高等数学讲义课件 第2节 数项级数的收敛法
高等数学：第二讲 数项级数的性质
目录
01 数项级数的性质
02
例题
1. 数项级数的性质
性质 1(1) 若级数 un 收敛， 其和为S ，则对 任意常数k ，
n1
级数 kun 也收敛， 其数项级数的性质
性质 1(2) 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与T ，
n1
n1
n1
性质 2 在级数中去掉或加上有限多项，不改变 级数的敛散性。
1. 数项级数的性质
性质 3 若级数 un 收敛，则不改变它的各项次序任意
n1
添加括号后构成的新级数 vm 仍然收敛且其和不变。 m 1
性质4 （级数收敛的必要条件）
若 un收敛， 则lim un 0
n1
n
（即
lim
n
un
0
un 发散）
n1
2. 例题
例1
讨论级数
3 2n 2 3n
n1
6n
的敛散性，若收敛求其和：
解
un
3
2n 2 3n 6n
3(1)n 2(1)n
3
2
因为级数
3(1)n n1 3
收敛,
其和为
1 1 1
3 2
级数 2 (1)n
n1
2
收敛, 其和为
1 1 1
3 2
2 所以由性质1（2）得原级数收敛，其和为
n1
n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为 S T 。
n1
两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
推论1：若级数 un 收敛，而级数 vn发散，
n1
n1
则级数 un vn 必发散。
n1
数项级数2——正项级数的收敛性
数项级数2 正项级数的收敛性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。
例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
例3 讨论级数∑∞=−1253n n n n的收敛性。
例4 讨论级数∑∞=11sinn n的收敛性。
例5 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛−11cos 1n n 的收敛性。
例6 讨论级数n n n πtan 23∑∞=的收敛性。
例7 讨论级数()∑∞=++3312n n n n 的收敛性。
例8 讨论级数()∑∞=>+1011n na a 的收敛性。
例9 讨论级数∑∞=−12121n n的收敛性。
例10 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n 的收敛性。
例11 讨论级数∑∞=12sinn nπ的收敛性。
例12 讨论级数∑∞=122sinn nn π的收敛性。
例13 讨论级数()11!2nn n ∞=+∑的收敛性。
例14 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例15 讨论级数∑∞=1!10n nn 的收敛性。
例16 讨论级数∑∞=−1212n nn 的收敛性。
例17 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例18 讨论级数∑∞=12tann nn π的收敛性。
例19 讨论级数()[]∑∞=+11ln 1n n n 的收敛性。
例20 讨论级数123nn n n ∞=⎛⎫⎪−⎝⎭∑的收敛性。
二、上面例题的详细解答。
情况1 利用比较讨论法及其极限形式讨论正项级数的收敛性 例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
解：∑∞=−12141n n 和11n n∞=∑都是正项级数，1limlim 2n n n→+∞→+∞==，调和级数11n n∞=∑发散，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−12141n n 发散。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
解： ∑∞=−123n n n 和211n n ∞=∑都是正项级数，22lim lim 3n n n →+∞==， P −级数211n n∞=∑收敛，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−123n n n 收敛。
高等数学课件D112数项级数及审敛法
l,
(1) 当0l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0且 vn收敛时, un 也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时, un也发散 .
特别取
vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
p1, 0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
2020/6/3
高等数学课件
(n1,2,)有界 .
证: “ ” 若 u n 收敛 , 则 Sn收,敛 故有界.
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
2020/6/3
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定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
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例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
由比较审敛法可知
p
级数
n
1
n
p
发散 .
2020/6/3
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2) 若 p1,因为当n 1 x n 时,
第12章(2)2数项级数的绝对收敛与条件收敛
n 0
n 0
unvn 之间的关系，注意到由( un vn )2 0 可推得
un 2 vn 2 2 unvn unvn
n 0
从而可推得结论．
证明
2 2 vn 2 | unvn |， 由 ( un vn )2 0 得 un
因级数 un 2 和 vn 2 收敛，必有级数 ( un 2 vn 2 ) 收敛，
有关级数的敛散性判定准则： 拿到一个级数，先看通项的极限是否为0 ； 再看是什么类型的级数（正项，交错，任意项）： 1、正项级数的收敛就是绝对收敛； 2、交错级数可能发散，可能条件收敛也可能是绝对收敛； 3、对于任意项级数，先将通项取绝对值再分析对应 的级数的敛散性， 取绝对值后的级数收敛即为绝对收敛； 取绝对值后的级数发散，但还要看原级数可能收敛 （比如是交错级数可看其是否满足莱布尼兹判别法）。 如果是用正项级数的比值审敛法分析的发散就一定发散； 4、条件收敛与绝对收敛都是收敛。
2n n ! 练习：1、 证明：lim n 0 n n
2、判别级数的敛散性
an (1) (a 0)敛散性 2n n 1 1 a
2n n ! lim n 0 练习： 1、证明： n n 2n n ! 证明：设 un n , n un1 2n1 (n 1)! 2n n! lim lim / n lim n 1 n u n (n 1) n n n
再由比较收敛法知原级数也是收敛的。
定理5. *根值审敛法 ( Cauchy判别 法)
设
为正项级 数, 且 lim n un , 则
n
1 例如, 设级数 n , n1 n
1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n
数项级数收敛性判别法
2021/4/21
(3) p 0 时，级数发散．
28
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 其和为
（1）
n1
n3 2n3 n
；
（2）
1；
n n1
1 1 n
（3）
n1
1 n
ln
1
1 n
；
n3
（4） n2en ． n1
解：（1）因为
lim
2n3
n
n3 lim
3n2
1，
n 1
n 2n3 n 2
n2
而
1 收敛，所以级数
n 3 收敛．
n2
n 1
1 n1 2n3 n
（2）因为
2021/4/21
n
n
un
lim n
2
ln n
2 1，因此所给级数发散．
3n
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20
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二、交错级数及其审敛法
(Interrogate of staggered series)
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
.
收敛
2021/4/21
23
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三、绝对收敛与条件收敛
(Absolute convergence and conditional convergence)
数学分析课件9.2级数的收敛性及基本性质级数的收敛性及基本性质392.00KB
设 u n 的部分和数列为 sn ，加括号后的级数
n 1
A2 u1 u 2 ui ui 1 ui 2 ui Si , 1 1 1 2 2
An u1 u 2 ui ui 1 ui 2 ui 1 1 1 2
【数学分析课件】
性质１ 若级数 u n 收敛，a 为任一常数，则 aun n 1 n 1 亦收敛，并且有 au a u
n 1
n
n 1
n
证明
设级数 u 的部分和为 s n ，由假设 lim sn s
n 1 n
n
为一有极限数．又设级数 au的部分和为 s n ，显然 有 sn ' asn ，再按数列极限性质知道
n 1
则称级数 u n收敛，记为
n
n
k 1
u
n 1
n
n
s,
并称此值 s 为级数的和数．若部分和数列 sn 发散，则称 级数 u 发散．当级数收敛时，又称
n 1
rn s sn
为级数的余和．
k n 1
u
k
un 1 un 2 un 3
uin 1 1 uin 1 2 uin Sin ,
【数学分析课件】
可见，An 实际上是sn 的一个子数列，故由sn 的收敛性 立即推得 An 也是收敛，且其极限值相同．
要注意的是：加括号后的级数为收敛时，不能断言原 来未加括号的级数也收敛，例如级数 1 1 1 1 加括号后成为
高教社2024高等数学第五版教学课件-8.2 正项级数的收敛性
=1+
2
1
+1
→∞ 2
=
3
+
1⋅2
4
+
1⋅2⋅3
=0<1
+
⋯+
+⋯
(−1)!
收敛。
!
例8 判别级数σ∞
= 的敛散性。
解 因为 =
!
，+1
+1
→∞
=
=
(+1)!
，而
+1
(+1)!
[ +1 ⋅ ]
!
→∞
)
−1
2
1
收敛。
总之，p－级数σ∞
=1
1
1
，当
> 1时收敛，当0 < ≤ 1时发散。
例4
解
1
判别级数
3⋅6
1
+
4⋅7
1
+⋯+
(+2)(+5)
因为级数的一般项 =
1
∞
而级数σ=1 2 是p
1
3⋅6
定理2可得级数
+ ⋯的收敛性．
1
，满足0
(+2)(+5)
<
1
(+2)(+5)
!
由定理4可知级数σ∞
= 发散。
+1
→∞
=
=∞
例9
∞
判别级数σ= 的敛散性。
解 因为 =
5
，+1
数项级数收敛
数项级数收敛
以下是一篇关于数项级数收敛的简要介绍：
数项级数是由一系列数列的和组成的级数。
数项级数的收敛性是判断级数和是否收敛到一个有限的值。
数项级数的收敛性可以通过不同的方法来判断。
其中一种方法是比较判别法，该方法通过比较给定级数和一个已知的收敛级数或发散级数来判断。
比较判别法主要有以下几种形式：
（1）比较法：如果给定级数的绝对值小于一个已知收敛级数的绝对值，则该级数也收敛。
（2）极限比值判别法：计算级数中相邻两项的绝对值的比值的极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则判定不确定。
（3）极限根判定法：计算级数中每一项的绝对值的根的极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则判定不确定。
除了比较判别法之外，还有其他方法来判断数项级数的收敛性，如积分判别法、级数求和法等。
这些方法使用不同的数学工具和技巧来解决不同类型的级数问题。
数项级数的收敛性在实际应用中有重要的作用。
它在数学、物理、工程等领域的计算和建模中经常被使用。
了解数项级数的收敛性判定方法可以帮助我们更好地理解级数的性质，进行数学计算和推导的过程。
数项级数的收敛性判定是数学中的重要内容之一，有多种方法可以用来判断。
通过熟练掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用级数的性质。
第二节数项级数的审敛法
定理2(比较审敛法) 设 un 和 vn 都是正项级数,
n 1
n 1
且 un vn (n 1,2,). 若 vn 收敛,则 un 收敛;
n 1
n 1
若 un 发散则 vn 发散.
n 1
n 1
证:
设 vn 收敛于σ,
n 1
则 un 部分和 n 1
Sn u1 u2 un v1 v2 vn
5 nn
n!2n nn
记
un
lim un1 2 1,由正项级数的比值判别法知
n un
e
un 收敛,
n1
再由正项级数的比较判别法知原级数绝对收敛.
证
设
vn
1 2
(un
| un
|)
则 vn 0,
vn | un |
由 | un | 收敛知 vn 收敛
n 1
n 1
而 un 2vn | un |
则 un 收敛
n 1
注意:(1) 逆命题不成立
(2)
如果用比值或根值审敛法判定 则 un 发散 (证明略)
|
n 1
un
| 发散
n 1
例 sin n 绝对收敛 n1 n 2
sin n 1
n2 n2
1
n1 n 2
sin n
收敛
n 1
n2
收敛
例 (1)n ln n
n1
n
条件收敛
对 (1)n ln n ln n
n 1
n
n1 n
发散
ln n 1 (n 3,4,...) nn
对
(1)n ln n
n1
n
而 收敛
1 发散
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lim an1 1,
n an
或
lim
n
n
an
1.
例如
1 (1)n
n1 n2
收敛,
但
lim an1 n an
不存在.
例5 判断下列级数的敛散性:
(1)
1;
n1 (n 1)!
(2)
n1
x2n n2
;
(3)
n1
n!
x n
n
( x 0);
(4)
n[
n1
3 (1)n ]
( sin ).
n1
n
n1 n
n
ln n
1
例4 证明: n2 n2 收敛, n2n1 2 ln n 发散.
3.比值收敛法和根值收敛法
比值收敛极限法 (达朗贝尔收敛法)
设正项级数 an ,
n1
则 (1) 当 1 时,
若
lim an1 ,
n an
级数收敛;
(2) 当 1 或 时, 级数发散;
4n
;
(5)
n1
n 3n
1
2n1
;
(6)
n1
1 3n
(1
1 )n2 n
.
例6 用适当方法判断下列级数的敛散性:
(1) arctan n;
n1
(2)
n1
n 3n
sin
5n
;
(3) ( n5 1 n5 ); n1
(4)
n1
n4
1 1
; x 4 dx
0
1
(5)
3n ( 1)n
n1
n1
(2) 当 an 发散时， bn也发散。(小的发散大的也发散)
n1
n1
例2 判断下列级数的敛散性:
(1)
1;
n1 4n3 3
2 (1)n
(2)
n1
n2
;
(3) ( n 1 n).
n1
比较法极限形式
定理 设正项级数 an , bn ,
n1 n1
若 lim an l, n bn
n1
n1
例4 设 an2 ,
n1
bn2 都收敛， 则 anbn
n1
n1
是否收敛？为什么？
(3) 当 1 时, 级数可能收敛, 可能发散.
根值收敛法
设正项级数 an ,
n1
若
lim n
n
an
,
则 (1) 当 1 时, 级数收敛;
(2) 当 1 或 时, 级数发散;
(3) 当 1 时, 级数可能收敛, 可能发散.
注意 比值法和根值法是判断级数收敛的充分条件,
而非必要条件, 即若正项级数 an 收敛, 不一定有
dx xp
3dx 2 xp
n dx n1 x p
1
n dx 1 xp
1
1
1 (1 p1
1 n p1 )
1 .
Sn 有上界,
p1 故当 p 1,
n1
1 np
收敛.
2.比较收敛法
定理：
设正项级数 an , bn 满足 an M bn , (M 0)
n1
n1
(1) 当 bn收敛时, an 也收敛；(大的收敛小的也收敛)
若交错级数 (1)n1 un 满足:
n1
(1) un 0(n ); (2) un un1(n 1,2,)
则级数收敛, 且和 S u1, 余项 rn un1.
例1 判断下列级数的敛散性:
(1) (1)n1 1
n1nຫໍສະໝຸດ (2) (1)n1( n 1 n)
n1
(3)
n2
(1)n n (1)n
n1
例7 证明题
(1) 设正项级数 an
n1
收敛,
证明:
a
3 n
2,
n1
n1
an n
收敛.
(2)
设数列 nan 收敛,
证明:
a
2 n
收敛.
n1
二、一般项级数收敛法
1. 交错级数
称 (1)n1 un 或 (1)n un (un 0)
n1
n1
为交错级数.
交错级数敛散性判定定理 (莱布尼兹定理)
2. 绝对收敛与条件收敛
设 an 为一般项级数, 若 an 收敛,
n1
n1
则称 an 为绝对收敛, 若 an 发散, 而
n1
n1
an 收敛, 则称 an 为条件收敛.
n1
n1
定理 若 an 收敛, 则 an 收敛.
n1
n1
例2 判断下列级数的敛散性,若收敛是绝对收敛
还是条件收敛?
(1)n1
(1) n2 n2 n
(2)
(1)n1 n1 n2n
(3)
an
n1 n
(a R)
注： 若用比值法（或根值法）判定 an 发散，
n1
则 an 必发散。
n1
绝对收敛级数的性质：
交换性： 绝对收敛级数可任意改变项的位置
而不改变其收敛性，且和不变。
例3 设 (1)n an 2n 收敛， 证明： an 收敛。
则 (1) 当 0 l 时, an 与 bn 同敛散;
n1
n1
(2)
当 l 0 时,
bn 收敛,
an 也收敛;
n1
n1
(3)
当 l 时, bn 发散,
an 也发散.
n1
n1
例3 判断下列级数的敛散性:
(1)
sin
n1
1; n
(2)
n1 4n
1
; 2n
(3)
ln(1 1); (4)
第二节 数项级数收敛法
一、正项级数
an 0, an ——正项级数
n1
1.基本定理：正项级数 an 收敛
n1
部分和数列Sn有上界。
例1
讨论p—级数
n1
1 np
(
p
0)
的敛散性。
解
0
p
1,
1 np
1
n
,
由
n1
1 n
发散到
知
1
n1 n p
发散.
p
1,
Sn
1
1 2p
1 np
1
2 1