实变函数期末复习指导

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(完整版)《实变函数》期末复习提要

《实变函数》期末复习提要内容包括集合、n R 中的点集、勒贝格测度、勒贝格可测函数、勒贝格积分等方面的知识。

第一章集合1．考核要求：⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念；⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用；⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理；⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集；⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。

2．练习题单元练习题一、单项选择题1.)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（）．(A) B A ⊂ (B) A B ⊂(C) C A ⊂ (D) A C ⊂2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（）．(A) B A = (B) ∅=B(C) B A ⊂ (D) A B ⊂二、填空题1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 3.设]11,0(nA n +=，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n nA n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．三、证明题1.设)(x f 是1R 上的实值函数，证明对任意实数a ，有∞=+<≤==1}1)({})({n n a x f a x a x f x 2.设)(x f 是1R 上的实值函数，对任意实数a ，证明：∞=+<∈=≤∈111}1)(,{})(,{n n a x f R x x a x f R x x 第二章 n 维空间中的点集1．考核要求：⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件；⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论；⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论；⑸理解康托集的构造及其性质。

实变函数期末总结高中

实变函数期末总结高中一、实变函数的定义及基本性质1. 实变函数的定义实变函数是指定义域和值域都是实数的函数。

一般情况下，实变函数可以用解析式表示，例如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

关于实变函数的定义，我们需要注意以下几点：（1）实变函数的定义域是指函数自变量能取到的所有实数的集合。

（2）实变函数的值域是指函数因变量能取到的所有实数的集合。

（3）在实变函数中，自变量和因变量之间存在着一种确定的对应关系。

2. 实变函数的性质（1）有界性：实变函数的定义域上，函数值是否有上界或下界。

（2）单调性：实变函数的增减趋势是递增还是递减。

（3）奇偶性：实变函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称，或者具有某种周期性。

（4）周期性：实变函数在某一区间上是否有重复的特点。

（5）连续性：实变函数在定义域上是否连续。

（6）可导性：实变函数在某一点处是否存在导数。

二、实变函数的常见类型及特点1. 基本初等函数（1）常数函数：f(x) = c，其中c为常数。

常数函数的图像是一条水平直线。

（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数。

当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为奇数时，函数图像关于原点对称，同时具有单调增或单调减的特点。

（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。

指数函数的图像呈现出递增或递减的特点。

（4）对数函数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。

对数函数的图像关于y=x对称，并且图像从左下到右上递增。

（5）三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的图像具有周期性。

2. 变量变换实变函数的研究常常需要通过变量变换来简化表达式或改变函数的性质。

（1）平移变换：对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x-h)+k，其中h表示x轴上的平移量，k表示y轴上的平移量。

平移变换可以改变函数图像的位置。

（2）伸缩变换：对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为y=af(bx)+c，其中a表示y轴上的伸缩因子，b表示x轴上的伸缩因子，c表示y轴上的平移量。

实变函数知识点简要总结

实变函数知识点简要总结实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。

本文将对实变函数的相关知识点进行简要总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、实变函数的定义与性质1. 实变函数的定义：实变函数是定义在实数集上的函数，即自变量和函数值都是实数。

2. 实变函数的性质：实变函数可以进行加法、乘法、求和、求积等运算，并具有可加性、可乘性、可积性等性质。

二、实变函数的连续性1. 实变函数的连续性：一个实变函数在某点连续，意味着当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点的函数值。

2. 实变函数的间断点：如果一个实变函数在某点不连续，那么该点就是函数的间断点。

常见的间断点类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

三、实变函数的导数与微分1. 实变函数的导数：实变函数的导数描述了函数在某一点的变化率。

导数的定义是函数在该点的极限值。

2. 实变函数的微分：实变函数的微分是函数在某一点附近的近似线性变化。

微分可以用来估计函数值的变化。

四、实变函数的极限1. 实变函数的极限：实变函数的极限描述了函数在自变量趋近于某一点时的趋势。

常见的极限类型包括左极限、右极限和无穷极限。

2. 实变函数的无穷大与无穷小：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大或无穷小，可以用来描述函数在该点的特性。

五、实变函数的积分1. 实变函数的不定积分：实变函数的不定积分描述了函数在某一区间内的累积变化量。

不定积分可以用来求解定积分和求函数的原函数。

2. 实变函数的定积分：实变函数的定积分描述了函数在某一区间上的平均值或累积值。

定积分可以用来计算曲线下的面积或求解物理、经济等问题。

六、实变函数的应用实变函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，实变函数可以描述质点的运动轨迹；在经济学中，实变函数可以描述市场需求函数；在工程学中，实变函数可以描述电路中电流和电压之间的关系。

实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。

实变函数期末考试重点

实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页定理1 定理2 P35页第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页定理4P44页定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页定理（3）（4） P57页第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页定理5 定理6 P68页第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件第四章第四节倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。

实变函数知识点总结

实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。

以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。

而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。

3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。

如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。

4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。

5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。

积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。

6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。

如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。

7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。

如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。

以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。

实变函数知识点

实变函数知识点实变函数是一种常见的数学函数类型，它在数学分析中有着非常重要的地位。

在这篇文章中，我们将详细探讨实变函数的知识点，包括什么是实变函数、实变函数的定义、实变函数的性质、实变函数的极限和导数、实变函数的应用等内容。

一、什么是实变函数实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数，即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数，也称为一元实函数。

它以实数为自变量，实数为函数值。

实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。

二、实变函数的定义实变函数的定义有多种方式，常用的有以下几种：1. 函数图像法根据函数的图像来定义实变函数，即$f(x)$的定义域为实数集$\mathbb{R}$，函数值为其图像上对应点的纵坐标。

2. 显式函数法显式函数是通过代数式直接给出函数的定义，如$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$。

3. 隐式函数法隐式函数一般是指如下形式的方程：$F(x,y)=0$，其中$x$和$y$都是实数变量。

如果存在实数集上解析的函数$f(x)$，使得$y=f(x)$是$F(x,y)=0$的解，那么就称$y=f(x)$为隐式函数。

4. 参数方程法将$x$表示为参数$t$的函数$x(t)$，将$y$表示为参数$t$的函数$y(t)$，则$f(x)=f(x(t))=f(t)$为参数方程法。

五种定义方式中，显式函数和隐式函数是最常用的方法。

三、实变函数的性质实变函数具有多种性质，下面介绍一些重要的性质：1. 奇偶性若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若既不是奇函数也不是偶函数，则称$f(x)$为一般实变函数。

2. 周期性若存在正实数$T$，使得$\forall x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为以$T$为周期的周期函数。

实变函数期末课程设计

实变函数期末课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解实变函数的基本概念，掌握其性质和运算规则。

2. 学生能运用实变函数的相关理论，分析并解决实际问题。

3. 学生能掌握实变函数的极限、连续性、可导性等基本性质，并能够运用这些性质进行函数分析。

技能目标：1. 学生能够运用实变函数的理论和技巧，解决数学问题，提高数学思维能力。

2. 学生能够运用数学软件或工具，对实变函数进行图像绘制和分析，培养实际操作能力。

3. 学生能够通过小组讨论和合作，提出问题、解决问题，提高团队协作能力。

情感态度价值观目标：1. 学生通过学习实变函数，培养对数学学科的兴趣和热情，形成积极的学习态度。

2. 学生在学习过程中，学会面对困难和挑战，培养坚持不懈、勇于探索的精神。

3. 学生能够认识到数学在自然科学和社会科学等领域的重要应用，增强数学学习的实用性和责任感。

课程性质：本课程为数学专业高年级的实变函数课程，旨在帮助学生建立扎实的数学基础，提高数学分析和解决问题的能力。

学生特点：学生具备一定的数学基础，具有一定的抽象思维能力，但对实变函数的理解和应用尚需加强。

教学要求：教师需结合学生特点，采用启发式教学，引导学生主动思考、探究和实践，注重培养学生的创新能力和实际应用能力。

通过本课程的学习，使学生达到上述具体的学习成果。

二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 实变函数基本概念：函数的表示方法、集合的度量、实数和实变函数的定义等。

- 教材章节：第一章实变函数及其表示2. 实变函数的性质与运算：单调性、奇偶性、周期性、复合函数、反函数等。

- 教材章节：第二章实变函数的性质与运算3. 实变函数的极限与连续性：数列极限、函数极限、连续函数、有界性、保号性等。

- 教材章节：第三章极限与连续性4. 实变函数的可导性与微分：导数定义、求导法则、微分、高阶导数等。

- 教材章节：第四章可导性与微分5. 实变函数的应用：求解方程、不等式、最值问题，以及实际问题中的应用等。

（完整版）实变函数论主要知识点

（完整版）实变函数论主要知识点实变函数论主要知识点第一章集合1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习：①证明()()A B C A B C --=-U ；②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+U ；2、对等与基数的定义及性质；练习：①证明(0,1):?；②证明(0,1)[0,1]:；3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、不可数集合、连续基数的定义及性质；练习：①(0,1)= ；②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g 的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。

具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。

内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。

3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor 集的构造和性质；5、练习：①P =o，P '= ，P = ；②111,,,,2n 'L L = ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ = ，mP = ；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章积分论1、非负简单函数L 积分的定义；练习：①Direchlet 函数在1?上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习：①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积?f 在E 上可测；练习：①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ??=为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

实变函数复习要点

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可测函数的收敛性知道“几乎处处”是如何表述，以及各种情形下的“几乎处处” 。明确：我们所学习的对象，都是“几乎处处有限的可测函数（列） ” 掌握“处处收敛” 、 “一致收敛” 、 “几乎处处收敛” ， “依测度收敛”的概念掌握上述各种收敛之间的关系（掌握结论，无需会证明）一致收敛处处收敛几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛几乎处处收敛与一致收敛的关系：Egroff 定理（注意，也有 mE < ¥ ）
第一章集合集合的运算子交并补，可数交，可数并，任意交，任意并。集合运算的运算律，De Morgan 法则。会证明两集合相等单调集列的极限集，一般集列的上极限集、下极限集。会求简单的单调集列的极限集。集合的基数明确集合基数的概念，理解基数与“个数”的区别与联系会在一些简单的集合间建立一一对应，比如建立 (a, b) 到 [a, b ] 的一一对应能识别常见的可数集与不可数集，知道“没有最大基数”
第二章 n 中的点集基本概念掌握“内点，外点，边界点，内部，外部，边界，聚点，导集，闭包，孤立点” ，给定一个集合，会求前述点集开集、闭集、完备集理解开集、闭集、自密集、完备集的概念，能分辨一个集合属于哪一类。了解 Cantor 集的构造方式，并要掌握其特性：完备集；不可数集；测度为零；内部是空集。 Cantor 集用来构造反例，打破我们的常规直观感觉。知道 n 与 1 中开集的构造方式，特别是 1 中的了解Gd 型集， Fs 型集，Borel 集的定义，知道这些抽象概念因何而出场掌握：对于连续函数 f ， E[ f > a ] 是开集
2
依测度收敛与几乎处处收敛的关系几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛依测度收敛必有子列几乎处处收敛：Riesz 定理 Lusin 定理掌握可测函数与连续函数的关系：Lusin 定理

实变函数复习手册

邢台学院数学系《实变函数》复习手册前言本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。

通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L 积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。

为以后学习其它课程打下良好的基础。

第一章集合本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。

为以后引入L 积分打下了基础。

§1 集合的概念理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。

§2 集合的运算深刻理解并集或和集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。

§3 对等与基数1 掌握有限集、无限集、一一映照、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。

2 了解基数概念，会比较两个集的基数大小。

§4 可数集合与自然数集合N 对等的集合称为可数集合。

1 任何无限集包含一个可数子集。

2 若A 是一个可数集合，B 是一个有限集合，则A ∪B 是可数集合。

3 有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。

4 有理数全体是一个可数集，代数数全体是一个可数集。

§5 不可数集合1 实数集全体R 不是可数集。

其基数记为c ，称与R 对等的集合具有连续基数。

2 任何区间具有连续基数，可数个c 集的并是c 集，实数列全体E ∞的基数是c 。

3 不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。

练习题一、选择题1、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体自然数B 、0，1之间的实数全体C 、[0，1]上的实数全体D 全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、全体小个子D 、{x ：x>1} 3、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体胖子 4、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体瘦子 5、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体小孩子B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体实数 6、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体大人C 、{x ：x>1}D 、全体整数 7、设{}:1A x x ααα=-<≤，I 为全体实数，则IA αα∈= （）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、(),-∞+∞D 、()1,+∞8、设11:11i A x x i i ⎧⎫=-+≤≤-⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、[]0,1D 、[]1,1-9、设1:01i A x x i ⎧⎫=≤<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、（0，1）B 、[]0,1C 、[)0,1D 、()0,+∞10、设11:12i A x x i i ⎧⎫=-<<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、[1，2]B 、（1，2）C 、（0，3）D 、(]1,211、设3:2i A x i x i ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}12、设11:i A x x i i ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}13、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,114、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,1 15、设(0,)n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、∅B 、[]0,nC 、RD 、()0,+∞ 16、设1(0,)n A n=，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、（0，1）B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、{0}D 、∅ 17、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 18、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 19、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(A-B)=（） A 、B B 、A C 、A ∩B D 、A ∪B20、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∪C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C 21、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∩C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C22、设A 、B 、S 是三个集合，且,A S B S ⊂⊂，则()s C A B -=（） A 、s s C A C B ⋃ B 、s s C A C B ⋂ C 、s C A B ⋃ D 、s C A B ⋂ 23、设A 、B 、S 是三个集合，()s C A B ⋃=（）A 、s s C A CB ⋃ B 、s sC A C B ⋂ C 、s C A B ⋃D 、s A C B ⋃ 24、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B-C)=()A 、A ∪C-B B 、A-B-C C 、(A-B)∪(A ∩C)D 、C-(B-A) 二、填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A n =，则B =（）2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集，则B =（）3、若A c =，B c =，则A B ⋃=（）4、若A c =，B 是一可数集，则A B ⋃=（）5、若A c =，B n =，则A B ⋃=（）6、若{}n A 是一集合列，且n A c =，则1nn A∞= =（）7、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 8、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 9、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 10、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 11、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）12、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）三、判断题1、{0,1}={1,0}。

成人教育《实变函数》期末考试复习题及参考答案

一、单项选择题1．下列命题或表达式正确的是 DA ．}{b b ⊂B ．2}2{=C ．对于任意集合B A ,，有B A ⊂或A B ⊂D ．φφ⊂ 2．下列命题不正确的是 AA ．若点集A 是无界集，则+∞=A m *B ．若点集E 是有界集，则+∞<E m *C ．可数点集的外测度为零D ．康托集P 的测度为零 3．下列表达式正确的是 DA.}0),(m ax {)(x f x f -=+B ．)()()(x f x f x f -++= C.)()(|)(|x f x f x f -+-=D ．}),(min{)]([n x f x f n = 4．下列命题不正确的是 BA ．开集、闭集都是可测集B ．可测集都是Borel 集C ．外测度为零的集是可测集D ．σF 型集，δG 型集都是可测集 5．下列集合基数为a （可数集）的是 CA ．康托集PB ．)1,0(C ．设i n nx x x x x A R A |),,,({,21 ==⊂是整数，},,2,1n i =D ．区间)1,0(中的无理数全体二、计算题1. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩，E 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中有理数集，求()0,2f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰.解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是()0,0,22cos f x dx xdx ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎰⎰而cos x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 []()22000,1cos cos sin |1xdx R xdx x ππ===⎰⎰因此()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎰2. 设()()[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++而22lim01n nxn x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nnn n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰三、判断题 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.(×)2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点. (×)3. 点集11,2,,E n⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集.(×) 4. 任意多个闭集的并集是闭集.(×) 5. 若n ER ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合.(√)6.非可数的无限集为c 势集。

实变函数教案实变复习

总复习一．主要内容：(1) 集合的运算与极限，势，可数集与不可数集；(2) 度量空间及其完备性和可分性，拓扑空间、连续映射，紧集、列紧集、完全有界集、有界集及其关系；压缩映射原理；(3) 代数、σ代数，测度、外测度及其基本性质(33P )、S L －测度；(4) 可测函数及性质，三种收敛（一致收敛、按点收敛、依测度收敛）及其关系，Lebesgue 定理、叶果洛夫定理、Riesz 定理；(5) 积分及其性质，Levi 定理、Fatou 定理、Lebesgue 控制收敛定理，Lebesgue 积分与Riemann 积分的关系77P ，Fubini 定理；广义测度．二．复习题．例1．Ch1.11P . 3, 5, 12, 14.例2．Ch2.26P . 6, 13, 14, 39.例3．Ch3.44P . 3(3), 4(Th3.2.1. (5)~(10)), 8(1).例4．Ch4.58P . 3, 7, 9, 12((1)~(4)).例5．Ch5.98P . 1, 3, 11, 18, 19, 28, 46.2007/2008学年第二学期《实变函数》课程考核试卷 A√、 B□课程代码： _22920303 学分/学时数 3 / 48 任课教师 ____________ 课程性质：必修□、限选□、任选□ 考试形式：开卷□、闭卷√适用年级/专业 05级数学与应用数学考试时间 120 ___ 分钟………………………………………………………………………………………………………………学号________________________ 姓名__________________________ 得分_______________________ 注意：务请考生保持卷面整洁、少涂改，以方便阅卷人．一．填空题（第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分，共18分）：1．令集合 3, 2, ,1 ,13n 11 0,=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=n n n A n ，则 =+∞→n n A lim ___________________________________；=+∞→n n A lim __________________________________．2．集合 Z}n 12n {A ∈+= 的势为 _______________________________________________________； 0] ,(-∞=B 的势为 _________________________；Z N C ⨯= 的势为 _________________________．3．设⎩⎨⎧=-为有理数　为无理数 x 0, x ,)(2x e x x f ，计算积分=⎰∞+) ,0[dm f _____________________________________ ______________________________________________________________________________________．二．（15分）什么是完备的度量空间？∞l 表示有界的实数列全体，定义 n n n y x d ηξ-=≥1sup ) ,(，)}{y },{(n ∞∈==l x n ηξ．试证明：(1) d 是集合∞l 上的一个距离； (2) ),(d l ∞是完备的度量空间．三．（12分）什么是测度？测度空间X (,A , )μ，A 为σ代数，⊂}{n E A ，试证明：∑+∞=+∞=≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 n )(E n n n E μμ ．四．（14分）什么是依测度收敛？测度空间X (,A , )μ，) 3, 2, 1,(n , =n f f 为 ∈E A 上的可测函数，若 0 >∀δ，∈∃δE A 使得 δμδ<)\(E E 且 }{n f 在 δE 上一致收敛于f ，试证明：) n ( +∞→⇒f f n 于E ．五．（10分）计算极限 I =dx x e x x nx n n cos sin lim 10 ⎰++-+∞→ （要求说明运算的合理性）．六．（10分）可测空间 X (, A )，∈E A ，)(x f 与)(x g 是E 上的两个可测函数，记有理数集 +∞=1}{n r Q ．试证明：(1) R a ∈∀ ，有 +∞=->>=>+1 n n )]r a E(g )r [E(f)(n a g f E ；(2) )()(x g x f + 是E 上的可测函数．七．（10分）测度空间X (,A , )μ，) 3, 2, 1,n ( ),(E ),(n =≥=∈n f E E L f ．试证明：0)(lim =⋅+∞→n n E n μ．八．（11分）测度空间X (,A , )μ，f 为X 上的可测函数，⊂}E {n A ．n E ↗E ，⎰E d f μ 存在．试证明：⎰⎰+∞→=n E n E d f d f μμ lim ．2006/2007学年第二学期《实变函数》课程考核试卷 A √、 B □ (考试)课程代码： 22931001 学分/学时数 3 / 48 任课教师 __ 课程性质：必修□、限选□、任选□ 考试形式：开卷□、闭卷 √适用年级/专业 04级数学与应用数学考试时间 120 分钟 ………………………………………………………………………………………………………………学号_____________________________ 姓名___________________________ 得分_______________________ 注意：务请考生保持卷面整洁、少涂改，否则适当扣分．一．（14分）(1) 整数集Z 的势为___________________________；S 2) ,0( 的势为______________________；又设N Q Q A ⨯⨯=，则 A ＝____________________________________________________________________．(2) 在完备的度量空间中，试指出下列概念之间的关系：完全有界集，列紧集，有界集，紧集．二．（14分）在度量空间中，什么是完全有界集？试证明：列紧集必为完全有界集．三．（13分）(1)试叙述压缩映射原理．(2) 记X ＝B([a,b])(定义于[a ，b]上的有界实值函数全体)，定义)()(sup ,( t y t x y x d b t a -=≤≤ (X t y y t x x ∈==)( ),()试验证： d 是X 上的一个距离．四．（14分）什么是测度？测度空间 (X, A ,μ)，A 是σ代数．集列{}⊂+∞1n E A ，试证明： )(lim lim n n n n E E μμ+∞→+∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛．五．（14分）什么是依测度收敛？测度空间 (X ，A ，μ)，∈E A ，)()(1x f x f n n +≤ a. e.于E ) ,3 ,2 1( ，=n ，且)()(x f x f n ⇒于E ．试证明： )()(x f x f n → a. e.于E ．六．（10分）计算极限 I =dx x e x n n ⎰∞+--+∞→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0 2 x 1e x lim （要求说明运算的合理性）．七．（11分）测度空间 (X, A , μ)， f 是 X 上的可测函数，{}⊂n E A ， n E ↘E ，且)(1E L f ∈．试证明： ⎰⎰+∞→=E E n n d f d f μμ lim ．八．（10分）设 (X, A , μ) 是完备的测度空间，∈E A ，{}+∞1)(x f n 为E 上a..e. 有限的可测函数列，f lim =+∞→n n f a.e. 于E ，且存在常数K ，使得 ⎰=≤E n K d f ) 3, 2, 1,(n μ．试证明： )(E L f ∈．。

(0195)《实变函数》复习大纲、样题及

（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。

即或为有限集或为可数集。

（3）可数个可数集的并集是可数集。

（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。

3、常见的可数集：有理数及其无限子集。

三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。

2、掌握集之间的并、交、差、余运算。

3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。

4、理解集列的收敛、单调集列的概念。

5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。

6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。

7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。

四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。

五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。

即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。

我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。

第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。

二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。

2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。

3、开集、闭集具有对偶性。

4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。

实变函数复习提纲

实变函数复习提纲实变函数复习提纲2006-7-14第⼀章集合⼀、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、⼀⼀映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．⼆、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德⼀摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：a N =、a Q =（a ＞0）；4、不可数数集合的基数：c R =（c >a>0）．三、基本题⽬1、集合对等的判定、求基合的基数例证明I =（－1，1）和R =（－∞，+∞）是对等的，并求I . 证：作映射ф：()x x 2tan πφ=，x ∈（－1，1），其值域为R =（－∞，+∞）、因()x x 2tanπ=，在（－1，1）是严格单调增的，∴?：()x x 2tanπ=是（－1，1）到R上的⼀⼀对应, 即 I= (-1,1)xx 2tan)(11π=-(),+∞∞-=R由对等的定义知：I ～R .∵I ～R ∴R I =，⼜c R =，∴c I =. 2 集合的运算，德。

摩根律的应⽤3 可数数集合的判定第⼆章点集⼀、基本概念：距离、度量空间、n 维欧⽒空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间⼆、基本理论1、开集的运算性质；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造三、基本题⽬1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集例设E 为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求0E ，'E ，E ； 2）判定E 是开集还是闭集，为什么？解：1）对于E x ∈?，x 的任意邻域)(x U 内有⽆数个⽆理点,∴)(x U E _，∴x 不是E 的内点，由x 的任意性，知E ⽆内点,∴φ=0E .对于[]1,0∈?x ，)(x U ?内都有⽆数多个有理点，即有⽆数多个E 的点,∴x 为E 的聚点.⼜在[0，1]外的任⼀点都不是E 的聚点.∴[]1,0='E . ∵[][]1,01,0=?='?=E E E E ，∴[]1,0=E .2）E 不是开集，也不是闭集.因为?=0E ，⽽E 是⾮空的，∴,0E E ≠ ∴E 不是开集.因为[]1,0='E ，⽽[0，1]中的⽆理点不在E 内，即E E __'，∴由定义知，E 不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造第三章测度论引⼊：把区间的长度、平⾯图形的⾯积、空间⽴体图形的体积推⼴到点集的度量—测度．⼀、基本概念：勒贝格外测度，L 测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设E 为nR 中任⼀点集，对于每⼀列覆盖E 的开区间E I U i i ?∞=1，作出它的体积和∑∞==1i iIµ（µ可以等于+∞，不同的区间列⼀般有不同的µ），所有这⼀切的µ组成⼀个下⽅有界的数集，它的下确量（由E 完全确定）称为E 的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为E m *，即：=∑∞=?∞=1inf1*i i E I I E m i iY注：由定义1知：nR 中的任⼀点集都有外测度（⼀个⾮负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设E 为nR 中点集，若对任⼀点集T 都有)(*)(**CE T m E T m T m ?+?=（1）则称E 为L 可测的，这时E 的L 外测度E m *就称为E 的L 测度，记为mE ，条件（1）称为卡拉泰奥多⾥条件，也简称卡⽒条件.L 可测集的全体记为µ.3可测集类1）零测度集类：2）⼀切区间I （开、闭、半开半闭）都是可测集合，且I mI = 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的⼆、基本理论1勒贝格外测度的性质（1）E m *≥0，当E 为空集时E m *=0（即0*=?m ）；（⾮负性）；（2）设A ?B ，则A m *≤B m *；（单调性）（3）)(*1∞=i i UA m ≤∑∞=1*i iAm ；（次可数可加性）2 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合E 可测←→对任意的A ?E ，B ?[CE ，总有B m A m B A m **)(*+=?2）余集的可测性：S 可测←→CS 可测3）并集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∪S 2也可测； 4）交集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∩S 2也可测； 5）差集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1－S 2也可测；6）可列可加性：设{}i S 是⼀列互不相交的可测集，则i i S U ∞=1也是可测的，且∑∞=∞==11)(i i i i mS US m7）可列交的可测性：设{}i S 是⼀列可测集合，则i i S ∞=?1也是可测集合；8）递增的可测集列的极限的测度：设{}i S 是⼀列递增的可测集合：s s 21…sn…，令S=ss nn i ilim 1∞→∞==Y 则n n mS mS ∞→=lim9）递减的可测集列的极限的测度：设{}i S 是⼀列递减的，可测集合： S 1?S 2?…?Sn…令n n i i S S S ∞→∞==?=lim 1，则当它1mS ＜∞时，n n mS mS ∞→=lim . 三基本题⽬1、试述L 外测度的定义.（答案见第三章§1定义1）2、试给L 测度的定义（答案见第三章§2定义1）3、设点集n R E ?，0*=E m ，证明E 是可测集，并求mE .证：只须证明卡⽒条件成⽴，即对nR T ??，有)(*)(**CE T m E T m T m ?+?=∵)()(CE T E T T I Y I =∴T m *≤)(*)(*CE T m E T m ?+? （外测度的次可数可加性）①另⼀⽅⾯：∵E E T ?)(I ，∴)(*E T m I ≤E m *（单调性）∵已知0*=E m ，)(*E T m I ≥0，∴0≤)(*E T m I ≤0，必有)(*E T m I =0 ⼜：)(CE T T I ? ∴T m *≥)(*CE T m I （单调性）∴ T m *≥)(*CE T m I +)(*CE T m I ②由①、②可知：T m *=)(*CE T m I +)(*CE T m I ，此即卡⽒条件成⽴；∴ E 是可测的，∴ 0*==E m mE . 4、证明可数点集n R E 的外测度0*=E m证明：E 为可数点集，∴{}?=,,,,,321m e e e e E Λ，其中ni n i i i i R e e e e e ∈=),,,,(321Λ，ΛΛ,,,3,2,1m i =对于任意给定的ε＞0，不妨设ε?1，作开区间=+-=++n j ＜e ＜x e x x x x I i i j i j i i j n i ,,3,2,1,22),,,,(11321ΛΛεεn i I inii ,,3,2,1,2)2(Λ=≤=εε因E e i i i iI=?∞=∞=11Y Y ，由外测度的单调性及次可列可加性得：εεε=-=≤=≤≤∑∑∑∞=∞=∞=∞=211212*)(**1111i i i i i i i i I I m I m E m Y⼜由ε的任意性及E m *≥0得：E m *=0，得证.注：本题可当作定理.5、设Q 为有理数集合，求Q m *，mQ . 解：∵Q 为⼀可数集合，∴Q m *=0. 对于T ?，∵)()(cQ T Q T T I Y I =∴ )(*)(**cQ T m Q T m T m I I +≤ （外测度的次可列可加性）①另⼀⽅⾯，∵Q Q T ?)(I ，∴0*)(*=≤Q m cQ T m I （单调性），0)(*≥Q T m I ，∴0)(*=Q T m I 。

40曲阜师范大学2020年成人高等教育《实变函数》复习资料期末考试试题及参考答案

9.
10. 于 .
二、证明题
1. 证明如下:
2. 中任何一个元素可以由球心 , 半径为唯一确定, , , 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故为可数集.
3.令 , 则且为可测集, 于是对于 , 都有，故
,
令 , 得到 , 故可测. 从而
2、设在上 ,而成立, ,则有．
3、设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数．(鲁津定理的逆定理)
4、在有限闭区间上的单调有限函数是有界变差函数．
答案
一、计算题
1、设，其中为Cantor集，计算。
解.设，因，
则在上，
2、求极限
D.若 ,则可测．
3. 若是可测函数，则下列断言（）是正确的（）
A.
B.
C.
D.
4. 下列断言中( )是错误的（）
A.零测集是可测集
B.可数个零测集的并是零测集
C.任意个零测集的并是零测集
D.零测集的任意子集是可测集
5. 设是 [a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（）
A. 在[a,b]上有界
9. 设是E上几乎处处有限的可测函数列, 是E上几乎处处有限的可测函数,若 , 有________________________, 则称在E上依测度收敛于 . （）
10. 设E使闭区间[a,b]中的全体无理数集, 则 ________________________ （）
三、名词解释
1. Jordan分解定理
解：设，则易知当时，
又因，( )，所以当时，

实变函数复习题(一)

实变函数复习题(一)实变函数复习题实变函数是数学分析中一门重要的课程，是几乎所有科学学科的一个基础，也是微积分的基础。

在学习实变函数的过程中，我们需要复习一些理论知识和解题技巧。

以下是一些重要的复习题目。

一、理论知识1. 实变函数的定义和性质2. 连续性和一致连续性的定义及其关系3. 极限的定义及其性质4. 导数的定义及其性质5. 高阶导数的定义及其性质6. 麦克劳林公式及其应用7. 极值和最值的定义及其求解方法8. 函数的单调性、凸性和拐点的定义及其求解方法9. 不定积分的定义及其性质10. 定积分的定义及其性质11. 变限积分和重积分的定义及其性质12. 广义积分的定义及其性质二、解题技巧1. 理解定理的证明过程，掌握其具体应用2. 运用极限的定义求解无穷小量、无穷大量等问题3. 对于特殊函数如三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数、双曲函数等，需要熟悉其性质和求导规则4. 对于一些常用函数的不定积分，如$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx$，$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$，$\int e^{ax}dx$，需要掌握其求解方法5. 对于求解最大值、最小值、拐点等问题，需要作图、求导、判别法等多种方法相结合6. 对于解决变限积分、重积分、广义积分等问题，需要根据相关定理进行计算和判定三、练习题1.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$2.证明函数$f(x)=x^3$在$x=0$处连续，但不一致连续3.证明$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$4.求函数$f(x)=x^5-5x^4+10x^3+10x^2-5x+1$的极值和最值5.求函数$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$的单调性、凸性和拐点6.求$\int\limits_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$7.求$\iint\limits_D(x^2+y^2)dx dy$，其中$D$是由$x^2+y^2=1$及$x^2+y^2=4$围成的区域8.求$\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+x^2}dx$的值9.证明$\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx$收敛当且仅当$\alpha>1$10.证明$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$以上是实变函数复习的一些基本知识、技巧和练习题，通过对这些内容的熟练掌握和灵活运用，可以在以后的学习和科研中起到重要的作用。

实变函数与泛函分析基础(第三版)第五章复习指导

主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分−− 勒贝格积分理论．它也是实变函数数论研究的中心内容．一、关于勒贝格积分的建立．本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替．一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的．第一步是建立非负函数的积分．它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的．第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的．二、勒贝格积分的性质．勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即)(x f 在E 上可积当且仅当)(x f 在E 上可积()(x f 在E 上可测)．这是它与黎曼积分重要区别之一．(2)勒贝格积分的绝对连续性．设)(x f 在E 上可积，则对任意0>ε，存在0>δ，使当E e ⊂且 δ<e m 时，恒有ε<⎰ex x f d )((3)勒贝格积分的唯一性．即0d )(=⎰Ex x f 的充要条件是..0)(e a x f =于E ．由此可知，若)(x f 与)(x g 几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同．(4)可积函数可用连续函数积分逼近．设)(x f 是可积函数，对任意0>ε，存在],[b a 上的连续函数)(x ϕ，使εϕ<-⎰],[d )()(b a x x x f此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较．三、关于积分极限定理．积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义．其中列维渐升函数列积分定理(定理5.4.1)，勒贝格控制收敛定理(定理5.4.2)，和法都定理(定理5.4.3)在现代数学中都有广泛的应用．同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处．四、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系．我们知道，若],[b a 上的有界函数)(x f 黎曼可积，则必勒贝格可积且二者积分值相等．值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立．实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积．关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分．五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要),(y x f 在q p R R ⨯上可积即可将重积分化为累次积分．特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处．复习题（一）一、判断题1、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。

实变函数复习要点

实变函数复习要点(共6页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2011实变函数复习要点第一章集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。

2. 对等和基数及其性质。

3. 可数集合的概念及其性质。

4. 不可数集合的概念及例子。

（二）考核要求1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。

2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。

De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=c c A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。

例利用集合的并、交、补运算证明集合相等。

例 Nn x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设 ]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A 3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。

（2）综合应用：集合的对等的证明例利用定义直接构造两集合间的1-1对应。

4. 可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。

（2）综合应用：可数集合的性质。

5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。

第二章点集（一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。

2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。

3. 开集、闭集及其性质。

4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。

（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。

2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。

如聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→ 如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→ 3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。

提分利器浙江省考研数学一实变函数备考要点

提分利器浙江省考研数学一实变函数备考要点提分利器——浙江省考研数学一实变函数备考要点在浙江省考研数学一科目中，实变函数是一个重要的考点。

合理的备考策略和重点把握将对考生的考试成绩起到至关重要的作用。

本文将从定义、性质、定积分和级数展开讲述实变函数备考要点，帮助考生系统地准备这一部分内容。

一、定义和基本性质实变函数的定义是数学一考试中必须掌握的基础知识。

实变函数是定义在实数集上的函数，其自变量和因变量都是实数。

考生在备考时，要深入理解实变函数的概念，并熟练掌握常见的实变函数的性质。

1. 实变函数的极限和连续性：考生需要熟悉实变函数的极限和连续的定义，并能运用相关的性质进行计算和证明。

重点掌握函数极限和函数连续的判定方法，并能够应用到具体的题型中。

2. 实变函数的一致连续性和导数的定义：考生应该掌握实变函数的一致连续性和导数的定义，并能够应用到相关的题型中解决问题。

3. 实变函数的单调性和既定性：熟悉实变函数的单调性和既定性的定义，理解它们的性质，并学会运用这些性质进行计算和证明。

二、定积分和不定积分在实变函数备考中，定积分和不定积分是重要的考点，也是提分的关键之一。

考生要掌握定积分和不定积分的基本定义，理解它们的几何和物理意义，并能够应用到具体的计算题中。

1. 定积分的基本计算方法：考生需要掌握定积分的基本计算方法，如换元法、分部积分法等，并能够应用到各种题型中解决问题。

2. 定积分的几何和物理应用：理解定积分在几何和物理上的应用，如求面积、求体积、求弧长等，能够运用定积分解决与几何和物理相关的问题。

3. 不定积分和变限积分：熟悉不定积分和变限积分的定义和基本性质，掌握它们的计算方法，并能够应用到具体的题型中。

三、级数级数是实变函数备考中的另一个重点部分，也是考察考生对实变函数理论的理解和应用能力的重要手段。

1. 级数收敛和发散的判定：掌握级数收敛和发散的判定方法，如比较判别法、积分判别法、根植判别法等，并能够应用到具体的题型中。

实变函数期末复习指导

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