高等数学讲义课件 第2节 数项级数的收敛法

(1)n1
(1) n2 n2 n
(2)
(1)n1 n1 n2n
(3)
an
n1 n
(a R)
注： 若用比值法（或根值法）判定 an 发散，
n1
则 an 必发散。
n1
绝对收敛级数的性质：
交换性： 绝对收敛级数可任意改变项的位置
而不改变其收敛性，且和不变。
例3 设 (1)n an 2n 收敛， 证明： an 收敛。
dx xp
3dx 2 xp
n dx n1 x p
1
n dx 1 xp
1
1
1 (1 p1
1 n p1 )
1 .
Sn 有上界,
p1 故当 p 1,
n1
1 np
收敛.
2.比较收敛法
定理：
设正项级数 an , bn 满足 an M bn , (M 0)
n1
n1
(1) 当 bn收敛时, an 也收敛；(大的收敛小的也收敛)
第二节 数项级数收敛法
一、正项级数
an 0, an ——正项级数
n1
1.基本定理：正项级数 an 收敛
n1
部分和数列Sn有上界。
例1
讨论p—级数
n1
1 np
(
p
0)
的敛散性。
解
0
p
1,
1 np
1
n
,
由
n1
1 n
发散到
知
1
n1 n p
发散.
p
1,
Sn
1
1 2p
1 np
1
2 1
( sin ).
n1
n
n1 n
n
ln n
1
例4 证明: n2 n2 收敛, n2n1 2 ln n 发散.
3.比值收敛法和根值收敛法
比值收敛极限法 (达朗贝尔收敛法)
设正项级数 an ,
n1
则 (1) 当 1 时,
若
lim an1 ,
n an
级数收敛;
(2) 当 1 或 时, 级数发散;
n1
n1
(2) 当 an 发散时， bn也发散。(小的发散大的也发散)
n1
n1
例2 判断下列级数的敛散性:
(1)
1;
n1 4n3 3
2 (1)n
(2)
n1
n2
;
(3) ( n 1 n).
n1
比较法极限形式
定理 设正项级数 an , bn ,
n1 n1
若 lim an l, n bn
n1
例7 证明题
(1) 设正项级数 an
n1
收敛,
证明:
a
3 n
2,
n1
n1
源自文库
an n
收敛.
(2)
设数列 nan 收敛,
证明:
a
2 n
收敛.
n1
二、一般项级数收敛法
1. 交错级数
称 (1)n1 un 或 (1)n un (un 0)
n1
n1
为交错级数.
交错级数敛散性判定定理 (莱布尼兹定理)
(3) 当 1 时, 级数可能收敛, 可能发散.
根值收敛法
设正项级数 an ,
n1
若
lim n
n
an
,
则 (1) 当 1 时, 级数收敛;
(2) 当 1 或 时, 级数发散;
(3) 当 1 时, 级数可能收敛, 可能发散.
注意 比值法和根值法是判断级数收敛的充分条件,
而非必要条件, 即若正项级数 an 收敛, 不一定有
若交错级数 (1)n1 un 满足:
n1
(1) un 0(n ); (2) un un1(n 1,2,)
则级数收敛, 且和 S u1, 余项 rn un1.
例1 判断下列级数的敛散性:
(1) (1)n1 1
n1
n
(2) (1)n1( n 1 n)
n1
(3)
n2
(1)n n (1)n
n1
lim an1 1,
n an
或
lim
n
n
an
1.
例如
1 (1)n
n1 n2
收敛,
但
lim an1 n an
不存在.
例5 判断下列级数的敛散性:
(1)
1;
n1 (n 1)!
(2)
n1
x2n n2
;
(3)
n1
n!
x n
n
( x 0);
(4)
n[
n1
3 (1)n ]
2. 绝对收敛与条件收敛
设 an 为一般项级数, 若 an 收敛,
n1
n1
则称 an 为绝对收敛, 若 an 发散, 而
n1
n1
an 收敛, 则称 an 为条件收敛.
n1
n1
定理 若 an 收敛, 则 an 收敛.
n1
n1
例2 判断下列级数的敛散性,若收敛是绝对收敛
还是条件收敛?
4n
;
(5)
n1
n 3n
1
2n1
;
(6)
n1
1 3n
(1
1 )n2 n
.
例6 用适当方法判断下列级数的敛散性:
(1) arctan n;
n1
(2)
n1
n 3n
sin
5n
;
(3) ( n5 1 n5 ); n1
(4)
n1
n4
1 1
; x 4 dx
0
1
(5)
3n ( 1)n
则 (1) 当 0 l 时, an 与 bn 同敛散;
n1
n1
(2)
当 l 0 时,
bn 收敛,
an 也收敛;
n1
n1
(3)
当 l 时, bn 发散,
an 也发散.
n1
n1
例3 判断下列级数的敛散性:
(1)
sin
n1
1; n
(2)
n1 4n
1
; 2n
(3)
ln(1 1); (4)
n1
n1
例4 设 an2 ,
n1
bn2 都收敛， 则 anbn
n1
n1
是否收敛？为什么？