【精选】湖北省宜昌市高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数同步练习1无答案新人教A版必修1
2019学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数练习 新人教A版必修1
2.3 幂函数【选题明细表】1.下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( C )(A)y= (B)y=x3(C)y=x2(D)y=x解析:y=,y=x3,y=x在(-∞,0)上都是增函数,故选C.2.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为减函数,则m的值为( C )(A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2解析:因为f(x)=(m2-4m+4)为幂函数,所以m2-4m+4=1,解得m=3或m=1.由x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,则m2-6m+8<0,解得2<m<4.所以m=3,故选C.3.如图,曲线C1与C2分别是y=x m,y=x n在第一象限的图象,则( B )(A)n<m<0(B)m<n<0(C)n>m>0(D)m>n>0解析:由题图及其单调性可得m<n<0.故选B.4.若幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,则实数m等于( A )(A)-1 (B)2(C)3 (D)-1或2解析:因为幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,所以解得m=-1.故选A.5.三个数a=(),b=(),c=()的大小顺序是( B )(A)c<a<b (B)c<b<a(C)a<b<c (D)b<a<c解析:因为-<-,所以a=()>b=().因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,所以b=()>c=(),所以a>b>c.故选B.6.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),则f(4)的值等于.解析:由f(x)=xα的图象经过点(2,),得=2α,所以α=-,则f(4)==2-1=.答案:7.函数y=xα+2(x>0)的图象恒过定点.解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3).答案:(1,3)8.若幂函数f(x)的图象过点(4,),则f(x)的值域为.解析:由题意设f(x)=x m,由点(4,)在函数图象上得4m=,解得m=-2.所以f(x)=x-2=,故其值域为(0,+∞).答案:(0,+∞)9.已知(m2+m≤(3-m,求实数m的取值范围.解:设函数y=,函数为R上的单调递增函数,得m2+m≤-m+3,即m2+2m-3≤0,得(m-1)(m+3)≤0,所以m的取值范围为m∈[-3,1].10.下列结论中,正确的是( C )(A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)(B)幂函数的图象可以出现在第四象限(C)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数(D)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα(α∈R), y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确.故选C.11.幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上为减函数,则m的取值是( B )(A)m=2 (B)m=-1(C)m=2或m=-1 (D)-3≤m≤1解析:因为函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1.又x∈(0,+∞)时f(x)为减函数,当m=2时,m2+2m-3=5,幂函数为f(x)=x5,不满足题意;当m=-1时,m2+2m-3=-4,幂函数为f(x)=x-4,满足题意.综上,m=-1.故选B.12.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为 .解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.答案:113.已知,幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(2)的值为 .解析:因为幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则指数是偶数且大于0,因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4,因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m非整数,所以m=-1,即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.答案:1614.若不等式x2-log m x<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围.解:由x2-log m x<0,得x2<log m x,要使x2<log m x在(0,)内恒成立,只需y=log m x在(0,)内的图象在y=x2的上方,于是0<m<1.在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的草图,如图所示. 因为x=时,y=x2=,所以只要x=时,y=log m≥=log m.所以≤,即≤m.又0<m<1,所以≤m<1,即实数m的取值范围是[,1).15.已知函数f(x)=+1.(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明;(2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.证明如下:设x1,x2是区间(0,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(+1)-(+1)=, 因为x2>x1>0,所以x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,所以当x=1时,取最大值,最大值为f(1)=2,当x=3时,取最小值,最小值为f(3)=.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数优化练习新人教A版必修1(2021年整理)
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2.3 幂函数[课时作业］［A组基础巩固］1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－1解析:由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．答案：B2．下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,＋∞)上单调递减的函数是( ）A．y＝x－2B。
y＝x－1C．y＝x2D．y＝x 1 3解析:∵y＝x－1和y＝x 13都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在（0，＋∞）上为增函数，故C错误．y＝x－2＝错误!在（0，＋∞）上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．答案:A3．如图，函数y＝x23的图象是（)解析：y＝x 23＝错误!≥0，故只有D中的图象适合．答案:D4．已知幂函数273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是偶函数，则实数t的值为( )A．0 B。
－1或1 C．1 D．0或1解析:∵273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是幂函数，∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1。
当t＝0时,f（x)＝x 75是奇函数，不满足题设；当t＝1时,f（x)＝x 85是偶函数，满足题设．答案:C5．a，b满足0〈a〈b〈1,下列不等式中正确的是（）A．a a<a b B。
湖北省宜昌市高中数学第二章基本初等函数Ⅰ同步练习无答案新人教A版必修120171215376
第二章 基本初等函数（Ⅰ）（ ）1．指数函数y=a x 的图像经过点（2，16）则a 的值是A ．41B ．21C ．2D ．4（ ）2．下列函数是幂函数的是Ａ、22y x =B 、3y x x =+C 、3x y =D 、12y x = （ ）3．计算331log 12log 22-=B. C. 21 D.3（ ）4．在区间),0(+∞上不是增函数的是A.2x y =B.x y log 2=C.xy 2= D.122++=x x y （ ）5．方程lg lg(3)1x x +-=的解为A 、5或-2B 、5C 、-2D 、无解 （ ）6．函数)1(log )(++=x a x f a x 在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 A. 41 B. 21 C. 2 D. 47．函数22()log (2)x f x x =-的定义域是 ． 8．若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________．9．已知函数)]91(f [f ,)0x (20)(x x log )x (f x 3则，，⎩⎨⎧≤>=的值为 10．函数(2)xy a =-在定义域内是减函数，则a 的取值范围是 11．计算：4160.250321648200549-+---（）（）12．设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩, 求满足()f x =41的x 的值．13．已知()2x f x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．14．已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 的单调性;（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数学案(无答案)新人教A版必修1(2021年整理)
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2.3《幂函数》课前阅读材料(幂函数的前世）：幂乃土生土长的数学概念，距今已有两千年左右的历史。
幂的古体字是 冖，《说文解字》：“幂，覆也.从一下垂也。
"它的繁体字是幂，原义是遮盖东西用的布，后来衍义为面积，刘歆用幂这个词表示面积。
〈〈九章算术〉>方田章刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又广义为多次乘方的结果，如元代朱世杰<〈算学启蒙〉〉总括：“自相乘之曰幂"。
到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂。
清末,李善兰翻译《代微积拾级》时，先将power 译为方，后来改译为幂。
从此就将一个数的若干次方的结果理解为幂。
我们现在定义y=x 为幂函数,源于此.一、“没有目标而学习，恰如没有罗盘而航行”：1、通过生活实例引出幂函数的概念,学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2、学生能理解幂函数的概念，会画幂函数,,,,2132x y x y x y x y ====1-=x y 的图象；学生能结合这几个幂函数的图象,理解幂函数图象的变化情况和性质。
3、学生通过观察,总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，让学生进一步体会数形结合的思想;二、课堂学习：（幂函数的今生） （1)、“温故而知新，可以为师矣”： 思考1:对于等式b a N =，我们知道：（1）如果a 一定，则N 随着b 的变化而变化，我们建立了指数函数x a y = ； (2）如果a 一定，则b 随着N 的变化而变化，我们建立了对数函数xa y log =； 那么，如果b 一定,则N 随着a 的变化而变化，是否也能确定一个函数呢？（2）、“万丈高楼平地起”: 1、实例探究:阅读下面的5个实例，填写完整.根据实例中的函数模型，你能总结出它们有什么共同特征吗？ 问题1:如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数 p = 元，这里p 是w 的函数。
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2.3 幂函数A 级 基础巩固一、选择题1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝7xB ．y ＝x 7C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋2)3解析：函数y ＝x 7是幂函数，其他函数都不是幂函数． 答案：B2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故y ＝x 23的定义域和值域不同． 答案：D3．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，33)，则f (4)的值为( ) A.12 B.14 C.13 D ．2 解析：依题意有33＝3α，所以α＝－12， 所以f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12.答案：A4．函数y ＝x 23图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 23是偶函数，且在第一象限图象沿x 轴递增，所以选项D 正确． 答案：DA ．1或3B ．1C ．3D ．2解析：因为f (x )为幂函数，所以m 2－4m ＋4＝1， 解得m ＝3或m ＝1，所以f (x )＝x －1或f (x )＝x 3， 因为f (x )为(0，＋∞)上的减函数，所以m ＝3. 答案：C 二、填空题6．由幂函数的图象可知，使x 3－x 2>0成立的x 的取值范围是________．解析：在同一坐标系中作出y ＝x 3及y ＝x 2的图象(图略)，可得不等式成立的x 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12， x >0，－2， x ＝0，（x ＋3）12，x <0，则f (f (0))＝________．解析：f (0)＝－2，f (－2)＝1，f (1)＝1，即f (f (0))＝1. 答案：18．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．解析：因为函数是幂函数，所以k ＝1， 又因为其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，解得α＝12，故k ＋α＝32.答案：32三、解答题9．函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)xm ＋2是幂函数，且函数f (x )为偶函数，求m 的值． 解：因为f (x )＝(m 2－3m ＋3)xm ＋2是幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0. 所以m ＝1，或m ＝2.当m ＝1时，f (x )＝x 3为奇函数，不符合题意． 当m ＝2时，f (x )＝x 4为偶函数，满足题目要求．所以m ＝2.10．已知幂函数f (x )的图象过点(25，5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 解：(1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， 所以α＝12，所以f (x )＝x 12.(2)因为g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， 所以要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0<x ≤100. 所以g (x )的定义域为(0，100]，又2－lg x ≥0，所以g (x )的值域为[0，＋∞)．B 级 能力提升1．若x <0，a ＝0.5x ，b ＝5x ，c ＝5－x，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．b <a <c C ．a <c <bD ．b <c <a解析：∵x <0，∴y ＝x x单调递减， 又∵15<0.5<5，∴5x <0.5x <5－x，故选B.答案：B2．给出下面三个不等式，其中正确的是________(填序号)． ①－8－13<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1913；②4.125>3.8－25>(－1.9)－35；③0.20.5>0.40.3解析：①－⎝ ⎛⎭⎪⎫1913＝－9－13，由于幂函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数，所以8－13>9－13，因此－8－13<－913，故①正确；②由于4.125>1，0<3.8－25<1，(－1.9)－35<0，故②正确；③由于y ＝0.2x 在R 上是减函数，所以0.20.5<0.20.3，又y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，所以0.20.3<0.40.3，所以0.20.5<0.40.3，故③错误．答案：①②(1)求k 的值与f (x )的解析式．(2)对于(1)中的函数f (x )，试判断是否存在m ，使得函数g (x )＝f (x )－2x ＋m 在[0，2]上的值域为[2，3]，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f(2)<f(3)，得－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2，又k∈N，则k＝0，1.所以当k＝0，1时，f(x)＝x2.(2)由已知得g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，当x∈[0，2]时，易求得g(x)∈[m－1，m]，由已知值域为[2，3]，得m＝3.故存在满足条件的m，且m＝3.。
2021秋高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数练习(含解析)新人教A版必修1
2.3 幂函数A 级 根底稳固一、选择题1．以下函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x3C ．y ＝22xD ．y ＝x －1解析：显然C 中y ＝22x＝4x，不是y ＝x α的形式，所以不是幂函数，而A ，B ，D 中的α分别为12，3，－1，符合幂函数的构造特征．答案：C2．以下函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( )A ．y ＝x 43 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －2D ．y ＝x －14解析：对于幂函数y ＝x α，如果它是偶函数，当α<0时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，那么C 选项正确．答案：C3．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x －12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3解析：由于在第一象限内直线x ＝1的右侧时，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，同理，y ＝x －1在第一象限的图象为C 4，y ＝x 13在第一象限内的图象为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图象为C 3.答案：D4．幂函数y ＝f (x )的图象过(4，2)点，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A. 2B.12C.14D.22解析：设幂函数f (x )＝x α，由图象经过点(4，2)， 可得4α＝2，即22α＝2， 所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝x 12. 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22.答案：D5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，那么a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．b <c <a解析：由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在它的定义域R 上是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b <a <c .答案：B 二、填空题6．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．解析：设f (x )＝x α，那么f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·nα＝(mn )α，f (mn )＝(mn )α，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.答案：③ 7．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，那么m 等于________．解析：因为幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，即m <53，又m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数， 当m ＝0时，f (x )＝x －5，是奇函数； 当m ＝1时，f (x )＝x －2，是偶函数． 所以m ＝1. 答案：18．假设f (x )＝x α是幂函数，且满足f 〔4〕f 〔2〕＝3，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________． 解析：因为f 〔4〕f 〔2〕＝3，所以4α2α＝3，即2α＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2－α＝3－1＝13.答案：13三、解答题9．函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时：(1)f (x )是幂函数？ (2)f (x )是正比例函数？ (3)f (x )是反比例函数？ (4)f (x )是二次函数？ 解：(1)因为f (x )是幂函数， 故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)假设f (x )是正比例函数， 那么－5m －3＝1，解得m ＝－45.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)假设f (x )是反比例函数， 那么－5m －3＝－1，那么m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(4)假设f (x )是二次函数，那么－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.10．幂函数f (x )的图象过点(25，5)． (1)求f (x )的解析式；(2)假设函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 解：(1)设f (x )＝x α，那么由题意可知25α＝5， 所以α＝12，所以f (x )＝x 12.(2)因为g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， 所以要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0<x ≤100. 所以g (x )的定义域为(0，100]，又2－lg x ≥0，所以g (x )的值域为[0，＋∞)．B 级 能力提升1．对于幂函数f (x )＝x 45，假设0<x 1<x 2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2 C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2 D ．无法确定解析：幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如下图．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0<x 1<x 2，那么AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)， |EF |＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.因为|EF |>12(|AB |＋|CD |)，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2.答案：A2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≤03a －x 12，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由f (x )＝a x为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 12为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上，可知实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，133．幂函数f (x )＝x1m 2＋m(m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)假设该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 所以m 与m ＋1必定有一个为偶数， 所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝x 1m 2＋m (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数． (2)因为函数f (x )经过点(2，2)， 所以2＝21m 2＋m ，即212＝21m 3＋m ，所以m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0. 所以m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1.因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。
2020-2021学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数练习 新人教A版必修1
2.3 幂函数【选题明细表】知识点、方法题号幂函数的定义2,4,12幂函数的图象3,6,7,10幂函数的性质1,5,8,9,11,12,13,14,151.下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( C )(A)y= (B)y=x3(C)y=x2(D)y=x解析:y=,y=x3,y=x在(-∞,0)上都是增函数,故选C.2.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为减函数,则m的值为( C )(A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2解析:因为f(x)=(m2-4m+4)为幂函数,所以m2-4m+4=1,解得m=3或m=1.由x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,则m2-6m+8<0,解得2<m<4.所以m=3,故选C.3.如图,曲线C1与C2分别是y=x m,y=x n在第一象限的图象,则( B )(A)n<m<0(B)m<n<0(C)n>m>0(D)m>n>0解析:由题图及其单调性可得m<n<0.故选B.4.若幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,则实数m等于( A )(A)-1 (B)2(C)3 (D)-1或2解析:因为幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,所以解得m=-1.故选A.5.三个数a=(),b=(),c=()的大小顺序是( B )(A)c<a<b (B)c<b<a(C)a<b<c (D)b<a<c解析:因为-<-,所以a=()>b=().因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,所以b=()>c=(),所以a>b>c.故选B.6.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),则f(4)的值等于.解析:由f(x)=xα的图象经过点(2,),得=2α,所以α=-,则f(4)==2-1=.答案:7.函数y=xα+2(x>0)的图象恒过定点.解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3).答案:(1,3)8.若幂函数f(x)的图象过点(4,),则f(x)的值域为.解析:由题意设f(x)=x m,由点(4,)在函数图象上得4m=,解得m=-2.所以f(x)=x-2=,故其值域为(0,+∞).答案:(0,+∞)9.已知(m2+m≤(3-m,求实数m的取值范围.解:设函数y=,函数为R上的单调递增函数,得m2+m≤-m+3,即m2+2m-3≤0,得(m-1)(m+3)≤0,所以m的取值范围为m∈[-3,1].10.下列结论中,正确的是( C )(A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)(B)幂函数的图象可以出现在第四象限(C)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数(D)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα(α∈R), y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确.故选C.11.幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上为减函数,则m的取值是( B )(A)m=2 (B)m=-1(C)m=2或m=-1 (D)-3≤m≤1解析:因为函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1.又x∈(0,+∞)时f(x)为减函数,当m=2时,m2+2m-3=5,幂函数为f(x)=x5,不满足题意;当m=-1时,m2+2m-3=-4,幂函数为f(x)=x-4,满足题意.综上,m=-1.故选B.12.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为 .解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.答案:113.已知,幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(2)的值为 .解析:因为幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则指数是偶数且大于0,因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4,因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m非整数,所以m=-1,即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.答案:1614.若不等式x2-log m x<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围.解:由x2-log m x<0,得x2<log m x,要使x2<log m x在(0,)内恒成立,只需y=log m x在(0,)内的图象在y=x2的上方,于是0<m<1.在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的草图,如图所示.因为x=时,y=x2=,所以只要x=时,y=log m≥=log m.所以≤,即≤m.又0<m<1,所以≤m<1,即实数m的取值范围是[,1).15.已知函数f(x)=+1.(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明;(2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.证明如下:设x1,x2是区间(0,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(+1)-(+1)=, 因为x2>x1>0,所以x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,所以当x=1时,取最大值,最大值为f(1)=2,当x=3时,取最小值,最小值为f(3)=.。
(新人教版)最新度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数练习 新人教A版必修1【经典练习】
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精品学习资料2.3 幂函数【选题明细表】1.下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( C )(A)y= (B)y=x3(C)y=x2(D)y=x解析:y=,y=x3,y=x在(-∞,0)上都是增函数,故选C.2.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为减函数,则m的值为( C )(A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2解析:因为f(x)=(m2-4m+4)为幂函数,所以m2-4m+4=1,解得m=3或m=1.由x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,则m2-6m+8<0,解得2<m<4.所以m=3,故选C.3.如图,曲线C1与C2分别是y=x m,y=x n在第一象限的图象,则( B )(A)n<m<0(B)m<n<0(C)n>m>0(D)m>n>0解析:由题图及其单调性可得m<n<0.故选B.4.若幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,则实数m等于( A )(A)-1 (B)2(C)3 (D)-1或2解析:因为幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,所以精品学习资料解得m=-1.故选A.5.三个数a=(),b=(),c=()的大小顺序是( B )(A)c<a<b (B)c<b<a(C)a<b<c (D)b<a<c解析:因为-<-,所以a=()>b=().因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,所以b=()>c=(),所以a>b>c.故选B.6.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),则f(4)的值等于.解析:由f(x)=xα的图象经过点(2,),得=2α,所以α=-,则f(4)==2-1=.答案:7.函数y=xα+2(x>0)的图象恒过定点.解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3).答案:(1,3)8.若幂函数f(x)的图象过点(4,),则f(x)的值域为.解析:由题意设f(x)=x m,由点(4,)在函数图象上得4m=,解得m=-2.所以f(x)=x-2=,故其值域为(0,+∞).答案:(0,+∞)9.已知(m2+m≤(3-m,求实数m的取值范围.解:设函数y=,函数为R上的单调递增函数,得m2+m≤-m+3,即m2+2m-3≤0,得(m-1)(m+3)≤0,所以m的取值范围为m∈[-3,1].10.下列结论中,正确的是( C )(A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)(B)幂函数的图象可以出现在第四象限(C)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数(D)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα(α∈R), y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B 不正确;当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确.故选C.11.幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上为减函数,则m的取值是( B )(A)m=2 (B)m=-1(C)m=2或m=-1 (D)-3≤m≤1解析:因为函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1.又x∈(0,+∞)时f(x)为减函数,当m=2时,m2+2m-3=5,幂函数为f(x)=x5,不满足题意;当m=-1时,m2+2m-3=-4,幂函数为f(x)=x-4,满足题意.综上,m=-1.故选B.12.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n 的值为 .解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.答案:113.已知,幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(2)的值为 .解析:因为幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则指数是偶数且大于0,因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4,因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m非整数,所以m=-1,即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.答案:1614.若不等式x2-log m x<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围.解:由x2-log m x<0,得x2<log m x,要使x2<log m x在(0,)内恒成立,只需y=log m x在(0,)内的图象在y=x2的上方,于是0<m<1.在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的草图,如图所示.因为x=时,y=x2=,所以只要x=时,y=log m≥=log m.所以≤,即≤m.又0<m<1,所以≤m<1,即实数m的取值范围是[,1).15.已知函数f(x)=+1.(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明;(2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.证明如下:设x1,x2是区间(0,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(+1)-(+1)=,因为x2>x1>0,所以x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),精品学习资料所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,所以当x=1时,取最大值,最大值为f(1)=2,当x=3时,取最小值,最小值为f(3)=.。
「精品」高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数优化练习新人教A版必修1
2.3 幂函数[课时作业][A组基础巩固]1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－1解析：由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．答案：B2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝x－2 B.y＝x－1C．y＝x2D．y＝x 1 3解析：∵y＝x－1和y＝x 13都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．答案：A3．如图，函数y＝x 23的图象是( )解析：y＝x 23＝3x2≥0，故只有D中的图象适合．答案：D4．已知幂函数273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是偶函数，则实数t的值为( )A．0 B.－1或1 C．1 D．0或1解析：∵273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是幂函数，∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.当t＝0时，f(x)＝x 75是奇函数，不满足题设；当t＝1时，f(x)＝x 85是偶函数，满足题设．答案：C5．a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( ) A ．a a<a bB. b a <b bC ．a a<b aD ．b b<a b解析：因为0<a <b <1，而函数y ＝x a单调递增，所以a a<b a. 答案：C6．若函数则f {f [f (0)]}＝________.解析：∵f (0)＝－2， ∴f (－2)＝(－2＋3)12＝1， ∴f (1)＝1，∴f {f [f (0)]}＝f [f (－2)]＝f (1)＝1. 答案：1 7．下列命题中，①幂函数的图象不可能在第四象限；②当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ③当α>0时，幂函数y ＝x α是增函数；④当α＜0时，幂函数y ＝x α在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的序号为________．解析：当α＝0时，是直线y ＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误．当α>0时，幂函数y ＝x α仅在第一象限是递增的，如y ＝x 2，故③错误． 答案：①④8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，则n ＝________.解析：∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数．又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或29．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )、g (x )的图象上，问当x 为何值时，有①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 解析：设f (x )＝x α，g (x )＝x β，则(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． 10．已知幂函数y ＝x223m m －－ (m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)3m<(3a －2)3的a 的取值范围．解析： ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m 2－2m －3<0， 解得－1<m <3.∵m ∈N ＋，∴m ＝1,2.又∵函数图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.∴原不等式等价于(a ＋1)3<(3a －2)3. 又∵y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴a ＋1<3a －2，∴2a >3，a >32，故a 的取值范围是a >32.[B 组 能力提升]1．设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设0<a <1，则f (a )与f (a －1)的大小关系是( )A ．f (a －1)<f (a ) B.f (a －1)＝f (a ) C ．f (a －1)>f (a )D ．不能确定解析：因为幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设f (x )＝x α，因为图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13α＝3，解得α＝－12，所以f (x )＝x 12-在第一象限单调递减．因为0<a <1，所以a －1>a ，所以f (a －1)<f (a )． 答案：A2．若(a ＋1)12-<(3－2a )12-，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：令f (x )＝x12-＝1x，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32.答案：B3．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m，则实数m 的取值范围是________． 解析：∵0<0.71.3<0. 70＝1,1.30.7>1.30＝1， ∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m<(1.30.7)m，∴幂函数y ＝x m在 (0，＋∞)上单调递增，故m >0. 答案：(0，＋∞)4．把⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512，⎝ ⎛⎭⎪⎫760按从小到大的顺序排列________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫760＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-＞⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜1. ∵y ＝x 12为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-5．已知幂函数f (x )＝x21()m m －＋ (m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数f (x )经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N ＋)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数， ∴函数f (x )＝x21()m m －＋ (m ∈N ＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2， 又∵m ∈N ＋，∴m ＝1，f (x )＝x 12. 又∵f (2－a )>f (a －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a ＜32.6．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x 21m m ＋－，求m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 解析：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1± 2.。
高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ23 幂函数校本作业 A必修1 试题
2．3幂函数一． 选择题1. 4213332,3,25a b c ===，那么〔 〕A ．b a c << B. a b c << C.b c a << D.c a b << 2. 设1{1,1,,3}2α∈-，那么使幂函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值是〔 〕A. 1,3B. -1,1C.-1,3D.-1,1,33. 幂函数()a x x f =的图像经过点()2,2，函数g 〔x 〕=log ()a x k +，假设0<x 时()0≥x g 无解，那么k 的范围是〔 〕A. 2≥kB.1-≤kC.11≤≤-kD.1≤k4．函数：22(),()2,()log x f x x g x h x x ===，当(4,)a ∈+∞时，以下选项正确的选项是( )A.()()()f a g a h a >>B.()()()g a f a h a >>C.()()()g a h a f a >>D.()()()f a h a g a >>二．填空题：5. 幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)21m m x +-的图像与坐标轴没有交点，那么m ＝__________________．6. 函数()()()⎩⎨⎧<≥+=01012x x x x f ，那么满足不等式()()x f x f 212>-的x 的范围是_____.7. 假设关于x 的一元二次方程030112=++-a x x 的两根均大于5，务实数a 的取值范围三．解答题：8．函数f 〔x 〕＝(a 2－3a ＋2)x a 2－5a ＋5(a 为常数)，问a 为何值时，f 〔x 〕〔1〕是幂函数；〔2〕是正比例函数；〔3〕是反比例函数。
9. 幂函数f 〔x 〕=2322()k k x k Z +-∈，假设函数f 〔x 〕为偶函数，且在〔0，+∞〕上是增函数，求f 〔x 〕的解析式。