高一数学基本初等函数教案

核心内容：

知识点一：指数与对数的运算

1、n 次方根*∈>N n n ,1有如下恒等式：

()a a n n

=；

⎩

⎨

⎧=为偶数为奇数

n a n a a n

n ,, 2、规定正数的分数指数幂：n

m

n

m a a =;n

m

n

m

n

m

a

a

a 1

1=

=

-()

1,,,0>∈>*

n N

n m a 且

例1、求下列各式的值：

（1）()()*∈>-N n n n n

且,13π； （2）

()2y x -

例2、化简：（1）)3()6)(2(6

56

13

12

12

13

2b a b a b a -÷-； （2）)0,0()(3

421

4132

23>>⋅b a a

b

b a ab b a ； 3、对数与指数间的互化关系：当10≠>a a ，且时，N a b N b b =⇔=log 4、负数与零没有对数；1log ,01log ==a a a 5、对数的运算法则：

（1）()N M N M a a a log log log +=⋅， （2）N M N

M

a a a log log log -=， （3）M n M a n a log log =， （4）M m

n

M a n a m log log =

（5）a

N N b b a log log log =

， （6）a b b a log 1

log =

其中1,0≠>a a 且，0>M ，0>N ,R n ∈.，

例3、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）128

1

27=

-； （2）273=a ； （3）1.0101=-； （4）532log 2

1-=； （5）3001.0lg -=； （6）606.4100ln =.

例4、计算下列各式的值：（1）001.0lg ； （2）8log 4 ； （3）e ln . 例5、已知 ()[]0log log log 234=x ，那么2

1-x 等于

例6、求下列各式的值：（1）8log

2

2； （2）3log 9.

例7、求下列各式中x 的取值范围：（1）()3log 1+-x x ； （2）()23log 21+-x x . 例8、若1052==b a ，则=+b

a 1

1 ；方程()13lg lg =++x x 的解=x ________ 例9、（1）化简：

7

log 1

7log 17log 1235++； （2）设4log 2006log 5log 4log 3log 20062005432=••⋅⋅⋅•••m ，求实数m 的值. 例10、（1）已知518,9log 18==b a ，试用b a ,表示45log 18的值； （2）已知b a ==5log ,7log 1414，用b a ,表示28log 35 知识点二：指数函数、对数函数与幂函数的性质与图象

1、指数性质：定义域为R ，值域为()+∞,0；当0=x 时，1=y ，即图象过定点(0,1)；当 0a 时，在R 上是增函数. 例1、求下列函数的定义域： （1）x

y -=312

； （2） x

y -=5)

3

1

(； （3）100

10100

10-+=x x y

例2、求下列函数的值域：

（1）132

)3

1

(-=x y ； （2）124++=x x y

例3、函数()b x a x f -=的图象如图，其 中b a ,为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><=-a a a x f x 且.

（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性 变形：函数()1,01≠>+=a a a y x 且的图象必经过点 例5、按从小到大的顺序排列下列各数：23 ，23.0 ，2

2

，22.0 .

例6、已知()1

21

2+-=x x x f . （1）讨论()x f 的奇偶性；（2）讨论()x f 的单调性.

例7、求下列函数的单调区间：（1）3

22

-+=x x

a y ； （2）1

2.01

-=

x y .

注：复合函数()()x f y ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”， 即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：i 、求定义域；ii 、拆分函数；iii 、分别求()()x u u f y ϕ==,的单调性；iv 、按“同增异减”得出复合函数的单调性.

2. 对数函数的性质：定义域为（0，+∞），值域为R ；当x = 1时，y =0 ，即图象过定点(1,0)；当0 1 时，在（0，+∞）上递增.

例1、比较大小：（1）9.0log ,7.0log ,8.0log 8.09.09.0； （2）3

1

log ,3log ,2log 423

例2、求下列函数的定义域：（1）)53(log 2-=x y ； （2）()34log 5.0-=x y 例3、已知函数()()3log +=x x f a 的区间[-2,-1]上总有|)(x f |< 2，求实数a 的取值范围. 例4、求不等式()()()1,014log 72log ≠>->+a a x x a a 且中x 的取值范围. 例5、讨论函数()x y 23log 3.0-=的单调性.

例6、图中的曲线是 x y a log =的图象，已知a 的值为2，34，103，5

1

，则相应曲线4321,,,C C C C 的

a 依次为（ ）.

A.2，

34，51,103 B.2，34，103，51

B.C.51,103,34,2 D.34,2,103, 5

1

例7、已知函数)1(log )(2-=x x f a )1(>a ，

)1(求)(x f 的定义域； )2(判断函数的奇偶性和单调性。

3、（1）幂函数的基本形式是αx y =，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握

12

1

3

2

,,,,-=====x y x y x y x y x y 这五个常用幂函数的图象.

（2）观察出幂函数的共性，总结如下：I 、当α> 0 时，图象过定点(0,0),(1,1)；在()+∞,0 上是增函数.II 、当α<0 时，图象过定点(1,1)；在()+∞,0上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.