案例6 血管的三维重建

案例6 血管的三维重建

一、问题的提出

序列图象的计算机三维重建是应用数学和计算机技术在医学与生物学领域的重要应用之一[1]; 是医学和生物学的重要研究方法, 它帮助人们由表及里、由浅入深地认识生物体的内部性质与变化, 理解其空间结构和形态. 生物体的外部形态多种多样, 但借助一定的辅助工具, 人们凭肉眼一般都能观察清楚; 而其内部的复杂结构, 却不是一目了然, 只有剖开来才能看个究竟. 剖的方法很多, 其中一种是做成切片. 所谓切片就是用一组等间距的平行平面将生物体中需要研究的部位切成簿簿的一片片, 每一片就是生物体某一横断面的图象. 断面可用于了解生物组织、器官等的形态. 例如，将样本染色后切成厚约1微米(μm)的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构. 如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察. 按顺序排列起来就形成切片图象序列, 或称序列图象. 切片的制作过程实际上是一个分解的过程, 即将一个空间中的生物体的有关部分, 分解为一系列的平面图象. 但是，根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机重建组织、器官等准确的三维形态，则是序列图像的三维重建问题. [1]

假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成. 例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成. 现有某血管的相继100张平行切片图象[2]，记录了血管道与切片的交. 图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，图像文件均为BMP格式，宽、高均为512个象素（pixel）. 为简化起见，假设: 管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1. 取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99. Z=z时切片图象中象素的坐标为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），

（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），

……

（ 255，-256，z），（ 255，-255，z），…（255，255，z）.

以下图像是100张平行切片图象中的6张，全部图象请从网上（）下载.

Z=0, Z=1

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Z=49,

Z=50

Z=98, Z=99

图1 血管的6张切片图

血管序列图象的计算机三维重建是切片制作的逆过程. 我们的问题是: 计算血管道的中轴线与半径(即滚动球的半径)，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图.

二、问题的分析与假设

根据所提出问题的假设, 血管的表面是由球心沿着某一曲线(中轴线) 的球滚动包络而成, 且管道中轴线与每张切片有且仅有一个交点, 这样经过这个交点必切下球的最大圆面且这个交点为球滚动时的球心. 实际上, 根据文献[3], 可知这种等径管道有如下几何性质:

定理1[3] 等径管道每个切片的轮廓线是一族半径、圆心连续变化的圆的包络线, 而这族圆中半径最大的圆的圆心即为管道的中轴线与切片的交点, 半径即为管道半径。

因此, 我们用包络的方法把血管三维重建问题的数学模型归结为滚动球半径和中轴线r γ两部分。也就是说, 以中轴线γ上每一点为球心, 以固定常数为半径作球, 产生一球面簇, 血管即为该球面簇的包络。我们将100 张血管横断面图象的内边界按给定的坐标位置放置在空间, 可以发现这是一段粗细均匀的血管, 见图2。事实上,在无分叉情况下, 血管一般可看作粗细均匀的管道. 因此, 利用包络方法进行建模是合适的. 但是, 用包络方法表示的曲面可以很复杂, 但要表示粗细均匀血管则与r r γ之间应满足一定的约束[1]. 根据上述分析, 我们作如下假设:

1. 血管的表面是由半径固定的球的球心沿着中轴线)滚动包络而成;

2. 管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；

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3. 切片间距以及图象象素的尺寸均为1；

4. 对切片拍照的过程中不存在误差，数据误差仅与切片数字图象的分辨率有关；

5. 切片足够薄, 其厚度对计算的影响可以忽略不计.

因此, 解决血管序列图像的三维重建问题首先是确定每张切片图像的最大内切圆, 即确定最大内切圆半径和最大内切圆的圆心[1, 4-7], 其中最大内切圆的半径即为滚动球的半径, 而最大内切圆的圆心即为滚动球的球心. 虽然在理论上切片的最大内切圆是唯一的, 但是由于所给切片是BMP格式的图像, 是对原血管的切片的连续图形离散化而得到的近似图形, 则实际计算时有可能出现在一个切片中同时找到多个最大内切圆, 即内切圆不惟一

.

(a) 直接叠加成的图像(b) 改变视角所见的图像

图2 血管的切片图像叠加成的三维图像

三、数学模型的建立

血管序列切片图像的三维重建问题首先是求出滚动球的半径和中轴线方程, 其次是绘制出中轴线在各个平面上的投影. 根据上述分析和假设, 我们建立以下模型:

1. 对i个切片, 求出血管图像的最大内切圆的半径和圆心,

i

r

i

o0,1,,99

i=". 我

们先分别求图像内边界的和外边界的最大内切圆半径和圆心，然后取它们的平均作为血管图像的最大内切圆. 这里图像的内边界指得是图像最外边取0的像素点，图像的外边界则是最靠近图像取1点像素点。若单独取内边界则可能得到半径过小，这是由于二值数字图像存储方式的原因；反之则可能过大。

2. 根据平均法[1,4], 由

99

1

100i

i

R r

=

=∑确定血管管道的半径, 即滚动球的半径.

3. 将各圆心坐标

i

o(,)

i i

x y与纵向坐标

i

z i=(0,1,,99

i=")分别插值成关于的

三次样条曲线, 从而得到中轴线的以纵坐标为参数的参数方程.

z

z

4. 确立误差分析的方法, 提出调整算法对第2步和第3步的结果进行调整.

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