杂的事物简单化，为下—步研究提供便利条件；其次，它使人们对事物的认识易于深化、易于揭尔事物的本质和规律。
分析的方法也有它的局限性：由于它着眼于局部的研究，就可能将人的眼光限制在狭隘的领域里，把本来互相联系的东西暂时割裂开来考察，也容易造成一种孤立、片面地看问题的习惯。
综合法：综合，就是在思想巾把对象的各个部分、各个方面和各种因素
联结起来考虑的一种思维方法。
综合力法在认识中的作用在于：首先，综合方法能全面地、本质地、深刻地揭示事物自身及一事物和另一事物的联系，使人们对各种事物有一个全面的本质的正确认识；其次．综合的认识优于分析的地方，在于它恢复并把握了事物本来的联系和中介、克服了分析给人的眼光造成的局限，把分析得出的片断、分散、余乱的资料鲜过综合，形成理论和理论体系，出而就能揭示出事物在共分割状态下不留显现出来的特性。
分析与综合
分析与综合在认识中把整体分解为部分和把部分重新结合为整体的过程和方法。
分析是把事物分解为各个部分、侧面、属性，分别加以研究。
是认识事物整体的必要阶段。
综合是把事物各个部分、侧面、属性按内在联系有机地统一为整体，以掌握事物的本质和规律。
分析与综合是互相渗透和转化的，在分析基础上综合，在综合指导下分析。
分析与综合，循环往复，推动认识的深化和发展。
一切论断都是分析与综合的结果。
当确定了问题可解后，就要进一步对问题的本质进行分析，加深对问题的认识。
例如，从数据流和数据结构出发，逐步细化所有的软件功能，找出软件系统各元素之间的联系、接口特性和设计上的约束，分析它们是否满足功能要求。
通过分析，最后综合形成系统的雏形求解方案。
得到的方案可能会暴露出原有需求中的问题，再修改需求，如此反复地进行，使之更加符合实际需要。
关于科学思维方法分析和综合及其辩证的关系综合法------指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．分析法------通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法。
也称为因果分析事物都有自己的原因和结果。
从结果来找原因，或从原因推导结果，就是找出事物产生、发展的来龙去脉和规律，这就起到了证明论点的合理性和正确性的作用。
分析与综合相结合第一课时分析与综合相结合教学目标：⑴知识方面：识记：创造性思维、合理想像在认识中起积极作用的一些事例；理解：①能结合事例，理解分析与综合的含义；②能结合事例，表明分析与综合在认识事物过程中的意义；⑵能力方面:①提高认识事物时进行分析与综合的能力；②培养学生辩证思维能力：通过分析与综合辩证关系的讲述，提高学生的辩证思维能力；⑶觉悟方面：通过本框题的教学，使学生提高对我国社会热点问题进行正确的分析的自觉性；教学重难点：1.重点：认识事物要把分析与综合结合起来；2.难点：分析与综合为什么必须相结合；教学方法：阅读-提问-引导，讲授法。
分析与综合在教学中的运用
分析与综合在教学中的运用分析和综合是两种最基本的逻辑思维方法, 是深入认识对象、准确掌握真理的逻辑手段, 也是其它许多方法的基础。
在形成和发展科学理论、研究和解决实际问题的过程中, 都离不开分析与综合。
它们同比较分类、类比、归纳和演绎等方法密切联系、相互相渗透，在物理教学以及科学研究活动中起着极其重要的作用。
那么什么是分析法了？所谓分析，就是将研究对象的整体分为各个部分、方面、因素和层次，并分别地加以考察的认识活动，以达到认识其本质的一种方法。
分析的意义在于细致的寻找能够解决问题的主线，并以此解决问题,是认识事物整体的必要阶段。
从解题过程来看，分析法往往是从含有未知量的“原始公式”出发，逐步上溯，从一个问题引到另一个问题，具有明确的思维方向、解题方向。
包含隔离法，逆向思维法。
在教育教学之中，正确运用分析法大体包含以下几个环节：第一、是把整体加以“解剖”，把它的各个部分从整体中“分割”开来或“分离”出来； 第二、是深入分析各部分的特殊本质；第三、是进一步分析各个部分相互联系、相互作用的情况，阐明它们各占何种地位、各起何种作用、各以何种方式与其他部分发生相互作用的规律性。
而在运用分析法解决实际问题时，正确运用分析法就要注意三个方面：第一、要分析各个要素、部分、阶段；第二、要分析各部分、各要素、各阶段之间的关系，分析事物的矛盾关系；第三、要在整体中把握它们之间的关系。
下面以一个实例说明分析法的运用：例1、如图(1)所示质量为M 的木板，通过跨过滑轮的绳子与横梁相连，一个质量为m 的人拉住绳端吊着，由于木板质量比较大，仍然压在地面上，求木板对地面的压力（滑轮质量不计）。
[思路分析]用分析法来解时可先分解成动滑轮A 和定法轮B 两部分，画出受力分析如图（2）所示，设待求量是木板对地面的压力N ，从待求量出发，则N=Mg-F1-F2。
F1=mg ，F2=2mg ，最后得到N=Mg-3mg 。
从分析本题还可以得出横梁下悬绳所受拉力：F3=2F2=4mg 。
分析法、综合法
分析法和综合法分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。
分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。
1. 分析法和综合法的概念。
分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。
综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。
分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。
在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。
实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。
如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。
数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。
综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。
如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。
再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。
因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。
2. 分析法和综合法的重要意义。
大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。
综合法和分析法(公开课教案)
综合法和分析法课时安排：每章25分钟，共125分钟教学目标：1. 让学生理解综合法和分析法的概念及应用。
2. 培养学生运用综合法和分析法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维和判断能力。
教学方法：1. 讲授法：讲解综合法和分析法的原理及运用。
2. 案例分析法：分析实际案例，让学生深入理解综合法和分析法。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
教学内容：第一章：综合法概述1.1 综合法的定义1.2 综合法的应用领域1.3 综合法的优势和局限性第二章：分析法概述2.1 分析法的定义2.2 分析法的应用领域2.3 分析法的优势和局限性第三章：综合法与分析法的区别与联系3.1 综合法与分析法的区别3.2 综合法与分析法的联系3.3 综合法与分析法在实际应用中的选择第四章：综合法在解决问题中的应用4.1 综合法解决问题的步骤4.2 综合法在案例中的应用4.3 综合法解决问题的注意事项第五章：分析法在解决问题中的应用5.1 分析法解决问题的步骤5.2 分析法在案例中的应用5.3 分析法解决问题的注意事项教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。
2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，检验学生对综合法和分析法的理解程度。
3. 课堂问答：通过提问，了解学生对教学内容的掌握情况。
教学资源：1. PPT课件：展示综合法和分析法的原理、案例及应用。
2. 案例材料：提供实际案例，供学生分析和讨论。
3. 参考书籍：为学生提供更多的学习资料，加深对综合法和分析法的理解。
教学建议：1. 在讲解综合法和分析法时，举例生动、贴近实际，激发学生的兴趣。
2. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。
3. 注重课后作业的布置和批改，及时了解学生对教学内容的掌握情况。
4. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
第六章：综合法在自然科学中的应用6.1 自然科学中综合法的典型应用案例6.2 综合法在自然科学研究中的作用与意义6.3 综合法在自然科学中的局限性与挑战第七章：分析法在社会科学中的应用7.1 社会科学中分析法的典型应用案例7.2 分析法在社会科学研究中的作用与意义7.3 分析法在社会科学中的局限性与挑战第八章：综合法与分析法在工程领域的应用8.1 工程领域中综合法的应用案例8.2 工程领域中分析法的应用案例8.3 综合法与分析法在工程领域的结合应用第九章：综合法与分析法在医学领域的应用9.1 医学领域中综合法的应用案例9.2 医学领域中分析法的应用案例9.3 综合法与分析法在医学领域的结合应用第十章：综合法与分析法在商业领域的应用10.1 商业领域中综合法的应用案例10.2 商业领域中分析法的应用案例10.3 综合法与分析法在商业领域的结合应用教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。
【参考教案】《综合法和分析法》(人教A版)
《综合法和分析法》（人教A版）第一章：综合法的概念与特点1.1 教学目标1. 了解综合法的定义和基本特点2. 掌握综合法在数学问题中的应用1.2 教学内容1. 综合法的定义与基本原理2. 综合法在数学问题求解中的应用案例1.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法的应用2. 讲解：详细阐述综合法的定义、特点及应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些应用综合法的问题1.4 教学评价1. 判断学生对综合法定义和特点的理解程度2. 评估学生在实际问题中应用综合法的熟练程度第二章：分析法的概念与特点2.1 教学目标1. 了解分析法的定义和基本特点2. 掌握分析法在数学问题中的应用2.2 教学内容1. 分析法的定义与基本原理2. 分析法在数学问题求解中的应用案例1. 引入：通过实例让学生感受分析法的应用2. 讲解：详细阐述分析法的定义、特点及应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些应用分析法的问题2.4 教学评价1. 判断学生对分析法定义和特点的理解程度2. 评估学生在实际问题中应用分析法的熟练程度第三章：综合法与分析法的区别与联系3.1 教学目标1. 理解综合法与分析法的区别与联系2. 能够根据问题特点选择合适的方法求解3.2 教学内容1. 综合法与分析法的区别与联系2. 不同类型问题中综合法与分析法的应用选择3.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法的不同应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法的区别与联系3. 练习：让学生自主尝试解决一些需要选择合适方法的问题3.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法区别与联系的理解程度2. 评估学生在实际问题中选择合适方法的熟练程度第四章：综合法与分析法在几何问题中的应用1. 掌握综合法与分析法在几何问题中的应用2. 能够解决一些常见的几何问题4.2 教学内容1. 几何问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见几何问题求解方法的探讨4.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在几何问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在几何问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些几何问题4.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在几何问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际几何问题中应用综合法与分析法的熟练程度第五章：综合法与分析法在代数问题中的应用5.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在代数问题中的应用2. 能够解决一些常见的代数问题5.2 教学内容1. 代数问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见代数问题求解方法的探讨5.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在代数问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在代数问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些代数问题5.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在代数问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际代数问题中应用综合法与分析法的熟练程度第六章：综合法与分析法在物理问题中的应用6.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在物理问题中的应用2. 能够解决一些常见的物理问题6.2 教学内容1. 物理问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见物理问题求解方法的探讨6.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在物理问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在物理问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些物理问题6.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在物理问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际物理问题中应用综合法与分析法的熟练程度第七章：综合法与分析法在化学问题中的应用7.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在化学问题中的应用2. 能够解决一些常见的化学问题7.2 教学内容1. 化学问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见化学问题求解方法的探讨7.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在化学问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在化学问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些化学问题7.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在化学问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际化学问题中应用综合法与分析法的熟练程度第八章：综合法与分析法在生物问题中的应用8.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在生物问题中的应用2. 能够解决一些常见的生物问题8.2 教学内容1. 生物问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见生物问题求解方法的探讨8.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在生物问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在生物问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些生物问题8.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在生物问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际生物问题中应用综合法与分析法的熟练程度第九章：综合法与分析法在实际生活中的应用9.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在实际生活中的应用2. 能够解决一些实际生活中的问题9.2 教学内容1. 实际生活中综合法与分析法的应用案例2. 常见实际问题求解方法的探讨9.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在实际生活中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在实际问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些实际问题9.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在实际生活中应用的理解程度2. 评估学生在实际生活中应用综合法与分析法的熟练程度第十章：总结与拓展10.1 教学目标1. 总结综合法与分析法的应用及其重要性2. 拓展学生对综合法与分析法在不同领域中应用的认识10.2 教学内容1. 回顾本节课所学内容，总结综合法与分析法的应用2. 探讨综合法与分析法在不同领域的拓展应用10.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生回顾所学内容，总结综合法与分析法的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在不同领域的拓展应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些涉及不同领域的实际问题10.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法应用的总结理解程度2. 评估学生在实际问题中应用综合法与分析法的熟练程度重点解析本文主要介绍了综合法和分析法的概念、特点以及在数学、几何、代数、物理、化学、生物等领域的应用。
文档：综合法和分析法方法小结
综合法和分析法方法小结1．综合法是从已知条件或基本不等式出发，运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式，证明思路是“由因导果”．综合法证明不等式，要揭示出条件与结论间的因果联系，为此要着力分析已知与求证间，不等式左、右两端的差异与联系，合理变换、恰当选择已知不等式是证明的关键．寻找启动不等式是综合法的难点．常用不等式有：(1)a 2≥0(a ∈R)；(2)(a －b )2≥0(a ，b ∈R)，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；(3)若a ，b ∈R ＋，a ＋b 2≥ab ，特别的有b a ＋a b≥2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R)．2．分析法就是从求证的不等式出发，执果索因，找出使这个不等式成立需具备的充分条件，直至能肯定所需条件已经具备．证明的关键是推理的每一步都必须可逆．对思路不明显，从条件看感到无从下手的问题宜用分析法． 用分析法证明“若A 则B ”的模式为：欲证命题B 成立，只需证命题B 1成立……只需证命题B 2成立…………只需证明A 为真．今已知A 为真，故B 必真．可以简单写成： B ⇐B 1⇐B 2⇐……⇐B n ⇐A .3．证明时省略掉“要证明”和“只需证明”的字样，就会颠倒因果关系而犯逻辑上的根本错误，但可用“⇐”取代那些必要的词语．应予以足够重视．4．分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的特点是利于思考，因为其方向明确，思路自然，易于掌握．综合法的优点是宜于表述、条理清楚、形式简洁．证明时常用分析法探索证明途径，后用综合法的形式写出证明过程，这是解数学问题的一种重要思想方法．分析与综合互为前提，相互渗透，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点，分析法和综合法要结合起来使用，也就是“两头凑”，会使问题较易解决．即在分析过程中有时进行到一定步骤不易进行下去，就要从已知条件出发，进行推理，直至综合法推出的结论与分析法追溯的充分条件同一为止，从而证明了不等式．这种“由两头往中间靠”的方法可称为分析综合法．5．一般来说，如果已知条件信息量较小，或已知与待证间的直接联系不明显，“距离”较大，用分析法来证明．。
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其中 Q 表示所要证明的结论，Q1、Q2、Q3…Q0 分别表示使 Q、Q1、Q 2…Qn 成立的充分条件， Q0 表示最后寻求到的一个明显成立的条件。 分析法常用的表达格式为： 要证 Q，只需证 Q1，只需证 Q2，…，只需证 Q 0，由于 Q 0 显然成立，所以 Q 成立。 综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的 关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法。 三 值得注意的几点 1． 综合法的每一步都是三段论（或其简略形式） ，大前提一定要正确，否则证明易出 错。 2. 使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明 格式上应体现出“分析”探讨性（ “要证…，只需证…” ） ，而非直接肯定结论。 例 1 求证 3 + 7 <2 5 2 2 错证：∵ 3 + 7 <2 5 ， ∴（ 3 + 7 ） <（2 5 ） ， ∴10+2 21 <20， ∴ 21 < 5 ，∴21<25，∴原不等式成立。 错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了。
改错：只需将“∵”改为“要证” ， “∴” 改为“只需证” 。 3. 综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明 （教科书 P.99 例 3） 。一般是先用综合法由已知条件 P 推出一个中间结论 M，再用分析法探 求，发现 M 正是使所证结论 Q 成立的充分条件；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论 Q 成立的充分条件 M ，再用综合法由已知条件 P 推出 M。 证明过程可用框图表示为 ：
即证 4sin α -2sin β =1 ③. 2 另一方面,因为(sinθ - conθ ) -2 sinθ conθ =1, 所以将已知中的①②代入上式, 2 2 即得 4sin α -2sin β =1 ③. 于是问题得证. 4. 综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的,因此往往可以互相改写,但须 注意二者表达格式的迥异.
综合法与分析法之间的内在联系
276600 山东莒南三中 刘凤淑 丁士彦 [丁士彦简介]生于 1967 年 5 月,92 年曲阜师大毕业,现任中学高级数学教师,十多篇 论文或课件曾在省、国级教学杂志上发表或获奖. ph:13864973770 Email:shiyand163@
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维 方式。 1. 综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的 结论。又叫顺推证法或由因导果。 其推理方式可用框图表示为： P→ Q1 → Q1 Q2 → → Q2→… Q3 →…→ QnQ
Pn-1M PP1
→
P1P2
→…→
Qm-1Qm
←…←
Q1 Q2
←
QQ1
（先） 或
QQ1 Qm-1 M
（后）
Q1 Q2
→
→…→
Pn-1 Pn
←…←
P1 P2
←
PP1
例2 教科书中对本题的证法是先综合后分析,框图如上一行的形式;我们还可以改用下 一行的框图,先分析后综合来证. 1-tan α 2 1+tan α
其中 P 表示已知或定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，Q1、Q2…表示中间结 论。 综合法常用的表达格式为： ∵P，∴Q1；又∵…，∴Q2；…，∴Qn；又∵…，∴Q 2. 分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求它成立的充分条件， 找到了这个条件，即说明所要证明的结论成立。又叫逆推证法或执果索因法。 其推理方式可用框图表示为： QQ 1 → P1Q Q P2 Q → Q2Q3 →…→ Qn Q0
2
证 明 :
要 证
=
1-tan β 2 2(1+tan β )
2
1, 只 需 证
sin α 2 con α 2 sin α 1+ 2 con α
2
=
sin β 12 con β ， 2 sin β 2(1+ ) 2 β con β 即证 sin α - con α =
2 2 2 2
21 1Βιβλιοθήκη 2 2 2 2 ( con β -sin β ), 即证 1-2sin α = (1-2sin β )， 2 2