高考数学正弦定理和余弦定理
高三高考数学复习课件4-6正弦定理余弦定理
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，
则满足条件的三角形有( )
A．1 个
B．2 个
C．0 个
D．无法确定
(2)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc， 则三内角 A，B，C 的度数依次是________．
π A＝ 3 .
由题意得21bcsin A＝3sain2 A，a＝3，所以 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由 bc＝8，得 b＋c＝ 33. 故△ABC 的周长为 3＋ 33.
【思维升华】 (1)对于面积公式 S＝21absin C＝21acsin B＝12 bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
π 又 0<B<π，∴B＝ 3 . (2)因为 a＝2，c＝ 2， 所以由正弦定理可知，sin2 A＝sin2C， 故 sin A＝ 2sin C.
又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C为△ABC的内角， 故sin C≠0， 则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又 A∈(0，π)，所以 A＝3π 4 .
从而
sin
C＝
1 2sin
A＝
22×
22＝12.
由 A＝3π 4 知 C 为锐角，故 C＝π6 .
故选 B.
π 【答案】 (1) 3 (2)B
高三数学复习(理)：第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理[学生用书P87]1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos_A；b2＝c2＋a2－2ca cos_B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形形式a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ac sin_B＝12ab sinC．(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．常用结论1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin A＋B2＝cos C2；(4)cos A＋B2＝sin C2.2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b ⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错．1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝csin C ，所以sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ，B 的关系为________；若sin A >sin B ，则A ，B 的关系为________．解析：sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ； sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B . 答案：A ＝B A >B3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 解析：由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形[学生用书P88]利用正、余弦定理求解三角形(多维探究) 角度一 求角或三角函数值(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则tan B ＝( )A.5 B ．2 5 C ．4 5D ．8 5(2)(2021·福州市适应性考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos A (sin C －cos C )＝cos B ，a ＝2，c ＝2，则角C 的大小为________．【解析】 (1)方法一：在△ABC 中，cos C ＝23，则sin C ＝53>22，所以C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3.由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得sin B ＝459，易知B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos B ＝19，tan B ＝sin Bcos B ＝4 5.故选C.方法二：在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，所以由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以△ABC 是等腰三角形．过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则BD ＝BC 2－CD 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝5，tan B2＝25＝255，所以tan B＝2tanB21－tan2B2＝4 5.故选C.(2)因为cos A(sin C－cos C)＝cos B，所以cos A(sin C－cos C)＝－cos(A＋C)，所以cos A sin C＝sin A sin C，所以sin C(cos A－sin A)＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，cos A＝sin A，则tan A＝1，又A∈(0，π)所以A＝π4，又asin A＝csin C，即2 sin π4＝2sin C，所以sin C＝12，因为c<a，所以0<C<π4，故C＝π6.【答案】(1)C(2)π6角度二求边长或周长在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.(1)求边长a；(2)(一题多解)求AB边上的高CD的长．【解】(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab得cos 120°＝a2＋（a＋2）2－（a＋4）22a（a＋2），即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.(2)方法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB＝12c×CD，所以CD＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB边上的高CD＝15314.方法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．(3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解．1．(2021·广东省七校联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( )A.32 B ． 2 C.43D. 3解析：选B.由2b sin 2A ＝3a sin B ，及正弦定理可得4sin B ·sin A cos A ＝3sin A sin B ，由于sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝34，又c ＝2b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－2b ×2b ×34＝2b 2，所以ab ＝2，故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sinC．(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC．解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.判断三角形的形状(典例迁移)(2020·重庆六校联考)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【解析】已知等式变形得cos B＋1＝ac＋1，即cos B＝ac①.由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac，代入①得a2＋c2－b22ac＝ac，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．【答案】 A【迁移探究1】(变条件)将“cos2B2＝a＋c2c”改为“c－a cos B＝(2a－b)cosA”，试判断△ABC的形状．解：因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．【迁移探究2】(变条件)将“cos2B2＝a＋c2c”改为“sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．解：因为sin Asin B＝ac，所以ab＝ac，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3，所以△ABC是等边三角形．(1)判定三角形形状的2种常用途径(2)判定三角形形状的3个注意点①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系； ②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c, sin A sin B ·(2－cos C )＝sin 2C2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形解析：选B.将已知等式2a cos B ＝c 利用正弦定理化简得2sin A cos B ＝sin C ， 因为sin C ＝sin ()A ＋B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， 因为A 与B 都为△ABC 的内角， 所以A －B ＝0，即A ＝B .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，所以sin A sin B (2－cos C )＝12(1－cos C )＋12＝1－12cos C ， 所以－12⎣⎡⎦⎤cos ()A ＋B －cos （A －B ）(2－cosC )＝1－12cos C ，所以－12(－cos C－1)(2－cos C)＝1－12cos C，即(cos C＋1)(2－cos C)＝2－cos C，整理得cos2C－2cos C＝0，即cos C(cos C－2)＝0，所以cos C＝0或cos C ＝2(舍去)，所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形，故选B.与三角形面积有关的问题(多维探究)角度一计算三角形的面积(一题多解)(2021·昆明市三诊一模)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝120°，sin C＝217，c＝2，则△ABC的面积等于() A.32B．2 3C.34 D. 3【解析】方法一：由正弦定理bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝2×32217＝7.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得7＝a2＋4＋2a，解得a＝1或a＝－3(舍去)，所以S△ABC＝12ac sin B＝12×1×2×32＝32，故选A.方法二：由正弦定理bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝2×32217＝7.因为sin C＝217，0°<C<60°，所以cos C＝277，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝32×277－12×217＝2114，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×7×2×2114＝32，故选A.【答案】 A求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二已知三角形的面积解三角形(2021·深圳市统一测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2＋b2－c2＝2S.(1)求cos C；(2)(一题多解)若a cos B＋b sin A＝c，a＝5，求b.【解】(1)因为S＝12ab sin C，a2＋b2－c2＝2S，所以a2＋b2－c2＝ab sin C，在△ABC中，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝ab sin C2ab＝sin C2，所以sin C＝2cos C，又sin2C＋cos2C＝1，所以5cos2C＝1，cos C＝±55，又C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos C>0，所以cos C＝55.(2)方法一：在△ABC中，由正弦定理得sin A cos B＋sin B sin A＝sin C，因为sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin A cos B＋sin B sin A＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin B sin A＝cos A sinB，又A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，sin A＝cos A，得A＝π4.因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sin B＝sin A cos C＋cos A sin C＝22×55＋22×255＝31010.在△ABC 中，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝5×3101022＝3.方法二：因为a cos B ＋b sin A ＝c ， a cos B ＋b cos A ＝c ，所以a cos B ＋b sin A ＝a cos B ＋b cos A ， 即sin A ＝cos A ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.在△ABC 中，由正弦定理得c ＝a sin Csin A ＝5×25522＝2 2.因为b ＝c cos A ＋a cos C ， 所以b ＝22×22＋5×55＝3. 方法三：求A 同方法一或方法二．在△ABC 中，由正弦定理得c ＝a sin Csin A ＝5×25522＝22，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2－2b －3＝0，解得b ＝－1(舍去)或b ＝3.所以b ＝3.(或由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－4b ＋3＝0，解得b ＝1或b ＝3.因为当b ＝1时，a 2＋b 2－c 2＝－2<0，不满足cos C >0或a 2＋b 2－c 2＝－2≠2S ，所以应舍去，故b ＝3)已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．在△ABC 中，cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.14 B ．12C.32D.154解析：选D.在△ABC 中，cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c＝2a ；由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·14＝4a 2＝4，解得a＝1，可得c ＝2，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.故选D.2．(2020·成都市诊断性检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b 2＋c 2－a 2＝423bc .(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为2，且2sin B ＝3sin C ，求△ABC 的周长． 解：(1)因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以2bc cos A ＝423bc ，所以cos A ＝223，所以在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝13.(2)因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝16bc ＝2， 所以bc ＝6 2.因为2sin B ＝3sin C ，所以由正弦定理得 2 b ＝3c ，所以b ＝32，c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6，所以a ＝ 6. 所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6.[学生用书P91]高考新声音3 解三角形中的结构不良型开放性问题(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________________？【解题思路】 结合已知条件，根据正弦定理及余弦定理可得a ＝ 3 b ，b ＝c ，选择①ac ＝3，可由a ＝ 3 b ，b ＝c ，求得a ，b ，c 的值，得到结论；选择②c sin A ＝3，可由b ＝c 得到A ，B ，进而求得a ，b ，c 的值，得到结论；选择③c ＝ 3 b ，与b ＝c 矛盾，得到结论．【解】 方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝2π3.由②c sin A＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.方案三：选条件③.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c.由③c＝3b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能随之确定)，在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件下，若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由．(2020·高考北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求；(1)a的值；(2)sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A＝－1 7；条件②：cos A＝18，cos B＝916.解：选①(1)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b ＝11－a ，c ＝7， 得a 2＝(11－a )2＋49－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，所以a ＝8.(2)因为cos A ＝－17，A ∈(0，π)，所以sin A ＝437. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝7×4378＝32，由(1)知b ＝11－a ＝3，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝6 3.选②(1)因为cos A ＝18，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝378.因为cos B ＝916，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin B ＝5716.由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得a 378＝11－a 5716，所以a ＝6.(2)sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝74. 因为a ＋b ＝11，a ＝6， 所以b ＝5.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝1574.[学生用书P301(单独成册)][A 级 基础练]1．(2020·六校联盟第二次联考)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则A ＝( )A ．60°B ．30°或90°C ．60°或120°D ．90°解析：选B.由正弦定理AC sin B ＝ABsin C 得1sin 30°＝3sin C ，所以sin C ＝32，因为AB >AC ，所以C ＝60°或120°，当C ＝60°，B ＝30°时，A ＝90°；当C ＝120°，B ＝30°时，A ＝30°.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A .又sin(B ＋C )＝sin A 且sin A ≠0，所以sin A ＝1，所以A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，故选B.3．(2021·长沙市四校模拟考试)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知2b －a cos C ＝0，sin A ＝3sin(A ＋C )，则bca 2＝( )A.74 B ．149C.23D.69解析：选D.因为2b －a cos C ＝0，所以由余弦定理得2b －a ×a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理得3b 2＋c 2＝a 2 ①.因为sin A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B ，所以由正弦定理可得a ＝3b ②，由①②可得c ＝6b ，则bc a 2＝b ×6b 9b 2＝69.故选D.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2 B ． 3 C.32D ．2解析：选C.因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2或c ＝－1(舍去)，所以由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝32，故选C.5．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( )A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27解析：选A.在△ABC 中，∠A ＝60°.因为2sin B ＝3sin C ，故由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝12bc ·sin A ，可得bc ＝6，所以b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7，所以a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.6．(2020·福州市适应性考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝2ac ，则a ＝________．解析：由题设及正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2a sin C ，所以sin(A ＋B )＝2a sinC ．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2a sin C ，又sin C ≠0，所以a ＝12. 答案：127．(2020·湖北八校第一次联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B －sin A (sin C ＋cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则角C ＝________．解析：因为A＋C＝π－B，所以sin B＝sin(A＋C)＝sin A·cos C＋cos A sin C，因为sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0，所以cos A sin C－sin A sin C＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以A＝π4，由正弦定理得a sin π4＝csin C，又a＝2，c＝2，所以sin C＝12，因为a>c，所以C＝π6.答案：π68．(2020·福州市质量检测)已知钝角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝7，b＝1，若△ABC的面积为62，则a的长为________．解析：因为△ABC的面积S＝12bc sin A，所以62＝12×1×7sin A，所以sin A＝67，所以cos A＝±77，当cos A＝77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝6，此时△ABC为直角三角形(舍去)；当cos A＝－77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝10，经检验，a＝10符合题意．综上，a＝10.答案：109．(2020·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝3c，b＝27，求△ABC的面积；(2)若sin A＋3sin C＝22，求C.解：(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×3c2×cos 150°.解得c＝－2(舍去)，c＝2，从而a＝2 3.△ABC的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)在△ABC 中，A ＝180°－B －C ＝30°－C ，所以 sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C ＝sin(30°＋C )． 故sin(30°＋C )＝22.而0°<C <30°，所以30°＋C ＝45°，故C ＝15°.10．(2020·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ；(2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．解：(1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2A －cos A ＋14＝0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＝0, cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝33sin A ． 由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝33sin π3.即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝12.由于0<B <2π3，故B ＝π2.从而△ABC 是直角三角形．[B 级 综合练]11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( )A ．10B ．12C ．8＋ 3D ．8＋2 3解析：选B.因为△ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以△ABC 为正三角形，所以△ABC 的周长为3×4＝12.故选B.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b >c ，则b c ＝________．解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B 2＝0.因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，所以cosA ＝－12，即A ＝2π3.由余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b >c ，所以b c ＝2.答案：213．(2020·深圳市统一测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(a －c )sin C ，b ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________．解析：利用正弦定理将已知等式转化为(a ＋b )(a －b )＝(a －c )c ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，所以B ＝60°.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理知，2R ＝b sin B ＝43，所以△ABC 的外接圆面积S ＝πR 2＝4π3. 答案：4π314．(2020·广州市调研检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0. (1)求角A 的值；(2)若△ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值．解：(1)因为c sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0，所以由正弦定理得sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A －sin A ·sin C ＝0. 因为sin C >0， 所以32cos A －12sin A ＝0，即tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝3，得bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－12，因为△ABC 的周长为6，即a ＋b ＋c ＝6，所以a 2＝(6－a )2－12，所以a ＝2.[C 级 提升练]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b sin A ＝a ·(2－cosB )．(1)求角B 的大小；(2)D 为边AB 上一点，且满足CD ＝2，AC ＝4，锐角△ACD 的面积为15，求BC 的长．解：(1)由正弦定理得3sin B sin A ＝sin A (2－cos B )，因为A ∈(0，π)，则sin A >0，所以3sin B ＝2－cos B ，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝1， 因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，解得B ＝π3.(2)由题意，可得S △ACD ＝12CD ·CA sin ∠ACD ＝12×2×4sin ∠ACD ＝15，解得sin ∠ACD ＝154. 又因为△ACD 为锐角三角形， 所以cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝14， 在△ACD 中，由余弦定理得AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos ∠ACD ＝42＋22－2×2×4×14＝16，所以AD ＝4，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin A ＝AD sin ∠ACD， 则sin A ＝CD AD ·sin ∠ACD ＝158，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，所以BC ＝AC sin A sin B＝ 5.。
高考数学正弦定理和余弦定理
课堂考点探究
[解析]在△ABC中,由2cos Csin B=sin A及正弦定理可得2bcos C=a,再利用余弦定理可得2b×=a,可得b=c,则该三角形的形状是等腰三角形,故选B.
A
课堂考点探究
(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2=,则△ABC的形状为( )A.等边三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形
[思路点拨] 先利用二倍角的余弦公式化简等式,再利用正弦定理边化角,然后利用两角和的正弦公式进行化简,可得C=,进而判断三角形的形状.[解析]由cos2==,得cos A==,即cos Asin C=sin B,所以cos Asin C = sin(A+C),整理得sin Acos C=0,因为0<A<π,所以sin A≠0,所以cos C=0,因为0<C<π,所以C=,故△ABC为直角三角形.故选D.
D
[总结反思]判定三角形的形状的常用途径:(1)角化边:利用正弦、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.(2)边化角:利用正弦、余弦定理化边为角,通过三角恒等变换,得出三角形内角之间的关系进行判断.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 (1)(多选题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有( )A.若==,则△ABC一定是等边三角形B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2<c2,则△ABC一定是钝角三角形
高考数学总复习 第三章 第七节正弦定理和余弦定理课件 理
sinA＋30°＋ 3≤3 3. 答案：(1)B (2)3 3
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变式探究 (tànjiū)
1．(1)△ABC的内角(nèi jiǎo)A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝ ，
b＝ ，B＝120°，2则a等于 6
()
A.
B．2
C.
D.
6
3
2
(2)在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a
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解析：(1)由余弦定理及已知条件得，a2＋2ba2b－4＝12，即 a2 ＋b2－ab＝4，
又因为△ABC 的面积等于 3，所以12absin C＝ 3，得 ab＝ 4.
联立方程组aa2b＋＝b42，－ab＝4， 解得 a＝2，b＝2.
第二十页，共40页。
(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin A cos A，
解析：(1)由ccooss
故选 D.
(2)由正弦定理得sina A＝sinb B⇒sin
B＝bsian A＝4
3sin 4
30°＝
23，
∵0°<B<180°，
∴B＝60°或 120°.故选 D.
答案：(1)D (2)D
第十四页，共40页。
考点(kǎo 用余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)求边、角 diǎn)二
【例2】 (1)(2012·湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边 分别为a，b，c. 若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
设△ABC的三边(sān biān)为a，b，c，对应的三个角为A，B，
C.
A＋B＋C ＝ π
1．三内角的关系：a_＋__b__>__c，__b__＋__c__>_a. ，c ＋ a > b，
高考数学复习正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理最新考纲考向预测掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.命题趋势以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.核心素养逻辑推理、数学运算1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos__A；b2＝c2＋a2－2ca cos__B；c2＝a2＋b2－2ab cos__C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin__B，c＝2R sin__C；(2)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(3)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab(1)S△ABC＝12a·h(h表示边a上的高)．(2)S△ABC＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径).3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解[注意]上表中A为锐角时，a<b sin A，无解．A为钝角或直角时，a＝b，a<b均无解．常用结论1．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C.(2)cos(A＋B)＝－cos C.(3)sin A＋B2＝cosC2.(4)cos A＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.常见误区1．在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，应注意根据“大边对大角”来取舍．2．在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( )(3)在△ABC 中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若A ＝60°，a 2＝bc ，则sin B sin C ＝( )A.12 B.32 C.35D.34解析：选D.因为a 2＝bc ，所以sin 2A ＝sin B sin C ．因为A ＝60°，所以sin B sin C ＝sin 2A ＝34.故选D.3．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，sin A ＝45，cos C ＝210，则下列结论正确的是( )A ．cos A ＝±35 B ．B ＝π4C ．b ＝522D ．△ABC 的面积为7 2解析：选BC.由sin A ＝45，得cos A ＝±35，由cos C ＝210，得sin C ＝7210，若cos A ＝－35，则sin B ＝sin(A ＋C )＝－17250＜0，与sin B ＞0矛盾，故cos A ＝35，A 错误，则sin(A ＋C )＝22，由sin A ＝45，cos C ＝210，得A ＞π4，C ＞π4，所以A ＋C ＞π2，所以A ＋C ＝3π4，故B ＝π4，B 正确．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝522，C 正确，所以△ABC 的面积为12×4×522×7210＝7，D 错误．4．(易错题)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．解析：由题意得，b sin B ＝c sin C ，即sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b ＜c可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.答案：75°利用正、余弦定理解三角形(2020·高考天津卷节选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝22，b ＝5，c ＝13.(1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝22，b ＝5，c ＝13，有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)在△ABC 中，由正弦定理及C ＝π4，a ＝22，c ＝13，可得sin A ＝a sin Cc ＝21313.(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝csin C ， 所以sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则ab ＝( )A.32 B. 2 C.43D. 3解析：选B.由2b sin 2A ＝3a sin B ，及正弦定理可得4sin B sin A cos A ＝3sin A sin B ．由于sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝34，又c ＝2b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－2b ×2b ×34＝2b 2，所以ab ＝2，故选B.3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°＜C ＜120°，所以C ＋60°＝135°，判断三角形的形状(1)(一题多解)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为________． 【解析】 (1)方法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．方法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ， 故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ， 即A ＝π2或A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【答案】 (1)A (2)等腰三角形或直角三角形【引申探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状．解：方法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．方法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ， 故△ABC 为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形解析：选B.因为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以C ＝120°，△ABC 是钝角三角形，故选B.2．(多选)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的是( )A ．若a cos A ＝b cosB ＝ccos C ，则△ABC 一定是等边三角形 B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形 C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形 D ．若a 2＋b 2－c 2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形解析：选AC.由a cos A ＝b cos B ＝c cos C 及正弦定理得，sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，即tan A ＝tan B ＝tan C ，所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形，A 正确．由a cos A ＝b cos B 及正弦定理得，sin A cos A ＝sin B cos B ，解得sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形，B 不正确．由b cos C ＋c cos B ＝b 及正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B ，所以sin A ＝sin B ，则A ＝B ，所以△ABC 是等腰三角形，C 正确．由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以角C 为锐角．而角A ，B 不一定是锐角，故D 不正确．故选AC.与三角形面积有关的问题 角度一 计算三角形的面积(1)(2020·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°.若a ＝3c ，b ＝27，则△ABC 的面积为________．(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则△ABC 的面积为________．【解析】 (1)由题设及余弦定理得28＝3c 2＋c 2－2×3c 2×cos 150°. 解得c ＝－2(舍去)，c ＝2，从而a ＝2 3. △ABC 的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin π6＝32.【答案】 (1)3 (2)32求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二 已知三角形的面积解三角形(2020·广州市调研检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0.(1)求角A 的值；(2)若△ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值． 【解】 (1)因为c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0， 所以由正弦定理得sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A －sin A ·sin C ＝0.因为sin C >0，所以32cos A －12sin A ＝0，即tan A ＝3， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝3，得bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－12，因为△ABC 的周长为6，即a ＋b ＋c ＝6， 所以a 2＝(6－a )2－12， 所以a ＝2.已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．(2020·福州市质量检测)在钝角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝7，b ＝1，若△ABC 的面积为62，则a 的长为________．解析：因为△ABC 的面积S ＝12bc sin A ，所以62＝12×1×7sin A ，所以sin A＝67，所以cos A＝±77，当cos A＝77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝6，此时△ABC为直角三角形(舍去)；当cos A＝－77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝10，经检验，a＝10符合题意．综上，a＝10.答案：102．(2020·合肥第一次教学检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，a cos C＋c cos A＋2b cos B＝0.(1)求B；(2)若BC边的中线AM长为5，求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C，且a cos C＋c cos A＋2b cos B＝0，所以sin A cos C＋sin C cos A＋2sin B cos B＝0，所以sin B·(1＋2cos B)＝0，又sin B≠0，所以cos B＝－2 2.因为B是三角形的内角，所以B＝3π4.(2)在△ABM中，BM＝1，AM＝5，B＝3π4，AB＝c，由余弦定理AM2＝c2＋BM2－2c·BM·cos B，得c2＋2c－4＝0，因为c＞0，所以c＝ 2.在△ABC中，a＝2，c＝2，B＝3π4，所以△ABC的面积S＝12ac sin B＝1.高考新声音系列4解三角形中的结构不良型开放型问题新高考卷Ⅰ第17题别具匠心地设计了开放性试题，设问方式追求创新，补充已知条件(三选一)并解答，条件不同，结论不同，不同的选择会有不同的结论，难度也会有区别．(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________________？【解】 方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b .于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3. 由②c sin A ＝3，所以c ＝b ＝23，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝2 3. 方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能随之确定)，在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件下，若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由．在①sin B＝32，②cos B＝34，③cos C＝－79这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解．若有解，求出a的值；若无解，请说明理由．在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足C＝2B，b ＋c＝10，________．解：若选择①sin B＝32，则B＝60°或B＝120°，因为C＝2B，所以C＝120°或C＝240°，显然矛盾，此时三角形无解．若选择②cos B＝3 4，则由正弦定理可得cb＝sin Csin B＝sin 2Bsin B＝2sin B cos Bsin B＝2cos B＝2×34＝32，又b＋c＝10，所以c＝6，b＝4.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，可得16＝a2＋36－9a，解得a＝4或a＝5.若a＝4，则由b＝4知A＝B，又C＝2B，所以B＋B＋2B＝180°，解得B＝45°，这与cos B＝34矛盾，舍去．经检验知，当a＝5时适合题意．故a的值为5.若选择③cos C＝－7 9，因为C＝2B，所以cos 2B＝－7 9，即2cos2B－1＝－79，得cos B＝13，此时cb＝sin Csin B＝sin 2Bsin B＝2cos B＝23＜1，所以c＜b，这与C＝2B矛盾，此时三角形无解．[A 级 基础练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3解析：选C.由余弦定理b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，得b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4，因为b <c ＝23，所以b ＝2.选C.2．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos A ＝74，则△ABC 的面积为( )A ．37B ．372C ．9D ．92解析：选B.因为cos A ＝74，则sin A ＝34，所以S △ABC ＝12×bc sin A ＝372，故选B.3．(2020·湖北八校第一次联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B －sin A (sin C ＋cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则角C ＝( )A.5π6B.π6C.π4D.π3解析：选B.因为A ＋C ＝π－B ，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，因为sin B －sin A (sin C ＋cos C )＝0，所以cos A sin C －sin A sin C ＝0，因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，所以cos A ＝sin A ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4，由正弦定理得a sin π4＝c sin C ，又a ＝2，c ＝2，所以sin C ＝12，因为a ＞c ，所以C ＝π6，故选B.4．(多选)在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( ) A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝4，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝33，B ＝60° D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30°解析：选BC.对于A ，因为b ＝7，c ＝3，C ＝30°，所以由正弦定理可得sin B ＝b sin C c ＝7×123＝76＞1，无解；对于B ，b ＝5，c ＝4，B ＝45°，所以由正弦定理可得sin C ＝c sin Bb ＝4×225＝225＜1，且c ＜b ，有一解；对于C ，因为a ＝6，b ＝33，B ＝60°，所以由正弦定理可得sin A ＝a sin B b ＝6×3233＝1，A ＝90°，此时C ＝30°，有一解； 对于D ，因为a ＝20，b ＝30，A ＝30°，所以由正弦定理可得sin B ＝b sin Aa ＝30×1220＝34＜1，且b ＞a ，所以B 有两解，故选BC.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若C ＝π4，a ＝4，S △ABC＝2，则2a ＋3c －b2sin A ＋3sin C －sin B＝( )A ． 5B ．2 5C ．27D ．213解析：选B.因为C ＝π4，a ＝4，S △ABC ＝2，所以S △ABC ＝12ab sin π4＝12×4×b ×22＝2，解得b ＝ 2.由余弦定理可得c 2＝b 2＋a 2－2ba cos π4＝10，c ＝10.由正弦定理可得2a ＋3c －b 2sin A ＋3sin C －sin B ＝c sin C ＝1022＝25，故选B.6．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为________． 解析：因为23sin 60°＝4sin B ， 所以sin B ＝1，所以B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3. 答案：2 37．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，c ＝2，B ＝60°，则b ＝________，C ＝________．解析：因为a ＝4，c ＝2，B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝16＋4－2×4×2×12＝20－8＝12，则b ＝2 3.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，可得sin C ＝c sin Bb ＝2×3223＝12，因为c ＜b ，故C 为锐角，所以C ＝30°. 答案：23 30°8．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝π3，c ＝2，且sin A ＝3sin C ．AC 的中点为D ，则BD ＝________．解析：sin A ＝3sin C ．由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6. 由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28， 所以b ＝27.所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714.因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7.所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－714＝13.所以BD ＝13. 答案：139．(2020·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ；(2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形． 解：(1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54， 即cos 2A －cos A ＋14＝0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＝0, cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝33sin A . 由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝33sin π3.即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝12.由于0<B <2π3，故B ＝π2.从而△ABC 是直角三角形．10．(2020·成都市诊断性检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－a 2＝423bc .(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为2，且2sin B ＝3sin C ，求△ABC 的周长． 解：(1)因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， 所以2bc cos A ＝423bc ， 所以cos A ＝223，所以在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2 A ＝13.(2)因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝16bc ＝2， 所以bc ＝6 2.因为2sin B ＝3sin C ，所以由正弦定理得2b ＝3c ， 所以b ＝32，c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6，所以a ＝ 6. 所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6.[B 级 综合练]11．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c, sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形解析：选B.将已知等式2a cos B ＝c 利用正弦定理化简得2sin A cos B ＝sin C ， 因为sin C ＝sin ()A ＋B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， 因为A 与B 都为△ABC 的内角， 所以A －B ＝0，即A ＝B .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，所以sin A sin B (2－cos C )＝12(1－cos C )＋12＝1－12cos C ， 所以－12[]cos ()A ＋B －cos （A －B ）(2－cos C )＝1－12cos C ， 所以－12(－cos C －1)(2－cos C )＝1－12cos C ， 即(cos C ＋1)(2－cos C )＝2－cos C ，整理得cos 2C －2cos C ＝0，即cos C (cos C －2)＝0，所以cos C ＝0或cos C ＝2(舍去)，所以C ＝90°，则△ABC 为等腰直角三角形，故选B.12．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝c cos A ，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos A ＝18，则以下结论正确的是( )A ．AC ＝34 B ．AB ＝8C ．CD BD ＝18D ．△ABD 的面积为374解析：选ACD.在△ABC 中，根据余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，即b 2＋a 2＝c 2，所以C ＝π2，由二倍角公式得cos ∠BAC ＝2cos 2∠CAD －1＝18，解得cos ∠CAD ＝34.在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝34，故选项A 正确；在Rt △ABC 中，cos ∠BAC ＝AC AB ＝18，解得AB ＝6，故选项B 错误；S △ACD S △ADB ＝12CD ·AC 12BD ·AC ＝12AC ·AD ·sin ∠CAD 12AB ·AD ·sin ∠BAD ，则CD BD ＝AC AB ＝18，故选项C 正确； 在△ABD 中，由cos ∠BAD ＝34得，sin ∠BAD ＝74，所以S △ABD ＝12AD ·AB ·sin ∠BAD ＝12×1×6×74＝374，故选项D 正确．13．(2020·沈阳市教学质量监测(一))△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B ＋b cos A ＝77ac ，sin 2A ＝sin A . (1)求A 及a ；(2)若b －c ＝2，求BC 边上的高． 解：(1)因为a cos B ＋b cos A ＝77ac ，所以由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝77a sin C ，所以sin(A ＋B )＝77a sin C ，又A ＋B ＝π－C ，所以sin C ＝77a sin C ，又sin C ＞0，所以a ＝7.因为sin 2A ＝sin A ，所以2sin A cos A ＝sin A ，又sin A ＞0，所以cos A ＝12， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝7.将b ＝c ＋2，代入b 2＋c 2－bc ＝7，得c 2＋2c －3＝0， 解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以b ＝3. 因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝2114， 设BC 边上的高为h ，则h ＝b sin C ＝32114.14．在①(2a ＋b )sin A ＋(2b ＋a )sin B ＝2c sin C ，②a ＝3c sin A －a cos C ，③△ABC 的面积S △ABC ＝34(a 2＋b 2－c 2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，作为问题的条件，再解答这个问题．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝3，且________，探究三角形ABC 的周长l 是否存在最大值？若存在，求出l 的最大值；若不存在，说明理由．解：若选①，因为(2a ＋b )sin A ＋(2b ＋a )sin B ＝2c sin C ， 所以由正弦定理可得(2a ＋b )a ＋(2b ＋a )b ＝2c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.又c ＝3，所以由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝332＝2，所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin B ＋3＝2sin A ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝sin A ＋3cos A ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3， 因为0＜A ＜π3，所以23＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3≤2＋3，即△ABC 的周长l 存在最大值，且最大值为2＋ 3. 若选②，因为a ＝3c sin A －a cos C ，所以由正弦定理可得sin A ＝3sin C sin A －sin A cos C ， 因为sin A ≠0，所以3sin C －cos C ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝12，又0＜C ＜π，故C ＝π3，又c ＝3，所以由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝332＝2，所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin B ＋3＝2sin A ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋3＝3sin A ＋3cos A ＋3＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3，因为0＜A ＜2π3，所以23＜23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3≤33，即△ABC 的周长l 存在最大值，且最大值为3 3. 若选③，因为△ABC 的面积S △ABC ＝34(a 2＋b 2－c 2)，所以12ab sin C ＝34(a 2＋b 2－c 2)，所以sin C ＝3×a 2＋b 2－c 22ab ，由余弦定理可得sin C ＝3cos C ，即tan C ＝3， 又因为0＜C ＜π，故C ＝π3，又c ＝3，所以由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝332＝2，所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin B ＋3＝2sin A ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋3＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3， 因为0＜A ＜2π3，所以23＜23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3≤33，即△ABC 的周长l 存在最大值，且最大值为3 3.[C 级 创新练]15．(2020·河南豫南九校联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式．设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝2sin A ，(a ＋c )2＝6＋b 2，则用“三斜求积”公式求得的△ABC 的面积为( )A ． 3B ．1C ．32D ．12解析：选C.因为a 2sin C ＝2sin A ，所以a 2c ＝2a .又a ＞0，所以ac ＝2. 因为(a ＋c )2＝6＋b 2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝6＋b 2，所以a 2＋c 2－b 2＝6－2ac ＝6－4＝2.所以△ABC 的面积为S ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32.故选C. 16．(2020·山东潍坊月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C 依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是( )A ．a ，b ，c 依次成等差数列 B.a ，b ，c 依次成等差数列 C ．a 2，b 2，c 2依次成等差数列 D ．a 3，b 3，c 3依次成等差数列解析：选ABD.在△ABC 中，若1tan A ，1tan B ，1tan C 依次成等差数列，则2tan B ＝1tan A ＋1tan C .所以2cos B sin B ＝cos A sin A ＋cos Csin C .利用正弦定理和余弦定理得，2·a 2＋c 2－b 22abc ＝b 2＋c 2－a 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ，整理得2b 2＝a 2＋c 2，即a 2，b 2，c 2依次成等差数列．此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或a，b，c或a3，b3，c3，这些数列一般都不可能是等差数列，除非a＝b ＝c.故都不一定成立．故选ABD.第6讲正弦定理和余弦定理最新考纲考向预测掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.命题趋势以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.核心素养逻辑推理、数学运算1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos__A；b2＝c2＋a2－2ca cos__B；c2＝a2＋b2－2ab cos__C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin__B，c＝2R sin__C；(2)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(3)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab(1)S△ABC＝12a·h(h表示边a上的高)．(2)S△ABC＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径).3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解[注意]上表中A为锐角时，a<b sin A，无解．A为钝角或直角时，a＝b，a<b均无解．常用结论1．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C.(2)cos(A＋B)＝－cos C.(3)sin A＋B2＝cosC2.(4)cos A＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.常见误区1．在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，应注意根据“大边对大角”来取舍．2．在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( )(3)在△ABC 中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若A ＝60°，a 2＝bc ，则sin B sin C ＝( )A.12 B.32 C.35D.34解析：选D.因为a 2＝bc ，所以sin 2A ＝sin B sin C ．因为A ＝60°，所以sin B sin C ＝sin 2A ＝34.故选D.3．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，sin A ＝45，cos C ＝210，则下列结论正确的是( )A ．cos A ＝±35 B ．B ＝π4C ．b ＝522D ．△ABC 的面积为7 2解析：选BC.由sin A ＝45，得cos A ＝±35，由cos C ＝210，得sin C ＝7210，若cos A ＝－35，则sin B ＝sin(A ＋C )＝－17250＜0，与sin B ＞0矛盾，故cos A ＝35，A 错误，则sin(A ＋C )＝22，由sin A ＝45，cos C ＝210，得A ＞π4，C ＞π4，所以A ＋C ＞π2，所以A ＋C ＝3π4，故B ＝π4，B 正确．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝522，C 正确，所以△ABC 的面积为12×4×522×7210＝7，D 错误．4．(易错题)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．解析：由题意得，b sin B ＝c sin C ，即sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b ＜c可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.答案：75°利用正、余弦定理解三角形(2020·高考天津卷节选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝22，b ＝5，c ＝13.(1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝22，b ＝5，c ＝13，有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)在△ABC 中，由正弦定理及C ＝π4，a ＝22，c ＝13，可得sin A ＝a sin Cc ＝21313.(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝csin C ， 所以sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则ab ＝( )A.32 B. 2 C.43D. 3解析：选B.由2b sin 2A ＝3a sin B ，及正弦定理可得4sin B sin A cos A ＝3sin A sin B ．由于sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝34，又c ＝2b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－2b ×2b ×34＝2b 2，所以ab ＝2，故选B.3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°＜C ＜120°，所以C ＋60°＝135°，判断三角形的形状(1)(一题多解)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为________． 【解析】 (1)方法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．方法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ， 故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ， 即A ＝π2或A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【答案】 (1)A (2)等腰三角形或直角三角形【引申探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状．解：方法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．方法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ， 故△ABC 为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形解析：选B.因为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以C ＝120°，△ABC 是钝角三角形，故选B.2．(多选)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的是( )A ．若a cos A ＝b cosB ＝ccos C ，则△ABC 一定是等边三角形 B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形 C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形 D ．若a 2＋b 2－c 2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形解析：选AC.由a cos A ＝b cos B ＝c cos C 及正弦定理得，sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，即tan A ＝tan B ＝tan C ，所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形，A 正确．由a cos A ＝b cos B 及正弦定理得，sin A cos A ＝sin B cos B ，解得sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形，B 不正确．由b cos C ＋c cos B ＝b 及正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B ，所以sin A ＝sin B ，则A ＝B ，所以△ABC 是等腰三角形，C 正确．由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以角C 为锐角．而角A ，B 不一定是锐角，故D 不正确．故选AC.与三角形面积有关的问题 角度一 计算三角形的面积(1)(2020·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°.若a ＝3c ，b ＝27，则△ABC 的面积为________．(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则△ABC 的面积为________．【解析】 (1)由题设及余弦定理得28＝3c 2＋c 2－2×3c 2×cos 150°. 解得c ＝－2(舍去)，c ＝2，从而a ＝2 3. △ABC 的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin π6＝32.【答案】 (1)3 (2)32求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二 已知三角形的面积解三角形(2020·广州市调研检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0.(1)求角A 的值；(2)若△ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值． 【解】 (1)因为c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0， 所以由正弦定理得sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A －sin A ·sin C ＝0.因为sin C >0，所以32cos A －12sin A ＝0，即tan A ＝3， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝3，得bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－12，因为△ABC 的周长为6，即a ＋b ＋c ＝6， 所以a 2＝(6－a )2－12， 所以a ＝2.已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．(2020·福州市质量检测)在钝角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝7，b ＝1，若△ABC 的面积为62，则a 的长为________．解析：因为△ABC 的面积S ＝12bc sin A ，所以62＝12×1×7sin A ，所以sin A＝67，所以cos A＝±77，当cos A＝77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝6，此时△ABC为直角三角形(舍去)；当cos A＝－77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝10，经检验，a＝10符合题意．综上，a＝10.答案：102．(2020·合肥第一次教学检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，a cos C＋c cos A＋2b cos B＝0.(1)求B；(2)若BC边的中线AM长为5，求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C，且a cos C＋c cos A＋2b cos B＝0，所以sin A cos C＋sin C cos A＋2sin B cos B＝0，所以sin B·(1＋2cos B)＝0，又sin B≠0，所以cos B＝－2 2.因为B是三角形的内角，所以B＝3π4.(2)在△ABM中，BM＝1，AM＝5，B＝3π4，AB＝c，由余弦定理AM2＝c2＋BM2－2c·BM·cos B，得c2＋2c－4＝0，因为c＞0，所以c＝ 2.在△ABC中，a＝2，c＝2，B＝3π4，所以△ABC的面积S＝12ac sin B＝1.高考新声音系列4解三角形中的结构不良型开放型问题新高考卷Ⅰ第17题别具匠心地设计了开放性试题，设问方式追求创新，补充已知条件(三选一)并解答，条件不同，结论不同，不同的选择会有不同的结论，难度也会有区别．(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________________？【解】 方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b .于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3. 由②c sin A ＝3，所以c ＝b ＝23，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝2 3. 方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能随之确定)，在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件下，若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由．在①sin B＝32，②cos B＝34，③cos C＝－79这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解．若有解，求出a的值；若无解，请说明理由．在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足C＝2B，b ＋c＝10，________．解：若选择①sin B＝32，则B＝60°或B＝120°，因为C＝2B，所以C＝120°或C＝240°，显然矛盾，此时三角形无解．若选择②cos B＝3 4，则由正弦定理可得cb＝sin Csin B＝sin 2Bsin B＝2sin B cos Bsin B＝2cos B＝2×34＝32，又b＋c＝10，所以c＝6，b＝4.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，可得16＝a2＋36－9a，解得a＝4或a＝5.若a＝4，则由b＝4知A＝B，又C＝2B，所以B＋B＋2B＝180°，解得B＝45°，这与cos B＝34矛盾，舍去．经检验知，当a＝5时适合题意．故a的值为5.若选择③cos C＝－7 9，因为C＝2B，所以cos 2B＝－7 9，即2cos2B－1＝－79，得cos B＝13，此时cb＝sin Csin B＝sin 2Bsin B＝2cos B＝23＜1，所以c＜b，这与C＝2B矛盾，。
正弦定理与余弦定理课件-2024届高考数学一轮复习
由正弦定理，得
＝
，则 AC ＝
h ，所以 AB ·h ＝ AB ·AC ·sin A .
×
＝2 .设 AB 边上的高为
所以 h ＝ AC ·sin A ＝2
×
＝6.
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考向2 三角形的解的个数问题
例2 已知△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边长分别为 a ， b ， c .若 a ＝
sin A ＝
＝
.
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（2） 若 AB ＝5，求 AB 边上的高.
解：（2） 由（1）知， cos A ＝
＝ sin A cos C ＋ cos A sin C ＝
＝
，所以
sin B ＝ sin （ A ＋ C ）
×（
＋
）＝
.在△ ABC 中，
D. （1，2）
C
）
总结提炼
可以用数形结合的方法确定三角形的解的个数.
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考点二
判断三角形的形状
例3 （多选）在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边长分别为 a ， b ， c .
sin
sin
sin
若
＝
＝
（ m ∈N*），则当 m 取不同的值时，关于△ ABC 的
6
8
形状，下列说法正确的是（
（1） 在△ ABD 中，由余弦定理，得 cos ∠ ABD ＝
AB ∥ CD ，所以∠ BDC ＝∠ ABD . 所以 cos
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C 变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A为钝角或直角时，a ≤b ，无解．2、三角形常用面积公式1．S ＝a •h a （h a 表示边a 上的高）；2．S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A ．3．S ＝r （a +b +c ）（r 为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1C．2D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B =b sin A ，则a =（）A．B ．C ．1D ．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R 是△ABC 外接圆半径）a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C变形形式①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝；③a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ；④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba≥ba ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A 为钝角或直角时，a ≤b ，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且（a +b ）2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为（）A ．4B ．3C ．4D ．6例2.设△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A ．B ．C ．或D ．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；的最大值．（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
[高三数学]正弦定理和余弦定理课件
![[高三数学]正弦定理和余弦定理课件](https://img.taocdn.com/s3/m/e4b379692e60ddccda38376baf1ffc4fff47e27d.png)
工具
第三章 三角函数
3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三 角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的 原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．
工具
第三章 三角函数
工具
第三章 三角函数
从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点．主 要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常 与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象 和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．
又∵ 2＜ 3，即 a＜b，∴A＜B＝60°，∴A＝45°.
答案： B
工具
第三章 三角函数
2．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等
比数列，且 c＝2a，则 cos B 等于( )
1
3
2
2
A.4
B.4
C. 4Dຫໍສະໝຸດ 3解析： 由已知得 b2＝ac，c＝2a， ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝5a24－a22a2＝34. 答案： B
(1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，S△ABC＝3 43，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解析： (1)方法一：∵(2b－c)cos A－acos C＝0， 由正弦定理得(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0. ∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，sin B(2cos A－1)＝0， ∵0＜B＜π，∴sin B≠0，cos A＝12. ∵0＜A＜π，∴A＝π3.
由余弦定理知 a2＝c2＋b2－2cbcos A，
将 a＝2 7及①代入，得 c2＋b2＝52, ③
正弦定理与余弦定理
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cos A a sin A 解析：法一：由正弦定理得cos B＝b＝sin B， ∴sin Acos B＝cos Asin B， 即sin(A－B)＝0，可得A－B＝0，∴A＝B. 法二：由余弦定理将角化为边，可得a＝b.
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1 解：(1)因为cos 2C＝1－2sin C＝－4，及0<C<π，
2
10 所以sin C＝ 4 . (2)当a＝2,2sin A＝sin C时， a c 由正弦定理sin A＝sin C， 得c＝4.
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1 由cos 2C＝2cos2C－1＝－ ， 4 6 及0<C<π得cos C＝± . 4 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2± 6b－12＝0， 解得b＝ 6或2 6，
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[冲关锦囊] 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主 要有如下两种方法
1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因
式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的 形状； 2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从
而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π
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a b bsinA 解析：直接根据正弦定理可得 sinA ＝ sinB ，可得sinB＝ a ＝ 3λsin45° 6 ＝ 2 >1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. λ
答案： A
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π 1 4．(2011· 北京高考)在△ABC中，若b＝5，B＝4，sin A＝3， 则a＝________.
高考数学复习第4章 正弦定理和余弦定理
【小题热身】
一、判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．( √ ) (2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．( × ) (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则∠B＝45°或 ∠B＝135°.( × )
2．余弦定理
a2＝⑤_b_2_＋__c_2－__2_b_c__c_o_s_A_，b2＝⑥__a_2＋__c_2_－__2_a_c_c_o_s_B_____，c2＝⑦
____b__2__a+__2＋__c__2b__−2__－__a__22__a_，b__cco_os_sB_C＝__⑨_______. _a余_2_+弦__c_2定_−__理b_2_可，c以osC变＝形⑩_为_a_2：_+__cb_o2_s_A−_＝_c．2 ⑧
解 析 ： 由cosC ＝ AC22+ABCC·2B−CAB2 得 23 ＝ 162+×94−×A3B2 ， ∴AB ＝ 3 ， ∴cosB ＝ BA22+BBAC·2B−CAC2＝92+×93−×136＝19，故选A.
考点一 利用正、余弦定理解三角形[自主练透型]
考向一：用正弦定理解三角形
1．[2021·北京朝阳区模拟]在△ABC中，B＝π6，c＝4，cosC＝
第六节 正弦定理和余弦定理
【知识重温】
一、必记3个知识点 1①．_s_正in_a _弦A_＝_定_si_理nb_B_＝__s_inc__C＝__2_R__ ， 其 中 R 是 三 角 形 外 接 圆 的 半 径 ． 由 正 弦 定 理 可 以 变 形 为 ： (1)a∶b∶c ＝ ②__s_in__A_∶__s_in__B_∶__s_in__C_____ ； (2)a ＝2R sin A，cb＝2R sin B，③c_＝__2_R__s_in__C_；(3)sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝④___2_R____等形式，以解决不同的三角形问题．
高考数学中的余弦定理与正弦定理
高考数学中的余弦定理与正弦定理在高中数学中，三角形的性质是必学的，三角形中的余弦定理和正弦定理在高考中也一定会出现。
这两个定理是三角形最重要的定理之一，掌握它们对于解决复杂三角形问题是必不可少的。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的概念与应用，以及在高考数学中的应用实例。
一、余弦定理的定义余弦定理是解决三角形中一个角的正余弦值与另外两边长度之间关系的重要定理。
余弦定理表述为：在任意三角形ABC中，有以下公式成立：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$其中，$a,b,c$ 为三角形ABC的三条边， $C$ 为对应于边$c$ 的角。
这个公式可以表示三角形两边长度和角度的关系，是解决复杂三角形问题的基础。
二、余弦定理的应用余弦定理的应用非常广泛，以下是三角形中常见的几种问题类型：1. 已知两条边和夹角，求第三边的长度根据余弦定理公式，只需要已知两条边和夹角的情况下，即可求解第三边的长度。
例如，已知两条边长分别为5和8，夹角为60度，求第三边长度。
按公式计算可得：$c^2=5^2+8^2-2\times 5 \times 8 \times \cos 60°=89$所以，第三条边的长度为 $\sqrt{89}$。
2. 已知三条边的长度，判断三角形的形状根据余弦定理，如果一个三角形的每条边长都已知，可以计算出三个角的余弦值，判断该三角形的形状。
例如，如果一个三角形三边长度分别为 3、4、5，则可以得出它为直角三角形。
三、正弦定理的定义正弦定理是与余弦定理类似的三角形定理，用来描述角度和它所对应的边的关系。
在任意三角形中，有以下公式成立：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$其中，$a,b,c$ 表示三角形的三条边，$A,B,C$ 表示相应的角。
这个公式用来表示一个三角形中角度和边长的关系。
四、正弦定理的应用正弦定理同样有着广泛的应用，以下是几种常见问题类型：1. 已知两角和一边，求三角形另一边长度根据正弦定理，我们可以解决这个问题。
高三数学总复习《正弦定理与余弦定理》课件
答案:C
课时作业(三十) 正弦定理与余弦定理
一、选择题
12 1.(2009 全国Ⅱ已知 ) ABC中, cotA , 则cosA ( 5 12 5 5 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 )
12 5 解析 :由cotA 知A为钝角, cosA . 5 13
解析 :由正弦定理 3sinBcosA cosAsinC cosCsinA 3 sin A C sinB,cosA . 3
3 答案 : 3
题型二 余弦定理的应用
例2 1 (2009 广东)在 ABC中, A、B、C的对边 分别为a、b、c, 若a c 6 2 , A 75, 则b ( A.2 B.4 2 3 C.4 2 3 ) D. 6 2
)
A.直角三角形,但不是等腰三角形
B.等腰三角形,但不是直角三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理可知 又 a b c sinA sinB sinC
a b c , cosB sinB, cosC sinC, sinA cosB cosC 又B、C为 ABC的内角, B C 45 ABC为等腰直角三角形.
注意:要熟记一些常见结论,如:①三角形三内角A,B,C成等差 数列的充要条件是B=60°;
②若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;
③△ABC是正三角形的充要条件是三内角A,B,C成等差数列 且对应三边a,b,c成等比数列.
4.已知三角形的两边及一边的对角解三角形
(1)先判断三角形解的情况,在△ABC中,已知a,b,A时,判断方法
)
D.等腰或直角三角形
高考数学一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用
(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝____________
⇔
2sinB
＝
____________
⇔
2sin
B 2
＝
cos
A－C 2
解：由正弦定理得ab＝ssiinnAB，所以
sinB＝
2× 7
sinπ3＝
721，
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，所以 7＝ 4＋c2－2c，所
以 c＝3(负值舍去)．故填 721；3.
(2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，已知 bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2
－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解：根据题意，结合正弦定理
可得 sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即 sinA＝12， 结合余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccosA＝8，
所以 A 为锐角，且 cosA＝ 23，从而求得 bc＝8 3 3，
所以△ABC 的面积为 S＝12bcsinA＝12×8 3 3×
所 以 AB2 ＝ BC2 ＋ AC2 － 2BC·AC·cosC ＝ 1 ＋ 25 －
2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.故选 A.
(2017·山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1＋2cosC)
＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
[高考数学总复习]第四章第七节正弦定理和余弦定理
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(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积.
【解】
(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4， 所以
又因为△ABC的面积等于 得ab＝4.
联立方程组
要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C 的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三 角形的形状.
利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边 边关系或角角关系.
【解】
法一：已知等式可化为
a2[sin(A－B)－sin(A＋B)] ＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.
，∴sinC＝
.
2．在△ABC中，若tanA＝
，C＝120°，BC＝2
，则AB＝
________.
解析：因为tanA＝ ，所以sinA＝ ，由正弦定理
＝
，可得AB＝
＝5.
答案：5
3.(2010· 福建高考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、
c.若(a2＋c2－b2) tanB＝ ac， 则角B的值为 .
由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，
∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0， ∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π 得2A＝2B或2A＝π－2B， 即△ABC为等腰或直角三角形.
法二：同法一可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB，
高考数学正弦定理和余弦定理必考点梳理
必考点：正弦定理和余弦定理必考点梳理（精编Wor d）一、正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则二、三角形中常用的面积公式1.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc s in A ＝12ac s inB ＝12ab s in C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．2.在△ABC 中常用结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)s in (A ＋B )＝s inC ；c os(A ＋B )＝－c os C ；t an (A ＋B )＝－t anC ；s in A ＋B 2＝c os C 2；c os A ＋B 2＝s in C2. (5)t an A ＋t an B ＋t an C ＝t an A ·t an B ·t an C . (6)∠A >∠B ⇔a >b ⇔s in A >s in B ⇔c os A <c os B . (7)合比定理：a sin A ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R .(8)在锐角三角形中①A ＋B ＞π2；②若A ＝π3，则π6＜B ，C ＜π2三、实际测量中的常见问题求AB 图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝α，BC＝a解直角三角形AB＝a t anα底部不可达∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a解两个直角三角形AB＝a tan αtan βtan β－tan α求水平距离山两侧∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a用余弦定理AB＝a2＋b2－2ab cos α河两岸∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a用正弦定理AB＝a sin αsin(α＋β)河对岸∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a在△ADC中，AC＝a sin αsin(α＋γ)在△BDC中，BC＝a sin βsin(β＋δ)；在△ABC中，应用余弦定理求AB（一）仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．（二）方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．利用正弦定理可解决两类问题例题1： (2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b ＝( )A ．2B ．1C ．3D ． 2 【解析】由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2212＝ 2.选D变式1： (2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a s in B ＝3b ，则角A ＝________.【解析】∵2a s in B ＝3b ，∴2s in A s in B ＝3s in B ，得s in A ＝32，∴A ＝π3或A ＝2π3， ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3.利用余弦定理可解决两类问题例题2： (2019·山东济南期中)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则c os C ＝( ) A ．24 B ．－24 C ．34 D ．－34【解析】由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ， ∴c os C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a ＝－24.选B变式2： (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bc os B ＝ac os C ＋cc os A ，则B ＝________.方法一：由2bc os B ＝ac os C ＋cc os A 及正弦定理， 得2s in Bc os B ＝s in Ac os C ＋s in Cc os A . ∴2s in Bc os B ＝s in (A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2s in Bc os B ＝s in (π－B )＝s in B . 又s in B ≠0，∴c os B ＝12.∴B ＝π3.方法二：∵在△ABC 中，ac os C ＋cc os A ＝b ， ∴条件等式变为2bc os B ＝b ，∴c os B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.判定三角形形状的2种常用途径例题3： 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc os C ＋cc os B ＝a s in A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【解析】由正弦定理得s in Bc os C ＋s in Cc os B ＝s in 2A ，∴s in (B ＋C )＝s in 2A ，即s in (π－A )＝s in 2A ，s in A ＝s in 2A ． ∵A ∈(0，π)，∴s in A >0，∴s in A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．变式3： 本题中，若将条件变为2s in Ac os B ＝s in C ，判断△ABC 的形状． 【解析】∵2s in Ac os B ＝s in C ＝s in (A ＋B )， ∴2s in Ac os B ＝s in Ac os B ＋c os A s in B ， ∴s in (A －B )＝0.又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．变式4： 本题中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2c os A s in B ＝s in C ，判断△ABC 的形状． 【解析】∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴c os C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 又0<C <π，∴C ＝π3，又由2c os A s in B ＝s in C 得s in (B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形．例题4： (2017·全国卷Ⅲ)△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，s in A ＋3c os A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【解析】 (1)由已知可得t an A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4cc os2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2s in ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.变式5： (2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b s in C ＋c s in B ＝4a s in B s in C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________. 【解析】∵b s in C ＋c s in B ＝4a s in B s in C ，∴由正弦定理得s in B s in C ＋s in C s in B ＝4s in A s in B s in C .又s in B s in C >0，∴s in A ＝12.由余弦定理得c os A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc >0，∴c os A ＝32，bc ＝4cos A ＝833，∴S △ABC ＝12bc s in A ＝12×833×12＝233必考点5： 解几何计算问题例题5： 如图，在△ABC 中，B ＝π3，BC ＝2，点D 在边AB 上，AD ＝DC ，DE ⊥AC ，E 为垂足．(1)若△BCD 的面积为33，求AB 的长； (2)若DE ＝62，求角A 的大小． 【解析】 (1)∵△BCD 的面积为33，B ＝π3，BC ＝2， ∴12×2×BD ×s in π3＝33，∴BD ＝23. 在△BCD 中，由余弦定理可得CD ＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝4＋49－2×2×23×12＝273. ∴AB ＝AD ＋BD ＝CD ＋BD ＝273＋23＝27＋23. (2)∵DE ＝62，∴CD ＝AD ＝DE sin A ＝62sin A. 在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝CDsin B.∵∠BDC ＝2∠A ，∴2sin 2A ＝62sin A sinπ3，∴c os A ＝22.∴A ＝π4.变式6： (2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，c os B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．【解析】(1)在△ABC 中，因为c os B ＝－17，所以s in B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得s in A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为s in C ＝s in (A ＋B )＝s in Ac os B ＋c os A s in B ＝3314，所以AC 边上的高为a s in C ＝7×3314＝332.必考点6： 考点6三角函数求值问题例题6： (2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b s in A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和s in (2A －B )的值．【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b s in A ＝a s in B .又由b s in A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a s in B ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即s in B ＝c os ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以t an B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2acc os B ＝7，故b ＝7. 由b s in A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得s in A ＝37 . 因为a <c ，所以c os A ＝27.因此s in 2A ＝2s in Ac os A ＝437，c os 2A ＝2c os 2A －1＝17.所以s in (2A －B )＝s in 2Ac os B －c os 2A s in B ＝437×12－17×32＝3314.必考点7： 考点7解三角形综合问题例题7： (2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求c os ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .【解析】 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以s in ∠ADB ＝25由题设知，∠ADB <90°，所以c os ∠ADB ＝1－225＝235 (2)由题设及(1)知，c os ∠BDC ＝s in ∠ADB ＝25在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·c os ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25所以BC ＝5变式7： (2019·广东惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )c os A ＝ac os C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝13，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．【解析】(1)△ABC 中，由条件及正弦定理得(2s in B －s in C )c os A ＝s in Ac os C ，∴2s in Bc os A ＝s in Cc os A ＋s in Ac os C ＝s in B ．∵s in B ≠0，∴2c os A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵a ＝13，b ＋c ＝5，a 2＝b 2＋c 2－2bcc os A ＝(b ＋c )2－2bc －2bcc os π3＝52－3bc ＝13，∴bc ＝25－133＝4，∴S △ABC ＝12bc s in A ＝12×4×s in π3＝ 3.必考点8： 高度问题（已知仰角或俯角）例题8： (2019·山东青岛月考)如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.【解析】由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD ＝3a ，所以在Rt △ADB 中，AB ＝12AD ＝32a .变式8： (2019·河北衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m .【解析】在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°， 由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC32，解得AC ＝600 6.在△ACD 中，∵t an ∠DAC ＝DC AC ＝33，∴DC ＝6006×33＝600 2.求解高度问题的3个注意点 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．必考点9： 高度问题（已知方位角或方向角）例题9： 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山高度CD ＝______m .【解析】由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m . 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·t an 30°＝3002×33＝1006(m ) 必考点10： 距离问题例题10： (2019·山东临沂联考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m .(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：s in 67°≈0.92，c os 67°≈0.39，s in 37°≈0.60，c os 37°≈0.80，3≈1.73)【解析】如图，过点A 作AD 垂直于CB 的延长线，垂足为D ，则在Rt △ABD 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46，AB ＝46sin 67°. 在△ABC 中，根据正弦定理得BC ＝AB sin 37°sin 30°＝46×sin 37°sin 67°sin 30°≈60变式9： 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离，即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCc os ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600c os 60°＝280 000，∴AB ＝2007(m )，即A ，B 两点间的距离为2007 m .求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答．必考点11： 角度问题例题11： 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile 的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile 的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则c os θ的值为________.【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·c os 120°＝2 800，得BC ＝207由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC，即s in ∠ACB ＝AB BC ·s in ∠BAC ＝217 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则c os ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30° 得c os θ＝c os(∠ACB ＋30°)＝c os ∠ACBc os 30°－s in ∠ACB s in 30°＝2114变式10： (2019·山西大同联考)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km /h ；水的流向是正东，流速是20 km /h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km /h .【解析】如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800c os 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COy ＝30°＋30°＝60°. ]解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．变式11： (2019·河南安阳调研)如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2 n mile 的C 处的我方缉私船奉命以10 3 n mile /h 的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile /h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．【解析】设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝ 103t n mile ，BD ＝10t n mile ，△ABC 中，由余弦定理，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·c os A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)×2×c os120°＝6，解得BC ＝ 6. 又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，∴s in ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2×sin120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，故B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，∴s in ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6，t＝610小时≈15分钟∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．。
正弦定理余弦定理(解析版)
考点31 正弦定理、余弦定理【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾】1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．a 2＝b 2＋c2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1、 在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】：A 【解析】：设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1或b ＝－4(舍去)，即AC ＝1. 2、 已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )A ．2 5 B.5 C ．25或 5 D ．均不正确【答案】：C 【解析】：∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°. 若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3、 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B.3 C ．2 3 D ．2 【答案】：B 【解析】：因为S ＝12AB ·AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1， 所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝3.所以BC ＝ 3. 4、 在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．25【答案】：A 【解析】：∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2.故选A.5、 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】：B 【解析】：由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．6、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】：B 【解析】：∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c2c ，∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ， ∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．7、 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC的面积为 ． 【答案】：233 【解析】：由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， 所以bc ＝833，所以S △ABC ＝12×833×12＝233.8、 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A 的值为__________． 【答案】：3 【解析】：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A sin B ， 即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin Csin A ＝3．考向一 运用正余弦定理解三角形例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（ ）ABC ．D ．【答案】DABC3AC =2BC =3cos 4C =tan A =33【解析】由余弦定理可以求出，有可判断，进而可以求出. 【解析】由余弦定理得：， 所以，因为，所以，所以， 故选：D ．变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________．【答案】【解析】∵sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a ：b ：c ＝2：3：4，∴不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则cos C 2222224916122234a b c t t t ab t t +-+-===-⨯⨯，∵C ∈(0，π)，∴tanC ==答案为变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 【答案】4 【解析】∵cos cos sin A B Ca b c+=， ∴由正弦定理得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+=， ∴111tan tan A B+=， 又22265b c a bc +-=，∴由余弦定理得62cos 5A =，∴3cos 5A =，∵A 为ABC ∆的内角，∴4sin 5A =，∴4tan 3A =，∴tan 4B =， 故答案为：4．2AB =AB BC =A C =tan A 2222232cos 3223244AB AC BC BC AC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=2AB =AB BC =A C =3cos cos 4A C ==tan 3A =变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=． （1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．【答案】（1）3a =，7b =；（2. 【解析】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=， 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，得1cos 2B =-， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭， 因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭， 解得3a =，所以7b =.（2）由1cos 2B =-，得sin B =由正弦定理得5sin sin 7214c C B b ==⨯=方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状例2、已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是( )A ．若tan A ＋tanB ＋tanC >0，则△ABC 是锐角三角形 B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰三角形 C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 是等腰三角形D ．若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是等边三角形 【答案】：ACD 【解析】：∵tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C >0， ∴A ，B ，C 均为锐角，∴选项A 正确；由a cos A ＝b cos B 及正弦定理，可得sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴选项B 错； 由b cos C ＋c cos B ＝b 及正弦定理， 可知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ， ∴sin A ＝sin B ，∴A ＝B ，∴选项C 正确；由已知和正弦定理，易知tan A ＝tan B ＝tan C ， ∴选项D 正确．变式1、△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得：2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)得：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∵A ＝120°，∴34＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，与sin B ＋sin C＝1联立方程组解得：sin B ＝sin C ＝12，∵0°＜B ＜60°，0°＜C ＜60°，故B ＝C ＝30°，∴△ABC 是等腰钝角三角形．变式2、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形【答案】 (1)B (2)C 【解析】(1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c . 又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3， 所以△ABC 是等边三角形．方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想． 考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ． (1) 求角A 的大小；(2) 若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积． 【解析】：(1) (解法1)在△ABC 中，由正弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos A ， 即sin A ＝2sin A cos A ．因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0， 所以cos A ＝12，所以A ＝π3．(解法2)在△ABC 中，由余弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ， 得b a 2＋b 2－c 22ab ＋c a 2＋c 2－b 22ac ＝2a b 2＋c 2－a 22bc ， 所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12． 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3．(2) 由AB →·AC →＝cb cos A ＝3，得bc ＝23，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×23×sin60°＝32变式1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cosA －3sinB cos B ． (1) 求角C 的大小；(2) 若sin A ＝45，求△ABC 的面积． 【解析】：(1) 由题意得 1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6．由a ≠b ，得A ≠B ．又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3． (2) 由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85． 由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310， 所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825．变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 【答案】4【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =，222sin sin 3sin A B C -=，1cos 3A =-，则ABC ∆的面积是______．【解析】3b =，222sin sin 3sin A B C -=，∴由正弦定理可得2222339a c b c =+=+，又1cos 3A =-，∴由余弦定理可得22222cos 92a b c bc A c c =+-=++，223992c c c ∴+=++，解得1c =，又sin A ==，11sin 3122ABC S bc A ∆∴==⨯⨯．方法总结：1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考向三 结构不良题型例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sin sin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积. 【解析】 若选①：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-， 即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 2A A A =-，即tan 3A =，因为0A π<<，所以6A π=.又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以2222bc =24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A +=π-， 所以cos 2sin cos 222A A A=，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠，1sin 22A ∴=，26A π=，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①b ac -=②2cos 22cos 12A A +=；③a =④b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【解析】（1）由①()33b a c c a b -+=+得，()2223a c b +-=-，所以222cos 2a c b B ac +-== 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 32B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以28623c c =++⨯，即2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B==sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==变式2、（2020cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.【解析】cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.所以sin B B =.又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B = 又0B π<<，得23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-， 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△1422=⨯⨯= 在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C ++=.又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1cos 2B =-.又(0,)B π∈， 所以23B π=由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.所以11sin 4222ABCSac B ==⨯⨯=在横线上填写“sin sin2A Cb A +=”解：由正弦定理，得sin sin sin 2BB A A π-=.由0A π<<，得sin A θ≠，所以sin 2B B =由二倍角公式，得2sincos 222B B B =.由022B π<<，得cos 02B ≠，所以sin 22B =. 所以23B π=，即23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-. 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=1、【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB = ，即3AB =， 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =. 故选：A ．2、【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 A.3、【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C.4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==，11sin 222ABC S ac B ==⨯=△ 5、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.6、【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 3B ==由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积. 【解析】 （Ⅱ）()2cos cos 0a c B b A ++=,()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ∴++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,()sin 2cos sin 0A B B C ++=， ()sin sin A B C +=.1cos 2B ∴=-,20,3B B ππ<<∴=.(Ⅱ)由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭， ()2229,9a c ac a c ac ++=∴+-=，33,a b c b a c ++=+=∴+= 3ac ∴=，11sin 322ABCSac B ∴==⨯=. 8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值． 【解析】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=， 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，得1cos 2B =-， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭， 因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭， 解得3a =，所以7b =.（2）由1cos 2B =-，得sin 2B =由正弦定理得5sin sin 7c C B b ===9、【2020年新高考全国Ⅱ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c = 方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．。
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正弦定理和余弦定理专题一、正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理 正弦定理余弦定理内 容a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变 形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab考点1：利用正弦定理解三角形例1．(2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π6，B ＝π4，a＝1，则b ＝( )A ．2B ．1C ．3D ． 2【答案】D [由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2212＝ 2.]练习1．(2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A ＝________.【答案】π3 [∵2a sin B ＝3b ，∴2sin A sin B ＝3sin B ，得sin A ＝32，∴A ＝π3或A ＝2π3，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3.]利用正弦定理可解决两类问题考点2：利用余弦定理解三角形例2．(2019·山东济南期中)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A ．24B ．－24C ．34D ．－34【答案】B [由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.]练习2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.【答案】π3 [方法一 由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.方法二 ∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.]利用余弦定理可解决两类问题考点3：判断三角形的形状例3、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B [由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A ． ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．] [变式探究1] 本题1中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0.又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．[变式探究2] 本题1中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形．判定三角形形状的2种常用途径二、三角形中常用的面积公式1.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．2.在△ABC 中常用结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C2. (5)tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . (6)∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . (7)合比定理：a sin A ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R .(8)在锐角三角形中①A ＋B ＞π2；②若A ＝π3，则π6＜B ，C ＜π2.考点4 求三角形的面积例4、(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos2π3，即c 2＋2c －24＝0， 解得c ＝－6(舍去)，c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.练习4、(2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________.【答案】233 [∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C >0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc >0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.]考点5 求解几何计算问题例5、如图，在△ABC 中，B ＝π3，BC ＝2，点D 在边AB 上，AD ＝DC ，DE ⊥AC ，E 为垂足．(1)若△BCD 的面积为33，求AB 的长； (2)若DE ＝62，求角A 的大小． 解 (1)∵△BCD 的面积为33，B ＝π3，BC ＝2， ∴12×2×BD ×sin π3＝33，∴BD ＝23. 在△BCD 中，由余弦定理可得 CD ＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝4＋49－2×2×23×12＝273. ∴AB ＝AD ＋BD ＝CD ＋BD ＝273＋23＝27＋23. (2)∵DE ＝62，∴CD ＝AD ＝DE sin A ＝62sin A. 在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝CDsin B.∵∠BDC ＝2∠A ，∴2sin 2A ＝62sin A sinπ3，∴cos A ＝22.∴A ＝π4.练习5、 (2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.考点6三角函数求值问题例6、(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B . 又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37 . 因为a <c ，所以cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.考点7解三角形综合问题例7、(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235 (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25 所以BC ＝5练习7、(2019·广东惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A ＝a cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝13，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．解 (1)△ABC 中，由条件及正弦定理得(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， ∴2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin B ．∵sin B ≠0，∴2cos A ＝1， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵a ＝13，b ＋c ＝5，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos π3＝52－3bc ＝13，∴bc ＝25－133＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×sin π3＝ 3.。