2021年上海市春季高考数学试卷及解析
2021上海春季高考数学试题与标准答案(考试院内部版 20211222启封前绝密)
上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．函数)1(log 2-=x y 的定义域是. 2．计算：=-2)i 1(（i 为虚数单位）. 3．函数2cos x y =的最小正周期=T .4．若集合{}1||>=x x A ，集合{}20<<=x x B ，则=B A . 5．抛物线x y =2的准线方程是.6．已知2,3==b a . 若3-=⋅b a ，则a 与b夹角的大小为.7．过点)1,4(-A 和双曲线116922=-y x 右焦点的直线方程为.8．在△ABC 中，若 60,75,3=∠=∠=ACB ABC AB ，则BC 等于.9．已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-. 若方程0)(=x f 有2009个实数解， 则这2009个实数解之和为.10．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个 字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ” 的概率为（结果用数值表示）.11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]1,0[对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标4341、变成21，原来的坐标21变成1，等等）. 那么原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是；原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点， 在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.12．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 [答] ( )• • • 21 0 1（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.13．过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线 方程是 [答] ( ) （A ）0=x . （B ）1=y . （C ）01=-+y x . （D ）01=+-y x .14．已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,0,3)(21x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是 [答] ( )（A ）80>x . （B ）00<x 或80>x . （C ）800<<x . （D ）00<x 或800<<x . 15．函数)01(112≤≤--+=x x y 的反函数图像是 [答] ( )三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 16. (本题满分12分)如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，=∠AC A 12π=∠ACB ，61π=∠C AA ，侧棱1BB 与底面所成的角为3π，341=AA ，4=BC . 求斜三棱柱-ABC 111C B A 的体积V .AC1A 1C17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记 ++++=n a a a S 21.若对任意正整数n ，n S kS ≤恒成立，求实数k 的最大值.18. (本题满分14分)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径34=R 百公里）的中心F 为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 的距离为ab 百公里时进行变轨，其中a 、b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.19. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.如图，在直角坐标系xOy 中，有一组对角线．．．长为n a 的正方形n n n n D C B A ),2,1( =n ， 其对角线n n D B 依次放置在x 轴上（相邻顶点重合）. 设{}n a 是首项为a ，公差为)0(>d d 的等差数列，点1B 的坐标为)0,(d .（1）当4,8==d a 时，证明：顶点321A A A 、、不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上；（3）为使所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p px y 上，求a 与d 之间所应满足的关系式.20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分.设函数40,cos )1(sin )(πθθθθ≤≤-+=n n n n f ，其中n 为正整数.（1）判断函数)()(31θθf f 、的单调性，并就)(1θf 的情形证明你的结论； （2）证明：()()θθθθθθ224446sin cossin cos )()(2--=-f f ；（3）对于任意给定的正整数n ，求函数)(θn f 的最大值和最小值.2009年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至11题）每一个空格正确的给5分，否则一律得零分. 1.),1(∞+.2.i 2-.3.π4.4.{}21<<x x . 5.41-=x . 6.π32.7.-=x y 5.8.6.9. 0.10.6265.11.43,41；j j n ,2为[]n 2,1中的所有奇数..三．（第16至20题）16. [解] 在Rt △C AA 1中，C AA AA AC 11tan ∠⋅=43334=⨯=. ……3分 作⊥H B 1平面ABC ，垂足为H ，则31π=∠BH B ，……6分在Rt △BH B 1中，BH B BB H B 111sin ∠⋅=623343sin1=⨯=⋅=πAA . ……9分48644211=⨯⨯⨯=⋅=∴∆H B S V ABC . ……12分17. [解] （1） 3231=++n n S a ， ①∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ②由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a .311=∴+n n a a )2(≥n . ……3分又 11=a ，32312=+a a ，解得 312=a . ……4分 ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为31=q 的等比数列. 11131--⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴n n n qa a （n 为正整数）. ……6分（2）由（1）知，23311111=-=-=qa S ， ……8分()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=nnn n q q a S 31123311311111. ……10分由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤nk 3112323，解得 n k ⎪⎭⎫⎝⎛-≤311.数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-n311单调递增，∴ 当1=n 时，数列中的最小项为32，∴ 必有32≤k ，即实数k 的最大值为32. ……14分A18. [解] 设所求轨道方程为)0(12222>>=+b a by a x ，22b a c -=.348,34800+=-+=+c a c a ，396,438==∴c a . ……4分于是 35028222=-=c a b .∴ 所求轨道方程为 13502819184422=+y x . ……6分设变轨时，探测器位于),(00y x P ，则1.819752020==+ab y x ，1350281918442020=+y x ，解得 7.2390=x ，7.1560=y （由题意）. ……10分∴ 探测器在变轨时与火星表面的距离为3.187)(2020≈-+-R y c x . ……13分答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里. ……14分 19. [证明]（1）由题意可知，()()()8,32,6,18,4,8321A A A ，71183268,51818463221=--==--=∴A A A A k k . ……3分 3221A A A A k k ≠ ，∴ 顶点321,,A A A 不在同一条直线上. ……4分（2）由题意可知，顶点n A 的横坐标n n n a a a a d x 21121+++++=- 2)1(2+=n ， 顶点n A 的纵坐标)1(221+==n a y n n . ……7分 对任意正整数n ，点n A ()n n y x ,的坐标满足方程x y 22=， ∴ 所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上.……9分（3）[解法一] 由题意可知，顶点n A 的横、纵坐标分别是[]d n a y d n a n a d x n n )1(21,)1(21)1(212-+=-+-++= 消去1-n ，可得 da d a d y d x n n 2)(22-++=. ……12分 为使得所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p px y 上，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.02)(,22d a d a d p d解之，得 p a p d 8,4==. ……14分 ∴d a 、所应满足的关系式是：d a 2=. ……16分[解法二] 点()111,y x A 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=+=.21,2111a y a d x 点()111,y x A 在抛物线px y 22=上，∴)2(422121a d a x y p +==. ……11分 又点()222,y x A 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=).(21,232322d a y d a x 且点()222,y x A 也在抛物线上， 0,0>>d a ，把点()222,y x A 代入抛物线方程，解得 d a 2=. ……13分因此，4d p =，∴ 抛物线方程为x dy 22=.又 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=+=-+-++=.21])1([21,2)1()1(21)1(2122d n d n a y d n d n a n a d x n n∴ 所有顶点()n n n y x A ,落在抛物线x dy 22=上. ……15分∴d a 、所应满足的关系式是：d a 2=. ……16分20. [解] （1）)()(31θθf f 、在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上均为单调递增的函数. ……2分对于函数θθθcos sin )(1-=f ，设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈<4,0,2121πθθθθ、，则 )()(2111θθf f -()()1221cos cos sin sin θθθθ-+-=，1221cos cos ,sin sin θθθθ<<，()()∴<∴,2111θθf f 函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增. ……4分 （2） 原式左边()()θθθθ4466cos sin cos sin 2+-+=()()()θθθθθθθθ44422422cos sin cos cos sin sincos sin2+-+⋅-+=θθ2cos 2sin 122=-=. ……6分又原式右边()θθθ2cos sin cos 2222=-=.∴()()θθθθθθ224446sin cossin cos )()(2--=-f f . ……8分（3）当1=n 时，函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增， ∴)(1θf 的最大值为041=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，最小值为()101-=f .当2=n 时，()12=θf ，∴ 函数)(2θf 的最大、最小值均为1.当3=n 时，函数)(3θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增. ∴)(3θf 的最大值为043=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，最小值为()103-=f .当4=n 时，函数θθ2sin 211)(24-=f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递减，∴)(4θf 的最大值为()104=f ，最小值为2144=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf . ……11分下面讨论正整数5≥n 的情形：当n 为奇数时，对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,021πθθ、且,21θθ<()()122121cos cos sin sin )()(θθθθθθn n n n n n f f -+-=-，以及 1cos cos 0,1sin sin 01221≤<<<<≤θθθθ，∴1221cos cos ,sin sin θθθθn n n n <<，从而 )()(21θθn n f f <.∴)(θn f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增，则)(θn f 的最大值为04=⎪⎭⎫⎝⎛πn f ，最小值为()104-=f . ……14分当n 为偶数时，一方面有 )0(1cos sin cos sin )(22n n n n f f ==+≤+=θθθθθ. 另一方面，由于对任意正整数2≥l ，有()()0sin cossin cos )()(2222222222≥--=----θθθθθθl l l l f f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛==≥≥≥∴---421)(21)(21)(122122πθθθn n n n n f f f f . ∴ 函数)(θn f 的最大值为1)0(=n f ，最小值为nn f ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2124π.综上所述，当n 为奇数时，函数)(θn f 的最大值为0，最小值为1-.当n 为偶数时，函数)(θn f 的最大值为1，最小值为n⎪⎭⎫⎝⎛212. ……18分。
上海市春季2021年高考数学试卷含答案解析
2021年上海市春季高考数学试卷一.填空题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕1．复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是．2．假设log2〔x+1〕=3，那么x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，那么实数a=．7．在△ABC中，假设A=30°，B=45°，，那么AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为〔结果用数值表示〕．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，那么{a n}的各项的和为．10．假设2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，那么实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，那么的最小值为．二.选择题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕13．假设sinα＞0，且tanα＜0，那么角α的终边位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．半径为1的球的外表积为〔〕A．πB． C．2πD．4π15．在〔1+x〕6的二项展开式中，x2项的系数为〔〕A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是〔〕A．B．C．D．17．向量，，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A．1 B．2 C．〔1，0〕D．〔0，2〕18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n〔n∈N*〕的第〔ii〕步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为〔〕A．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕B．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕C．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕D．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕20．关于双曲线与的焦距和渐近线，以下说法正确的选项是〔〕A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f〔x〕的定义域为R，那么“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．以下关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是〔〕A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①假设x1y2﹣x2y1=0，那么；②假设x1x2+y1y2=0，那么．关于以上两个结论，正确的判断是〔〕A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立 24．对于椭圆．假设点〔x 0，y 0〕满足．那么称该点在椭圆C 〔a ，b 〕内，在平面直角坐标系中，假设点A 在过点〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，那么满足条件的点A 构成的图形为〔 〕 A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部三.解答题〔本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分〕 25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC所成的角的大小．26．函数，求f 〔x 〕的最小正周期及最大值，并指出f 〔x 〕取得最大值时x 的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．28．数列{a n }是公差为2的等差数列． 〔1〕a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；〔2〕设a 1=﹣19，数列{a n }的前n 项和为S n ．数列{b n }满足，记〔n ∈N *〕，求数列{c n }的最小项〔即对任意n ∈N *成立〕．29．对于函数f 〔x 〕，g 〔x 〕，记集合D f ＞g ={x|f 〔x 〕＞g 〔x 〕}．〔1〕设f〔x〕=2|x|，g〔x〕=x+3，求D f；＞g〔2〕设f1〔x〕=x﹣1，，h〔x〕=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．假设函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，那么ϕ的一个值是〔〕A．0 B．C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是〔〕A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆32．函数y=f〔x〕的图象是折线ABCDE，如图，其中A〔1，2〕，B〔2，1〕，C〔3，2〕，D〔4，1〕，E〔5，2〕，假设直线y=kx+b与y=f〔x〕的图象恰有四个不同的公共点，那么k 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕B．C．〔0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，那么该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区2021年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1〔1≤k≤31〕，他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，假设对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，那么称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞．〔1〕设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，假设{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列〞求所有可能的有序数组〔c1，c2，c3〕；〔2〕数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，假设存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞，求t的值所构成的集合．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕1．复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是3．【考点】复数的根本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是3，故答案为：3．2．假设log2〔x+1〕=3，那么x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法那么化简求解即可．【解答】解：log2〔x+1〕=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞〕．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞〕．故答案为[2，+∞〕．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号〔﹣1〕i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：〔﹣1〕1+3||=〔4×2+1×0〕=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，那么实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，可得函数的图象经过点〔1，2〕，即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，∴函数的图象经过点〔1，2〕，∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，假设A=30°，B=45°，，那么AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24〔结果用数值表示〕．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，那么{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为：==3．故答案为：3．10．假设2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么2﹣i〔i为虚数单位〕也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i〔i为虚数单位〕也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+〔2﹣i〕=﹣a，解得a=﹣4．那么a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，那么实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f〔x〕=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2，∴对称轴x=1，∴f〔1〕=0，f〔2〕=1，f〔0〕=1，∵f〔x〕=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，那么的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法那么．【分析】此题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到此题答案．【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，AB中点M〔x′，y′〕．∵x′=，y′=，∴=〔x1+x2，y1+y2〕=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴〔x﹣3〕2+y2=4，圆心C〔3，0〕，半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=〔AB〕2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕13．假设sinα＞0，且tanα＜0，那么角α的终边位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，那么角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，那么角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，那么角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．应选择B．14．半径为1的球的外表积为〔〕A．πB． C．2πD．4π【考点】球的体积和外表积．【分析】利用球的外表积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的外表积为4π×12=4π，应选：D．15．在〔1+x〕6的二项展开式中，x2项的系数为〔〕A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：〔1+x〕6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．应选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是〔〕A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕，可排除A，B；值域为〔0，+∞〕可排除D，应选：C．17．向量，，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A．1 B．2 C．〔1，0〕D．〔0，2〕【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解：=1，=1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．应选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，应选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n〔n∈N*〕的第〔ii〕步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为〔〕A．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕B．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕C．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕D．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕，从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，那么当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕，∴从“k→k+1〞需增添的项是2k+1+2〔k+1〕，∴1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕．应选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，以下说法正确的选项是〔〕A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为〔±，0〕，即为〔±2，0〕，渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为〔0，±2〕，渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．应选：B．21．设函数y=f〔x〕的定义域为R，那么“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f〔x〕的定义域为R，假设函数f〔x〕为奇函数，那么f〔0〕=0，反之不成立，例如f〔x〕=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f〔x〕的定义域为R，假设函数f〔x〕为奇函数，那么f〔0〕=0，反之不成立，例如f〔x〕=x2．∴“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的必要不充分条件．应选：B．22．以下关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是〔〕A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的根本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=〔a﹣b〕2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=〔a+b〕2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；应选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①假设x1y2﹣x2y1=0，那么；②假设x1x2+y1y2=0，那么．关于以上两个结论，正确的判断是〔〕A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，那么=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②假设x1x2+y1y2=0，那么=〔〕•=x1x2+y1y2+〔x2y1+x1y2〕=〔x2y1+x1y2〕，无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，那么=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②假设x1x2+y1y2=0，那么=〔〕•=x 1x 2+y 1y 2+〔x 2y 1+x 1y 2〕=〔x 2y 1+x 1y 2〕，无法得到=0，因此不一定正确．应选：A ．24．对于椭圆．假设点〔x 0，y 0〕满足．那么称该点在椭圆C 〔a ，b 〕内，在平面直角坐标系中，假设点A 在过点〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，那么满足条件的点A 构成的图形为〔 〕 A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部 【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A 〔x 0，y 0〕在过点P 〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B 〔﹣2，1〕，点C 〔﹣2，﹣1〕，点D 〔2，﹣1〕，都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A 〔x 0，y 0〕在过点P 〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上， 那么=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B 〔﹣2，1〕，点C 〔﹣2，﹣1〕，点D 〔2，﹣1〕，都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部． 应选：B ．三.解答题〔本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分〕 25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．函数，求f〔x〕的最小正周期及最大值，并指出f〔x〕取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f〔x〕的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px〔p＞0〕，点〔10，12〕代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如下图：那么：设抛物线方程为y2=2px〔p＞0〕，点〔10，12〕在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．数列{a n}是公差为2的等差数列．〔1〕a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；〔2〕设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记〔n∈N*〕，求数列{c n}的最小项〔即对任意n∈N*成立〕．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】〔1〕利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此能求出〔2〕由利用累加法能求出b n=2﹣〔〕n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1数列{c n}的最小项．【解答】解：〔1〕∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8〕〔2〕b n=b1+〔b2﹣b1〕+〔b3﹣b2〕+…+〔b n﹣b n﹣1=1+==2﹣〔〕n﹣1．，，=2n﹣19+2n由题意n≥9，上式大于零，即c9＜c10＜…＜c n，进一步，2n+2n是关于n的增函数，∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c1＞c2＞c3＞c4＜c5＜…＜c9＜c10＜…＜c n，∴．={x|f〔x〕＞g〔x〕}．29．对于函数f〔x〕，g〔x〕，记集合D f＞g〔1〕设f〔x〕=2|x|，g〔x〕=x+3，求D f；＞g〔2〕设f1〔x〕=x﹣1，，h〔x〕=0，如果．求实数a的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】〔1〕直接根据新定义解不等式即可，〔2〕方法一：由题意可得那么在R上恒成立，分类讨论，即可求出a 的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a的取值范围．={x|x＜﹣1或x＞3}；【解答】解：〔1〕由2|x|＞x+3，得D f＞g〔2〕方法一：，，由，那么在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0时成立．以下只讨论a＜0的情况对于，=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，〔a＜0〕又t＞0，所以，∴=综上所述：方法二〔2〕，，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．假设函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，那么ϕ的一个值是〔〕A．0 B．C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，即sin〔﹣x+φ〕=sin〔x+φ〕，∴〔﹣x+φ〕=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当〔﹣x+φ〕=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．应选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是〔〕A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，那么|x+yi﹣1|==4，∴〔x﹣1〕2+y2=16，∴运动轨迹是圆，应选：D．32．函数y=f〔x〕的图象是折线ABCDE，如图，其中A〔1，2〕，B〔2，1〕，C〔3，2〕，D〔4，1〕，E〔5，2〕，假设直线y=kx+b与y=f〔x〕的图象恰有四个不同的公共点，那么k 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕B．C．〔0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f〔x〕图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，那么k BE=，直线BE与f〔x〕图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f〔x〕图象最多交于三点，即直线y=与f〔x〕图象最多交于三点，∴k≠．排除D．应选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，那么该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区2021年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1〔1≤k≤31〕，他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，假设对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，那么称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞．〔1〕设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，假设{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列〞求所有可能的有序数组〔c1，c2，c3〕；〔2〕数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，假设存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】〔1〕利用“并数列〞的定义即可得出．〔2〕利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：〔1〕〔1，2，3〕，〔1，2，5〕，〔1，3，3〕，〔1，3，5〕；〔2〕a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k 或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．2021年7月25日。
2021年高考数学试卷(上海)(春考)(解析卷)
2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = 21 ．【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解析】：因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+´=．故答案为：21．2．已知13z i =- ．【解析】：z =Q 31i i -=则|||12|z i i -=+=．【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4p ．【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解析】：圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh p p p ==´´=侧．故答案为：4p ．【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．4．不等式2512x x +<-的解集为 (7,2)- ．【思路分析】由已知进行转化702x x +<-，进行可求．【解析】：252571100222x x x x xx +++<Þ-<Þ<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-．【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．5．直线2x=-10y -+=的夹角为 6p ．【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解析】：Q 直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2p，10y -+=，倾斜角为3p，故直线2x =-10y -+=的夹角为236ppp-=故答案为：6p．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．6．若方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，则1122a b a b = 0 ．【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．【解析】：对于方程组111222a xb yc a x b y c +=ìí+=î，有111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===，当0D ¹时，方程组的解为x y D x DD y Dì=ïïíï=ïî，根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0．【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 64 ．【思路分析】由已知可得6n =，令1x =，即可求得系数和．【解析】：由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=．故答案为：64．【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．8．已知函数()3(0)31x x af x a =+>+的最小值为5，则a = 9 ．【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成()31131x x af x =++-+，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解析】：()3311153131x xx x a a f x =+=++--=++…，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．9．在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a ®¥-=，则2a 的取值范围是 (4-，0)(0È，4) ．【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q 的取值范围，再由极限的运算知14a =，从而得解．【解析】：Q 无穷等比数列{}n a ，\公比(1q Î-，0)(0È，1)，\lim 0n n a ®¥=，\11lim()4n n a a a ®¥-==，214(4a a q q \==Î-，0)(0È，4)．故答案为：(4-，0)(0È，4)．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 23种 .A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动7点8-点8点9-点9点10-点10点11-点11点12-点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意，由此求出结果．【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种)．故答案为：23种．【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F Ð=°，则抛物线的准线方程是 1x =【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线1PF 的方程并与抛物线联立，求出点P 的坐标，由此可得212PF F F ^，进而可以求出1PF ，2PF 的长度，再由椭圆的定义即可求解．【解析】：设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ì=í=+î，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以2PF F F ^，又22112,PF F F c PF ===所以所以PF =，所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =-，1x c =-=故答案为：1x =-．【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．已知0q >，存在实数j ，使得对任意*n N Î，cos()n q j +<q 的最小值是 25p ．【思路分析】在单位圆中分析可得3pq >，由2*N pqÎ，即2kpq =，*k N Î，即可求得q 的最小值．【解析】：在单位圆中分析，由题意可得n q j +的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx pÐ=Ð=，所以3AOB pq >Ð=，因为对任意*n N Î都成立，所以2*N p q Î，即2kp q =，*k N Î，同时3pq >，所以q 的最小值为25p ．故答案为：25p ．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )A ．2()f x x =B ．()sin f x x=C ．()2xf x =D ．()1f x =【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．【解析】：选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确，选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．14．已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，则下列关系中，正确的是( )A ．A BÍB ．R R A BÍððC ．A B =ÆI D ．A B R=U 【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解析】：已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，解得{|2B x x =…或1x -…，}x R Î，{|1R A x x =-…ð，}x R Î，{|12}R B x x =-<<ð；则A B R =U ，{|2}A B x x =I …，故选：D ．【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( )A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD ，举出反例可得三个选项错误，对于C ，利用反证法可得其正确．【解析】：根据题意，依次判断选项：对于A ，()cos 12xf x p =+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x p =，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误，对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++，与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确，对于D ，()sin 2xf x p =，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．在ABC D 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC D ，使得0AB CE ×=uuu r uuu r；②存在三角形ABC D ，使得//()CE CB CA +uuu r uuu r uuu r ；它们的成立情况是( )A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【思路分析】设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，由向量数量的坐标运算即可判断①；F 为AB 中点，可得()2CB CA CF +=uuu r uuu r uuu r，由D 为BC 中点，可得CF 与AD 的交点即为重心G ，从而可判断②【解析】：不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---uuu r ，(1,)CE x y =-uuu r，若0AB CE ×=uuu r uuu r，则2(12)(0x x y -+-=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=uuu r uuu r ，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE uuu r 与CG uuu r不共线，即②不成立．故选：B ．【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ^平面ABCD ．（1）若PAB D 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PC 与AD 所成角的大小．【思路分析】（1）由13ABCD V PE S =×正方形，代入相应数据，进行运算，即可；（2）由PE ^平面ABCD ，知45PFE Ð=°，进而有4PE FE ==，PB =//AD BC ，知PCB Ð或其补角即为所求，可证BC ^平面PAB ，从而有BC PB ^，最后在Rt PBC D 中，由tan PBPCB BCÐ=，得解．1）PAB D Q 为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE \=，又PE ^平面ABCD ，\四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =×=´=正方形．（2）PE ^Q 平面ABCD ，PFE \Ð为PF 与平面ABCD 所成角为45°，即45PFE Ð=°，PEF \D 为等腰直角三角形，E Q ，F 分别为AB ，CD 的中点，PE \PB \==//AD BC Q ，PCB \Ð或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ^Q 平面ABCD ，PE BC \^，又BC AB ^，PE AB E =I ，PE 、AB Ì平面PAB ，BC \^平面PAB ，BC PB \^在Rt PBC D 中，tan PB PCB BC Ð==故PC 与AD 所成角的大小为．【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC D 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos(45A p -=，求c ．【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cos A ，sin A ，sin C 的值，进而根据正弦定理可得c 的值．【解析】：（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于1cos 4C ==-，可得c =（2）因为4)5A =，可得cos A +又22cos sin A +，可解得cos A =，sin A =sin A =cos A =因为cos sin C ，tan C =，若sin A =cos A =，可得tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B C 为钝角矛盾，舍去，所以sin A =2sin sin c A C=，可得c =．【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1)°【思路分析】（1）求出a ，c ，b 的值即可求得双曲线方程，求出直线OP 的方程，与双曲线方程联立，即可求得P 点坐标；（2）分别求出以A 、B 为焦点，以C ，D 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q 的坐标，从而求得||OQ ，及Q 点位置．【解析】：（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y =，即点P 的坐标为．（2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为225y -两双曲线方程联立，得，所以||19OQ »米，Q 点位置北偏东66°．20．（16分）已知函数()f x x =-．（1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ¹，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【思路分析】（1）把1a =代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；（2）()f ax a ax a =Û=+，设0ax a t +=…，得2a t t =-，0t …，求得等式右边关于t 的函数的值域可得a 的取值范围；（3）分x a -…与x a <-两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数()f x 在定义域内具有单调性的a 的范围．【解析】：（1）当1a =时，()f x x =-，由|1|10x +-…，得|1|1x +…，解得2x -…或0x …．\函数的定义域为(-¥，2][0-U ，)+¥；（2）()f ax ax -，()f ax a ax a =Û+，设ax a t +=t 有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t …，211(24a t \=--+，0t …，当且仅当104a <…时，方程有2个不同实数根，又0a ¹，a \的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -…时，211())24f x x x =-=-=--+，在1[4，)+¥上单调递减，此时需要满足14a -…，即14a -…，函数()f x 在[a -，)+¥上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(-¥，2]a -上递减，104a -<Q …，20a a \->->，即当14a -…时，函数()f x 在(,)a -¥-上递减．综上，当(a Î-¥，14-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a …，对任意2n …，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【思路分析】（1）根据n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项建立等式，然后将1a ，2a ，4a 的值代入即可；（2）根据递推关系求出5a 、8a ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；（3）分别求出1r a +，1s a +，1t a +的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．【解析】：（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a \=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===Q ，322a a \=，或232a a =，经检验，232aa =；\32524a a a ==，或2512a a a =-=-（舍)，\254aa =；\52628a a a ==，或2654a a a =-=-（舍)，\268aa =；\628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍)，\2816aa =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a \=，则3111221111111()()1()(,*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-×-××-=-×-Î，\11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-×-××-=-×-×Î，\11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++\++的最大值2164．【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。
2021届上海市高三上学期一模暨春考模拟考试数学试卷(十二)及答案
2021届上海市高三上学期一模暨春考模拟考试数学试卷（十二）★祝考试顺利★(含答案)一.填空题:1.不等式2log 1|021x >的解为____.2.已知复数z 满足(1+i)·z=4i (i 为虚数单位),则Z 的模为____.3. 若函数y=f(x)的图像恒过点(0,1),则函数1()3y f x -=+的图像一定经过定点____.4. 若一个球的体积是其半径的43倍,则该球的表面积为____. 5.在一个袋中装有大小､质地均相同的9只球,其中红色､黑色､白色各3只,若从袋中随机取出两个球,则至少有一个红球的概率为_____. (结果用最简分数表示)6.设(x 5236012361)(1)x a a x a x a x a x -+=+++++, 则3a =____(结果用数值表示)7.在△ABC 中,边a ､b ､c 满足a+b=6,∠C=120°,则边c 的最小值为____.8.若函数2y ax a =+,则实数a 的取值范围是____.9.已知数列{}n a 中,111,(1)1,n n a na n a +==++若对于任意的[]*2,2a n N ∈-∈､,不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立,则实数t 的取值范围为____. 10. 已知函数22()(815)()(,,)f x x x ax bx c a b c =++++∈R 是偶函数,若方程21ax bx c ++=在区间[1,2]上有解,则实数a 的取值范围是____.11.设P是长为123456A A A A A A 的边上的任意一点,长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦,PM PN ⋅的取值范围为____.12.若M ､N 两点分别在函数y= f(x)与y=g(x)的图像上,且关于直线x=l 对称,称M ､N 是y= f(x)与y=g(x)的一对“伴点”(M ､N 与N ､M 视为相同的一对),已知2(),()||12x f x g x x a x ⎧<⎪==++≥,若y= f(x)与y= g(x)存在两对“伴点”,则实数a 的取值范围为____.二.选择题:13.下列命题正确的是()(A)如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行(B)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面(C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面(D)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行14. “m∈{1,2}”是“lnm<1”的成立的( )A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15. 已知点A(1,-2),B(2,0), P 为曲线y =,则AP AB ⋅的取值范围为()(A) [1,7](B) [-1,7] ()[1,3C + ()[1,3D -+ 16.直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点11(,),P a b 则ab 的最大值为() 7.6A .4B - .5C -.6D -三.解答题:17. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数2()2cos 2.f x x x =(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)在△ABC 中,6BC BA ⋅=,若函数f(x)的图像经过点(B,2), 求△ABC 的面积.18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图所示,某地出土的一种“钉” 是由四条线段组成,其结构能使它任意抛至水平面后,总有一端所在的直线竖直向上,并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O,钉尖为i A (i=1,2,3,4) .(1)记(0)i OA a a =>,当123A A A 、、在同一平面内时,求1OA 与平面123A A A 所成角的大小(结果。
2020-2021学年上海市高三(上)春季高考数学模拟试卷(五)(9月份)(附答案详解)
2020-2021学年上海市高三（上）春季高考数学模拟试卷（五）（9月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若空间三条直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c( )A. 一定平行B. 一定相交C. 一定是异面直线D. 平行、相交、是异面直线都有可能2. 在无穷等比数列{a n }中，lim n→∞(a 1+a 2+⋯+a n )=12，则a 1的取值范围是( )A. (0,12)B. (12,1)C. (0,1)D. (0,12)∪(12,1)3. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向，且塔顶的仰角为18°，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39°方向，则该塔的高度约为( )A. 265米B. 279米C. 292米D. 306米4. 已知函数f(x)={x 2+(4a −3)x +3a, x <0log a (x +1)+1, x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|=2−x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A. (0,23]B. [23,34]C. [13,23]∪{34}D. [13,23)∪{34}二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 若sinα=−513，且α为第四象限角，则tanα的值等于______． 6. 函数f(x)=∣∣∣cosxsinx sinxcosx ∣∣∣的最小正周期T =______． 7. 函数f(x)=2x +m 的反函数为y =f −1(x)，且y =f −1(x)的图象过点Q(5,2)，那么m =______． 8. 点(1,0)到双曲线x 24−y 2=1的渐近线的距离是______．9. 用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为______立方米． 10. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p 0毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式p =p 0⋅e rx (r 为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过______ 小时方可驾车．(精确到小时) 11. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1.则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．12. 三倍角的正切公式为tan3α=______.(用tanα表示)13. 设集合A 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为______． 14. 已知非零向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 两两不平行，且a ⃗ //(b ⃗ +c ⃗ )，b ⃗ //(a ⃗ +c ⃗ )，设c ⃗ =x a ⃗ +y b⃗ ，x ，y ∈R ，则x +2y = ______ ．15. 已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1−a n ∈{a 1,a 2,…,a n }(n ∈N ∗)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，若对所有满足条件的{a n }，S 10的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =______．16. 曲线C 是平面内到直线l 1：x =−1和直线l 2：y =1的距离之积等于常数k 2(k >0)的点的轨迹，下列四个结论： ①曲线C 过点(−1,1)；②曲线C 关于点(−1,1)成中心对称；③若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线l 1、l 2上，则|PA|+|PB|不小于2k ； ④设P 0为曲线C 上任意一点，则点P 0关于直线l 1：x =−1，点(−1,1)及直线f(x)对称的点分别为P 1、P 2、P 3，则四边形P 0P 1P 2P 3的面积为定值4k 2；其中， 所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 已知△ABC 中，AC =1，∠ABC =2π3，设∠BAC =x ，记f(x)=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(1)求函数f(x)的解析式及定义域；(2)试写出函数f(x)的单调递增区间，并求方程f(x)=16的解．18. 设双曲线C ：x 22−y 23=1，F 1，F 2为其左右两个焦点．(1)设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； (2)若动点P 与双曲线C 的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos∠F 1PF 2的最小值为−19，求动点P 的轨迹方程．19. 如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图，其中AB =4百米，BC =3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB 边上，要求∠MDN =π4．(1)若AN =CM =2百米，判断△DMN 是否符合要求，并说明理由； (2)设∠CDM =θ，写出△DMN 面积的S 关于θ的表达式，并求S 的最小值．20. 由n(n ≥2)个不同的数构成的数列a 1，a 2，…，a n 中，若1≤i <j ≤n 时，a j <a i (即后面的项a j 小于前面项a i ，则称a i 与a j 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数.如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列1，−12，14，−18的逆序数为4．(1)计算数列a n =−2n +19(1≤n ≤100,n ∈N ∗)的逆序数；(2)计算数列a n={(13)n,n为奇数−nn+1,n为偶数(1≤n≤k,n∈N∗)的逆序数；(3)已知数列a1，a2，…，a n的逆序数为a，求a n，a n−1，…，a1的逆序数．21.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，记f(x)=g(|x|)，x∈R；(1)求实数a、b的值；(2)若不等式f(x)+g(x)≥log22k−2log2k−3对任意x∈R恒成立，求实数k的范围；(3)对于定义在[p,q]上的函数m(x)，设x0=p，x n=q，用任意x i(i=1,2，…，n−1)将[p,q]划分成n个小区间，其中x i−1<x i<x i+1，若存在一个常数M>0，使得不等式|m(x0)−m(x1)|+|m(x1)−m(x2)|+⋯+|m(x n−1)−m(x n)|≤M恒成立，则称函数m(x)为在[p,q]上的有界变差函数，试证明函数f(x)是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题时要认真审题，注意全面考虑．熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义是解题的关键．利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a 、b 、c 满足a ⊥b 、b ⊥c ，则a//c ，或a 与c 相交，或a 与c 异面． 【解答】解：如图所示：a ⊥b ，b ⊥c ，a 与c 可以相交，异面，也可能平行．从而若直线a 、b 、c 满足a ⊥b 、b ⊥c ，则a//c ，或a 与c 相交，或a 与c 异面． 故选：D ．2.【答案】D【解析】解：在无穷等比数列{a n }中，lim n→∞(a 1+a 2+⋯+a n )=12，可知|q|<1，则a 11−q =12， a 1=12(1−q)∈(0,12)∪(12,1)．故选：D ．利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a 1的取值范围． 本题考查数列的极限的求法，等比数列的应用，考查计算能力．3.【答案】C【解析】解：如图所示，△ABC中，AB=1000，∠ACB=21°+ 39°=60°，∠ABC=90°−39°=51°；由正弦定理得，ACsin51∘=1000sin60∘，所以AC=1000⋅sin51°sin60∘；Rt△ACD中，∠CAD=18°，所以CD=AC⋅tan18°=1000⋅sin51°sin60∘×tan18°=1000×0.77710.8660×0.3249≈292(米)；所以该塔的高度约为292米．故选：C．根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．根据分段函数的单调性判断出a的大致范围，再利用函数的图象，推出a的范围．【解答】解：y=log a(x+1)+1在[0,+∞)递减，则0<a<1，函数f(x)在R上单调递减，则：{3−4a2≥0 0<a<102+(4a−3)⋅0+3a≥log a(0+1)+1,解得13≤a≤34；y=|f(x)|和函数y=2−x的图象如下图：由图象可知，在[0,+∞)上，|f(x)|=2−x有且仅有一个解，故在(−∞,0)上，|f(x)|=2−x同样有且仅有一个解，当3a>2即a>23时，联立x2+(4a−3)x+3a=2−x，x<0，则Δ=(4a−2)2−4(3a−2)=0，解得a=34或1(舍去)，当a=34时，方程可化为(x+12)2=0，x=−12符合题意；当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[13,23]∪{34}，故选C．5.【答案】−512【解析】解：∵sinα=−513，且α为第四象限角，∴cosα=√1−sin2α=√1−(−513)2=1213，∴tanα=sinαcosα=−5131213=−512．故答案为：−512．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．6.【答案】π【解析】解：f(x)=cos2x−sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π利用行列式的计算方法化简f(x)解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．7.【答案】1【解析】【分析】本题考查了原函数与反函数的图象的关系，它们的图象关于y=x对称，即坐标也对称．属于基础题．根据反函数的性质可知：原函数与反函数的图象关于y=x对称，利用对称关系可得答案．【解答】解：f(x)=2x+m的反函数y=f−1(x)，∵函数y=f−1(x)的图象经过Q(5,2)，原函数与反函数的图象关于y=x对称，∴f(x)=2x+m的图象经过Q′(2,5)，即4+m=5，解得：m=1.故答案为1．8.【答案】√55【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【答案】−y2=1的一条渐近线方程为：x+2y=0，解：双曲线x24点(1,0)到双曲线x 24−y 2=1的渐近线的距离是：22=√55． 故答案为：√55．9.【答案】√3π24【解析】解：半径为1米的半圆的周长为12×2π×1=π， 则制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1， 设圆锥的底面半径为r ，则2πr =π，即r =12． ∴圆锥的高为ℎ=√12−(12)2=√32．∴V =13×π×(12)2×√32=√3π24(立方米)． 故答案为：√3π24．由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案．本题考查柱、锥、台体体积的求法，关键是明确圆锥剪展前后的量的关系，是中档题．10.【答案】8【解析】解：由题意，61=89⋅e 2r ，得r =12ln 6189<0 由89⋅exr<20，∴x ≥2×ln2089ln 6189≈7.9，故答案为8．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．11.【答案】−3【解析】解：∵AB =2，AD =1，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1−4=−3． 故答案为：−3．根据ABCD 是平行四边形可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，然后代入AB =2，AD =1即可求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】3tanα−tan 3α1−3tan 2α【解析】解：tan3α=tan(α+2α)=tanα+tan2α1−tanαtan2α=tanα+2tanα1−tan 2α1−tanα⋅2tanα1−tan 2α=3tanα−tan 3α1−3tan 2α．故答案为：3tanα−tan 3α1−3tan 2α．直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.【答案】720【解析】解：因为集合A 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵，矩阵中的元素的位置变换，矩阵也不相同，所以矩阵的个数为A 66=720． 故答案为：720．利用已知条件判断矩阵的个数与元素的顺序有关，直接利用排列求解即可． 本题考查排列的应用，判断矩阵中的元素变化，矩阵不相同是解题的关键．14.【答案】−3【解析】解：非零向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 两两不平行，且a ⃗ //(b ⃗ +c ⃗ )，b ⃗ //(a ⃗ +c ⃗ )， 所以a ⃗ =m(b ⃗ +c ⃗ )，解得c⃗ =1m a ⃗ −b ⃗ ； 由b ⃗ =n(a ⃗ +c ⃗ )，解得c⃗ =1n b ⃗ −a ⃗ ； 令{1m=−1−1=1n，解得m =n =−1；所以c⃗=−a⃗−b⃗ ，又c⃗=x a⃗+y b⃗ ，x，y∈R．所以x=y=−1；所以x+2y=−3．故答案为：−3．用向量a⃗、b⃗ 表示出向量c⃗，求出x、y的值，即可求得x+2y的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15.【答案】1078【解析】解：因为数列{a n}满足：a1=1，a n+1−a n∈{a1,a2,…,a n}(n∈N∗)，∴a2−a1∈{a1}⇒a2−a1=a1=1⇒a2=2；a3−a2∈{a1,a2}⇒a3−a2=1或者a3−a2=2⇒a3=3或者a3=4；a4−a3∈{a1,a2,a3}⇒a4−a3=1，a4−a3=2，a4−a3=3，a4−a3=4⇒a4最小为4，a4最大为8；所以，数列S10的最大值为M时是首项为1，公比为2的等比数列的前十项和；M=1×(1−210)=1023；1−2S10取最小值m时，是首项为1，公差为1的等差数列的前十项和；m=10×1+10×(10−1)×1=55；2∴M+m=1078．故答案为：1078．根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论．本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．16.【答案】②③④【解析】解：由题意设动点坐标为(x,y)，则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y−1|=k2，对于①，将(−1,1)代入验证，此方程不过此点，所以①错；对于②，把方程中的x 被−2−x 代换，y 被2−y 代换，方程不变，故此曲线关于(−1,1)对称．所以②正确；对于③，由题意知点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在直线l 1，l 2上，则|PA|≥|x +1|，|PB|≥|y −1|∴|PA|+|PB|≥2√|PA||PB|=2k ，所以③正确； 对于④，由题意知点P 在曲线C 上，根据对称性，则四边形P 0P 1P 2P 3的面积=2|x +1|×2|y −1|=4|x +1||y −1|=4k 2.所以④正确． 故答案为：②③④．由题意曲线C 是平面内到直线l 1：x =−1和直线l 2：y =1的距离之积等于常数k 2(k >0)的点的轨迹．利用直接法，设动点坐标为(x,y)，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．17.【答案】解：(1)由正弦定理有BC sinx =1sin 2π3=ADsin(π3−x)∴BC =1sin2π3⋅sinx ，AB =sin(π3−x)sin2π3，∴f(x)=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43sinx ⋅sin(π3−x)⋅12=23(√32cosx −12sinx)sinx =13sin(2x +π6)−16，其定义域为(0,π3)(2)∵−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，∴−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ，∵x ∈(0,π3)∴递增区间(0,π6],∵方程f(x)=16=13sin(2x +π6)−16， ∴sin(2x +π6)=1，解得x =π6．【解析】(1)由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f(x)的解析式．(2)利用正弦函数的单调性求得f(x)的单调区间，并求出x 的值．本题考查了正弦定理、数量积运算、三角形的内角和定理、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)设M(x,y)，x ≥√2，左焦点F 1(−√5,0)，OM →⋅F 1M →=(x,y)⋅(x +√5,y)=x 2+√5x +y 2=x 2+√5x +3x 22−3=52x 2+√5x −3(x ≥√2)，对称轴x =−√55≤√2，OM →⋅F 1M →∈[2+√10,+∞);(2)由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，|F 1F 2|=2√5，|PF 1|+|PF 2|=2a ， cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−202|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2−2|PF 1|⋅|PF 2|−202|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2−202|PF 1|⋅|PF 2|−1由基本不等式得2a =|PF 1|+|PF 2|≥2√|PF 1|⋅|PF 2|，当且仅当|PF 1|=|PF 2|时等号成立|PF 1|⋅|PF 2|≤a 2⇒cos∠F 1PF 2≥4a 2−202a 2−1=−19⇒a 2=9，b 2=4 所求动点P 的轨迹方程为x 29+y 24=1．【解析】本题考查双曲线的概念及标准方程，向量的数量积，二次函数的最值，椭圆的概念及标准方程，余弦定理，基本不等式求最值，考查计算能力．(1)设M(x,y)，x ≥√2，左焦点F 1(−√5,0)，通过OM →⋅F 1M →=(x,y)⋅(x +√5,y)利用二次函数的性质求出对称轴x =−√55≤√2，求出OM →⋅F 1M →的取值范围;(2)写出P 点轨迹为椭圆x 2a2+y 2b 2=1，利用|F 1F 2|=2√5，|PF 1|+|PF 2|=2a ，结合余弦定理，以及基本不等式求解椭圆方程即可．19.【答案】解：(1)由题意某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图，其中AB =4百米，BC =3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB 边上，要求∠MDN =π4.AN =CM =2百米，可得BN =2，BM=1，所以MN=√5，DN=√13，DN=2√5，所以cos∠MDN=2×2√5×√13=√65≠√22，所以∠MDN≠π4，△DMN不符合要求，(2)∠CDM=θ，∠ADN=π4−θ，所以DM=3cosθ，DN=4cos(π4−θ)，S=12⋅DN⋅DMsinπ4=3√2cosθcos(π4−θ)，cosθcos(π4−θ)=√22cosθ(cosθ+sinθ)=√24(sin2θ+cos2θ+1)=12sin(2θ+π4)+√2 4≤12+√24，所以S≥12(√2−1)，S的最小值为12(√2−1)．【解析】(1)通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解∠MDN，判断△DMN是否符合要求，即可．(2)∠CDM=θ，∠ADN=π4−θ，求出S=12⋅DN⋅DMsinπ4=3√2cosθcos(π4−θ)，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)因为{a n}为单调递减数列，所以逆序数为99+98+···+1=(99+1)×992=4950；(2)当n为奇数时，a1>a3>···>a2n−1>0，当n为偶数时，a n−a n−2=−n n+1+n−2n−1=−2n2−1=−2(n+1)(n−1)<0(n≥4)，所以0>a2>a4>···>a2n，当k为奇数时，逆序数为(k−1)+(k−3)+···+2+k−32+k−52+···+1=3k2−4k+18，当k为偶数时，逆序数为(k−1)+(k−3)+···+1+k−22+k−42+···+1=3k2−2k8．(3)在数列a1，a2，…，a n中，若a1与后面n−1个数构成p1个逆序对，则有(n−1)−p1不构成逆序对，所以在数列a n，a n−1，…，a1中，逆序数为(n−1)−p1+(n−2)−p2+···+(n−n)−p n =n(n−1)2−a ．【解析】(1)由{a n }为单调递减数列，即可得到逆序数；(2)当n 为奇数时，a 1>a 3>···>a 2n−1>0，当n 为偶数时，0>a 2>a 4>···>a 2n ，由此分析，即可得到逆序数；(3)在数列a 1，a 2，…，a n 中，若a 1与后面n −1个数构成p 1个逆序对，则有(n −1)−p 1不构成逆序对，即可得到答案．本题考查了数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于难题．21.【答案】解：(1)∵函数g(x)=ax 2−2ax +1+b ，∵a >0，对称轴x =1， ∴g(x)在区间[2,3]上是增函数，又∵函数g(x)故在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，∴{a ×22−2a ×2+1+b =1a ×32−2a ×3+1+b =4， 解得：a =1，b =0．∴g(x)=x 2−2x +1故实数a 的值为1，b 的值为0． (2)由(1)可知g(x)=x 2−2x +1， ∵f(x)=g(|x|)， ∴f(x)=x 2−2|x|+1，∵f(x)+g(x)≥log 22k −2log 2k −3对任意x ∈R 恒成立，令F(x)=f(x)+g(x)=x 2−2x +1+x 2−2|x|+1={2x 2−4x +2,(x ≥0)2x 2+2,(x <0)根据二次函数的图象及性质可得F(x)min =f(1)=0则F(x)min ≥(log 2k)2−2log 2k −3恒成立，即：(log 2k)2−2log 2k −3≤0 令log 2k =t ，则有：t 2−2t −3≤0， 解得：−1≤t ≤3， 即log 212≤log 2k ≤log 28，得：12≤k ≤8故得实数k 的范围为[12,8]．(3)函数f(x)为[1,3]上的有界变差函数．因为函数f(x)为[1,3]上的单调递增函数，且对任意划分T ：1=x 0<x 1<⋯<x i <⋯<x n =3有f(1)=f(x 0)<f(x 1)<⋯<f(x I )<⋯<f(x n )=f(3)所以∑|n i=1m(xi)−m(xi −1)|=f(x 1)−f(x 0)+f(x 2)−f(x 1)<⋯<f(x n )−f(x n−1)=f(x n )−f(x 0)=f(3)−f(1)=4恒成立，所以存在常数M ，使得∑|n i=1m(xi)−m(xi −1)|≤M 是恒成立． M 的最小值为4，即M min =4；【解析】(1)由已知中g(x)在区间[2,3]的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值；(2)求出f(x)，f(x)+g(x)≥log 22k −2log 2k −3对任意x ∈R 恒成立等价于F(x)min =f(x)+g(x)恒成立，求实数k 的范围；根据有界变差函数的定义，我们先将区间[1,3]进行划分，进而判断∑|n i=1m(xi)−m(xi −1)|≤M 是否恒成立，进而得到结论．本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值，新定义，其中(1)的关键是分析出函数的单调性，(2)要用转化思想将其转化为二次函数(3)的关键是真正理解新定义的含义．。
2021届上海市高三一模暨春考模拟数学试卷(六)及答案
镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放．两
A
城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间
或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）．依
据经验公式，建厂的费用为 f (m) 25 m0.7 （万元）， m 表示污水流
20km 河 流
量；铺设管道的费用（包括管道费） g(x) 3.2 x （万元）， x 表示输
河
流
（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇 A 到拟建厂的距离
为 x 千米，求联合建厂的总费用 y 与 x 的函数关系式，并求 y 的
取值范围．
B
2021届上海市高三一模暨春考模拟数学试卷（六）
20、已知函数 y f (x) ,若存在实数 m 、 k （ m 0 ），使得对于定义域内的任意
实数 x ，均有 m f (x) f (x k) f (x k) 成立，则称函数 f (x) 为“可平衡”函
中点． D1
（1）求异面直线 AD1 与 EC 所成角的大小；
（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的
A1
D
C1 B1
C
四面体称为鳖臑. 试问四面体 D1CDE 是否为
A 鳖臑？并说明理由.
E
B
2021届上海市高三一模暨春考模拟数学试卷（六）
18、已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
()
（A）若 a1 a2 0 ，则 a2 a3 0
（B）若 a1 a3 0 ，则 a1 a2 0
（C）若 0 a1 a2 ，则 a2 a1a3
（D）若 a1 0 ，则 a2 a1 a2 a3 0
16．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买 2 只玫瑰与 1 只康乃馨所需费用之和大于 8
2021年上海市春季高考数学试卷
上海市2021年春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）（共12题；共54分）1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={3,5,6}，则A∩B=________．【答案】{3,5}【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：集合A={1,2,3,4,5}，B={3,5,6}，∴A∩B={3,5}．故答案为：{3,5}．【分析】利用交集的运算法则结合已知条件求出集合A∩B.2.计算limn→∞2n2−3n+1n2−4n+1=________．【答案】2【考点】极限及其运算【解析】【解答】解：limn→∞2n2−3n+1n2−4n+1=limn→∞2−3n+1n22−4n+1n2=2．故答案为：2．【分析】利用求极限的方法求出数列的极限值。
3.不等式|x+1|<5的解集为________．【答案】(−6,4)【考点】绝对值不等式的解法【解析】【解答】解：由|x+1|<5得−5<x+1<5，即−6<x<4故答案为：(−6,4)．【分析】利用绝对值的定义求出绝对值不等式的解集。
4.函数f(x)=x2(x>0)的反函数为________．【答案】f−1(x)=√x(x>0)【考点】反函数【解析】【解答】解：由y=x2(x>0)得x=√y，∴f−1(x)=√x(x>0)故答案为f−1(x)=√x(x>0)【分析】利用反函数的定义求出函数f(x)=x2(x>0)的反函数。
5.设 i 为虚数单位， 3z̅−i =6+5i ，则 |z| 的值为________【答案】 2√2【考点】复数代数形式的加减运算，复数求模【解析】【解答】解：由 3z̅−i =6+5i ，得 3z̅=6+6i ，即 z̅=2+i ， ∴|z|=|z̅|=√22+22=2√2 ． 故答案为： 2√2 ．【分析】利用复数的加减法的运算法则求出复数z ，再利用复数z 的实部和虚部求出复数的模。
2021上海春考数学试卷解析
2021年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12每题5分）1、等差数列{}n a 中，13,2a d ==，则10a =【答案】21【解析】101921a a d =+=2、已知复数z 满足13z i =−(i 是虚数单位)，则z i −＝ .【解析】12z i i z i −=+⇒−=3、不等式2512x x +<−的解集为 .【答案】()7,2−【解析】25710(7)(2)0(7,2)22x x x x x x x ++<⇒<⇒+−<⇒∈−−−4、已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 .【答案】4π【解析】24S rl ππ==5、求直线2x =−10y −+=的夹角为________. 【答案】6π【解析】121212123(1,0),(3,1),cos ,2||||n n n n n n n n ⋅==−<>==故夹角为6π6、方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求1122a b a b =.【答案】0 【解析】易得1122a b a b =07、()1nx +有且仅有3x 为最大值，则二项展开式中3x 的系数为.【答案】20【解析】1r n rr n T C x −+=，又3x 为最大值，则3r n =−，那么362nn n =−⇒= 所以3x 的系数为3620C =8、已知函数()()3031x x af x a =+>+的最小值为5，则a = .【答案】9【解析】()33111593131x xx xa a f x a =+=++−≥−=⇒=++9、等比数列{}n a 各项均为正数，满足，()1lim 4n n a a →∞−=，则2a 的取值范围是 .【答案】(4,0)(0,4)−⋃【解析】由题意得各项为正数，()111121lim lim 44,(0,1)4(1(0,4))n n n n a a a a q q a a q q ∞∞→−→−==⇒=∈∴=−=∈【答案】23【解析】由题意,至少要选2种运动,并且选2种运动的情况中,AB 、DB 、EB 的组合不满足题意，54325555323C C C C ∴+++−=11、已知椭圆()222101y x b b+=<<的左右焦点为12F F 、，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程为 .【答案】1x =【解析】如图所示，作PM l ⊥于M ，212111=cos 44PF ππPM PF F F PM PF PF ∠=∠⇒===))1212221221PF PF PF PF PF ⇒+=+=⇒=−)22211:1c PM PF c l x ===→=−⇒=−12、已知0θ>，存在ϕ，对于任意的*n N ∈，使得()cos 2n θϕ+<，则θ最小值为.【答案】25π【解析】法一：原问题等价于随着n 调整，所对应的点都不在阴影区域里（16的圆）。
2021年上海市春季高考数学试题(含解析)
2021年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f （1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f （1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b2=k2+k2，由，得，即Q（，），代入x2﹣=1，化简，得：，解得b2=4或b2=kk，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立． 解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数， 又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．11∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．。
2021年1月高考真题上海卷数学试卷(春季)-学生用卷
2021年1月高考真题上海卷数学试卷（春季）-学生用卷一、填空题本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分1、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第1题4分已知数列{a n}是等差数列，公差为2，首项为3，则a10=．2、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第2题4分已知复数z=1−3i（i是虚数单位)，则|z−i|=．3、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第3题4分2018~2019学年北京海淀区高一下学期期中第9题4分已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为．4、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第4题4分不等式2x+5x−2<1的解集是．5、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第5题4分直线x=−2和直线√3x−y+1=0的夹角大小是．6、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第6题4分若方程组{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2无实数解，则行列式|a1b1a2b2|的值是．7、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第7题5分在(1+x)n(n∈N∗)的展开式中，仅有x3项的系数最大，则x3项的系数是．已知函数f(x)=3x+a3x+1(a>0)的最小值是5，则a=．9、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第9题5分无穷等比数列{a n}满足：limn→∞(a1−a n)=4，则a2的取值范围是．10、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第10题5分某人打算在一天上午进行至少60分钟的运动，现有可供选择的五项运动（如下表所示），那么可以选择的运动方式有种．11、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第11题5分已知椭圆E：x2+y2b2=1(0<b<1)的左、右焦点分别为F1、F2．以坐标原点O为顶点、F2为焦点的抛物线C和椭圆E的一个交点为P，若∠PF1F2=45°，则抛物线C的准线方程是．12、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第12题5分已知θ>0，若存在常数φ，使得对于任意n∈N∗，cos(nθ+φ)<√32恒成立，则θ的最小值是．二、选择题本大题共4小题，每题5分，满分20分13、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第13题5分下列选项中，其定义域内存在反函数的函数是（）．A. y=x2B. y=sinxC. y=2xD. y=1已知集合A ={x |x >−1,x ∈R }，集合B ={x |x 2−x −2⩾0,x ∈R }，则（ ）．A. A ⊆BB. ∁R A ⊆∁R BC. A ∩B =∅D. A ∪B =R15、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第15题5分已知函数y =f(x)的定义域为R ，下列选项中，能作为“y =f (x )不存在最大值”的一个充分条件的是（ ）．A. y =f (x )是偶函数，且图象关于点(1,1)对称B. y =f (x )是偶函数，且图象关于直线x =1对称C. y =f (x )是奇函数，且图象关于点(1,1)对称D. y =f (x )是奇函数，且图象关于直线x =1对称16、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第16题5分在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．有以下两个命题：①存在△ABC ，使得CE →⋅AB →=0；②存在△ABC ，使得CE →//(CB →+CA →)．那么（ ）．A. ①、②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题D. ①、②都是假命题三、解答题本大题共5小题，满分76分如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，E是AB的中点，PE⊥平面ABCD．(1) 若△PAB是等边三角形，求四棱锥P−ABCD的体积．(2) 若F是CD的中点，直线PF和平面ABCD所成角的大小为45°，求异面直线PC和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第18题14分已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，a=2，cosC=−14．(1) 若sinA=2sinB，求b、c．(2) 若cos(A−π4)=45，求c．19、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第19题14分某科学考察队在某地考察时，在距离O点20千米处的西侧、东侧分别设立了站点A、B．现以点O为坐标原点，点O的东侧为x轴正方向，点O的北侧为y轴正方向建立平面直角坐标系．(1) 若考察队发现一点P满足PA−PB=20千米，据此写出点P所在的曲线方程；若进一步观察到，点P在点O的北偏东60°方向处，求点P的坐标．(2) 现又在距离O点15千米的南侧、北侧分别设立了站点C、D．另发现一点Q满足QA−QB=30千米，QC−QD=10千米，求OQ的长度（精确到1千米）和点Q相对于点O的方向（精确到1°）．20、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第20题16分已知f(x)=√|x+a|−a−x（a为实常数）．(1) 若a=1，求f(x)的定义域．(2) 若a≠0，关于x的方程f(ax)=a有两个不相同的实数根，求a的取值范围．(3) 是否存在a，使得f(x)在其定义域内是单调函数？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．21、【来源】 2021年1月高考真题上海卷（春季）第21题18分数列{a n}满足：a n⩾0，且对于任意n∈N∗，a n+1和a n+2中的一个是另一个与a n的等差中项．(1) 若a1=5，a2=3，a4=2，求a3的所有可能的取值．(2) 若a1=a4=a7=0，a2、a5、a8都是正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出该等比数列的公比．(3) 若a1=1，a2=2，且a r=a s=a t=0，（2<r<s<t），求a r+1+a s+1+a t+1的最大值．1 、【答案】21;2 、【答案】√5;3 、【答案】4π;4 、【答案】(−7,2);;5 、【答案】π66 、【答案】0;7 、【答案】20;8 、【答案】9;9 、【答案】(−4,0)∪(0,4);10 、【答案】23;11 、【答案】x=1−√2;π;12 、【答案】2513 、【答案】 C;14 、【答案】 D;15 、【答案】 C;16 、【答案】 B;17 、【答案】 (1) 32√33．;(2) arctan√52（或arccos23）．;18 、【答案】 (1) b=1，c=√6．;(2) 5√302．;19 、【答案】 (1) x2100−y2300=1(x⩾10)；(15√22,5√62)．;(2) 19千米，点Q在点O的东偏北24°方向．;20 、【答案】 (1) (−∞,−2]∪[0,+∞)．;(2) (0,14)．;(3) 存在；(−∞,−14]．;21 、【答案】 (1) a3=1．;(2) 证明见解析；14．;(3) 2164．;。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年上海市春季高考数学试卷 （学生版）时间：120分钟；满分：150分一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.等差数列{}n a 中，13,2a d ==，则10a = .2.已知复数z 满足13z i =-(i 是虚数单位)，则z i -＝ .3.不等式2512x x +<-的解集为 . 4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 . 5.求直线2x =-10y -+=的夹角为________.6.方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求1122a b a b = .7.()1nx +的二项展开式中有且仅有3x 为最大值，则3x 的系数为 .8.已知函数()()3031x x af x a =+>+的最小值为5，则a = . 9. 在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是10. 某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合11. 已知椭圆2221y x b+=（01b <<）的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 12. 已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得cos()n θϕ+<θ的最小值是 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是 ( ) A. 2x B.sin x C. 2x D. 1x =14.已知集合{}220,{1}A x x x N x x =∈--=∈>-R R ∣∣，则（ ） A. A B ⊆ B. R R C A C B ⊆ C. A B ⋂=∅ D. A B ⋃=R15. 已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是（ ） A. ()f x 为偶函数且关于直线1x =对称 B. ()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 C. ()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 D. ()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称 16. 在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：① 存在△ABC ，使得0AB CE ⋅=；② 存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +；成立的是（ ）A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD . （1）若△PAB 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°， 求PD 与AC 所成角的大小.18. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-.（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）4cos()45A π-=，求c .19.（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足-=千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴PA PB||||20正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标.（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30-=QA QB千米，||||10-=千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）QC QD20. 已知函数()f x x=.（1）若1a=，求函数的定义域；（2）若0a≠，若()=有2个不同实数根，求a的取值范围；f ax a（3）是否存在实数a，使得函数()f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围.21. 已知数列{}n a 满足0n a ≥，对任意2n ≥，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的 等差中项（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值.2021年上海市春季高考数学试卷（参考答案版）1时间：120分钟；满分：150分一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.等差数列{}n a中，13,2a d==，则10a= .【答案】21【解析】101+921a a d==2.已知复数z满足13z i=-(i是虚数单位)，则z i-= .【解析】12z i i-=+=3.不等式2512x x +<-的解集为 . 【答案】(7,2)- 【解析】251(7)(2)722x x x x x +<⇒+-⇒-<<- 4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 . 【答案】4π【解析】24S rl ππ==5.求直线2x =-10y -+=的夹角为________. 【答案】6π 【解析】1212123(1,0),(3,1),cos 26n n n n n n πθθ⋅==-==⇒= 6.方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求1122a b a b = .【答案】0 【解析】11220a b D a b == 7.()1nx +的二项展开式中有且仅有3x 为最大值，则3x 的系数为 . 【答案】20【解析】316336,202r n rr n n T C x n r n n C -+=⇒-=⇒=-⇒== 8.已知函数()()3031x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = . 【答案】9 【解析】()()303111593131x xx x a a f x a a =+>=++-≥=⇒=++ 9. 在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 【答案】(4,0)(0,4)-【解析】由题意，(1,0)(0,1)q ∈-，∴lim 0n n a →∞=，∴11lim()4n n a a a →∞-==，∴214a a q q ==∈(4,0)(0,4)-11. 某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合【答案】23【解析】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组 合是不符题意的，∴54325555323C C C C +++-=11. 已知椭圆2221y x b+=（01b <<）的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 【答案】12x =-【解析】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立24y cx y x c⎧=⎨=+⎩，∴(,2)P c c ，∴212PF F F ⊥，2122PF F F c ==，122PF c =，∴12(222)2221PF PF c a c +=+==⇒=-，即准线方程为12x c =-=-12. 已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得3cos()n θϕ+<θ的最小值是 【答案】25π 【解析】在单位圆中分析，由题意，n θϕ+的终边要落在图中阴影部分区域（其中6AOx BOx π∠=∠=），∴3AOB πθ>∠=，∵对任意*n ∈N 要成立，∴*2πθ∈N ，即2k πθ=，*k ∈N ，同时3πθ>，∴θ的最小值为25π 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是 ( )A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动 7点-8点 8点-9点 9点-10点10点-11点 11点-12点 30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟A. 2xB.sin xC. 2xD. 1x = 【答案】C14.已知集合{}220,{1}A x x x N x x =∈--=∈>-R R ∣∣，则（ ） A. A B ⊆ B. R R C A C B ⊆ C. A B ⋂=∅ D. A B ⋃=R 【答案】D15. 已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是（ ） A. ()f x 为偶函数且关于直线1x =对称 B. ()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 C. ()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 D. ()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称 【答案】D【解析】反例如图所示. 选项D ，易得()f n n =，n ∈Z16. 在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：① 存在△ABC ，使得0AB CE ⋅=；② 存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +；成立的是（ ）A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立 【答案】B【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，① (12,2)AB x y =---，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，∴2(21)(1)20x x y -+--=， ∴2(21)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 明显存在，∴①成立； ② F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 交点即重心G ， ∵G 为AD 三等分点，E 为AD 中点，∴CE 与CG 不共线， 即②不成立；故选B三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD . （1）若△PAB 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PD 与AC 所成角的大小. 【答案】（1）3233P ABCD V -=；（2)2arccos 6【解析】（1）∵正方形ABCD 边长为4，△PAB 为等边三角形，E 为AB 中点，∴23PE =，2132342333P ABCD V -=⨯⨯=；（2）如图建系，(0,0,4)P ，(2,4,0)D -，(2,0,0)A -，(2,4,0)C ，∴(2,4,4)PD =--，(4,4,0)AC =，∴82cos 6642||||PD AC PD AC θ⋅===⨯⋅， 即PD 与AC 所成角的大小为2arccos618. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-.（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）4cos()45A π-=，求c .【答案】（1）1b =,6c =（2）5302c =【解析】（1）sin 2sin 2A B a b =⇒=，∴1b =，222211cos 62214c C c +-==-⇒=⨯⨯；（2）472cos()cos 4510A A π-=⇒=，∴2sin 10A =，∵115cos sin 44C C =-⇒=，由正弦定理，2530sin sin 2c c A C =⇒=19.（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标.（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1°）【答案】（1）221100300x y -=,(22P ;(2)19OQ ≈,Q 点位置北偏东66︒【解析】（1）10a =，20c =，∴2300b =，双曲线为221100300x y -=；直线:OP y =，联立双曲线，得P ； （2）①||||30QA QB -=，15a =，20c =，∴2175b =，双曲线为221225175x y -=；② ||||10QC QD -=，5a =，15c =，∴2200b =，双曲线为22125200y x -=；联立双曲线，得Q ，∴19OQ ≈米，Q 点位置北偏东66︒20. 已知函数()f x x =. （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围.【答案】（1）(,2][0,)x ∈-∞-+∞; (2)1(0,)4a ∈;(3)14a ≤-【解析】（1）()f x x =，∴|1|10x +-≥，解得(,2][0,)x ∈-∞-+∞；（2）()f x x a ==+，设0x a t +=≥t =有2个不同实数根，∴整理得2a t t =-，0t ≥，同时0a ≠，∴1(0,)4a ∈；（3）当x a ≥-，211())24f x x x ===-+，在1[,)4+∞递减，此时需满足14a -≥，即14a ≤-时，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-，()f x x x =，在(,2]a -∞-上递减，∵104a ≤-<，∴20a a ->->，即当14a ≤-时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减；综上，当14a ≤-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减1121. 已知数列{}n a 满足0n a ≥，对任意2n ≥，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列， 并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =， 求111r s t a a a +++++的最大值.【答案】（1）31a =;（2）见解析；（3）2164【解析】（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+， ∴231321a a a a =+⇒=，321324a a a a =+⇒=，经检验，31a =（2）∵1470a a a ===，∴322a a =，或232a a =，经检验，232aa =； ∴32524a a a ==，或2532a a a =-=-（舍），∴254aa =；∴52628a a a ==，或2654aa a =-=-（舍），∴268a a =；∴628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍），∴2816aa =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，2112102r r r r r r a a a a a a -----=⇒=⇒-=-，∴31112211111110()()1()()222222i r i i r r r r r a a a a a a a --+---=⇒==--=-⋅-⋅⋅-=-⋅-，*i ∈N ，∴1max 1()4r a +=，同理，21111111()1()()22224j s r j j s r r a a a ---++=-⋅-⋅⋅-=-⋅-⋅，*j ∈N ，∴1max 1()16s a +=，同理，1max 1()64t a +=，∴111r s t a a a +++++的最大值为2164。