氢原子中电子云的概率分布

计算物理期中作业

题目： 氢原子中电子云的概率分布

摘要：通过氢原子的波函数(,,)r ψθϕ求解氢原子中电子在(),θϕ方向

立体角 d Ω 中的概率密度，然后编程进行计算并画图给出氢原子角向电子云分布图，通过对比可以看出不同(,)l m 给出的角向电子云分布图呈现一定规律。

关键词：氢原子，概率密度，连带勒让德多项式

氢原子中电子在(),θϕ方向立体角 d Ω 中的概率为

2

2(,,)nlm d r r dr

ψθϕΩ⎰

2

2

20

(,)

()lm nl d Y R r r dr

θϕ+∞

=Ω⎰

2

(,)lm Y d θϕ=Ω

则立体角d Ω内的电子云角向概率密度为

2

2

2

(,)(cos )(cos )

m

im m

lm l l Y P e

P ϕθϕθθ==

连带勒让德多项式为

2/2()()(1)()

m m m l l P x x P x =-

则对勒让德多项式求m 次导数易得

()

()()m

m l l m

d P x P x dx

=

[]

/220(1)(22)!2!()!(2)!l m

k l k

m

l

k d l k x dx

k l k l k -=--=--∑

[]

()/220

(1)(22)!2!()!(2)!l m k l k m

l k l k x

k l k l k m ---=--=

---∑

得连带的勒让德多项式

[]

()/22/2

20

(1)(22)!()(1)2!()!(2)!

l m k m m l k m

l l k l k P x x x

k l k l k m ---=--=----∑

为求解氢原子角向电子云概率密度

2

(cos )

m

l P θ编程如下

程序

OPEN( 1, FILE='STAR.TXT')

WRITE(*,*)'请输入角量子数L和磁量子数M' READ(*,*)ZL,ZM

PI=3.141

DO T=0,PI,0.01

R=PPP(ZL,ZM,COS(T))**2

WRITE(1,*)R*COS(T),R*SIN(T)

ENDDO

END

FUNCTION PPP(ZL,ZM,X)

PPP=PP(ZL,ZM,X)*(1.0-X*X)**(ZM/2.0)

RETURN

END

FUNCTION PP(ZL,ZM,X)

IF(MOD((ZL-ZM),2).EQ.0) THEN

ZLL=ZL-ZM

ELSE

ZLL=ZL-ZM-1

ENDIF

PP=0

DO ZK=0,ZLL/2.0

PP=PP+P(ZL,ZM,ZK,X)

ENDDO

RETURN

END

FUNCTION P(ZL,ZM,ZK,X)

P=(-1)**ZK*F(2*ZL-2*ZK)/2**ZL/F(ZK)

! /F(ZL-ZK)/F(ZL-2*ZK-ZM)*X**(ZL-2*ZK-ZM) RETURN

END

FUNCTION F(ZN)

F=1.0

DO ZK=1.0,ZN

F=F*ZK

ENDDO

RETURN

END

图形结果

m变化的关系（图a）电子云的1/2剖面图随角量子数l和磁量子数

m

2

3

4

角量数l

（图b ）图a各图沿y轴的旋转立体图

图b的放大图

Y10

Y20

Y21

Y31

Y32

Y40

Y41

Y42

8

6

4

2

Y43

结论

定义m l -≡δ称之为差量子数。

观察图a （图b ）容易看出，沿图中箭头方向图形相近，规律如下：

（1）0≠m 差量子数δ相同时，氢原子中电子的角向概率密度

分布图相近。其中...3,2,1,0...

3,2,1==δm 也就是说2lm Y 的图形和21),1(+-m l Y 的图形相近。

（2）2

0,l Y 的图形相当于把20,0Y 的图形沿赤道方向“勒”了l 个勒痕后的图形 ，l 是多少就有多少勒环，相应的突起就有1-l 个。

（3）21,l Y 的图形相当于把20,1-l Y 的图形沿z 轴进行了压缩后得到的。 有了以上三条规律任意

2,m l Y 的图形都可以画出。

参考文献

[1]曾谨言.量子力学 卷（一）北京：科学出版社，2007