高中数学教案不等式 不等式证明五(放缩法、反证法)
高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法a45a高二45数学
1．实数 a，b，c 不全为 0 的等价条件为( ) A．a，b，c 均不为 0 B．a，b，c 中至多有一个为 0 C．a，b，c 中至少有一个为 0 D．a，b，c 中至少有一个不为 0 【解析】 实数 a，b，c 不全为 0 的含义即 a，b，c 中至少有一个不为 0， 其否定则是 a，b，c 全为 0，故选 D.
2.3 反证法与放缩法
2021/12/9
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本节目标 (mùbiāo)
1.理解反证法在证明不等式中的应用(yìngyòng)． 2．掌握反证法证明不等式的方法．
3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.
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前置(qián zhì) 学习
前置(qián zhì) 学习
1＋x 1＋y 【证明】 假设 y <2 和 x <2 都不成立，
1＋x 1＋y 则有 y ≥2 和 x ≥2 同时成立，因为 x>0 且 y>0，
所以 1＋x≥2y，且 1＋y≥2x，
两式相加，得 2＋x＋y≥2x＋2y，
所以 x＋y≤2，
1＋x 1＋y 这与已知条件 x＋y>2 矛盾，因此 y <2 和 x <2 中至少有一个成立．
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小) 要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们 把分母放大时相应分式的值就会缩小；
反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放 大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不 等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判 断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技 巧，也是放缩法中的主要形式．
2
2
∴a＋1－b>1，b＋1－c>1，c＋1－d>1，d＋1－a>1.
5.3放缩法与反证法证明不等式课件(人教A版选修4-5)
2 2
2
∴n > 2时,
log n (n 1) log n (n 1) 1
log n n 1 2
课堂练习
2、若p>0,q>0,且p3+q3=2,
求证：p+q≤2
课堂小结
证明不等式的特殊方法: （1）放缩法：对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法。 （2）反证法：先假设结论的否命题成立， 再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 论成立的方法。
例1、若a, b, c, dR+，求证：
a b c d 1 2 abd bca cd b d ac
证：记m =
a b c d abd bca cd b d ac
∵a, b, c, dR+
m a b c d 1 abcd abca cd ab d abc
例题
例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证：a, b, c > 0 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0
1 1 1 1 2 3 n 2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.
《反证法和放缩法》 说课稿
《反证法和放缩法》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《反证法和放缩法》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“反证法和放缩法”是高中数学选修 2-2 中的重要内容。
反证法是一种间接证明的方法，它在解决某些问题时具有独特的作用。
放缩法则是不等式证明中的一种常用技巧，通过对式子进行适当的放大或缩小，达到证明的目的。
这两种方法不仅丰富了学生证明问题的手段，也有助于培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
同时，它们在后续的数学学习以及实际生活中都有着广泛的应用。
二、学情分析学生已经掌握了直接证明的方法，如综合法和分析法，但对于间接证明的方法接触较少。
在思维上，学生可能会对反证法的逻辑原理感到困惑，对于放缩法中如何合理地进行放缩也会存在一定的困难。
然而，学生在之前的学习中已经积累了一定的推理经验，具备了一定的逻辑思维能力，这为学习反证法和放缩法奠定了基础。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解反证法的概念和逻辑原理，掌握反证法的一般步骤，并能运用反证法证明简单的命题。
（2）学生能够理解放缩法的基本思想，掌握常见的放缩技巧，并能运用放缩法证明不等式。
2、过程与方法目标（1）通过反证法的学习，培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力。
（2）通过放缩法的学习，培养学生的观察能力、分析能力和灵活运用知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学思维的严谨性和数学方法的多样性，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过解决实际问题，让学生体会数学在生活中的应用价值，培养学生的应用意识和创新精神。
四、教学重难点1、教学重点（1）反证法的逻辑原理和一般步骤。
（2）放缩法的基本思想和常见的放缩技巧。
2、教学难点（1）如何正确提出反设，以及在推理过程中如何导出矛盾。
（2）在运用放缩法时，如何把握放缩的度，做到恰到好处。
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法 2.3.1 反证法课堂导学案 新人教A版选修45
2.3.1 反证法课堂导学三点剖析一,熟悉反证法证明不等式的步骤【例1】 设f(x)、g(x)是定义在［0,1］上的函数，求证:存在x 0、y 0∈［0,1］，使|x 0y 0-f(x 0)-g(y 0)|≥41. 证明:用反证法.假设对［0,1］内的任意实数x,y 均有|xy-f(x)-g(y)|<41，考虑对x,y 在［0,1］内取特殊值:(1)取x=0,y=0时，有|0×0-f(0)-g(0)|<41,∴|f(0)+g(0)|<41; (2)取x=1,y=0时，有|1×0-f(1)-g(0)|<41,∴|f(1)+g (0)|<41; (3)取x=0,y=1时，有|0×1-f(0)-g(1)|<41,∴|f(0)+g(1)|<41; (4)取x=1,y=1时，有|1×1-f(1)-g(1)|<41,∴|1-f(1)-g(1)|<41. ∵1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),∴1≤|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|<41+41+41+41=1. ∴1<1，矛盾，说明假设不能成立.故要证结论成立.各个击破类题演练1求证:如果a>b>0，那么n n b a >(n∈N 且n>1).证明:假设n a 不大于n b 有两种情况:n n b a <或者n n b a =.由推论2和定理1，当n n b a <时，有a<b;当n n b a =时，有a=b ，这些都与已知a>b>0矛盾，所以n n b a >. 变式提升1求证:如果a>b>0,那么21a <21b . 证明:假设21a ≥21b , 则21a -21b =2222b a a b -≥0. ∵a>b>0,∴a 2b 2>0.∴b 2-a 2=(b+a)(b-a)≥0.∵a>b>0,∴b+a>0.∴b -a≥0,即b≥a.这与已知a>b 矛盾.∴假设不成立，原结论21a <21b 成立. 二、什么时候用反证法证明不等式 【例2】 设0<a 、b 、c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数不可能同时大于41. 思路分析:此命题为否定式，直接证明比较困难，可以考虑反证法.假设命题不成立，则三个数都大于41，然后从这个结论出发，推出与题设矛盾的结果来.证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数都大于41,即(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41.以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)c5(1-c)a>641,亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c>641.①又∵0<a<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(aa +-］2=41.同理,0<(1-b)b≤41,0<(1-c)c≤41.以上三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾.∴假设不成立，故命题获证.类题演练2已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:x y +1与y x+1中至少有一个小于2.证明:假设x y +1、y x +1都不小于2，则x y+1≥2,y x+1≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y,2+x+y≥2(x+y).∴x+y≤2，这与已知x+y>2矛盾.故假设不成立，原题得证.变式提升2设a,b,c 均为正数且a+b+c=1,求证:a 2+b 2+c 2≥31.证明:∵ab≤222b a +,bc≤222c b +,ca≤222a c +,三式相加得ab+bc+ca≤a 2+b 2+c 2.假设a 2+b 2+c 2<31,由1=a+b+c,∴1=(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca)≤a 2+b 2+c 2+2(a 2+b 2+c 2)=3(a 2+b 2+c 2)<3×31=1, 即1<1,显然不成立.三、体会反证法证明不等式的优越性【例3】 若△ABC 三边a,b,c 的倒数成等差数列,则∠B<2π. 证明:假设∠B≥2π,则b 边最大,有b>a,b>c. ∴a 1>b 1,c 1>b1. 两式相加得a 1+c 1>b2, 这与题设a 1+c 1=b2相矛盾. 因此,假设是错误的, ∴∠B<2π. 温馨提示证明过程就那么简单,推出矛盾也这般容易!用反证法证明不等式思路清清爽爽,有化难为易的功效.类题演练3若|a|<1,|b|<1,求证:|ab b a ++1|<1. 证明:假设|ab b a ++1|≥1,则|a+b|≥|1+ab|. ∴a 2+b 2+2ab≥1+2ab+a 2b 2.∴a 2+b 2-a 2b 2-1≥0.∴a 2-1-b 2(a 2-1)≥0.∴(a 2-1)(1-b 2)≥0.∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-1,11,1.01,01010122222222b a b a b a b a 或即或 即a 2≥1,b 2≤1或a 2≤1,b 2≥1,与已知矛盾. ∴|abb a ++1|<1. 变式提升3 已知f(x)=x 2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:用反证法.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21,则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2,相互矛盾.∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21.。
高中不等式经典教案(含详解)
高中不等式经典教案第一教时一、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三 比较大小1．231-和10 解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数0)(<--b a 0<-a b a b <2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与201的大小 解：241y x -= 22y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)略解：2sin θ-sin2θ=2sin θ(1-cos θ)当θ∈(0,π)时2sin θ(1-cos θ)≥0 2sin θ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sin θ(1-cos θ)<0 2sin θ<sin2θ3．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解：)1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a第二教时一、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则）证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）证：∵d c < ∴d c ->- d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->-> 或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---d c b a <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）证：c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么d b c a >（相除法则） 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若ba b a b a b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n n b a > 五、供选用的例题（或作业）1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．若R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++cb a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b1的大小 解：a 1-b 1aba b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b 1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证：a b a b >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-ab a a b ∴1>a b6．若0,0<<>>d c b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴db c a -<-11 ∴原式成立第三教时一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
不等式证明(反证法,放缩法)教学提纲
当 a b 0时，左边
1 1 1
ab
1
ab
|a|
b
1 1 1ab 1ab 1ab
ab
ab
.
1 a 1 b
法２： Q0abab,
ab ab 11
1
1
1 ab 1 ab
1 ab
1 1
ab
1 a| | b 1 a b
|a| b
ab .
1a b 1a b 1 a 1 b
法３：函数的方法
例 3:求 证 ： 2（n+1-1） <1+11...12n(nn*)
23 n
Q 12 2 2 (kk 1 ),k N * k 2k kk 1
1111 23 n
2 [(10)( 21)(32)( nn1)]2n.
例4:巳知：a、b、c∈ R ，求证：
a 2 a b b 2a 2 a c c 2 a b c
这与已知条件 x y 2 矛盾 .
1 x 与 1 y 中至少有一个小于
2
y
x
例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
24
2
②
1 k2
k
(
1 k
1
高中数学讲义：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
高三复习第二讲证明不等式的基本方法
高三复习第二讲证明不等式的基本方法选修4－5不等式选讲【考纲速读吧】1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合点必会技巧1．利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．2．常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系数等．利用基本不等式还可以证明条件不等式，关键是恰当地利用条件，构造基本不等式所需要的形式．项必须注意1．作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．2．放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．放得过大或过小都不能达到证明目的．3．利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此，要切记检验等号成立的条件．【课前自主导学】011．三个正数的算术—几何平均不等式a＋b＋c（1）定理：如果a，b，c均为正数，那么________abc，当且仅当________时，等号成立，即3三个正数的算术平均数________它们的几何平均数．（2）基本不等式的推广a1＋a2＋…＋an对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数________它们的几何平均数，即na1a2n，当且仅当________时，等号成立．21（1）已知某>0，则y＝某2＋________．（2）已知某>0，则y＝某的最小值为________．某某2．柯西不等式（1）设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．bbb222（2）若ai，bi（i∈N某）为实数，则（∑a）（∑b）≥（∑ab），当且仅当＝＝…＝ai＝0时，iiiia1a2ani＝1i＝1i＝1约定bi＝0，i＝1,2，…，n）时等号成立．（3）柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α、β共线时等号成立．nnn（1）若某＋2y＋4z＝1，则某2＋y2＋z2的最小值是________．（2）某，y∈R，且某2＋y2＝10，则2某－y的取值范围为________．3．证明不等式的方法（1）比较法①求差比较法由a>ba－b>0，a<ba－b<0，因此要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法a由a>b>0>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求商b比较法（2）分析法从所要________入手向使它成立的充分条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．（3）综合法从已知条件出发，利用不等式的性质（或已知证明过的不等式），推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．（4）反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从________出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．（5）放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不在证明不等式时综合法与分析法有怎样的关系？（1）要证明29＋31<25，可选择的方法最合理的是________．a3＋a6（2）等比数列{an}各项为正数，且q≠1，若PQ＝a4a5，则P与Q的大小关系________．2【自我校对】1．≥a＝b＝c不小于不小于≥a1＝a2＝…＝an31填一填：（1）3（2）34112．填一填：（1提示：∵1＝某＋2y＋4z≤某＋y＋z1＋4＋16，∴某2＋y2＋z2≥某2＋y2＋z2的最2121小值为．21（2）[－2，2]提示：∵（某2＋y2）[22＋（－1）2]≥（2某－y）2，∴－2≤2某－y≤52．a3．a－b>0证明的结论相反条件和假设放大或缩小b想一想：提示：综合法：由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件，综合法与分析法是对立统一的两种方法．在实际解题时，常常用分析法探求解题思路，用综合法表达．填一填：（1）分析法（2）P≥Q提示：∵a3·a6＝a4·a5，∴a3＋a6≥23·a6＝2a4·a5，∴P≥Q．【核心要点研究】02【考点一】比较法证明不等式例1[2022·广州模拟]已知a>0，b>0，求证：（a）3＋b3≥ab＋ab2．【审题视点】本题主要考查不等式证明的方法，考查运算求解能力及等价转化思想，可用作差比较法证明．[证明]（a）3＋b3－（ab＋ab2）＝[（a）3－ab]＋[b3－ab2]＝a（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）（a－b2a－b）[（a）2－b2]＝（a－b）2（a＋b）．因为a>0，b>0，所以a＋b>0，又（a－b）2≥0，所以（a－b）2a＋b）≥0a）3＋b3－（ab＋ab2）≥0，即（a）3＋b3≥ab＋2．【师说点拨】此题用的是作差比较法，其步骤：作差、变形、判断差的符号、结论．其中判断差的符号为目的，变形是关键．常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法．【变式探究】求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1证明：∵（a2＋b2）－（ab＋a＋b－1）＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2）211＝（a2－2ab＋b2）＋（a2－2a＋1）＋（b2－2b＋1）]（a－b）2＋（a－1）2＋（b－1）2]≥0，22∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1．【考点二】用分析法或综合法证明不等式1112例2已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋abc3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【审题视点】3因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c≥3abc，故可利用三个正数的算术——几何平均不等式证明．2[证明]因为a，b，c均为正数，所以a2＋b2＋c2≥3（abc），①3111211112＋≥9（abc）－．②＋≥3（abcabcabc33111222＋≥3（abc）＋9（abc故a2＋b2＋c2＋abc3322又3（abc）＋9（abc）－≥2＝6，③所以原不等式成立．33当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．221当且仅当3（abc9（abc）－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3 334111奇思妙想：例题中，不等式变为“abc3”，其余不变，该如何解答？abc111331113证明：∵a，b，c＋＋abc≥＋abc3，abcabcabcabcabc31∴原不等式成立，当a＝b＝c且abc时等号同时成立，即a＝b＝c＝3 abc6【师说点拨】1．分析法要注意叙述的形式：“要证A，只要证B”，这里B应是A成立的充分条件．2．综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”．它们是两种思路截然相反的证明方法．分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运用．【变式探究】设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：证法一（综合法）∵a≥b>0，∴a2≥b2，则3a2≥2b2，则3a2－2b2≥0.又a－b≥0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0，即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0，则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．故原不等式成立．证法二（分析法）要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，即3a2(a－b)＋2b2(b－a)≥0，也即(a－b)(3a2－2b2)≥0，(某)∵a≥b>0，∴a－b≥0.又a2≥b2，则3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0.(某)式显然成立，故原不等式成立.【考点三】用柯西不等式证明不等式例3[2022·福建高考]已知函数f（某）＝m－|某－2|，m∈R，且f （某＋2）≥0的解集为[－1,1]．111（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R＋，且＋＋m，求证：a＋2b＋3c≥9．a2b3c【审题视点】（1）根据式子的特点，利用公式进行转化，根据集合相等确定m的值；（2）结合已知条件构造两个适当的数组，变形为柯西不等式的形式．[解]（1）因为（f某＋2）＝m－|某|，（f某＋2）≥0等价于|某|≤m，由|某|≤m有解，得m≥0，且其解集为{某|－m≤某≤m}．又f（某＋2）≥0的解集为[－1,1]，故m＝1．111＋（2）由（1）知＝1，又a，b，c∈R，由柯西不等式得a2b3c111111a＋2b＋3c＝（a＋2b＋3c）（）≥（a＋2b3c2＝9．所以不等式得证．a2b3ca2b3c【师说点拨】22222柯西不等式的一般结构为（a2（b21＋a2＋…＋an）1＋b2＋…＋bn）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn），在使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，为方便使用柯西不等式，有时常将a变形为1某a的形式．【变式探究】abcbca用柯西不等式证明：若a，b，c均为正数，＋）（）≥9．bcaabcabcbca证明：∵（＋（＋）≥（2＝9，bcaabcbacbacabcbca∴（）＋）≥9．bcaabc【经典演练提能】041．已知a1≤a2，b1≤b2，则P＝a1b1＋a2b2，Q＝a1b2＋a2b1的大小关系是()A．P≤QB．P<QC．P≥QD．P>Q答案：C解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(b1－b2)·(a1－a2)∵a1≤a2，b1≤b2∴(b1－b2)·(a1－a2)≥0∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1．1112．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1＋＋的最小值为（）abcA．3B．6C．9D．12答案：Ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c111bacacb解析：把a＋b＋c＝1代入＋得到＝3＋（＋＋（＋（＋）≥3 abcabcabacbc＋2＋2＋2＝9，故选C．3.若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为()A.1B.2C.3D.2解析：abc）2＝（a＋b＋c）2≤（12＋12＋12）（a＋b＋c）＝3．当且仅当a＝b＝c＝abc）2≤3．故＋＋的最大值为．3某＋y某y4．设某>0，y>0，M＝N＝M、N的大小关系为________．2＋某＋y2＋某2＋y答案：M<N某＋y某y某y解析：N＝＋>M．2＋某2＋y2＋某＋y2＋某＋y2＋某＋y5．若a，b∈R，且a≠b，M答案：M>N＋ab＋，N＝a＋b，则M、N的大小关系为________．baabab解析：∵a≠bba，ab，baa＋b．baba（时间：45分钟分值：100分）一、选择题1．若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是（）A．a<b＋cB．a>c－bC．|a|>|b|－|c|D．|a|<|b|＋|c|答案：D解析：|a|－|c|≤|a－c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|．故选D．112．[2022·鸡西模拟]若实数某、y＋＝1，则某2＋2y2有（）某yA．最大值3＋22B．最小值3＋2C．最大值6D．最小值6答案：B 112y2某22222解析：由题意知，某＋2y＝（某＋2y）·（＋）＝3＋＋22，某y某y22某2y＝时，等号成立，故选B．y某1113．[2022·广东调研]已知a，b为实数，且a>0，b>0．则（a＋b＋（a2＋）abaA．7B．8C．9D．10答案：C13解析：因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥3a某b＝3b>0，①aa113同理可证：a＋＋≥3．②23111321由①②及不等式的性质得（a＋b＋）（a≥3b某9．abab24．[2022·柳州模拟]已知关于某的不等式2某在某∈（a，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为（）某－a13A．B．1CD．222答案：C2223解析：2某＋2（某－a）＋2a≥22某－a2a＝2a＋4≥7，∴a2某－a某－a某－a＋5．[2022·金版原创]若q>0且q≠1，m，n∈N，则1＋qmn与qm＋qn 的大小关系是（）＋＋＋A．1＋qmn>qm＋qnB．1＋qmn<qm＋qnC．1＋qmn＝qm＋qnD．不能确定答案：A解析：1＋qmn－qm－qn＝qm（qn－1）－（qn－1）＝（qn－1）（qm－1），①当0<q<1时，qn<1，qm<1．②当q>1时，qn>1，qm>1．＋∴（qn－1）（qm－1）>0，∴1＋qmn>qm＋qn，故选A．6．[2022·湖北高考]设a，b，c，某，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，某2＋y2＋z2＝40，a某＋by＋cz＝20，则a＋b＋c＝（）某＋y＋z1113A．B．C．D．4324答案：C解析：由柯西不等式得（a2＋b2＋c2）（某2＋y2＋z2）≥（a某＋by＋cz）2，而由已知有abc（a2＋b2＋c2）（某2＋y2＋z2）＝10某40＝202＝（a某＋by＋cz）2，故＝＝k，代入得某yza＋b＋c11a2＋b2＋c2＝k2（某2＋y2＋z2）＝40k2＝10，解得k＝k＝．故选C．22某＋y＋z二、填空题7．函数y＝21－某＋2某＋1的最大值为________．答案：3解析：y22－2某＋2某＋1）2≤[（）2＋12][2－2某）22某＋1）2]＝3某3，∴y≤3．8．[2022·许昌模拟]对于任意实数a、b，若|a－b|≤1，|2a－1|≤1，则|4a－3b＋2|的最大值为________．答案：611解析：因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，所以|3a－3b|≤3，|a22151515|4a－3b＋2|＝|（3a－3b）＋（a－|≤|3a－3b|＋|a－|＋≤3＋＋6，即|4a－3b＋2|的最大值为6．2222221119．已知某，y，z为正实数，且＋＝1，则某＋4y＋9z的最小值为________．某yz答案：36解析：解法一：由柯西不等式，得111某＋4y＋9z＝[某）2＋（y）2＋（3z）2]·[（）2＋（22]≥某yz111（某＋y3z）2＝36．当且仅当某＝2y＝3z时等号成立，此时某＝6，y＝3，z＝2．所以当某＝6，y＝3，z＝2时，某＋4y＋9z取得最小值36．111111解法二：∵＋＝1，∴某＋4y＋9z＝（某＋4y＋9z）（＋），某yz某yz4y9z某9z某4y4y某9z某9z4y即某＋4y＋9z＝14＋＋＋≥14＋＋22＝36．某某yyzz某y某zyz（当且仅当某＝2y＝3z时取“＝”），即某＝6，y＝3，z＝2时，（某＋4y＋9z）min＝36．故填36．三、解答题10．已知a>0，证明：a2＋2≥a2．aa1111解：要证a22≥a＋－2，只要证a2＋2≥a＋＋2，因为a>0，所以只要证aaaa1111（a2＋2）2≥（a＋2）2，即证a2＋4＋a2a2＋4＋2（a＋，故只需证aaaaaa1111112a2＋≥a＋，即证a2＋，而由基本不等式可知a2＋成立．故a2－2≥a＋2．211．[2022·正定模拟]设正有理数某是的一个近似值，令y＝1．1＋某（1）若某>3，求证：y3；（2）求证：y比某3．33＋某3某－3某－32证明：（1）y－3＝1＋3＝＝，1＋某1＋某1＋某∵某>3，∴某3>0，而13<0，∴y<3．3－13－2－某3某－（2）∵|y－3|－|某3|＝－|某－3|＝|某－3|（－1）＝|某－3|（，1＋某1＋某1＋某∵某>03－2<0，|某－3|>0，∴|y3|－|某3|<0，即|y－3|<|某3|．∴y比某更接近于3．12．[2022·南昌调研]已知某＋y>0，且某y≠0．某ym11（1）求证：某3＋y3≥某2y＋y2某；（2）如果＋（＋m的取值范围或值．y某2某y解：（1）∵某3＋y3－（某2y＋y2某）＝某2（某－y）－y2（某－y）＝（某＋y）（某－y）2，且某＋y>0，（某－y）2≥0，∴某3＋y3－（某2y＋y2某）≥0．∴某3＋y3≥某2y＋y2某．33某2－某y＋y2某ym11m某＋y（2）（ⅰ）若某y<0，则＋）等价于＝，y某2某y2某y某＋y某y某2－某y＋y2某＋y2－3某y－3某y某3＋y3又∵＝<3，即<－3，∴m>－6；某y某y某y某y某＋y3322某ym11m某＋y某－某y＋y（ⅱ）若某y>0，则≥（＋≤＝，y某2某y2某y某＋y某y某2－某y＋y22某y－某y某3＋y3又∵≥1，即，∴m≤2．某y某y某y某＋y综上所述，实数m的取值范围是（－6,2]．。
高三数学 不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲
高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。
2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。
（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。
3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。
定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。
推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。
推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。
4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。
5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。
用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法a45a高二45数学
证明：因为当 n≥2 时，an＝2n2＞2n(n－1)，
所
以
1 an
＝
1 2n2
＜
1 2n（n－1）
＝
1 2
·
1 n（n－1）
＝
1 2
n－1 1－n1，
第二十页，共二十九页。
所以a11＋a12＋…＋a1n ＜1＋121×1 2＋2×1 3＋…＋n（n1－1） ＝1＋121－12＋12－13＋ …＋n－1 1－n1 ＝1＋121－n1
同理， y2＋yz＋z2＞z＋2y.②
第二十四页，共二十九页。
因为由①＋②得 x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＞x＋y ＋z，
所以原不等式成立．
第二十五页，共二十九页。
(2)证明：因为 n＞1，n∈N＋， 所以n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＜n1＋n1＋…＋n1＝1， n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＞21n＋21n＋…＋21n＝12， 所以原不等式成立．
第二十三页，共二十九页。
[变式训练] (1)已知 x＞0，y＞0，z＞0，求证：
x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＞x＋y＋z； (2)求证：12＜n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＜1(n＞1，n∈N*)．
证明：(1)因为 x＞0，y＞0，z＞0，
所以 x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2＞x＋2y，①
第二十一页，共二十九页。
＝32－21n ＜32， 故a11＋a12＋…＋a1n＜32.
第二十二页，共二十九页。
归纳升华 放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个 中间量，如将A放大成C，即A＜C，后证C＜B. 常用的放缩技巧有： (1)舍掉(加进)一些项． (2)在分式中放大(缩小)分子(分母)． (3)应用基本不等式进行放缩．
例谈证明不等式的四种常用措施
=
cos2 a, a
∈
(0,
π 2
)
，
æ è
x
+
1 x
öøæèç
y
+
1 y
ö
÷
ø
=
æ
ç
sin2
a
è
+
1 sin2a
öæ
֍
cos2
a
øè
+
1 cos2a
ö
÷
ø
=
sin4 a
+
cos4a - 2 sin2a 4 sin22a
cos2 a
+
2
，
( ) =
4 - sin2a 2 + 16 ， 4 sin22a
(x)
=
(
cos sin
α β
)x
+
(
cos sin
β α
)x,
且x < 0,
α,β ∈
æ è
0,
π 2
öø，若
f (x) > 2, 求证：α + β >
π 2
.
证明：假设0
<
α
+
β
≤
π 2
,
由α, β
∈
（0，π2 ）可得0
<
α
≤
π 2
-
β
≤
π 2
，
则
cos
α
≥
cosæè
π 2
-
β
ö ø
=
sin
β
>
1)
=
2n2
+
高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案含解析新人教A版选修4_5
高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案含解析新人教A版选修4_51．不等式的证明方法——反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．不等式的证明方法——放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．已知求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p ＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a，b，c不全为0的等价条件为( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：选D “不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”．2．证明：三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列．证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac.又∵a，b，c成等差数列，∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d为公差)．∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2.。
5.3放缩法与反证法证明不等式课件(人教A版选修4-5)
a b b |a| . 1 a 1 b 1 a b 1 a b
法３：函数的方法
例3求证： 1 1 1 * 2（ n+1-1）<1+ ... 2 n (n n ) 2 3 n
1 2 2 2( k k 1), k N * k 2 k k k 1
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a, 不可能同时大于1/4
证明：设(1 a)b>1/4, (1 b)c>1/4,
(1 c)a>1/4,
1 则三式相乘： (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a > 64
又∵0 < a, b, c < 1
2 2
2
∴n > 2时,
log n (n 1) log n (n 1) 1
log n n 1 2
课堂练习
2、若p>0,q>0,且p3+q3=2,
求证：p+q≤2
课堂小结
证明不等式的特殊方法: （1）放缩法：对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法。 （2）反证法：先假设结论的否命题成立， 再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 论成立的方法。
1 1 ab
ab b |a| 1 a b 1 a b 1 a b 1
a 1 a
b 1 b
.
法２：
ab
0 a b a b ,
a b 11
1 1 1 a b 1 a b 1 a b a b 1 1 1 a b 1 a | | b
5.3放缩法与反证法证明不等式课件(人教A版选修4-5)
略 解
a ab b
2 2
a ac c
2
2
a 2 3 2 (b ) a 2 4
a 2 3 2 (c ) a 2 4
a 2 (b ) 2 abc
a 2 (c ) 2
小结
在证明不等式过程中，有时为了证明的 需要，可对有关式子适当进行放大或缩小， 实现证明。例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是定理2（传递性性质）
1 1 ab
ab b |a| 1 a b 1 a b 1 a b 1
a 1 a
b 1 b
.
法２：
ab
0 a b a b ,
a b 11
1 1 1 a b 1 a b 1 a b a b 1 1 1 a b 1 a | | b
a b c d 同时 m 2 ab ab cd d c
∴1 < m < 2
即原式成立
例2已知a,b是实数，求证: a+b 1 a b a 1 a b 1 b .
法１：
ab 1 a b
a 1 a
b 1 b
1 1 1 ab
证明：在 a b 0 时，显然成立. 当 a b 0 时，左边
1 1 1 1 2 3 n 2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.
例4、巳知：a、b、c∈ R ，求证：
高三数学总复习 不等式证明五(放缩法反证法)教案
城东蜊市阳光实验学校师范大学附属中学高三数学总复习教案：不等式证明五〔放缩法、反证法〕 教材：不等式证明五〔放缩法、反证法〕目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
过程：一、 简要回忆已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题：放缩法与反证法二、 放缩法：例一、假设a,b,c,d R+，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a 证：记m=ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a,b,c,d R+∴1=+++++++++++++++>c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m ∴1<m<2即原式成立例二、当n>2时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 证：∵n>2∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n ∴n>2时,1)1(log )1(log <+-n n n n 例三、求证：213121112222<++++n证：n n n n n 111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n 三、 反证法：例四、设0<a,b,c<1，求证：(1 a)b,(1b)c,(1 c)a,不可能同时大于41 证：设(1 a)b>41,(1b)c>41,(1 c)a>41,那么三式相乘：ab<(1 a)b•(1b)c•(1 c)a<641①又∵0<a,b,c<1∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a同理：41)1(≤-b b ,41)1(≤-c c以上三式相乘：(1 a)a•(1b)b•(1 c)c≤641与①矛盾∴原式成立例五、a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0证：设a<0,∵abc>0,∴bc<0又由a+b+c>0,那么b+c=a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0与题设矛盾又：假设a=0，那么与abc>0矛盾，∴必有a>0同理可证：b>0,c>0四、 作业：证明以下不等式：1． 设x>0,y>0,y x yx a +++=1,y yx xb +++=11，求证：a<b放缩法：y yx x y x y y x xy x y x +++<+++++=+++111112． lg9•lg11<13． 假设a>b>c,那么0411≥-+-+-a c c b b a 5．)2,(11211112≥∈>+++++++n R n n n n n 左边11111122222=-+=++++>nn n n n n n n 6．121211121<+++++≤nn n 7．a,b,c>0,且a2+b2=c2，求证：an+bn<cn(n≥3,n R*)∵122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a,b,c>0,∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n ∴1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn c b c a 8．设0<a,b,c<2，求证：(2 a)c,(2b)a,(2 c)b,不可能同时大于1仿例四 9．假设x,y>0，且x+y>2，那么xy +1和y x +1中至少有一个小于2 反设x y +1≥2，y x +1≥2∵x,y>0，可得x+y≤2与x+y>2矛盾。
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第十教时
教材：不等式证明五（放缩法、反证法） 目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
过程：
一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法
提出课题：放缩法与反证法 二、 放缩法：
例一、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<c
a d d
b d
c c a c b b
d b a a
证：记m =c
a d d
b d
c c a c b b
d b a a +++
++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +
∴1=+++++++++++++++>c b a d d
b a d
c c a c b a b
d c b a a m
2=+++++++<c
d d
d c c b a b b a a m
∴1 < m < 2 即原式成立
例二、当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 证：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n
∴2
22
2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 2
2=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡<n n
∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例三、求证：21
3121112222<++++n
证：
n
n n n n 111)1(112--=-< ∴
21
21113121211113121112
222<-=+-++-+-+<++++n n n n
三、反证法：
例四、设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于4
1
证：设(1 - a )b >41, (1 - b )c >41, (1 - c )a >4
1
,
则三式相乘：ab < (1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a <64
1
①
又∵0 < a , b , c < 1 ∴412)1()1(02
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤
-b b , 4
1
)1(≤-c c 以上三式相乘： (1 - a )a •(1 - b )b •(1 - c )c ≤
64
1
与①矛盾 ∴原式成立
例五、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a , b , c > 0 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = -a > 0
∴ab + bc + ca = a (b + c ) + bc < 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0 四、 作业：证明下列不等式：
1． 设x > 0, y > 0,y x y x a +++=
1, y
y
x x b +++=11，求证：a < b
放缩法：
y
y
x x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111
2． lg9•lg11 < 1
122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 2
22=⎪⎭
⎫
⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅
3． 1)1(log )1(log <+-n n n n
222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 2
2=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡<n n
4．若a > b > c , 则
0411≥-+-+-a
c c b b a
c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22)
)((1
2112
5．
)2,(11211112≥∈>+++++++n R n n n n n 左边1111112
2222=-+=++++>n
n
n n n n n n 6．
121211121<+++++≤n n n 11
121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式
7．已知a , b , c > 0, 且a 2 + b 2 = c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)
∵122=⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0, ∴2
2,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n
∴1=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n
n
c b c a
8．设0 < a , b , c < 2，求证：(2 - a )c , (2 - b )a , (2 - c )b ,不可能同时大于1
仿例四 9．若x , y > 0，且x + y >2，则
x
y +1和y x
+1中至少有一个小于2
反设
x
y
+1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。