第2章核心素养评估考试试卷-20春浙教版九年级数学下册同步测试

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浙教版九年级下册数学全册综合检测试卷(二)含答案

浙教版九年级下册数学全册综合检测试卷（二）含答案九年级下册数学全册综合检测二姓名：__________ 班级：__________一、选择题（共12小题；每小题3分,共36分）1.若α为锐角，sinα=，则（）A. 0°＜α＜30°B. 30°＜α＜45°C. 45°＜α＜60°D. 60°＜α＜90°2.如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB=60°，线段PA=10，那么弦AB的长是（）A. 10B. 12C. 5D. 103.在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，则△ABC一定是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形4.如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（）A. 6sin50°B. 6cos50°C.D.5.如图，⊙O内切于△ABC，切点D，E，F分别在BC，AB，AC上．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A. 40°B. 55°C. 65°D. 70°6. 下列所给的几何体中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.7. 如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形体的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是（）A. B. C. D.8.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5，⊙O1上一点A与⊙O2的圆心O2的距离等于6，那么下列关于⊙O1和⊙O2的位置关系的结论一定错误的是（）A. 两圆内含；B. 两圆内切；C. 两圆相交；D. 两圆外离.9.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（)A. 6B. 16C. 18D. 2410.一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其他都相同，从袋子中随机地摸出2个球，这2个球都是白球的概率为（）A. B. C. D.11.如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A的值为（）A. B. C. D.12.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P=60°，那么∠AOB等于（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°二、填空题（共9题；共27分）13.如图，某长方体的表面展开图的面积为430，其中BC=5，EF=10，则AB=________ ．14.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=________．15.利用计算器求sin20°tan35°的值时，按键顺序是________16.学习概率有关知识时，全班同学一起做摸球实验．布袋里装有红球和白球共5个，它们除了颜色不同其他都一样．每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，一共摸了100次，其中63次摸出红球，由此可以估计布袋中红球的个数是________17.某农科院在相同条件下做了某种玉米种子发芽率的试验，结果如下：则该玉米种子发芽的概率估计值为________ （结果精确到0.1）．18.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC、PD，则△PCD的周长的最小值是________19.如图，在一个正方形围栏中均匀散布着许多米粒，正方形内画有一个圆．一只小鸡在围栏内啄食，则“小鸡正在圆圈内”啄食的概率为________．20.如图，下面两个正方体的六个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，那么黄色的对面是________ ．21.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4 ，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值为________．三、解答题（共4题；共37分）22.如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．23. 如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯．（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；（2）若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574）24.如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．（1）请写出两个不同类型的正确结论；（2）若CD=12，tan∠CPO=，求PO的长．25.某市今年中考理、化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容．规定：每位考生必须在三个物理实验（用纸签A、B、C表示）和三个化学实验（用纸签D、E、F表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到纸签的情况下，分别从中各随机抽取一个．（1）用“列表法”或“树状图法”表示所有可能出现的结果；（2）小刚抽到物理实验B和化学实验F（记作事件M）的概率是多少？参考答案一、选择题C AD D B B A B B B B C二、填空题13.11 14.1 15.sin20DMS×tan35DMS16.3 17.0.9 18.6 19.20.绿色21.三、解答题22.解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA=CE，同理DE=DB，PA=PB，∴三角形PDE的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12，即PA的长为6；（2）∵∠P=60°，∴∠PCE+∠PDE=120°，∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE=∠OCA=∠ACD；同理：∠ODE=∠CDB，∴∠OCE+∠ODE=（∠ACD+∠CDB）=120°，∴∠COD=180﹣120°=60°．23. 解：（1）如图线段AC是小敏的影子；（2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ，在Rt△PDQ中，∠PQD=55°，DQ=EQ﹣ED=4.5﹣1.5=3（米），∵tan55°=，∴PD=3tan55°≈4.3（米），∵DF=QB=1.6米，∴PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9（米）答：照明灯到地面的距离为5.9米．24.解：（1）不同类型的正确结论有：①PC=PD，②∠CPO=∠DP，③ACD⊥BA，④∠CEP=90°，⑤PC2=PA•PB；（2）连接OC∵PC、PD分别切⊙O于点C、D∴PC=PD，∠CPO=∠DPA∴CD⊥AB∵CD=12∴DE=CE=CD=6．∵tan∠CPO=，∴在Rt△EPC中，PE=12∴由勾股定理得CP=6∵PC切⊙O于点C∴∠OCP=90°在Rt △OPC 中， ∵tan ∠CPO=， ∴ ∴OC=3，∴OP==15．25. （1）解：方法一：列表格如下：方法二：画树状图如下：所有可能出现的结果AD ，AE ，AF ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF（2）解：从表格或树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，其中事件M 出现了一次，所以P （M ）=。

浙江省杭州九年级下学期二模数学试题

第二学期九年级第二次阶段学业评价数学一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案． 1．5-的绝对值等于（）． A ．5B ．5-C ．15D ．15-2．如图，1∠和2∠的对顶角的图形是（）．21乙21丙21丁A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．一几何体的三视图如图所示，该几何体的形状是（）．主视图俯视图侧视图A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．半球4．化简211x xx x+--的结果是（）． A ．1x + B ．1x -C ．x -D ．x5．不等式213x ->的解集是（）．A ．1x >B ．2x >-C ．2x >D ．2x <6．教育部门为了解某校学生一周中参加社团活动的情况，抽查了100名学生，统计他们在一周中参加社团活动的时间，绘成频数分布直方图（如图），则参加社团活动时间的中位数所在的范围是（）．A ．24-小时B ．46-小时C ．68-小时D ．810-小时7．计算33(23)(23)x a x a ---的结果是（）．A ．649x a 2--B ．649x a 2-+C ．634129x ax a 2--+D ．634129x ax a 2-+-8．如图，直线12y x =和3y x =-+所夹的锐角为α，则sin α的值为（）．ABC ．34D ．459．在锐角ABC △中，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边，其中3a =，4b =，那么c 的取值范围是（）． A ．17c << B ．15c <<C5c <D7c <<10．老师布置课外学习作业：探究函数22y x x=+的性质，小明根据研究函数的方法：列表、描点、连线画出图像，观察图像后，他得到如下性质：①x 取值范围是不等于0的一切实数，y 的取值范围是4y ≥；②当1x >时，函数22y x x=+随x 的增大而增大；③函数图像的对称轴为直线1x =；④函数图像关于原点对称．其中正确的是（）．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案． 11．16的平方根是__________． 12．已知3212a b a -=，那么ab=__________．13．数据：3，1，x ，1-，3-的平均数是0，则这组数据的方差是__________．14．已知二次函数2()1y x h h =-+（h 为常数），在自变量x 的取值满足13x ≤≤的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为__________．15．方程：24x =，24y +=，且x y ≠，则x yy x+的值是__________．16．如图，矩形ABCD ，1AB =，2BC =，对角线交于O 点，过O 点作1OP BC ⊥，连接1DP 交AC 于点Q ；过1Q 点作12Q P BC ⊥，连接2DP 交AC 于点2Q ；过2Q 点作23Q P BC ⊥，连接3DP 交AC 于点3Q ；；记11BOP S S =△，1122PQ P S S =△（1）计算3S =__________．（2）n S =__________．（用含n 的代数式表达）123D三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17．（本小题满分6分）计算：先化简，再求值：(21)(21)(34)x x x x +-+-，其中2x =． 18．（本小题满分8分）如图，已知圆上两点A ，B ，连接AB ．（1）用直尺和圆规作所有以AB 为底的圆内接等腰三角形．（保留作图痕迹，不用写作法）（2）若已知该圆的半径5r =，8AB =，求所作的等腰三角形的面积．A B19．（本小题满分8分）某单位对职工出行方式就“地铁与公交，私家车，出租车或滴滴打车，公共自行车或共享单车”进行了抽样调查（每人选填一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：（1）求扇形统计图中m 的值，并补全条形统计图．（2）在被调查的人中，随机抽一人，抽到填公共自行车或共享单车的概率是多少？（3）该单位有800名职工，估算乘地铁与公交及公共自行车或共享单车的职工的人数是多少？出行方式情况条形统计图出行方式情况扇形统计图D A B C 公共自行车或共享单车出租车或滴滴打车私家车地铁与公交D A m%BC 25%20．（本小题满分10分）如图，一艘轮船以30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h 的速度由东向西移动，距台风中心200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离500km BC =，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离300km AB =．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？北东21．（本小题满分10分）如图，Rt ABC △中，90ABC =︒∠，以AC 为直径⊙O 交BC 于点D ，点E 在⊙O 上，AB BE =，AC ，BE 的延长交于点F ．（1）求证：BE 与⊙O 相切．（2）若⊙O 的半径为3，4EF =，求CD 的长．BEF22．（本小题满分12分）如图，二次函数2y ax bx =+图像的顶点为(1,1)A ，与x 轴的一个交点为B ，双曲线ky x=经过平行四边形ABCD 的两个顶点C 、D ，其中点D 在该二次函数的对称轴上．（1）求该二次函数的表达式．（2）求该反比例函数的表达式．（3）直线l 把平行四边形ABCD 面积平分并且与双曲线ky x=有且只有一个交点，求直线l 的表达式．23．（本小题满分12分）如图1，正方形ABCD 的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC 中点E 处，三角板绕点E 旋转，三角板的两边分别交边AB 、CD 于点G 、F ．（1）求证：GBE GEF △∽△．（2）设AG x =，GF y =，求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC 交GF 于点Q ，交EF 于点P ．当AGQ △与CEP △相似，求线段AG 的长．图1DGA BCE F图2PQ GF A BCD E 备用图E ADBC。

浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系自主学习优生提升测试卷B卷(附答案详解)

浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系自主学习优生提升测试卷B卷（附答案详解）1．如图，以平行四边形ABCD的一边AB为直径作⊙O，若⊙O过点C，且∠AOC=70°，则∠A等于（）.A．145° B．140° C．135° D．120°2．已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或23．在△ABC中，I是内心，∠BIC=130°，则∠A的度数是（）A．40°B．50°C．65°D．80°4．如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作O的切线，切点为C，若25A∠=︒，则D∠=（）A．40 B．45 C．50 D．655．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为BC的中点，P 是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为A．22B．2C．1 D．26．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，以B为圆心，AB为半径作AC，在扇形BAC内作⊙O与AB、BC、AC都相切，则⊙O的周长等于（）A．49πB．23πC．43πD．π7．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）A．∠AIB＝∠AOB B．∠AIB≠∠AOBC．2∠AIB﹣12∠AOB＝180°D．2∠AOB﹣12∠AIB＝180°8．点G为△ABC的重心（△ABC三条中线的交点），以点G为圆心作⊙G与边AB，AC 相切，与边BC相交于点H，K，若AB＝4，BC＝6，则HK的长为（）A．353B．2133C．352D．1329．在三角形ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，那么AF、BD、CE的长分别为（）A．AF=4，BD=9，CE=5B．AF=4，BD=5，CE=9C．AF=5，BD=4，CE=9D．AF=9，BD=4，CE=510．如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．若OB=2，OP=72，则BC的长为___________.11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO=25°，∠BCO=35°，则∠AOB= 度．12．如图，一次函数y=﹣12x+a （a ＞0）的图像与坐标轴交于A ，B 两点，以坐标原点O 为圆心，半径为2的⊙O 与直线AB 相离，则a 的取值范围是______．13．如图，AB 为O 的直径，P 为AB 延长线上的一点，PC 切O 于点C ，6,3PC PB ==，则O 的直径等于____________.14．如图，O 内切于ABC ，切点分别为D 、E 、F ，且//DE BC ，若8AB cm =，5AD cm =，则ADE 的周长是________cm ．15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD ＝120°，则∠BOD ＝_____度．16．已知圆的直径为10cm ，若圆心到三条直线的距离分别为：①4cm ；②5cm ；③10cm ，则这三条直线和圆的位置关系分别是①________；②________；③________．17．如图，PA 、PB 与⊙O 相切，切点分别为A 、B ，PA=3，∠P=60°，若BC 为⊙O 的直径，则图中阴影部分的面积为．18．圆内接四边形ABCD 中，已知∠A =70°，则∠C =______19．如图，点O 是△ABC 的内心，且∠BOC =120°，则tan A 的值为_______.20．如图，P 是⊙O 外一点，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，B 是⊙O 上一点，且P A ＝PB ，延长BO 分别与⊙O 、切线P A 相交于C 、Q 两点．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）QD 为PB 边上的中线，若AQ ＝4，CQ ＝2，求QD 的值．21．如图，AB 是O 的直径，点C 为O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连接AC ，BC ，:1:2=PB PC ．（1）求证：AC 平分BAD ∠；（2）探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）若3AD =，求ABC ∆的面积．22．如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，与BC 交于点D ，点E 是BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，∠ACB ＝2∠BAE ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若sinB ＝23，BD ＝5，求BF 的长．23．P是以AB为直径的半圆上一动点（P与A、B不重合），O为圆心，CO⊥AP，OC、BC与AP分别相交于D、E两点，AB＝12．（1）若∠ABC＝35°，求∠PAB的度数；（2）若AP平分线段BC，求弦AP的长度；（3）是否存在点P，使△PBC的面积为整数，如果存在，这样的P点有几个？（直接写出结果，不需写出解题过程．）24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，且∠BAD＝80°，求∠DAC的度数．25．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC=25，求CBDABCSS∆∆的值．26．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A，B （点B在点A的左侧），与轴交于点C，过动点H（0,）作平行于轴的直线，直线与二次函数的图像相交于点D，E.（1）写出点A,点B的坐标；（2）若，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q 与轴相切时，求的值；（3）直线上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣4，0）、B（﹣l，0）两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为量求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多少？（3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．A.【解析】试题分析：先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出∠ABC，再用平行四边形的邻角互补，求出∠A．∵AB为直径作⊙O，若⊙O过点C，∴∠ABC=12∠AOC=12×70°=35°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠ABC=180°，∴∠A=180°﹣∠ABC=145°.故选：A.考点：圆周角定理；平行四边形的性质．2．D【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相交，然后根据相交的定义对各选项进行判断．【详解】∵⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，∴⊙O的半径等于4cm，圆心O到直线l的距离≤4cm即圆心O到直线l的距离≤圆的半径，∴直线l和⊙O相切或相交，∴直线l与⊙O有1个或2个有公共点．故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．3．D【解析】试题分析：已知∠BIC=130°，则根据三角形内角和定理可知∠IBC+∠ICB=50°，则得到∠ABC+∠ACB=100度，则本题易解．解：∵∠BIC=130°，∴∠IBC+∠ICB=50°，又∵I是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，∴∠ABC+∠ACB=100°，∴∠A=80°．故选D ．考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．4．A【解析】【分析】连接OC ，根据题意得到90OCD ∠=︒，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到222550DOC A ∠=∠=⨯︒=︒，再利用三角形内角和定理即可得到答案；【详解】解：如图，连接OC ，∵过点D 作O 的切线，切点为C ，∴90OCD ∠=︒ ，又∵25A ∠=︒，∴222550DOC A ∠=∠=⨯︒=︒（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍），∴180905040D ∠=︒-︒-︒=︒（三角形内角和定理），故选：A .【点睛】本题主要考查了切线的性质、同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍以及三角形内角和定理，掌握同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍是解题的关键.5．B【解析】【详解】作出D 关于AB 的对称点D ′,连接OC ,OD ′,CD ′.PC +PD 的最小值即为线段CD '的长度.又∵点C 在O 上,30CAB ∠=,D 为弧BC 的中点,即BD ='B D ,∴115.2BAD CAB ∠'=∠= ∴45.CAD ∠'=∴90.COD ∠'= 则△COD ′是等腰直角三角形．∵112OC OD AB ='==， ∴ 2.CD '=故选B.6．C【解析】【分析】连接OB 并延长与AC 交于点E ，设AB 与圆的切点为D ，连接OD ，由三角形ABC 为等边三角形得到BA ＝BC ，且∠ABC ＝60°，再由以B 为圆心，AB 为半径作AC ，得到BE ＝BA ＝BC ＝2，根据对称性得到∠ABE ＝30°，由AB 与圆O 相切，利用切线的性质得到OD 垂直于AB ，在直角三角形BOD 中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OD 等于OB 的一半，设OD ＝OE ＝x ，可得出OB ＝2x ，由BO +OE ＝BE ＝2，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆O的半径，即可求出圆O的周长．【详解】解：连接OB并延长与AC交于点E，设AB与圆的切点为D，连接OD，∵△ABC为等边三角形，以B为圆心，AB为半径作AC，∴∠ABC＝60°，BA＝BC＝BE＝2，由对称性得到：∠ABE＝30°，∵AB为⊙O的切线，∴OD⊥AB，在Rt△BOD中，∠ABE＝30°，设OD＝OE＝x，可得OB＝2x，∴OB+OE＝BE，即2x+x＝2，解得：x＝23，即⊙O的半径为23，∴⊙O的周长为：223π⨯⨯＝43π．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质等知识.熟练掌握切线的性质是解题的关键．7．C【解析】【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系．【详解】解：∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB＝2∠C，∴∠C＝12∠AOB，∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB＝12∠CAB，∠IBA＝12∠CBA，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣12（∠CAB+∠CBA），＝180°﹣12（180°﹣∠C）＝90°+12∠C，∴2∠AIB＝180°+∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠AIB＝90°+12∠AOB，即2∠AIB﹣12∠AOB＝180°．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质，正确利用∠C表示∠AIB的度数是关键．8．A【解析】【分析】根据切线的性质得到EG⊥AB，FG⊥AC，连接AG并延长交BC于S，根据重心的性质得到BS＝CS＝12BC＝3，延长AS到O时SO＝AS，根据全等三角形的性质得到∠O＝∠CAS，AC＝OB，由勾股定理得到AS根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】设⊙G与边AB，AC相切于E，F，连接EG，FG，则EG⊥AB，FG⊥AC，连接AG并延长交BC于S，∵EG＝FG，∴∠BAS ＝∠CAS ，∵点G 为△ABC 的重心，∴BS ＝CS ＝12BC ＝3，延长AS 到O 时SO ＝AS ，在△ACS 与△OBS 中AS OS ASC OSB CS BS =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACS ≌△OBS （SAS ），∴∠O ＝∠CAS ，AC ＝OB ，∵∠BAS ＝∠CAS ，∴∠BAS ＝∠O ，∴AB ＝BO ，∴AB ＝AC ，∴AS ⊥BC ，∴AS=∴AG ＝23AS＝3，SG ＝13AS＝3， ∵∠EAG ＝∠SAB ，∠AEG ＝∠ASB ＝90°，∴△AEG ∽△ASB ， ∴EG AG BS AB=，∴334EG =， ∴EG，连接GH ，∴GH＝2，∴HS＝227735 236⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴HK＝2HS＝353．故选A．【点睛】本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．A【解析】【分析】利用切线长定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根据BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm即可得到一个关于x，y，z的方程组，即可求解．【详解】设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm.∵AF、AE是圆的切线，∴AE=AF=xcm，同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm.根据题意得：13914 x yx zy z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：495. xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩即：AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.故选:A.【点睛】考查切线长定理以及三元一次方程组的解法，熟练掌握切线长定理是解题的关键.10．16 7【解析】分析：由AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，易得∠C=∠OAP=90°，又由OP∥BC，可得∠AOP=∠B，即可证得△AOP∽△CBA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．详解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴∠C=90°，BA⊥AP，即∠OAP=90°，∴∠C=∠OAP，∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∴△AOP∽△CBA，∴OA OP BC AB＝，∵OB=2，OP=72，∴OA=2，AB=4，∴BC=•16=7 OA ABOP．故答案为：167．点睛：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．120．【解析】试题分析：根据等边对等角，即可求得∠ACO的度数，则∠ACB的度数可以求得，然后根据圆周角定理，即可求得∠AOB的度数．∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=25°，∴∠ACB=∠ACO+∠BOC=25°+35°=60°，∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°．考点：等腰三角形的性质，圆周角定理点评：解题的关键是熟练掌握圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半.12．a﹥5【解析】(1)当y=0时，﹣12x+a，解得x=2a，则A(2a，0)，当x=0时，y=−12x+a=a，则B(0，a)，在Rt△ABO中，AB=22(2)a a+=5a，过O点作OH⊥AB于H，如图，∵12⋅OH⋅AB=12⋅OB⋅OA，∴5a 25，∵半径为2的O与直线AB相离，所以OH>2，25>2，所以a>5故答案为a>5.13．9【解析】【分析】∵C点为切点，连接OC可以得到OC⊥PC，就有Rt△OCP,知道PB的长，知道PC的长，如果知道设OB的长就可以利用勾股定理了.【详解】解：设OB的长为x，连接OC，∵C点为切点，∴OC⊥PC，∴△OCP为直角三角形，∴OC²+PC²=OP²，故有x²+6²=(x+3)²，解得x=92，AB=2OB=9【点睛】本题主要考查学生对于圆的切线掌握程度，会利用垂直信息14．55 4【解析】【分析】首先根据切线长定理以及平行线分线段成比例定理，证明AB=AC，求得BC的长，然后根据相似三角形的性质求得DE的长，从而求得三角形的周长．【详解】∵AD、AE是圆的切线，∴AD=AE，又∵DE∥BC，∴AD AE AB AC=，∴AB=AC，BD=CE.∵AB=8cm，AD=5cm，∴BD=AB−AD=8−5=3cm. ∵BD、BF是圆的切线，∴BF=BD=3cm，∴BC=2BF=6cm.∵DE∥BC，∴58 AD DEAB BC==，∴55615884BCDE⨯===，∴△ADE的周长是：1555 55.44 ++=故答案是：55. 4【点睛】考查了切线长定理以及平行线分线段成比例定理，正确证明AB=AC，求得BC的长是解题的关键.15．120°．【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质，可求得∠A的度数，根据圆周角定理，可求得∠BOD的度数．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°故∠BOD＝2∠A＝2×60°＝120°．【点睛】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，比较简单．需同学们熟练掌握．16．相交相切相离【解析】【分析】求出圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系,然后结合直线与圆的位置关系,即可得到答案【详解】∵圆的直径为10cm∴圆的半径为5cm①由5cm＞4cm,可知直线与圆的位置关系是相交;②由5cm＝5cm,可知直线与圆的位置关系是相切;③由5cm＜10cm,可知直线与圆的位置关系是相离.【点睛】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握直线与圆的位置关系. 17．π．【解析】试题分析：如图，连接OP，∵PA、PB与⊙O相切，∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°∵∠BPA=60°，∴△PAB为等边三角形，∠AOB=120°∴PB=AB=PA=3，∠POB=60°∵OB=OC ，∴S △AOB =S △AOC∴S 阴影=S 扇形OAB ==π．考点：1.切线的性质；2.扇形面积的计算．18．110° 【解析】试题解析：如图，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°， ∵∠A=70°， ∴∠C=110°193【解析】【分析】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ，再由特殊角的三角函数的定义求得结论．【详解】∵点O 是△ABC 的内心，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴180()1802(),A ABC ACB OBC OCB ∠=-∠+∠=-∠+∠()1802(180)180218012060BOC =-⨯-∠=-⨯-=， ∴tan tan603A ==，3.考查内心的概念，角平分线的性质，三角形内角和定理，正切三角函数的定义，比较基础，掌握内心是角平分线的交点是解题的关键.20．（1）详见解析；（2）QD【解析】【分析】（1）要证明PB 是⊙O 的切线，只要证明∠PBO=90°即可，根据题意可以证明△OBP ≌△OAP ，从而可以解答本题；（2）根据题意和勾股定理的知识，可以求得QD 的值．【详解】（1）证明：连接OA ，在△OBP 和△OAP 中，PA PB OB OAOP OP ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OBP ≌△OAP （SSS ），∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 是⊙O 的切线，A 是切点，∴∠OAP ＝90°，∴∠OBP ＝90°，∵OB 是半径，∴PB 是⊙O 的切线；（2）连接OC∵AQ ＝4，CQ ＝2，∠OAQ ＝90°，设OA ＝r ，则r 2+42＝（r +2）2，解得，r ＝3，则OA ＝3，BC ＝6，设BP ＝x ，则 AP ＝x ，∵PB 是圆O 的切线，∴∠PBQ ＝90°，∴x 2+（6+2）2＝（x +4）2，解得，x ＝6，∴BP ＝6，∴BD ＝3，∴QD ＝22(62)3++ =73 ，即QD 的值是73．【点睛】本题考查切线的判定与性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（1）见解析；（2）3AB PB =，见解析；（3）5【解析】【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得⊥OC PE ，然后根据平行线的判定可得//OC AE ，从而证出DAC OCA ∠=∠，根据等边对等角可得OCA OAC ∠=∠，从而证出DAC OAC ∠=∠，即可证出结论；（2）根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ∠=︒，然后根据相似三角形的判定定理证出PCB PAC ∽，列出比例式即可得出结论；（3）过点O 作OH AD ⊥于点H ，根据相似三角形的判定定理可得PCO PEA ∽，列出比例式即可求出OC ，再根据PBC PCA ∽，可得2AC BC =，最后根据勾股定理即可求出AC 、BC ，从而求出结论．【详解】解：（1）证明：连接OC ，[Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2020/6/22/2490290299265024/2493010512216064/EXPLANATI ON/c5818ff65a8a4699839c8defaae65c25.png]∵PE 是O 的切线，∴⊥OC PE ，∵AE PE ⊥，∴//OC AE ，∴DAC OCA ∠=∠，∵OA OC =，∴OCA OAC ∠=∠，∴DAC OAC ∠=∠，∴AC 平分BAD ∠；（2）线段PB ，AB 之间的数量关系为：3AB PB =．理由：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90BAC ABC ︒∠+∠=，∵OB OC =，∴∠=∠OCB ABC ，∵90PCB OCB ∠+∠=︒，∴PCB PAC ∠=∠，∵P P ∠=∠，∴PCB PAC ∽， ∴PC PB PA PC=， ∴2PC PA PB =⋅∵:1:2=PB PC ，∴2PC PB =，∴4=PA PB ，∴3AB PB =（3）过点O 作OH AD ⊥于点H ，则1322==AH AD ，四边形OCEH 是矩形， ∴=OC HE ， ∴32=+AE OC ∵//OC AE ，∴PCO PEA ∽， ∴OC PO AE PA=， ∵3AB PB =，2AB OB =， ∴32=OB PB ， ∴32332++==+++PB PB OC PB OB PB AB PB PB OC ∴52OC =， ∴5AB =，∵PBC PCA ∽， ∴12PB BC PC AC ==， ∴2AC BC =在Rt ABC 中，222AC BC AB +=∴222(2)5BC BC +=∴BC =∴AC =∴1S 52∆=⋅=ABC AC BC [Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2020/6/22/2490290299265024/2493010512216064/EXPLANATI ON/091db14000a2430dbf23cdd5aaba7021.png]【点睛】此题考查的是圆的综合题，掌握切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质、矩形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键． 22．（1）证明见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连接AD ，由圆周角定理得出∠1=∠2．证出∠C=∠BAD ．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD=90°，得出∠BAC=90°，即可得出结论；（2）过点F 作FG ⊥AB 于点G ．由三角函数得出sinB=23AD AB =，设AD=2m ，则AB=3m ，由勾股定理求出BD=5m ．求出m=5．得出AD=25，AB=35．证出FG=FD ．设BF=x ，则FG=FD=5-x ．由三角函数得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）证明：连接AD∵ E 是BD 的中点，∴BE ED ，∴∠BAD=2∠BAE ．∵2ACB BAE ∠=∠∴∠ACB=∠BAD∵AB 为⊙O 直径∴∠ADB=90°∴∠DAC+∠ACB =90°∴∠BAC =∠DAC+∠BAD =90°∴AC 是⊙O 的切线（2）解：过点F 作FG ⊥AB 于点G∵∠BAE=∠DAE ，∠ADB=90°，∴GF=DF在Rt△BGF中，∠BGF=90°，2 sin3GFBBF==设BF=x，则GF=5-x，∴523xx-=，解得：x=3即BF=323．（1）20°（2）82（3）35【解析】【分析】（1）连接BP，CP，OP，根据圆周角定理和垂径定理进行计算即可；（2）通过证明三角形全等得出线段CD与OD的关系，进而求出BP，运用勾股定理求解即可；（3）把S△BPC转化为S△BOP，进而进行分析即可．【详解】如图连接BP，CP，OP，（1）∵∠ABC＝35°，∴∠AOC＝2∠ABC＝70°，∵CO⊥AP，∴∠PAB＝90°﹣70°＝20°；（2）∵AB是圆的直径，∴BP⊥AP，∵CO⊥AP，∴OC∥BP，∠CDE＝∠BPE＝90°，∵CE＝BE，∠CED＝∠BEP，∴△BPE≌△CDE，∴CD＝BP，∵AO＝BO，OC∥BP，∴2OD＝BP，∴CD＝2OD，∵OC＝12AB＝6，∴OD＝2，BP＝4，由勾股定理可得，AP＝22AB BP-＝22124-＝82；（3）∵OC∥BP，∴S△BPC＝S△BOP，∵OB＝6，∴当点P到OB距离为13，23，…173，6时，S△BPC为整数，∴这样的P点有35个．故答案为（1）20°（2）82（3）35【点睛】此题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆的性质并灵活运用于实际问题的证明，会证明三角形全等，会进行三角形的等积分析是解题的关键．24．40°【解析】【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠DAC=∠CAO，得到答案．【详解】如图：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OC∥AD ，∴∠DAC ＝∠ACO ，∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠DAC ＝∠CA O ＝12∠BAD ＝40°，【点睛】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．25．（1）见解析（2）825 【解析】【分析】（1）首先连接OC ，由CD ⊥AB ，CF ⊥AF ，CF=CE ，即可判定AC 平分∠BAF ，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC ，则可证得∠BOC=∠BAF ，即可判定OC ∥AF ，即可证得CF 是⊙O 的切线．（2）由垂径定理可得CE=DE ，即可得S △CBD =2S △CEB ，由△ABC ∽△CBE ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE 与△ABC 的面积比，从而可求得CBD ABCS S ∆∆的值．【详解】（1）证明：连接OC ．∵CE ⊥AB ，CF ⊥AF ，CE=CF ，∴AC 平分∠BAF ，即∠BAF=2∠BAC ．∵∠BOC=2∠BAC ，∴∠BOC=∠BAF ．∴OC ∥AF ．∴CF ⊥OC ．∴CF 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE．∴△ABC∽△CBE．∴．∴．26．（1）（4，0）和（－1，0）；（2）；（3）存在，m=或或3或.【解析】试题分析：（1）A、B两点的纵坐标都为0，所以代入y=0，求解即可．（2）由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，则Q的横坐标为，可推出D、E两点的坐标分别为：，因为D、E都在抛物线上，代入一点即可得m．（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识易得m的值．试题解析：解：（1）当y=0时，有，解之得：，∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（－1，0）.（2）∵⊙Q与轴相切，且与交于D、E两点，∴圆心O位于直线与抛物线对称轴的交点处，且⊙Q的半径为H点的纵坐标（）. ∵抛物线的对称轴为，∴D、E两点的坐标分别为：且均在二次函数的图像上. ∵，解得或（不合题意，舍去）.（3）存在.①当∠ACF=90°，AC=FC时，如答图1，过点F作FG⊥y轴于G，∴∠AOC=∠CGF=90°.∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG.∴△ACO≌△∠CFG，∴CG=AO=4.∵CO=2，∴或=OG=2+4=6.②当∠CAF=90°，AC=AF时，如答图2，过点F作FP⊥x轴于P，∴∠AOC=∠APF=90°.∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP.∴△ACO≌△∠FAP，∴FP =AO=4.∴或=FP =4.③当∠AFC=90°，FA=FC时，如答图3，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，∴∠DFC=∠EFA.∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，∴△CDF≌△AEF.∴CD=AE，DF=EF.∴四边形OEFD为正方形.∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD.∴4=2+2•CD.∴CD=1，∴m=OC+CD=2+1=3．∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A，∴∠HF′C=∠GF′A.∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′.∴△HF′C≌△GF′A.∴HF′=GF′，CH=AG.∴四边形OHF′G为正方形.∴.∴OH=1. ∴m=．∵，∴y 的最大值为.∵直线l 与抛物线有两个交点，∴m ＜∴m 可取值为m=或或3或. 综上所述，m 的值为m=或或3或.考点：1.二次函数综合题； 2.单动点问题；3.等腰直角三角形存在性问题；4.二次函数的性质；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.直线与圆的位置关系；7.全等三角形的判定和性质；8.正方形的判定和性质；9.分类思想的应用．27．（1）y=34x 2+154x+3；（2）m 为﹣2时S 有最大值，最大值是6（3）P 的坐标为（﹣52，3262+）或（﹣52，362-）【解析】【分析】(1)、将点A 和点B 的坐标代入解析式，利用待定系数法求出函数解析式；(2)、首先求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC 的函数解析式，过点D D 作DE ∥y 轴，交AC 于点E ，设出点D 和点E 的坐标，然后求出DE 的长度，根据面积的计算公式得出面积的二次函数解析式，从而得出面积的最大值；(3)、以AC 为直径作圆交抛物线的对称轴于P ，根据点A 和点C 的坐标得出中点的坐标，求出AC和OP的长度，设点P的坐标为（52，y），然后根据勾股定理求出y的值，得出点P的坐标．【详解】(1)、将A（﹣4，0）、B（﹣l，0）代入y=ax2+bx+3得：，解得，故抛物线的函数解析式为y=x2+x+3；(2)、令x=0，则y=3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y=mx+n，代入A（﹣4，0）、C（0，3）得，解得∴AC的解析式为y=x+3；过D作DE∥y轴，交AC于点E，设D（m，m2+m+3），E（m，m+3）（﹣4＜m＜﹣1），则DE=m+3﹣（m2+m+3），∴DE=﹣m2﹣3m，∴S=DE×4=2（﹣m2﹣3m）=﹣m2﹣6m=﹣（m+2）2+6，∴m=﹣2时，S最大=6；故m为﹣2时S有最大值，最大值是6．(3)、存在点P使得∠APC=90°，以AC为直径作圆交抛物线的对称轴于P，∵A（﹣4，0）、C（0，3），∴AC的中点O的坐标为（﹣2，），AC==5，∴OP==，∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣4，0）、B（﹣l，0）两点，∴对称轴x==﹣，设P（﹣，y），∴OP2=（）2，即（﹣2+）2+（﹣y）2=（）2，解得y=±，∴P的坐标为（﹣，）或（﹣，）．【点睛】本题主要考查的就是二次函数的性质、圆的基本性质以及勾股定理的实际应用问题，综合性比较强，难度在中上．求二次函数的解析式时，我们一般用待定系数法来进行求解．在出现角度的时候，我们会考虑到圆周角、圆心角之间的关系，利用圆的性质来进行求解得出点的坐标．。

浙教版九年级下第2章综合达标测试卷(含答案)

第2章综合达标测试卷(满分：100分时间：90分钟)一、选择题(每小题2分，共20分)1．一圆的半径为3，圆心到直线的距离为4，则该直线与圆的位置关系是(C)A．相切B．相交C．相离D．以上都不对2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径是(A)A．2B．2．5C．3D．43．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P 的坐标为(－3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(B)A．1B．1或5C．3D．54．如图，⊙B的半径为4 cm，∠MBN＝60°，点A、C分别是射线BM、BN上的动点，且直线AC⊥BN．当AC平移到与⊙B相切时，AB的长度是(A)A．8 cm B．6 cmC．4 cm D．2 cm5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC 、BC 相切于点D 、E ，则AD 的长为( B )A ．2．5B ．1．6C ．1．5D ．16．【2016·四川德阳中考】如图，AP 为☉O 的切线，P 为切点，若∠A ＝20°，C 、D 为圆周上两点，且∠PDC ＝60°，则∠OBC 等于( B )A ．55°B ．65°C ．70°D ．75°7．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放(三角形斜边与半圆相切)，重叠部分(阴影)的量角器圆弧(AB ︵)对应的圆心角(∠AOB )为120°，AO 的长为4 cm ，OC 的长为2 cm ，则图中阴影部分的面积为( C )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫16π3＋2 cm 2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋2 cm 2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫16π3＋23 cm 2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋23 cm 28．如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于P 、Q 两点，则线段PQ 长度的最小值是( B )A ．4．75B ．4．8C ．5D ．4 29．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB 、BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE (不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( C )A ．rB ．32rC ．2rD ．r10．如图，⊙O 的半径为2，P 为⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，P A ＝2，若AB 为⊙O 的弦，且AB ＝22，则PB 的长为( D )A ．2B ．25C ．1或5D ．2或2 5二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，∠ACB ＝60°，⊙O 的圆心O 在边BC 上，⊙O 的半径为3，在圆心O 向点C 运动的过程中，当CO ＝ 23 时，⊙O 与直线CA 相切．12．【2016·安徽中考】如图，已知⊙O 的半径为2，A 为⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的一条切线AB ，切点是B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，若∠BAC ＝30°，则劣弧BC 的长为__4π3__．13．如图，△ABC 内切⊙O 于点D 、E 、F ．若∠EOF ＝120°，∠DEF ＝70°，则∠C ＝__80°__．14．如图是一张电脑光盘的表面，两个圆的圆心都是O ，大圆的弦AB 所在的直线是小圆的切线，切点为C ．已知大圆的半径为5 cm ，小圆的半径为1 cm ，则弦AB 的长度为．15．如图，点I 是△ABC 的内心．记∠ABI 与∠ACI 的平分线的交点为I 1，∠ABI 1与∠ACI 1的平分线的交点为I 2，∠ABI 2与∠ACI 2的平分线的交点为I 3，…，依次类推．若∠A ＝20°，则∠BI 5C 的度数是__22．5°__．16．【2016·江苏苏州中考】如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若∠A ＝∠D ，CD ＝3，则图中阴影部分的面积为2．17．【山东烟台中考】如图，直线l ：y ＝－12x ＋1与坐标轴交于A 、B 两点，点M (m,0)是x 轴上一动点，以点M 为圆心，2个单位长度为半径作⊙M ，当⊙M 与直线l 相切时，则m 的值为__．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AC 上一点，以CD 为直径的圆与AB 相切于点E ，若CD ＝3，tan ∠AED ＝12，则AD 的长为__1__．三、解答题(共56分)19．(8分)如图，公路MN 与公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160 m ．假设拖拉机行驶时，周围100 m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间是多少秒？解：学校受到噪音影响．理由如下：作AH ⊥MN 于点H ，如图．∵PA ＝160 m ，∠QPN ＝30°，∴AH ＝12PA ＝80 m ．而80 m ＜100 m ，∴拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受到噪音影响．以点A 为圆心，100 m 为半径作⊙A 交MN 于B 、C ，连结AB ，如图．∵AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ．在Rt △ABH 中，AB ＝100 m ，AH ＝80 m ，∴BH ＝AB 2－AH 2＝60 m ，∴BC ＝2BH ＝120 m ．∵拖拉机的速度＝18 km /h ＝5 m/s ，∴拖拉机在BC 段行驶所需要的时间＝1205＝24(秒)，∴学校受影响的时间为24秒．20．(10分)如图，AB 是⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，PD 切⊙O 于点C ，BC 和AD 的延长线相交于点E ，且AD ⊥PD ．(1)求证：AB ＝AE ；(2)当AB ∶BP 为何值时，△ABE 为等边三角形？请说明理由．(1)证明：连结OC ．∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PD ．又∵AD ⊥PD ，∴AD ∥OC ，∴∠E ＝∠OCB ．∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠E ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ．。

【浙教版】九年级下数学第2章《直线与圆的位置关系》质量评估试卷含答案

第2章质量评估试卷[学生用书活页P111][时间：90分钟分值：120分]一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过同一直径两端的两条切线平行；③经过半径外端点的直线是圆的切线；④经过切点且垂直于切线的线段是半径，其中正确的有(A)A．①②B．③④C．①③D．②④2．如图1，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC.若∠C ＝25°，则∠A＝(A)A．40°B．25°C．50°D．80°图1图23．如图2，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC ＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于(A)A.45 B.12 C.32D．1第3题答图【解析】设⊙O与AC的切点为M，圆的半径为r，如答图，过点O作OF⊥BC 于点F，连结OM，∴∠OMA＝∠OFC＝90°，∵∠C＝90°，OM＝OF，∴四边形OMCF是正方形，∴CM＝r，∵△AOM∽△ADC，∴OM∶DC＝AM∶AC，即r∶1＝(4－r)∶4，解得r＝45.故选A.4．如图3，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连结AC交⊙O于点D，∠C＝38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与点A，B 重合)，则∠AED的大小是(B)A．19°B．38°C．52°D．76°图3图45．[2015·厦门]如图4，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与边BC相切于点D，则该圆的圆心是(C)A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点D ．线段AB 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点6．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、高线长之比为( D ) A ．1∶2∶ 3 B ．1∶2∶ 3 C ．1∶3∶2 D ．1∶2∶3【解析】如答图，设OD ＝1，等边三角形ABC 的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，高线长为h .第6题答图在Rt △OBD 中，∠OBD ＝30°， ∴OB ＝2， ∴OA ＝2，AD ＝3， ∴r ＝1，R ＝2，h ＝3， ∴r ∶R ∶h ＝1∶2∶3.故选D.7．如图5，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC ∥OA ，劣弧BC ︵的弧长为(结果保留π)( A ) A.π3 B.π6 C.π2 D.π4图5图68．[2016·潍坊]如图6，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(D) A．10 B．82C．413 D．241第8题答图【解析】如答图，过点M作MD⊥y轴于点D，连结MA，MB，MO.∵⊙M与x轴相切于点A(8，0)，∴MA⊥OA，OA＝8，∴∠OAM＝∠AOD＝∠ODM＝90°，∴四边形OAMD是矩形，∵点B，C的坐标是B(0，4)，C(0，16)，∴BD＝CD＝6，∴OD＝10，在Rt△OMA中，OM＝102＋82＝241.故选D.9．如图7，P为⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切，切点为C，D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的个数为(A)图7A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图8，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AD ，下列结论：①CD ＝BD ；②DE 为⊙O 的切线；③△ADE ∽△ACD ；④AD 2＝AE ·AC ，其中正确结论的个数为( D ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个图8第10题答图【解析】∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC ，又∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，选项①正确；如答图，连结OD ，∵D 为BC 中点，O 为AC 中点， ∴DO 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AB ，又∵DE ⊥AB ，∴∠DEA ＝90°， ∴∠ODE ＝90°，∴DE 为⊙O 的切线，选项②正确； ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠CAD .∵∠DEA ＝∠CDA ＝90°， ∴△ADE ∽△ACD ，选项③正确；∴AD AC ＝AEAD ，即AD 2＝AE ·AC ，选项④正确．综上所述，正确结论的个数为4个．故选D.二、填空题(每题4分，共24 分)11．如图9，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连结CB.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝__8__．图9图1012．[2016·洪泽一模]如图10，⊙O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为__22__．【解析】∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP＝90°，∴PQ2＝OP2－OQ2，∵OQ＝1，∴PQ2＝OP2－1，即PQ＝OP2－1，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ的最小值为9－1＝2 2.13．如图11，⊙O为Rt△ABC的内切圆，D，E，F为切点，若AD＝6，BD＝4，则△ABC的面积为__24__．图1114．[2016·攀枝花]如图12，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为6 7．图12第14题答图【解析】如答图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连结OB.∵AB，BC是⊙O的切线，∴E，F是切点，∴OE，OF是⊙O的半径，∴OE＝OF.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，由勾股定理，得BC＝4.又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO＋S△BOD，∴12BD·AC＝12AB·OE＋12BD·OF，即5OE＋2OE＝2×3，解得OE＝67，∴⊙O的半径为67.15．如图13，P A，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，DE交P A，PB于点D，E，已知P A长8 cm.则△PDE的周长为__16__cm__；若∠P＝40°，则∠DOE＝__70°__．图13第15题答图【解析】∵P A，PB，DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EC＝EB，P A＝PB，∴△PDE的周长为PD＋DC＋EC＋PE＝P A＋PB＝2P A＝16 (cm)．如答图，连结OA，OB，OD，OE，OC，则∠AOB＝180°－∠P＝140°，∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝12(∠AOC＋∠BOC)＝12×140°＝70°.16．如图14，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C.连结AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是__②③④__(写出所有正确结论的序号)．图14①△CPD∽△DP A；②若∠A＝30°，则PC＝3BC；③若∠CP A＝30°，则PB＝OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．三、解答题(共66分)17．(6分)如图15，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A.图15(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．解：(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A.又∵∠D＝2∠A，∴∠COD＝∠D.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°；(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2.由勾股定理，得OD＝22＋22＝2 2.∴BD＝OD－OB＝22－2.18．(6分)[2015·临沂模拟]如图16，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5.⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E，F，G.(1)求证：内切圆的半径r＝1；(2)求tan∠OAG的值．图16第18题答图解：(1)证明：如答图，连结OE，OF，OG.∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C ＝90°， ∴四边形CEOF 是正方形， ∴CE ＝CF ＝r .又∵AG ＝AE ＝3－r ，BG ＝BF ＝4－r ，AG ＋BG ＝5， ∴(3－r )＋(4－r )＝5. 解得r ＝1；(2)如答图，连结OA ，在Rt △AOG 中， ∵r ＝1，AG ＝3－r ＝2，∴tan ∠OAG ＝OG AG ＝12.19．(8分)[2016·黄石]如图17，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(异于点A ，B )，AD ⊥CD .图17(1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的值；(2)若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝90°. 又∵BC ＝3，AB ＝5，∴AC ＝4；(2)证明：∵AC 是∠DAB 的平分线，∴∠DAC ＝∠BAC ，又∵AD ⊥DC ，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB ，∴∠DCA ＝∠CBA ，又∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵∠OAC ＋∠OBC ＝90°，∴∠OCA ＋∠ACD ＝∠OCD ＝90°，∴直线CD 是⊙O 的切线．20．(8分)[2016·北京]如图18，AB 为⊙O 的直径，F 为弦AC 的中点，连结OF并延长交AC ︵于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点E .图18(1)求证：AC ∥DE ；(2)连结CD ，若OA ＝AE ＝a ，写出求四边形ACDE 面积的思路．解：(1)证明：∵DE 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥DE ，∵F 为弦AC 的中点，∴OD ⊥AC ，∴AC ∥DE ；(2)①四边形DF AE 为直角梯形，上底为AF ，下底为DE ，高为DF ，可以在Rt △DOE 中计算出DE 长为3a ，DF ＝a 2，AF ＝32a ，所以可以求出四边形DF AE 的面积为338a 2；②在△CDF 中，DF ⊥FC ，且DF ＝a 2，FC ＝AF ＝32a ，进而可以求出△CDF 的面积为38a 2；③四边形ACDE 就是由四边形DF AE 和△CDF 组成的，进而可以得到四边形ACDE的面积就等于他们的面积和，为32a 2.(本题也可以通过证明四边形ACDE 为平行四边形，进而通过平行四边形面积公式求解，主要思路合理即可)．21．(8分)[2016·应城二模]如图19，在△ABC 中，∠C ＝90°，点O 在CB 上，⊙O 经过点C ，且与AB 相切于点D ，与CB 的另一个交点为E .(1)求证：DE ∥OA ；(2)若AB ＝10，tan ∠DEO ＝2，求⊙O 的半径．图19 第21题答图解：(1)证明：如答图，连结OD ，CD .∵∠ACB ＝90°，CO 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线，又∵AB 与⊙O 相切，∴OC ＝OD ，且AO 为∠CAB 的平分线，∴AO ⊥CD ，又∵CE 是⊙O 的直径，且C 是⊙O 上一点，∴DE ⊥CD ，∴DE ∥OA ；(2)∵DE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠DEO ，∵tan ∠DEO ＝2，∴tan ∠AOC ＝2，∴AC ＝2OC ，设⊙O 的半径为r ，∴OD ＝OC ＝r ，AC ＝AD ＝2r ，BD ＝10－2r ，∵∠ACB ＝∠BDO ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BDO ∽△BCA ，∴BC BD ＝AC OD ＝AC OC ＝2，∴BC＝2BD＝20－4r，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(2r)2＋(20－4r)2＝102，解得r1＝3，r2＝5(不合题意，舍去)．∴⊙O的半径为3.22．(8分)如图20，射线PO与⊙O交于A，B两点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.(1)请写出两个不同类型的正确结论；(2)若CD＝12，tan∠CPO＝12，求PO的长．图20第22题答图解：(1)不同类型的正确结论有：①PC＝PD，②∠CPO＝∠DPO，③CD⊥BA，④PC2＝P A·PB；(2)如答图，连结OC，∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，∴PC＝PD，∠CPO＝∠DP A，∴CD⊥AB.∵CD＝12，∴DE＝CE＝12CD＝6.∵tan∠CPO＝12，∴在Rt△EPC中，PE＝12，∴由勾股定理，得CP＝65，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°.∵在Rt△OPC中，tan∠CPO＝12，∴OC PC ＝12，∴OC＝35，∴PO＝OC2＋PC2＝15.23．(10分)[2016·宜昌]如图21，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连结AC，AD，OD，其中AC＝CD，过点B的切线交CD的延长线于点E.(1)求证：DA平分∠CDO；(2)若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和(参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7)．图21第23题答图解：(1)证明：∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD，∴∠ADO＝∠CDA，∴DA平分∠CDO；(2)如答图，连结BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，又∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，∴AC︵＝DC︵＝BD︵，又∵∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，∴BD＝OB＝12AB＝6，∵AC︵＝BD︵，∴AC＝BD＝6，∵BE切⊙O于点B，∴BE⊥AB，∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝30°，∵CD∥AB，∴BE⊥CE，∴DE＝12BD＝3，BE＝BD·cos∠DBE＝6×32＝33，∴BD︵的长＝60×π×6180＝2π，∴图中阴影部分周长之和为2π＋6＋2π＋3＋33＝4π＋9＋33＝26.5. 24．(12分)如图22，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝ED.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径R＝3，求BDAD的值．图22第24题答图解：(1)证明：如答图，连结OD，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF.∵∠EFD＝∠CFO，∠CFO＋∠FCO＝90°，∴∠EDF ＋∠FCO ＝90°.∵OC ＝OD ，∴∠FCO ＝∠CDO ，∴∠EDF ＋∠CDO ＝90°，即OD ⊥DE .∴DE 是⊙O 的切线；(2)∵∠BDE ＋∠ODB ＝90°，∠ADO ＋∠ODB ＝90°， ∴∠BDE ＝∠ADO .∵OA ＝OD ，∴∠EAD ＝∠ADO .∴∠BDE ＝∠EAD ，又∵∠E ＝∠E ，∴△DBE ∽△ADE .∴DE AE ＝BE DE ，即DE 2＝AE ·BE ，∵OF ∶OB ＝1∶3，OB ＝3，∴OF ＝1，BF ＝2.设BE ＝x ，则DE ＝EF ＝x ＋2，∴(x ＋2)2＝x (x ＋6)，解得x ＝2，∴BE ＝2，DE ＝4，∴BD AD ＝BE DE ＝12.。

浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系自主学习能力达标测试卷A卷(附答案详解)

浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系自主学习能力达标测试卷A 卷（附答案详解）1．如图，PA 、PB 、CD 分别切O 于A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若40P ∠=，则PAE PBE ∠+∠的度数为（）A ．50B ．62C ．66D ．702．菱形对角线的交点为O ，以O 为圆心，以O 到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 3．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为1，若∠OBA=30°，则OB 长为（）A ．1B ．2C ．3D ．234．如图,等边△ABC 的周长为16π,半径是2的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发,在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB 相切于点D 的位置,则⊙O 自转了（）A ．3周B ．4周C ．5周D ．6周5．已知⊙O 的半径为2，圆心O 到直线l 的距离是4，则⊙O 与直线l 的关系是（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 6．如图，O 与Rt ABC 的斜边AB 相切于点D ，与直角边AC 相交于点E ，且DE //BC ．已知AE 22=，AC 32=，BC 6=，则O 的半径是（）A ．3B ．4C ．43D ．237．已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为4 cm，以这个等腰三角形的顶角的顶点为圆心、5 cm为半径画圆，那么该圆与等腰三角形的底边的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．不能确定8．如图，点P是⊙O外任意一点，PM、PN分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP 与⊙O交于点K．则点K是△PMN的（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三个角的角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点9．如图，平面上⊙O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若⊙O的半径为2cm，且O 点到其中一条直线的距离为2.2cm，则这条直线是（）A．L l B．L2C．L3D．L410．已知PA,PB是☉O的切线,C为圆上不同与A,B的一点,若∠P=40°,则∠ACB的度数为( )A．70°B．110°C．70°或110°D．不确定11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．12．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作P.当P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．13．如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以4cm/s 的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以3cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了________s时，以C点为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切．14．如图，△ABC的内切圆O与BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，AC=13，则AF=_____,BD=_____,CE=______.15．已知O的半径为8cm，如果直线L到圆心O的距离为4cm，则直线L与O的位置关系是________．16．如图，两个同心圆，小圆半径为2，大圆半径为4，一直线与小圆相切，交大圆于A、B两点，则AB的长为____．17．已知⊙O的半径为5，由直径AB的端点B作⊙O的切线，从圆周上一点P引该切线的垂线PM，M为垂足，连接PA，设PA=x，则AP+2PM的函数表达式为______，此函数的最大值是____，最小值是______．18．如图10，两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB ＝_________．19．如图，⊙I 与ABC △的三边分别切于点D 、E 、F ，70B ∠=︒，60C ∠=°，M 是DEF 上的动点（与D 、E 不重合），DMF ∠的度数为__________．20．如图，半圆O 的直径10DE cm =，ABC 中，90ACB ∠=，30ABC ∠=，10BC cm =，半圆O 以1/cm s 的速度从右到左运动，在运动过程中，D 、E 点始终在直线BC 上，设运动时间为()t s ，当()0t s =时，半圆O 在ABC 的右侧，6OC cm =，那么，当t 为______s 时，ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切．21．如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，∠BAD ＝∠B ＝30︒，边BD 交圆于点D ．BD 是⊙O 的切线吗？为什么？22．如图1，AB 为半圆O 的直径，D 为BA 的延长线上一点，DC 为半圆O 的切线，切点为C ．（1）求证：ACD B ∠=∠．（2）如图2，BDC ∠的平分线分别交AC ，BC 于点E ，F ，求CEF ∠的度数． 23．如图，在直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°.(1)先作∠ACB 的平分线；设它交AB 边于点O ，再以点O 为圆心，OB 为半径作⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)证明：AC 是所作⊙O 的切线；(3)若BC ＝3，∠A ＝30°，求△AOC 的面积．24．如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分PAE ∠，过点C 作CD PA ⊥于D ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线．（2）若6DC DA +=，且⊙O 是直径为10，求AB 的长．25．如图，已知AC 是⊙O 的直径，B 为⊙O 上一点，D 为BC 的中点，过D 作EF∥BC 交AB 的延长线于点E ，交AC 的延长线于点F ．（Ⅰ）求证：EF 为⊙O 的切线；（Ⅱ）若AB ＝2，∠BDC＝2∠A，求BC 的长．26．已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．（1）如图1，求证：BD CD=；（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE=AF；（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF=2EG，AC=2，求OE的长．=，27．如图，AB是O的直径，AC是弦，D在AB的延长线上，CA CDBD=．∠=，10120ACD()1求证：CD是O的切线；()2求O的半径．28．已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E．（1）求证：△ABM∽△MCD；（2）若AD=8，AB=5，求ME的长．参考答案1．D【解析】【分析】由切线长定理可得P A=PB,CA=CE,DB=DE,从而∠CAE=∠CEA, DBE=∠DEB,∠PCD=∠PDC,然后根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求解即可.【详解】∵PA、PB、CD分别切O于A、B、E，∴P A=PB,CA=CE,DB=DE,∴∠CAE=∠CEA, ∠DBE=∠DEB,PC=PD,∴∠PCD=∠PDC,∵∠P=40°,∴∠PCD+∠PDC=180º-40º=140º，∵2∠P AE+2∠PBE=∠PCD+∠PDC=140º,∴∠P AE+∠PBE=70º.故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，切线长定理，在圆中，在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.2．B【解析】【分析】首先根据菱形的性质可知:菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，故四个三角形面积相等且斜边相等，然后根据等面积法得出斜边的高相等，这样问题就容易解决了. 【详解】如图：∵菱形对角线互相垂直平分，∴AO=CO，BO=DO，AB=BC=CD=DA.∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO的面积相等.又∵AB=BC=CD=DA，∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO斜边上的高相等.即O到AB、BC、CD、DA的距离相等.∴O到菱形一边的距离为半径的圆与另三边的位置关系是相切.故选B..【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是画出图形进行分析.3．B【解析】【分析】连接OA,由于直线AB与⊙O相切于点A，则∠OAB=90°，而OA=1，∠OBA=30°，根据含30角的直角三角形的性质，即可求出OB．【详解】连接OA,∵直线AB与O相切于点A，则90.OAB ∠=∵OA =1，∴221 2.OB OA ==⨯=故选B.【点睛】考查切线的性质以及含30角的直角三角形的性质，连接OA ，构造直角三角形是解题的关键.4．C【解析】【分析】该圆运动可分为两部分，在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数.【详解】 ∵圆在三边运动自转周数为16=44ππ，圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数360°,即一周，∴⊙O 自转了4＋1＝5周，故C 选项是正确答案. 【点睛】本题考查了三角形与圆的面积公式和周长公式，掌握三角形与圆的面积公式和周长公式是解决本题的关键.5．C【解析】试题解析：∵圆心O 到直线l 的距离是4，大于⊙O 的半径为2，∴直线l 与⊙O 相离．故选C ．点睛：直线与圆的位置关系的判断依据是：若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．6．D【解析】【分析】延长AC 交⊙O 于F ，连接FD ．证明DF 为直径，FD ⊥AD ．利用△ADE ∽△ABC 求DE ；利用△ADE ∽△DFE 求EF ；利用勾股定理求DF ．得解．【详解】延长AC 交⊙O 于F ，连接FD ，∵∠C=90°，DE ∥BC ， ∴∠DEF=90°， ∴FD 是圆的直径，∵AB 切⊙O 于D ，∴FD ⊥AB ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE DE AC BC =，即22632DE =， ∴DE=4，∵∠ADF=90°，DE ⊥AF ， ∴△ADE ∽△DFE ，∴DE AE EF DE =，即4224EF =， ∴EF=42，∴DF=()222244243DE EF +=+=，∴半径为23，故选D.【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，正确添加辅助线把半径转化到直角三角形中是解题的关键.7．A 【解析】【分析】在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形性质得BD=CD=12BC=2,所以，AD=222262425,AB BD-=-=即：d>r,所以可得结论. 【详解】如图，在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于D，则BD=CD=12BC=2,所以，AD=222262425,AB BD-=-=即：d>r,所以，该圆与底边的关系是相离.故选：A【点睛】本题考核知识点：直线与圆的位置关系.解题关键点：根据等腰三角形性质求出底边上的高. 8．C【解析】【分析】连接OM、ON，NK，根据切线的性质及角平分线的判定定理，可得出答案.【详解】如图，连接OM、ON，NK，∵PM、PN分别是⊙O的切线，∴ON⊥PN，OM⊥PM，MN⊥OP，∠OPN=∠OPM，∴∠1+∠ONK=90°，∠2+∠OKN=90°，∵OM=ON，∴∠OPN=∠OPM，∠ONK=∠OKN，∴∠1=∠2，∴点K是△PMN的角平分线的交点，故选C.【点睛】本题考查了切线长定理、角平分线定义，熟练掌握切线长定理的内容是解题的关键.9．C【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r，则直线和圆相切；当d<r，则直线和圆相交；当d>r，则直线和圆相离，进行分析判断．【详解】因为圆心O点到所求直线的距离2.2cm>半径2cm，所以此直线和圆相离,即为直线l3.故选C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟记圆心到直线的距离与半径关系是正确解答此题关键. 10．C【解析】【分析】连接OA、OB，可求得∠AOB，再分点C在优弧AB上和劣弧AB上，可求得答案．【详解】如图，连接OA、OB，∵PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-40°=140°，当点C1在优弧AB上时，则∠AC1B=12∠AOB=70°，当点C2在劣弧AB上时，则∠AC2B+∠AC1B=180°，∴∠AC2B=110°，故选C．【点睛】本题主要考查切线的性质，由条件求得∠AOB是解题的关键，注意分点C在优弧和劣弧上两种情况．112．【解析】【分析】当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ2=CP2﹣CQ2，先求出CP 的长，然后由勾股定理即可求得答案．【详解】连接CP、CQ；如图所示：∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∠CQP=90°，根据勾股定理得：PQ2=CP2﹣CQ2，∴当PC⊥AB 时，线段PQ最短．∵在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，AC3∴CP=AC BCAB⋅232⨯3PQ22CP CQ-312-=PQ的最小值是22【点睛】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．12．3或43【解析】【分析】分两种情况：P与直线CD相切、P与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得.==，【详解】如图1中，当P与直线CD相切时，设PC PM m在Rt PBM中，222=+，PM BM PB222∴=+-，x4(8x)∴=，x5=-=-=；PC5∴=，BP BC PC853⊥，四边如图2中当P与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则PK AD形PKDC是矩形，PM PK CD2BM∴===，BM4∴=，PM8=，在Rt PBM中，22PB8443=-=综上所述，BP的长为3或3【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键．13．3 4【解析】【分析】当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=2cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DOC，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤2．【详解】当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时，此时，CF=2，由题意得：AC=4t，BD=3t∴OC=8-4t，OD=6-3t，∵点E是OC的中点，∴CE=12OC=4-2t，∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO，∴△EFC∽△DOC，∴EF FC OD OC=，∴EF=()2633 822tt-=-，由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，∴（4-2t）2=2 2+（32）2，解得：t=34或t=134，∵0≤t≤2，∴t=34．故答案为34．【点睛】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．14．459【解析】【分析】根据切线长定理，可设AE=AF=x，BF=BD=y，CE=CD=z．再根据题意列方程组，即可求解．【详解】如图，根据切线长定理，设AE=AF=x，BF=BD=y，CE=CD=z．根据题意，得91413x y y z x z +⎧⎪+⎨⎪+⎩＝＝＝，解得459x y z ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝．即AF=4、BD=5、CE=9．故答案为：4，5，9.【点睛】此题主要是运用了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程组求解．15．相交【解析】【分析】若d ＜r ，则直线与圆相交；若d =r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．【详解】解：根据题意得：该圆的半径是8cm ，即大于圆心到直线的距离4cm ，则直线和圆相交．故答案为相交．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．16．【解析】【分析】作OP 垂直于AB ，垂足为P,连接OA ，运用切性质可得到直角三角形，再根据勾股定理得OP ，根据垂径定理,得AB=2OP.【详解】作OP 垂直于AB ，垂足为P,连接OA.因为，直线与小圆相切，所以，OP=2，AB=2OP,所以，==所以，AB=2OP=故答案为：【点睛】本题考核知识点：切线性质，垂径定理.解题关键点：由切线性质得到直角三角形，由垂径定理得到线段长度.17．15-x 2+x+20（0＜x ＜10）854不存在．【解析】【分析】先连接BP ，AB 是直径，BP ⊥BM ，所以有，∠BMP=∠APB=90°，又∠PBM=∠BAP ，那么有△PMB ∽△PAB ，于是PM ：PB=PB ：AB ，可求22210,10PB x PM AB -==从而有22210122055x AP PM x x x -+=+=-++（0＜x ＜10），再根据二次函数的性质，可求函数的最大值．【详解】如图所示，连接PB ，∵∠PBM=∠BAP ，∠BMP=∠APB=90°， ∴△PMB ∽△PAB ，∴PM ：PB=PB ：AB ， ∴22210,10PB x PM AB -== ∴22210122055x AP PM x x x -+=+=-++（0＜x ＜10）， ∵105a =-<， ∴AP+2PM 有最大值，没有最小值，∴y 最大值=2485,44ac b a -= 故答案为21205x x -++（0＜x ＜10），854，不存在．【点睛】考查相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，综合性比较强，需要熟练掌握. 18．60°.【解析】连接OO′和O′A，根据切线的性质，得O′A⊥OA，根据题意得OO′=2O′A，则∠AOO′=30°，再根据切线长定理得∠AOB=2∠AOO′=60°．故答案是：60°．19．65°【解析】∠=︒-∠-∠A B C180=︒-︒-︒1806070=︒．50连结ID 、IF ．∵⊙I 与ABC △三边分别切于点D ，E ，F ， ∴ID AB ⊥，IF AC ⊥，∴90ADI AFI ∠=∠=︒，∴180********DIF A =︒-∠=︒-︒=︒，∴1652DMF DIF ∠=∠=︒．故答案为65︒．20．1或6或11或26【解析】如图所示，∵OC =6，DE =10，∴OD =OE =5，CD =1，EC =11，∴t =1或11s 时，⊙O 与直线AC 相切；当⊙O ′与AB 相切时，设切点为M ，连接O ′M ，在Rt △BMO ′中，BO ′=2MO ′=10，∴OO ′=6，当⊙O ″与AB 相切时，设切点为N ，连接O ′N ，同法可得BO ″=10，OO ″=26，∴当t=6或26s时，⊙O与AB相切．故答案为1或6或11或26点睛：本题考查了切线的性质.对圆O分别与直线AC、AB.相切进行讨论是解题的关键. 21．BD是⊙O的切线.【解析】试题分析：连接OD，因为D在圆上，所以证∠BDO=90°即可．试题解析：BD是⊙O的切线，理由如下：连结OD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠BAD=30°，∴∠DOB=∠ODA+ ∠BAD=60°，∵∠B=30°，∴∠ODB=180°-∠B-∠DOB=90°，即OD⊥BD，∴BD是⊙O的切线. 22．（1）答案见解析；（2）45°．【解析】试题分析：（1）连接OC，利用等角的余角相等即可证明；（2）根据三角形的外角的性质证明∠CEF=∠CFE即可求解．试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，∴∠DCO=90°，∴∠3+∠2=90°．∵AB是直径，∴∠1+∠B=90°，∴∠3=∠B．（2）解：∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB．∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，∴∠CEF=∠CFE．∵∠ECF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°．点睛：本题考查了切线的性质以及三角形的外角的性质，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．23．（1）详见解析；（2）详见解析；（33【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线FC ，进而得出⊙O ；（2）根据切线的判定定理求出EO=BO ，即可得出答案；（3）根据锐角三角函数的关系求出AC ，EO 的长，即可得出答案．【详解】（1）解：如图所示：（2）证明：过点O 作OE⊥AC 于点E ，∵FC 平分∠ACB，∴OB=OE，∴AC 是所作⊙O 的切线；（3）解：∵∠A=30°，∠ABC=90° ∴∠ACO=∠OCB=12∠ACB=30°， 3， 333， ∴△AOC 的面积为：12×AC×OE=1233 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及切线的判定和锐角三角函数的关系等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．24．（1）见解析；（2）6【解析】试题分析：（1）连接OC ，利用角平分线证明AD OC ，所以90ADC OCD ∠=∠=︒即CD OC ⊥.(2) 过O 作OM AB ⊥于M ，先证明四边形DMOC 为矩形，在Rt AMO 中，90AMO ∠=︒，由勾股定理得DA 长度.试题解析：（1）证明：连接OC ．∵OC OA =，∴OAC OCA ∠=∠．∵AC 平分PAE ∠，∴DAC OAC ∠=∠，∴DAC OCA ∠=∠，∴AD OC ．∵CD PA ⊥，∴90ADC OCD ∠=∠=︒即CD OC ⊥，点C 在O 上，∴CD 是⊙O 切线．（2）过O 作OM AB ⊥于M ，即90OMA =︒，AM BM =．∵90MDC OMA DCO ∠=∠=∠=︒，∴四边形DMOC 为矩形．∴OC DM =，OM CD =．∵10AE =，∴5AO =，∴5OC AO ==，∴5DM =，∴5AM DA =-．∵6DC DA +=，∴6OM CD DA ==-．在Rt AMO 中，90AMO ∠=︒，由勾股定理得222AO AM OM =+，∴2225(6)(6)DA DA =-+-解得2DA =或9DA =（舍去），∴523AM =-=，∴26AB AM ==．点睛：圆中角的计算与证明，常用的隐含条件是两条半径所构成的等腰三角形，圆周角定理，同弧所对圆周角相等，所以要求把三角形，四边形的知识有一个深刻的理解,特别是直角三角形勾股定理列方程求未知量.25．（1）详见解析；（2）4.3π 【解析】【分析】（Ⅰ）连接OD ，OB ，只要证明OD⊥EF 即可；（Ⅱ）根据已知结合圆内接四边形的性质得出∠A=60°，即可得出△OAB 等边三角形，再利用弧长公式计算得出答案．【详解】（1）连接OD ，OB ，∵D 为BC 的中点，∴∠BOD＝∠COD，∵OB＝OC ，∴OD⊥BC，∴∠OGC＝90°，∵EF∥BC，∴∠ODF＝∠OGC＝90°，即OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BDC＝180°，又∵∠BDC＝2∠A，∴∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB 等边三角形，∵OB＝AB＝2，又∵∠BOC＝2∠A＝120°，∴EC＝12024=1803ππ⨯⨯．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识点的综合运用，正确得出△OAB是等边三角形是解题关键．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）连接OB、OC、OD，根据圆心角与圆周角的性质得∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD，又AD平分∠BAC，得∠BOD=∠COD，再根据圆周角相等所对的弧相等得出结论.（2）过点O作OM⊥AD于点M，又一组角相等，再根据平行线的性质得出对应边成比例，进而得出结论；（3）延长EO交AB于点H，连接CG，连接OA，BC为⊙O直径，则∠G=∠CFE=∠FEG=90°，四边形CFEG是矩形，得EG=CF，又AD平分∠BAC，再根据邻补角与余角的性质可得∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，AE=BE，AF=CF，再根据直角三角形的三角函数计算出边的长，根据“角角边”证明出△HBO∽△ABC，根据相似三角形的性质得出对应边成比例，进而得出结论.【详解】（1）如图1，连接OB、OC、OD，∵∠BAD和∠BOD是BD所对的圆周角和圆心角，∠CAD和∠COD是CD所对的圆周角和圆心角，∴∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD；（2）如图2，过点O作OM⊥AD于点M，∴∠OMA=90°，AM=DM，∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，∴∠CFM=90°，∠MEB=90°，∴∠OMA=∠MEB，∠CFM=∠OMA，∴OM∥BE，OM∥CF，∴BE∥OM∥CF，∴OC FM OB EM=，∵OB=OC，∴OC FMOB EM==1，∴FM=EM，∴AM﹣FM=DM﹣EM，∴DE=AF；（3）延长EO交AB于点H，连接CG，连接OA．∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°，∠G=90°，∴∠G=∠CFE=∠FEG=90°，∴四边形CFEG是矩形，∴EG=CF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF=12×90°=45°，∴∠ABE=180°﹣∠BAF﹣∠AEB=45°，∠ACF=180°﹣∠CAF﹣∠AFC=45°，∴∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，∴AE=BE，AF=CF，在Rt△ACF中，∠AFC=90°，∴sin∠CAF=CFAC，即sin45°=2CF，∴CF=2×22，∴2，∴EF=2EG=22，∴AE=32，在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∴AB=32cos452AE=︒=6，∵AE=BE，OA=OB，∴EH垂直平分AB，∴BH=EH=3，∵∠OHB=∠BAC，∠ABC=∠ABC ∴△HBO∽△ABC，∴26 HO ACHB AB==，∴OH=1，∴OE=EH﹣OH=3﹣1=2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和圆的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质和圆的相关知识点.27．（1）详见解析；（2）10．【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，证得∠OCD=90°，即可证得CD是⊙O的切线；（2）根据直角三角形有一个角是30度，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得OB=BD.【详解】()1证明：连接OC，∵CA CD =，120ACD ∠=，∴30A D ∠=∠=，∴223060COD A ∠=∠=⨯=，∴180603090OCD ∠=--=，∴OC CD ⊥，∵OC 是O 的半径， ∴CD 是O 的切线；()2由()1得：90OCD ∠=，在直角OCD 中，∵30D ∠=，∴2OD OC =，∵OC OB =，∴2OD OB =，∴10OB BD ==，∴O 的半径是10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，直角三角形的性质，切线的判定定理，难度适中．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．28．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由AD 为直径，得到所对的圆周角为直角，利用等角的余角相等得到一对角相等，进而利用两对角对应相等的三角形相似即可得证；（2）连接OM ，由BC 为圆的切线，得到OM 与BC 垂直，利用锐角三角函数定义及勾股定理即可求出所求．【详解】解：（1）∵AD为圆O的直径，∴∠AMD=90°．∵∠BMC=180°，∴∠2+∠3=90°．∵∠ABM=∠MCD=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，∴△ABM∽△MCD；（2）连接OM．∵BC为圆O的切线，∴OM⊥BC．∵AB⊥BC，∴sin∠E=ABAE=OMOE，即ABAO OE+=OMOE．∵AD=8，AB=5，∴54OE+=4OE，即OE=16，根据勾股定理得：ME=22OE OM-=22164-=415．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义以及切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。

2024年浙江省浙派联盟九年级中考第二次考试二模数学试题(含解析)

2024年浙江省初中学业水平考试押题卷（一）数学试题卷考生须知：1．全卷分试题卷I 、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共4页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时长为120分钟．2．请将学校、班级、姓名和准考证号分别填写在答题卷的规定位置上．3．答题时，把试题卷I 的答案在答题卷I 上对应的选项位置用2B 铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效．4．不允许使用计算器．一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列消防标志符号，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列计算正确的是（）A．B ．C ．D ．5．如图，一根3m 长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A 离地面的高度为1m 时，木头的倾斜角的余弦的值为（）1- 1.5-0.5+1+22a a b b =22a b a b a b -=+-11a a b b +=+112325m m m +=AB AC AB αcos α6．某中学个班参加春季植树活动，具体植树情况统计如下表植树数目班级数目142571则该校班级种植树木的中位数和众数分别为（）A ．，7B ．，7C ．，D ．，7．不等式组的整数解的个数是（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．四边形具有不稳定性，教材是在平行四边形概念的基础上学习矩形定义的，教材提出的情景问题是：“在这些平行四边形中，有没有一个面积最大的平行四边形”，因此通过平行四边形变形可以得到矩形．某同学将平行四边形的边与边分别绕点A 、点逆时针旋转，得到矩形，若此时、、恰好共线，cm ，cm ，那么边扫过的面积为（）A ．B ．C ．D ．89．如图，直线交坐标轴于点，，交反比例函数于点，，若，则的值为（）32030404550607047.55047.56050603112272x x -⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩ABCD AD BC B ABC D ''C 'D B 2AB =4=AD CD 8-4123π-364y x =-+A B k y x=M N MN AM BN =+k10．如图，正方形和正方形的点、、在同一条直线上，点为的中点，连结、、，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长．（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：．12．一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是．13．如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm ，则像的长 cm ．\14．如图，是的直径，切于点，的平分线交于点，若，，则的长为．15．在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三4ABCD CEFG B C E M AF DM CM CF DM CF CM DG AF24ab a -=72︒MN O F PM NB :2:1OM ON =BN =AB O BC O B ACB ∠AB P 5AC =3BC =OP分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为里/日．16．如图，在等腰中，，，点在边上运动，连接，将绕点顺时针旋转，交斜边于点．则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长为．三、解答题（本题有8小题，共72分，各题都必须写出必要的解答过程）17．计算：18．某同学为了调查人们选择快递公司的原因，制作了如下表的调查报告（不完整）．调查方式随机抽样调查调查对象电商卖家500人普通人500人调查问卷内容选择快递公司的原因（请选择一项在方框内打钩）价格优惠☐ 寄件方便口配送速度口服务态度好口调查结果Rt ABC△90C ∠=︒1AC BC ==D BC AD AD D 90︒AB E D C B E ()0202445-︒结合调查信息，回答下列问题：(1)计算扇形统计图中“服务态度好”这一原因的圆心角度数．(2)普通人的500份调查问卷中选择“寄件方便”的有几人？(3)如果你是电商业务员，请说明你会依据哪一项来选择合作的快递公司．19．如图是的网格，网格边长为1，的顶点在格点上．已知的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）．(1)找出的外接圆的圆心，并求的长．(2)在圆上找点，使得．20．科学实验证明，力的大小是可以测量的，弹簧秤是利用弹簧“受力大，伸长长”的特征制成的．在弹性限度内，实验室某种弹簧的长度与所挂物体质量的图象是如图所示的一条线段．(1)求关于的函数解析式．(2)当弹簧长度为时，所挂重物的质量是多少克？21．在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，，要满足的条件．请解答下列问题：(1)经过讨论，小郑同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②；③___________．66⨯ABC ABC ABC O ABC D CB CD =()cm y ()g x y x 14cm 1n a =n a n 1n a =n 00a n ≠⎧⎨=⎩1a n =-⎧⎨⎩为偶数=a(2)若，求的值．22．【作品设计】如图1，是小明为趣味数学课设计的一个．其设计的意思是：三角形具有稳定性，表示大家学习数学的坚定信心，两个有公共顶点的三角形表示积极向上的态度；三个三角形合在一起表示合作学习的重要性．【数学原理】如图2，是小明设计时的数学原理图．即将两块形状相同，大小不相同的直角三角形纸片放入中，其中，圆心在直角边上．连接并延长，交于点．【设计制作】为参加评比，需要把作品制作出来．如果要求作品的，，那么小明觉得需要解决以下问题：问题1：需要找多大的圆形材料．问题2：需要知道点离开点的距离和点离开点的距离．【问题解决】(1)求：的半径．(2)求证：．(3)求的长．23．已知二次函数．()22110x x +--=x 1ogo 1ogo O 90CAB CED ∠=∠=︒O AB CO DE F 20cm BC =24cm DC =E B F D O ECF EDC △∽△DF ()243y x m x m =-+++(1)证明该二次函数过一定点．(2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围．(3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值．24．定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”．利用上述知识解答下列问题．(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________．(2)在四边形中，对角线平分．①如图1，若，，求的最小值．②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．11x m ≤≤+y 2m -m (),0A m ()()0,30B m m +>C A B C m ABCD ABD DBC ∠=∠ABCD ABCD BD ABC ∠60ABC ∠=︒4BD =AD CD +AC DC ACE ∠25BDC ∠=︒DAC ∠60ABC ∠=︒AD CD =AC BD E 6BC =AEB △ABCD参考答案与解析1．C 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近，即可作答．【详解】解：∵，，∴的位置距离原点最近，故选：C ．2．A【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图是解题的关键．根据从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图对各选项进行判断即可．【详解】解：由题意知，A 中主视图与左视图不相同，符合要求；B 、C 、D 中主视图与左视图相同，不符合要求；故选：A ．3．D【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键；根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可．【详解】A ．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；B ．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；C ．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；11, 1.5 1.5,0.50.5,11-=-=+=+=1.5110.5∴->-=+>+0.5+180︒180︒180︒D ．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；故选：D ．4．B【分析】本题考查分式的基本性质，分式加减运算，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，分式加减运算法则，本题属于基础题型．根据分式的基本性质和分式加减运算法则，逐项判断即可．【详解】解：A ．，故选项错误，不符合题意；B ．，故选项正确，符合题意；C ．，故选项错误，不符合题意；D ．，故选项错误，不符合题意．故选：B ．5．A【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是将题目中的条件进行转化，得到所求问题需要的条件即的长．根据题意可以求得的长度，从而可得的值．【详解】解：由题意可知，在中，，，故答案为：A ．6．D【分析】本题考查了中位数，众数．熟练掌握中位数，众数是解题的关键．根据中位数，众数的定义求解作答即可．【详解】解：由题意知，中位数为第位数的平均数即，众数为，故选：D ．7．B180︒22≠a a b b()()22a b a b a b a b a b a b+--==+--11a ab b +≠+1123532666m m m m m+=+=BC BC cos αRt ABC △m m AB AC ==3,1BC ∴===cos BC AB ∴==α1011、5050502+=60【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解答本题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，故不等式组的解集是，其整数解有1，2，3，4共4个，故答案为：B ．8．A【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．连接，，以A 为圆心，的长为半径，作,以B 为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积.【详解】解：连接，，以A 为圆心，的长为半径，作,以B 为圆心，的长为半径，作,扫过的面积为,及，围成的面积，即平行四边形的面积就是扫过的面积.由旋转可知，，，是平行四边形，中，，，3112272x x -⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩①②1x ≥4.5x ≤x ≤≤1 4.5DD 'CC 'AD DD'BC CC'CC D D ''CD DD 'CC 'AD DD'BC CC'CD DD' CC 'C D ''CD CC D D ''CD cm CD C D AB CD C D ''''=== ,2cm AD AD BC ''===4CC D D ''∴Rt ABD ∴BD ===C D BC BD ''∴=-=-4，故答案为：A ．9．C【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例，一元二次方程根与系数的关系，先根据，可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，可得，根据，联立直线与反比例函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．【详解】解：∵∴如图所示，过点作轴的垂线，垂足分别为，∴∴，即∵∴设的横坐标为∴联立即∴(CC D D S CD C D '''∴=⋅=⨯-=- 248MN AM BN =+12MN AB =,M N x ,C D 12CD OB =214x x -=MN AM BN=+12MN AB=,M N x ,C D AO MC ND∥∥AM MN NB OC CD DB ==MN CD AB OB=12MN AB =12CD OB=,M N 12,x x 214x x -=364y x ky x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23604x x k -+-=121248,3kx x x x +==∴解得：故选：C ．10．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，在正方形中证明三角形全等，并运用全等的性质解题是中考的热点，本题作辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．连接并延长交于H ，根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后根据等腰直角三角形的性质解答．【详解】解：连接并延长交于H ，四边形和四边形是正方形，三点在同一直线上，，，是直角三角形，为的中点，，在和中，，，，，214x x -===9k =GM AD MAH MFG ∠=∠AHM △FGM △HM GM =AH FG =DH DG =GM AD ABCD CEFG ,,B C E AD GF ∴∥,90MAH MFG CDA ∴∠=∠∠=︒GDH ∴ M AF AM FM ∴=AHM △FGM MAH MFG AM FMAMH FMG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA AHM FGM ∴ ≌HM GM ∴=AH FG =是的中点，即，，，即，是等腰直角三角形，所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长．故答案为：C ．11．【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式是解题的关键．直接运用提公因式法因式分解即可．【详解】故答案为：12．##0.2【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解公式是解题的关键．由图可得红色区域所对的圆心角为，然后根据概率公式可求解．【详解】解：由图可得：红色区域所对的圆心角为，∴；故答案为．13．3【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意得，列出比例式，代入数据即可求解．【详解】解：由题意得，∴，∵，，M ∴H G DM GH =12AD CD AH FG CG ===,A D A H C D C G∴-=-DG DH =DGH ∴ DG GH DM ()4a b a -24ab a -()4a b a =-()4a b a -1572︒72︒7213605P ︒==︒15PMO BNO ∽△△PMO BNO ∽△△PM OM BN ON=:2:1OM ON =6cm PM =∴，故答案为：3．14．##【分析】过点P 作于点D ，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出x 的值，最后求出结果即可．【详解】解：过点P 作于点D ，如图所示：∵是的直径，切于点，∴，∴，∵，，∴，∴，∵的平分线交于点，，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，根据勾股定理得：，∴，()13cm 2BN PM ==120.5PD AC⊥4AB ==PD PB =Rt Rt CPD CPB ≌3CD BC ==PD PB x ==4AP x =-()22242x x -=+PD AC ⊥AB O BC O B AB BC ⊥90ABC ∠=︒5AC =3BC =4AB ==2AO BO ==ACB ∠AB P PD AC ⊥PD PB =PC PC =Rt Rt CPD CPB ≌3CD BC ==532AD =-=PD PB x ==4AP x =-222AP DP AD =+()22242x x -=+解得：，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．15．780【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设主人的马的速度为x 里/日，根据主人追上客人时两人行驶路程相等列方程，即可求解．【详解】解：设主人的马的速度为x 里/日，根据题意，得，解得，即主人骑马的速度为780里/日．故答案为：780．16．【分析】本题考查了轨迹、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．过点E 作，再根据等腰三角形的性质得，再证明，，设，，得，整理方程得根据方程有解，得，求出y 的最大值和最小值，得，根据再返回B 点，即可得出结论。

浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合培优测试题1(附答案详解)

浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合培优测试题1（附答案详解）1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为AD 延长线上一点，若∠CDE=80°，则∠B 等于（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°2．如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，若∠A=70°，则∠BOC 的度数为（）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100° 3．如图，割线PAB 交O 于A 、B 两点，且:2:1PA AB =，PO 交O 于C ，3PC =，2OC =，则PA 的长为（）A ．23B ．14C ．26D ．10 4．如图，PT 是O 的切线，T 为切点，PBA 是割线，交O 于A 、B 两点，与直径CT 交于点D ，已知2CD =，3AD =，4BD =，那么PB 等于（）A ．6B ．615C ．7D ．205．如图，点A ，B ，C ，D 都在圆上，线段AC 与BD 交于点M ，MB MD =，当点B ，D ，M 保持不变，点A 在圆上自点B 向点D 运动的过程中（点A 不与点B ，点D 重合），那么线段MA 与MC 的乘积（）A ．不变B ．先变大，后变小C ．变大D ．先变小，后变大6．已知☉O 的半径r=2 cm,☉O 的圆心到直线l 的距离d=cm,则直线l 与☉O 的位置关系是( )A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．无法确定 7．如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上的点，直线MN 切O 于C 点，图中与BCN ∠互余的角有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于点 C ，∠ECB=35°，则∠D 的度数是（）A ．145°B ．125°C ．90°D ．80°9．在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，CP 、CM 分别是AB 上的高和中线，如果圆A 是以点A 为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（）A ．点P ，M 均在圆A 内B ．点P 、M 均在圆A 外C ．点P 在圆A 内，点M 在圆A 外D ．点P 在圆A 外，点M 在圆A 内10．如图，∠AOB=30°，点C 在OB 上，OC=5㎝，若以C 为圆心，r 为半径的圆与OA 相切，则r 等于（）A ．3㎝B ．2.5㎝C ．3㎝D ．3.5㎝11．菱形的对角线交点为O ，以O 为圆心，O 到菱形一边的距离为半径的圆与另三边的位置关系是________．12．如图，CD 是⊙O 的切线，切点为E ，AC 、BD 分别与⊙O相切于点A 、B ．如果CD=7，AC=4，那么DB 等于_____．13．如图，AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，若∠D=30°，OA=2，则CD= ______．14．△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，则△ABC的面积为_____．15．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若AB=9，BC=14，AC=13，则AF的长为________.16．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，且∠BAD=80°，则∠DAC的度数是_____________．17．如图，P A，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C 的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为__________．18．如图，I是ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点∠的度数为________．D、E、F，DEF50∠=，则A19．如图10，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB＝_________．20．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆O n均与直线l相切，设半圆O1，半圆O2，…，半圆O n的半径分别是r1，r2，…，r n，则当直线l与x轴所成锐角为30 时，且r1=1时，r2017=_______.21．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB交AB于点D，点P是⊙O上AB上方的一个动点（P不与A、B重合），已知∠APB=60°，∠OCB=2∠BCM．（1）设∠A=α，当圆心O在∠APB内部时，写出α的取值范围；（2）求证：CM是⊙O的切线；（3）若OC=4，PB=42，求PC的长．22．如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB 交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点.(1)求证：AB与⊙O相切；(2)若等边三角形ABC的边长是8，求线段BF的长.23．已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE垂直AC于E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）若AB=13，BC=10，求DE的长24．如图，已知点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，CD 为∠ACE 的角平分线．（1）求证：△ABD 为等腰三角形；（2）若∠DCE=45°，BD=6，求⊙O 的半径．25．如图，已知C ∆AB 内接于O ，AB 为O 的直径，D B ⊥AB ，交C A 的延长线于点D ．（1）E 为D B 的中点，连结C E ，求证：C E 是O 的切线．（2）若C 3CD A =，求∠A 的大小．26．如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线与△ABC 的外接圆相交于点D ．(1)若∠BAC=70°，求∠CBD 的度数；(2)求证：DE=DB ．27．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为弧BC 的中点，作DE ⊥AC ，垂足为AC 的延长线上的点E ，连接DA ，DB ．（1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）试探究线段AB，BD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）延长ED交AB的延长线于F，若AD=DF，DE=3，求⊙O的半径；28．如图4，已知AB为半圆O的直径，BC⊥AB于点B，且BC＝AB，D为半圆上一点，连结BD并延长交半圆O的切线AE于点E.图4①图4②(1)如图①，若CD＝CB，求证：CD为半圆O的切线；(2)如图②，若点F在OB上，且FD⊥CD，求AEAF的值．参考答案1．C【解析】试题解析：∵四边形ABCD 内接于O ，180,B ADC ∴∠+∠=180,CDE ADC ∠+∠=∴80B CDE ∠=∠=︒，故选C ．点睛：圆内接四边形的对角互补.2．C【解析】【分析】【详解】∵AB 、AC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，∴∠B =∠C =90°，∠BOC =180°-∠A =110°．故选C ．3．B【解析】【分析】设AB =x ，P A =2x ，则PB =3x .根据割线定理列方程求解即可.【详解】延长PO 交圆于D .∵:2:1PA AB =，∴可设AB =x ，P A =2x ，则PB =3x .∵3PC =，2OC =，∴PO =2+2+3=7.∵P A ·PB =PC ·PO ，∴2x · 3x =3×7,∴x=114 2,∴P A=2x= 14，故选B.【点睛】本题考查了割线的性质，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.4．D【解析】【分析】由相交弦定理知，TD•CD=AD•BD可求得TD的长；由勾股定理知，PT2=PD2-TD2，由切割线定理知，PT2=PB•PA=（PD-BD）（PD+AD），从而可求得PD，PB的长．【详解】解：∵TD•CD=AD•BD，CD=2，AD=3，BD=4，∴TD=6，∵PT2=PD2-TD2，∴PT2=PB•PA=（PD-BD）（PD+AD），∴PD=24，∴PB=PD-BD=24-4=20．故选：D．【点睛】本题考查相交弦定理，勾股定理，切割线定理，解题关键是熟练掌握定理．5．A【解析】【分析】根据相交弦定理直接解答即可．【详解】∵点A，B，C，D都在圆上，∴MB⋅MD=AM⋅MC，∵MB=MD，当点B，D，M保持不变，∴MB⋅MD为定值，∴AM⋅MC为定值，故选：A.【点睛】本题主要考查的是相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.6．B【解析】【分析】因为⊙O的半径r=2 cm，圆心O到直线l的距离为d= ，所以d<r，所以直线l与⊙O的位置关系是相交．【详解】∵因为⊙O的半径r=2 cm，圆心O到直线l的距离为d= ,∴d<r,∴直线l与⊙O的位置关系是相交.故选:B.【点睛】考查了直线与圆的位置关系,设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O 相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．7．C【解析】【分析】由弦切角定理、圆周角定理可得∠BCN=∠BAC，∠ACM=∠D=∠B，由AB为直径，得∠ACB=90°，则∠B、∠D、∠ACM都是∠BCN的余角．【详解】∵直线MN 切⊙O 于C 点，∴∠BCN=∠BAC ，∠ACM=∠D=∠B ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCN+∠ACM=90°，∠B+∠BCN=90°，∠D+∠BCN=90°．故选C ．【点睛】本题考查了弦切角定理圆及周角定理，数量掌握弦切角定理及圆周角定理是解决问题的关键．8．B【解析】试题解析：连接.OC∵EC 与O 相切,35ECB ∠=，55OCB ∴∠=，,OB OC =55OBC OCB ∴∠=∠=，180********.D OBC ∴∠=-∠=-=故选B.点睛：圆内接四边形的对角互补.9．C【解析】【分析】先利用勾股定理求得AB 的长，再根据面积公式求出CP 的长，根据勾股定理求出AP 的长，根据中线的定义求出AM 的长，然后由点P 、M 到A 点的距离判断点P 、M 与圆A 的位置关系即可得出答案．【详解】如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=2222345AC BC+=+=，∵CP、CM分别是AB上的高和中线，∴12AB⋅CP=12AC⋅BC，AM=12AB=2.5，∴CP=2.4，∴AP=22223 2.4 1.8AC CP-=-=，∵AP=1.8<2，AM=2.5>2，∴点P在圆A内、点M在圆A外.故选C.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系.利用直角三角形的性质求出AP、AM的长是解题的关键. 10．B【解析】【分析】如图，作CD⊥OA于D，根据切线的性质可知CD=r，再根据在直角三角形中，30°角所对应的直角边为斜边的一半即可求得CD的长.【详解】解：如图，作CD⊥OA于D，根据切线的性质可知CD=r，在Rt△OCD中，∵∠AOB=30°，∴CD=12OC=2.5cm.故选B.【点睛】本题主要考查切线的性质，含30度角的直角三角形，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 11．相切【解析】【分析】菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，故四个三角形面积相等且斜边相等，根据面积法即可计算斜边的高相等，即可得到结论．【详解】菱形对角线互相垂直平分，所以AO=CO，BO=DO，AB=BC=CD=DA，∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO，∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO的面积相等．又∵AB=BC=CD=DA，∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO斜边上的高相等，即O到AB、BC、CD、DA的距离相等，∴O到菱形一边的距离为半径的圆与另三边的位置关系是相切．故答案为相切．【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了全等三角形的证明以及直线和圆的位置关系，本题中求证△ABO、△BCO、△CDO、△DAO斜边上的高相等是解题的关键．12．3【解析】【分析】由于CD、AC、BD是⊙O的切线，则可得AC=CE，DE=DB，由已知数据易求DE的长，进而可求出DB的长．【详解】解：∵CD是⊙O的切线，切点为E，AC、BD分别与⊙O相切于点A、B，∴AC=CE，DB=DE，∵AC=4，∴CE=AC=4，∵CD=7，∴DE=CD-CE=3，∴DB=DE=3．【点睛】本题考查了切线长定理，解题的关键是两次运用切线长定理并利用等式的性质．13．23【解析】【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD=90°，进而勾股定理得出DC的长．【详解】连接CO，∵DC是⊙O相切于点C，∴∠OCD=90°，∵∠D=30°，OA=CO=2，∴DO=4，∴22342故答案为23．【点睛】此题主要考查了切线的性质以及勾股定理，正确得出DO的长是解题关键．14．12r l【解析】【分析】如图，连接圆心和切点，则可得到垂直关系，将图形分割成三个三角形，求三个三角形的面积和即可．【详解】由题意，如图，连接OE，OD，OF；OA，OB，OC；则OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC；∴S△ABC=12AB×OE+12BC×OD+12AC×OF∵OE=OF=OD=r，AB+BC+AC=l，∴S△ABC=12AB×r+12BC×r+12AC×r=12r（AB+BC+AC）=12rl．【点睛】本题解答的关键是，充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和．15．4cm【解析】【分析】由切线长定理，可知：AF=AE，CD=CE，BF=BD，用未知数设AF的长，然后表示出BD的长，即可表示出CD的长，根据BD+CD=14，可求出AF的长．【详解】解：设AF=x，根据切线长定理得AE=x，BD=BF=9-x，CE=CD=CA-AF=13-x，则有9-x+13-x=14，解得x=4，即AF的长为4．故答案为4cm．【点睛】此题主要是运用了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程求解．16．40°【解析】分析：连接OC，由CD是☉O的切线，可得OC⊥DC，再结合AD⊥DC，可以推出AD∥OC，由平行线的性质可得∠DAC=∠ACO，再结合圆的半径相等，可得∠OAC=∠ACO，通过进一步推理可得∠DAC=12∠BAD，进面求出∠DAC的度数.详解：连接OC.∵CD是☉O的切线，∴OC⊥DC（圆的切线垂直于经过切点的半径）. ∵AD⊥DC，∴AD∥OC.∴∠DAC=∠ACO.∵OA=OC（同圆的半径相等），∴∠OAC=∠ACO.∴∠DAC=∠OAC.∵∠BAD=80°，∴∠DAC=12∠BAD=40°.故答案为：40°.点睛：本题主要考查的是与圆有关的知识，其中把切线的性质定理以及平行线的性质有机结合在一起是解题的关键.17．16【解析】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∴DE=DA+EB，∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=P A+PB．∵P A、PB 分别是⊙O的切线，∴P A=PB=8，∴△PDE的周长=16．故答案为16．18．80【解析】【分析】首先连接DI，FI，由圆周角定理可求得∠DIF的度数，然后由切线的性质，可求得∠ADI 和∠AFI的度数，继而求得答案．【详解】解：连接DI，FI，∵∠DEF=50°，∴∠DIF=2∠DEF=100°，∵⊙I是△ABC的内切圆，∴∠ADI=∠AFI=90°，∴∠A=360°-∠ADI-∠AFI-∠DIF=80°．故答案为：80°．【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．19．60°.【解析】连接OO′和O′A，根据切线的性质，得O′A⊥OA，根据题意得OO′=2O′A，则∠AOO′=30°，再根据切线长定理得∠AOB=2∠AOO′=60°．故答案是：60°．20．20163【解析】【分析】【详解】分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图，∵半圆O1，半圆O2，…，半圆O n与直线l相切，∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，∵∠AOO1=30°，∴OO1=2O1A=2r1=2，在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2，∴r2=3，在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3，∴r3=9=32，同理可得r4=27=33，所以r2017=32016．故答案为32016．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了从特殊到一般的方法解决规律型问题．21．（1）当圆心O在∠APB内时，α的取值范围为30°＜α＜90°；（2）证明见解析；（3）62．【解析】【分析】（1）取特殊情况：当O点在PA上，即AP为直径，根据圆周定理得∠PBA=90°，而∠APB=60°，得到此时∠A=30°；当O点在PB上，即BP为直径，得到∠A=90°；由此得到当圆心O在∠APB 内时，α的取值范围为30°＜α＜90°；（2）连结OB，根据垂径定理由OC⊥AB得到AC弧=BC弧，再根据圆周角定理得∠APB=∠BCP，于是由∠APB=60°得到∠BPC=30°，然后利用∠BOC=2∠BPC=60°可判断△OBC为等边三角形，则∠MCB=30°，可计算出∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；（3）作BE⊥PC于E，如图，在Rt△PBE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=122，36，再由△OBC为等边三角形得BC=OC=4，则可根据勾股定理计算出CE，然后利用PC=PE+CE进行计算即可．【详解】（1）当O点在PA上，即AP为直径，则∠PBA=90°，而∠APB=60°，所以此时∠A=30°；当O点在PB上，即BP为直径，则∠A=90°；所以当圆心O在∠APB内时，α的取值范围为30°＜α＜90°；（2）证明：连结OB，如图，∵OC⊥AB，∴=AC BC，∴∠APB=∠BCP，∵∠APB=60°，∴∠BPC=30°，∴∠BOC=2∠BPC=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠OCB=60°，∵∠OCB=2∠BCM，∴∠MCB=30°，∴∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°，∴OC⊥MC，∴CM与⊙O相切；（3）作BE⊥PC于E，如图，在Rt△PBE中，∠BPE=30°，2，∴BE=122，36，∵△OBC为等边三角形，∴BC=OC=4，在Rt△BEC中，2222BC BE-=∴PC=PE+CE=2622．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理、圆周角定理和圆的切线的判定定理以及等边三角形的性质；会运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系计算，正确找出辅助线是解本题的关键．22．（1）证明见解析；（2）BF =.【解析】试题分析：（1）过点O 作OM⊥AB，垂足是M ，证明OM 等于圆的半径OD 即可；（2）过点O 作ON⊥BE，垂足是N ，连接OF ，则四边形OMBN 是矩形，在直角△OBM 利用三角函数求得OM 和BM 的长，则BN 和ON 即可求得，在直角△ONF 中利用勾股定理求得NF ，则BF 即可求解．试题解析：（1）过点O 作OM⊥AB，垂足是M ，∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD⊥AC ，∴∠ADO=∠AMO=90°，∵△ABC 是等边三角形， AO⊥BC，∴OA 是∠MAD 的角平分线，∵OD⊥AC，OM⊥AB，∴OM=OD ，∴AB 与⊙O 相切；（2）过点O 作ON⊥BE，垂足是N ，连接OF ，∵AB=AC，AO⊥BC ，∴O 是BC 的中点， ∴118422OB BC ==⨯=，在直角△ABC 中，∠ABE=90°，∠MBO=60°，∴∠OBN=30° ，∵ON⊥BE，∠OBN=30°，OB=4，∴122ON OB ==，BN == ∵AB⊥BE，∴四边形OMBN 是矩形，∴BN OM ==，∵OF OM ==由勾股定理得NF ==∴BF BN NF =+=.【点睛】本题考查了切线的性质与判定，以及等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是解决本题的关键．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）60 13．【解析】试题分析：（1）连结AD，如图，由圆周角定理得到∠ADB=90°，则AD⊥BC，加上BD=CD，即AD垂直平分BC，所以AB=AC；（2）连结OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线，根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，所以OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE是⊙O的切线；（3）易得BD=DC=12BC=5，AC=AB=13，由勾股定理得到AD=12，再用面积法求出DE的长．试题解析：解：（1）连结AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∴D 为BC的中点，∴BD=CD，∴AB=AC；（2）连结OD，如图，∵OA=OB，DB=DC，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）BD=DC= 12BC=5，AC=AB=13，由勾股定理得：AD=12，在Rt△DAC中，1 2AD*DC=12AC*DE，∴DE=6013．点睛：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．24．（1）证明见解析（2）32【解析】【详解】试题分析：（1）欲证明△ABD为等腰三角形，只要证明∠DBA=∠DAB即可．（2）如图2中，只要证明AB是直径即可解决问题．试题解析：（1）如图1中，∵CD平分∠EAC，∴∠ECD=∠DCA，∵∠ECD=∠DAB，∠DCA=∠DBA，∴∠DBA=∠DAB，∴DB=DA．∵△DBA是等腰三角形．（2）如图2中，∵∠DCE=∠DCA=45°，∴∠ECA=∠ACB=90°，∴AB是直径，∴∠BDA=90°，∵BD=AD=6，∴AB=2222+=+=．BD DA6662∴⊙O的半径为32.25．（1）证明见解析（2）30°【解析】【分析】（1）想要证明CE是⊙O的切线，证明∠OCE=90°即可，连接半径OC，根据同圆的半径相等和直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：∠EBC+∠OBC=∠ECB+∠OCB，则∠OCE=∠OBE=90°，可得结论；（2）设CD=m，则AC=3m，证明△ACB∽△BCD，列比例式可得：AC=3CD，利用三角函数定义可得结论．【详解】（1）连接OC，∵AB为O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90°，B的中点，∵E为D∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠ECB+∠OCB=∠EBC+∠OBC，B⊥AB，∵D∴∠OCE=∠OBE=90°，∴C E是O的切线．（2）设CD=m,则AC=3m，∵AB 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AD ，∵AB ⊥BD ，∴△ABC ∽△BDC ，∴AC BC CB CD=， ∴2BC AC CD =⋅，∵AC =3CD ，∴BC 2=13AC 2， ∴3tan A ∠=， ∴∠A =30°. 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（1）35°；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由点E 是△ABC 的内心，∠BAC=70°，易得∠CAD=o 35，进而得出∠CBD=∠CAD=35°； (2) 由点E 是△ABC 的内心，可得E 点为△ABC 角平分线的交点，可得∠ABE=∠CBE ，∠BAD=∠CAD ，可推导出∠DBE=∠BED ，可得DE=DB.【详解】（1）∵点E 是△ABC 的内心，∠BAC=70°， ∴∠CAD=，∵， ∴∠CBD=∠CAD=35°；（2）∵E 是内心，∴∠ABE=∠CBE ，∠BAD=∠CAD ．∵∠CBD=∠CAD，∴∠CBD=∠BAD，∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，∴∠DBE=∠BED，∴DE=DB.【点睛】此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性较强, 注意数形结合思想的应用.27．(1)见解析;(2)BD2=CE•AB ;(3)2.【解析】【分析】(1)、连接OD，根据弧的中点以及OA=OD得出OD和AE平行，从而得出切线；(2)、根据AB为⊙O的直径，DE⊥AE得出∠E=∠ADB，根据四点共圆得出∠ECD=∠4，从而得出△ECD和△DBA相似，从而得出答案；(3)、根据AD=DF得出∠1=∠F=∠3，根据△ADF 的内角和得出∠1=30°，∠4=60°=∠ECD，根据Rt△ECD的三角函数得出CE、BD的长度，然后根据(2)的结论得出答案．【详解】解：（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠1=∠2∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴OD∥AE，∵DE⊥AE∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：数量关系是BD2=CE•AB，连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AE∴∠E=90°，∴∠E=∠ADB，∵A，B，D，C四点共圆，∴∠ECD=∠4，∴△ECD∽△DBA，∴CE CD BD BA=，∵D为弧BC的中点，∴CD=BD，∴CE BD BD AB=∴BD2=CE•AB；（3）解：∵OD⊥DE，∴∠ODF=90°，∵AD=DF，∴∠1=∠F=∠3 ，在△ADF中，∠1+∠F+∠3+∠ODF=180°，∴∠1=30°，∴∠4=60°=∠ECD，在Rt△ECD中tan∠ECD=EDCE，sin∠ECD=EDCD，∴CE=33，CD=33，∴CE=1，BD=CD=2，由BD2=CE•AB得(2)2=1×AB，∴AB=4，∴⊙O的半径是2．点睛：本题主要考查的是圆的基本性质以及切线的性质，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是根据圆的基本性质得出三角形相似．28．(1)见解析；(2)1.【解析】分析：(1)、连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；(2)、连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．详解：(1)证明：如答图①，连结DO，CO，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，在△CDO与△CBO中，∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∴OD⊥CD，∴CD为半圆O的切线；(2)如答图②，连结AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADF＋∠BDF＝90°，∠DAB＋∠DBA＝90°，∵∠BDF＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠DBA＝90°，∴∠ADF＝∠BDC，∠DAB＝∠CBD，∴△ADF∽△BDC，∴＝，∵∠DAE＋∠DAB＝90°，∠E＋∠DAE＝90°，∴∠E＝∠DAB，∵在△ADE和△BDA中，∴△ADE∽△BDA，∴＝，∴＝，即＝，∵AB＝BC，∴＝1.点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA是解题的关键．。

浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系自主学习培优测试卷B卷(附答案详解)

浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系自主学习培优测试卷B卷（附答案详解）1．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的大小是（）A．70°B．40°C．50°D．20°2．Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定3．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，若PA＝4，OA＝3，则sin∠APO的值为( )A．34B．35C．45D．434．如图，PA、PB切O于点A、B，PA8，CD切O于点E，交PA、PB于C、D两点，则PCD的周长是（）A．8 B．18 C．16 D．145．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（）A 32B6C．32D236．已知⊙O 的半径为5cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（）A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定7．如图，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于D 点，DP⊥AC，垂足是P ，DH⊥BH，垂足是H ，下列结论：①CH＝CP ；②AD＝DB ；③AP＝BH ；④DH 为圆的切线．其中一定成立的是()A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③ 8．已知AB 是O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作O 的切线，切点为C ，APC ∠的平分线交AC 于点D ，则CDP ∠等于（）A ．30B ．60C ．45D ．509．已知⊙O 的半径为5cm ，直线1上有一点P ，OP=5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（）A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．相交或相切10．在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 12 cm ，BC = 16 cm ，O 是AB 边上的一点，以O 为圆心的⊙O 与AC 、BC 都相切，则⊙O 的直径长为（）.A ．667cmB ．5137cmC ．4 cmD ．249cm 11．在平面直角坐标系中，⊙C 的圆心为C （a ，0），半径长为2，若y 轴与⊙C 至多有一个公共点，则a 的取值范围为____________．12．如图，O 的半径为3，P 是CB 延长线上一点，5PO =，PA 切O 于A 点，则PA =________．13．如图，在ABC 中，10AB =，6AC =，8BC =，O 为ABC 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan ODA∠=______．14．△ABC中, ∠C=90°, AB=4cm, BC=2cm, 以点A为圆心, 以3.4cm的长为半径画圆, 则点C在⊙O_____________, 点B在⊙O____________．15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为(﹣2，0)，半径为2，点P为直线y＝﹣34x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_____．16．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，16），D（0，﹣4），则线段AB的长度为_________.17．如图，等边三角形ABC的外接圆O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为______．18．如图，AC是以AB为直径的⊙O的弦，点D是⊙O上的一点，过点D作⊙O的切线交直线AC于点E，AD平分∠BAE，若AB=10，DE=3，则AE的长为_____．19．如图，∠ACB=60°，⊙O的圆心O在边BC上，⊙O的半径为3，在圆心O向点C 运动的过程中，当CO= ________时，⊙O与直线CA相切．20．已知O为△ABC的内心，且∠BOC=130°，则∠A=________．21．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E.（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；（2）分别联结EH和EA，当△ABE∽△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P 相交，试求圆B的半径r的取值范围；（3）将劣弧EH沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值.22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD⊥CF 于为点D，BD与半圆O交于点E，(1)求证：BC平分∠ABD(2)若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 相交于点E ．（1）求证：DI=DB ；（2）若AE=6cm ，ED=4cm ，求线段DI 的长．24．如果三角形三边的长a 、b 、c 满足3a b c b ++=，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”，如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）如图1，已知两条线段的长分别为a 、c （a ＜c ）．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图2，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ，若53BE CF =，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．25．如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于,A B ），AC 是DAB ∠的平分线，AD CD ⊥.（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若=3，5AB =，求AD 的值.26．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AB 于点F，交AC的延长线于点E．（1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AF=6，sinE=35，求BF的长．27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点E在BC上，以CE为直径的⊙O交AB于点F，AO∥EF （1）求证：AB是⊙O的切线；（2）如图2，连结CF交AO于点G，交AE于点P，若BE=2，BF=4，求APPE的值．参考答案 1．D【解析】【分析】连接BC ，OB ．四边形内角和定理和切线的性质求得圆心角∠AOB=140°，进而求得∠BOC 的度数；然后根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”可以求得12BAC BOC ∠=∠．【详解】解：连接BC ，OB ，∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°；而∠P=40°（已知），∴∠AOB=180°-∠P=140°，∴∠BOC=40°，1202BAC BOC ∴∠=∠=︒（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），故选D ．【点睛】本题考查了切线的概念，圆周角定理，四边形内角和定理求解．2．B【解析】解：过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ．∵∠C =90°，BC =6，AC =8，由勾股定理得：AB =22BC AC +=10，根据三角形计算面积的方法可知：BC ×AC =AB ×CD ，∴CD =6810⨯=4.8＜5，∴⊙C 与直线AB 相交．故选B ．点睛：本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．3．B【解析】分析：由PA 为⊙O 的切线，A 为切点，可得到OA ⊥AP ．根据勾股定理和已知条件可以求出OP ，然后即可求出cos ∠APO ．详解：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，∴OA ⊥AP.∴∴sin ∠APO=OA OP =35. 点睛：本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，关键是求出OP 的值和得出sin ∠APO=OA OP 4．C【解析】【分析】由P A ，PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，根据切线长定理可得：PB =P A =8，CA =CE ，DB =DE ，继而可得△PCD 的周长=P A +PB ．【详解】解：∵P A ，PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，∴PB =P A =8，CA =CE ，DB =DE ，∴△PCD 的周长=PC +CE +PD =PC +CE +DE +PC =PC +CA +DB +PD =P A +PB =16．故选C ．【点睛】本题考查了切线长定理．此题难度不大，注意从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．5．D【解析】【分析】连接BD ，作OE AD ⊥，连接OD ，先由圆内接四边形的性质求出BAD ∠的度数，再由AD AB =可得出ABD 是等边三角形，则1DE AD 2=，1ODE ADB 302∠∠==，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】连接BD ，作OE AD ⊥，连接OD ，O 为四边形ABCD 的外接圆，BCD 120∠=，BAD 60∠∴=． AD AB 2==，ABD ∴是等边三角形．1DE AD 12∴==，1ODE ADB 302∠∠==， DE 23OD cos30∴==．故选D ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键． 6．B【解析】【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm ，∴直线和圆相切，故选B ．【点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．7．D【解析】连接BD，如图所示：由题意可证△PCD≌△HCD（HL），∴CH=CP；还可以证明△ADP≌△BDH（AAS），∴AD=DB；AP=BH．因圆的直径不确定，而无法证明DH为圆的切线．故选D．8．C【解析】【分析】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【详解】如图，连接OC，∵OC=OA，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPO+∠COP=90°，∴(∠CPD+∠DPA)+(∠A+∠ACO)=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理与切线的性质，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与切线的性质. 9．D【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．【详解】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=5cm=r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜5cm=r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选D．【点睛】考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．10．B【解析】【分析】根据相似三角形列出方程即可得解.【详解】解：过O作OD⊥BC，则△ABC相似于△OBD，设半径为r，则()1616r-=12r，解得r=48 7，直径为967=1357.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积与勾股定理以及相似三角形，熟练的掌握三角形的面积公式与相似三角形的概念是解题的关键.11．a≥2或a≤-2【解析】【分析】根据直线与圆相离的条件：d＞r，即可解决问题.【详解】∵若y轴与⊙C至多有一个公共点，∴d≥r，∵C（a，0），r=2，∴a≤-2或a≥2，故答案为a≥2或a≤-2．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．4【解析】【分析】先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA的长．【详解】解：∵PA切⊙O于A点，∴OA⊥PA，在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，∴=4．故答案为4．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理． 13．2【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理求出90C ∠=，连接OE 、OF 、OQ ，证四边形CEOF 是正方形，求出半径OE ，求出QA ，求出DQ 、OQ 的长度，即可求出答案．【详解】2100AB =，22100AC BC +=，222AC BC AB ∴+=，90C ∴∠=，连接OE 、OF 、OQ ，∵⊙O 为△ABC 的内切圆，∴90C OEC OFC ∠=∠=∠=，OE OF =，BE BQ =，AQ AF =，CE CF =， ∴四边形CEOF 是正方形，∴CE=CF=OE=OF ，BC OE AC OE AB ∴-+-=，()1681022OE OQ ∴==+-=， ∴AQ=AF=6-2=4，∵D 为AB 的中点，152AD AB ∴==， ∴DQ=5-4=1，2tan 21OQ ODA DQ ∴∠===．故答案为2．本题考查了正方形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能求出OQ 、OD 的长度是解此题的关键．14．外，外【解析】试题解析：如图：根据勾股定理得：12，以点A 为圆心，以3.4cm 长为半径画圆，12 3.4，则点C 在圆A 外部，点B 到圆心A 的距离AB=4＞3.4，所以点B 在圆A 外部．故答案为：外部，外部．15．2【解析】试题解析：如图，作AP ⊥直线364y x =-+，垂足为P ，作A 的切线PQ ，切点为Q ，此时切线长PQ 最小，∵A 的坐标为()2,0,-设直线与y 轴,x 轴分别交于B ，C ，∴()()0,6,8,0B C ，∴610OB AC ==，，∴2210BC OB OC =+=，∴AC BC =，在APC △与BOC 中，90,APC BOC ACB BCOAC BC⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴APC △≌BOC ，∴6AP OB ==，∴226242PQ =-=．故答案为:42．16．16【解析】连接BE ，∵C （0，16），D （0，﹣4），∴OC =16，OD =4，∴CD =20，∴ED =EB =10，∴EO =6，∴BO =8.∵ED ⊥AB ，∴AO =BO =8，∴AB =16.故答案为16.点睛：要求弦长一般过圆心作弦的垂线段，再结合垂径定理，勾股定理求得. 17．1【解析】过点O作OD⊥AB于点D，∵△ABC是等边三角形，∴∠OAD=30°，∵∠ADO=90°，∴OD=12AO=122⨯=1，即其内切圆半径的长为1，故答案为1.18．1或9【解析】(1)点E在AC的延长线上时，过点O作OF⊥AC交AC于点F，如图所示∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAE，∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAC，∴OD//AE,∵DE是圆的切线，∴DE⊥OD,∴∠ODE=∠E=90o,∴四边形ODEF是矩形，∴OF＝DE，EF＝OD＝5，又∵OF⊥AC，∴AF＝2222534OA OF-=-=，∴AE＝AF+EF＝5+4＝9.（2）当点E在CA的线上时，过点O作OF⊥AC交AC于点F，如图所示同（1）可得：EF＝OD＝5，OF＝DE＝3，在直角三角形AOF中，AF224OA OF-=，∴AE＝EF－AF＝5－4＝1.19．23【解析】过O作OD⊥AC于D，当⊙O与直线CA相切时，则OD为圆的半径3，即OD=3，∵∠ACB=60°，∴sin60°=32 DOCO=，∴3，故答案为：320．80°【解析】∵OB,OC是∠ABC,∠ACB的角平分线,∴∠OBC+∠OCB=180°－∠BOC=180°－130°=50°,∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=50°,∴∠ABC+∠ACB=100°,∴∠A=180°-100°=80°,故答案为:80°.21．（1）圆P的半径长为3；（2）55928r<<；（3）说明见解析，253EHEF=【解析】分析：（1）如下图，作AM⊥BC于M，联结AP，由题意易得AM=3，BM=4，tanB=tanC=34，设PH=3k，则可得HC=4k，CP=5k，MP=5-5k，在Rt△APM中，由勾股定理可得22229(55)AP AM MP k=+=+-，结合AP=PH即可列出关于k的方程，解方程即可求得k的值，再结合CP<BC检验即可得到所求答案；（2）由（1）可知，若设PH=3k，则HC=4k，CP=5k，由点E在圆P上可得PE=3k，CE=8k，BE=9-8k，由△ABE∽△CEH可得AB CEBE CH=，由此可得：58984kk k=-，解得k的值即可求得圆P的半径和BE的长，结合圆B和圆P的位置关系是相交，即可求得圆B的半径r的取值范围；（3）在圆P上取点F关于EH对称的点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，则EG=EF，∠1=∠3，EQ=QG，EF=EG=2EQ. 结合已知条件先证△EPQ≌△PHN可得EQ=PN，从而可得EF=EG=2PN，由（1）可知，在Rt△PHC中，若设PH=3k，则HC=4k，PC=5k，由此可得sinC=35，cosC=45，在Rt△CHN中由此可把HN、NC用含k的式子表达出来，进一步可把PN、EN用含k的式子表达出来，这样就可把EH和EF用含k的代数式表达出来，由此即可求得EH 和EF 的比值，得到相应的结论.详解：（1）作AM ⊥BC 于M ，联结AP ，∵梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC=5，AD=1，BC=9，∴BM=(BC-AD)÷2=4，AM=23543-=，∴tanB= tanC=34， ∵PH ⊥DC ，∴若设PH=3k ，则HC=4k ，CP=5k.∵BC=9，∴MP=5-5k.∴22229(55)AP AM MP k =+=+-， ∵AP=PH ，∴229(55)9k k +-=，即21650340k k -+=，解得：121718k k ，==，当2178k =时，CP=1705916k =>， ∴2178k =（舍去）， ∴k 1=，∴圆P 的半径长为3；（2）由（1）可知，若设PH=3k ，则HC=4k ，CP=5k.∵点E 在圆P 上，∴PE=3k ，CE=8k ，∴BE=9-8k ，∵△ABE ∽△CEH ，∴AB CEBE CH=，即58984kk k=-，解得：1316k=，∴3916PH=，即圆P的半径为3916，∵圆B与圆P相交，又BE=9-8k=52，∴559 28r<<；（3）在圆P上取点F关于EH对称的点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，则EG=EF，∠1=∠3，EQ=QG，EF=EG=2EQ.∴∠GEP=2∠1，∵PE=PH，∴∠1=∠2 ，∴∠4=∠1+∠2=2∠1，∴∠GEP=∠4，∴△EPQ≌△PHN，∴EQ=PN，由（1）可知，若设PH=3k，则HC=4k，PC=5k，∴sinC=35，cosC=45，∴NC=416455kk⋅=，NH=312455kk⋅=，∴PN=169555kk k-=，∴EF=EG=2EQ=2PN=185k，22125HN EN+=，∴253EHEF=EH和EF的比值为定值.点睛：本题是一道涉及圆、全等三角形、勾股定理、相似三角形和锐角三角形函数的综合性几何题，解题难度较大，解题的关键是作出如图所示的辅助线，熟悉相关图形的性质和判定. 22．（1）证明见解析；（2）417；【解析】【分析】（1）连接OC，根据CD为切线可得OC⊥CD，再根据平行线的性质即可得出结论；（2）连接AE交OC于G，根据圆与平行线的性质易得四边形CDEG为矩形，再根据勾股定理即可得出结论.【详解】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，2217164即圆的直径为17．【点睛】本题考查了勾股定理、切线与平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理、切线与平行线的性质.23．（1）见解析；（2）10cm.【解析】【分析】（1）要证明ID=BD，只要求得∠BID=∠IBD即可；（2）根据相似三角形的判定得出△BDE∽△ABD，进而利用相似三角形的性质解答即可. 【详解】（1）证明：连接BI．∵点I是△ABC的内心，∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI．又∵∠DBI=∠CBI+∠DBC，∠DIB=∠ABI+∠BAI，∠DBC=∠DAC=∠BAI，∴∠DBI=∠DIB，∴DI=DB．（2）∵∠DBC=∠DAC=∠BAI，∠ADB=∠BDA，∴△BDE∽△ABD，∴BD DE AD BD=，即BD2=DE•AD=DE•（AE+DE）=4×（6+4）=40，40210=cm）．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键，有一定的难度.24．（1）作图见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）根据题意可以画出相应的图形，本题得以解决；（2）根据“匀称三角形”的定义，由题目中信息的，利用切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等以及勾股定理可以判断△AEF是否为“匀称三角形”．试题解析：（1）所求图形，如图所示：（2）△AEF是“匀称三角形”，理由：连接AD、OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴点D是BC的中点，∵点O为AB的中点，∴OD∥AC，∵DF切⊙O于点D，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，∵∠BGD=∠CFD=90°，∠BDG=∠CDF，BD=CD，∴△BGD≌△CFD（ASA），∴BG=CF，∵53 BECF=，∴53 BEBG=，∵BG∥AF，∴53 BE AEBG AF==，在Rt△AEF中，设AE=5k，AF=3k，由勾股定理得，EF=4k，∴54333AE EF AF k k k++++==4k=EF，∴△AEF是“匀称三角形”．25．（1）证明见解析；（2）165 AD=【解析】试题分析：（1）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA ＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．（2）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，根据勾股定理求出AC＝4，然后证出△ABC∽△ACD，利用相似三角形的对应边成比例列式解答即可．试题解析：（1）证明：连接OC，∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC＝∠BAC，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴DC是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得AC＝4．∵∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠D＝90°，∴△ABC∽△ACD，∴AB AC AC AD=，∴544AD =，解得：AD＝165．26．(1)见解析;(2)32.【解析】【分析】（1）EF与⊙O相切，先根据等腰三角形三线合一得：BD是高线也是中线，由此得OD是△ABC的中位线，所以OD∥AB，所以OD⊥EF，则EF与⊙O相切；（2）设圆的半径为x，根据△EOD∽△EAF，列比例式求x的值，则直径AC=152，则AB=152，由此可得结论．【详解】解：（1）EF与⊙O相切，理由是：连接OD、AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵AB=AC，∴BD=DC，∵OA=OC，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，∵EF⊥AB，∴OD⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）∵OD∥AB，∴△EOD∽△EAF，∴OD OE AF AE=，Rt△AEF中，sinE=35=AFAE，∵AF=6，∴35=6AE，∴AE=10，设OD=x，则OA=OD=x，∴10610x x-=，x=154，∴OA=154，∴AC=2OA=152，∴AB=AC=152，∴BF=AB﹣AF=152﹣6=32．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系、切线的判定、等腰三角形的性质及三角函数的定义，知道直线和圆的三种位置关系：①相离，②相切，③相交；重点掌握相切的判定：连半径证垂直或有垂直证半径．27．（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）连接OF，如图1，证明△AOC≌△AOF，根据全等三角形的性质可得∠AFO=∠ACO=90°，即可证得AB是⊙O的切线；（2）如图2，在Rt△OFB中，设OE=OF=r，利用勾股定理求得r=3，从而得OB=5，设AC=AF=t，则AB=4+t，在Rt△ACB中，利用勾股定理求得t，即可得AC=6，从而可得AO长，然后证明△ACO ∽△AGO ，继而可推导得出AO=54AG ，再证明△BEF ∽△BOA ，从而可推导得出12EF AG =，再证明△PEF ∽△PAG ，根据相似三角形的性质即可求得AP AG PE EF ==2．【详解】解：（1）连接OF ，如图1，∵OA ∥EF ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵OE=OF ，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△AOC 和△AOF 中，12OC OF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△AOF ，∴∠ACO=∠AFO=90°，∴OF ⊥AB ，∴AB 是⊙O 的切线；（2）如图2，在Rt △OFB 中，设OE=OF=r ，∵OF 2+BF 2=OB 2，∴r 2+42=（r+2）2，解得r=3，∴OB=5，设AC=AF=t ，则AB=4+t ，在Rt △ACB 中，t 2+82=（t+4）2，解得t=6，即AC=6，∴=，∵∠CAO=∠GAO ，∠ACO=∠AGC=90°，∴△ACO ∽△AGO ，∴AC ：AO=AG ：AC ，∴AC 2=AO•AG ，∴AG=12535=，∴AO=54AG，∵OA∥EF，∴△BEF∽△BOA，∴25EF BEOA BO==，∴2554EFAG=，∴12EFAG=，∵EF∥GA，∴△PEF∽△PAG，∴AP AGPE EF==2．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线并熟练应用相关知识是解题的关键.。

浙教版九年级数学下册全书各章节同步测验(共75页,附答案)

浙教版九年级数学下册全书各章节同步测验（共75页，附答案）第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数(第1课时)1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是( )第1题图A.34B.43C.35D.452．如图，已知一商场自动扶梯的长l为10m，该自动扶梯到达的高度h为5m，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )A.33B.43C.12D.45第2题图3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )第3题图A．2 B.255C.55D.124．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB＝( )A.512B.125C.513D.12135．如图，若点A的坐标为(1，3)，则sin∠1＝________．第5题图6.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sinA ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．第6题图7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝1213，则tanB ＝________．8．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是________． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5. (1)求∠A ，∠B 的正弦、余弦值；(2)求∠A ，∠B 的正切的值，你发现了什么？10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝23，求cosA ，tanA 的值．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD⊥AB 于点D ，AC ＝3，BC ＝4，求sin ∠DCB 和sin ∠ACD.第11题图12.如图，直径为10的⊙A 经过点C (0，5)和点O (0，0)，点B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )第12题图A.12B.34C.32D.45 13．如图，直线y ＝12x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且与x 轴的夹角为α，求：第13题图(1)OA ，OB 的长； (2)tan α与sin α的值．14．如图，在△ABC 中，边AC ，BC 上的高BE ，AD 交于点H.若AH ＝3，AE ＝2，求tanC 的值．第14题图15．如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)cot30°＝________；(2)如图，已知tanA ＝34，其中∠A 为锐角，试求cotA 的值．第15题图参考答案 1－4.CADC 5.32 6.40 7.125 8.2239.(1)∵∠C＝90°，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12，∴sin A ＝513，cos A ＝1213，sin B ＝1213，cos B ＝513； (2)tan A ＝512，tan B ＝125.发现tan A ×tan B ＝1.10. cos A ＝53，tan A ＝255. 11. ∵∠ACB＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DCB ＝∠A，∠ACD ＝∠B，AB ＝AC 2＋BC 2＝5，∴sin ∠DCB ＝sin ∠A ＝BC AB ＝45，sin ∠ACD ＝sin ∠B ＝AC AB ＝35.12.C13.(1)OA ＝4，OB ＝2； (2)tan α＝tan ∠BAO ＝OB OA ＝12，sin α＝sin ∠BAO ＝OB AB ＝225＝55.14.∵BE⊥AC，∴∠EAH ＋∠AHE＝90°.∵AD ⊥BC ，∴∠HAE ＋∠C＝90°.∴∠AHE ＝∠C.∵在Rt △AHE 中，AH ＝3，AE ＝2，∴HE ＝AH 2－AE 2＝32－22＝ 5.∴tan ∠AHE ＝AEHE＝25＝255.∴tan C ＝255.15. (1) 3 (2)∵tan A ＝BC AC ＝34，∴cot A ＝AC BC ＝43.第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数(第2课时)1．tan30°的值等于( )A.12B.32C.33 D ．－3 2．已知α为锐角，且tan (90°－α)＝3，则α的度数为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 3．若∠A 为锐角，cosA<32，则∠A 的取值范围是( ) A ．30°<∠A<90° B ．0°<∠A<30° C ．0°<∠A<60° D ．60°<∠A<90° 4．在△ABC 中，若sinA ＝cosB ＝22，则下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝60°，则sinA ＋sinB 的值等于________． 6．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC ＝2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为________m.第6题图7.如图，将三角尺的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD∥AB ，那么∠α的余弦值为________．第7题图8.（sin45°－1）2＋|1－tan60°|＝__________． 9．求下列各式的值： (1)2－2sin30°×cos30°； (2)3sin60°－2cos45°＋38； (3)sin30°＋cos 230°×tan45°；(4)（4sin30°－tan60°）（tan60°＋4cos60°）.10．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，AC ＝6，求BC 、AB 的长．第10题图11．若规定sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β，则sin15°＝________． 12．小聪想在一个矩形材料中剪出如图中阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮他计算出BE ，CD 的长度(结果保留根号)．第12题图13．通过书P9课内练习第3题知道：对于任意锐角α，都有tan α＝sin αcos α.运用此结论，解答下题：已知锐角α，且tan α＝3，求sin α＋cos αsin α－cos α的值．14．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：第14题图sin 2A 1＋sin 2B 1＝________；sin 2A 2＋sin 2B 2＝________；sin 2A 3＋sin 2B 3＝________． (1)观察上述等式，猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝________； (2)如图4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sinA ＝513，求sinB.参考答案1－4.CADC 5.32 6.40 7.125 8.2231.2 锐角三角函数的计算(第1课时)1．如图，用含38°的三角函数值表示AC ，可得AC 为( )第1题图A ．10sin38°B ．10cos38°C ．10tan38°D ．无法确定 2．cos55°和sin36°的大小关系是( )A ．cos55°＞sin36°B ．cos55°＜sin36°C ．cos55°＝sin36°D ．不能确定3．下列各式：①sin20°－cos20°＜0；②2sin20°＝sin40°；③sin10°＋sin20°＝sin30°；④tan20°＝sin20°cos20°.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.如图，梯子跟地面所成的锐角为α，关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系叙述正确的是( )第4题图A．sinα的值越小，梯子越陡B．cosα的值越小，梯子越陡C．tanα的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与α的函数值无关5．如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于__________．(用含40°的三角函数表示)第5题图6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠B＝α，则AB＝________，BC＝________．(结果用含α的三角函数表示)第6题图7.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处．若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE＝________．第7题图8．不用计算器求下列各式的值．(1)sin225°＋cos225°＝________；(2)(sin32°48′23″＋tan47°18′)0＝________；(3)tan39°×tan51 °＝________；(4)tan1°·tan2°·tan3°·tan4°…tan89°＝________．9．如图，某地某时刻太阳光线与水平线的夹角为31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为30m，求这幢楼房的高AB(结果精确到1m，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)．第9题图10．如图，沿AC 方向开修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD ＝127°，沿BD 的方向前进，取∠BDE ＝37°，测得BD ＝520m ，并且AC ，BD 和DE 在同一平面内．(1)施工点E 离D 点多远正好能使A ，C ，E 成一条直线？(结果保留整数)(2)在(1)的条件下，若BC ＝80m ，求公路CE 段的长．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第10题图11．已知α为锐角，下列结论：①sin α＋cos α＝1；②如果α＞45°，那么sin α＞cos α；③如果cos α＞12，那么0°＜α＜60°；④（sin α－1）2＝1－sin α，其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，已知AC⊥BC ，CD ⊥AB ，AB ＝c ，∠A ＝α，则AC ＝________，BC ＝________，CD ＝____________(用含c 和α的三角函数表示)．第12题图13．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点O ，连结EF ，OD.(1)求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝5，∠BCD ＝120°，求tan ∠ADO 的值．第13题图14．如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AM 始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC ，当伞收紧时，动点D 与点M 重合，且点A ，E ，D 在同一条直线上．已知部分伞架的长度如下(单位：cm )：(1)求AM 的长；(2)当∠BAC ＝104°时，求AD 的长(精确到1cm )．备用数据：sin52°≈0.7880，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799.第14题图参考答案1－4.ABBB 5.a tan 40°米 6.10sin α 10tan α 7. 348.(1)1 (2)1 (3)1 (4)19.∵tan ∠ACB ＝ABBC，∴AB ＝BC·tan ∠ACB ＝30×tan 31°≈18m .10.(1)∵∠ABD＝127°，∠BDE ＝37°，∴∠DEB ＝127°－37°＝90°.在Rt △BDE 中，cos D ＝DEBD ，∴DE ＝BD·cos D ＝520×cos 37°≈520×0.80＝416(m )，即施工点E 离D 点416m 正好能使A ，C ，E 成一条直线； (2)在(1)的条件下可得BE ＝BD·sin D ＝520×sin 37°≈520×0.60＝312(m )，∴CE ＝BE －BC≈312－80＝232(m )． 11.C12.c cos α c sin α c sin αcos α13．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠AEB.∵AE 是角平分线，∴∠DAE ＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.同理AB ＝AF.∴AF＝BE.∴四边形ABEF 是平行四边形. ∵AB＝BE ，∴四边形ABEF 是菱形；第13题图(2) 作OH⊥AD 于H ，如图所示．∵四边形ABEF 是菱形，∠BCD ＝120°，AB ＝4，∴AB ＝AF ＝4，∠ABC ＝60°，AO ⊥BF ，∴∠ABF ＝∠AFB＝30°，∴AO ＝12AB ＝2，∴OH ＝3，AH ＝1，DH ＝AD －AH＝4，∴tan ∠ADO ＝OH DH ＝34.14.(1)当伞收紧时，动点D 与点M 重合，∴AM ＝AE ＋DE ＝36＋36＝72(cm )； (2)AD ＝2×36cos 52°≈2×36×0.6157≈44(cm )1.2 锐角三角函数的计算(第2课时)1．计算器显示结果为sin －10.9816＝78.9918的意思正确的是( ) A ．计算已知正弦值的对应角度 B ．计算已知余弦值的对应角度 C ．计算一个角的正弦值 D ．计算一个角的余弦值2．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sinA ＝12，cosB ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是( )A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＜∠C ＜∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A 3．若∠A 是锐角，且cosA ＝tan30°，则( ) A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45° C ．45°＜∠A ＜60° D ．60°＜∠A ＜90°4.如图所示是一张简易活动餐桌，测得OA ＝OB ＝30cm ，OC ＝OD ＝50cm ，现要求桌面离地面的高度为40cm ，那么两条桌脚的张角∠COD 的度数大小应为( )第4题图A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°5.如图，在矩形ABCD 中，若AD ＝1，AB ＝3，则该矩形的两条对角线所成的锐角是( )第5题图A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．已知sin α·sin45°＝12，则锐角α为________． 7．若θ为三角形的一个锐角，且2sin θ－3＝0，则θ＝________．8．等腰三角形的底边长为20cm ，面积为10033cm 2，则顶角为________度． 9．若用三根长度分别为8，8，6的木条做成一个等腰三角形，则这个等腰三角形的各个角的大小分别为多少？(结果精确到1′，参考数据：cos67°59′≈0.375)10．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝62，∠A ＝45°.求：(1)AB 边上的高；(2)∠B 的正切值．第10题图11．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，tan ∠BCD ＝3，则sinA ＝______．第12题图13．某校为了解决学生停车难的问题，打算新建一个自行车棚．如图，图1是车棚的示意图(尺寸如图所示)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部的截面示意图，弧AB 所在圆的圆心为O ，半径OA 为3m.(1)求∠AOB 的度数(结果精确到1°)；(2)学校准备用某种材料制作车棚顶部，请你算一算：需该种材料多少平方米(不考虑接缝等因素，结果精确到1m 2)?(参考数据：sin53.1°≈0.80，cos53.1°≈0.60，π取3.14)第13题图14．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝13，tan β＝12.求α＋β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1，图2求出α＋β的度数，并说明理由；(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝5，tan β＝23时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β.求出α－β的度数，并说明理由．第14题图参考答案1－5.ADCBC 6.45° 7.60° 8.120第9题图9.根据题意可画图如右(AB ＝AC ＝8，BC ＝6)．过点A 作AD⊥BC 于点D ，则BD ＝CD ＝3，∴cos B ＝BD BA ＝38，∴∠B ≈67°59′，∴∠C ≈67°59′，∠A ≈44°2′. 10.(1)作CD⊥AB 于点D ，CD ＝AC·sin A ＝62·sin 45°＝6； (2)∵AD＝AC·cos A ＝62·cos 45°＝6，∴BD ＝AB －AD ＝8－6＝2，∴tan B ＝CD BD ＝62＝3. 11.B 12.101013.(1)过点O 作OC⊥AB，垂足为C ，则AC ＝2.4.∵OA＝3，∴sin ∠AOC ＝2.43＝0.8，第13题图∴∠AOC ≈53.1°.∴∠AOB ＝106.2°≈106°； (2)lAB ︵＝106×π180×3≈5.5(m )，∴所需材料面积为5.5×15≈83(m 2)．即需该种材料约83m 2.14.(1)①如图1中，只要证明△AMC≌△CNB，即可证明△ACB 是等腰直角三角形，∠BAC ＝α＋β＝45°.②如图2中，只要证明△CEB∽△BEA，即可证明∠BED＝α＋β＝45°. (2)如图3中，∠MOE ＝α，∠NOH ＝β，∠MON ＝α－β，只要证明△MFN≌△NHO 即可解决问题．∠MON＝α－β＝45°.第14题图1.3 解直角三角形(第1课时)1．在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( )A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°2．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是( )A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12ABC ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 3．身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300m ，250m 和200m ，线与地面所成的角度分别为30°，45°和60°，假设风筝线是拉直的，那么三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．乙的最高C ．丙的最高D ．丙的最低4．一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则它的底角的正切值为( )A.310B.512C.125D.12135．在△ABC 为，∠C ＝90°，tanA ＝12，AB ＝10，则△ABC 的面积为________． 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝35，c ＝352，则∠A ＝________，b ＝________．7．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A ＝30°，b ＝4，则a ＝________，c ＝________．8．如图所示，AB 是伸缩式的遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度是________米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．第8题图9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长．第9题图10．如图，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 恰好落在AD 边上，设此点为F.若AB∶BC ＝4∶5，求tan ∠ECB 的值．第10题图11.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，sinB ＝35，AC ＝2cm ，则⊙O 的面积是( )第11题图A.259πcm 2B.1009πcm 2C.925πcm 2D.9100πcm 2 12．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC ＝2m ，CD ＝5.4m ，∠DCF ＝30°，则车位所占的宽度EF 约为多少米？(3≈1.73，结果精确到0.1m )第12题图13．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C ＝45°，sinB ＝13，AD ＝1.(1)求BC 的长；(2)求tan ∠DAE 的值．第13题图14．如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂，使用时，以点A 为支撑点，铅笔芯端点B 可绕点A 旋转作出圆．已知OA ＝OB ＝10cm.(1)当∠AOB ＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01cm )(2)保持∠AOB ＝18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01cm )(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511)第14题图参考答案1－4.DBBC 5.2 6.45° 35 7.43 3 833 8. 3 9.∵sin A ＝BC AB ＝45，∴BC ＝AB×45＝12.∴AC＝AB 2－BC 2＝9.∴△ABC 周长为36.10.设AB ＝4，则BC ＝5，在△DFC 中，FC ＝BC ＝5，CD ＝AB ＝4，∴DF ＝3，∴AF ＝2，又可证△DFC∽△AEF，得EF ＝2.5＝BE ，∴tan ∠BCE ＝2.55＝12. 11.A12.∵∠DCF＝30°，CD ＝5.4m ，∴在Rt △CDF 中，DF ＝12CD ＝2.7m .又∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＋∠CDF＝90°.∵∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠ADE ＝∠DCF ＝30°，∴在Rt △AED 中，DE ＝AD×cos ∠ADE ＝2×32＝3(m )，∴EF ＝2.7＋3≈4.4(m )．答：车位所占的宽度EF 约为4.4m .13.(1)在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°，在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，∴DC ＝AD ＝1，在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝13，AD ＝1，∴AB ＝AD sin B＝3，∴BD ＝AB 2－AD 2＝22，∴BC ＝BD ＋DC ＝22＋1； (2)∵AE 是BC 边上的中线，∴CE ＝12BC ＝2＋12，∴DE ＝CE －CD ＝2－12，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12. 14.(1)作OC⊥AB 于点C ，如图1所示，由题意可得，OA ＝OB ＝10cm ，∠OCB ＝90°，∠AOB ＝18°，∴∠BOC ＝9°，∴AB ＝2BC ＝2OB·sin 9°≈2×10×0.1564≈3.13cm ，即所作圆的半径约为3.13cm .第14题图(2)作AD⊥OB 于点D ，作AE ＝AB ，如图2所示，∵保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE ，∵∠AOB ＝18°，OA ＝OB ，∠ODA ＝90°，∴∠OAB ＝81°，∠OAD ＝72°，∴∠BAD ＝9°，∴BE ＝2BD ＝2AB·sin 9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm ，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm .1.3 解直角三角形(第2课时)1．如图，斜坡AB 与水平面的夹角为α，下列命题中，不正确的是( )第1题图A ．斜坡AB 的坡角为α B ．斜坡AB 的坡度为BC ABC ．斜坡AB 的坡度为tan αD ．斜坡AB 的坡度为BC AC2．如图，C 、D 是以AB 为直径的半圆上两个点(不与A 、B 重合)．连DC 、AC 、DB ，AC 与BD 交于点P.若∠APD ＝α，则CD AB＝( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan α D.1tan α第2题图3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值为( )第3题图 A.43 B.34 C.35 D.454．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i ＝2∶1，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是( )第4题图A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米5．如图，B ，C 是河岸两点，A 是河岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝200米，则点A 到岸边BC 的距离是________米．第5题图6.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)第6题图7．等腰三角形的周长为2＋3，腰长为1，则顶角为________．8．若三角形两边长为6和8，这两边的夹角为60°，则其面积为________．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E, AB＝20，CD＝16.(1)求sin∠OCE与sin∠CAD的值；(2)求弧CD的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin53°≈0.8)第9题图10．如图，有一段斜坡BC长10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.(1)求坡高CD；(2)求斜坡新起点A到原起点B的距离(精确到0.1米，参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09)第10题图11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，当AC与BD所夹的锐角为θ时，则四边形ABCD的面积S＝____________．(用含m，n，θ的式子表示)第11题图12．如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3m.已知木箱高BE＝3m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.第12题图13．如图，一棵树AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，小明分别测得坪地、台阶和地面上的三段影长CE＝1m，DE＝2m，BD＝8m，DE与地面的夹角α＝30°.在同一时刻，已知一根1m 长的直立竹竿在地面上的影长恰好为2m，请你帮助小明根据以上数据求出树AB的高．(结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第13题图14．为了缓解停车难的问题，某单位拟建地下停车库，建筑设计师提供的该地下停车库的设计示意图如图所示．按照规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE的长度(精确到0.1m，参考数据：tan18°≈0.3249，cos18°≈0.9511)．第14题图参考答案1－4.BBDA 5.100 6.280 7.120°8.12 39.(1)sin ∠OCE ＝0.6，sin ∠CAD ＝sin ∠COE ＝0.8； (2)弧CD 的长＝106×3.14×10180≈18.5cm . 10.(1)在Rt △BCD 中，CD ＝BC sin 12°≈10×0.21＝2.1(米)．答：坡高2.1米； (2)在Rt△BCD 中，BD ＝BC cos 12°≈10×0.98＝9.8(米)．在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan 5°≈2.10.09≈23.33(米)，∴AB ＝AD －BD≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(米)．答：斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．11.12mn sin θ第12题图12.设EF 与AB 交点为G ，在Rt △BEG 中，∵∠EGB ＝∠AGF＝60°，∴EG ＝BE sin 60°＝2，GB ＝12EG ＝1，在Rt △AGF 中，GF ＝AG·sin 30°＝2×12＝1，∴EF ＝EG ＋GF ＝2＋1＝3(m )． 13.如图，延长CE 交AB 于F ，∵α＝30°，DE ＝2m ，BD ＝8m ，∴EF ＝BD ＋DE cos 30°＝8＋2×32＝(8＋3)m ，点E 到底面的距离＝DE sin 30°＝2×12＝1m ，即BF ＝1m ，∴CF ＝EF ＋CE ＝8＋3＋1＝(9＋3)m ，根据同时同地物高与影长成正比得，AF CF ＝12，∴AF ＝12CF ＝12(9＋3)＝12×10.73≈5.4m ，∴树AB 的高为5.4＋1＝6.4m .第13题图14．∵∠BAD＝∠AFG＝18°，∴在Rt △ABD 中，BD AB＝tan 18°，∴BD ＝AB·tan 18°＝9×tan 18°≈2.9(m )．∵BC ＝0.5m ，∴CD ＝2.9－0.5＝2.4(m )．在Rt △CED 中，∠DCE ＝18°，∴CE CD ＝cos 18°.∴CE ＝CD·cos 18°＝2.4×cos 18°≈2.3(m )．答：CE 长约为2.3m .1.3 解直角三角形(第3课时)1．如图，某飞机在空中A 点处测得飞行高度h ＝1000m ，从飞机上看到地面指挥站B 的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC 为( )A ．500mB ．2000mC ．1000mD ．10003m第1题图2.如图，王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地( )第2题图 A ．503m B ．100m C ．150m D ．1003m3．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( ) A ．144cm B ．180cm C ．240cm D ．360cm4.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为( )第4题图A ．4kmB ．23kmC ．22kmD ．(3＋1)km5.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图所示)，由此可知，B ，C 两地相距________m.第5题图6．如图，在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝______米(结果可保留根号)．第6题图7．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．第7题图8．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.(1)求∠BCD的度数；(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)第8题图9.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)( )第9题图A.hsinαB.hcosαC.htanαD．h·cosα10．如图所示，两条宽度都为2cm的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为________．第10题图11．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．第11题图C组综合运用12．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5km处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10km处是村庄N.(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)(1)求M，N两村之间的距离；(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离．第12题图参考答案1－4.DDBC 5.200 6.(73＋21)7.如图，作AD⊥BC，垂足为D ，第7题图由题意得，∠ACD ＝45°，∠ABD ＝30°.设CD ＝x ，在Rt △ACD 中，可得AD ＝x ，在Rt △ABD 中，可得BD ＝3x ，又∵BC＝20(1＋3)，CD ＋BD ＝BC ，即x ＋3x ＝20(1＋3)，解得：x ＝20，∴AC ＝2x ＝202(海里)．答：A 、C 之间的距离为202海里．第8题图8.(1)过点C 作CE⊥BD，则有∠DCE＝18°，∠BCE ＝20°，∴∠BCD ＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°； (2)由题意得：CE ＝AB ＝30m ，在Rt △CBE 中，BE ＝CE·tan 20°≈10.80m ，在Rt △CDE 中，DE ＝CE·tan 18°≈9.60m ，∴教学楼的高BD ＝BE ＋DE ＝10.80＋9.60≈20.4m ，则教学楼的高约为20.4m .9.B10.4sin αcm 211.(1)在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE ＝12DC ＝2米； (2)过D 作DF⊥AB，交AB 于点F ，∵∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠DBF ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝(x ＋2)米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，第11题图∴BC ＝AB cos 30°＝x ＋232＝2x ＋43＝3（2x ＋4）3米，BD ＝2BF ＝2x 米，DC ＝4米，∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，∴∠DCB ＝90°，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：2x 2＝（2x ＋4）23＋16，解得：x ＝4＋43(负值舍去)，则AB ＝(6＋43)米．12．(1)过点M 作CD∥AB，过点N 作NE⊥AB 于点E ，如图．第12题图在Rt △ACM 中，∠CAM ＝36.5°，AM ＝5km ，∵sin 36.5°＝CM 5≈0.6，∴CM ＝3(km )，AC ＝AM 2－CM 2＝4(km )．在Rt △ANE 中，∠NAE ＝90°－53.5°＝36.5°，AN ＝10km ，∵sin 36.5°＝NE 10≈0.6，∴NE ＝6(km )，AE ＝AN 2－NE 2＝8(km )，∴MD ＝CD －CM ＝AE －CM ＝5(km )，ND ＝NE －DE ＝NE －AC ＝2(km )，在Rt △MND 中，MN ＝MD 2＋ND 2＝29(km )； (2)作点N 关于AB 的对称点G ，连结MG 交AB 于点P ，点P 即为站点，此时PM ＋PN ＝PM ＋PG ＝MG ，在Rt △MDG 中，MG ＝52＋102＝125＝55(km )．答：最短距离为55km .第2章直线与圆的位置关系1．如果一个圆的半径是8cm ，圆心到一条直线的距离也是8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定2．已知⊙O 的半径为3，直线l 上有一点P 满足PO ＝3，则直线l 与⊙O 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相离或相切D ．相切或相交3．已知点P (3，4)，以点P 为圆心，r 为半径的圆P 与坐标轴有四个交点，则r 的取值范围是( )A ．r ＞4B ．r ＞4且r≠5C ．r ＞3D ．r ＞3且r≠54．如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB的取值范围是( )第4题图A．8≤AB≤10 B．AB≥8 C．8＜AB≤10 D．8＜AB＜105．已知圆的直径为10cm，若圆心到三条直线的距离分别为：①4cm；②5cm；③10cm，则这三条直线和圆的位置关系分别是①________；②________；③________．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以点C为圆心、6cm长为半径作圆，则圆与直线AB的位置关系是________．7．如图，已知∠AOB＝30°，C是射线OB上的一点，且OC＝4.若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是____________．第7题图8．在△ABO中，若OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相切；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相交；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相离．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8cm，AC＝4cm.(1)以点C为圆心作圆，半径为多少时，AB与⊙C相切？(2)以点C为圆心，分别作半径为2cm和4cm的圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？第9题图10．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB与小圆相切．求证：CD与小圆也相切．第10题图11．已知等边三角形ABC 的边长为23m.下列图形中，以A 为圆心，半径是3cm 的圆是( )11．如图，P 为正比例函数y ＝32x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y )．第12题图(1)当⊙P 与直线x ＝2相切时，则点P 的坐标为______________________；(2)当⊙P 与直线x ＝2相交时x 的取值范围为____________．13．在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝m ，∠D ＝60°，以AB 为直径作⊙O.(1)求圆心O 到CD 的距离(用含m 的代数式表示)；(2)当m 取何值时，CD 与⊙O 相切？第13题图14．如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 方向为南偏东75°，已知MB ＝400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？第14题图参考答案1－4.BDBC 5. ①相交 ②相切 ③相离 6.相交 7.2＜r≤48.∠AOB＝120° 120°＜∠AOB＜180° 0°＜∠AOB＜120°9.(1)作CD⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，CD ＝AC·sin 60°＝23cm ，所以当半径r 为23cm 时，AB 与⊙C 相切； (2)r ＝2＜CD 时，⊙C 与AB 相离，r ＝4＞CD 时，⊙C 与AB 相交．10.证明：过点O 分别作AB ，CD 的垂线段OE ，OF.设小圆的半径为r.∵AB 与小圆相切，∴OE ＝r ，∵AB ＝CD ，且AB ，CD 为大圆的弦，∴OE ＝OF ，∴OF ＝r ，∴CD 与小圆也相切． 11.B12．(1)⎝⎛⎭⎪⎫5，152或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 (2)－1＜x ＜5 13．(1)作AH⊥CD 于点H.因为∠D ＝60°，则∠DAH＝30°，DH ＝AD 2＝m 2，所以AH ＝AD 2－DH 2＝m 2－（m 2）2＝32m ，即圆心O 到CD 的距离为32m ； (2)当32m ＝5，即m ＝1033时，CD 与⊙O 相切.第14题图14．作AC⊥MN 于点C ，∵∠AMC ＝60°－30°＝30°，∠ABC ＝75°－30°＝45°，∴设AC为x m ，则AC ＝BC ＝x ，在Rt △ACM 中，MC ＝400＋x ，∴tan ∠AMC ＝AC MC ，即13＝x 400＋x，解得x ＝200＋2003＞500，∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．第2章直线与圆的位置关系2．1 直线与圆的位置关系(第2课时)1．下列命题错误的是( )A．垂直于半径的直线是圆的切线B．如果圆心到一条直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线C．如果一条直线与圆只有唯一一个公共点，那么这条直线是圆的切线D．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线2．如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是( )A．OA2＋PA2＝OP2 B．PA⊥OAC．∠P＝30°，∠O＝60° D．OP＝2OA第2题图3.如图，AB是⊙O的直径，根据下列条件，不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )第3题图A．AB＝2，AT＝1.5，BT＝2.5 B．∠B＝45°，AB＝ATC．∠B＝36°，∠TAC＝36°D．∠ATC＝∠B4．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA＝2AP.甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：第4题图(甲)以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；(乙)作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A．两人皆正确 B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确5．如图，点Q在⊙O上，若OQ＝3cm，OP＝5cm，PQ＝4cm，则直线PQ与⊙O________(填“相交”、“相切”或“相离”)．第5题图6．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________．第6题图7.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为________．第7题图8.如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD＝120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC＝BC；②AC＝OC；③AB＝BD中，能使命题成立的有________(只要填序号即可)．第8题图9.如图，已知点A在⊙O上，根据下列条件，能否判定直线AB和⊙O相切？请说明理由．第9题图(1)OA ＝6，AB ＝8，OB ＝10； (2)tanB ＝34.10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB ＝∠ABC.(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线． (2)若CD ＝23，OP ＝1，求线段BF 的长．第10题图11．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )A ．与x 轴相离，与y 轴相切B ．与x 轴，y 轴都相离C ．与x 轴相切，与y 轴相离D ．与x 轴，y 轴都相切12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，以点A 为圆心，以3cm 为半径作⊙A ，当AB ＝________cm 时，BC 与⊙A 相切．第12题图13．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，OC ＝CP ＝2，弦AB⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连结PB.(1)求BC 的长；(2)求证：PB 是⊙O 的切线．第13题图14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，连结OC ，弦AD∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E.(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线； (2)若DE ＝2BC ，求AD∶OC 的值．第14题图参考答案1－4.ADDB 5.相切 6.AB⊥BC(不唯一) 7.相切 8.①②③9.(1)能判定；∵OA 2＋AB 2＝BO 2，∴∠BAO ＝90°.即AB⊥AO，∴AB 是⊙O 的切线； (2)不能判定；△ABO 中，tan B ＝34，无法证明∠BAO＝90°，所以不能判定．10.(1)证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC ＝∠ADC，∴∠AFB ＝∠ADC，∴CD ∥BF ，∴∠APD ＝∠ABF，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∴直线BF 是⊙O 的切线；第10题图(2)连结OD ，∵CD ⊥AB ，∴PD ＝CP ＝3，∵OP ＝1，∴OD ＝2，∵∠PAD ＝∠BAF，∠APD ＝∠ABF，∴△APD ∽△ABF ，∴AP AB ＝PD BF ，∴34＝3BF ，∴BF ＝433.11．A 12.613.(1)连结OB ，∵弦AB⊥OC，劣弧AB 的度数为120°，∴∠COB ＝60°，又∵OC＝OB.∴△OBC 是正三角形，∴BC ＝OC ＝2； (2)证明：∵BC＝OC ＝CP ，∴∠CBP ＝∠CPB，∵△OBC 是正三角形，∴∠OBC ＝∠OCB＝60°.∴∠CBP ＝30°，∴∠OBP ＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB ⊥BP ，∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线．14．(1)证明：连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO ＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO，∴∠COD ＝∠COB.在△COD 和△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠COD ＝∠COB，OD ＝OB ，∴△COD ≌△COB(SAS)，∴∠CDO ＝∠CBO＝90°.又∵点D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线； (2)∵△COD≌△COB，∴CD ＝CB.∵DE＝2BC ，∴ED ＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA ∽△ECO.∴AD OC ＝DE CE ＝23.2.1 直线与圆的位置关系(第3课时)1．下列说法中，正确的是( )A．圆的切线垂直于经过切点的半径B．垂直于切线的直线必经过切点C．垂直于切线的直线必经过圆心D．垂直于半径的直线是圆的切线2．如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm.则⊙O的半径为( )A．45cm B．25cm C．213cm D.13cm第2题图3.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )第3题图A．20° B．25° C．40° D．50°4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )第4题图A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)5．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝________．第5题图6．如图，AB 是⊙O 的切线，半径OA ＝2，OB 交⊙O 于点C ，∠B ＝30°，则AC ︵的长是________(结果保留π)．第6题图7.如图，两个同心圆，大圆的弦AB 切小圆于点C ，且AB ＝10，则图中阴影部分面积为________．第7题图8.如图，已知⊙P 的半径是1，圆心P 在抛物线y ＝x 2－2x ＋1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______________．第8题图9．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠CAD. (1)求∠D 的度数； (2)若CD ＝2，求BD 的长．第9题图10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F.。

浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合能力测试题2(附答案详解)

浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合能力测试题2（附答案详解）1．如图，是⊙的直径，是⊙的切线，点在⊙上，，，，则的长为（）A．B．C．D．2．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A=25°，则∠C的度数是( )A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中AD=180°，且AB=BD，BC=CD．若阿超在AB上取一点P，在BD上取一点Q，使得∠APQ=130°，则下列叙述何者正确（）A．Q点在BC上，且BQ>QC B．Q点在BC上，且BQ<QCC．Q点在CD上，且CQ>QD D．Q点在CD上，且CQ<QD4．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC的长为（）5．如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，∠A=35°，过C 点的切线与OB 的延长线交于点D ，则∠D 的度数为（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°6．如图，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠BCD 等于（）A ．65°B ．115°C ．120°D ．125° 7．已知I 是锐角ABC 的内切圆，点D 、E 、F 是三个切点，则DEF 的形状是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定 8．如图，⊙B 的半径为4cm ，∠MBN＝60°，点A ，C 分别是射线BM ，BN 上的动点，且直线AC⊥BN.当AC 平移到与⊙B 相切时，AB 的长度是( )A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm9．直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为5，则r 的取值是( ) A ．r>5 B ．r ＝5 C ．r<5 D ．r≤510．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( )A ．0r 5<<B ．3r 5<<C ．4r 5<<D ．3r 4<<11．如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于C 、D ．已知△PCD 的周长等于14cm ，则PA=______cm ．12．如图，在平面直角坐标系中，已知()3,4C ，以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA OB =．点P 为C 上的动点，90APB ∠=，则AB 长度的最大值为______．13．已知等边△ABC 边长为2，D 为BC 中点,连接AD .点O 在线段AD 上运动（不含端点A 、D ），以点O 为圆心，3长为半径作圆，当O 与△ABC 的边有且只有两个公共点时，DO 的取值范围为_____.14．已知直线l ，在l 上取一点A ，过A 点与l 相切的圆有______个.15．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上.若∠P ＝106°，则∠A+∠C ＝_____°.16．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，过B 点的切线交AC 的延长线于点D ，E 为弦AC 的中点，10AD =，6BD =，若点P 为直径AB 上的一个动点，连接EP ，当AEP ∆是直角三角形时，AP 的长为__________．17．在平面上有A 、B 、C 、O 四点，10cm ，OB =6.8cm ，以O 为圆心，3 cm 长为半径作⊙O ，则点A 在圆 _____，点B 在圆 _____，若点C 在圆上，则OC = ______cm ； 18．如图，正方形ABCD 的边长为6，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为_____．19．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO 为_____．20．如图Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，E 为⊙O 上一点，连结CE ，过C 作CD ⊥CE ，交BE 于点D ，已知1tan ,210,52A AB DE ===，则tan ∠ACE ＝_____．21．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是BA 延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线PC ，切点是C ，过点C 作弦CD AB ⊥于E ，连接CO ，CB ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若10AB =，1tan 2B =，求P A 的长；（3）试探究线段AB ，OE ，OP 之间的数量关系，并说明理由．22．如图，已知A ，B ，C ，D 四点共圆，且AC =BC ．求证：DC 平分∠BDE ．23．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠︒＝，AC ＝BC ，点D 是AC 延长线上一点，连结BD ．将BCD 绕着点C 顺时针旋转90°得到ACE △，延长AE 交BD 于F ．（1）依据题意补全图1；（2）判断AE 与BD 的位置关系，说明理由；（3）连结CF ，求CFA ∠的度数．要想求出CFA ∠的度数，小明经过思考，得到了以下几种想法：想法1：在AF 上取一点G ，使得AG ＝BF ，需要先证明AGC BFC ≌，然后再证明CFG △是等腰直角三角形．想法2：取AB 的中点O ，连接OC ，OF ，只需要利用圆的性质证明CFA ABC ∠∠＝．想法3：将ACF 绕点C 逆时针旋转90°，得到BCG ，只需证明△FCG 是等腰直角三角形．请你参考上面的想法，帮助小明求解．（写出一种方法即可）24．如图，AB 是O 的弦，45OAB ∠=︒，C 是优弧AB 上的一点，//BD OA ，交CA 延长线于点D ，连接BC .（1）求证：BD 是O 的切线；（2）若43AC =75CAB ∠=︒，求O 的半径. 25．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，AC 平分∠DAE ．(1)DE 与⊙O 有何位置关系？请说明理由．(2)若AB ＝6，CD ＝4，求CE 的长．26．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上的一点，且2A DCB ∠=∠.E 是BC 上的一点，以EC 为直径的O 经过点D .（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若CD 的弦心距为1，BE EO =.求BD 的长.27．如图，AB 是⊙O 的直径，ABC ∆内接于⊙O ．点D 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交AC 于点E ，DF BC ⊥交BC 的延长线于点F ．(1)求证：FD 是⊙O 的切线；(2)若8BD =，3sin 5DBF ∠=，求DE 的长．28．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点O 是边BC 上的动点，以点O 为圆心，OB 为半径作圆O ，交AB 边于点D ，过点D 作∠ODP ＝∠B ，交边AC 于点P ，交圆O 与点E ．设OB ＝x ．（1）当点P与点C重合时，求PD的长；（2）设AP﹣EP＝y，求y关于x的解析式及定义域；（3）联结OP，当OP⊥OD时，试判断以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系．参考答案1．C【解析】【分析】由AB为直径可知∠C=90°，由AD为⊙O的切线可知∠DAO=90°，又BC∥OD，得∠B=∠AOD，可证△ABC∽△DOA，利用相似三角形对应边的比相等求BC．【详解】∵AB为直径，∴∠C=90°．∵AD为⊙O的切线，∴∠DAO=90°，∴∠C=∠DAO．又∵BC∥OD，∴∠B=∠AOD，∴△ABC∽△DOA，∴，即，解得：BC．故选C．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质的运用．关键是根据题意找出三角形相似的条件．2．D【解析】【分析】连接OB，CB与⊙O相切于点B，得到∠OBC=90°，根据条件得到∠COB的度数，然后用三角形内角和求出∠C的度数即可．【详解】解：如图：连接OB，∵OB=OA，∴∠A=∠OBA，∵∠A=25°，∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°．故选：D．【点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB的度数，然后在三角形中求出∠C的度数．正确作出辅助线是解题的关键．3．B【解析】【分析】连接AD，OB，OC，根据题意得到∠BOC=∠DOC=45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，由圆周角定理得到∠E=12∠AOC=67.5°，求得∠ABC=122.5°＜130°，取BC的中点F，连接OF，得到∠ABF=123.25°＜130°，于是得到结论．【详解】如图，连接AD，OB，OC，∵AD=180°，且AB=BD，BC=CD，∴∠BOC=∠DOC=45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，∴∠E=12∠AOC=67.5°，∴∠ABC=122.5°<130°，取BC的中点F，连接OF，则∠AOF=67.5°，∴∠ABF=123.25°<130°，∴Q点在BC上，且BQ<QC，故选B．【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．4．D【解析】【分析】连接OC．由△AFC∽△ACO，推出AC2＝AF•OA，可得AC＝，再利用勾股定理求出BC 即可解决问题；【详解】解：连接OC．由翻折不变性可知：EC＝CF，∠CBE＝∠CBA，∴，∴AC＝CE＝CF，∴∠A＝∠AFC，∵OA＝OC＝2，∴∠A＝∠ACO，∴∠AFC＝∠ACO，∵∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACO，∴AC2＝AF•OA，∵AF＝OF＝1，∴AC2＝2，∵AC＞0，∴AC＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝，故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5．A【解析】【分析】由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．【详解】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵∠A=35°，∴∠COD=2∠A=70°，∴∠D=90°−70°=20°.故选A.【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握切线的性质是解题的关键.6．B【解析】【分析】首先连接BD ，由点D 是弧AC 的中点，∠ABC=50°，可求得∠ABD 的度数，又由AB 是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB 的度数，继而求得∠A 的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠DCB 的度数．【详解】解：连接BD ，∵点D 是弧AC 的中点，∴弧AD=弧CD ，∴∠ABD=∠CBD=12∠BAC=12×50°=25°， ∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A=90°-∠ABD=65°，∴∠BCD=180°-∠A=115°．故选：B ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 7．C【解析】【分析】连接ID 、IE 、IF ，如图，根据切线的性质得90ADI AFI ∠=∠=，则根据四边形的内角和得到180DIF A ∠=-∠，再根据圆周角定理得12DEF DIF ∠=∠，所以()111809022DEF A A ∠=-∠=-∠，同理可得1902EDF C ∠=-∠，1902DFE B ∠=-∠，于是可判断DEF 为锐角三角形【详解】连接ID 、IE 、IF ，如图，∵ I 是锐角ABC 的内切圆，点D 、E 、F 是三个切点，∴ ID AB ⊥，IF AC ⊥，∴ 90ADI AFI ∠=∠=，∴ 180A DIF ∠+∠=，∴ 180DIF A ∠=-∠，∵ 12DEF DIF ∠=∠， ∴ ()111809022DEF A A ∠=-∠=-∠，同理可得1902EDF C ∠=-∠，1902DFE B ∠=-∠， ∴ DEF ∠、DFE ∠和EDF ∠都是锐角，∴ DEF 为锐角三角形．故选C【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了圆周角定理.8．A【解析】【分析】由圆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可知△ACB 为直角三角形，再根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】：∵直线AC ⊥BN ,∠MBN ＝60 ︒，∴∠BAC ＝30 ︒，∵⊙B 的半径为4cm ，当AC 平移到与⊙B 相切时，∴AB ＝2×4＝8(cm).故答案选A.【点睛】本题考查的知识点是切线的性质，解题的关键是熟练的掌握切线的性质.9．A【解析】【分析】根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定.直线l 与半径r 的O 相交，且点O 到直线l 的距离5d =，5r d >=.【详解】直线l 与半径r 的O 相交，且点O 到直线l 的距离为5，∴5r >.故选A .【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定.直线l 和O 相交⇔d r <.10．D【解析】【分析】先求出点M 到x 轴、y 轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．【详解】解：∵点M 的坐标是（4，3），∴点M 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，∵点M （4，3），以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，∴r 的取值范围是3＜r ＜4，故选：D ．【点睛】本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．11．7.【解析】【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB 的长，然后再进行求解．【详解】如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14（cm）；∴PA=PB=7cm，故答案为：7．【点睛】此题主要考查了切线长定理的应用，能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长是解答此题的关键．12．16【解析】【分析】连接OC并延长，交C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作O，交x轴于A、B，OP ，则AB的最大长度为16．此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得8【详解】解：连接OC并延长，交C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵()3,4C ， ∴22345OC =+=，∵以点C 为圆心的圆与y 轴相切． ∴C 的半径为3，∴8OP OA OB ===，∵AB 是直径，∴90APB ∠=，∴AB 长度的最大值为16，故答案为16．【点睛】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP 的最大值是解题的关键． 13．303DO <<或2333DO <<【解析】【分析】根据题意作图，根据O 与△ABC 的边有且只有两个公共点时得到两种情况，分别讨论求解即可.【详解】∵O 与△ABC 的边有且只有两个公共点 ∴①当圆O 与BC 相交于两点时，如图，点圆O 1与BC 相切时，恰好有一个交点，此时，O 1D=33，故当30DO<<时，O与△ABC的边有且只有两个公共点；②当圆O与△ABC的AB、AC各交于一点时，∵等边△ABC边长为2，D为BC中点∴∠B=∠BAC=60°，AD为△ABC的高、中线、∠BAC的角平分线，∴BD=1，则AD=22213-=如图，圆O2与△交于3点，此时AO2=3 3,则O2D=3-3=23∵O与△ABC的边有且只有两个公共点，则点A在圆O内部，∴当233DO<<时，O与△ABC的边有且只有两个公共点；综上，当30DO<<或233DO<<时，O与△ABC的边有且只有两个公共点.故填：33DO<<或2333DO<<.【点睛】此题主要考查圆与直线的位置关系，解题的关键是根据题意作图，并分情况讨论. 14．无数【解析】【分析】根据切线的定义求解即可.【详解】如图，过点A 作l 的垂线m ，以m 上任一点为圆心，以该点与点A 的距离为半径画圆，则所得的圆与l 相切，∵m 上有无数个点，∴能作无数个圆与l 相切.故答案为：无数.【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键.15．217【解析】【分析】连接AB ，根据切线的性质可得PA=PB ，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=()1180106372︒-︒=︒，再根据圆的内接四边形对角互补得到∠DAB+∠C=180°，即可求得答案.【详解】解：如图，连接AB ，∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴PA=PB ，∵∠P ＝106°，∴∠PAB=∠PBA=()1180106372︒-︒=︒， ∵∠DAB+∠C=180°，∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180°+37°=217°. 故答案为：217.【点睛】本题主要考查切线的性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，作辅助线帮助解题.16．4或2.56．【解析】【分析】根据勾股定理求出AB ，由△BCD∽△ABD 得到比例式求出CD 的长，当AEP ∆是直角三角形时，分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出AP 长有2种情况.【详解】解：连接BC过B 点的切线交AC 的延长线于点D ，AB BD ∴⊥，22221068AB AD BD ∴--＝＝＝，当90AEP ∠︒＝时，AE EC ＝，EP ∴经过圆心O ，4AP AO ∴＝＝；当90APE ∠︒＝时，则//EP BD ，AP AE AB AD∴＝， ∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠BCD ＝90°.∵∠BCD ＝∠ABD ，∠D 是公共角，∴△BCD ∽△AB D . ∴BD CD AD BD= 2DB CD AD ⋅＝，236 3.610BD CD AD ∴＝＝＝， 10 3.6 6.4AC ∴-＝＝，3.2AE ∴＝，3.2810AP ∴＝， 2.56AP ∴＝．综上AP 的长为4或2.56．故答案为4或2.56．【点睛】本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键. 17．外，内， 3；【解析】【分析】根据点与圆的位置关系即可判断.【详解】∵以O 为圆心，3 cm 长为半径作⊙O ，∴⊙O 的半径为3cm ，∵cm >3，∴点A 在圆外，∵OB =8.6cm，8.6 3，∴点B在圆内，∵点C在圆上，∴OC=3cm.【点睛】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是比较点与圆心的长度与半径的大小关系.18．94或33【解析】【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；【详解】∵正方形ABCD的边长为6，M是AB的中点，∴BM＝3如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋PB2，∴x2＝32＋（6−x）2，∴x＝154，∴PC＝154，BP＝BC−PC＝94．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝3，PM＝6，∴BP2233PM BM-综上所述，BP的长为94或33故填：94或33【点晴】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．19．4【解析】【分析】要求圆锥的高，关键是求出圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图中的扇形的半径．已知圆锥的底面半径就可求得底面圆的周长，即扇形的弧长，已知扇形的面积和弧长就可求出扇形的半径，即圆锥的高．【详解】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3π＝6π，设母线长为L，则有12×6πL＝15π，解得：L＝5，∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，∴在直角△AOC中高AO22AC OC-4．故填：4.【点睛】此题考查了圆锥体的侧面展开图的计算，揭示了平面图形与立体图形之间的关系，难度一般．20．1 3【解析】【分析】解直角三角形得到AC42,BC22,CE5,CE25====，根据相似三角形的性质得AE AC2BD BC==，设BD=x，AE=2x，由圆周角定理得到∠AEB=90°，根据勾股定理得到AE=2，BE=6，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：连接AE，∵tan∠BAC＝12，∴设AC＝2m，BC＝m，∴AB5＝10，∴m＝2，∴AC＝2，BC＝2，∵∠BEC＝∠BAC，∴tan∠BEC＝12，∵DE＝5，同理求得CE5CE＝5∵∠CED+∠EDC＝∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠EDC＝∠ABC，∵∠EDC+∠BDC＝∠ABC+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝∠BDC，∵∠DBC＝∠EAC，∴△AEC∽△BDC，∴AE ACBD BC=＝2，∴设BD＝x，AE＝2x，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE2+BE2＝AB2，∴（2x）2+（5+x）2＝（）2，∴x＝1（负值舍去），∴AE＝2，BE＝6，∴tan∠ACE＝tan∠ABE＝AE21 BE63==．故答案为13．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．21．（1）见解析；（2）103PA=；（3）24AB OE OP=⋅．理由见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，证明∠ODP=90°即可；（2）由tanB=12，可得12ACBC=，可求出AC，BC；再求出CE，OE，由△OCE∽△OPC，可求出OP，PA；（3）由△OCE∽△OPC得OC2=OE•OP，再将12OC AB=代入即可．【详解】（1）证明：连接OD，∵PC 是⊙O 的切线，∴90PCO ︒∠=，即90PCD OCD ︒∠+∠=，∵OA CD ⊥∴CE DE =∴PC PD =∴PDC PCD ∠=∠∵OC OD =∴ODC OCD ∠=∠，∴90PDC ODC PCD OCD ︒∠+∠=∠+∠=，∴PD 是⊙O 的切线．（2）如图2，连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ︒∠=， ∴1tan 2AC B BC == 设AC m =，2BC m =，则由勾股定理得：222(2)10m m +=，解得：25m =25AC =45BC =∵CE AB AC BC ⨯=⨯，即10CE =∴4CE =，8BE =，2AE =在Rt OCE ∆中，3OE OA AE =-=，5OC =，∴4CE ===， ∵cos OC OE COP OP OC=∠= ∴OP OE OC OC ⨯=⨯，即355OP =⨯， ∴253OP =，2510533PA OP OA =-=-=．（3）24AB OE OP =⋅如图2，∵PC 切⊙O 于C ，∴90OCP OEC ︒∠=∠=，∴OCE OPC ∆∆∽ ∴OE OC OC OP=，即2OC OE OP =⋅ ∵12OC AB = ∴212AB OE OP ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即24AB OE OP =⋅．【点睛】本题是一道圆的综合题，考查了圆的性质-垂径定理，圆的切线判定和性质，勾股定理，相似三角形性质，三角函数值等，要求学生能熟练运用所学知识解答本题，形成数学解题能力． 22．证明见解析．【解析】【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到∠2=∠1，∠3=∠ABC ，由等腰三角形的性质得到∠1=∠ABC ，等量代换得到∠2=∠3，于是得到结论．【详解】证明：∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠2=∠1，∠3=∠ABC ，∵AC=BC ，∴∠1=∠ABC ，∴∠2=∠3，∴DC 平分∠BDE ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．23．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）利用旋转的性质得出CAE CBF ∠=∠，再利用同角的余角相等即可得出结论；（3）想法1、利用SAS 判断出AGC BFC ≌即可得出结论；想法2、利用OA OB OC OF ===即可判断出点A ，B ，F ，C 四点在以O 为圆心OA 为半径的圆上即可得出结论；想法3，利用旋转的性质判断出△FCG 是等腰直角三角形即可得出结论．【详解】（1）补全图形如图1所示．（2）∵将BCD 绕着点C 顺时针旋转90°得到ACE △BCD ACE ∴≌，CAE CBF ∴∠=∠．90ACB ∠=︒，90CAE CEA ∴∠+∠=︒．90CBF CEA ∴∠+∠=︒．CEA FEB ∠=∠，AE BD ∴⊥．（3）想法1、如图2，在AF 上取一点G ，使得AG BF =，连接CG ．AC BC =，CAE CBF ∠=∠，AG BF =，AGC BFC ∴≌．CG CF ∴=，ACG BCF ∠=∠．90ACG GCE ∠+∠=︒，90FCG BCF GCE ∴∠=∠+∠=︒．∴△CFG 是等腰直角三角形．45CFA ∴∠=︒．想法2、如图3，取AB 的中点O ，连接OC ，OF ，CF ，ABC 是直角三角形，12OC OA OB AB ∴===，由（2）知，AF BD ⊥， 12OF OA OB AB ∴===， OA OB OC OF ∴===，∴点A ，B ，F ，C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，想法3、如图4，将ACF 绕点C 逆时针旋转90°得到BCG ，90FCG ACB ∴∠=∠=︒，CG CF =，CFG ∴是等腰直角三角形，45CFG ∴∠=︒，由（1）BCD ACE ≌，∴点G 在BD 的延长线上，由（2）知，90AFD ∠=︒，45CFA ∴∠=︒．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆的性质，旋转的性质，解（2）的关键是判断出BCD ACE ≌，解（3）的关键是作出辅助线，是一道中等难度的题目．24．（1）详见解析；（2）O 半径为4.【解析】【分析】（1）连接OB ，如图．根据题意得，∠1=∠OAB=45°．由AO ∥DB ，得∠2=∠OAB=45°．则∠1+∠2=90°．即BD ⊥OB 于B ．从而得出CD 是⊙O 的切线；（2）作OE ⊥AC 于点E ．由OE ⊥AC ，43AC =求得AE ，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt △OAE 中，求得OA 即可．【详解】（1）证明：连接OB .如图，∵OA OB =，45OAB ∠=︒，∴145OAB ∠=∠=︒，∵//AO DB ，∴245OAB ∠=∠=︒，∴1290∠+∠=︒，∴BD OB ⊥，∴BD 是O 的切线.（2）解：作OE AC ⊥于点E ，∵OE AC ⊥，43AC = ∴43AE =，∵75BAC ∠=︒，45OAB ∠=︒，∴30OAC BAC OAB ∠=∠-∠=︒，设OE x =，则2OA x =，在Rt OAE ∆中，222OE AE OA +=，(()22232x x +=，2x =， 24OA x ==， ∴O 半径为4.【点睛】本题考查了切线的判定和性质，以及解直角三角形，熟练掌握切线的判定和解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键.25．（1）相切，理由见解析；（2）CE=125．【解析】【分析】（1）连接OC，利用切线的判定解答即可；（2）过C作CF⊥OD于F，根据勾股定理和等面积公式解答即可．【详解】（1）相切理由：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠OAC，则∠OCA=∠EAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）过C作CF⊥OD于F，∵AB是⊙O的直径，∴CO=12AB=3，∴在△COD中，OC⊥DE，CD=4，代入OD2=OC2+CD2得OD=5由等面积求得CF=12 5∵CF⊥OD，AE⊥DE，AC平分∠EAB，∴CE =CF =125．【点睛】考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．26．（1）见解析；（2）23BD =【解析】【分析】（1）由圆周角定理得，2DOB DCB ∠=∠，已知2A DCB ∠=∠，通过等量代换得，A DOB ∠=∠，因为90ACB ∠=︒，所以∠A+∠B=90°，所以∠DOB+∠B=90°，所以OD 垂直于BD ，所以AB 是O 的切线；（2）过O 作OM 垂直于CD 交CD 于M 点，由BE OE OD ==可得30B ∠=︒，然后根据圆周角定理可求出30DCB ∠=︒，所以2BD DC CM ==，通过计算求出BD 的长度.【详解】解：（1）连结OD ，如图，由“同弧所对圆周角是圆心角的一半”的性质，可得出2DOB DCB ∠=∠.又2A DCB ∠=∠，可得出A DOB ∠=∠，因为90ACB ∠=︒，故在直角三角形ABC 中，A ∠与B 互余，由等量代换可得出B 与DOB ∠互余，即OD 垂直于BD ，由此确定AB 为圆O 的切线.（2）如图，过O 作OM 垂直于CD ，根据垂径定理可得到2DC CM =.由（1）知BDO ∆为直角三角形，再由BE OE OD ==，得到OD 等于OB 的一半，由此可得30B ∠=︒，从而确定出60DOB ∠=︒，于是1302DCB DOB ∠=∠=︒，所以DCB B ∠=∠，则得2BD DC CM ==.在直角三角形CMO 中，因为1OM =，30DCB ∠=︒，可求得CM =，从而2BD CM ==【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握是解题的关键.27．(1)证明见解析；(2)92．【解析】【分析】（1）连接OD ，根据角平分线的定义得到ABD DBF ∠=∠，由等腰三角形的性质得到ABD ODB ∠=∠，等量代换得到DBF ODB ∠=∠，推出090ODF ∠=，根据切线的判定定理得到结论；（2）连接AD ，根据圆周角定理得到090ADE ∠=，根据角平分线的定义得到DBF ABD ∠=∠，解直角三角形得到6AD =，求得92DE =．【详解】(1)连接OD ，∵BD 平分ABC ∠交AC 于点E ，∴ABD DBF ∠=∠，∵OB OD =，∴ABD ODB ∠=∠，∴DBF ODB ∠=∠，∵090DBF BDF ∠+∠=，∴090ODB BDF ∠+∠=，∴090ODF ∠=，∴FD 是⊙O 的切线；(2)连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴090ADE ∠=，∵BD 平分ABC ∠交AC 于点E ，∴DBF ABD ∠=∠，在Rt ABD ∆中，8BD =，∵3sin sin 5ABD DBF ∠=∠=， ∴6AD =，∵DAC DBC ∠=∠， ∴3sin sin 5DAE DBC ∠=∠=，在Rt ADE ∆中，3sin 5DAC ∠=， ∴92DE =．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．28．（1）5；（2）61162556234192125625253572346x x y x x ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+<< ⎪⎪⎝⎭⎩；（3）以点P 为圆心，PC 为半径的圆P 与圆O 的位置关系是相交【解析】【分析】（1）根据OB=OD ，AB=AC 以及∠ADO=∠B+∠BOD=∠ODP+∠ADP 结合题目所给∠ODP=∠B 即可求出答案（2）分点P 与C 重合，P 与E 重合，D 与A 重合三种情况讨论，求出相应的x 值，再分两个区间分别求出相应的解析式（3）连接OP ，求出两圆的半径，圆心距即可判断两圆的位置关系【详解】（1）如图1中，作AH⊥BC 于H ，CG⊥AB 于G ，∵AB＝AC ＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH ＝3，AH ＝4，∵1122BC AH AB CG ， ∴22247,55CG AG AC CG ，∴37cos ,cos 525B BAC ，如图2中，当点P 与C 重合时，∵OB＝OD ，∴∠B＝∠ODB＝∠ACB，∵∠ADO＝∠B+∠BOD＝∠CDO+∠ADP，∠ODP＝∠B，∴∠ADP＝∠BOD＝∠BAC，∴PA＝PD ＝5；（简单解法：易知∠A＝180°﹣2∠B，只要证明∠ADP＝180°﹣2∠B即可解决问题）（2）如图2中，作CG⊥AB 于G ，OH⊥BD 于H ．∵1425AD AG ，∵622cos 5BD BH OB B x ，∴614555x ，∴116x ，如图3中，当P 、E 重合时，作EG⊥AD 于G ．根据对称性可知，B、E关于直线OD对称，∴65DB DE AE x，∵7AGcos25AEA，∴655726255xx，解得625234x，当点D与A重合时655x，∴256x，当116256234x时，如图4中，∵65 y PA PE PD PE DE BD x，∴65y x，当625252346x时，如图5中，作PG⊥AB于G．∵616,5525 BD DEx DG AG x，∴256cos5145AP AG A x，∴2566256192125551455145357y AP EP x x x x，综上所述，61162556234192125625253572346x xyx x⎧⎛⎫≤≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+<<⎪⎪⎝⎭⎩．（3）如图6中，连接OP．连接OP，作DK⊥OB，ON⊥BD、PM⊥BC于M，设ON＝4k，则易知OB＝DO＝5k．BN＝DN＝3k，2420,53BD ONDK k OP kOB，由△DOK∽△OPM可得3228,515OM k PM k，可得73PC k＝，∵722205333OD PC k k k k k，∴以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系是相交．【点睛】本题的关键是掌握一次函数的解析式，三角函数以及圆有关的位置关系知识。

核心素养评估试卷—浙教版九级下册作业ppt课件[1]

A．早期地球环境温度较高
( ) 26．[2019·湖州]湖州素有“鱼米之乡，丝绸之府”之美称。
20．如图为生态系统物质循环示意图，其中甲、乙、丙分别代表三类不同的生物。
(①1)将该一 A同节．学5作号此出电的湖池假破泊设碎是中，废浸食电泡池在草水10对鱼0金0m类鱼L的的的清生主水存中有要2伤～食害3。天物；是甲
3．[2018·湖州]生态系统中的能量流动是单向的、逐级减少的。
安 7．下列关于生态系统的说法正确的是(
)
A ．灰松鼠的体重通常比红松鼠重，是因为灰松鼠的食物种类多
生态系统的重要功能主要表现在能量流动和物质循环；
C．一吉个、公园临里的安草、地宁国三县的交D．界一块处油C，菜地山里的上油拥菜有丰富的动植物资源，还有众多的微
9．某科研机构利用遥感卫星长期监控一个生态系统的演变，如图所示是根据
不同
时期卫星所拍摄的该生态系统照片绘制而成的。图中形状和颜色均相同的点表
示同一物种，不同形状或颜色的点表示不同的物C 种，点的疏密表示单位面积上
种群个体数量的多少。下列据图所得出的结论正确的是(
)
图2 A．距今25年前，该生态系统中共有11个种群 B．距今25年前，该生态系统的稳定性比现在更强 C．近25年，该生态系统所有生产者合成有机物的总量大于自身分解有机物的总量
动物作为消费者，直接或间接地以植物为食，通过消化和吸收，将摄取的有机物变成自身能够利用的物质。
分解塘著泥增和鱼加粪，等有而机本物的地是生食态草系统鱼中类的_和___水___草_和的___数___量__，逐它年们在显生著态系减统中少的。成分下是列___叙___述___正_。确D的是
硫细菌能利用硫化物反应释放的能量还原CO2制造有机物，蠕虫以硫细菌为食，蛤以蠕虫为食。

浙教版初中数学九年级下册第2章达标检测卷

第2章达标检测卷(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO ＝6 cm ，AB ＝4 cm ，则⊙O 的半径为( )A ．4 5 cmB ．2 5 cmC ．213 cmD.13 cm2．直径l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为5，则r 的取值是( ) A ．r>5B ．r ＝5C ．r<5D ．r≤53．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则sinE 的值为( )A.12B.32C.22D.334．已知OA 平分∠BOC ，点P 是OA 上任意一点(不与点O 重合)，且以点P 为圆心的圆与OC 相离，那么⊙P 与OB 的位置关系是( ) A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定5．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别是点A ，B ，如果∠P ＝60°，那么∠AOB 等于( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°6．如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别如下：甲：1.作OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点， 2．连结AB ，AC ，△ABC 即为所求的三角形．乙：1.以点D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于B ，C 两点．2．连结AB ，BC ，CA.△ABC 即为所求的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断( )A ．甲、乙均正确B ．甲、乙均错误C ．甲正确、乙错误D ．甲错误、乙正确7．如图，△ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连结AE ，BE ，则下列五个结论：①AB ⊥DE ；②AE ＝BE ；③OD ＝DE ；④∠AEO ＋12∠ACB ＝90°；⑤AE ︵＝12AEB.正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若∠ADB ＝100°，则∠ACB 的度数为( )A ．35°B ．40°C ．50°D ．80°9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，B C ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为点D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为点E.则CD ∶DE 的值是( )A.12B ．1C ．2D ．310．如图，A 点在半径为2的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l ，与⊙O 过A 点的切线交于点B ，且∠APB ＝60°.设OP ＝x ，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是( )二、填空题(每小题4分，共24分)11．在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是．12．如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB ＝AB ，点P 是⊙O 的一个动点，那么∠OAP 的最大值是．13．如图，直线PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 分别为切点，∠APB ＝120°，OP ＝10，则弦AB 的长为 .14．如图，半圆O 与等腰直角三角形的两腰CA ，CB 分别切于D ，E 两点，直径FG 在AB 上，若BG ＝2－1，则△ABC 的周长为．15．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D ，E ，过DE ︵(不包括端点D ，E)上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB ，BC 分别交于点M ，N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4 3.若动点D 在线段AC 上(不与点A ，C 重合)，过点D 作DE ⊥AC 交AB 边于点E. (1)当点D 运动到线段AC 中点时，DE ＝；(2)点A 关于点D 的对称点为点F ，以FC 为半径作⊙C ，当DE ＝时，⊙C 与直线AB 相切．三、解答题(共66分)17．(6分)如图，P 为⊙O 上一点，⊙P 交⊙O 于A ，B ，AD 为⊙P 的直径，延长DB 交⊙O 于点C ，求证：PC ⊥AD.18．(8分)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DA ＝DC ，以点D 为圆心，DA 的长为半径的⊙D 与AB 相切于点A ，与BC 交于点F ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E. (1)求证：四边形ABED 为矩形； (2)若AB ＝4，AD BC ＝34，求CF 的长．19．(8分)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连结AC 交⊙O 于点D ，E 为AD ︵上一点，连结AE ，BE ，BE 交AC 于点F ，且AE 2＝EF·EB. (1)求证：CB ＝CF ；(2)若点E 到弦AD 的距离为1，cosC ＝35，求⊙O 的半径．20．(9分)如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E. (1)求证：AB ＝AC ； (2)求证：DE 为⊙O 的切线；(3)若⊙O 的半径为5，∠BAC ＝60°，求DE 的长．21．(8分)如图，A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．已知∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．(1)若AB是⊙O的直径，则∠APB＝°；(2)若⊙O的半径是1，AB＝2，求∠APB的度数．22．(9分)如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.23．(8分)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．24．(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB.参考答案1．B2．A3．A4．A5．C6．A7．C8．B9．C10．D11．相离12．30°13．5 314．4＋2 215．2r16．(1) 3；(2)32或33217．解：连结AB，则∠A＝∠C，AD为⊙P的直径，∴∠A＋∠D＝90°，∴∠C＋∠D＝90°，∴∠CPD＝90°，∴PC⊥AD18．解：(1)略(2)设AD ＝3k(k>0)，则BC ＝4k ，∴BE ＝3k ，EC ＝BC －BE ＝k ，DC ＝AD ＝3k ，又DE 2＋EC 2＝DC 2，∴42＋k 2＝(3k)2， ∴k 2＝2，∵k>0，∴CF ＝2EC ＝2 219．解：(1)∵AE 2＝EF·EB ，∴AE EB ＝EFAE .又∠AEF ＝∠AEB ，∴△AEF ∽△BEA. ∴∠EAF ＝∠ABE.∵AB 是直径，BC 切⊙O 于点B ，∴∠EBC ＋∠ABE ＝90°，∠EAF ＋∠EFA ＝90°， ∴∠EBC ＝∠EFA.∵∠EFA ＝∠CFB ，∴∠CFB ＝∠CBE ，∴CB ＝CF (2)连结OE 交AC 于点G.由(1)知∠EAF ＝∠ABE ，∴AE ︵＝ED ︵. ∴OE ⊥AD.∴EG ＝1.∵cosC ＝35，且∠C ＋∠GAO ＝90°，∴sin ∠GAO ＝35，设⊙O 半径为r ，则r －1r ＝35，解得r ＝52.∴圆半径为5220．解：(1)连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，又BD ＝CD ，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB ＝AC (2)连结OD ，∵O ，D 分别是AB ，BC 的中点，∴OD ∥AC ，又DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线 (3)由AB ＝AC ，∠BAC ＝60°知△ABC 是等边三角形．∵⊙O 的半径为5，∴AB ＝BC ＝10，CD ＝12BC ＝5，又∠C ＝60°，∴DE ＝CD·sin60°＝53221． (1) 90°(2)解：当点P 在优弧AB ︵上时，∠APB ＝45°；当点P 在劣弧AB ︵上时，∠APB ＝135°22．解：(1)如图，连结OC ，∵C 是劣弧AE 的中点，∴OC ⊥AE ∵CG ∥AE ，∴CG ⊥OC ，∴CG 是⊙O 的切线(2)连结AC ，BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴∠2＋∠BCD ＝90°，而CD ⊥AB ，∴∠B ＋∠BCD ＝90°， ∴∠B ＝∠2，∵AC ︵＝CE ︵，∴∠1＝∠B ，∴∠1＝∠2，∴AF ＝CF(3)在Rt △ADF 中，∠DAF ＝30°，FA ＝FC ＝2， ∴DF ＝12AF ＝1，∴AD ＝3DF ＝ 3.∵AF ∥CG ，∴DA ∶AG ＝DF ∶CF ，即3∶AG ＝1∶2，∴AG ＝2 323．解：(1)直线CD 和⊙O 的位置关系是相切，理由：连结OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠DBA ＝90°. ∵∠CDA ＝∠CBD ，∴∠DAB ＋∠CDA ＝90°.∵OD ＝OA ，∴∠DAB ＝∠ADO ，∴∠CDA ＋∠ADO ＝90°，即OD ⊥CE ，即直线CD 和⊙O 相切(2)∵AC ＝2，⊙O 的半径是3，∴OC ＝2＋3＝5，OD ＝3，CD ＝4. ∵CE 切⊙O 于点D ，EB 切⊙O 于点B ，∴DE ＝EB ，∠CBE ＝90°，在Rt △CBE 中，由勾股定理得CE 2＝BE 2＋BC 2.可得BE ＝6 24．解：(1)∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∵∠COB ＝2∠A ，∠COB ＝2∠PCB ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠PCB.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∴∠PCB ＋∠OCB ＝90°，即OC ⊥CP ，∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线(2)∵PC ＝AC ，∴∠A ＝∠P ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠PCB ＝∠P ，∵∠COB ＝∠A ＋∠ACO ，∠CBO ＝∠P ＋∠PCB ，∴∠CBO ＝∠COB ， ∴BC ＝OC ，∴BC ＝12AB(3)连结MA ，MB ，∵点M 是弧AB 的中点，∴AM ︵＝BM ︵，∴∠ACM ＝∠BCM ， ∵∠ACM ＝∠ABM ，∴∠BCM ＝∠ABM ，∵∠BMC ＝∠NMB ，∴△MBN ∽△MCB ，∴BM MC ＝MNBM ，∴BM 2＝MC·MN ，∵AB 是⊙O 的直径，AM ︵＝BM ︵，∴∠AMB ＝90°，AM ＝BM ， ∵AB ＝4，∴BM ＝22， ∴MC·MN ＝BM 2＝8。

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（浙教版）九年级数学下册（全册）章节测试卷汇总（共4套）第1章综合达标测试卷(满分：100分时间：90分钟)一、选择题(每小题2分，共20分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子不一定成立的是( A ) A ．sin A ＝sin B B ．cos A ＝sin B C ．sin A ＝cos BD ．∠A ＋∠B ＝90°2．如果α是锐角，且sin α＝35，那么cos(90°－α)的值为( A )A ．35B ．45C ．34D ．433．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为( B )A ．12B ．22C ．32D ．334．当锐角α>30°时，则cos α的值( D ) A ．大于12B ．小于12C ．大于32D ．小于325．已知∠A 为锐角，tan A 是方程x 2－2x －3＝0的一个根，则代数式tan 2A ＋2tan A ＋1的值为( A )A ．16B ．8C ．15D ．176．如图，已知∠α的一边在x 轴上，另一边经过点A (2,4)，顶点为(－1,0)，则sin α的值是( D )A ．25B ．55C ．35D ．457．如图是一个棱长为4的正方体盒子，一只蚂蚁在D 1C 1的中点M 处，它到BB 1的中点N 的最短路线是( C )A ．8B ．42C ．210D ．2＋2 58．【2016·浙江绍兴中考】如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连结AE 、DE ，则∠EAD 的余弦值是( B )A ．312 B ．36 C ．33D ．329．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是( B )A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m10．【2016·广西钦州中考】如图为固定电线杆AC ，在离地面高度为6 m 的A 处引拉线AB ，使拉线AB 与地面BC 的夹角为48°，则拉线AB 的长度约为(结果精确到0．1 m ，参考数据：sin 48°≈0．74，cos 48°≈0．67，tan 48°≈1．11)( C )A ．6．7 mB ．7．2 mC ．8．1 mD ．9．0 m二、填空题(每小题3分，共24分)11．计算：2sin 30°＋2cos 60°＋3tan 45°＝__5__． 12．已知sin A ＝12，则锐角∠A ＝__30°__．13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则sin A ＝__55__． 14．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i ＝__1∶26__． 15．如图，△ABC 的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(α＋β) __>__tan α＋tan β．(填“＞”“<”或“＝”)16．如图，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13 m ，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE ＝__12__m ．17．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD是∠CAB的平分线，tan B＝12，则CD∶DB＝__1∶2__．18．如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为α，且tan α＝0．7，向前行进3米到达B处，从B处看顶端D的仰角为45°(图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，CD⊥AC)，则建筑物CD的高度为__7__米．三、解答题(共56分)19．(8分)计算：(1)cos245°＋cos 30°2sin 60°＋1－3tan 30°；解：原式＝⎝⎛⎭⎫222＋322×32＋1－3×33＝12＋3－34－1＝1－34．(2)⎝⎛⎭⎫－120＋⎝⎛⎭⎫13－1·23－|tan 45°－3|．解：原式＝1＋3×233－(3－1)＝1＋23－3＋1＝2＋3．20．(8分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝45，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．(1)求线段CD的长；(2)求cos∠ABE的值．解：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴sin A＝BCAB＝45．∵BC＝8，∴AB＝10．∵D 是AB中点，∴CD＝12AB＝5．(2)在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2＝6．∵D 是AB 中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD·BE ＝12×12AC·BC ，∴BE ＝AC·BC 2CD ＝6×82×5＝245．在Rt △BDE 中，∵∠BED ＝90°，∴cos ∠DBE ＝BE BD ＝2455＝2425，即cos ∠ABE 的值为2425．21．(8分)【2016·四川自贡中考】某国发生8．1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A 、B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB ＝4米，求该生命迹象所在位置C 的深度．(结果精确到1米，参考数据：sin 25°≈0．4，cos 25°≈0．9，tan 25°≈0．5，3≈1．7)解：如图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 延长线于点D ．设CD ＝x 米．在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠DAC ＝25°，∴tan ∠DAC ＝CDAD＝0．5，∴AD ＝2x 米，∴BD ＝(2x －4)米．在Rt △BDC 中，∵∠BDC ＝90°，∠DBC ＝60°，∴tan ∠DBC ＝CD BD ＝x2x －4＝3，解得x ≈3．即生命迹象所在位置C 的深度约为3米．22．(10分)如图所示，学校在楼顶平台上安装地面接收设备，为了防雷击，在离接收设备3 m 远的地方安装避雷针，接收设备必须在避雷针顶点45°夹角范围内，才能有效避免雷击(α≤45°)．已知接收设备高80 cm ，那么避雷针至少应安装多高？解：如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，AB ＝EC ＝0．8 m ，AE ＝BC ＝3 m ．在Rt △ADE 中，tan α＝AE DE ，∴DE ＝AE tan α＝3tan α．∵α≤45°，∴tan α≤1，即DE ≥3 m ，∴CD ＝CE ＋DE ≥3．8 m ．故避雷针至少应安装3．8 m 高．23．(10分)如图，将水库拦水坝背水坡的坝顶加宽2 m ，坡度由原来的1∶2改为1∶2．5，已知坝高6 m ，坝长50 m ．(1)加宽部分横断面AFEB 的面积是多少？ (2)完成这一工程需要多少立方米的土？解：(1)如图，过点A 作AG ⊥BC ，过点F 作FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ．根据题意，得FH ＝AG ＝6 m ，HG ＝AF ＝2 m ．在Rt △AGB 和Rt △FHE 中，∵tan ∠ABG ＝AG BG ＝12，tan ∠E＝FH EH ＝12.5，∴BG ＝2AG ＝12 m ，EH ＝2．5FH ＝15 m ，∴EB ＝EH －BH ＝15－(12－2)＝5(m)，∴S 梯形AFEB ＝12(AF ＋EB)·FH ＝12×(2＋5)×6＝21(m 2)．即加宽部分横断面AFEB 的面积为21平方米． (2)完成这一项工程需要21×50＝1050(m 3)的土．24．(12分)如图，小岛A 在港口P 的南偏西45°方向，距离港口81 n mile 处．甲船从A 出发，沿AP 方向以9 n mile/h 的速度驶向港口，乙船从港口P 出发，沿南偏东60°方向以18 n mile/h 的速度驶离港口．现两船同时出发．(1)出发后几小时两船与港口P 的距离相等？(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向上？(结果精确到0．1 h)解：(1)设出发后x h 两船与港口P 的距离相等．根据题意，得81－9x ＝18x ．解得x ＝3．故出发后3 h 两船与港口P 的距离相等． (2)如图，设出发后y h 乙船在甲船的正东方向上，此时甲、乙两船的位置分别在点C 、D 处，连结CD ，过点P 作PE ⊥CD ，垂足为点E ，则点E 在点P 的正南方向上．在Rt △CEP 中，∠CPE ＝45°，∴PE ＝PC·cos 45°．在Rt △PED 中，∠EPD ＝60°，∴PE ＝PD·cos 60°，∴PC·cos 45°＝PD·cos 60°，即(81－9y)·cos 45°＝18y·cos 60°．解得y ≈3．7．故出发后约3．7 h 乙船在甲船的正东方向上．第2章综合达标测试卷(满分：100分时间：90分钟)一、选择题(每小题2分，共20分)1．一圆的半径为3，圆心到直线的距离为4，则该直线与圆的位置关系是( C ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．以上都不对2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径是( A ) A ．2 B ．2．5 C ．3D ．43．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3,0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为( B )A ．1B ．1或5C ．3D ．54．如图，⊙B 的半径为4 cm ，∠MBN ＝60°，点A 、C 分别是射线BM 、BN 上的动点，且直线AC ⊥BN ．当AC 平移到与⊙B 相切时，AB 的长度是( A )A ．8 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．2 cm5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC 、BC 相切于点D 、E ，则AD 的长为( B )A ．2．5B ．1．6C ．1．5D ．16．【2016·四川德阳中考】如图，AP 为☉O 的切线，P 为切点，若∠A ＝20°，C 、D 为圆周上两点，且∠PDC ＝60°，则∠OBC 等于( B )A ．55°B ．65°C ．70°D ．75°7．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放(三角形斜边与半圆相切)，重叠部分(阴影)的量角器圆弧(AB ︵)对应的圆心角(∠AOB )为120°，AO 的长为4 cm ，OC 的长为2 cm ，则图中阴影部分的面积为( C )A ．⎝⎛⎭⎫16π3＋2 cm 2B ．⎝⎛⎭⎫8π3＋2 cm 2C ．⎝⎛⎭⎫16π3＋23 cm 2D ．⎝⎛⎭⎫8π3＋23 cm 28．如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于P 、Q 两点，则线段PQ 长度的最小值是( B )A ．4．75B ．4．8C ．5D ．4 29．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB 、BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE (不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( C )A ．rB ．32rC ．2rD ．r10．如图，⊙O 的半径为2，P 为⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，P A ＝2，若AB 为⊙O 的弦，且AB ＝22，则PB 的长为( D )A ．2B ．25C ．1或5D ．2或2 5二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，∠ACB ＝60°，⊙O 的圆心O 在边BC 上，⊙O 的半径为3，在圆心O 向点C运动的过程中，当CO ＝ 23 时，⊙O 与直线CA 相切．12．【2016·安徽中考】如图，已知⊙O 的半径为2，A 为⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的一条切线AB ，切点是B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，若∠BAC ＝30°，则劣弧BC 的长为__4π3__．13．如图，△ABC 内切⊙O 于点D 、E 、F ．若∠EOF ＝120°，∠DEF ＝70°，则∠C ＝__80°__．14．如图是一张电脑光盘的表面，两个圆的圆心都是O ，大圆的弦AB 所在的直线是小圆的切线，切点为C ．已知大圆的半径为5 cm ，小圆的半径为1 cm ，则弦AB 的长度为__46__cm ．15．如图，点I 是△ABC 的内心．记∠ABI 与∠ACI 的平分线的交点为I 1，∠ABI 1与∠ACI 1的平分线的交点为I 2，∠ABI 2与∠ACI 2的平分线的交点为I 3，…，依次类推．若∠A ＝20°，则∠BI 5C 的度数是__22．5°__．16．【2016·江苏苏州中考】如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若∠A ＝∠D ，CD ＝3，则图中阴影部分的面积为__33－π2__．17．【山东烟台中考】如图，直线l ：y ＝－12x ＋1与坐标轴交于A 、B 两点，点M (m,0)是x 轴上一动点，以点M 为圆心，2个单位长度为半径作⊙M ，当⊙M 与直线l 相切时，则m 的值为__2－25或2＋25__．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AC 上一点，以CD 为直径的圆与AB 相切于点E ，若CD ＝3，tan ∠AED ＝12，则AD 的长为__1__．三、解答题(共56分)19．(8分)如图，公路MN 与公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160 m ．假设拖拉机行驶时，周围100 m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间是多少秒？解：学校受到噪音影响．理由如下：作AH ⊥MN 于点H ，如图．∵PA ＝160 m ，∠QPN ＝30°，∴AH ＝12PA ＝80 m ．而80 m ＜100 m ，∴拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受到噪音影响．以点A 为圆心，100 m 为半径作⊙A 交MN 于B 、C ，连结AB ，如图．∵AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ．在Rt △ABH 中，AB ＝100 m ，AH ＝80 m ，∴BH ＝AB 2－AH 2＝60 m ，∴BC ＝2BH ＝120 m ．∵拖拉机的速度＝18 km/h ＝5 m/s ，∴拖拉机在BC 段行驶所需要的时间＝1205＝24(秒)，∴学校受影响的时间为24秒．20．(10分)如图，AB 是⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，PD 切⊙O 于点C ，BC 和AD 的延长线相交于点E ，且AD ⊥PD ．(1)求证：AB ＝AE ；(2)当AB ∶BP 为何值时，△ABE 为等边三角形？请说明理由．(1)证明：连结OC ．∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PD ．又∵AD ⊥PD ，∴AD ∥OC ，∴∠E ＝∠OCB ．∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠E ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ．(2)解：当AB ∶BP ＝2∶1时，△ABE 为等边三角形．理由：∵AB ＝AE ，∴当∠A ＝60°时，△ABE 为等边三角形．由(1)，知AE ∥OC ，∴∠BOC ＝60°．又∵∠PCO ＝90°，∴∠P ＝30°，∴OC ＝12OP ．∵OB ＝OC ，OP ＝OB ＋BP ，∴BP ＝OB ＝AO ．故当AB ∶BP ＝2∶1时，△ABE 为等边三角形．21．(11分)【2016·浙江衢州中考】如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB ＝∠ABC ．(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线；(2)若CD ＝23，OP ＝1，求线段BF 的长．(1)证明：∵∠AFB ＝∠ABC ，∠ABC ＝∠ADC ，∴∠AFB ＝∠ADC ，∴CD ∥BF ，∴∠APD ＝∠ABF ．∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∴直线BF 是⊙O 的切线．(2)解：连结OD ．∵CD ⊥AB, ∴PD ＝12CD ＝3．∵OP ＝1，∴OD ＝2．∵∠PAD ＝∠BAF ，∠APD ＝∠ABF ，∴△APD ∽△ABF, ∴AP AB ＝PD BF ，∴34＝3BF ， ∴BF ＝433． 22．(12分)【四川遂宁中考】如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于点N ．(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ； (2)求证：AD 2＝AM ·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．(1)证明：连结OD ．∵直线CD 切⊙O 于点D ，∴∠CDO ＝90°．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3．∵OB ＝OD ，∴∠3＝∠4，∴∠ADC ＝∠ABD ． (2)证明：∵AM ⊥CD ，∴∠AMD ＝∠ADB ＝90°．又∵∠1＝∠4，∴△ADM ∽△ABD ，∴AM AD ＝AD AB ，∴AD 2＝AM·AB ． (3)解：∵sin ∠ABD ＝35，∴sin ∠1＝35．∵AM ＝185，∴AD ＝6，∴AB ＝10，∴BD ＝AB 2－AD 2＝8．∵BN ⊥CD ，∴∠BND ＝90°，∴∠DBN ＋∠BDN ＝∠1＋∠BDN ＝90°，∴∠DBN ＝∠1，∴sin ∠DBN ＝35，∴DN＝245，∴BN ＝BD 2－DN 2＝325． 23．(15分)观察思考：图1是某种在同一平面内进行传动的机械装置的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运动，并且PQ 带动连杆OP 绕固定点O 摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的⊙O 上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O 作OH ⊥l 于点H ，并测得OH ＝4 dm ，PQ ＝3 dm ，OP ＝2 dm ，如图2．解决问题：(1)点Q 与点O 间的最小距离是__4__dm ，点Q 与点O 间的最大距离是__5__dm ，点Q 在l 上滑到最左端的位置与滑到最右端的位置间的距离是__6__dm ；(2)如图3，小明同学说：“当点Q 滑动到点H 的位置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)①小丽同学发现：“当点P 运动到OH 上时，点P 到l 的距离最小．”事实上，还存在着点P 到l 距离最大的位置，此时，点P 到l 的距离是__3__dm ；②当OP 绕点O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．解：(2)不对．∵OP ＝2 dm ，PQ ＝3 dm ，OQ ＝4 dm,42≠32＋22，即OQ 2≠PQ 2＋OP 2，∴OP 与PQ 不垂直，∴PQ 与⊙O 不相切．(3)②由①知⊙O 上存在点P 、P ′到l 的距离为3 dm ，此时OP 将不能再向下转动，如图．OP 在绕点O 左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是扇形P ′OP ．连结P ′P ，交OH于点D．∵PQ、P′Q′均与l垂直，且PQ＝P′Q′，∴四边形PQQ′P′是矩形，∴OH⊥PP′，PD＝P′D．由OP＝2 dm，OD＝1 dm，得∠DOP＝60°，∴∠POP′＝120°．故所求最大圆心角的度数为120°．第3章综合达标测试卷(满分：100分时间：90分钟)一、选择题(每小题2分，共20分)1．如图所示的几何体的主视图是(A)2．如图所示的几何体的左视图是(A)3．下列四个图形中是三棱柱的表面展开图的是(A)4．电梯间或建筑物的监控器通常都装在天花板的角落里，目的是(D)A．减小盲区，减小视野B．扩大盲区，减小视野B．扩大盲区，扩大视野D．减小盲区，扩大视野5．如图所示是某几何体的三视图，则这个几何体是(D)A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥6．一个几何体是由若干个相同的立方体组成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的立方体个数不可能是(A)A．15B．13C．11D．57．图中的四个几何体的三视图为以下四组平面图形，其中与③对应的三视图是(A)8．如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是(B)A．3或4B．4或5C．5或6D．6或79．我们常用“y随x的增大而增大(或减小)”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y 随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是(D)A ．y ＝xB ．y ＝x ＋3C ．y ＝3xD ．y ＝(x －3)2＋310．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上，已知铁塔底座宽CD ＝12 m ，塔影长DE ＝18 m ，小明和小华的身高都是1．6 m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人影长分别为2 m 和1 m ，那么塔高AB 为( A )A ．24 mB ．22 mC ．20 mD ．18 m二、填空题(每小题3分，共24分)11．一根高为5 m 的铁栏杆，在地上的影子长为533 m 时，太阳光线与地面的夹角为__60°__．12．如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD 等于2米，若树根到墙的距离BC 等于8米，则树高AB ＝__10__米．13．如图，从三个不同的方向看一个各面涂有不同颜色的立方体，那么红色的对面是__橙色__，绿色的对面是__蓝色__．14．【2016·黑龙江鹤岗中考】如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB ＝120°，弧AB 的长为12π cm ，则该圆锥的侧面积为__108π__cm 2．15．如图，电影胶片上每一个图片的规格为3．5 cm ×3．5 cm ，放映屏幕的规格为2 m ×2 m ，若放映机的光源S 距胶片20 cm ，那么光源S 距屏幕__807__米时，放映的图像刚好布满整个屏幕．16．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是__600π_cm2__．(结果保留π)17．如图是由棱长为1的正方体搭成的积木三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是__9__．18．如图是一个包装纸盒的三视图(单位：cm)，则制作这样一个纸盒所需纸板的面积是(252＋1083) cm2．三、解答题(共56分)19．(7分)如图是由大小相同的小立方体搭成的几何体．(1)图中共有__5__个小立方体；(2)画出这个几何体的三个视图．解：如图所示．20．(8分)如图，小明和小亮在阳光下玩耍，小亮发现自己刚好踩到了小明的“脑袋”． (1)请画出此时小明和小亮在阳光下的影子；(用线段表示)(2)如果此时附近一棵2 m 高的小树的影长是2．5 m ，请计算影长是2 m 的小亮的身高．第20题(1)略 (2)1．6 m21．(9分)李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD ＝1．2 m ，CE ＝0．6 m ，CA ＝30 m(点A 、E 、C 在同一直线上)．已知李航的身高EF 是1．6 m ，请你帮李航求出楼高AB ．解：过点D 作DN ⊥AB ，垂足为N ，交EF 于点M ，∴四边形CDME 、ACDN 是矩形，∴AN ＝ME ＝CD ＝1．2 m ，DN ＝AC ＝30 m ，DM ＝CE ＝0．6 m ，∴MF ＝EF －ME ＝1．6－1．2＝0．4(m)．依题意知，EF ∥AB ，∴△DFM ∽△DBN ，∴DM DN ＝MF BN ，即0.630＝0.4BN ，∴BN＝20 m ，∴AB ＝BN ＋AN ＝20＋1．2＝21．2(m)，即楼高为21．2米．22．(9分)如图所示是一个几何体的三视图，一只蚂蚁要从该几何体的顶点A 处，沿着几何体的表面到和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长度是多少？解：该几何体为如图所示的长方体．由图知，蚂蚁有三种方式从点A 爬向点B ，且通过展开该几何体可得到蚂蚁爬行的三种路径长度分别为l 1＝32＋(4＋6)2＝109(cm)；l 2＝42＋(3＋6)2＝97(cm)；l 3＝62＋(3＋4)2＝85(cm)．通过比较，得最短路径长度是85 cm ．23．(11分)如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10 cm ，母线OE (OF )长为10 cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且F A ＝2 cm ，一只苍蝇从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到点A ．(1)求该圆锥形纸杯的侧面积； (2)此苍蝇爬行的最短距离是多少？解：(1)由题意，得底面半径r ＝5 cm ，母线长l ＝10 cm ，则圆锥侧面积为S 侧＝πrl ＝50π(cm 2)． (2)将圆锥沿母线OE 剪开，则得到扇形的圆心角θ＝r l ·360°＝510×360°＝180°．连结AE ，如图所示，即AE 为苍蝇爬行的最短路径，且OA ＝8 cm ，OE ＝10 cm ，θ1＝12θ＝90°．故苍蝇爬行的最短距离AE ＝OA 2＋OE 2＝164＝241(cm)．24．(12分)如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高0．2米，且AC ＝17．2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE ＝10米，现有一只小猫睡在台阶上晒太阳．(1)求楼房的高度约为多少米？(结果精确到0．1米) (2)过了一会儿，当α＝45°时，小猫能否晒到太阳？解：(1)当α＝60°时，在Rt △ABE 中，∵tan 60°＝AB AE ＝AB10，∴AB ＝10·tan 60°＝103≈17．3(米)．即楼房的高度约为17．3米． (2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为点F ，与MC 的交点为点H ．∵∠BFA ＝45°，∴tan 45°＝AB AF ＝1，此时的影长AF ＝AB ＝17．3米，∴CF ＝AF －AC ＝17．3－17．2＝0．1(米)，∴CH ＝CF ＝0．1米，∴大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上，∴小猫能晒到太阳．期末综合达标测试卷(满分：120分时间：120分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有( C ) A ．b ＝a tan A B ．b ＝c sin A C ．a ＝c sin AD ．c ＝a sin A2．【2016·湖南湘西中考】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以2．5 cm 为半径画圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定3．【2016·浙江宁波中考】如图所示的几何体的主视图为( B )4．如图是一个几何体的三视图，已知主视图和左视图都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的全面积为( B )A ．2πB ．3πC ．23πD ．(1＋23)π5．如图，正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为( D )A ．255B ．2C ．12D ．556．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直方向的点C 处测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，则AB 等于( B )A ．a ·sin αB ．a ·tan αC ．a ·cos αD ．atan α7．已知等腰直角三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为( C ) A ．52＋5 B ．102－5 C ．52－5D ．102－108．如图，P 为⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，且OP ＝5，P A ＝4，则sin ∠APO 等于( B )A ．45B ．35C ．43D ．349．如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1 m ，继续往前走3 m 到达E 处时，测得影子EF 的长为2 m ．已知王华的身高是1．5 m ，则路灯A 的高度AB 等于( D )A ．4．5 mB ．6 mC ．7．2 mD ．7．5 m10．【2016·山东潍坊中考】如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A (8,0)，与y 轴分别交于点B (0,4)和点C (0,16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( D )A ．10B ．82C ．413D ．241二、填空题(每小题4分，共32分)11．计算：－2－1＋(π－3．142)0＋2cos 230°＝__2__．12．在△ABC 中，∠C ＝90°，斜边上的中线CD ＝6，sin A ＝13，则S △ABC ＝__162__． 13．【2016·湖南株洲中考】如图，△ABC 的内切圆的三个切点分别为D 、E 、F ，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则圆心角∠EOF ＝ __120__度．14．如图∠MAB ＝30°，P 为AB 上的点，且AP ＝6，圆P 与AM 相切，则圆P 的半径为__3__．15．如图是由几个小立方体所搭成的几何体从上方看到的图形，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，已知小立方体边长为1，则这个几何体的表面积为__34__．16．如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为__233__．17．如图，圆锥的高是215 cm ，底面半径是2 cm ，A 是底面圆周上一点，从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短路线的长是__82cm__．18．如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB ＝45°，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP ＝x (x ≥0)，则x 的取值范围是__0≤x ≤2__．三、解答题(共58分)19．(6分)计算：(1)9－|cos 60°－1|＋(2)－1－(2017－π)0；解：原式＝3－⎝⎛⎭⎫1－12＋22－1＝3－1＋12＋22－1＝3＋22． (2)2－1＋12－4sin 60°－()－30．解：原式＝12＋23－4×32－1＝12＋23－23－1＝－12． 20．(6分)如图是一个由若干个棱长相等的正方体构成的几何体的三视图．(1)请写出构成这个几何体的正方体个数；(2)请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积．解：(1)构成这个几何体的正方体有5个．(2)S 表＝5×6a 2－10a 2＝20a 2．21．(6分)如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD ，其中AD ∥BC ，坡长AB ＝10 m ，坡角∠2＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角∠1＝45°．(1)试求出防洪大堤的横断面的高度； (2)请求出改造后的坡长AE ．解：(1)过点A 作AF ⊥BC 于点F ．在Rt △ABF 中，∠ABF ＝60°，则AF ＝ABsin 60°＝5 3 m ，即防洪大堤的横断面的高度为5 3 m ． (2)在Rt △AEF 中，∵∠E ＝45°，AF＝5 3 m ，∴AE ＝AF sin 45°＝5322＝56(m)，即改造后的坡长AE 为5 6 m ． 22．(6分)如图，AB 是⊙O 的直径，点F 、C 是⊙O 上两点，且AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，连结AC 、AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 延长线于点D ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若CD ＝23，求⊙O 的半径．(1)证明：如图，连结OC ．∵FC ︵＝CB ︵，∴∠FAC ＝∠BAC ． ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠FAC ＝∠OCA ，∴OC ∥AF ．∵CD ⊥AF ，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．(2)解：如图，连结BC ．∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°．∵AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，∴∠BOC ＝13×180°＝60°，∴∠BAC ＝30°，∴∠DAC ＝30°．在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝30°，CD ＝23，∴AC ＝2CD ＝43．在Rt △ACB 中，∵∠BAC ＝30°，∴BC ＝33AC ＝33×43＝4，∴AB ＝2BC ＝8，∴⊙O 的半径为4．23．(8分)如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走9 m 到达点B ，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°．(1)求∠BPQ 的度数；(2)求该电线杆PQ 的高度．(结果保留根号)解：(1)如图，延长PQ 交直线AB 于点E ．由题意，可知∠BEP ＝90°，∠PBE ＝60°，∠QBE ＝30°，∴∠BPQ ＝90°－∠PBE ＝90°－60°＝30°． (2)设PE ＝x 米．在Rt △APE 中，∵∠A ＝45°，∴AE ＝PE ＝x 米．在Rt △BPE 中，∵∠BPE ＝30°，∴BE ＝33PE ＝33x 米．∵AB ＝AE －BE ＝9米，∴x －33x ＝9，解得x ＝27＋932．则BE ＝93＋92米．在Rt △BEQ 中，∵∠QBE ＝30°，∴QE ＝33BE ＝9＋332米．∴PQ ＝PE －QE ＝27＋932－9＋332＝(9＋33)(米)．即电线杆PQ 的高度为(9＋33)米．24．(8分)如图，O 为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B 经过点O ，且与x 、y 轴分别交于A 、C 两点，点A 的坐标为(－3，0)，AC 的延长线与⊙B 的切线OD 交于点D ，A 、B 、C 三点在同一条直线上．(1)求OC 的长和∠CAO 的度数；(2)求过点D 的反比例函数的表达式．解：(1)在Rt △ACO 中，∵AC ＝2，OA ＝3，∴OC ＝1，∴sin ∠CAO ＝OC AC ＝12，即∠CAO ＝30°． (2)由(1)，知OC ＝1，∴C(0,1)．又∵∠CAO ＝30°，∴直线AC 的斜率为33，∴直线AC 的解析式为y ＝33x ＋1．① 连结OB ．∵AB ＝OB ，∴∠BOA ＝30°．又∵OD 切⊙B 于点O ，∴∠BOD ＝90°，∴直线OD 的斜率为tan 60°＝3，∴直线OD 的解析式为y ＝3x ．② 由①②，得点D ⎝⎛⎭⎫32，32．设过点D 的反比例函数的解析式为y ＝k x ，则k ＝32×32＝334，∴过点D 的反比例函数的解析式为y ＝334x (x>0)． 25．(8分)如图，在直角坐标系中，以M (3,0)为圆心的⊙M 交x 轴负半轴于点A ，交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于C 、D 两点．(1)若点C 的坐标为(0,4)，求点A 的坐标；(2)在(1)的条件下，在⊙M 上，是否存在点P ，使∠CPM ＝45°？若存在，求出满足条件的点P ；(3)过点C 作⊙M 的切线CE ，过点A 作AN ⊥CE 于点F ，交⊙M 于点N ，当⊙M 的半径大小发生变化时，AN 的长度是否变化？若变化，求出变化范围；若不变，证明并求值．解：(1)连结CM ．∵M(3,0)、C(0,4)，∴OM ＝3，OC ＝4．在Rt △COM 中，由勾股定理，得CM ＝OM 2＋OC 2＝5，即⊙M 的半径为5，∴MA ＝5．∵M(3,0)，∴A(－2,0)．(2)假设存在点P(x ，y)满足题意，则△CMP 为等腰直角三角形，且CM ＝PM ＝5，故CP ＝52．根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)2＋y 2＝25，x 2＋(y －4)2＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝7，y 1＝3， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝－3，即点P 1(7,3)、P 2(－1，－3)满足题意．(3)AN 的长不变．证明：如图，过点M 作MH ⊥AN 于点H ，则AH ＝NH ．易证△AMH ≌△MCO ，∴AH ＝OM ＝3，∴AN ＝2AH ＝6．26．(10分)如图，已知直线y ＝－m (x －4)(m ＞0)与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以OA 为直径作半圆，圆心为点C ．过点A 作x 轴的垂线AT ，M 是线段OB 上一动点(与点O 不重合)，过点M 作半圆的切线交直线AT 于点N ，交AB 于点F ，切点为点P ．连结CN 、CM ．(1)求证：∠MCN ＝90°；(2)设OM ＝x ，AN ＝y ，求y 关于x 的函数解析式；(3)若OM ＝1，则当m 为何值时，直线AB 恰好平分梯形OMNA 的面积．(1)证明：连结OP 、CP ．∵BM ⊥OC ，∴BM 切⊙C 于点O ．又∵MP 切⊙C 于点P ， ∴MO ＝MP ．又∵PC ＝OC ，MC ＝MC ，∴△MCO ≌△MCP ，∴∠MCO ＝∠MCP ．同理，∠NCP ＝∠NCA ，∴∠MCP ＋∠NCP ＝90°，即∠MCN ＝90°．(2)解：∵点A 为直线y ＝－m(x －4)(m>0)与x 轴的交点，∴A(4,0)，∴OA ＝4，OC ＝CP ＝AC ＝2．在Rt △MCO 中，MC 2＝OM 2＋OC 2＝x 2＋4．在Rt △ACN 中，NC 2＝AN 2＋AC 2＝y 2＋4．由(1)，可知△MCO ≌△MCP ，△ACN ≌△PCN ，∴MP ＝OM ＝x ，NP ＝AN ＝y ，∴MN ＝MP ＋PN ＝x ＋y ．在Rt △MCN 中，MN 2＝MC 2＋NC 2，即(x ＋y)2＝x 2＋y 2＋8，∴y ＝4x(x>0)． (3)解：∵OM ＝1，∴AN ＝4，∴S 梯形OMNA ＝10，∴△ANF 的面积为5．过点F 作FG ⊥AN 于点G ，则12FG·AN ＝5，∴FG ＝52，∴点F 的横坐标为4－52＝32．又∵M(0,1)、N(4,4)，∴直线MN 的解析式为y ＝34x ＋1．∵点F 在直线MN 上，∴点F 的纵坐标为34×32＋1＝178，∴F ⎝⎛⎭⎫32，178．又∵点F 在直线y ＝－m(x －4)上，∴178＝－m ⎝⎛⎭⎫32－4．解得m ＝1720．本课教学反思本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写。

2020年浙教版九年级数学下册第二章检测题及答案

九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系检测题【本检测题满分:120分，时间:120分钟】一、选择题（每小题3分，共30分）1.（2015•广东梅州中考）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心.若∠B=20°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°第1题图第2题图2.如图所示，⊙的半径为2，点到直线的距离为3，点是直线上的一个动点，切⊙于点，则的最小值是（）A.13B.5C.3D.23.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A.r＜6B.r＝6C.r＞6D.r≥64.已知△的面积为18 cm2，BC=12 cm，以A为圆心，BC边上的高为半径的圆与BC（）A. 相离 B．相切 C．相交 D．位置关系无法确定5.(2015·黑龙江齐齐哈尔中考)如图，两个同心圆，大圆的半径为5,小圆的半径为3.若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是( ) A.8≤AB≤10 B.8<AB≤10C.4≤AB≤5D.4<AB≤56.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A. 1个B．2个C．3个D．4个第5题图第6题图第7题图7.如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连结OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（）A.15°B.20°C. 30°D. 70°8.如图所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点Ｄ，则下列结论中不一定正确的是（）A.AG＝BGB.AB∥EFC.AD∥BCD.∠ABC＝∠ADC9.如图所示，半圆O与等腰直角三角形两腰ＣA，ＣB分别切于Ｄ，E两点，直径FG在AB上，若BG ＝－1，则△ABC的周长为（）A. 4＋B.6C.2＋D.410.如图，ＰA,ＰB分别切⊙O于点A,B，若∠Ｐ＝７0°，则∠Ｃ的大小为（）A. 55°B．140°C．70°D．80°二、填空题（每小题3分，共24分）11. 已知O为△ABC的内心，且∠BOC=130°，则∠A= .12.如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有______个.13.在△ABC中，AB=13 cm，BC=12 cm，AC=5 cm，以C为圆心，若要使AB与⊙C相切，则⊙C的半径应为_____________．14.（杭州中考）如图，射线ＱN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AＣ∥ＱN，AM＝MB＝2 cm，ＱM＝4 cm．动点Ｐ从点Ｑ出发，沿射线ＱN以每秒1 cm的速度向右移动，经过tｓ，以点Ｐ为圆心， cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值______（单位：ｓ）．15.（2015•福建泉州中考）如图，AB和⊙O切于点B，AB=5，OB=3 则tan A= ．16．（2012•兰州中考）如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半图径的圆，∠AOB=45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x 的取值范围是____________．第15题图第16题图第17题图17．（2015·山东烟台中考）如图，直线l:y=-x+1与坐标轴交于A，B两点，点M(m,0)是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，m 的值为_______.18.（2015•杭州模拟）如图所示，⊙D 的半径为3，A是圆D外一点且AD=5，AB，AC分别与⊙D相切于点B，C．G是劣弧BC上任意一点，过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F．（1）△AEF的周长是；（2）当G为线段AD与⊙D的交点时，连结CD，则五边形DBEFC的面积是．第18题图三、解答题（共66分）19.（8分）如图，延长⊙O的半径OC到A，使CA=OC，再作弦BC=OC．求证：直线AB是⊙O的切线．第12题图第11题图第19题图 20.（8分）（2013·兰州中考）如图，直线MN交⊙O 于A ，B 两点，A Ｃ是直径，A Ｄ平分∠ＣAM 交⊙O 于点Ｄ，过点Ｄ作ＤE ⊥MN 于点E .（1）求证：ＤE 是⊙O 的切线.（2）若ＤE ＝6 cm ，AE ＝3 cm ，求⊙O 的半径.21．（8分）如图，⊙O 切AC 于B 点，AB =OB =3，BC =，求∠AOC 的度数．第21题图第22题图22.（10分）如图,△内接于⊙O ，，∥，CD 与OA 的延长线交于点. (1)判断与的位置关系,并说明理由；(2)若∠120°，，求的长. 23.（10分）已知：如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=o ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．判断直线BD 与的位置关系，并证明你的结论.第23题图第24题图24.（10分）（2015·广东梅州中考）如图，直线l 经过点A （4，0），B （0，3）．（1）求直线l 的函数表达式；（2）若圆M 的半径为2.4，圆心M 在y 轴上，当圆M 与直线l 相切时,求点M 的坐标．25.（12分）已知：如图（1），点P 在⊙O 外，PC 是⊙O 的切线，切点为C ，直线PO 与 ⊙O 相交于点A 、B ．（1）试探求∠BCP 与∠P 的数量关系.（2）若∠A =30°，则PB 与PA 有什么数量关系？第25题图（3）∠A 可能等于45°吗？若∠A =45°，则过点C 的切线与AB 有怎样的位置关系？（图（2）供你解题使用）（4）若∠A ＞45°，则过点C 的切线与直线AB 的交点P 的位置将在哪里？（图（3）第20题图供你解题使用）第2章直线与圆的位置关系检测题参考答案一、选择题1.D 解析：如图，连结OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=20°，∴∠AOC=40°，∴∠C=50°．第1题答图2.B 解析：设点到直线的距离为∵切⊙于点，∴∵直线外一点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短，∴3.C解析：设圆心到直线的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．反之也成立，即直线与圆相交时，r＞6，故C项正确．4.B 解析：根据题意画出图形，如图所示：以A为圆心，BC边上的高为半径，则说明BC边上的高等于圆的半径，∴该圆与BC相切．故选B．第4题答图第5题答图5.A解析：如图，当AB与小圆相切时，AB最短，此时AB与小圆只有一个公共点C，连结OA，OC，∵AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴C为AB的中点，即AC=BC AB.在Rt△AOC中，OA=5，OC=3，根据勾股定理,得AC==4，则AB=2AC=8.当AB是大圆的直径时，AB最长，此时AB与小圆有两个公共点，可求AB=2×5=10.∴AB的取值范围是8≤AB≤10.6.C 解析：连结OC.∵直线MN切⊙O于C点，∴∠OCB+∠BCN=90°.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC+∠BCN=90°，又∵∠D=∠OBC，∴∠D +∠BCN=90°∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCN+∠ACM=90°．故选C．7.B8.C解析：根据垂径定理，得AG＝BG．因为直线EF与⊙O相切，所以CD⊥EF．又因为AB⊥CD，所以AB∥EF．由已知得不到弧AC＝弧BD，所以也就得不到∠ADC＝∠BCD，从而得不到AD∥BC．由同弧所对的圆周角相等，得∠ABC＝∠ADC．故不一定正确的是选项C.9. A解析：连结OE，OD，则OE⊥BC，OD⊥AC，∴四边形ODCE是正方形，△BOE∽△BAC ，∴＝．设圆的半径为r，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝2r，AB＝2r，∴＝，解得r＝1，则△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2r＋2r＋2r＝（４＋2）r＝４＋2．10.A解析：分别连结AO、BO，则AO⊥PA，BO⊥PB，在四边形APBO中，∠P＋∠PAO＋∠AOB＋∠OBP＝360°.∵∠P＝70°，∠PAO＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝110°，∴∠C ＝∠AOB＝55°．二、填空题11.80°解析：∵OB，OC是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=180°﹣130°=50°，而∠OBC+∠OCB =（∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠ABC+∠ACB=100°，∴∠BAC=180°﹣100°=80°．12.3解析：在弦AB所在直线的两侧分别有1个和2个点符合要求.13.cm 解析：如图，设AB与⊙C相切于点D，即CD⊥AB（CD为△ABC斜边AB上的高，也等于圆C的半径），∵132=52+122，即AB2=AC2+BC2（勾股定理），∴△ABC为直角三角形.∵SABC△=11××22BC AC AB CD，∴CD=，∴⊙C的半径应为cm.14.ｔ＝2或3≤ｔ≤7或ｔ＝8 解析：因为AM＝MB，AC∥QN，所以MN为正三角形ABC 的中位线，MN＝2 cm．（1）当圆与△ABC的AB边相切（切点在AB边上）时，如图①，则PD＝，易得DM ＝1，PM＝2，则QP ＝2，t＝2．（2）当圆与△ABC的AC边相切（切点在AC边上）时，第13题答图如图②，事实上圆的半径刚好等于AC与射线QN之间的距离，所以AP＝，则PM＝1，QP＝3，同理NP′＝1，QP′＝7，圆心由P到P′的过程中圆始终与AC边相切，所以3≤t≤7．(3)当圆与△ABC的BC边相切（切点在BC边上）时，如图③，则PD＝，易得DN ＝1，PN＝2，则QP＝8，t＝8．综上所述，t＝2或3≤t≤7或t＝8．15. 解析：∵直线AB与⊙O相切于点B，则∠OBA=90°．∵AB=5，OB=3，∴ tan A==．16.﹣≤x≤且x≠0解析：连结OD，由题意得，OD=1，∠DOP'=45°，∠ODP'=90°，故可得OP'=，即x的最大值为，同理当点P在y轴左边时也有一个最值点，此时x取得最小值，x=﹣，综上可得x的取值范围为：﹣≤x≤．又∵DP'与OA平行，∴x≠0.或解析：如图所示，当点M在点B的左侧时，设⊙M与直线l相17. 2252+25切于点C，连结MC，则MC⊥AB，所以△OAB∽△CMB，根据相似三角形的性质得到.当x=0时，y=1,当y=0时,x=2,所以A点的坐标为(0,1),B点的坐标为(2,0).所以OA =1，OB =2，根据勾股定理得AB =2222125OA OB +=+=,所以512MB =,解得MB =25，则OM =MB -OB =25-2，所以M 点的坐标为(2-25,0)；当点M 在点B 的右侧时，同理可得MB =25,则OM =MB +OB =25+2,所以M 点的坐标为(25+2, 0),所以m 的值是2-25或2+25.18．（1）8 （2）9 解析：（1）如图（1）所示：连结ED ，DG ，FD ，CD ，第18题答图∵ AB ，AC 分别与⊙D 相切于点B ，C ，∴ AB =AC ，∠ABD =∠ACD =90°，∵ ⊙D 的半径为3，A 是圆D 外一点且AD =5，∴ AB = =4， ∵ 过G 作⊙D 的切线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，∴ BE =EG ，FG =FC ，则△AEF 的周长是：AE +EG +FG +AF =AB +AC =8．（2）如图（2），AG =AD ﹣DG =5﹣3=2．∵ 在△AEG 和△ADB 中，∠ABD =∠AGD =90°，∠BAD =∠EAG ，∴ △AEG ∽△ADB ，，即 ∴ EG =，∴ EF =2EG =3，∴=EF •AG =×3×2=3．又∵ S 四边形ABDC =2S △ABD =AB •BD =3×4=12，∴ S 五边形DBEFC =12﹣3=9．三、解答题19. 证明：连结OB ，如图，∵ BC =OC ，CA =OC ，∴ BC 为△OBA 的中线，且BC =OA ，∴ △OBA 为直角三角形，即OB ⊥BA ． ∴ 直线AB 是⊙O 的切线．20. 分析：（1）连结OD，证明OD⊥DE.（2）连结CD，证明△ACD∽△ADE，可求直径CA的长，从而求出⊙O的半径.（1）证明：如图，连结OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴DO∥MN.∵DE⊥MN，∴∠ODE＝∠DEA＝90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.（2）解：如图，连结CD.∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，∴AD＝＝＝3.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°.∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴＝，即＝，∴AC＝15，∴OA＝AC＝7.5.∴⊙O的半径是7.5 cm.21．解：∵⊙O切AC于B点，∴OB⊥AC.在Rt△OAB中，AB=OB=3，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°.在Rt△OCB中，OB=3，BC=，∴tan∠BOC=，∴∠BOC=30°，∴∠AOC=45°+30°=75°．22.解: (1)CD与⊙O的位置关系是相切.理由如下：作直径C E，连结A E.∵ 是直径，∴ ∠90°，∴ ∠∠°. ∵ ，∴ ∠∠.∵ AB∥CD，∴ ∠ACD＝∠CAB.∵ ∠∠，∴ ∠∠，∴∠＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°，∴，∴ CD 与⊙O 相切. （2）∵ ∥，，∴又∠°，∴ ∠∠°. ∵ ，∴ △是等边三角形，∴ ∠°， ∴ 在Rt△DCO 中，，∴ . 23.解：直线BD 与相切．证明：连结OD ，OA OD =Q ，∴ A ADO ∠=∠． 90C ∠=o Q ，∴ 90CBD CDB ∠+∠=o ．又CBD A ∠=∠Q ，∴ 90ADO CDB ∠+∠=o ．∴ 90ODB ∠=o ．∴ 直线BD 与相切．24.解：（1）设直线l 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0), ∵直线l 经过点A （4，0），B （0，3），∴ 40,3,k b b +=⎧⎨=⎩∴ 3,4 3.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴ 直线l 的函数表达式为343+-=x y ；（2）∵ 直线l 经过点A （4，0），B （0，3），∴ OA ＝4，OB ＝3，∴ AB ＝5.①当点M 在B 点下方时，在Rt △ABO 中，sin ∠BAO ＝,过点O 作OC ⊥AB ,所以OC ＝OA ·sin ∠BAO ＝4×＝2.4，所以点M 在原点时，圆M 与直线l 相切，如图（1）所示.（1）（2）第24题答图②当点M 在B 点上方时，如图（2）所示.此时⊙M ′与直线l 相切，切点为C ′，连结,则⊥AB ，∴ ∠M ′C ′B ＝∠MCB ＝90°, 在△B 与△MCB 中，∴ △B ≌△MCB ,∴ BM ＝BM ＝3,∴ 点M 的坐标为（0，6）.综上可得当⊙M 与直线l 相切时点M 的坐标是（0，0），（0，6）.25．解：（1）由已知可知∠BCP=∠A，在△ACP中∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°，∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCP=902P ︒-∠.（2）若∠A=30°，则∠BCP=∠A=30°,∴∠P=30°,∴PB=BC.在Rt△ACB中，∠A=30°，∴BC=AB,∴PB=PA或PA=3PB.（3）∠A不可能等于45°，如图（1）所示，当∠A=45°时，过点C的切线与AB平行.（1）（2）第25题答图（4）如图（2）所示，若∠A＞45°，则过点C的切线与直线AB的交点P在AB的反向延长线上．。

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第2章核心素养评估试卷[学生用书活页41][时间：120分钟满分：120分]一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过同一直径两端的两条切线平行；③经过半径外端点的直线是圆的切线；④经过切点且垂直于切线的线段是半径．其中正确的有(A)A．①②B．③④C．①③D．②④2．如图1，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC.若∠C ＝25°，则∠A＝(A)图1A．40°B．25°C．50°D．80°3．[2018·湘西]如图2，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为(D)图2A．10 B．8 C．4 3 D．4 5 4．[2019·云南]如图3，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(A)图3A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 【解析】利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，∴四边形OF AE为正方形，设OE＝AE＝AF ＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5－r，CD＝CE＝12－r，∴5－r＋12－r＝13，∴r＝2，∴S四边形AEOF＝4，故选A.5．如图4，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC ＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于(A)图4A.45 B.12 C.32D．1【解析】设⊙O与AC的切点为M，圆的半径为r，如答图，过点O作OF⊥BC 于点F，连结OM，第5题答图∴∠OMC＝∠OFC＝90°，∵∠C＝90°，OM＝OF，∴四边形OMCF是正方形，∴CM＝r，∵△AOM∽△ADC，∴OM∶DC＝AM∶AC，即r∶1＝(4－r)∶4，解得r＝45.故选A.6．[2019·青岛]如图5，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则圆弧CD的长度为(B)图5A ．πB ．2πC ．22πD ．4π【解析】如答图，连结CO ，DO ，∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于C ，D ，∴∠ACO ＝∠BDO ＝90°，∴∠AOC ＝∠A ＝45°，∴CO ＝AC ＝4，∵AC ＝BD ，CO ＝DO ，∴△ACO ≌△BDO ，∴∠DOB ＝∠AOC ＝45°，第6题答图∴∠DOC ＝180°－∠DOB －∠AOC ＝180°－45°－45°＝90°，∴CD ︵＝90π×4180＝2π，故选B.7．[2019·荆门]如图6，△ABC 内心为I ，连结AI 并延长交△ABC 的外接圆于D ，则线段DI 与DB 的关系是( A )A ．DI ＝DBB ．DI ＞DBC ．DI ＜DBD ．不确定图6 第7题答图【解析】如答图，连结BI，∵△ABC的内心为I，∴∠CAD＝∠BAD，∠CBI＝∠ABI，又∠CBD＝∠CAD，∴∠BID＝∠BAD＋∠ABI＝∠CBD＋∠CBI＝∠DBI，∴DI＝DB.8．如图7，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(D)图7A．10 B．8 2C．413 D．241【解析】如答图，过点M作MD⊥y轴于点D，连结MA，MB，MO.第8题答图∵⊙M与x轴相切于点A(8，0)，∴MA⊥OA，OA＝8，∴∠OAM＝∠AOD＝∠ODM＝90°，∴四边形OAMD是矩形，∵B(0，4)，C(0，16)，∴BD＝CD＝6，∴AM＝OD＝10，在Rt△OMA中，OM＝102＋82＝241.故选D.9．[2018·凉山州模拟]如图8，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6 cm，AB＝6 3 cm，则阴影部分的面积为(C)图8A．(93－π)cm2B．(93－2π)cm2C．(93－3π)cm2D．(93－4π)cm2【解析】如答图，连结OC，由AB与⊙O相切于点C，则可得OC垂直于AB，又∵OA＝OB，则AC＝BC(三线合一)，BC＝3 3 cm，⊙O的直径为6 cm，∴OC ＝3，∴∠COB＝60°，∴∠AOB＝120°，则阴影部分的面积为△AOB的面积与圆面积的三分之一的差．即S阴＝12AB·OC－13π·OC2＝12×63×3－13×π×32＝(93－3π)cm2.第9题答图10．如图9，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连结AD，下列结论：①CD＝BD；②DE为⊙O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2＝AE·AC，其中正确结论的个数为(D)A．1个B．2个C．3个D．4个图9 第10题答图【解析】∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，①正确；如答图，连结OD，∵D为BC中点，O为AC中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AB，又∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE为⊙O的切线，②正确；∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵∠DEA＝∠CDA＝90°，∴△ADE∽△ACD，③正确；∴ADAC＝AEAD，即AD2＝AE·AC，④正确．综上所述，正确结论的个数为4个．故选D.二、填空题(每题4分，共24 分)11．[2018·益阳]如图10，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD 的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝__45__度．图10【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BC是圆的切线，∴∠ABC＝90°，∵AD＝DC，∴BD垂直平分AC，∴AB＝BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C＝45°.12．如图11，⊙O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为__22__．图11【解析】 ∵PQ 切⊙O 于点Q ，∴∠OQP ＝90°，∴PQ 2＝OP 2－OQ 2，∵OQ ＝1，∴PQ 2＝OP 2－1，即PQ ＝OP 2－1，当OP 最小时，PQ 最小，∵点O 到直线l 的距离为3，∴OP 的最小值为3，∴PQ 的最小值为9－1＝2 2. 13．[2019·海南]如图12，⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB ，DE 分别相切于点B ，D ，则劣弧BD ︵所对的圆心角∠BOD 的大小为__144__度．图12【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝（5－2）×180°5＝108°.∵AB，DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝(5－2)×180°－90°－108°－108°－90°＝144°.14．如图13，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为__67__．图13 第14题答图【解析】如答图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连结OB. ∵AB，BC是⊙O的切线，∴E，F是切点，∴OE，OF是⊙O的半径，∴OE＝OF.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，由勾股定理，得BC＝4.又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO＋S△BOD，∴12BD·AC＝12AB·OE＋12BD·OF，即5OE＋2OE＝2×3，解得OE＝67，∴⊙O的半径为67.15．如图14，P A，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，DE交P A，PB于点D，E，已知P A长8 cm.则△PDE的周长为__16__cm__；若∠P＝40°，则∠DOE＝__70°__．图14 第15题答图【解析】∵P A，PB，DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EC＝EB，P A＝PB，∴△PDE的周长为PD＋DC＋EC＋PE＝P A＋PB＝2P A＝16(cm)．如答图，连结OA，OB，OD，OE，OC，则∠AOB＝180°－∠P＝140°，∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝12(∠AOC＋∠BOC)＝12×140°＝70°.16．[2019·菏泽]如图15，直线y ＝－34x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是__⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－173，0__．图15 第16题答图【解析】 ∵直线y ＝－34x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝－4，∴A (－4，0)，B (0，－3)，∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，如答图，当⊙P 在直线AB 右侧时，连结PD ，则PD ⊥AB ，PD ＝1，∵∠ADP ＝∠AOB ＝90°，∠P AD ＝∠BAO ，∴△APD ∽△ABO ，∴PDOB ＝AP AB ，∴13＝AP 5，∴AP ＝53，∴OP ＝73，同理：当⊙P 在直线AB 左侧时，OP ＝173，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－173，0.三、解答题(共66分)17．(6分)如图16，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠A .图16(1)求∠D 的度数；(2)若CD ＝2，求BD 的长．解：(1)∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠OCA .∴∠COD ＝∠A ＋∠OCA ＝2∠A . 又∵∠D ＝2∠A ，∴∠COD ＝∠D . ∵PD 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥PD ，即∠OCD ＝90°，∴∠D ＝45°；(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2.由勾股定理，得OD＝22＋22＝2 2.∴BD＝OD－OB＝22－2.18．(6分)[2018·青海节选]如图17，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC.图17(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．第18题答图解：(1)证明：如答图，连结OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线；(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝OD＋PD＝2AO，又∵OA＝OD，∴PD＝OA，∵PD＝5，∴2OA＝25，即⊙O的直径为2 5.19．(8分)[2019·菏泽]如图18，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O 的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.(1)求证：∠ABG＝2∠C；(2)若GF＝33，GB＝6，求⊙O的半径．图18 第19题答图解：(1)证明：如答图，连结OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG，∵BF⊥GE，∴OE∥AB，∴∠A＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABG＝∠A＋∠C，∴∠ABG＝2∠C；(2)∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝33，GB＝6，∴BF＝BG2－GF2＝3，∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，∴BFOE＝BGOG，∴3OE＝66＋OE，∴OE＝6，∴⊙O的半径为6.20．(8分)[2019·娄底]如图19，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)求证：CD·BE＝AD·DE.图19 第20题答图证明：(1)如答图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，又∵DC⊥AC，∴DC⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；(2)如答图，连结BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDE＝90°.又∵DC⊥AC，∴∠ACD＝∠BDE.∵BE为⊙O的切线，DC⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠E＝∠ADC，∴△ACD∽△BDE，∴CDAD＝DEBE，∴CD·BE＝AD·DE.21．(8分)如图20，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF.(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径．图20 第21题答图解：(1)AF 与⊙O 相切．理由如下：如答图，连结OC ，∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∴∠OCF ＝90°，∵OF ∥BC ，∴∠B ＝∠AOF ，∠OCB ＝∠COF ，∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB ，∴∠AOF ＝∠COF ，在△OAF 和△OCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COF ，OF ＝OF ，∴△OAF ≌△OCF (SAS )，∴∠OAF ＝∠OCF ＝90°，∴AF 与⊙O 相切；(2)∵△OAF ≌△OCF ，∴∠OAE ＝∠OCE ，∴OE ⊥AC ，AE ＝12AC ＝12，∴EF ＝152－122＝9，∵∠OAF ＝90°，∴△OAE∽△AFE，∴OAAF＝AEEF，即OA15＝129，∴OA＝20，即⊙O的半径为20.22．(8分)如图21，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD 与AB交于点F，过点D作∠CDE＝∠DFE，DE交AB的延长线于点E，过点A 作⊙O的切线交ED的延长线于点G.(1)求证：GE是⊙O的切线；(2)若tan C＝13，BE＝4，求AG的长．解：(1)证明：如答图，连结OD，∵∠1＝∠2，而∠2＝∠3，∴∠3＝∠1，∵OC⊥AB，∴∠3＋∠C＝90°，∴∠1＋∠C＝90°，而OC＝OD，∴∠C＝∠4，∴∠1＋∠4＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴GE是⊙O的切线；(2)设OF＝x，则OC＝3x，∴BF＝2x，∵∠1＝∠2，∴ED＝EF＝2x＋4，在Rt△ODE中，∵OD2＋DE2＝OE2，∴(3x)2＋(2x＋4)2＝(4＋3x)2，解得x＝2，∴OD＝6，DE＝8，OE＝10.又∵∠AEG＝∠DEO，∠EAG＝∠EDO＝90°，∴△AGE∽△DOE，∴AEDE＝AGDO，∵AE＝16，可得AG＝12.23．(10分)[2018·泰州]如图22，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E.(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝33，DF＝3，求图中阴影部分的面积．解：(1)DE与⊙O相切．理由：如答图，连结DO，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵D为半径OD的外端，∴DE与⊙O相切；(2)∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3，∵BE＝33，∴tan∠CBD＝DEBE＝33，∴∠CBD＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OD∥BE，∴∠AOD＝∠ABC＝60°，∴OD＝DFsin∠AOD＝23，∴OF＝3，∴S阴影部分＝S扇形AOD－S△DOF＝60π×（23）2360－12×3×3＝2π－332.24．(12分)[2019·山西]阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2＝R2－2Rr.如图23①，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI＝d，则有d2＝R2－2Rr.下面是该定理的证明过程(部分)：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连结DM，AN. ∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI(同弧所对的圆周角相等)．∴△MDI∽△ANI，∴IMIA＝IDIN，∴IA·ID＝IM·IN.①如图②，在图①(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连结BE，BD，BI，IF.∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°.∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IF A.∵∠BAD＝∠E(同弧所对的圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴IADE＝IFBD，∴IA·BD＝DE·IF.②任务：(1)观察发现：IM＝R＋d，IN＝__R－d__(用含R，d的代数式表示)；(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5 cm，内切圆的半径为2 cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为图23解：(2)BD＝ID.理由如下：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI，∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD＋∠ABI，∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝ID；(3)由(2)知BD＝ID，∴DE·IF＝IM·IN，∴2R·r＝(R＋d)(R－d)，∴d2＝R2－2Rr.第1～2章核心素养评估试卷[学生用书活页45][时间：120分钟满分：120分]一、选择题(每题3分，共30分)1．[2019·烟台一模]如图1，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D.已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为(C)图1A．20°B．30°C．40°D．50°第1题答图【解析】如答图，连结OB，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝20°，∴∠DBC＝70°，∵∠AOC＝90°，∴∠ODA＝∠BDC＝70°，∴∠OCB＝40°.2．[2019春·徐汇区校级月考]如图2，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是⊙O 的直径，∠BCD＝120°，过点D的切线PD与直线AB交于点P，则∠P的度数为(D) A．90°B．60°C．40°D．30°图2 第2题答图【解析】如答图，连结OD，∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BAD＝180°－120°＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°，∴∠P＝90°－∠AOD＝90°－60°＝30°. 3．[2019秋·亭湖区校级月考]如图3，P A，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交P A，PB于C，D，若△PCD的周长等于4，则线段P A的长是(C)图3A．4 B．8 C．2 D．1【解析】由题意得AC＝EC，DE＝DB，P A＝PB，∵△PCD的周长等于4，∴PC＋CD＋PD＝4，∴P A＋PB＝4，∴P A＝2.4．[2019·九龙坡区校级三模]如图4，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连结BD，CD＝BD＝43，则OE的长度为(B)图4A. 3 B．2 C．2 3 D．4第4题答图【解析】如答图，连结OD，∵直线CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵CD＝BD＝43，∴∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠DOE＝∠B＋∠ODB＝2∠B，∴∠DOE＝2∠C，在Rt△OCD中，∠DOE＝2∠C，则∠DOE＝60°，∠C＝30°，∴OD＝tan C·CD＝33×43＝4，∵DF⊥AB，∴∠DEO＝90°，在Rt△ODE中，OE＝cos∠EOD·OD＝12×4＝2.5．[2019·泰山区二模]如图5，CD是⊙O的切线，点C在直径的延长线上，若BD＝23AD，AC＝3，则CD＝(C)图5A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【解析】∵CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠CDO＝∠BDA＝90°，∴∠CDB＝∠ODA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠CDB＝∠CAD，又∠C＝∠C，∴△CDB∽△CAD，∴CDCA＝BDAD＝23，即CD3＝23，解得CD＝2.6．[2019·罗湖区一模]如图6，已知⊙O的圆心在原点，半径OA＝1(单位圆)，设∠AOP＝∠α，其始边OA与x轴重合，终边与⊙O交于点P，设P点的坐标P(x，y)，⊙O的切线AT交OP于点T，且AT＝m，则下列结论中错误的是(D)图6A．sinα＝y B．cosα＝xC．tanα＝m D．x与y成反比例第6题答图【解析】如答图，过点P作PH⊥OA于H，由题意知，OA＝OP＝1，OH＝x，PH＝y，由切线的性质定理可知AT⊥OA，在Rt△POH中，∠AOP＝∠α，∴sinα＝PHOP＝y1＝y，cosα＝OHOP＝x1＝x，故A，B正确；在Rt△TOA中，tanα＝ATOA＝m1＝m，故C正确；在Rt△POH中，OH2＋PH2＝OP2，∴x2＋y2＝1，故D错误．7．[2019·龙岩期末]如图7，P A，PB，CD分别切⊙O于A，B，E，CD交P A，PB 于C，D两点，若∠P＝40°，则∠P AE＋∠PBE的度数为(D)图7A．50°B．62°C．66°D．70°【解析】∵P A，PB，CD分别切⊙O于A，B，E，CD交P A，PB于C，D两点，∴CE＝CA，DE＝DB，∴∠CAE ＝∠CEA ，∠DEB ＝∠DBE ，∴∠PCD ＝∠CAE ＋∠CEA ＝2∠CAE ，∠PDC ＝∠DEB ＋∠DBE ＝2∠DBE ， ∴∠CAE ＝12∠PCD ，∠DBE ＝12∠PDC ，即∠P AE ＝12∠PCD ，∠PBE ＝12∠PDC ，∵∠P ＝40°，∴∠P AE ＋∠PBE ＝12∠PCD ＋12∠PDC ＝12(∠PCD ＋∠PDC )＝12(180°－∠P )＝70°.8．[2019·如皋一模]定义：在平面直角坐标系中，圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图8，直线l ：y ＝－34x ＋12与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA (点P 与点O ，A 不重合)上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是( A ) A ．3个 B ．5个 C ．7个D ．9个图8 第8题答图【解析】∵直线l：y＝－34x＋12与x轴、y轴分别交于A，B，∴A(16，0)，B(0，12)，∴OB＝12，OA＝16，∴AB＝OA2＋OB2＝20，∴sin∠BAO＝1220＝35，∵⊙P与l相切，如答图，设切点为M，连结PM，则PM⊥AB，∴PM＝35P A，设P(x，0)，∴P A＝16－x，∴⊙P的半径PM＝35P A＝485－35x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取1，6，11，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是3.9．[2019·武汉模拟]如图9，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图B100中有100个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S100，则S1＋S2＋S3＋…＋S100＝(A)图9A ．π B.12π C.32π D ．2π【解析】如答图①，过O 点作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ， ∵AC ＝3，BC ＝4，则AB ＝5，∴⊙O 的半径r ＝OE ＝OF ＝AC ＋BC －AB 2＝3＋4－52＝1，∴S 1＝πr 2＝π；同理，如答图②，等面积法可求得CD ＝125， ∴AD ＝95，BD ＝165，∴⊙O 的半径：r 1＝95＋125－32＝35，⊙E 的半径：r 2＝165＋125－42＝45，∴S 1＋S 2＝π(r 21＋r 22)＝π，以此类推，可以得到S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝π， ∴当n ＝100时，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 100＝π.①②第9题答图10．[2019·淄博一模]如图10，⊙O的直径AB＝8 cm，AM和BN是它的两条切线，切点分别为A，B，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数关系式为(A)A．y＝16x B．y＝2xC．y＝2x2D．y＝8 x图10 第10题答图【解析】如答图，作DF⊥BN交BC于F，∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴AB⊥AD，AB⊥BC，又∵DF⊥BN，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝8，∵BC＝y，∴FC＝BC－BF＝y－x，∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE＋CE＝x＋y，在Rt△DFC中，DC2＝DF2＋CF2，∴(x＋y)2＝64＋(y－x)2，∴xy＝16，∴y＝16 x.二、填空题(每题4分，共24 分)11．[2019·常州期末]已知∠A是锐角，且cos A＝513，则tan A＝__125__．12．[2019·长春四模]某水库堤坝的横断面如图11所示，经测量知tan A＝33，堤坝高BC＝50 m，则AB＝__100__m.图11【解析】在Rt△ABC中，∵tan A＝BCAC，∴33＝50AC，∴AC＝503，∴由勾股定理可知AB＝100.13．[2018秋·清江浦区期中]如图12，P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，若PO＝25 cm，P A＝24 cm，则⊙O的半径为__7__cm.图12 第13题答图【解析】如答图，连结OA，∵P A与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP，在Rt△AOP中，OA＝OP2－AP2＝7 cm.14．[2019春·西湖区校级月考]如图13，已知直线P A，PB与⊙O分别相切于点A，B，若PB＝2，∠APB＝60°，则劣弧AB的长为9π__．图13【解析】 ∵直线P A ，PB 与⊙O 分别相切于点A ，B ， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∵∠APB ＝60°，∴∠AOB ＝120°，∠OPB ＝30°， ∵PB ＝2，∴OB ＝233， ∴AB ︵的长为120×23π3180＝439π.15．如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt △ABC 是“好玩三角形”，且∠A ＝90°，则tan ∠ABC ＝2或3__．【解析】 Ⅰ.如答图①中，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CE 是△ABC 的中线，设AB ＝EC ＝2a ，则AE ＝EB ＝a ，AC ＝3a ， ∴tan ∠ABC ＝AC AB ＝32； Ⅱ.如答图②中，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝EC＝a，AB＝3a，∴tan∠ABC＝ACAB＝233.①②第15题答图16．[2019春·岱岳区期中改编]如图14，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.若⊙O的半径为5，cos∠BCD＝45，则线段AD的长为__8__，BF的长为__7.5__．图14【解析】∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，∴∠ADB＝90°，AB＝10，∵∠BAD＝∠BCD，∴cos∠BAD＝ADAB＝cos∠BCD＝45，∴AD＝45×10＝8，∴AE＝AD·cos∠BAD＝6.4，在△ADB中，由面积法可得DE＝4.8，由已知易得AB⊥FB，又∵AB⊥DC，∴FB∥DC，∴△ADE∽△AFB，∴DEFB＝AEAB即4.8BF＝6.410，∴BF＝7.5.三、解答题(共66分)17．(8分)[2019·柳江区模拟]如图15，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是100 m，求乙楼的高CD.(结果保留根号)图15解：由题意可得∠BDA＝45°，则AB＝AD＝100 m，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝CDAD＝33，解得CD＝10033(m)．答：乙楼的高CD为10033m.18．(8分)[2019·碑林区校级一模]如图16，一艘船在A处测得北偏东60°的方向上有一个小岛C，当它以每小时60海里的速度向正东方向航行了20分钟到达B处后，测得小岛C在其北偏东15°的方向上，求此时船与小岛之间的距离BC.(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，结果保留整数)图16 第18题答图解：如答图，作BD⊥AC于D，由题意得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，AB＝60×13＝20(海里)，∴∠C＝180°－30°－105°＝45°，在Rt△ABD中，∠CAB＝30°，∴BD＝12AB＝10，在Rt△CBD中，∠C＝45°，∴BC＝BDsin C＝102≈14(海里)．答：船与小岛之间的距离BC约为14海里．19．(9分)[2019秋·海淀区校级月考]如图17，AB是⊙O的直径，过点A的直线PC交⊙O于A，C两点，AD平分∠P AB，射线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥P A 于点E.(1)求证：ED为⊙O的切线；(2)若AB＝10，ED＝2AE，求AC的长．图17 第19题答图解：(1)证明：∵AD平分∠P AB，∴∠DAE＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴ED为⊙O的切线；(2)如答图，过O作OH⊥PC于H，则四边形EHOD是矩形，AC＝2AH，∴OH＝DE，EH＝OD，∵AB＝10，∴EH＝OD＝5，∵ED＝2AE，∴设AE＝x，则DE＝2x，∴AH＝5－x，OH＝2x，∵OA2＝AH2＋OH2，∴52＝(5－x)2＋(2x)2，解得x＝2或x＝0(不合题意，舍去)，∴AE＝2，AH＝3，∴AC＝6.20．(9分)[2019秋·邗江区校级月考]如图18，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若OF⊥BD于点F，且OF＝2，BD＝43，求图中阴影部分的面积．图18 第20题答图解：(1)证明：连结OD，如答图所示，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；(2)∵OF⊥BD，∴BF＝12BD＝23，OB＝OF2＋BF2＝22＋（23）2＝4，∴OF＝12OB，∴∠OBF＝30°，∴∠BOF＝60°，∴∠BOD＝2∠BOF＝120°，∴S阴影＝S扇形BOD－S△BOD＝120π×42360－12×43×2＝163π－4 3.21．(10分)如图19，某幢大楼顶部有广告牌CD.张老师目高MA为1.60 m，他站立在离大楼45 m的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14 m，站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°.(3≈1.732，计算结果保留一位小数)(1)求这幢的大楼高DH；(2)求这块广告牌的高度CD.图19解：(1)ME＝AH＝45 m，在Rt△DME中，由tan30°＝DEME，得DE＝33ME≈25.98 m.又∵EH＝MA＝1.6 m，∴DH＝DE＋EH≈27.6 m；(2)在Rt△CNE中，NE＝45－14＝31 m，由tan45°＝CENE，得CE＝NE＝31 m.因而广告牌CD＝CE－DE≈5.0 m.答：楼高DH为27.6 m，广告牌CD的高度为5.0 m.22．(10分)如图20，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AC＝3，BC＝4，求BE的长；(3)在(2)的条件下求tan∠EDB的值．图20 第22题答图。