垂径定理、圆周角与圆心角

圆1

一、知识点

1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是

中心对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。）

4、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。）

5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。

推论：圆的两条平行弦所夹弧。

6、与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

7、垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

二、例题

(泸州市2008年)如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（）

A．45 B．60 C．75 D．90

2．(PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径是（）`

A

．

5

2

B．

5

6

C．2 D．5

3、(南京市2008年)如图3，已知O的半径为1，AB与O 相切于点A，OB与O交于点C，

OD OA

⊥，垂足为D，则cos AOB

∠的值等于（）

A．OD B．OA C．CD D．AB

）

4、(威海市2008年)如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，3

2），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为

A．⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

5

8

2

3

,B．()13,

- C．⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

5

9

5

4

,D．()3

1,

-

5、(2009年潍坊)已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C

是切点，连结AC，若，则BD的长为（）

A．B．C．D．

6、（09湖南邵阳）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆O于点D，

连结AD，若45

ABC

∠=°，则下列结论正确的是（）

A．

1

2

AD BC

= B．

1

2

AD AC

= C．AC AB

> D．AD DC

>

7．如图，在⊙O中，弦BC15

∶AB AB BC CD

==50AC

ABC

∆AB O60,70

B C

∠=∠=BOD

∠AB O C

OA OB

=O4,8

AB=OB sin A A B C O//

AB OC

（1）求证：AC平分OAB

∠.

|

（2）过点O作OE AB

⊥于点E，交AC于点P. 若2

AB=

30

AOE

∠=︒，求PE的长．

30

CAB

∠=°

2R3R R

3

2

R

~

A

B

C

O D x

y

O1

1

B

A

C

B

A O

M

B

A

D

C

E

C

、

B

D

O

A

O

P

B

D

E

O

B

C

、

18、（2010湖北荆门）如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA =4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点． （1）求证：AC ·CD=PC ·BC ；

（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；

（3）当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大并求出这个最大面积S 。

{

巩固练习

一、选择题： ·

1、下列命题中正确的是（ ）

A 、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

B 、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；

C 、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；

D 、弦的垂线平分弦所对的弧。

2、如图，⊙O 中弦AB ⊥CD 于E ，AE ＝2，EB ＝6，ED ＝3，则⊙O 的半径为 。

3、在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过P 的整数弦有 条。

第23题图

A