3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)

4．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x) 与g(x)的大小关系是________．用(“＞”连接) 解析： f(x)－g(x) ＝x2－2x＋2 ＝(x－1)2＋1＞0 ∴f(x)＞g(x) 答案： f(x)＞g(x)

一一列出，组成不等式组． 设出甲、乙两种产品的产量，把题中所有不等关系
[解题过程] 设甲、乙两种产品产量分别为 x 件、y 件， 由题意列不等式组如下： 0≤x≤2 500 0≤y≤1 200 4x＋6y≤14 000 2x＋8y≤12 000 x，y∈N＋ 0≤x≤2 500 0≤y≤1 200 ，即2x＋3y≤7 000 x＋4y≤6 000 x，y∈N＋
a b ∴在c2>c2两边同乘以 c2 不等式方向不变，∴a>b. 1 1 (2)错误．a>b⇔a<b成立条件是 ab>0. (3)错误．令 a＝5，b＝4，c＝3，d＝1，有 a－c<b－d. (4)正确 a>b⇒b－a<0 b－a 1 1 1 1 > ⇒ － >0⇒ >0⇒ab<0. a b a b ab ∵a>b，∴a>0且b<0.
a － 所以ba b＞1，所以 aabb＞abba.
a ②当 a＝b 时，b＝1，a－b＝0，
a － 所以ba b＝1，所以 aBiblioteka Baidubb＝abba.
a ③当 a＜b 时，0＜ ＜1，a－b＜0， b
a － 所以ba b＞1，所以 aabb＞abba.
综上可知，aabb≥abba，a，b∈R .
§1
不等关系
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背景． 3.能用作差法比较大小.
1.对用不等式表示不等关系和用作差法比较大 小的考查是本节的热点． 2.本节内容常与通分、因式分解、配方等运算 技能结合命题． 3.多以选择题、填空题形式考查.
4．一个重要结论 a＋m ＞ a. 设 a，b 为正实数，且 a＜b，m＞0，则 b b＋m

1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A
)
2． 某高速公路对行驶的各种车辆的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
对于实数 a，b，c，下列判断正确的是( A．若 a>b，则 ac2>bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a<b<0，则a>b 1 1 D．若 a>b，a>b，则 a>0，b<0
)
本题解答可利用不等式性质直接判断真 假，也可以采用特殊值法判断．
[解题过程] 方法一：∵c2≥0， ∴c＝0 时，有 ac2＝bc2， 故 A 不正确； a b 1 1 由 a＞b>0，有 ab>0⇒ ＞ ⇒ ＞ ， ab ab b a 故 B 不正确；
x＋y≤9 10×6x＋6×8y≥360 0≤x≤4 0≤y≤7 x＋y≤9 5x＋4y≥30 ，即 0≤x≤4 0≤y≤7
.

(1)比较x2 －2ax与2a－2a2 －3的大小(a， x∈R)． (2) 已 知 a ， b∈R ＋ ， 比 较 aabb 与 abba 的 大 小．
1 1 a＜b＜0⇒－a>－b>0⇒－ >－ >0 a b b a ⇒ > ， b a a<b<0⇒－a＞－b＞0 故 C 为假命题；
a>b⇒b－a<0 ⇒ab<0. b－a 1 1 1 1 a>b⇒a－b>0⇒ ab >0 ∵a>b，∴a>0 且 b<0，故 D 正确．
解析： 4 π π ∵－ ≤α＜β≤ ， 2 2 4 4 2 4 2 π α＋β π 上面两式相加得：－ ＜ ＜ . 2 2 2 π β π π β π ∵－ ＜ ≤ ，∴－ ≤－ ＜ ， 4 2 4 4 2 4 π α－β π ∴－ ≤ ＜ . 2 2 2 π α－β 又知 α＜β，∴α－β＜0，故－ ≤ ＜0. 2 2
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.

某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．
∴M－N＜0.∴M＜N.
∵x＜y＜0，∴2xy＞0， 2xy ∴ ＞0， x＋y2 2xy ∴1－ ＜1. x＋y2 x2＋y2x－y ∴ 2 2 ＜1， x －y x＋y ∵(x2－y2)(x＋y)＜0，(x2＋y2)(x－y)＜0， ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．

[解题过程] (1)(x2－2ax)－(2a－2a2－3) ＝(x2－2ax＋a2)＋(a2－2a＋3) ＝(x－a)2＋(a－1)2＋2. ∵(x－a)2≥0，(a－1)2≥0， ∴(x2－2ax)－(2a－2a2－3)＞0， 即x2－2ax＞2a－2a2－3.
aabb aa－b (2)由 a，b∈R＋， b a＝b 讨论： ab a ①当 a＞b 时， ＞1，a－b＞0， b
1．数轴上(如图)的点A，B，C所对应的数a，b， c的大小关系是 . c＜a＜b
2．函数f(x)的最大值为f(x0)，意思是对f(x)定义 域内的任意x，总有 成立． f(x)≤f(x0) 3．若f(x)在区间D上是增函数，则对于任意x1 ， x2∈D且x1<x2，都有 成立．
f(x1)<f(x2)
5．已知x>3，试比较x3＋11x与6x2＋6的大小． 解析： x3＋11x－(6x2＋6) ＝x3－3x2－3x2＋11x－6＝ x2(x－3)＋(－3x＋2)(x－3) ＝(x－3)·(x2－3x＋2) ＝(x－3)(x－2)(x－1)，由x>3，得 x－3>0，x－2>0，x－1>0，所以x3＋11x>6x2＋ 6.
.
[题后感悟] 用不等式表示实际问题中的 不等关系时，应首先读懂题意，设出未知 量，寻找不等关系的根源，将不等关系用 未知量表示出来，即得到不等式或不等式 组，这是应用不等式解决实际问题的最基 本的一步．要注意把题中所有不等关系全 部列出来．
1.某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7 辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车 队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型 卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天 可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不 解析： 等式． 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，则
v≤120km/h A. d≥10m
C．v≤120(km/h)
答案： A
3．一个两位数大于50，而小于60，其个 位数字x比十位数字y大2，试用不等式表示 50＜10y＋x＜60 上述关系________________． 答案： x－y＝2 解析： 该两位数应表示为10y＋x， 由题意可知50＜10y＋x＜60，且x－y＝2.
＋
[题后感悟] (1)作差比较大小的关键是作差后 的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、 通分、有理化等手段进行恒等变形．变形的过 程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要 变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保 持等价性及正确性．
(2)作商法的适用对象： 所比较的两个式子均为乘积的形式或可以转化 为乘积的形式，往往可以考虑作商法． (3)作商法的一般步骤： ①转化为乘积形式； ②作商； ③判断商值与1的大小关系； ④结论．
方法二： 特殊值排除法， c＝0， ac2＝bc2， A 错． 取 则 故 1 1 1 1 1 取 a＝2，b＝1，则 ＝ ， ＝1，有 ＜ ，故 B 错． a 2 b a b 取 a＝－2，b＝－1， b 1 a b a 则a＝2，b＝2，有a<b，故 C 错．
答案： D
[题后感悟] 运用不等式的性质判断时， 要注意不等式成立的条件，不要弱化条件， 尤其是不能凭想当然随意捏造性质．解有 关不等式选择题时，也可采用特殊值法进 行排除，注意取值一定要遵循如下原则： 一是满足题设条件；二是取值要简单，便 于验证计算．
(2)若 x＜y＜0，证明：(x ＋y )(x－y)＞(x －y )(x＋y)．
2
2
∵a≥1，∴ a＋1＋ a＞0， a＋ a－1＞0，
(2)证明：∵x＜y＜0，
2 2
又 a－1－ a＋1＜0， ∴x－y＜0，x －y ＞0，x＋y＜0，
∴(x2＋y2)(x－y)＜0，(x2－y2)(x＋y)＜0， x2＋y2x－y x2＋y2 x＋y2－2xy ∵ 2 2 ＝ 2＝ x －y x＋y x＋y x＋y2 2xy ＝1－ 2， x＋y
a－b＜0 a－b＞0 如果 ，那么a＞b. 如 依 a－b＝0 果 ，那么a＜b. 如 据 果 2．作差法比较两实数大小 ，那么a＝b. 确定任意两个实数a，b的大小关系， 差 零 结 只需确定它们的 与 的大小 论 关系.

3.不等式的性质 a＞c (1)如果a＞b，b＞c，那么 . (2)如果a＞b，那么a＋c b＋c. ＞ (3)如果a＞b，c＞0，那么ac bc. ＞ (4)如果a＞b，c＜0，那么ac bc. ＜
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
＞165 ≤35 4．某单位招收员工的条件是“年龄不超 过35岁，身高165cm以上”，小李被单位 录用，那么，你能用不等式表示出小李的 身高S(cm)和年龄N(岁)满足的不等关系吗？ S ，N .
1．在数学意义上，不等关系可以体现在以下 几个方面 常量与常量 (1) 变量与常量 之间的不等关系； (2) 函数与函数 之间的不等关系； (3) 一组变量 之间的不等关系； (4) 之间的不等关系．
2.(1)已知 a≥1，试比较 M＝ a＋1－ a和 N＝ a－ a－1的大小．
a＋1－ a a－ a－1 解析： (1)M－N＝ － 1 1 a＋12－ a2 a2－ a－12 ＝ － 2 2 a＋1＋ a a＋ a－1 1 1 ＝ － a＋1＋ a a＋ a－1 a－1－ a＋1 ＝ . a＋1＋ a a＋ a－1
[题后感悟] 求含字母的数或式的取值范围时，一要注
意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质求解，本例极 易犯同向不等式相减或相除的错误：12＜a＜60,15＜b＜36， 12 a 60 4 a 5 ∴－3＜a－b＜24， ＜ ＜ ，即 ＜ ＜ . 15 b 36 5 b 3
π π α＋β α－β 4.已知－2≤α＜β≤2，求π 2 ， 2 的取值范围． π α π π β ∴－ ≤ ＜ ，－ ＜ ≤ .