比估计bootstrap置信区间

摘要 ： 用 常见 Ｂ ｔ ｒｐｔ 法 、 Ｃ 先 ｏ ｓ ａ－方 ｔ Ｂ ａ方法 ， 然后 用 自己提 出的 函数 无 偏 Ｂ ｏ ｔ ｐ研 究 了 比估 计 的置 信 区 间 ， ｏｔｒ ｓａ 并 以 比估计 的 Ｆｅｌ 区 间作 为标 准 比较 上述 三 种方 法 ， 出 了函数 无偏 Ｂ ｔ ａ ｉｅ ｌｒ 指 ｏ ｓ ｐ的适 用性 。 ｒ ｔ 关键 词 ： 比估计 ； 信 区间 ； ｏｔｒｐｔ 法 ； Ｃ 置 Ｂ ｓ ａ－方 ｔ Ｂ ａ方法 ； 函数 无偏 Ｂ ｔｒｐ ｏ ｓａ ｔ
（ ）＝ （ （ ）一 ｔ／ ｅ ｂ （ ： １ … ， ｂ ｔ ｂ ）ｓ （ ） ｂ ， Ｂ）
其中 ￡（）＝￡Ｚ ６ （ ）：（ Ｙ ｎ／∑ ～ｌ ）；：（ Ｙ ｎ／∑ ／）ｓ （） ； ∑ ／ ）（ ｉ， ｔ ∑ ｉ ）（ ／ ｎ ， ｂ 为 对 ；
ｉ； ｌ ｉ； ｌ ｉ ｌ ； ｉ ｌ ；
ｉ ｌ ＝
差Ｖ［（ ］ ｒ ｉ ）的 见 计 （， ： ∑［（， 一 ｙ ），中 （， ａ Ｉ ）＝∑ ［（， ］ 常 估 为 Ｙ ） ÷ ｓｙ ） （ ］其 ｙ ｒ ｓ Ｓｙ ，
ｉ １ ＝ 。 ｉ １ ＝
） －∑ ｓ（ ， ， ＝ｎ１ ｆ ）进而估计函数为： ｙ ｓ ）＝ｎ１Ｓ ｙ ／ｖ （ －２ （ ， ／ ） 厂
则 。＝［ （ 一 ） ／６∑ （ 一 ） 。｝ ：∑ ／ 。 ∑ 。｛ ］ ［ ， ］ ｎ
④ 所 求 １—２ ａ的置 信 区 间 为 ［ （２， （ ａ） 。 ］ 其 中 （ Ｊ 足 ９ 满
ａ ＝
（） ２
＃｛ （ ）≤ ｉ ６ （ ／ ： 卢 ＪｔＢ ９ （。＋ ＿＿ ｚ ＝ ＝ ）ａ （ ＋ ＿ ， ＝ 二 ）
下 面 给 出 这 两 种 方 法 在 比估 计 问 题 中 的应 用 。
（ ）ｏｔｒｐｔ 法 利 用 数 据 本 身 建 立 针 对 统 计 量 的 “ 布 表 ” 然 后 利 用 这 张 “ 布 表 ” 构 造 相 应 １Ｂ ｓ ．方 ｔ ａ 分 ， 分 去 统 计 量 的 置 信 区问 。 Ｂ ｔｒｐｔ 比估 计 问 题 中 的算 法 如 下 ： ｏ ｓａ．在 ｔ ① 在 样 本 Ｚ ＝ （ ｌＹ ） … ， ， ）中可 重 复 抽 样 ， 到 Ｂ ｔｒｐ样 本 ｚ ， ， （ ，１， （ Ｙ） 得 ｏ ｓａ ｔ … ｚ～ ， 对 每 个 并 样 本 ｚ～ ， 算 计
本 ｚ ｂ＝１…， ） （ ， Ｂ， 计算： （） （ ） ∑ ｙ ｎ／∑ ～ ｎ。 ； ６ ＝￡ｚ ＝（ ／ ）（ ｆ／ ）
￣ｉ ￣ Ｚ： Ｚ － ０ Ｏ： Ｉ － （ 盟
：
（
Ｙ／ ｉ
Fra Baidu bibliotek（
ｘ／ ｉ
③ 计 算 ０： ｚ（ 表 示 将 样 本 Ｚ ＝ （ ｌｙ） … ， ， ） （ ， 去 掉后 的 样 本 ， ｆ ｉ Ｚ（ ） 令 ） （ ， １， （ ）中 ｆｙ） （ ）＝ ， （ ）
第２ ５卷 第 ６期 ２０ ０ ４年 ｌ ２月
河 南 科 技 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｕｎ ｌ ｆ ｅ ａ ｎ ｅｓｙ ｏ ＳｉｎｅａｄＴ ｃｎｌｇ Ｎ ｔｒｌ ｉ ｃ） ｏｒａ ｏ Ｈ ｎｎＵ ｉ ｒｉ ｆ ｃｅｃ ｎ ｅｈ ｏ ｙ（ ａｕａ Ｓ ｅ ｅ ｖ ｔ ｏ ｎ ｃ
（） １
（ ） Ｃ 方法是 Ｂ ｔｒ ２Ｂａ ｏ ｓａ ｔ ｐ在构造置信 区间方面最有效 的一 种方法 ， 它计算 过程复 杂 ， 算量 大 ， 但 计 故
作者 简 介 ： 乔 舰 （９ ７ ， ， １７ 一） 男 山东 肥城 人 ， 助教 ， 硕士 生 ； 景 平 （９ ５ ， ， １５ ～） 男 四川人 ， 授 ， 士 教 博
假 设 二 维 随 机 变 量 （ ， ）具 有 分 布 函数 Ｆ（ Ｙ ， ｌＹ ） … ， ， ｙ ， ） （ ， １ ， （ Ｙ ）为 （ ， ）的 独 立 同 分 布 随 ｙ
机样本 ， 比估 计 问 题 主要 研 究 ： Ｅ（ ） Ｅ（ Ｙ ／ Ｘ）的置 信 区 间 。 于 这个 问 题 ， 于 分 布 的不 确 定 性 ， 对 由 存
定 样 本 点 的 概 率 分 布 未 知 ， 各 阶 矩 存 在 ， 义 函数 Ｓ（ ｆ 满 足 ｛ ｙ， ｝＝０ ＝ １２ … ， ， 但 定 ｆｙ， ） ｓ（ ） ， ， ， ｎ
结合基于 所有数据的此函数， 得到函数 ｓ ｙ ） （ ， ＝∑ ｓ Ｙ ， Ｅ ｓ ｙ ） ＝ ， （ ，） 方 ｉ ）满足 ｛（ ， ｝ ０又ｓ ｙ 的 （，
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ． １２ ６
Ｄｅ ｃ． ２Ｏ ４ Ｏ
文 章 编 号 ：６ ２—６ ７ （０４）６—０ ８ —０ １７ ８ １２ ０ ０ ０５ ５
比 估 计 的 Ｂ ｏｓｒｐ置 信 区 间 ｏ ｔｔ ａ
乔 舰 景 ， 平 汪金 芳２ ，
（ ． 国矿 业 大学 ， １中 北京 校 区 １０ ８ ； ． ｂｈ ｏＵ ｖｒｉ ｆ ｇｉ ｌ ｅ＆Ｖ ｔ ｉａｙＭｅｉｉ ｏｋｉｏ Ｊｐｎ ０ ０ ３ ２ Ｏ ｉｉ ｎ ｅ ｔ ｏ Ａ ｒ ｕｔ ｒ ｉ ｓｙ ｃ ｕ ｒ ｅｅ ｎｒ ｄｃ ｅＨ ｋａｄ ，ａａ ） ｒ ｎ
Ｂ ｔ ｒｐ样 本 ｚ¨ 的估 计 标 准 误 差 。 ｏｓａ ｔ ② （ ）的 ｎ分 位 点 由 （ ｂ ａ 到 ， ａ 足 ： ｛ （ ）≤ （ ｝ Ｂ ： ａ 得 （ 满 ＃ Ｔ ｂ ａ ／
所 求 比估 计 的 １—２ ａ置 信 区 间 为
（ （ ａｓ， （）； ；一 １ ）； ；一 ａｓ） －
：
Ｎ 一Ａ ｐ， ｅ ｐ 令 ： Ｅ（ ， ： Ｅ（ ）要 求 Ｐ ： ｖ ／的 ９ ％ 置 信 区 间 在 ［ ．， ．］ 内 ， 句 话 说 ） Ｙ， ／ｚ ０ 一０２ ０ ２ 之 换
要 求 新 药 与 得 到 认 可 的 药 应 具 有 同 等 疗 效 。 样 技 术 中 的 比率 估 计 量 … ， 义 为 同 一 总 体 中两 个 不 同样 抽 定 本 的均 值 之 比或 不 同 总 体 的均 值 之 比 。 述 及 类 似 问题 称 为 比估 计 问题 。 上
ｉ Ｉ ＝
， 然后通过 Ｂｏｔｐ ｏｓａ 得到 ｔｒ
ｓ（ ）的 渐 近 分 布 ， 于 此 渐 近 分 布 进 行 关 于 的 统 计 分 析 。 函 数 无 偏 Ｂｏｓａ 基 ｏｔｒｐ在 比估 计 问 题 中 的 算 ｔ
法 ：
（） １ 应用使函数无偏的 方法得到比 估计的 无偏估计函 （） 数ｇ ＝∑ （ ｉ ｙ ， ｇ ） ， Ｏ — ｉ令 （ ：０得到 ｘ ）
的合 理 性 与 可 操 作 性 。
１ 两 种 Ｂ ｏｓｒｐ置 信 区 间 估 计 方 法 ｏｔ ａ ｔ
Ｂ ｔｒｐ 是 Ｅｒｎ在 Ｊｃｋｉ ｏ ｓａ［ ｔ Ｊ ｆ ｏ ａｋｎｆ 基 础 上 发 展 起 来 的 一 种 基 于 计 算 机 的 超 强 计 算 能 力 ， 过 从 基 于 ｅ的 通 样 本 的经 验 分 布 中可 重 复 抽 样 以估 计 相 应 统 计 量 渐 近 分 布 的 统 计 方 法 。 Ｂ ｔｒｐｔ 法 与 Ｂ ａ方 法 是 ｏ ｓａ．方 ｔ Ｃ Ｂ ｔｒｐ在 建 立 置 信 区 间 方 面 经 常 用 到 的 两 种 方 法 。 ｏ ｓａ ｔ
ａ ， ２满 足 ｌａ
２ 函 数 无 偏 Ｂ ｏｓｒｐ ｏ ｔｔ ａ
函数 Ｂ ｏｓ ａ ｌ 是 由 Ｈ ． ｏｔ ｒｐ３ ｔ ］ ｕ Ｆ与 Ｋ ｌｆ ｉ ｈ提 出 的 ， 将 抽 样 对 象 从 传 统 的 统 计 量 转 移 到 产 生 这 个 统 ａｂ ｅ ｃ ｌｓ 它
计 量 的估 计 函数 或方 程 上 。 假 定 估 计 函 数 为 一 些 独 立 项 ， 数 Ｂ ｏ ｔ ｐ通 过 从 这 些 独 立 项 中抽 样 以获 函 ｏｔｒ ｓａ 取 相 应 统 计 量 的 分 布 ， 而 构 造 置 信 区 间 ， 行 假 设 检 验 。在 函 数 Ｂ ｏｓａ 提 出过 程 中 ， 未 对 估 计 进 进 ｏｔｒｐ的 ｔ 并 函数 或 方 程 本 身 提 出 特 殊 要 求 ， 实 际应 用 中 可 以体 会 到 要 求估 计 函 数 达 到 无 偏 是 非 常 合 理 实 用 的 ， 但 在
中 图 分 类 号 ： ２ ２． ０ １ ７ 文献标 识码 ： Ａ
０ 前 言
医学 生 物 等 效 性 检 验 是 指 药 品公 司 生 产 一 种 新 药 后 ， 需 给 出新 药 与前 一 种 药 疗 效 的 比较 ， 不 必 只 而
经 过 像 新 生 产 的 药 那 样 复 杂 的检 验 程 序 就 可 得 到 生 产 许 可 。假 定 有 三 种 药 ： 种 没 有 任 何 疗 效 、 种 经 一 一 过 检 验 认 可 、 种 新 研 制 ， 机 给 病 人 服 用 后 疗 效 依 次 记 录 为 Ｐａ Ａ ｐ Ｎ ｗ， 定 义 ： ： Ａ ｐ— Ｐａ， 一 随 ｌ、 ｐ 、 ｅ 并 ｐ ｌ Ｙ
在 Ｂ ｏ ｔ ｐｔＢ ａ两 种 抽 样 方 法 ， 上 述 两 种 方 法 都存 在 不 同程 度 的 缺 陷 。本 文 结 合 函数 Ｂ ｔ ｒｐ理 论 ｏｔｒ ．、 Ｃ ｓａ 但 ｏ ｓａ ｔ
与估计 函数无 偏理论 ， 出了一种 函数无偏 Ｂ ｔｒ 方法 ， 通过 算法设 计 、 提 ｏ ｓａ ｔｐ 并 数值 模拟 研究 了这种 方法
某 些 情 况 下 甚 至 是 估 计 方 程 或 估 计 函 数 存 在 的 前 提 条 件 ， 且 Ｙ ｎｇ ｔ 而 ａ ａｉ ｏ与 Ｙ ｍ ｍ ｔ［ 给 出 使 估 计 函 ｍｏ ａａｏ ４ ｏ】 数 达 到 无 偏 的方 法 。 综 合 以 上 两 种 理 论 ， 求 比估 计 的置 信 区 间 时 ， 使 比估 计 的 估 计 函数 达 到 无 偏 ， 后 再 对 这 个 无 在 先 然 偏 估 计 函数 应 用 函数 Ｂ ｏ ｔ ｐ 本 文 称 之 为 函 数 无 偏 Ｂ ｏｓ ａ 。 函 数 无 偏 Ｂ ｏｓ ａ ｏｔ ｒ ， ｓａ ｏｔ ｒｐ ｔ ｏｔｒ ｔ ｐ的 理 论 依 据 如 下 ： 假
收稿 日期 ：ｏ ４—０ ２ｏ ５—２ ６
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河 南 科 技 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２０ ０ ４在
应 用 不 广 泛 。这 种 方 法 主 要 应 用 了一 个 单 调 递 增 变 换 ｍ（ ）一 个 偏 差 修 正 值 ， 个 倾 斜 修 正 值 ０， ・， 一 使 得 的估 计 值 及 估 计 标 准 误 差 ｓ 满 足 （ 一 ） ｓ≠一 Ｎ（ ０１ 。 里 ： ｍ（ ， ＝ ｍ（ ，ｅ ， ／ｅ 一ｚ， ）这 ） ） ｓ≠＝ ｓ≠ １＋ ０ 一 ０］ ０ ｅ０・［ （ ） ， 为 取 值 范 围 内 任 意 点 ，０ 正 以 作 为 的估 计 带 来 的 偏 差 ， ｚ修 ０修 正 以 作 为 的 估 计 带 来 的 标 准 误 差 上 的 变 化 。Ｂ ａ 比估 计 问 题 中 的算 法 如 下 ： Ｃ 在 ① 从 样 本 Ｚ ＝ （ ｌｙ ） ， ， ）中重 复 抽 样 ， 到 Ｂｏｓａ （ ， １， （ Ｙ ） ・ 得 ｏｔｒｐ样 本 ｚ ， ， ｔ … ｚ～ ， 对 每 个 样 并
ｉ＝ Ｉ
＝
（ Ｙ ／ ∑ ） ∑ ｉ（ ） ， 进而计算Ｓ ： —Ｙ ：１ ， ｉ ， ， …，。 ２