数学归纳法课件

(2)证明：①当 n＝2 时，a2＝5×22 2＝5，猜想成立．
－ห้องสมุดไป่ตู้
②假设 n＝k 时成立，即 ak＝5×2k 2(k≥2，k∈N*)，
－
当 n＝k＋1 时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋„＋ak ＝5＋5＋10＋„＋5×2k－2 5(1－2k－1) ＝5＋ 1－2 ＝5×2k－1.

1 1 1 1 练习 2．用数学归纳法证明 ＋ ＋ ＋„＋ 1· 2 2· 3 3· 4 n(n＋1) n ＝ (n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增 n＋1 添的项是 1 A. k(k＋1) 1 1 B. ＋ k(k＋1) (k＋1)(k＋2) 1 C. k(k＋2) 1 D. (k＋1)(k＋2) ( )
6
(k 1) (k 1) 1 2(k 1) 1
右边
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
练习1．用数学归纳法证明 1＋2＋ „＋(2n ＋ 1) ＝ (n ＋ 1)(2n ＋ 1) 时，在验证 n ＝ 1 成立 时，左边所得的代数式是( ) A． 1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3， 所以左边为1＋2＋3.故应选C.

设{pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果 （1）证明起始命题p1(或p0)成立； （2）在假设pk成立的前提下，推出pk+1也成 立，那么可以断定。{pn}对一切正整数（或自 然数）成立，这种方法叫做数学归纳法。
引例1:已知数列{an}中， a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜 想{an}的通项公式
由题中条件可知： 1 1/2 a1=________, a2=________ 1/3 1/4 a =________, a =________
3 4
…………….. 1/n 猜想： an=________
例题1
例题1：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),
用数学归纳法证明：对所有的 正整数n,有an=1/n
一、概念
1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
归纳法
｛ 不完全归纳法
完全归纳法
❋用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如费马猜想。 ❋用完全归纳法得出的结论可靠，可不便操作。 提出问题：如何找到一个科学有效的方法证明结论的 正确性呢？
数学归纳法的定义
即n=k+1时等式成立. 由（1）（2）可知，对任意n∈N+等式均成立.
[变 1]
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 (2n－1)(2n＋1)
n .(n∈N*) 2n＋1
[分析]
第一步验证 n 取第一个正整数 1 时等式成
立，第二步假定 n＝k(k∈N*)时命题成立，即 1 1 1 k ＋ ＋„＋ ＝ 成立， 并以 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) 2k＋1 1 1 1 此作为条件来推证等式 ＋ ＋„＋ 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) k＋1 1 ＋ ＝ 成立． (2k＋1)(2k＋3) 2(k＋1)＋1
那么当n=k+1时，
1 1 1 1 1 2 4 4 6 68 2k (2k 2) 2(k 1)[2(k 1) 2]
k 1 4(k 1) 4(k 1)(k 2) k ( k 2) 1 (k 1) 2 4(k 1)(k 2) 4(k 1)(k 2) k 1 , 4[(k 1) 1]
[证明]
1 1 (1)当 n＝1 时，左边＝ ＝ ，右边＝ 1×3 3
1 1 ＝ ，左边＝右边，所以等式成立． 2×1＋1 3 (2)假设 n＝k(k≥1)时等式成立，即有 1 1 1 k ＋ ＋„＋ ＝ ， 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) 2k＋1 则当 n＝k＋1 时，
1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) (2k＋1)(2k＋3) k(2k＋3)＋1 k 1 ＝ ＋ ＝ 2k＋1 (2k＋1)(2k＋3) (2k＋1)(2k＋3) 2k2＋3k＋1 k＋1 k＋1 ＝ ＝ ＝ . (2k＋1)(2k＋3) 2k＋3 2(k＋1)＋1 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)、(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．

(
)
B．8 D．10
1 7 ÷ 1－ 2
[答案] B
[ 解析 ] 1 1 1 ∵1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ „ ＋ 7－1 ＝ 2
1 1 ＝ 2 － 26 ＝ 1－2
27－1 127 26 ＝ 64
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
例1 用数学归纳法证明：

[答案] D
[ 解析 ] 1 1 当 n ＝ k 时，等式左边＝ ＋ ＋ „ ＋ 1· 2 2· 3
1 k(k＋1) 1 1 1 当 n＝k＋1 时，等式左边＝1· 2＋2· 3＋„＋k(k＋1)＋ 1 (k＋1)(k＋2) 1 两者比较需添加的项为 . (k＋1)(k＋2) 故应选 D.
1 1 1 127 3．用数学归纳法证明不等式 1＋2＋4＋„＋ n－1> 64 成 2 立时，起始值 n 至少应取为 A．7 C．9
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; 【验证过程】
（2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 根据由(1),(2)可知道，命题对从n0开始的所有 正整数都成立。 【下结论】
这种证明方法叫做 数学归纳法
证明当n=k+1时命题也成立【 . 假设推理过程】
例题2：用数学归纳法证明 n N n(n 1)( 2n 1) 2 2 2 2 1 2 3 n 6
1 1 1 1 n . 2 4 4 6 68 2n(2n 2) 4(n 1)
例3
用数学归纳法证明：
1 1 1 1 n . 2 4 4 6 68 2n(2n 2) 4(n 1) 证明 （1）当n=1时，等式左边 1 1 , 2 4 8 1 1 等式右边 , 所以等式成立. 4(1 1) 8 （2）假设n=k（k∈N+）时等式成立， 1 1 1 k 即 成立, 2 4 4 6 2k (2k 2) 4(k 1)
类 比
骨牌倒下 第1张骨牌倒下 假设第k张骨牌倒下 保证第k+1张倒下
命题成立 a1=1成立 假设ak=1/k成立,若证出 ak+1=1/(k+1)成立
…………………………………………….
…………………………………………….
第n张骨牌倒下
命题an=1/n成立
数学归纳法与自然数有关的命题的两个步骤
对于由不完全归纳法得到的某些与正整数n有关 的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正 确性：

[点评] 证明过程的关键是第二步由n＝k到n ＝k＋1的过渡，要设法将待证式与归纳假设 建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式 变形．
已 知 数 列 {an} 的 第 一 项 a1 ＝ 5 且 Sn － 1 ＝ an(n≥2，n∈N*)， (1) 求 a2 ， a3 ， a4 ，并由此猜想 an 的表达式 ； (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式． [解析] (1)a2＝S1＝a1＝5， a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)．
证明：

1 2 3 1 （1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝ 6
等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，即
k (k 1)( 2k 1) 1 2 3 k 6
2 2 2 2
那么： 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
k (k 1)(2k 1) 2 (k 1) 6 2 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 6 2 (k 1)(2k 7k 6) 6 (k 1)(k 2)(2k 3) 6
故 n＝k＋1 时猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n 2.
－
所以数列{an}的通项公式为
5，n＝1， an＝ n －2 5 × 2 ，n≥2.