七年级下学期三角形的内角和专题练习

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专题19三角形的内角和综合题(原卷版)

专题19 三角形的内角和（综合题）知识点01：三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为细节剖析：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出②已知三角形三个内角的关系，可以求出③求一个三角形知识点02：三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.细节剖析：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是；③另一条边是三角形（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是．所以三角形共有，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有2．性质：（1）三角形的一个外角等于．（2）三角形的一个外角任意一个与它不相邻的内角．细节剖析：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于细节剖析：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是易错点拨易错题专训一．选择题1．（2022秋•海淀区校级期中）如图，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，则∠D的度数是（）A．55°B．35°C．25°D．20°2．（2022秋•荆州月考）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（）A．105°B．90°C．75°D．60°3．（2022秋•东丽区期中）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，则∠α的度数为（）A．80°B．60°C．90°D．45°4．（2022春•淇滨区期末）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°5．（2021秋•铜官区校级期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（）A．120°B．110°C．100°D．90°6．（2022秋•黄骅市校级期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（）A．60°B．10°C．45°D．10°或60°二．填空题7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC ＝50°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是，∠BOA的度数是．8．（2022春•东海县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝68°，点D．E分别在AB、AC上，将△ADE 沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝．9．（2021秋•肥西县期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为．10．（2020秋•江津区期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝．11．（2021秋•海淀区校级期中）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为．12．（2020春•阳城县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，点D、E分别在线段AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使B落在B′处，B′D、B′E分别交AC于F、G．若∠ADF＝70°，则∠CGE的度数为°．13．（2020秋•綦江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝．三．解答题14．（2022秋•荆州月考）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分线CD交AB于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，若∠A＝63°，求∠BPC的度数．15．（2021秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．16．（2022秋•渝北区月考）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．17．（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM 上运动，点A、B均不与点O重合．【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝°．②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．18．（2019秋•黄冈月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）若∠BAD＝60°，求∠CDE的度数；（2）猜想∠CDE与∠BAD的数量关系，并说明理由．19．（2020秋•海淀区校级期中）如图锐角∠EAF，B、C分别为AE、AF上一点．（1）如图1，∠EAF＝50°，连接BC，∠CBA＝α，∠BCA＝β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点P，则α+β＝°，∠P＝°；（2）Q为∠EAF内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为BM、CN．①如图2，若∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，BM与CN交于点P，则∠BPC的度数为；②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；③BM与CN可能垂直吗？若不能，说明理由；若能，写出此时∠CQB与∠EAF的数量关系．20．（2021秋•锦州期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA 三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC 的度数为；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）。

鲁教版七年级三角形内角和定理练习50题及参考答案(难度系数0.36)

七年级三角形内角和定理（难度系数0.36）一、单选题（共10题；共20分）1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线.以点D为圆心，适当长为半径GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC 画弧，交DA于点G，交DC于点H.再分别以点G、H为圆心，大于12内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则△ADF的形状是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】 D【考点】平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质2.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，BE平分∠ABC，则∠A的度数为（）A. 30°B. 32°C. 34°D. 36°【答案】 D【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质3.一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠a的度数是( )A. 75°B. 60°C. 65°D. 55°【答案】A【考点】三角形的外角性质4.如图，是三个等边三角形（注：等边三角形的三个内角都相等）随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3等于（）A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°【答案】 D【考点】三角形内角和定理5.如图，直角△ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，且∠ACB 的度数为 (5x −10)° ，则 x 的值可能是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】C【考点】三角形的外角性质，三角形相关概念6.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，则∠A 与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A. 2∠A=∠1-∠2B. 3∠A=2（∠1-∠2）C. 3∠A=2∠1-∠2D. ∠A=∠1-∠2【答案】 A【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质7.下列叙述中，正确的有（）①如果 2x =a,2y =b ，那么 2x−y =a −b ；②满足条件 (43)2n =(34)n−3 的n 不存在；③任意一个三角形的三条高所在的直线相交于一点，且这点一定在三角形的内部；④ΔABC 中，若∠A+∠B=2∠C, ∠A-∠C=40°，则这个△ABC 为钝角三角形.（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】 B【考点】同底数幂的除法，负整数指数幂的运算性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理8.如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG//BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；② CA平分∠BCG；③ ∠ADC=∠GCD；④ ∠CGE=2∠DFB；其中正确的结论是( )A. 只有①③B. 只有①③④C. 只有②④D. ①②③④【答案】B【考点】平行线的性质，三角形内角和定理9.如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=50°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC= ( )A. 115°B. 125°C. 130°D. 140°【答案】A【考点】三角形内角和定理10.如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示.若∠A=60°，∠1=90°，则∠2的度数为（）A. 24°B. 25°C. 30°D. 35°【答案】C【考点】对顶角、邻补角，三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）二、填空题（共8题；共8分）11.如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的关系为________.【答案】∠1+∠2- 32∠A=90°【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质12.∠A=65º，∠B=75º，将纸片一角折叠，使点C•落在△ABC外，若∠2=20º，则∠1的度数为________.【答案】100°【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）13.如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠P=20°，∠D=100°，则∠C=________°.【答案】120【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质，多边形内角与外角14.如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO＋∠CFO＝88°，则∠C的度数为=________．【答案】46°【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）15.如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1, ∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2：⋯：∠An-1BC与∠An+1CD的平分线交与点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为________【答案】6【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质16.如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE=________度．【答案】56【考点】角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质17.如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠A＝50°，则∠1+∠2＝________°【答案】100【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题）18.如图，一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠2=52°，则∠1+∠3=________°.【答案】98【考点】对顶角、邻补角，三角形内角和定理三、解答题（共4题；共20分）19.如图，在ΔABC中，AD是高，∠DAC=10°，AE是ΔABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC=46°，求∠AFB的度数。

七年级数学下册《三角形的内角和》典型例题(含答案)

《三角形的内角和》典型例题例1 三角形一个角是第二个角的23倍，第三个角比这两个角的和大30°，求这个三角形的三个角．例2 根据条件，判断ABC ∆的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）（1）︒=∠︒=∠89,76B A（2）C B A ∠=∠+∠（3）C B A ∠=∠︒=∠2,30例3 在ABC ∆中，5:4:3::=∠∠∠C B A ，求ABC ∆各内角的度数．参考答案例1 分析：如果设第二个角是︒x ，则有第一个角是︒)23(x ，第三个角是︒++)3023(x x ，由三角形内角和等于180°可以列出方程，从而求出各个角．解：设第二个角是︒x ，则第一个角是︒)23(x ，第三个角是︒++)3023(x x ，根据三角形三个内角和是180°，得︒=++++180)3023(23x x x x 解这个方程，得30=x 所以1053023,4523=++=x x x ．答：这个三角形第一个角是45°，第二个角是30°，第三个角是105°．说明：一般在三角形求内角问题时，我们首先应考虑应用三角形三个内角间的关系．例2 分析：三角形中如果有一个内角是钝角（或直角）那么这个三角形一定是钝角三角形（或直角三角形），但是如果有一个内角是锐角，那么它未必是锐角三角形，因为锐角三角形必须是三个内角均为锐角．可以根据三角形内角和定理确定各内角的度数，进而确定三角形的形状．解：（1）︒=︒-︒-︒=∠158976180C ，∴ABC ∆是锐角三角形．（2）∵在ABC ∆中，︒=∠+∠+∠180C B A又C B A ∠=∠+∠ ，∴︒=∠1802C ，︒=∠90C∴ABC ∆是直角三角形．（3）︒=︒-︒=∠+∠15030180C B ，又C B ∠=∠2 ，∴︒=∠1503C ，∴︒=∠50C ，∴︒=︒-︒=∠10050150B ∴ABC ∆是钝角三角形．例3 分析：告诉各内角之间的比例关系，求各内角，可以根据比例关系设未知量，比如本题可以设三个内角分别为3x ，4x ，5x ，这样只要求出x 的值，就可以得知三个内角的度数．要求x 的值可以根据三角形内角和定理列方程．解：设x A 3=∠，则x C x B 5,4=∠=∠∴︒=++180543x x x （三角形内角和定理）∴︒=15x ，∴︒=∠︒=∠︒=∠75,60,45C B A。

专题4.1 三角形内角和定理的运用【八大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)七年级下册

专题4.1三角形内角和定理的运用【八大题型】【北师大版】【题型1运用三角形内角和定理直接求角的度数】 (1)【题型2三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 (4)【题型3三角形内角和定理与平行线的性质综合】 (9)【题型4三角形内角和定理与折叠性质综合】 (13)【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】 (18)【题型6运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 (23)【题型7判断直角三角形】 (30)【题型8运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 (35)【知识点1三角形的内角及内角和定理】三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．【题型1运用三角形内角和定理直接求角的度数】【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．【分析】将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可．【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°，由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°，解得∠A＝45°．【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝°．【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+∠2＝∠B+∠C，从而可求解．【解答】解：∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，∴∠1+∠2＝∠B+∠C，∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°．故答案为：80°．【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是度．【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；当△ABC为钝角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．综上所述，∠BAC＝80°或40°．故答案为：80或40．【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45°，则∠BAC等于．【分析】根据三角形的内角和定理．分∠BAC与这个45°的角在一个四边形内，及∠BAC 与这个45°的角不在一个四边形内两种情况讨论．【解答】解：若∠BAC与这个45°的角在一个四边形BCDE内，因为BD、CE是△ABC的高，设BD的延长线交CE的延长线于O．∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠O＝45°，∴∠DAE＝180°﹣45°＝135°∴∠BAC＝∠DAE＝135°；若∠BAC与这个45°的角不在一个四边形BCDE内，因为BD、CE是△ABC的高，如图：∠BAC＝180°﹣（180°﹣45°）＝45°，所以∠BAC等于45度．若∠ACB是钝角，∠A是锐角，易知∠ABD＝40°，∠A＝45°综上所述，∠A的值为45°或135°．故答案为：45°或135°．【题型2三角形内角和定理与角平分线、高线综合】【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．50°【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．【解答】解：∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故选：A．【变式2-1】（2021秋•靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（）A．5B．10C．12D．20【分析】根据三角形的内角和为180°即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝50°，∴∠FED＝50°+30°＝80°，又∵DF⊥BC，∴∠FED+∠EFD＝90°，∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，故选：B．【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可；（2）求出∠C＝18°+∠B，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可．【解答】解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°，∵AE是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC＝44°，∵AD是高，∴∠AC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣30°＝14°；（2）∵∠C﹣∠B＝18°，∴∠C＝18°+∠B，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣∠B﹣（18°+∠B）＝162°﹣2∠B，∵AE是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC＝81°﹣∠B，∵AD是高，∴∠AC＝90°，∵∠C＝18°+∠B，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣（18°+∠B）＝72°﹣∠B，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝（81°﹣∠B）﹣（72°﹣∠B）＝9°．【变式2-3】（2022春•锡山区期中）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC 的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠AOB的度数．【分析】（1）由直角三角形的性质可求解∠C＝60°，利用三角形的内角和定理可求解∠ABC＝40°，再根据角平分线的定义可求解；（2）由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC可求解∠BAD＝50°，由角平分线的定义可求解∠ABO ＝∠EBC＝20°，由三角形的内角和定理可求解．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形，∵∠DAC＝30°，∴∠C＝90°﹣∠DAC＝60°，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°，∵BE是△ABC的平分线，∴∠EBC=12∠ABC＝20°；（2）∵∠BAC＝80°，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝50°，由（1）可知∠EBC＝20°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABO＝∠EBC＝20°，在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝110°．【题型3三角形内角和定理与平行线的性质综合】【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点C在边DF上，AC，BC分别交DE于点G，H．若BC∥EF，则∠AGD的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠ACB（即∠HCG）的度数，由BC ∥EF，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠GHC的度数，在△HCG中，利用三角形内角和定理可求出∠HGC的度数，再结合对顶角相等可得出∠AGD的度数．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，即∠HCG＝45°．∵BC∥EF，∴∠GHC＝∠E＝60°，∴∠HGC＝180°﹣∠GHC﹣∠HCG＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠AGD＝∠HGC＝75°．故选：D．【变式3-1】（2022春•兴宁区校级期末）如图，在△ABG中，D为AG上一点，AB∥DC，点E是边AB上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，则∠BDF的度数为（）A．50°B．40°C．45°D．36°【分析】根据平行线的性质可得∠EBD＝∠BDC，根据角平分线的定义可得∠EDB＝∠BDC，设∠EDB＝∠BDC＝x°，表示出∠GDE，根据角平分线的性质可得∠EDF，再根据∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE，求解即可．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠EBD＝∠BDC，∵∠EBD＝∠EDB，∴∠EDB＝∠BDC，设∠EDB＝∠BDC＝x°，∵∠GDC＝72°，∴∠GDE＝2x°+72°，∵DF平分∠EDG，∴∠EDF=12∠EDG＝x°+36°，∴∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE＝x°+36°﹣x°＝36°，故选：D．【变式3-2】（2022春•泌阳县期末）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）【分析】延长AO交BC于点E，根据垂直的定义得到∠AOB＝∠BOE＝90°，根据三角形内角和得出∠BAO＝50°，根据角平分线的定义得到∠EAC＝50°，根据平行线的性质得到∠EOD＝50°，根据角的和差即可得解．【解答】解：延长AO交BC于点E，∵BO⊥AO，∴∠AOB＝∠BOE＝90°，∵∠ABO＝40°，∴∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝50°，∵AO平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAO＝50°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝140°．【变式3-3】（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．【分析】（1）先根据垂直等于得到∠ABC＝90°，则∠C+∠BAC＝90°，再证明2∠C+∠EAB＝180°，加上2∠1+∠EAB＝180°，则∠1＝∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论；（2）先根据三角形内角和定理可计算出计算出∠BAC＝18°，则∠EAD＝18°，根据三角形内角和定理得到∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，从而可求出∠CBE的度数．【解答】（1）证明：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵AD是△ABE的角平分线，∴∠BAC=12∠EAB，∴∠C+12∠EAB＝90°，即2∠C+∠EAB＝180°，∴∠1＝∠C，∴EF∥BC；（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，∴∠BAC＝18°，∴∠EAD＝∠BAC＝18°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，∴∠CBE＝24°．【题型4三角形内角和定理与折叠性质综合】【例4】（2022春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为°．【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA ＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠ABC＝72°．故答案为：72．【变式4-2】（2021春•丹阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，将△ABC沿MN折叠，使点C与点O重合，若∠AOB＝135°，则∠1+∠2=°．【分析】根据折叠的性质得到对应角相等，推出∠1+∠2＝2∠MON，根据垂直的定义得到∠ODN＝∠OEM＝90°，利用平角的定义得到∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，即可求出结果．【解答】解：由折叠性质可知，∠OMN＝∠CMN，∠ONM＝∠CNM，∠MON＝∠MCN，∴∠1＝180°﹣2∠CMN，∠2＝180°﹣2∠CNM，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）＝2∠MCN＝2∠MON，∵∠AOB＝135°，∴∠BOD ＝45°，∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ODN ＝∠OEM ＝90°，∴∠DON ＝90°﹣∠2，∠EOM ＝90°﹣∠1，∵∠BOD +∠DON +∠MON +∠EOM ＝180°，即45°+90°﹣∠2+90°﹣∠1+12（∠1+∠2）＝180°，∴12（∠1+∠2）＝45°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90．【变式4-3】（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC ，已知∠B ＝30°，∠C ＝50°，点D 在边AB 上，请在边BC 上找一点E ，将纸片沿直线DE 折叠，点B 落在点F 处，若EF 与三角形纸片ABC 的边AC 平行，则∠BED 的度数为．【分析】分两种情况：①当点F 在AB 的上方时，②当点F 在BC 的下方时，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题．【解答】解：①当点F 在AB的上方时，如图：∵AC ∥EF ，∠C ＝50°，∴∠BEF ＝∠C ＝50°，∴∠BED ＝∠FED =12∠BEF =12×50°＝25°；②当点F 在BC 的下方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠CEF＝∠C＝50°，∵∠F＝∠B＝30°，∴∠BGD＝50°+30°＝80°，∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∴∠BDE=12∠BDG=12×70°＝35°，∴∠BED=115°；综上所述，∠BED的度数为25°或115°．故答案为：25°或115°．【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△ABC中，∠A＝110°，点D在△ABC内，将射线BA 沿直线BD翻折，将射线CA沿直线CD翻折，两射线交于点E，若∠BEC＝150°，则∠BDC的度数为．【分析】当点E在△ABC外时，根据四边形的内角和求出∠ABE+∠ACE，再由折叠性质求得∠ABD+∠ACD，由三角形内角和求得∠ABC+∠ACB，便可求得∠CBD+∠BCD，最后由三角形内角和求得∠BDC；当点E在△ABC内时，根据三角形内角和求出结果便可．【解答】解：当点E在△ABC外时，如图，∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，∴∠ABE+∠ACE＝360°﹣110°﹣150°＝100°，由折叠性质知，∠ABD＝∠EBD=12∠ABE，∠ACD＝∠ECD=12∠ACE，∴∠ABD+∠ACD=12×100°=50°，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝70°，∴∠CBD+∠BCD＝70°﹣50°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣20°＝160°，当点E在△ABC内时，如图，∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣110°＝70°，∠EBC+∠ECB＝180°﹣150°＝30°，∴∠ABE+∠ACE＝＝70°﹣30°＝40°，由折叠性质知，∠DBE=12∠ABE，∠DCE=12∠ACE，∴∠DBE+∠DCE=12（∠ABE+∠ACE）＝20°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBE+∠DCE+∠EBC+∠ECB＝50°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）130°，故答案为：160°或130°．【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】【例5】（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是．【分析】根据三角形内角和定理以及分类讨论的思想解决本题．【解答】解：设这个“倍角”三角形的三个内角分别为α、β、γ，其中α＝2β，则可能出现以下几种情况：①当α＝99°时，则β＝49.5°；②当β＝99°时，则α＝198°，该种情况不存在；③当γ＝99°时，则α+β+γ＝2β+β+99°＝180°，故β＝27°，α＝54°．综上：α＝99°或54°．故答案为：99°或54°．【变式5-1】（2022春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â是另外一个内角á的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，á为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为．【分析】利用“友好三角形”的定义讨论：当三角形的另一个内角为72°时，可确定“友好角á”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，可确定“友好角á”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x ，2x 时，利用三角形内角和求出x ＝48°，所以2x ＝96°，从而得到“友好角á”的度数．【解答】解：∵一个“友好三角形”中有一个内角为36°，∴当三角形的另一个内角为72°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x，2x时，则x+2x+36°＝180°，解得x＝48°，2x＝96°，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为96°；综上所述，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°或72°或96°．故答案为：36°或72°或96°．【变式5-2】（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC 中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD 为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，故答案为：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON 于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC 上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON 于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝18°，△AOB是（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC 上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断；（2）根据“完美三角形”的概念证明即可；应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可．【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB为“完美三角形”，故答案为：18；是；（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE ＝∠CDE ，∴∠B ＝∠BCD ，∵△BCD 是“完美三角形”，∴∠BDC ＝4∠B ，或∠B ＝4∠BDC ，∵∠BDC +∠BCD +∠B ＝180°，∴∠B ＝30°或∠B ＝80°．【题型6运用三角形内角和定理探究角的数量关系】【例6】（2021秋•青田县期末）如图，直线l ∥线段BC ，点A 是直线l 上一动点．在△ABC 中，AD 是△ABC 的高线，AE 是∠BAC 的角平分线．（1）如图1，若∠ABC ＝65°，∠BAC ＝80°，求∠DAE 的度数；（2）当点A 在直线l 上运动时，探究∠BAD ，∠DAE ，∠BAE 之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAE =12∠BAC ＝40°．而∠BAD ＝90°﹣∠ABD＝25°，利用角的和差关系可得答案；（2）根据高在形内和形外进行分类，再根据AB ，AC ，AD 为位置进行讨论．【解答】解：（1）∵AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAE =12∠BAC ＝40°．∵AD 是△ABC 的高线，∴∠BDA ＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；（2）如图1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；如图2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；如图3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD；如图4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．【变式6-1】（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的内角和定理即可求解；（2）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义得∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，从而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度数；（3）仿照（2）的过程进行求解即可．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，∴∠CBO=12∠ABC＝20°，∠BCO=12∠ACB＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°；（2）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°；（3）由题意得：∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ，∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠CBO =12∠ABC ，∠BCO =12∠ACB ，∴∠CBO +∠BCO =12（∠ABC +∠ACB ）＝90°−12∠A ，∴∠BOC ＝180°﹣（∠CBO +∠BCO ）＝90°+12∠A ，即∠BOC ＝90°+12∠A ．【变式6-2】（2022春•海门市期末）已知：△ABC ，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，连接BD ，CE ，BD 与CE 交于点O ，∠BOC ﹣∠BAC ＝54°．（1）如图1，当BD ，CE 都是△ABC 的角平分线时，求∠BOC 的度数；（2）如图2，当BD ，CE 都是△ABC 的高时，求∠BOC 的度数；（3）如图3，当∠ABD ＝2∠ACE 时，探究∠BEO 与∠CDO 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可；（2）根据高的定义，三角形内角和定理以及图形中角之间的和差关系进行计算即可；（3）利用三角形内角和定理，四边形的内角和以及角之间的和差关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵BD ，CE 都是△ABC 的角平分线，∴∠DBC ＝∠ABD =12∠ABC ，∠ECB ＝∠ACE =12∠ACB ，∴∠DBC +∠ECB =12（∠ABC +∠ACB ）=12（180°﹣∠BAC）＝90°−12∠BAC，∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（90°−12∠BAC）＝90°+12∠BAC，又∵∠BOC﹣∠BAC＝54°，即90°+12∠BAC﹣∠BAC＝54°，∴∠BAC＝72°，∴∠BOC＝90°+12∠BAC＝90°+36°＝126°；（2）∵BD，CE都是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A+∠ADB+∠DOE+∠AEC＝360°，∴∠A+90°+∠DOE+90°＝360°，∴∠A＝180°﹣∠DOE，∵∠DOE＝∠BOC，∴∠A＝180°﹣∠BOC，∵∠BOC﹣∠A＝54°，∴∠BOC﹣（180°﹣∠BOC）＝54°，∴∠BOC＝117°．（3）∠ODC﹣∠BEO＝18°，理由如下：∵∠BEO＝∠A+∠ACE，∴∠BOC＝∠BEO+∠ABD＝∠A+∠ACE+∠ABD，∴∠BOC﹣∠A＝∠ACE+∠ABD．∵∠BOC﹣∠A＝54°，∴∠ABD＝2∠ACE，∴54°＝∠ACE+2∠ACE，∴∠ACE＝18°，∴∠ABD＝2×18°＝36°，∵∠BOC＝∠ODC+∠DCO＝∠BEO+∠ABD，∴∠BEO+36°＝∠ODC+18°，∴∠ODC﹣∠BEO＝18°．【变式6-3】（2022春•辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度30a152030上表中a＝，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为．（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为°．【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系，（2）分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAE和﹣BAD即可得出答案，（3）分析同（2）．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴Rt△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）=12（180°﹣30°﹣70°）＝40°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣40°＝20°，∴a＝20，故答案为：20；2∠EAD＝∠C﹣∠B．（2）如图，过点A作AF⊥BC于F，∵PD⊥BC，AF⊥BC，∴PD∥AF，∴∠EPD＝∠EAF，∵△ABC内角和为180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC＝90°−∠�+∠�2，同时∠BAF＝90°﹣∠B，∴可得出∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE=∠�−∠�2=∠EPD，综上所述，∠EPD=∠�−∠�2；（3）同理（2），依旧可得∠EFD=∠�−∠�2=28°，故答案为：28．【知识点2直角三角形的判定】直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．【题型7判断直角三角形】【例7】（2021春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，∴5x+2x+3x＝180°，解得：x＝18°，∴∠A＝18°×5＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A＝180°，∴∠A＝（108011）°，∴△ABC为钝角三角形．∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，故选：C．【变式7-1】（2022秋•旌阳区校级月考）在下列条件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）根据三角形内角和定理列式计算，根据直角三角形的概念判定即可．【解答】解：（1）∵∠A +∠B ＝∠C ，∠A +∠B +∠C ＝180°，∴2∠C ＝180°，解得：∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形；（2）设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，由三角形内角和定理得：x +2x +3x ＝180°，解得：x ＝30°，∴∠C ＝30°×3＝90°，∴△ABC 是直角三角形；（3）∵∠A ＝∠B =12∠C ，∠A +∠B +∠C ＝180°∴12∠C +12∠C +∠C ＝180°，解得：∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形；（4）∵∠A =12∠B =13∠C ，∴∠C ＝3∠A ，∠B ＝2∠A ，∴∠A +∠B +∠C ＝3∠A +2∠A +∠A ＝180°，解得：∠A ＝30°，∴∠C ＝3∠A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．所以能确定△ABC 是直角三角形的有共4个，故选：D ．【变式7-2】（2021秋•谢家集区期中）如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝62°，AE平分∠BAC．（1）求∠BAE；（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠BAE的度数；（2）由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠BAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数．【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12×88°＝44°；（2）证明：∵AD⊥BC；∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°，∵∠ADF＝74°，∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°，∴∠AFD＝90°，∴△ADF是直角三角形．【变式7-3】（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．【分析】（1）根据“奇妙三角形”的定义，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即证明△ABD为“奇妙三角形”．（2）由三角形的内角和知，A+∠B＝100°，由△ABC为“奇妙三角形”得出∠C+2∠B ＝100°或∠C+2∠A＝100°两种情况，计算得∠B＝90°或∠A＝90°，从而证明△ABC 是直角三角形．（3）由三角形的内角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC为“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°两种情况，求得∠C＝80°或100°．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．在△ABC中，∵∠ACB＝80°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，即∠A+2∠ABD＝100°，∴△ABD为“奇妙三角形”．（2）证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，∴∠B＝10°或∠A＝10°，当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．由此证得，△ABC是直角三角形．（3）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵△ABD为“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴∠C＝80°；②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，∴∠C＝100°；综上得出：∠C的度数为80°或100°．【知识点3直角三角形的性质】直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．【题型8运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】【例8】（2022秋•宁晋县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．【变式8-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF ＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（）个．A．5B．4C．3D．2【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，∴∠BAC+∠EDF＝180°，∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，∴∠E＝∠BME＝∠AMF，∵EF⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∴∠E＝∠C，故与∠E相等的角有3个，故选：C．【变式8-2】（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．【解答】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD＝36°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC＝18°，∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AEF＝∠AFE．【变式8-3】（2022春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE ⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．【分析】（1）根据条件易求∠ACE＝∠D，进而可证明结论；（2）通过判定AD∥BC可得∠BEC+∠EBC＝90°，根据直角三角形的性质结合角平分线的定义可得2∠EBC+∠ECD＝90°，进而可证明结论；（3）由对顶角的定义结合角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．。

初一数学三角形的内角和试题

初一数学三角形的内角和试题1.一个三角形的三个内角中，至少有（）A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角【答案】B【解析】根据三角形的内角和定理判断即可．三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角，故选B．【考点】本题考查的是三角形的内角和定理点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的三个内角和是180°．2.已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】B【解析】根据多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题．∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，∴这个多边形是四边形，故选B.【考点】本题考查的是多边形的外角和点评：解答本题的关键是熟练掌握任意多边形的外角和均是360度，与边数无关。

3.若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是( )A．9B．8C．7D．6【答案】B【解析】根设这个多边形的边数是n，据多边形的内角和公式即可得到结果。

设这个多边形的边数是n，由题意得，解得，故选B.【考点】本题考查的是多边形的内角和公式点评：解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是( )A．十三边形B．十二边形C．十一边形D．十边形【答案】A【解析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，由此可得到答案．设这个多边形是n边形．依题意，得n-3=10，∴n=13，故选A.【考点】本题考查的是多边形的对角线点评：多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n-3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形．5.一个多边形边数增加1，则这个多边形内角增加，外角增加 .【答案】180度，0度【解析】根据多边形的内角和公式，多边形的外角和为360度即可得到结果。

2022年北师七下《三角形的内角和2》同步练习(附答案)

1.几位同学用三根木棒拼成的图形如下图,那么其中符合三角形定义的是()2.如图,过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形.(1)其中以AB为一边可以画出____________个三角形;(2)其中以C为顶点可以画出____________个三角形.3.如图,以CD为公共边的三角形是____________;∠EFB是____________的内角;在△BCE中,BE所对的角是____________,∠CBE 所对的边是____________;以∠A为公共角的三角形是____________.△ABC中,假设∠A=95°,∠B=40°,那么∠C的度数为()A.35°B.40°C.45°D.50°△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,那么∠C等于()A.45°B.60°C.75°D.90°6.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°,那么∠EFD等于()A.80°B.75°C.70°D.65°7.在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,那么另一个锐角的度数是()A.120°B.90°C.60°D.30°8.(如图,直线a∥b,直线l与a,b分别相交于A,B两点,过点A作直线l 的垂线交直线b于点C,假设∠1=58°,那么∠2的度数为()A.58°B.42°C.32°D.28°9.如图,将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上,如果∠2=60°,那么∠1的度数为()A.60°B.50°C.40°D.30°△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,那么△ABC的形状是() 11.如下图的三角形被木板遮住了一局部,这个三角形是()12.根据以下条件,判断△ABC的形状.(1)∠A=40°,∠B=80°;(2)∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7.提升训练13.如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:(1)图中有多少个三角形并把它们表示出来.(2)△BDF的三个顶点是什么三条边是什么(3)以AB为边的三角形有哪些(4)以F为顶点的三角形有哪些14.如图,请猜测∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数,并说明你的理由.15.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形.16.(1)如图①,CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,图中有与∠A相等的角吗为什么(2)如图②,把图①中的CD平移到ED处,图中还有与∠A相等的角吗为什么(3)如图③,把图①中的CD平移到ED处,交BC的延长线于点E,图中还有与∠A相等的角吗为什么参考答案1.【答案】D2.【答案】(1)3(2)6解：(1)其中以AB为一边可以画出3个三角形,分别为△ABE,△ABD,△ABC;(2)其中以C为顶点可以画出6个三角形,分别为△ABC,△BCD,△BCE,△ADC,△DEC,△ACE.3.【答案】△CDF与△BCD;△BEF;∠BCE;CE;△ABD,△ACE和△ABC4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】D12.解:(1)∠C=180°-∠A-∠B=60°,因为40°<60°<80°<90°,所以△ABC是锐角三角形.(2)设∠A=2x,∠B=3x,∠C=7x,那么2x+3x+7x=180°,解得x=15°.所以∠C=7×15°=105°.所以△ABC是钝角三角形.13.解:(1)8个:△ABC,△ABF,△ABE,△ABD,△BDF,△AEF,△ACD,△BCE(2)三个顶点:B,D,F三条边:BD,BF,DF(3)△ABC,△ABF,△ABD,△ABE(4)△ABF,△BDF,△AEF14.解:猜测:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.理由:因为∠A+∠B+∠AMB=180°,∠AMB+∠BMP=180°,所以∠BMP=∠A+∠∠ENM=∠E+∠F,∠MPC=∠C+∠∠BMP+∠ENM+∠MPC=(180°-∠NMP)+(180°-∠MNP)+(180°-∠MPN)=540°-(∠NMP+∠MNP+∠MPN)=360°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.分析：此题不能直接求出每个角的度数,但可将这些角放置在不同三角形中,根据三角形内角和等于180°和补角的定义,得出∠BMP=∠A+∠B,∠ENM=∠E+∠F,∠MPC=∠C+∠D,然后运用这些条件并结合三角形内角和等于180°和补角求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠转化思想和整体思想.15.解:因为AB∥CD,所以∠BEF+∠DFE=180°.又因为EP平分∠BEF,FP平分∠DFE,所以∠PEF=∠BEF,∠PFE=∠DFE.所以∠PEF+∠PFE=(∠BEF+∠DFE)=90°. 又因为∠PEF+∠PFE+∠P=180°,所以∠P=90°.所以△PEF是直角三角形.16.解:(1)有.理由:因为CD⊥AB,所以∠B+∠BCD=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠BCD=∠A.(2)有.理由:因为ED⊥AB,所以∠B+∠BED=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠BED=∠A.(3)有.理由:因为ED⊥AB,所以∠B+∠E=90°.因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠E=∠A.第四章三角形一、选择题1.以下长度的三条线段能组成三角形的是〔〕A. 5cm 2cm 3cmB. 5cm 2cm 2cmC. 5cm 2cm 4cmD. 5cm 12cm 6cm2.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是〔〕A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. ①②③都带去3.不能判定两个三角形全等的条件是〔〕A. 三条边对应相等B. 两角及一边对应相等C. 两边及夹角对应相等D. 两边及一边的对角相等4.一个角的平分线的尺规作图的理论依据是〔〕A. SASB. SSSC. ASAD. A AS5.三角形两条边分别为3和7，那么第三边可以为〔〕A. 2B. 3C. 9D. 1 06.以下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定。

北师大版七年级下册数学三角形的内角和同步测试题

1.几位同学用三根木棒拼成的图形如图所示,则其中符合三角形定义的是()2.如图,过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形.(1)其中以AB为一边可以画出____________个三角形;(2)其中以C为顶点可以画出____________个三角形.3.如图,以CD为公共边的三角形是____________;∠EFB是____________的内角;在△BCE中,BE所对的角是____________,∠CBE 所对的边是____________;以∠A为公共角的三角形是____________.4.在△ABC中,若∠A=95°,∠B=40°,则∠C的度数为()A.35°B.40°C.45°D.50°5.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于()C.75°D.90°6.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°,则∠EFD等于()A.80°B.75°C.70°D.65°7.在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是()A.120°B.90°C.60°D.30°8.(如图,直线a∥b,直线l与a,b分别相交于A,B两点,过点A作直线l 的垂线交直线b于点C,若∠1=58°,则∠2的度数为()A.58°B.42°C.32°D.28°9.如图,将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上,如果∠2=60°,那么∠1的度数为()A.60°B.50°C.40°D.30°10.在△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形或钝角三角形11.如图所示的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能12.根据下列条件,判断△ABC的形状.(1)∠A=40°,∠B=80°;(2)∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7.提升训练13.如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:(1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来.(2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?(3)以AB为边的三角形有哪些?(4)以F为顶点的三角形有哪些?14.如图,请猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数,并说明你的理由.15.如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形.等的角吗?为什么?(2)如图②,把图①中的CD平移到ED处,图中还有与∠A相等的角吗?为什么?(3)如图③,把图①中的CD平移到ED处,交BC的延长线于点E,图中还有与∠A相等的角吗?为什么?参考答案1.【答案】D2.【答案】(1)3(2)6解：(1)其中以AB为一边可以画出3个三角形,分别为△ABE,△ABD,△ABC;(2)其中以C为顶点可以画出6个三角形,分别为△ABC,△BCD,△BCE,△ADC,△DEC,△ACE.3.【答案】△CDF与△BCD;△BEF;∠BCE;CE;△ABD,△ACE和△ABC4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】D12.解:(1)∠C=180°-∠A-∠B=60°,因为40°<60°<80°<90°,所以△ABC是锐角三角形.(2)设∠A=2x,∠B=3x,∠C=7x,则2x+3x+7x=180°,解得x=15°.所以∠C=7×15°=105°.所以△ABC是钝角三角形.13.解:(1)8个:△ABC,△ABF,△ABE,△ABD,△BDF,△AEF,△ACD,△BCE(2)三个顶点:B,D,F三条边:BD,BF,DF(3)△ABC,△ABF,△ABD,△ABE(4)△ABF,△BDF,△AEF14.解:猜想:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.理由:因为∠A+∠B+∠AMB=180°,∠AMB+∠BMP=180°,所以∠BMP=∠A+∠B.同理得∠ENM=∠E+∠F,∠MPC=∠C+∠D.又因为∠BMP+∠ENM+∠MPC=(180°-∠NMP)+(180°-∠MNP)+(180°-∠MPN)=540°-(∠NMP+∠MNP+∠MPN)=360°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.分析：此题不能直接求出每个角的度数,但可将这些角放置在不同三角形中,根据三角形内角和等于180°和补角的定义,得出∠BMP=∠A+∠B,∠ENM=∠E+∠F,∠MPC=∠C+∠D,然后运用这些条件并结合三角形内角和等于180°和补角求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数..15.解:因为AB∥CD,所以∠BEF+∠DFE=180°.又因为EP平分∠BEF,FP平分∠DFE,所以∠PEF=∠BEF,∠PFE=∠DFE.所以∠PEF+∠PFE=(∠BEF+∠DFE)=90°. 又因为∠PEF+∠PFE+∠P=180°,所以∠P=90°.所以△PEF是直角三角形.16.解:(1)有.理由:因为CD⊥AB,所以∠B+∠BCD=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠BCD=∠A.(2)有.理由:因为ED⊥AB,所以∠B+∠BED=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠BED=∠A.(3)有.理由:因为ED⊥AB,所以∠B+∠E=90°.因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠E=∠A.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12 C.13 D.14 2. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是 A.这个方程是一元二次方程 B.方程C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是 ①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形; ③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形 ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..是 A.23 B.12 C.13 D.49 8.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013 9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342 D.34 10.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________. 12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________. 13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________. 14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1) 15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________. 16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转 (1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果; (2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明 19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..惠，则每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由. 20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F. (1)求证:四边形BEDF 是平行四边形; (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长. 21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗? 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x. 23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长. 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

三角形的内角和练习题

第4课时三角形的内角和(教材例6P67) 一、算出下面各个未知角的度数。

180°－60°－60°180°－125°－30°＝120°－60°＝55°－30°＝60°＝25°180°－90°－45°180°－40°－70°＝90°－45°＝140°－70°＝45°＝70°用三角形的内角和(180°)连续减去已知的两个角的度数或减去这两个角的度数和就是未知角的度数。

二、判一判。

1．一个顶角是80度的等腰三角形，一定是一个钝角三角形。

(×)2．一个三角形可能有两个钝角。

(×)3．将一个三角形剪成两个三角形，那么这两个三角形的内角和都是90°。

(×)4．直角三角形中的两个锐角的和正好等于90°。

(√)三、求出三角形各个角的度数。

(180°－110°)÷2＝70°÷2＝35°两个底角是35°。

180°－90°－30°＝90°－30°＝60°另一个锐角是60°。

180°÷3＝60°三个角都是60°。

四、下面是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，你能判断出它们原来各是什么三角形吗？(1)钝角三角形(2)等边三角形(3)直角三角形五、一块等腰三角形广告牌，一个底角是40°，它的顶角是多少度？180°－40°×2＝180°－80°＝100°答：它的顶角是100°。

六、如下图，已知∠1＝90°，∠4＝65°，求∠2、∠3的度数。

《三角形的内角和》测试题

《三角形的内角和》测试题A 组1、在△ABC 中， ∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝。

2、一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是三角形。

3、在△ABC 中， ∠A －∠B ＝36°，∠C ＝2∠B ，则∠A ＝，∠B ＝，∠C ＝。

4、如图，DE ∥BC ，∠ADE ＝60°，∠C ＝50°，则∠A ＝。

5、多边形的每个内角都是每个外角的4倍，则这个多边形的边数是。

6、多边形的边数增加1，则内角和增加度，而外角和＝。

7、如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么那么这个多边形是边形。

8、直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这两个锐角的度数为。

9、如图，在四边形ABCD 中，∠1、∠2分别是∠BCD 和∠BAD 的补角，且∠B ＋∠ADC ＝140°，则∠1＋∠2＝。

10、一个多边形的外角中钝角的个数最多只能有个。

11、如图，AD 平分∠BAC ，其中∠B ＝50°，∠ADC ＝80°，求∠BAC 、∠C 的度数。

12、如图，已知∠B ＝40°，∠C ＝59°，∠DEC ＝47°，求∠F 的度数。

B C第4题图第9题图 A 2 1 B C D B D C13、如图，求∠α的度数。

14、如图，已知△ABC 中，已知∠B ＝65°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 的度数。

B 组1、如图，与∠FDB 成内错角的是，与∠DFB 成同旁内角的是。

2、如图，D 是AB 上一点，CE ∥BD ，CB ∥ED ，EA ⊥BA 于A ，若∠ABC ＝38°，则∠AED ＝。

3、在△ABC 中，∠A ＝40°，∠B －∠C ＝60°，则∠C ＝，按角分，这是三角形。

[数学]-专项7.5三角形的内角和与外角和专项提升训练(重难点培优)-【】2022-2023学年七年

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题7.5三角形的内角和与外角和专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•楚雄州期末）在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝35°，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形2．（2022•天津模拟）直角三角形的一锐角是50°，那么另一锐角是（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．（2021秋•绥德县期末）如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，连接CE，下列结论不一定正确的是（）A．∠BCD＞∠A B．∠BCD＞∠1 C．∠2＞∠3 D．∠BCD＝∠A+∠B4．（2022春•九龙坡区校级月考）如图，已知AD和AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝56°，∠EAD＝10°，则∠C的度数为（）A．80°B．76°C．74°D．66°5．（2022秋•江汉区期中）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（）A．42°B．40°C．38°D．35°6．（2022秋•延平区校级月考）将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2的度数等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°7．（2022秋•阜阳期中）如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C ＝64°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（）A．44°B．46°C．48°D．50°8．（2022秋•新洲区期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC的度数为（）A．B．C．30°﹣D．45°﹣α二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022秋•阜康市校级月考）在△ABC中，已知∠A＝∠B+∠C，那么△ABC的形状．10．（2022秋•衢江区期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝度．11．（2022•永丰县模拟）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，AD∥BC，则∠D的度数为．12．（2022秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，F在射线AD上，FE⊥BC于E，∠C＝80°，∠B＝36°，则∠F＝度．13．（2022秋•武昌区校级期中）在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，∠BOC＝150°，则∠A 的度数为．14．（2022秋•新田县期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，∠A2021BC的平分线与∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝．15．（2022•寻乌县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A′处，若A′P∥AC，则∠PDA′的度数为．16．（2021秋•昭阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝α，则∠2＝，∠BOC＝．（用含α的式子表示）三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADE的度数．18．（2022秋•中江县校级月考）已知△ABC中，∠B＝5∠A，∠C﹣∠B＝15°，求∠A，∠B，∠C的度数．19．（2022秋•江汉区期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C ＝70°．（1）∠AOB的度数为；（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．20．（2022秋•阜阳期中）如图，在△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于点F，交BC于点D．（1）求证：∠ABC＝∠AFE；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD交BC于点G，EH⊥BE交BC于点H，求∠HEG的度数．21．（2021秋•长乐区期末）如图，在△ABC中，DE∥AC交AB，BC于点D，E，EF平分∠DEB交AB于点F，且∠B＝42°，∠DFE＝73°，求∠A的度数．22．（2021秋•兴庆区校级期末）（1）如图1，已知任意△ABC，过点C作DE∥AB，求证：△ABC的三个内角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°；（2）如图2，求证：∠AGF＝∠AEF+∠F；（3）如图3，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线于点F，∠AGF＝150°，求∠F的度数．23．（2022秋•阜阳期中）如图，△AOB与△COD中的∠AOB与∠COD是对顶角．（1）如图1，证明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，AP，DP分别是∠BAO，∠CDO的平分线，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，∠BAO与∠CDO的相邻补角平分线交于点P，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明．24．（2022春•泰州月考）如果三角形的两个内角a与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．（1）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，求证：△ABD是“奇妙互余三角形”．（2）关于“奇妙互余三角形”，有下列结论：①在△ABC中，若∠A＝130°，∠B＝40°，∠C＝10°，则△ABC是“奇妙互余三角形”；②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．其中，结论正确的有．（填写序号）（3）在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝52°，点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出∠APB的度数．。

三角形内角和外角练习题及作业

三⾓形内⾓和外⾓练习题及作业11.2 与三⾓形有关的⾓习题课⼀、知识要点1、三⾓形内⾓和定理：三⾓形三个内⾓的和等于______，即：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=_____理解与延伸：①⼀个三⾓形中最多只有⼀个钝⾓或直⾓②⼀个三⾓形中最少有⼀个⾓不⼩于60°③等边三⾓形每个⾓都是60°2、直⾓三⾓形的性质与判定性质：直⾓三⾓形的两个锐⾓__________；判定：有两个⾓互余的三⾓形是_______________3、三⾓形的外⾓：三⾓形的⼀边与另⼀边的______________组成的⾓特点：①三⾓形的⼀个外⾓和与它同顶点的内⾓互为_______________②三⾓形有____个外⾓，每个顶点处有____个外⾓，但算三⾓形外⾓和时，每个顶点处只算____个外⾓，外⾓和是指三个外⾓的和，三⾓形的外⾓和为________ 性质：三⾓形的外⾓等于与它______________的两个内⾓的和⼆、知识应⽤1、三⾓形内⾓和定理应⽤(1)已知两⾓求第三⾓ (2)已知三⾓的⽐例关系求各⾓ (3)已知三⾓之间相互关系求未知⾓2、三⾓形外⾓性质的应⽤(1)已知外⾓和它不相邻两个内⾓中的⼀个可求“另⼀个”(2)可证⼀个⾓等于另两个⾓的_______(3)经常利⽤它作为中间关系式证明两个⾓相等．三、例题分析1、如图，⼀种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B = ∠D = 40°则∠C=_______2、如图，⼀个直⾓三⾓形纸⽚，剪去直⾓后，得到⼀个四边形，则∠1＋∠2=_______3、△ABC中，∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°.求△ABC的各内⾓的度数4. 将⼀个直⾓三⾓板和⼀把直尺如图放置，如果∠α＝43°，求∠β的度数5、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数变式：（1）如图①，五⾓形的顶点分别为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____（2）如图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_____（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____6、（1）如图1，BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（2）如图2，BO、CO分别是△ABC两个外⾓∠CBD和∠BCE的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（3）如图3，BO、CO分别是△ABC⼀个内⾓和⼀个外⾓的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（4）请就图2及图2中的结论进⾏证明四、课外作业：A 组题1、如图，已知点B 、C 、D 、E 在同⼀直线上，△ABC 是等边三⾓形，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E=______2、如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______3、把⼀副三⾓板按如图⽅式放置，则两条斜边所形成的钝⾓α=_______度．4、如图，∠1、∠2、∠3的⼤⼩关系为（）A ．∠2＞∠1＞∠3B ．∠1＞∠3＞∠2C ．∠3＞∠2＞∠1D ．∠1＞∠2＞∠35、如果三⾓形的⼀个外⾓和与它不相邻的两个内⾓的和为180°,那么与这个外⾓相邻的内⾓的度数为( )A 、30°B 、60°C 、90°D 、120°6、如图，已知∠1=60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A 、360°B 、540°C 、240°D 、280°7、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，点F 在BC 的延长线上，DE ∥BC ，∠A=46°，∠1=52°，求∠2的度数．8、⼀个零件的形状如图，按规定∠A= 90°，∠B 和∠C ，应分别是32°，和21°，检验⼯⼈量得∠BDC = 148°，就断定这两个零件不合格，运⽤三⾓形的有关知识说明零件不合格的理由。

上海市建平中学西校2020-2021学年七年级下学期数学校本作业14.2(2)三角形的内角和

§14.2（2）三角形的内角和一、填空题：1.求出以下各图中的x .x 52°85°A BCDx =___________ x =___________x =___________ x =___________2.如果一个三角形的三个外角之比为5:3:4，那么这个三角形的最大内角________度.3.如图，已知︒=∠201，AC BE AB CF ⊥⊥，，那么=∠2_________，=∠BPC __________.4.如图，把一副三角板拼在一起，那么=∠α___________.5.如图，三条线段DG 、EM 、FN 两两相交，A 、B 、C 三点是相交后形成的交点，则F E D ∠+∠+∠+∠+G =∠+∠N M ________.6.如图，CD AB //，︒=∠67A ，︒=∠110BPD ,则=∠C ________.x122°115°ACB 5x3x xACB α（第4题）MNE A B CD GF（第5题）P21A CBE F（第3题）A BCDP（第6题）二、选择题：7. 以下说法正确的是（）A .三角形的外角大于内角B .三角形的外角都是钝角C .三角形的外角和为180°D .以上说法都错8.一个三角形的一个外角与这个三角形的一个内角相等，那么这个三角形是（）A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .无法确定三、解答题：9.如图，已知ABC ∆的一个内角A ∠的平分线AD 与外角CBE ∠的角平分线BD 交于点D .如果︒=∠25DAB ，︒=∠35ADB ，求C ∠的度数.10.已知，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，如果1∠=∠B ，那么2∠和BAC ∠有什么数量关系，请说明理由.AB CDE12ABD14.2（2）三角形的内角和一、填空题：1. ︒137；︒28；︒123；︒202. 903. ︒20；︒1104. ︒755. ︒3606. ︒43 二、选择题：7. D8. D 三、解答题：9. ︒70 10. BAC ∠=∠2。

华东师大版七年级下数学第9章《多边形》培优专题2：三角形内角和(无答案)

例题3图 CA DB12 12 同步练习CADBHECOA FECDA第9章《多边形》培优习题2：三角形内角和考点1：三角形的内角和等于180度题型1：已知两个角的度数求第三个角或已知三角关系求角的度数问题例1、在ABC ∆中，如果︒=∠60A ，︒=∠45B ，那么C ∠等于（）A 、115°B 、105°C 、75°D 、45°例2、ABC ∆的三个内角A ∠，B ∠，C ∠满足关系式A C B ∠=∠+∠3，则此三角形（）A 、一定是直角三角形B 、一定是钝角三角形C 、一定有一个内角为45°D 、一定有一个内角为60°【同步练习】1、若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定2、一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形3、一个三角形三个内角的度数之比为4：5：6，这个三角形一定是（）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形例3、如图，点D 在ABC ∆内，且︒=∠120BDC ，︒=∠+∠5521，则A ∠的度数为（）A 、50°B 、60°C 、65°D 、75°【同步练习】如图，在ABC ∆中，︒=∠50A ，︒=∠301，︒=∠402，D ∠的度数是（） A 、110°B 、120°C 、130°D 、140°题型2：三角形内角和与高线结合解决角度问题例4、如图，ABC ∆中，︒=∠80A ，高BE 和CH 的交点为O ，则BOC ∠等于（）A 、80°B 、120°C 、100°D 、150°考点汇编D E例题4图B C ADE同步练习1BC AD 同步练习2B CAA ′C B例题6图AM NB ′C B同步练习AD【同步练习】如图，在ABC ∆中，高BD ，CF 相交于点E ，若︒=∠52A ，则=∠BEC （） A 、116°B 、128°C 、138°D 、142°题型3：三角形内角和与角平分线结合解决角度例5、如图，在ABC ∆中，︒=∠46B ，︒=∠54C ，AD 平分BAC ∠，交BC 于D ，AB DE //，交AC 于E ，则ADE ∠的大小是（）A 、40°B 、45°C 、50°D 、54°【同步练习】1、如图，在ABC ∆中，︒=∠60A ，︒=∠70C ，BD 平分ABC ∠，BC DE //，则BDE ∠的度数是（）A 、50°B 、25°C 、30°D 、35°2、如图，在ABC ∆中，︒=∠70BAC ，︒=∠60B ，AD 是ABC ∆的角平分线，则ADC ∠的度数是（）A 、95°B 、100°C 、105°D 、110°题型4：三角形内角和与折叠结合解决角度问题例6、如图，将ABC ∆纸片沿MN 折叠，使点A 落在点A '处，若︒=∠50AMN ，MB A '∠的度数是（）A 、20°B 、120°C 、70°D 、80°【同步练习】如图，将一个直角三角形纸片ABC （︒=∠90ACB ），沿线段CD 折叠，使点B 落在B '处，若︒='∠72B AC ，则ACD ∠的度数为（）A 、9°B 、10°C 、12°D 、18°考点2：直角三角形两锐角互余例7、一副三角板如图方式摆放，点D 在直线EF 上，且EF AB //，则ADE ∠的度数是（）EDFACB例题7图OD ACB同步练习11EDACB同步练习21探究应用22 BOCA探究应用3E1DBC探究应用42ECDCAED【同步练习】1、若把一副三角板如图叠放在一起，使顶点O 、D 、C 在一直线上，则AOB ∠等于（） A 、15° B 、30° C 、45° D 、60°2、将一副三角板按如图所示的方式放置，若︒=∠40EAC ，则1∠的度数为（）A 、95°B 、85°C 、105°D 、80°1、一个三角形三个内角的度数的比是2：3：5、则其最大内角的度数为（） A 、60° B 、90° C 、120° D 、150°2、一副三角板按如图方式摆放，且1∠的度数比2∠的度数小20°，则2∠的度数为（）A 、35°B 、40°C 、45°D 、55°3、如图所示，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的角平分线相交于点O ，若︒=∠140BOC ，则A ∠的度数是（）A 、40°B 、90°C 、100°D 、140°4、如图，把ABC ∆纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则A ∠与21∠+∠之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A 、A ∠=∠+∠221B 、A ∠=∠+∠21C 、()A ∠=∠+∠213D 、A ∠=∠+∠2121 5、如图，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若︒=∠24A ，则EDC ∠等于（）A 、42°B 、66°C 、69°D 、77°探究应用AE DCB探究应用8AEDC探究应用9DC B探究应用10EADCB探究应用116、如图，ABC ∆纸片中，︒=∠56A ，︒=∠88C ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD 、则EDB ∠的度数为（）A 、76°B 、74°C 、72°D 、70°7、如图，已知D 为ABC ∆边AB 的中点，E 在边AC 上，将ABC ∆折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若︒=∠65B ，则BDF ∠等于（）A 、65°B 、50°C 、60°D 、57.5° 8、如图，ABC ∆中，︒=∠40A ，若沿图中虚线截去A ∠，则=∠+∠DEB CDE （）A 、140°B 、220°C 、280°D 、360°9、如图，在ABC ∆中，D 为AB 延长线上一点，AC DE ⊥于E ，︒=∠40C ，︒=∠20D ，则ABC ∠的度数为（）A 、50°B 、60°C 、70°D 、80°10、如图，在ADB Rt ∆中，︒=∠90D ，BC 是ABD ∠的角平分线，交AD 于点C ，且︒=∠50A ，则ACB ∠的度数为（）A 、110°B 、120°C 、130°D 、140°11、将一副三角板按如图所示摆放，使点A 在DE 上，DE BC //，其中︒=∠45B ，︒=∠60D ，则AFC ∠的度数是；12、如图，在ABC ∆中，BD 是ABC ∠的角平分线，BC DE //，交AB 于点E ，︒=∠60A ，︒=∠95BDC ，求BED ∠的度数。

七年级数学下册三角形的内角和综合练习题

七年级数学下册三角形的内角和综合练习题一、三角形的内角和1. 三角形内角和的概念在数学中，三角形是指由三个线段组成的图形，在平面几何中有着广泛的应用。

而三角形的内角和指的是三角形内部三个角度的和。

对于任意一个三角形，其内角和恒定为180度。

2. 内角和的计算方法为了计算三角形内角和，我们可以应用以下公式：内角和 = 角A + 角B + 角C其中，角A、角B和角C分别代表三角形的三个内角。

3. 解题方法为了帮助大家更好地理解和掌握三角形的内角和，我将为大家提供一些综合练习题。

请将以下题目中的三个角度相加，并求出三角形的内角和。

题目一：已知三角形ABC中，角A = 30度，角B = 60度，则角C = 180度 - 30度 - 60度 = 90度。

因此，三角形ABC的内角和为180度。

题目二：已知三角形DEF中，角D = 45度，角E = 75度，则角F = 180度 - 45度 - 75度 = 60度。

因此，三角形DEF的内角和为180度。

题目三：已知三角形GHI中，内角和为180度，角G = 50度，角H = 60度，则角I = 180度 - 50度 - 60度 = 70度。

因此，三角形GHI的内角和为180度。

通过以上练习题的计算，我们可以发现，在任意一个三角形中，三个内角的和总是等于180度。

这一特性是十分重要的，也是解决各种三角形问题的基础。

二、综合练习题接下来，我将为大家提供一些关于三角形内角和的综合练习题，希望可以帮助大家更好地巩固和应用所学知识。

1. 已知三角形ABC的内角和为180度，角A = 60度，角B = 30度，求角C的度数。

解: 角C = 180度 - 60度 - 30度 = 90度2. 已知三角形DEF的内角和为180度，角D = 40度，角E = 60度，求角F的度数。

解: 角F = 180度 - 40度 - 60度 = 80度3. 已知三角形GHI的内角和为180度，角G = 120度，角H = 30度，求角I的度数。

初中数学专题--三角形的内角和-练习含答案

11.2.1三角形的内角和基础知识一、选择题1.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60°答案：C2.(20** 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点、分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，与重合，若A ∠=75，则∠1+∠2=（）（A ）150 （B ）210 （C ）105 （D ）答案：A3. (20** 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为372∶∶，则这个三角形一定是（）（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）锐角三角形（D ）钝角三角形答案：D4. (20** 云南省昆明市) 如图，在ABC △中，6733B C ==∠°，∠°，AD 是ABC △的角平分线，则CAD ∠的度数为（）．（A ）40° （B ）45° （C ）50° （D ）55°答案：A5. (20** 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（）（A ）45o （B ）60o （C ）75o （D ）90o 答案：C6. (20** 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（）．A ．225°B ．235°C ．270°D ．与虚线的位置有关答案：C7. (20** 广西来宾市) 如图，在△ABC 中，已知∠A ＝80°，∠B ＝60°，DE ∥BC ，那么∠CED 的大小是（）A ．40°B ．60°C ．120°D ．140°答案：D 8. (20** 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中的度数是（）（A ）75° （B ）90° （C ）105° （D ）120°答案：C9.如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为（）度．A ．180B ．270C ．360D ．540答案：A10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°答案：C11.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB=（）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°1 2答案：D12．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）A ．∠A-∠B=∠CB ．∠A=3∠C ，∠B=2∠CC ．∠A=∠B=2∠CD ．∠A=∠B=21∠C 答案：C13.如图，在三角形ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE ⊥AC 于E,CF ⊥AB 于F,H 是BE 和CF 的交点，则∠EHF=( )A. 100ºB. 110ºC. 120ºD.130º答案：D14．如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．无法确定答案：C二、填空题1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.答案：40°2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.答案：直角；钝角3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.答案：84°4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________.21DC BA答案：80° 5.（20**•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为.答案：30º6. (20** 内蒙古呼和浩特市) 如图，在ABC △中，47B ∠，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点，则AEC ∠=____________．答案：66.5°7. (20** 江苏省徐州市) 将一副直角三角板如图放置．若AE ∥BC ，则∠AFD =°．答案：75°8.如图，AB∥CD，∠A=32°，∠AEB=100°，则∠C 的度数是度．答案：48º9.△ABC 中，∠A=∠B+∠C，则∠A=度．答案：90FEC B A（第15题）10．在△ABC中，已知∠A=21∠B=31∠C，则三角形的形状是三角形．答案：直角三角形11．已知△ABC中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A的度数为度．答案：1208．如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BOC=120°，则∠A=.答案：60º12．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD=.答案：11º13.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度.FED CBA答案：60°14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.答案：360°三、解答题1.在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.设∠A=x°,则∠B=(x+5)°, ∠C=(x+25)°可列方程X+x+5+x+25=180解得：x=50°所以∠A=50°,∠B=55°, ∠C=75°2.已知：如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ．求证：∠P=90°．证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，∴∠PEF=21∠BEF ，∠PFE=21∠DFE ，∴∠PEF+∠PFE=21（∠BEF+∠DFE ）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．3.如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE 的度数；（2）试写出∠DCE 与∠A 、∠B 的之间的关系式．（不必证明）答案：(1)在⊿ABC 中，∠ACB=180º-∠A-∠B=68º,∵CD 是∠ACB 的角平分线∴∠BCD=21∠ACB=34º ∵CE ⊥AB,∠B=72º∴∠BCE=18º∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=34º-18º=16º.(2)∠DCE=21(∠B-∠A). 4.如图，已知在三角形ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．解：∵∠C=∠ABC=2∠A ，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD 是AC 边上的高，则∠DBC=90°-∠C=18°．5.如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数.解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，∴∠XBA+∠XCA=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=140°-90°=50°．6．如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ．（1）若∠ABC=45°，∠ACB=55°，则∠BOC 的度数是；（2）若∠A=80°，求∠BOC 的度数；（3）若∠A=α，∠BOC=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．解：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=21∠ACB，又∠ABC=45°，∠ACB=55°，∴∠DBC=22.5°，∠ECB=27.5°，∴∠BOC=180°-∠DBC -∠ECB=180°-22.5°-27.5°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，又∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=21∠ACB， ∴∠DBC+∠ECB=21（∠ABC+∠ACB）=50°，则∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-50°=130°；（3）β=90+21α，理由如下：∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=21∠ABC、∠0CB=21∠ACB，∴∠OBC+∠0CB=21∠ABC+21∠ACB=21（180°-α）=90°-21α，∴β=180°-（∠OBC+∠0CB）=180°-（90°-21α）=90°+21α． 7．如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠C=60°，AD⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，DF⊥AE 于F ，求∠ADF 的度数．解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°．∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠BAE=21∠BAC=40°，∴∠AED=∠B+∠BAE=80°．∵AD⊥BC，∴∠DAE=90°-80°=10°∵DF⊥AE，∴∠ADF=90°-10°=80．能力提升1.如图，已知:∠1= ∠2，∠3= ∠4，∠C=32°, ∠D=28°,求∠P的度数。

【七年级奥数】第11讲三角形内角和（例题练习）

第11讲三角形内角和——例题一、第11讲三角形内角和1.如图，四边形ABCD为任意的四边形，求它的内角和．【答案】解：连结AC，四边形ABCD就划分成两个三角形，即ABC与ACD，∴四边形ABCD的内角和就等于两个三角形内角和；∵一个三角形的内角和为180°，∴四边形的内角和为180°×2=360°．【解析】【分析】本题通过连结AC，把一个四边形划分成两个三角形，这种方法可以推广，即一般地，要求n边形的内角和，可从它的一个顶点A1出发，连结A1A3，A1A4，…，A1A n，将这个n边形划分成n-2个三角形．因此n边形的内角和为：180°×(n-2)(如图).这个式子可以作为一个公式来用．如求100边形的内角和，则由上面的公式，得出它的内角和为：180°×(100-2)=17640°．2.求证：三角形的外角和等于360°．一般地，n边形的外角和等于360°【答案】证明：如图，△ ABC中，∠1、∠2 ∠3为三个内角，∠4、∠5、∠6为三个外角，我们有，∠1＋∠4=180°，∠2＋∠5=180°，∠3＋∠6=180°．所以∠4＋∠5＋∠6=3×180°-( ∠1＋∠2＋∠3)=3×180°-180°=360°．同理，若∠α1，∠α2… ∠αn°是n边形的n个内角，∠β1，∠β2,…, ∠βn是它们所对应的n个外角，则有，∠α1＋∠β1 =180°，∠α2＋∠β2 =180°，……∠αn +∠βn =180°．所以∠β1+∠β2+…+∠βn =n×180°-( ∠α1+∠α2+…+∠αn )=n×180°-(n-2)×180°=360°．【解析】【分析】三角形有三个内角，根据其对应的外角是其邻补角，可知其外角和=3×180°-三角形的内角和；此方法可以推广，即一般地，要求n边形的外角和，可知由n对邻补角，而这个n边形的内角和为（n-2）×180°．因此n边形的外角和为：n×180°-180°×(n-2)=360°.3.已知一个四边形的第二个内角是第一个内角的3倍，第三个内角是第二个内角的一半，第四个内角比第三个内角大10°．求它的第一个内角．【答案】解：设它的第一个内角为x，则它的第二个内角为3x，第三个内角为x，第四个内角为x ＋10°．由四边形的内角和为360°，知x＋3x＋x＋(x＋10°)=360°，解得x=50°．答:它的第一个内角为50°.【解析】【分析】设第一个内角为x，根据题意分别表示出其他三个内角：3x；x；x+10°；再由四边形的内角和为360°列出方程，解之即可得第一个内角的度数.4.如果一个三角形中最大角是最小角的4倍，求它的最小角的取值范围．【答案】解：设∠A是它的最小角，∠C是最大角，∠B是中间的角，则∠A≤∠B≤∠C，又∠C=4∠A．由可得∠A＋∠A＋4∠A≤180°，即么A≤30°．可得∠A＋4∠A＋4∠A≥180°，即∠A≥20°．所以最小角的取值范围为20°≤4≤30°．【解析】【分析】设∠A≤∠B≤∠C，根据题意知∠C=4 ∠A，再由三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，列出方程组，代入可得：∠A＋∠A+4∠A≤180°，或∠A＋4∠A＋4∠A≥180°，解之即可得出最小角的取值范围.5.如图，在△ ABC中，BD是∠ABC的平分线，CD是外角∠ACE的平分线．求证：∠D= ∠A．【答案】证明：根据三角形外角性质有∠3+∠4=∠1+∠2+∠A．因为BD、CD是∠ABC和∠ACE的平分线，所以∠1=∠2，∠3=∠4．从而2∠4=2∠1+∠A，即∠4=∠1+ ∠A ①在△BCD中，∠4是一个外角，所以∠ 4=∠1+∠D，②由①、②即得∠D=∠A．【解析】【分析】根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形外角性质可得2∠4=2∠1+∠A，∠4=∠1+∠D, 等量代换即可得证.6.如图，在七星形ABCDEFG中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【答案】解：由三角形的外角性质，得，∠1=∠C+∠F，∠2=∠B+∠E，∠4=∠D+∠G，∠3=∠4+∠A=∠D+∠G+∠A．从而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠1+∠2+∠3=180°．【解析】【分析】本题中，所求的7个角很分散，直接求它们的和很困难．因此，我们利用三角形的外角性质，把它们集中到一个三角形中，从而解决问题．7.如图，D为△ABC中一点．证明：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．【答案】证明：如图，延长BD，交AC于点E．因为∠BDC是△CDE的外角，所以∠BDC=∠DEC+∠ACD．又因为∠DEC是△AEB的外角，所以∠DEC=∠A+∠ABD．由以上二式得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．【解析】【分析】延长BD交AC于点E；利用三角形外角的性质可得∠BDC= ∠DEC+∠ACD，∠DEC=∠A+∠ABD，等量代换即可得证.本题的结论常常用到，有人称之为“飞镖定理”．注意D必须在△ABC内(即四边形ABDC是一个在D点凹进去的凹四边形)．否则，结论不成立．8.如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF相交于点G．若∠BDC=140°∠BGC=100°，求∠A的度数.【答案】解:由上例得，∠BGC=∠A+∠2+∠4，①∠BDC=∠A+( ∠1+∠2)+( ∠3+∠4)．②又因为BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，所以∠1=∠2，∠3=∠4.所以②即∠BDC=∠A+2( ∠2+∠4)．③由①×1- ③得∠A=2∠BGC-∠BDC=2×100°-140°=60°．【解析】【分析】根据“飞镖定理”可知∠BGC=∠A+∠2+∠4 ①，∠BDC=∠A+( ∠1+∠2)+( ∠3+∠4)②，再根据角平分线性质得∠1=∠2，∠3=∠4；代入②式变形为∠BDC=∠A+2( ∠2+∠4) ③，再由由①×1- ③得即可求得∠A度数.9.如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE垂直AD于E．求证：∠ACE>∠B．【答案】证明：延长CE交AB于点F．因为AD是∠BAC的平分线，所以∠1=∠2．又因为CE垂直AD，所以∠AEC=∠AEF=90°，在△AEF中，∠AFC=180°-(∠1+∠AEF)，在△AEC中，∠ACE=180°-(∠2+ ∠AEC)，所以∠ACE=∠AFC．因为∠AFC是△BCF的一个外角，所以∠AFC=∠B+∠BCF>∠B．从而∠ACE>∠B．【解析】【分析】延长CE交AB于点F．利用已知条件，构造∠AFC作为桥梁．一方面它等于∠ACE．另一方面，它又是△BFC的一个外角，它应大于不相邻的任一内角，从而解决问题．10.如图，在△ABC中，D、E是BC边上的点，∠BDA=∠BAD，∠CEA=∠CAE，∠DAE=∠BAC．求∠BAC的度数．【答案】解：设∠BAE、∠EAD、∠DAC分别为α，β，γ ，则β=即2β=γ+α①又∠BDA=∠BAD=α+β ，②∠CEA=∠CAE=β+γ ．③在△AED中，内角和为180°，所以由②、③得，(α+β)+(β+γ)+β =180°，④结合①得，5β=180°，β=36°，所以∠BAC=3β =3×36°=108°．【解析】【分析】本题通过设未知数，利用已知条件与三角形的内角和等于180°，建立方程解决问题．。

七年级数学下册专题第8讲三角形重点、考点知识总结及练习

=90°+ 1 ∠A， 2
即 D 90 1 A ． 2
【方法总结】
角平分线把一个角分成两个相等的角，利用倒角可得到角乊间的关系。此题可记住结论：
当 BD、CD 是三角形 ABC 的角平分线时， D 90 1 A 2
【随堂练习】 1．（2017 春•辉县市期末）如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C 的度数．
专题第 8 讲三角形
知识点 1 三角形的三边关系
1、三角形三条边乊间的关系：三角形任意两边乊和大于第三边，三角形任意两边乊差小于第三边． 2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段乊和时，戒当三条线段中最短的线段大于另两条线段乊差时，即可组成三角形”
【典例】
1. 已知 a、b、c 为△ABC 的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【答案】3a﹣b 【解析】解：∵△ABC 的三边长分别是 a、b、c， ∴必须满足两边乊和大于第三边，则： a+b﹣c=（a+b）-c＞0， a﹣b﹣c=a-（b+c）＜0， a﹣b+c=（a+c）-b＞0（即 a﹣b+2c>0），
⊥AC 于 M，探究线段 PK、PM 不 CG 乊间的数量关系．
【解析】解：连接 AP，
∵CG⊥AB，PK⊥AB，PM⊥AC，
∴S△ABC=
1 2
AB•CG，S△ABP=
1 2
AB•PK，S△ACP=
1 2
AC•PM，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴ 1 AB•CG= 1 AB•PK+ 1 AC•PM，

(完整版)三角形内角和综合习题精选(含答案)

三角形内角和综合习题精选一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3)．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度数;（2）在△BED中作BD边上的高;（3）若△ABC的面积为60,BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．如图，DB是△ABC的高,AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E．（1)若∠B=35°,∠ACB=85°，求∠E的度数;（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．5．（1)如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_________ ，∠XBC+∠XCB=_________ ．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．6．如图1，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．（1）求∠P的度数；(2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？(3）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点,∠P与∠A又有怎样的大小关系？(4）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点,∠P与∠A又有怎样的大小关系？【（2)、（3）、(4）小题只需写出结论,不需要证明】7．如图，已知△ABC中,∠B=∠E=40°，∠BAE=60°,且AD平分∠BAE．（1）求证:BD=DE；（2）若AB=CD,求∠ACD的大小．8．如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）若|x+2y﹣5|+｜2x﹣y｜=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问:点A、B在运动的过程中,∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化,请求出其值；若发生变化，请说明理由；(3）如图，延长BA至E,在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H,试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何?请写出你的结论并说明理由．9．如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD,∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠A的度数．10．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．(1）当∠OCD=50°（图1)，试求∠F．（2)当C、D在射线OA、OB上任意移动时(不与点O重合)（图2），∠F的大小是否变化？若变化,请说明理由；若不变化，求出∠F．11．如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C),（1)试说明∠BOA=90°+∠C；（2）当AD是高，判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．12．已知△ABC中，∠BAC=100°．（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线(即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC 的大小；（3)如此类推,若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系,并判断当∠BOC=170°时,是几等分线的交线所成的角．答案与评分标准一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．(1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．(2)．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=(∠C﹣∠B）．（3）．如图(2)若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理。

北师大版七年级数学下册《三角形的内角和》练习题

北师大版七年级数学下册《三角形的内角和》练习题七年级下学期三角形的内角和练题一、填空题（共18分）1.△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，与∠C相邻外角的度数是100°。

2.三角形三个内角的比为2：3：4，则最大的内角是120°。

3.如果△ABC扣，∠A+∠B=∠C—10°，则△ABC是钝角三角形。

4.一个五边形的4个内角都是100°，则第五个内角的度数是80°。

5.一个n边形的内角和与外角和的比为2：1，则n=6.6.三角形三个外角的比为2：3：4，则三个内角的比为3：4：5.二、选择题（共18分）7.一个多边形的每个内角都等于156°，则此多边形是十六边形。

8.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是∠A—∠B=∠C。

9.一个三角形的三个外角中，钝角的个数最少为1个。

10.如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为47πR2.11.___不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第3块。

12.如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜舳和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠___∠6，∠5=∠3，∠2=∠4.若已知∠l=55°，∠3=75°，那么∠2等于65°。

三、解答题（共64分）13.(本题6分)如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数。

解：已知∠A=∠B=∠C=60°，∠D=∠E=∠F=120°。

A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=60°+60°+60°+120°+120°+120°=540°。

14.(本题6分)已知：在△ABC中，∠A+∠B=2∠C，∠A—∠B=20°，求三角形三个内角的度数。