第3章 考虑摩擦时的平衡问题汇总
考虑摩擦时的平衡问题
FR
(3)考虑摩擦的平衡问题
• 考虑摩擦与不考虑摩擦时构件的平衡问题，求
解方法基本相同。不同的是在画受力图时要画出摩
擦力Ff ，并需要注意摩擦力的方向与滑动趋势
方向相反，不能随意假定。
• 由于Ff值是一个范围（平衡范围），确定这个 范围可采取两种方式：一种是分析平衡时的临界情 况，假定摩擦力取最大值，以Ff=Ffmax=fFN作为补充
(2) 摩擦角与自锁现象
• 摩擦角 m : 全反力与法线间的最大夹角。
G
Fp Ff
FN — 正压力
Ff — 静摩擦力 FR — 全约束反力
（全反力）
FR
FN
— 全反力与接触面
法线的夹角
摩擦系数f ：摩擦角的正切值。即： F f max fFN tan m f FN FN 摩擦锥：如果物体与支承面的静摩擦
0 Ff Ff max
静摩擦定律：实验证明，最大静摩擦力的方向 与物体相对滑动趋势方向相反，大小与接触 面法向反力FN的大小成正比，即：
Ff max fFN
式中比例常数 f 称为静摩擦系数，f 的大小 与两物体接触面的材料及表面情况（粗糙度、 干湿度、温度等）有关，而与接触面积的大 小无关。一般材料的静摩擦系数可在工程手 册上查到。常用材料的值见表。
式中：
制动轮与制动块处于临界平衡状态，列补充方程 ：
Ff fFN 即：FN >= Ff /f = rG/Rf
由（1）（2）可得：
(2)
Gr b F1 c aR f
F1
FAx
FAy F`f F`N
取制动杆为研究对象，受力图 如图2-4-4b所示，列平衡方程 M A F 0
考虑摩擦时物体的平衡问题
以产生一个全约束反力FRm 与力FR 构成平衡而使物体保持静止。这 种只须主动力的合力FR 的作用线在摩擦角(锥)的范围内，物体依靠 摩擦总能静止而与主动力大小无关的现象称为自锁现象。
正切等于静摩擦系数。利用此关系，可由实验的方法测出摩擦角φm之后， 由式(3-21) 计算出摩擦系数 f 值。
图3-34
3. 自锁
(1) 摩擦锥的概念 作用在物体上主动力的合力FR 方向改变时，全约束反力FRm 的方位也随 之改变。在法线各侧都可作出摩擦角，将全约束反力FRm 的作用线画出一个以 与主动力合力FR 的作用线交点A 为顶点的锥面，称为摩擦锥。若物体与支承面 沿任何方向的摩擦系数都相同，则此摩擦锥将是一个顶角为2φm 的圆锥。如图 3-35a 所示。
根据大量的实验可得出动滑动摩擦定律：动摩擦力的大小与两物体间的
正压力(或法向反力)成正比。即
F ' f ' FN
(3-19)
式中：f '为动滑动摩擦系数，简称动摩擦系数。其值与接触物体的材料及
接触面情况有关，在滑动速度不大时，可认为与速度无关。f ' 略小于 f ， 在工 程计算中，通常近似地认为二者 相同。
0 F Fm
大量的实验证明，最大静滑动摩擦力Fm 与两物体间的法向反力成正比， 其方向与相对滑动趋势的方向相反，与两接触面的面积大小无关，而与两接触
面的材料有关，即
Fm f FN
(3-18)
上述结论称为静滑动摩擦定律。该定律由法国物理学家库仑提出，故又称 为库仑定律。
Fm f FN
(3-18)
第3节 考虑摩擦时物体系统的平衡问题
平衡方程的应用
第三节
考虑摩擦时物体系统的平衡问题
摩擦：一个物体沿另一个物体接触表面有相对运动 或相对运动趋势时而受到阻碍的现象，称为摩擦现 象，简称为摩擦。 摩擦分类：静摩擦和动摩擦。 静摩擦 研究表明，当物体处于相对静止时，静摩擦力 由平衡方程确定，其大小随主动力的变化而变化， 并且在如下范围之内：
(2)
列摩擦力的补充方程
F1 f F N1 F N1 tan m (3)
联立 (1)、(2)、(3) 得
F P1 G tan f 1 f tan G tan( m )
第三章
平衡方程的应用
2）求FP的上限FPmax：设FPmax = FP2，这时静摩擦力 F2 的方向应沿斜面向下，取坐标轴如图，列平衡方程
2）取杠杆OAB为研究对象，受力分析，列平衡方程：
M O ( Fi ) 0
i 1
n
F P a F c F N b 0
FP
Gr b ( c) 解得 aR f FP是按临界状态求得的最小值， Gr b FP ( c) 制动鼓轮的力必须满足的条件为 aR f
第三章
平衡方程的应用
1）求FP的下限FPmin：设FPmin = FP1，这时静摩擦力 F1 的方向应沿斜面向上，取坐标轴如图，列平衡方程
F ix 0
n
F iy 0
i 1
i 1 n
F P1 cos G sin F1 0
(1)
F P1 sin G cos F N1 0
F ix 0
n
F iy 0
i 1
i 1 n
F P2 cos G sin F 2 0
理论力学(大学)课件9.3 考虑摩擦的平衡问题(解析法)
b
解：取挺杆为研究对象，系统处于临界平衡状态，分 析挺杆受力。列平衡方程：
FSA
FNB
B FSB
F
SFx = 0
FNA - FNB = 0
M
ΣFy = 0 - FSA - FSB + F = 0
e
SM A = 0
-
FNB b
-
FSB d
+
F (a
+
d 2
)
=
0
a
挺杆处于临界平衡状态，摩擦力为最大静滑动摩擦力，故：
滑动摩擦和考虑摩擦的平衡问题
例3 凸轮挺杆机构滑道尺寸为d，宽度为b，挺杆与滑道间静滑动摩擦系数 为fs，不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量； 求：挺杆不被卡住之尺寸a 值.
分析：由经验可知，当a太大时，挺杆会被卡住，此时挺杆 会在AB两点与滑道接触。可取刚要被卡住还没被卡住的临
A d F的a值。
FA = fsFNA
FB = fs FNB
a
=
b 2 fs
故挺杆不被卡住时： a
<
b 2 fs
3、考虑摩擦的平衡问题 （解析法）
滑动摩擦和考虑摩擦的平衡问题
例4 均质木箱重P=5kN，与地面的静滑动摩擦系数fs=0.4，木箱尺寸 h=2a=2m，在箱子D点作用一斜向上的拉力F，θ=30°。
求：(1)当拉力F=1kN时，木箱是否平衡？ (2)能保持木箱平衡的最大拉力。
A
x
Fs
这一类问题，我们称之为临界平衡问题，即主动力未知，计算系统平衡（不平衡）
时，主动力需要满足何种条件的问题。通常这类问题的解法是，取系统的临界平衡状
态（考虑摩擦时摩擦力对应的为最大静摩擦力），计算此时的主动力大小，得到主动
考虑摩擦力时的平衡问题(精)
（3）只有物体处于临界状态时，才能应用补充最大静摩擦力方程 Fm=f· FN。
必须指出，由于静摩擦力可在零与最大静摩擦力之间变化，因此
在考虑摩擦的平衡问题中，主动力也允许在一定范围内变化，所以关 于这一类问题的解答往往是有变化范围的。
工程力学
工程力学
考虑摩擦力时的平衡问题
主 讲 人： 李 涛 峰黄河水利职业技术学院 2014.09
工程力学
考虑摩擦时物体的平衡问题，仍然可以应用平衡方程求解，只是
在画受力图和列平衡方程式时，都必须考虑摩擦力。一般情况下，可 考虑物体处于临界状态时应满足的条件，补充最大静摩擦力方程（ Fm=f· FN）来进行计算。在计算过程中应注意以下几点： （1）受力图中应包括摩擦力，摩擦力沿滑动面切向，指向与相对运 动趋势相反，该方向不能随意假设。 （2）两物体接触面间的摩擦力，也是相互的作用力与反作用力。
物理 必修一 第三章 平衡问题总结
专题四．共点力作用下物体的平衡一、共点力作用下物体的平衡◎知识梳理1．共点力的判别：同时作用在同一物体上的各个力的作用线交于一点就是共点力。
这里要注意的是“同时作用”和“同一物体”两个条件，而“力的作用线交于一点”和“同一作用点”含义不同。
当物体可视为质点时，作用在该物体上的外力均可视为共点力：力的作用线的交点既可以在物体内部，也可以在物体外部。
,2．平衡状态：对质点是指静止状态或匀速直线运动状态，对转动的物体是指静止状态或匀速转动状态。
(1)二力平衡时，两个力必等大、反向、共线；（2)三力平衡时,若是非平行力，则三力作用线必交于一点，三力的矢量图必为一闭合三角形;（3)多个力共同作用处于平衡状态时，这些力在任一方向上的合力必为零;（4）多个力作用平衡时，其中任一力必与其它力的合力是平衡力；(5）若物体有加速度，则在垂直加速度的方向上的合力为零。
3．平衡力与作用力、反作用力对作用力反作用力都是大小相等、方向相反,作用在一条直线上的两个力。
【注意】①一个力可以没有平衡力，但一个力必有其反作用力。
②作用力和反作用力同时产生、同时消失；对于一对平衡力,其中一个力存在与否并不一定影响另一个力的存在。
4．正交分解法解平衡问题正交分解法是解共点力平衡问题的基本方法，其优点是不受物体所受外力多少的限制。
解题依据是根据平衡条件,将各力分解到相互垂直的两个方向上.正交分解方向的确定：原则上可随意选取互相垂直的两个方向;但是，为解题方便通常的做法是:①使所选取的方向上有较多的力；②选取运动方向和与其相垂直的方向为正交分解的两个方向。
在直线运动中，运动方向上可以根据牛顿运动定律列方程，与其相垂直的方向上受力平衡,可根据平衡条件列方程。
③使未知的力特别是不需要的未知力落在所选取的方向上，从而可以方便快捷地求解。
解题步骤为：选取研究对象一受力分析一建立直角坐标系一找角、分解力一列方程一求解。
5．解平衡问题的基本步骤：⑴选择恰当的研究对象，对研究对象进行受力分析。
考虑摩擦时的平衡问题
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题 由上可知，静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，大
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.2 滑动摩擦
1. 静滑动摩擦
将重W的物块放在水平面内，并 施加一水平力F（如图）。当力F较小 时，物块虽有沿水平面滑动的趋势， 但仍保持静止状态，这是因为接触面 间存在一个阻碍物块滑动的力Ff 。它 的大小由平衡方程求得，Ff ＝F ，方 向与相对滑动趋势的方向相反。这个 力就是水平面施加给物体的静滑动摩
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题 自锁在工程中有广泛的应用。例如螺旋千斤顶举起重物后不会
自动下落就是一种自锁现象。而在另一些问题中，则要设法避免产 生自锁现象。例如工作台在导轨中要求能顺利滑动，不允许发生卡 死现象（即自锁）。
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.4 考虑摩擦时物体平衡问题的解法
方向与物体接触部位相对滑动的方向相反，大小与接触面之间的正 压力（即法向反力）FN成正比，即
Ff ＝ f FN
这就是动滑动摩擦定律，简称动摩擦定律。式中比例常数f称为动摩 擦因数，它的大小除了与接触面的材料性质和物理状态等有关外， 还与物体相对滑动的速度有关。通常不考虑速度变化对f的影响，而 将f看作常量。一般情况下,动摩擦因数f略小于静摩擦因数fs。在精
度要求不高时，可近似认为f≈fs。
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.3 摩擦角和自锁
如何分析考虑摩擦时物体的平衡问题
不考虑摩擦力的存在 。但在诸如闸瓦制动 、摩擦轮传动 、螺纹连 接 等 一些 实 际 问题 中 ，摩擦 却 是我 们必 须 要考 虑 的非 常 重要 的 因 素。高等教育出版社出版的中等职业学校新编教材 《 机械工程力
学 》” 就 介 绍 了考 虑 摩擦 时的 平 衡 问题 ，这也 成 为 中职 生 的 一 个
学 术 研 讨
南缸科 技 ２ ０ １ ３ 年第４ 期
０ 年 、１ 年 、２ 年 、３ 年 、４ ｇ五种方案 ，累积产油量与注热水
时 间关 系 曲线 如 图４ 所示 。
改善致密油藏开发效果起到一定作用，但效果不明显。分析原因 认为 ，致密油藏渗透率低 ，热水注不进去，导致温度场波及范围
较 小 如 图６ 所示。
图４ 累积产 油 量与 注热 水 时 间关 系 曲线
由图４ 可 以看 出，随着注热水量的递增 ，累积产油量也是递 增的。当注热水量大于２ 年 时，油量增 加趋于缓慢 。所以最佳注
热 水 量可 选 择 ２ 年 左 右 。分 析 可 知 当注 热 量 较 少 时 ，地 层 热 量 不 能得 到 充 足 的补 充 ，热 水波 及 范 围小 ，达 不到 理 想 的注热 效 果 ， 而注 热 水 量过 多 时 ，注热 效 果提 高 不 明显 。 因此 ，注 热 水 的时长 也有 一 个 最优 值 。
图１
力偶 矩Ｍ 。
学生的解题思路是这样的 ，取物块Ｂ 为研究对 象，画受 力图
如 图２ 所示。
４
这 也 是 一个 临 界 平衡 问题 ，大 多数 学 生 的思 路 是 这 样 的 ： 圆柱 放在 ｖ 形 槽 上 ，转 动 的阻 力 只 有摩 擦 力 ，因此 能转 动 圆 柱 的
理论力学 陈立群 第3章 平衡问题 解答
第三章平衡问题：矢量方法习题解答3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。
题3.1图解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。
如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB 杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。
（2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。
所以，AD梁是2次静不定。
（3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。
所以是3次静不定。
（4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。
所以是6次静不定。
（5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。
平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。
21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。
若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。
所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。
（6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。
除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。
AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。
3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。
跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。
考虑摩擦时物体的平衡问题共59页PPT
考虑摩擦时物体的平衡问题
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
谢谢你的阅读
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
3.16 包含摩擦的平衡问题
Fs fs FN
包含摩擦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平衡问题(一）
一物块重10N，放在斜面上。物块和斜面之间的静摩擦系数是 f=1，已知 θ =30°，求两个表面间的静摩擦力。
y
P
θ
x
F N
[解] （1）画受力图
包含摩擦的平衡问题(一） 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
y
P
θ
F N
（2）建立方程
Fx 0 F Psin30 5
Fx
FAx
FAy
包含摩擦的平衡问题（三） 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
[解]
FN
Fy
Fs
Fx
Fs´ FN´
MO (F) 0 FsR Wr 0 M A(F) 0 Fl Fsb FNa 0
Fs f FN
FAx
FAy
Fmin
Wr Rl
(
a fs
b)
x
Fy 0 N Pcos30 5 3
Fmax f N 5 3
F Fmax
F 5（N）
包含摩擦的平衡问题（二）
重 P的箱子静止在斜面上，两接触面间的静摩擦系数 为 f ，求保持箱子不
动的推力Q的大小。
[解] （1）画受力图
yP
x
Q
Q
α
Fα N
包含摩擦的平衡问题（二）
[解] （1）计算 Qmin
X 0 Fmax Qmin cos 30 P sin 30 0 Y 0 N P cos 30 Qmin sin 30 0
Fmax=f N
Qmin
tan f 1 f tan
考虑摩擦的平衡问题
课题考虑摩擦的平衡问题教学目标（一）知识目标1、摩擦的概念及分类2、滑动摩擦力的分类、计算及平衡问题的求解3、摩擦角及自锁概念（二）能力目标1、能正确判断滑动摩擦力的方向。
2、能熟练分析物体处于何种运动状态，然后选用相应的方法计算摩擦力。
3、理解自锁在工程中的应用原理。
（三）德育目标1、培养学生善于推理的思维能力。
2、培养学生理论联系实际的意识和能力。
教学重点1、滑动摩擦力的概念及计算。
2、考虑摩擦的平衡问题的求解。
教学难点1、摩擦角及自锁的概念。
2、自锁条件在实际中的运用。
教学方法通过简单实验引导学生理解滑动摩擦及其计算，通过物体摩擦力分析推导自锁条件（启发诱导式）。
教具准备1、一套简易的演示装置。
2、四张幻灯片（分别是例4-4 及图4-12、补充螺纹图例例4-5及图4-14、例4-6及图4-16）教学过程Ⅰ、课题导入（3′）[师]我们在前面分析物体受力时，总是把物体的接触面视为光滑的，忽略了摩擦，使问题简化。
通过中学的物理学习，我们知道，摩擦总是存在的。
同学们，你们能举出在生活和工程实际中的一些摩擦现象吗？（学生此时思考）[生甲]制动器靠摩擦力来刹车。
[生乙]车辆靠驱动轮与地面间的摩擦来启动。
[生丙]带传动要靠摩擦来工作。
[师]这是摩擦有用的一面，摩擦也有害的一面，如摩擦使机器磨损而降低加工精度和使用寿命。
既然摩擦现象这样重要和普遍，我们今天就讨论摩擦。
Ⅱ、讲授新课（60′）[师]一个物体沿另一个物体接触面有相对运动或相对运动趋势时而受到阻碍的现象，称为摩擦。
（板书）按产生摩擦的接触部分可能存在的相对运动形式，可分为滑动摩擦和滚动摩擦；按两接触物体间是否发生相对运动，可分为静摩擦和动摩擦；按接触面间是否有润滑，又可分为干摩擦和湿摩擦。
本次课我们讨论的是干摩擦条件下的滑动摩擦及考虑摩擦的平衡问题。
展示如图所示的教学模型装置，其中B为物块，OA为一可绕O轴转动的粗[师]当平板在水平位置时，物块能静止，将平板倾斜一定的角度，物块仍能保持静止，但当倾角增大到某一值时，物块就会下滑（教师演示现象）。
带摩擦的平衡问题
∑ ∑F =0: F ∑M =0: Ps
yi
Ai
N A
(2) + F m −P = 0 B ax FNB m cosθ −F Bl sinθ −F m l cosθ = 0 ax N B ax (3) (4) (5) (6) (7)
工程中的摩擦问题
联轴器
考虑摩擦时 的平衡问题
摩擦的微观机理
考虑摩擦时 的平衡问题
摩擦的微观机理
考虑摩擦时 的平衡问题
F W F 45° 45° O Fmax Fd
临界状态 静止状态 运动状态
FP
FN
库仑定律
Coulomb’s Theory
FP
静止状态 — Static case
F＝FP′≤F F＝F
五、具有摩擦的平衡问题特点及其求解
特点： 特点： （1） 受力分析时，需分析摩擦力 （方向）。 受力分析时，需分析摩擦力F（方向）。 F方向与相对运动趋势方向相反 （2） 临界平衡时，除满足平衡条件外，还需满足摩擦的物理条件： 临界平衡时，除满足平衡条件外，还需满足摩擦的物理条件
F < F ax = fsF m N
Fm = Ptan α +ϕf ) ( 1 ax
综合上述结果， 综合上述结果，得
FR
1max
ϕf
α P
Fmax FN
Ptan α −ϕf ) ≤ F ≤ Ptan α +ϕf ) ( ( 1
ϕf
FR
梯子AB 靠在墙上，与水平面成θ角 梯子长AB ， 例： 梯子 靠在墙上，与水平面成 角。梯子长 = l，重量可 略去，如图所示。已知梯子与地面、 略去，如图所示。已知梯子与地面、墙面间的静擦因素为 fsA，fsB。重量为 的人沿梯上登，他在梯上的位置 C 不能过 重量为P的人沿梯上登 的人沿梯上登， 即距离AC = s，如超过一定限度，则梯子即将滑倒。试 高，即距离 ，如超过一定限度，则梯子即将滑倒。 的范围。 求 s 的范围。 解： 梯子AB 梯子 —— 研究对象 (1) F =0: F B −F m = 0 N A ax xi
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Fmax fs N 的补充方程。其它解法与平面任意力系相同。只是平衡常是一
个范围
（从例子说明）。
[例1] 已知： =30º，G =100N，fs =0.2 求：①物体静止时， 水平力Q的平衡范围。②当水平力Q = 60N时，物体能否平衡？
（翻页请看动画）
10
11
解：①先求使物体不致于上滑的 Qmax图(1)
2、状态： ①静止： Fs P
(P Fs 不固定值)
②临界：（将滑未滑） Fmax fs FN （fs — 静滑动摩擦系数）
Fs ③滑动： F ' f ' FN （f '—动摩擦系数）
FN
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力,
②加大摩擦系数
（翻页请看动画）
3
4
3、 特征：
大小： 0 Fs Fmax （平衡范围）满足
关，与接触面积大小无关。）
5
三、摩擦角：
①定义：当摩擦力达到最大值 Fmax时其全反力
与法线的夹角 m 叫做摩擦角。
FN
FR
②计算：
翻
页
tgm
Fmax FN
fs FN FN
fs
请 看
动
画
6
四、自锁
①定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力 与正
压力（即全反力），自己把自己卡 紧，不会松开 （无论外力多大），这种现象称为自锁。
16
此力系向A 点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
（翻页请看动画）
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
滚动 摩擦
② 0 M M max有个平衡范围;
③
M
m
与滚子半径无关;
ax
④滚动摩擦定律：M max d N ，d 为滚动摩擦系数。
17
滚动摩擦系数 d 的说明： ①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。 ③ d 的物理意义见图示。
根据力线平移定理，将N和M合成一个力N' ，
N'=N
d'
dM N'
M dN'dN
d d
从图中看出，滚阻力偶M的力偶臂正是d（滚阻系数），所以，d 具有 长度量纲。
由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶不计，即滚 动摩擦忽略不计。
18
第四章 《摩擦》习题课
本章小结 一、概念： 1、摩擦力----是一种切向约束反力，方向总是
静摩擦力特征： 方向：与物体相对滑动趋势方向相反
Fx 0
定律： Fmax fs FN （ fs 只与材料和表面情况有
关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
大小： F ' f ' FN
（无平衡范围）
动摩擦力特征： 方向：与物体运动方向相反
定律：F ' f ' FN （ f ' 只与材料和表面情况有
36087' 900
15
§4-4 滚动摩擦
由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，下图的受力分析看出一个问 题，即此物体平衡，但没有完全满足平衡方程。
Q与F形成主动力偶使前滚
X 0,QF 0 Y 0,P N 0 M A 0,Qr0(不成立)
出现这种现象的原因是，实际接 触面并不是刚体，它们在力的作用下 都会发生一些变形，如图：
l 2
cmin
FNB
l
sin min
0
(3)
解得 : FNA
1
P f
s
2
, FNB
1
fs
P fs
2
, FB max
P
1
P f
s
2
代入(3)
得: mi n
arctg12
f f
2
arctg10.52 20.5
36087'
注意，由于不可能大于90 ，
所以梯子平衡倾角 应满足
解：考虑到梯子在临界平衡状 态有下滑趋势，做 受力图。
14
由 Fx 0, FNB FAmax 0 (1)
FAmax fs FNA (4)
Fy 0, FNA FBmax P 0 (2)
FBmax fs FNB (5)
mA 0,
P
20
二、内容：
1、列平衡方程时要将摩擦力考虑在内；
2、解题方法：①解析法 ② 几何法
3、除平衡方程外，增加补充方程 Fmax fs FN (一般在临界平衡
4、解题步骤同前。
状态计算）
三、解题中注意的问题： 1、摩擦力的方向不能假设，要根据物体运动趋势来判断。
（只有在摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向） 2、由于摩擦情况下，常常有一个平衡范围，所以解也常常是
与物体运动趋势方向相反。
a. 当滑动没发生时 F fs FN (F=P 外力) b. 当滑动即将发生时 Fmax fs FN
c. 当滑动已经发生时 F ' f ' FN
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2、 全反力与摩擦角
a.全反力R（即F 与N 的合力） b. 当m 时，
物体不动（平衡）。 3、 自锁
当 m 时自锁。
1
引言
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦， 事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。 [例]
平衡必计摩擦
2
滑动摩擦
一、静滑动摩擦力
1、定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面 产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。 （ 就是接触面对物体作用的切向约束反力）
tg m m tg
12
同理： 再求使物体不致下滑的 Qmin 图(2)
解得：
Qmin
sin fs cos cos fs sin
G
G tg fs 1 fs tg
G tg(
m )
平衡范围应是
Qmin QQmax
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[例2] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩 擦系数 fs =0.5, 求 多大时，梯子能处于平衡？
②自锁条件： 当 m 时，永远平衡（即自锁） m
7
FN
FR
③自锁应用举例
摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下滑时测出角，tg =f , (该两种材料间静摩 擦系数)
tgm
Fmax FN
fs FN FN
fs
8
9
考虑滑动摩擦时的平衡问题
考虑摩擦时的平衡问题，一般是对临界状态求解，这时可列出
力、尺寸或角度的一个平衡范围。（原因是 F f N
和 m ）
由 Fx 0, Qmax cos G sin Fmax 0
Fy 0, FN Qmax sin G cos 0
Fmax fs FN
解得 :
Qmax
G tg fs 1 fs tg
G tg tg m 1 tg m tg
Gtg( m )
应用三角公式:
tg
(
m
)
tg 1 tg