解析函数在无穷远点的性质

解析函数在无穷远点的性质
摘要:无穷远点作为解析函数的奇点的分类及其判定方法,给出含无穷远点的区域的柯西积分定理、积分公式,为下一步讨论函数在无穷远点处的留数计算做准备.
关键词:解析函数无穷远点奇点
1问题的提出
无穷远点是解析函数的孤立奇点时,它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据,而无穷远点处的留数计算及其相关定理是解决复变函数“大范围”的积分计算的有力工具。

所以,本文研究解析函数在无穷远点的性质及其分类。

2解析函数的定义
2.1 解析函数的定义
定义2.1[1]如果函数在区域内可微,则称为区域内的解析函数,或称在区域内解析.
2.2 奇点的定义
定义2.2[2]若函数在点不解析,但在的任一邻域内总有的解析点,则称为函数的奇点.
奇点分为孤立奇点和非孤立奇点两类,而孤立奇点根据函数在奇点去心邻域内洛朗展式主要部分的项数又可以分为三类:可去奇点(主要部分为0);极点(主要部分为有限多项);本质奇点(主要部分为无限多项).
例2.1判定函数的奇点及其类型.
解在平面上只有为孤立奇点,在其去心邻域内的洛朗展式为
,
因其主要部分为0,故为的可去奇点.
3 解析函数在无穷远点的性质
3.1 无穷远点的引入
在复分析中,我们讨论的函数在自变量趋于一个定点时,函数值可能趋于无穷大.为了讨论这种情况,我们在复数域中引入符号表示无穷大,并且约定.
同时规定它和有限数的运算关系如下:
(加减法) ,
(乘法) ,
(除法),,
在此定义下无意义.
由于在复平面上没有对应无穷远点的位置,因此在复平面上引入一个“理想点”与无穷大对应,称之为无穷远点,仍记为,且把复平面加上点后称为扩充复平面,常记作.另外扩充复平面的几何模型是复球面,且北极与复平面上的无穷远点相对应.
性质: 的实部﹑虚部及辐角都无意义, ;
复平面上每一条直线都通过点,同时没有一个半平面包含点.
3.2 无穷远点作为奇点的分类
由于任一函数在处无意义,所以点总是的奇点.
定义3.1 [3] 设函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称为的一个孤立奇点,否则为非孤立奇点.
若在平面上有一列趋于无穷远点的奇点,则为的非孤立奇点.
例3.1讨论的奇点的类型.
解:此函数因分母不能为0,故有奇点和.由于有限奇点(它们各为一阶极点)以为极限,故为此函数的非孤立奇点.
设为的孤立奇点, 在无穷远点的去心邻域内的洛朗展式为,在式中正幂部分称为在的主要部分,非正幂部分称为在的正则部分.
定义3.2设为函数的孤立奇点.
若在点的主要部分为零,则称为的可去奇点;
若在点的主要部分为有限多项,设为
,
则称为的阶极点;
若在点的主要部分有无限多项,则称为的本质奇点.
注: 若为的可去奇点,我们定义,则在处解析.
3.3 解析函数在无穷远点的性质
根据定义3.2,不难得到
定理3.1函数的孤立奇点为可去奇点的充要条件是下列条件之一成立: ;
令, 为
的可去奇点;
在的某去心邻域内有界.
例如, ,所以为函数的可去奇点.
定理3.2函数的孤立奇点为阶极点的充要条件是下列条件之一成立: 令, 为
的阶极点;
在的某去心邻域内能表成,
其中在的邻域内解析,且;
以为阶零点(只要令).
注:为的极点的充要条件是.
例3.2试确定函数的奇点的类型.
解:由,设
,因在的邻域内解析且,所以为阶极点.
定理3.3函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是下列条件之一成立:
不存在;
令, 为的本质奇点.
例3.3试确定函数的奇点的类型.
解:令,其在的空心邻域内的展式为
,
它的主要部分为无穷多项,故为的本质奇点.
定理 3.4 (含点的区域的柯西积分定理)设是一条周线,区域是的外部(含点), 在内解析且连续到;又设,则
,
这里及是在无穷远点去心邻域内的洛朗展式的系数.
证明:由已知有在解析,又,所以为可去奇点;设充分大,使及其内部全含于圆周的内部(图1),则得点的去心邻域: 在其内展成洛朗级数,设为
( 可为0).
因,
所以.
再就复围线(图1)应用柯西积分定理有:
,
,
.
定理3.5 (含点的区域的柯西积分公式)假设条件同定理3.4,则
这里表示的方向,含点的区域恰在一人沿它前进的方向.
证明:1)设,以为心作充分大的圆周,使及其内部全含于的内部(图2), 构成一复围线.则应用有界区域的柯西积分公式,
.
在(这里以为中心的点的去心邻域)内的洛朗展式可设为
( 可为0),
由此可得
.
当,有,
所以.
2) (即在图2中的阴影部分),有,
所以.
参考文献:
[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2005年版.
[2]陈广锋.无穷远点作为解析函数奇点时的讨论[J].西安教育学院学报,2000(3).。