人教版九年级数学第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提高训练 (22)(有解析)

第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提高训练 (22)一、单选题1．如图，斜坡AP 的坡比为1∶2.4，在坡顶A 处的同一水平面上有一座高楼BC ，在斜坡底P 处测得该楼顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该楼顶B 的仰角为76°，楼高BC 为18m ，则斜坡AP 长度约为（点P 、A 、B 、C 、Q 在同一个平面内，sin760.97≈，cos760.22≈，tan76 4.5≈）（ ）A ．30mB ．28mC ．26mD ．24m2．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，则sin ∠BOD 的值等于（ ）A B C D二、填空题3．先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与坐标系的原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若4AB =，3BC =，则图1和图2中点B 点的坐标为_________，点C 的坐标_________．4．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5AC =，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点D ，过点D 作//DE AC 交BC 于点E ，那么DE 的长为________．5．如图，射线OC 与x 轴正半轴的夹角为30°，点A 是OC 上一点，AH ⊥x 轴于H ，将△AOH 绕着点O 逆时针旋转90°后，到达△DOB 的位置，再将△DOB 沿着y 轴翻折到△GOB 的位置，若点G 恰好在抛物线y ＝x 2(x ＞0)上，则点A 的坐标为_________．6．如图，在平面直角坐标系中，等边111A B C △，等边222A B C △，等边333A B C △，……中11A B ，22A B ，33A B ，……平行于x 轴，点1C ，2C ，3C ，……在y 轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点，11A B ，22A B ，33A B ，…………以此类推， 则等边202020202020A B C △的顶点2020A 的坐标为___．7．如图，在Rt ABC 中，90,6,8B AB BC ︒∠===，点D E 、分别是,AC BC 的中点，点F 是AD 上一点，将CEF △沿EF 折叠得,C EF C F ''交BC 于点G ．当CFG △与ABC 相似时，CF 的长为_____________8．如图，在边长为10的菱形ABCD 中，AC 为对角线，∠ABC =60°，M 、N 分别是边BC ，CD 上的点，BM =CN ，连接MN 交AC 于P 点，当MN 最短时，PC 长度为_____．9．ABCD 中，60BAC ∠=，AC 、BD 相交于点O ，且2BOC ACB ∠=∠，若4AB =，则BD 的长为______．10．在矩形ABCD 中，10AD =，6AB =，点E ．F 在直线AD 上，且四边形BCFE 为菱形，若线段EF 的中点为G ，则ABG ∠的正切值是_______．11．如图，在ABC 中，4,90AB BC ABC ==∠=，以AB 为直径．．画弧，与AC 交于点D ，则图中阴影部分的面积为_______________（结果保留π）．三、解答题12．如图，在O 中，弦AB 、CD 交于点E ，连接AC ，BE DE =．（1）求证：ACE CAE ∠=∠；（2）连接BC 、BD ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，若AC BC =，求证：BF CF BD =+； （3）在（2）的条件下，连接EO 并延长交AC 于点K ，连接BK ，作CAF ∠的平分线交BC 于点G ，5GF =，12BF =，求CG 的长．13．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ，∠A ＝105°，求△ABC 的面积．14．如图①，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且2OA OB OC OD ====，OC 平分BOD ∠，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．（1）ABD △的形状为________（按角分类），线段BC 与DC 的数量关系为________（直接写出结论，不需要证明）；OC 与AD 的位置关系为________．请证明你的这个结论；（2）如图②，若DE DF =，求AE AF的值； （3）小颖同学对图①中的四边形ABCD 进一步研究发现，四边形ABCD 的周长有最大值，请你求出四边形ABCD 周长的最大值，并求出当四边形ABCD 的周长取得最大值时，DE DF 的值． 15．如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB=13米，它的坡角为45º，为了提高防洪能力，现将背水坡改造成坡比:1:1.5AC DC =的斜坡AD ，求DB 的长（结果精确到0.1m ）．16．如图，在O 中，点D 为AB 的中点，点P 为半径OC 延长线上一点，连结AC ，AP ，且AC 平分PAB ∠．（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若AB 平分OC ，且O 的半径为2，求PA 的长度．17．如图，在ABC 中，60ABC ∠=，AB =8BC =，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰ACD △，且120DAC ∠=，则BD =______．18．如图，在ABC 中，60,45A C ︒︒∠=∠=，射线,BD AC AB ⊥=．点P 从点A 出发，沿AB 的速度向终点B 运动．过点P 作PQ AB ⊥交射线BD 于点Q ．以PQ 为一边向上作正方形PQMN ，设点P 的运动时间为t （秒）：（1）如图1，当点Q 与点D 重合时，正方形PQMN 的面积；（2）如图2，作点D 关于直线QM 的对称点D '，连结PD '；①当点P 从点A 运动到AB 的中点时，求点D '的运动路径长；②当PD '与ABC 的边垂直或平行时，直接写出t 的值．19．如图，在Rt ABC 中，90,30,1ACB A BC ︒︒∠=∠==，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径的O 经过点B ．（1）求O 的半径；（2）点P 为AB 中点，作PQ AC ⊥，垂足为Q ，求OQ 和PQ 的长；20．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=10cm ，∠AOB=120°，求△AOB 的面积．21．矩形ABCD 的一边长4AB =，且BC AB >，以边AB 为直径的O 交对角线AC 于H ，2AH =，如图，点K 为下半圆上一点．（1）求HAB ∠的度数；（2）求CH 的长；（3）求图中阴影部分的面积；（4）若圆上到直线AK 距离等于3的点有且只有一个，请直接写出线段AK 的长．22．如图，小区内有一条南北方向的小路MN ，快递员从小路旁的A 处出发沿南偏东53°方向行走200m 将快递送至B 楼，又继续从B 楼沿南偏西30°方向行走120m 将快递送至C 楼，求此时快递员到小路MN 的距离．（计算结果精确到1m ．参考数据：sin530.80,cos530.60,tan53 1.33︒≈︒≈︒≈）23．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 是安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪AB 的高为1.5米，求拉线CE ≈1.73，结果精确到0.1米）24．如图，翠湖公园的管理人员在岸边的A 点处发现湖中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入湖中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑300米到C 点跳入湖中．3号救生员沿岸边向前跑到离B 点最近的D 点跳入湖中．救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若30BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，三名救生员同时从A 点出发，请计算说明谁先到达营救地点B ． 1.4≈ 1.7≈）25．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y mx m =+交x 轴于点A ，交y 轴的正半轴于点B ，点C 在x 轴的正半轴上，连接BC ，tan 3tan BAO BCO ∠=∠．（1）求点A ，C 的坐标；（2）如图1，点P 在第一象限内，横坐标为t ．PD y ⊥轴于点D ，PA BC ⊥于点E ，AP BC =，求m 与t 之间的函数关系式（不必写出自变量t 的取值范围）（3）如图2，在（2）的条件下，设BC 交DP 于点F ，当BF PE =时，求m 的值．26．巢湖为我国五大淡水湖之一，方圆800里，是皖中著名的旅游胜地．如图，某同学选择了巢湖沿岸三个地点A 、B 、C ，现已知A 、C 两地直线距离为28km ，∠A ＝45°，∠C ＝105°，求A 、B 两地的直线距离AB 的长？（结果精确到1km 1.414≈ 1.732≈ 2.236≈ 2.446≈）27．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点(,0)A m -和点(0,2)(0)B m m >，点C 在x 轴上（不与点A 重合），（1）当BOC 与AOB 相似时，请直接写出点C 的坐标（用m 表示）；（2）当BOC 与AOB 全等时，二次函数2y x bx c =-++的图像经过A 、B 、C 三点，求m 的值，并求出点C 的坐标；（3）P 是（2）的二次函数的图像上一点，90APC ∠=，求点P 的坐标及ACP ∠的度数． 28．如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向前走30米到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是45°和33.7°求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1米）．（备用数据：sin26.60.45=，cos26.60.89=，tan 26.60.50=，cot 26.6 2.00=；sin33.70.55=，cos33.70.83=，tan33.70.67=，cot 33.7 1.5=）29．如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB ＝120mm ，支撑板长CD ＝80mm ，底座长DE ＝90mm ．托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且CB ＝40mm ，托板AB 可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(结果精确到0.1mm)(1)如图2，若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，求点A到底座DE的距离；(2)为了观看需要，在(1)的情况下，将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上(如图3)，则此时点A到底座DE的距离与(1)中比是升高了还是降低了，若升高，升高了多少？若降低，降低了≈≈≈)多少？( 1.41 1.73 2.2430．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4cm，过点D作DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F．动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点D运动，过点P 作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N．设点P运动时间为x（s），△AMN与四边形AEDF 重叠部分面积为y（cm2）．（1）AE＝cm，AF＝cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若线段MN中点为O，当点O落在∠ACB平分线上时，直接写出x的值．【答案与解析】1．C【解析】先延长BC交PD于点D，在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，BC=18求出AC，根据BC⊥AC，AC∥PD，得出BE⊥PD，四边形AHEC是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，过点A作AH⊥PD，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出512AHHP=，设AH=5k，则PH=12k，AP=13k，由PD=BD，列方程求出k的值即可．解：延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，BC=18米，∴AC=4（米）．过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴512AHHP=，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．由PH+HD=BC+CD得：12k+4=5k+18，解得：k=2，∴AP=13k=26（米）．故选：C．此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．2．B【解析】根据平行线的性质和锐角三角函数定义以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin ∠BOD 的值，本题得以解决．解：连接AE 、EF ，如图所示，则AE ∥CD ，∴∠FAE=∠BOD ，∵每个小正方形的边长为1，则AE AF EF =====∴△FAE 是直角三角形，∠FEA=90°，∴sin10EF FAE AF ∠===∴sin BOD ∠=故选：B ．本题考查了解直角三角形、锐角三角函数定义、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．3．()2 34,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据旋转的性质求解．解：∵AB=4，在x轴正半轴上，∴图1中B坐标为（4，0），在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cos30°=23，BE=2，在图2中B点的坐标为（23，2）；易知图1中点C的坐标为（4，3），在图2中，设CD与y轴交于点M，作CN⊥y轴于点N，那么∠DOM=30°，OD=3，∴DM=3•tan30°=3，OM=3÷cos30°=23，那么CM=4-3，易知∠NCM=30°，∴MN=CM•sin30°=43-，CN=CM•cos30°=433-，则ON=OM+MN=334+，∴图2中C点的坐标为（433-，334+）．此题主要考查了旋转性质的应用，旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造直角三角形求解．4．5 3【解析】过点D作DF⊥BC于点F，由题意易得∠DBC=45°，∠ACB=∠DEB，则有3sin sin 5ACB DEB ∠=∠=，然后根据三角函数及线段的和差可求解． 解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，如图所示：∵90ABC ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点D ，∴∠DBC=45°，∠DCB=∠ACD ，∴△DFB 是等腰直角三角形，即DF=BF ，∵DE ∥AC ，∴∠ACB=∠DEB ，∠ACD=∠CDE ，∴∠CDE=∠DCE ，∴DE=EC ，∵AB=3，AC=5，∴BC=4，3sin sin 5AB ACB DEB AC ∠=∠==， 设DF=BF=3x ，则有：EF=4x ，DE=EC=5x ，∴3454x x x ++=，解得13x =， ∴53DE =； 故答案为53． 本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．5．(3【解析】根据点G 在y=x 2（x ＞0）上，可以设出点G 的坐标，从而可以表示出点D 和点A 的坐标，然后根据特殊角的三角函数值可以求得点A 的坐标．解：设点G 的坐标为（a ，a 2），则点D 的坐标为（-a ，a 2），∴点A 的坐标为（a 2，a ），∵射线OC 与x 轴正半轴的夹角为30°，∴tan30°=AH OH，即23a a=，解得：a =∴点A 的坐标为(3．本题考查二次函数图象上点的坐标特征、翻折变换、坐标与图形变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．6．(1010)--【解析】先根据规律类推可得20202020A B 的长，再根据等边三角形的性质、解直角三角形求解即可得． 如图，连接2020OA ，设20202020A B 与y 轴交于点D ，11A B ，22A B ，33A B ，的长依次为，，20202020A B ∴=202020202020A B C 是等边三角形，三边垂直平分线的交点为原点，2020202020202020202020202020202020201130,22OA D C A B A D A B OD A B ∴∠=∠=︒==⊥，在2020Rt OA D 中，20202020tan 1010OD A D OA D =⋅∠==，∴点2020A 的坐标为(1010)--，故答案为：(1010)--．本题考查了等边三角形的性质、解直角三角形、点坐标等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．7．8或5.6．【解析】当FG ⊥BC 时，根据折叠的性质得到∠C′=∠C ，C′E=CE=4，根据三角函数的定义得到AB E C C G A E=' ，根据△ABC ∽△FGC 即可得到结论；当GF ⊥AC 时，如图，根据折叠的性质得到∠1=∠2=45°，于是得到HF=HE ，根据三角函数的定义得到EH ，根据勾股定理求出C′H ，即可得到结论．解：由勾股定理得：10AC ==，当FG ⊥BC 时，∵将△CEF 沿EF 折叠得△C′EF ，∴∠C′=∠C ，C′E=CE=4，∴sin ∠C=sin ∠C′，即AB E C C G A E='， ∴6104EG = ∴EG=2.4，∵由题可知FG ∥AB ，∴△ABC ∽△FGC ， ∴C CG CF BC A =，即06.481CF =， ∴CF=8；②当GF ⊥AC 时，如图，∵将△CEF 沿EF 折叠得△C′EF ，∴∠1=∠2=45°，∴HF=HE ，∵sin ∠C=sin ∠C′=A H C E CE AB ='， 即6410EH = ∴125EH =，∴ 3.2==， ∴CF=C′F=C′H+HF=3.2+2.4=5.6．综上所述，当△CFG 与△ABC 相似时，CF 的长为8或5.6．故答案为：8或5.6．本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．8．52【解析】连接AM ，AN ，证明△AMB ≌△ANC ，推出△AMN 为等边三角形，当AM ⊥BC 时，AM 最短，即MN 最短，在Rt △ABM 中求出AM 的长，在Rt △AMP 中求出AP 的长，即可解决问题． 解：连接AM ，AN ，∵ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC=10，同理可证∠ACN=60°，在△AMB 和△ANC 中，AB AC B ACN BM NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB ≌△ANC ，∴AM=AN ，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，∴∠MAN=60°，∴△AMN 为等边三角形，∴MN=AM ，∠MAN=60°，当AM ⊥BC 时，AM 最短，即MN 最短，∵sinB=AM AB， ∴AM=sin60°×∵∠ABC=60°，∴∠BAM=30°，∴∠MAC=30°，∴∠NAC=30°，∴AP ⊥MN ．∵sin ∠AMN=AP AM， ∴AP=sin60°×152， ∴CP=10-152=52． 故答案为：52．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．9．7【解析】过B 作BE ⊥AC 与E ，延长CE 到C′，使EC′=EC ，连结BC′由BE 是CC′的垂直平分线，得BC=BC′，则∠C′=∠ACB ，由∠BOC 是△BOC′的外角∠BOC=∠ACB+∠C′BO =2ACB ∠，得到∠C′BO=∠ACB ，利用等角对等边OC′=OB ，设OE=x ，ABCD 得CE=OC+x ，则CC′=2(OC+x)=2OC+2x ，推出AC′=2x ，在Rt △BAE 中AB=2AE ，BE=AB•cos30º，AE=2，OB=OC′=2+3x ，在Rt △EOB 中由勾股定理得BO 2=BE 2+OE 2即（2+3x ）22+x 2求出x 即可．过B 作BE ⊥AC 与E ，延长CE 到C′，使EC′=EC ，连结BC′∴BE 是CC′的垂直平分线，∴BC=BC′，∴∠C′=∠ACB ，又∵∠BOC 是△BOC′的外角，∴∠BOC=∠C′+∠C′BO=∠ACB+∠C′BO ，∵2BOC ACB ∠=∠，∴2∠ACB=∠ACB+∠C′BO ，∴∠C′BO=∠ACB ，∴OC′=OB ，设OE=x ，∴CE=OC+x ，∴CC′=2(OC+x)=2OC+2x ，∴AC′=2x ，在Rt △BAE 中，∠BAE=60º，∴∠ABE=90º-∠BAE=30º，∴AB=2AE=4，，∴AE=2，∴OB=OC′=2+3x ，在Rt △EOB 中，由勾股定理得，BO 2=BE 2+OE 2，即（2+3x ）22+x 2，解得x=12，OB=2+3x=72，ABCD，BD=2BO=7．故答案为：7.本题考查平行四边形的性质，垂直平分线性质，锐角三角函数，2倍角的性质，勾股定理综合性较强，难度较大，关键引辅助线，把问题简化，掌握所述概念与定理，会灵活运用性质解决问题．10．12或136【解析】分两种情况：①如图1，根据四边形ABCD是矩形，可得CD=AB=6，BC=AD=10，∠A=90°，根据四边形BCFE为菱形，可得CF=EF=BE=BC=10，根据线段EF的中点为G，可得EG的长，根据勾股定理可得AE的长，即可得AG的长，进而可得∠ABG的正切值；②如图2，同理可得∠ABG 的正切值．解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，BC=AD=10，∠A=90°，∵四边形BCFE为菱形，∴CF=EF=BE=BC=10，∴8∴AF=AE+EF=18，∵G 是EF 的中点，∴GE=12EF=5， ∴AG=AE+EG=8+5=13，∴tan ∠ABG=AG AB =136； ②如图2所示：同①得：AE=8，∵G 是EF 的中点，∴GE=5，∴AG=AE-GE=3，∴tan ∠ABG=AG AB =12； 故答案为：12或136本题考查了解直角三角形、矩形的性质、菱形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形和菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．11．2π【解析】连接OD ，作DE AB ⊥于点E ，根据正切的定义解得30A ∠=︒，进而解得60DOB ∠=，根据正弦定义，解得OD 的长，继而解得DE 的长，最后由三角形面积、扇形面积公式解题即可得到阴影部分面积为ABC ADO S S S --扇形ODB ．如图，连接OD ，作DE AB ⊥于点E ，44,90AB BC ABC ==∠=tan3A ∴== 30A ∴∠=︒ 60DOB ∴∠= 1122OD AB ==⨯=sin 603DE OD ∴=⋅︒= ∴阴影部分面积为：1143222ABC ADO S S S π--=⨯-⨯-=扇形ODB 本题考查解直角三角形、特殊角的三角函数值、扇形面积、三角形面积等知识，是重要考点，难度较易，作出正确的辅助线，掌握相关知识是解题关键．12．（1）见解析；（2）见解析；（3）173 【解析】（1）由BE=DE ，得到∠B=∠D ，得到AD BC =，根据圆周角定理推论即可证得结论； （2）在线段BF 上取点H ，使FH=FC ．先证明∠ABC=∠ABD ，∠AHB=∠ADB ，然后可证△AHB ≌△ADB ，根据全等三角形的性质得到BD=BH ，即可得到结论；（3）过点G 作GM ⊥AC 于点M ， 设CG=x ，则CF=5+x ，AC=BC=12+5+x=17+x ，在Rt △ACF 中由勾股定理得用x 表示出2AF ，在Rt △ACF 中sin AF ACF AC∠=，在Rt △AMG 中，sin MG ACF CG ∠=，于是得到AF MG AC CG=，列方程求解即可． （1）证明：如图1，连接BD ，∵BE=DE，∴∠B=∠D∴AD BC=，∠=∠；∴ACE CAE（2）证明：如图2，在线段BF上取点H，使FH=FC，连接AH，AD，∵AC=BC，∴AC BC=，∵AD BC=，∴AC AD=，∴∠ABC=∠ABD，⊥，FH=FC，∵AF BC∴AF是CH的垂直平分线，∴AC=AH，∴∠ACH=∠AHC，∵A、C、B、D四点在⊙O上，∴∠ACB+∠ADB=180°，∵∠AHC+∠AHB=180°，∴∠AHB=∠ADB，在△AHB 与△ADB 中，AHB ADB ABH ABD AB AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝，∴△AHB ≌△ADB ，∴BD=BH ，∴BF= FH+BH=CF+BD ；（3）解：如图3，过点G 作GM ⊥AC 于点M ，设CG=x ，则CF=5+x ，AC=BC=12+5+x=17+x ，∵AG 平分∠CAF ，∴MG=FG=5，在Rt △ACF 中，由勾股定理得：22222(17)(5)AF AC CF x x =-=+-+= 24(11)x +在Rt △ACF 中，sin AF ACF AC∠=， 在Rt △AMG 中，sin MG ACF CG∠=， ∴AF MG AC CG = ∴222524(11)(17)x x x +=+ ∴173x =， ∴CG=173． 本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，角平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．13． 【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，先根据等腰直角三角形的性质求出BD 、AD 的长，再根据勾股定理求出CD 的长，由三角形的面积公式即可得出结论．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵∠B =45°∴∠BAD =45°∴AD =BD ==1 ∵∠A =105°∴∠CAD =105°−45°=60°∴∠C =30°∴CD =30AD tan ︒△ABC 的面积=()12CD AD AD +⨯=11)12⨯⨯． 此题考查的是勾股定理，熟知等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．14．（1）直角三角形，相等，平行，证明见解析；（2）AE AF ；（3）四边形ABCD 周长的最大值为10，DE DF 【解析】 （1）根据OA=OB=OD 可证得△ADB 为直角三角形，再根据等腰三角形的三线合一证得OC 为BD 的垂直平分线，则有BC=DC ，然后根据平行线的判定证得OC ∥AD ；（2） 设∠DAC=x ，根据DE=DF 以及已知，可证得∠DEA=3x ，再由∠ADB=90°可求得x=22.5°，进而可证△ADE ∽△AOF ，即可求得AE AF的值； （3）当四边形ABCD 的周长最大时，△AOD 、△DOC 、△BOC 均为等边三角形，即可求得周长的最大值，再由已知可求得∠DFE=90°，∠DEA=60°，利用锐角的三角函数即可求得DE DF 的值． （1）∵OA=OB=OC ，∴△ABD 为直角三角形，且∠ADB=90°，∵OC 平分∠BOD ，∴OC ⊥BD ，BG=DG ，∴OC 是BD 的垂直平分线，∴BC=DC ，∠OGB=90°，∴∠OGB=∠ADB ，∴OC ∥AD ；（2）设∠DAC=x ，∵OA=OC ，OC ∥AD ，∴∠OAC=∠ACO=∠DAC=x ，∵OA=OD∴∠ADO=∠DAO=2x ，∴∠DFE=∠DAC+∠ADO=3x=∠AFO ，∵DF=DE ，∴∠DEF=∠DFE=3x ，又∠ADB=90°，∴∠DAC+∠DEF=90°，即x+3x=90°，解得：x=22.5°，∴∠DAO=∠ADO=2x=45°，∴∠AOD=90°，∵∠AOD=∠ADB ，∠AFO=∠DEF ，∴△ADE ∽△AOF ， ∴AE AD AF AO=， 在Rt △AOD 中，OA=OD=2，∴=∴2AE AF == （3）由题意可知，当四边形ABCD 的周长最大时，△AOD 、△DOC 、△BOC 均为等边三角形，则AD=CD=BC=OB=OA=2，∠ADO=60°，∴四边形ABCD 周长的最大值为2×5=10，由（2）中证明过程可知∠ADO=2∠DAC,∴∠DAC= 12∠ADO=30°，又∠ADB=90°， ∴∠DFE=∠DAC+∠ADO=90°，∠AED=90°﹣∠DAC=60°，在Rt △DFE 中，由sin60°=DF DE得：1sin 603DE DF ===． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的性质、锐角的三角函数值等知识，涉及知识比较复杂，综合性较强，灵活运用这些知识是解答的关键．15．DB 的长为4.6米．【解析】由斜坡AB 的坡角为45°，可求出AC 、BC 长，再由:1:1.5AC DC =可求出CD 长，最后用CD-BC可得DB 长．如图，在RT △ABC 中，由斜坡AB=13，坡角为45°，得sin 13sin45AC AB ABC =∠=︒=B cos 13cos 452C AB ABC =∠=︒= ∵:1:1.5AC DC =∴ 1.54CDAC == ∴42DB CD BC =-=- 4.6≈（米）． 答：DB 的长为4.6米．此题考查解直角三角形的实际应用．其关键除了熟悉锐角的三角函数及直角三角形的边角关系外，不要弄清坡角、坡比的概念．16．（1）证明见解析；（2）【解析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义证明∠PAO=90°即可；（2）由线段垂直平分线的性质求得OA=AC，证明△OAC为等边三角形，然后利用锐角三角函数值求解即可解：（1）∵OC=OA∴∠OAC=∠OCA∵AC平分PAB∴∠CAP=∠CAD又∵点D为AB的中点∴OC⊥AB∴∠CAD+∠OCA=90°∴∠CAP+∠OAC=90°∴∠PAO=90°，即PA是O的切线；（2）∵点D为AB的中点，AB平分OC，∴AB与OC互相垂直平分∴OA=AC=OC，即△OAC为等边三角形∴∠O=60°∴在Rt△OAP中，PA=tan60°·OA=本题考查的是切线的判定以及解直角三角形的应用，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．17．10．【解析】以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，根据等腰三角形的性质、余弦的概念求出BE，根据旋转变换的性质得到∠DEB＝90°，根据勾股定理计算即可．解：以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，则∠BAE ＝120°，AB ＝AE ，DE ＝BC ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴BP ＝AB•cos ∠ABP ＝3，∠DEA ＝∠ABC ＝60°，∴∠DEB ＝30°＋60°＝90°，BE ＝2BP ＝6，在Rt △BED 中，BD ＝10，故答案为：10．本题考查了勾股定理、旋转性质以及等腰三角形的性质等知识的综合运用，综合熟练掌握相关知识并利用旋转构造直角三角形和等腰三角形模型是解题的关键．18．（1）814；（2）①6；② 1.5t =或3 【解析】（1）解直角三角形Rt △ABD ，求出BD 的长，12PD BD =即可解决问题； （2）①求出当点P 与A 重合时以及当点P 是AB 的中点时'DD 的长，即可解决问题；②分四种情形：当点Q 与D 重合时，PD AB '⊥．如图4中，当//PD BC '时，15D PQ ∠'=︒，构建方程求解．如图5中，当点P 运动到AB 的中点时，作D H PQ '⊥于H ，可以证明PD AC '⊥．如图6中，当D P BC '⊥时，设'DD 交AB 于T ，可得15D PT ∠'=︒，构建方程求解即可．解：（1）如图1中，在Rt △ABD 中，6AB =90ADB ∠=︒，30A ∠=︒，sin609BD AB ∴=︒=，30ABD ∠=︒，1922PD BD ∴== 814PQMN S ∴=正方形．（2）①如图2中，当点P 与A 重合时，设'DD 交QM 于J ．在Rt ADQ △中，tan306AQ AB =︒=，30DAQ ∠=︒，132DQ AQ ∴==， 90AQJ ∠=︒，60AQD ∠=︒， 30DQJ AQJ AQD ∴∠=∠-∠=︒，1322DJ QD ∴==， 23DD DJ ∴'==，如图3中，当点P 是AB 的中点时，6cos30BP BQ ===︒， 9BD =，3DQ BD BQ ∴=-=，32DJ JD ∴='=， 3DD ∴'=， 观察图象可知，当点P 从点A 运动到AB 的中点时，点D '的运动路径长为6．②当点Q 与D 重合时，PD AB '⊥，此时1cos602PA AD =︒= 32t ∴=． 如图4中，当//PD BC '时，15D PQ ∠'=︒．根点D '作D T PQ '⊥于T ，在PT 上取一点H ，使得PH HD ='，连接HD '．设DTm '=， 则2D H PH m '==，HT ，tan D J D T D PJ PJ TP''∴∠'===， 由题意6PQ t =-，122BQ t =-，32DQ t =-，322t DJ JD TQ -∴='==，2)QJ TD t ='=-， 32156222t PT t t -∴=--=-，∴2)21522t t -=-解得t ． 如图5中，当点P 运动到AB 的中点时，作D H PQ '⊥于H ，可得D H '，60D PH ∴∠'=︒，D PH PQB ∴∠'=∠，//DB PD ∴'，BD AC ⊥，∴此时PD AC '⊥．如图6中，当D P BC '⊥时，设'DD 交AB 于T ，可得15D PT ∠'=︒．由tan D T D PT PT '∠'=，152t -=，解得t 综上所述，满足条件的t 的值为： 1.5t =或3或． 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，轴对称等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．19．（1（2）OQ =，1PQ = 【解析】（1）作OH AB ⊥于H ，解直角三角形求出AB ，利用垂径定理求出AH 即可解决问题;（2）连接OP ，PA ，设OP 交AB 于H ，可判定AOP 是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解．解：（1）作OH AB ⊥于H ．在Rt ACB △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =，22AB BC ∴==，OH AB ⊥，1AH HB ∴==，cos30AH OA ∴==︒ （2）如图2中，连接OP ，PA ．设OP 交AB 于H ．PA PB =，OP AB ∴⊥，90AHO ∴∠=︒，30OAH ∠=︒，60AOP ∴∠=︒，OA OP =，AOP ∴△是等边三角形，PQ OA ⊥，12OQ QA OA ∴===1PQ ∴=．本题考查解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作出合适的辅助线．20．2【解析】过点O 作AB 的垂线，得到直角三角形，在直角三角形中根据三角函数进行计算，然后再由垂径定理得到AB 的长．解：如图：过点O 作OC ⊥AB 于C ，则AC=BC ，∠AOC=∠BOC=60°，在直角△AOC 中，sin60°=AC AO，sinA=sin30°，∴AC=AOsin60°，AB=2AC=OC=OAsin30°=1=52OA ，则S △AOB =12AB•OC=12××cm 2），故答案为：2．本题考查了解直角三角形，垂径定理，三角形面积公式，掌握垂径定理是解题的关键．21．（1）60︒；（2）6；（3）23π；（4）【解析】（1）连接BH ，根据圆周角定理得到∠AHB=90°，根据三角函数的定义得到∠ABH=30°，于是得到∠HKA=∠ABH=30°；（2）根据三角形的内角和得到∠BAH=60°，根据直角三角形的性质健康得到结论；（3）连接OH ，则△AOH 是等边三角形，求得AO=AH=2，∠AOH=60°，过H 作HE ⊥AO 于E ，则，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论；（4）过O 作平行于AK 的直线交⊙O 于MN ，过O 作OP ⊥AK 于Q 交⊙O 于P ，解直角三角形即可得到结论．解：（1）连接OH ，∵AB 为O 的直径∴90AHB ∠=︒∵4AB =，2AH =∴OA OH AH ==∴60HAB ∠=︒．（2）∵四边形ABCD 是矩形∴90ABC ∠=︒又60BAH ∠=︒∴28AC AB ==∴6CH AC AH =-=．（3）过H 作HE AO ⊥于E ，则HE =∵8AC =，4CD AB ==∴AD =∴图中阴影部分的面积216021242236023ππ⎛⋅⨯=⨯--⨯= ⎝ （4）过O 作平行于AK 的直线交⊙O 于MN ，过O 作OP ⊥AK 于Q 交⊙O 于P ，∵⊙O 的半径=2，则PQ=OQ=1，∵OA=2，∴∴．本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．120m【解析】过B 作BD ⊥MD 于D ，过C 作EC ⊥MN 于E ，过B 作BF ⊥EC 于F ，则四边形DEFB 是矩形，得到BD=EF ，解直角三角形即可得到结论.如图，过B 作BD ⊥MN 于D ，过C 作CE ⊥MN 于E ，过B 作BF ⊥EC 于F ，则四边形DEFB 是矩形，∴BD =EF ，在Rt △ABD 中,ADB 90∠=︒ ,53DAB ∠=︒，AB =200m ，∴sin532000.8160BD AB =︒=⨯=m ，在Rt △BCF 中,90BFC ∠=︒ ,3CBF 0∠=︒，BC =120m ， ∴1602CF BC ==m ， ∴16060100CE EF CF =-=-=m ，答：快递员到小路MN 的距离是100m .此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确把握定义是解题关键.23．5.7米【解析】由题意可先过点A 作AH CD ⊥于H ．在Rt ACH ∆中，可求出CH ，进而CD CH HD CH AB =+=+，再在Rt CED ∆中，求出CE 的长．解：过点A 作AH CD ⊥，垂足为H ，由题意可知四边形ABDH 为矩形，30CAH ∠=︒，1.5AB DH ∴==，6BD AH ==，在Rt ACH ∆中，tan CH CAH AH∠=， tan CH AH CAH ∴=∠，·tan 6tan 3063CH AH CAH ∴=∠=︒=⨯=)， 1.5DH =，1.5CD ∴=， 在Rt CDE ∆中，60CED ∠=︒，sin CD CED CE∠=，4 5.7sin60CD CE ∴==︒（米)， 答：拉线CE 的长约为5.7米．本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．24．2号救生员先到达营救地点B【解析】因为速度已知，比较时间，需求路程，即求AB 、AC 、BC 、AD 、BD 的长以后再计算时间进行比较，解直角三角形ABD 和BCD ．解：∵∠D=90°，∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴tan ∠BAD=BD AD tan ∠BCD=BD CD ，∴，BD，∵AC=300，BD=300，解得：BD=，∴AB=sin30BD︒=BC=sin60BD︒=300，1号救生员到达B点所用的时间为2=≈255秒，2号救生员到达B点所用的时间为300÷6+300÷2=200秒，3号救生员到达B÷6+÷2≈203秒，∵200＜203＜255，∴2号救生员先到达营救地点B．本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．25．（1）A（-1，0）C（3,0）（2）m=t+1（3）【解析】（1）先求出A,B点坐标，再根据tan3tanBAO BCO∠=∠求出C点坐标；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，证明△APH≌△BCO，得到PH=OC=3,AH=BO，得到t-(-1)=m，故可求解；（3）过点E作EM⊥x轴于点M，延长ME交BD于N，证明△BDF≌△PNE，求出CM=1,AM=3，得到tan∠，再根据tan∠EAM=3EMAM m==，故可求m的值．（1）∵直线y mx m=+交x轴于点A，交y轴的正半轴于点B，当x=0时，y=m,∴B（0，m）当y=0时，mx m+=0，解得x=-1∴A（-1,0）∴OA=1,OB=m∵tan ,tan 1OB m OB m BAO m BCO OA OC OC ∠===∠== 又tan 3tan BAO BCO ∠=∠ ∴3m m OC= ∴OC=3∴C （3，0）；（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则∠PHA=90°=∠BOC ∴∠PAH+∠APH=90°∵AP ⊥BC∴∠AEC=90°∴∠PAH+∠BCO=90°∴∠APH =∠BCO∵AP=BC∴△APH ≌△BCO ，∴PH=OC=3,AH=BO ，∴t-(-1)=m ，则m=t+1；（3）过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，延长ME 交BD 于N ，则∠NMO=90°∵△APH ≌△BCO ，PH=3=OC ，BD=m-3∴∠DBF =∠PAH,∵PD⊥y轴∴∠PDO =∠PHO=∠DOH =∠NMO=90°∴∠NPE =∠PAH=∠DBF∵BF=PE∴△BDF≌△PNE，∴BD=NP= m-3=MH，∵OH=t∴OM=OH-MH=OH-MH=t-（m-3）=t-m+3又OC=3∴CM=OC-OM=3-（t-m+3）=m-t∵m=t+1∴CM=m-t=1∴AM=AH-MH=（1+t）- （m-3）=1+t-m+3=3 ∵∠CEM =∠EAM∴13EM EM=故∴tan∠EAM= tan∠CBO∴3 EMAM m==，∴此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、三角函数的定义及性质．26．54km【解析】首先过点C作DC⊥AB于点D，可算出∠ACD和∠DCB，再根据特殊角的三角函数算出AD、BD 即可．解：过点C作DC⊥AB于点D，∵∠A=45°，∴∠ACD=45°，∴AD=CD，∵AC=28km，∴CD=AD=AC×sin45°，∵∠ACB=105°，∴∠DCB=60°，∴∠B=30°，∴tan30°，∴≈54km．．此题主要考查了解直角三角形的实际应用，关键是正确作出辅助线，算出AD 、BD 的长． 27．（1）（m ，0）或（4m ，0）或（-4m ，0）；（2）m=2，C （2，0）；（3）P，1）∠ACP=75°或P（1），∠ACP=15°【解析】（1）分类讨论：△BOC ∽△BOA ，△BOC ∽△AOB ，根据相似三角形的性质，可得答案； （2）根据全等三角形的性质，可得C 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据相似三角形的性质，可得关于a 的方程，根据解方程，可得a 的值可得p 点坐标，分类讨论：当点P1）时，根据正弦函数据，可得∠COP 的度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案； 当点P 的坐标为（1）时，根据正弦函数据，可得∠AOP 的度数，根据三角形外角的性质，可得答案．解：（1）若△BOC ∽△BOA ， 则BO OC BO OA =，则22m OC m m=， ∴OC=m ，即点C 的坐标为（m ，0）；若△BOC ∽△AOB ， 则BO OC AO OB =，则22m OC m m=， ∴OC=4m ，即点C 的坐标为（±4m ，0）；∴点C 的坐标为（m ，0）或（4m ，0）或（-4m ，0）；（2）当△BOC 与△AOB 全等时，点C 的坐标为（m ，0），二次函数y=-x 2+bx+c 的图象经过A 、B 、C 三点，22200c m m mb c m mb c =⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩，解得042b c m =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴二次函数解析式为y=-x 2+4，点C 的坐标为（2，0）；（3）作PH ⊥AC 于H ，设点P 的坐标为（a ，-a 2+4），∵∠AHP=∠PHC=90°，∠APH=∠PCH=90°-∠CPH ， ∴△APH ∽△PCH ， ∴AH PH PH CH=， 即PH 2=AH•CH ，（-a 2+4）2=（a+2）（2-a ）．解得a=P1）或（1），如图，当点1P的坐标为1)时，12OP OC ==，1111sin 2PE POE PO ∠==， 30COP ∴∠=︒，180752POC ACP ︒-∠∴∠==︒； 当点P的坐标为(，1)时，2221sin 2P F P OF P O ∠==，230P OF ∠=︒． 由三角形外角的性质，得22P OF ACP ∠=∠，即15ACP ∠=︒．本题考查了二次函数综合题，（1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（2）利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形的性质，三角形外角的性质．28．10米【解析】延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE=x 米，在直角△APE 和直角△BPE 中，根据三角函数利用x 表示出AE 和BE ，根据AB=AE-BE 即可列出方程求得x 的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得。