解析函数在无穷远点的性质
函数解析的充要条件
函数解析的充要条件函数解析是研究函数的定义域和值域的一种方法，用于确定函数的限制条件和特性。
在数学中，函数解析的充要条件对于理解和推导函数的性质至关重要。
本文将介绍函数解析的充要条件及其应用。
一、函数解析的定义和概念在开始讨论函数解析的充要条件之前，我们先来了解一下函数解析的定义和概念。
函数解析是指确定函数的定义域和值域的过程。
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，而值域则是函数在定义域内所有可能的函数值的集合。
二、函数解析的充要条件函数解析的充要条件有以下几个要点：1. 定义域的确定：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。
在确定定义域时，需要避免出现分母为零、负数开偶次方根、负数的对数等不合法的情况。
2. 垂直渐近线的存在性：如果函数在某个点x=a的左右极限存在且相等，那么该点x=a处就存在着一个垂直渐近线。
3. 水平渐近线的存在性：如果函数在无穷远处的左右极限存在且相等，那么函数就存在一个水平渐近线。
4. 每一个分段函数段的解析条件：对于分段函数，每一个分段函数段都要满足解析条件。
也就是说，每一个函数段都需要符合函数解析的充要条件。
三、函数解析的应用函数解析的充要条件在解析函数性质和求解问题中有着广泛的应用。
1. 确定函数的定义域：通过函数解析的充要条件，我们可以确定函数的定义域，从而确定函数的取值范围。
2. 求解极限：函数的垂直渐近线和水平渐近线的存在性可以帮助我们求解函数的极限。
3. 分段函数的分析：分段函数的每一个函数段都需要满足解析条件，通过函数解析的充要条件，我们可以分析每一个函数段的性质。
4. 函数的图像绘制：根据函数解析的充要条件，我们可以确定函数的特性，从而绘制出函数的图像。
四、总结函数解析的充要条件是确定函数的定义域和值域的重要方法，对于理解和推导函数的性质具有重要意义。
本文介绍了函数解析的定义和概念，以及函数解析的充要条件及其应用。
通过了解和应用函数解析的充要条件，我们可以更加深入地研究和理解函数的性质。
第五章 洛朗级数
第五章 洛朗级数 第一节 洛朗展式双边幂级数设级数()()() +-++-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c c a z c 100 （1*）它在收敛圆R a z <-)0(+∞≤<R 内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 1；考虑函数项级数()() +-++-----n n a z c a z c 11 （2*） 作代换az -=1ξ 则（2*）即为 +++--n n c c ξξ1，它在收敛圆⎪⎭⎫⎝⎛+∞≤<<rr 101ξ内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2，从而（2*）在区域()+∞<≤>-r r a z 0内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2；当且仅当R r <时，（1*）（2*）有共同的收敛区域()+∞≤<≤<-<R r R a z r H 0:，此时，称()∑∞=-0n n n a z c 为双边幂级数。
关于双边幂级数的性质，见p185 定理1.5 定理1 （洛朗定理）设函数f (z )在圆环：)0(||:+∞≤<≤<-<R r R a z r H 内解析，那么在H 内,)()(∑+∞-∞=-=n n na z cz f其中，,...)2,1,0(,)()(211±±=-=⎰+τζζζπn d a f i c n n τ是圆ρρ,||=-a z 是一个满足R r <<ρ的任何数，并且展式是唯一的。
证明：H z ∈∀，作圆周11:ρτ=-a z 和22:ρτ=-a z 使z 含于圆环21':ρρ<-<a z H 内，于是()z f 在圆环'H 内解析。
由柯西积分公式()()ζζζπττd zf i z f ⎰-+-=1221 ()()nn n a z c d z f i -=-∑⎰+∞=0221ζζζπτ，其中()()ζζζπτd a f i c n n ⎰+-=2121 () ,1,1,0-=n 现考虑()()ζζζπζζζπττd z f i d z f i ⎰⎰-=--112121 ()()az aaz f z f ----=-ζζζζ11而沿1τ，1<--az a ζ，nn a z a az a ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛--=---∴011ζζ（在1τ上一致收敛）由于函数()ζζ-z f 沿1τ有界，所以()()()()n nn a z a a z f z f ---=-∑∞+=ζζζζ0 ∴()()()()∑⎰⎰+∞=----=-01112121n nn d a f i a z d z f i ττζζζπζζζπ ()()()ζζζπτd a f i a z n n n∑⎰-∞-=+--=11121故当H z ∈：()()∑+∞-∞=-=n nna z c z f ，其中()()ζζζπρτd a f i c n n ⎰+-=121() ,1,0±=n 展式的唯一性：设()()∑+∞-∞=-=n nna z c z f '任意取某正整数m ，在ρτ上有界，()()()∑+∞-∞=--+-=-∴n m n n m a z c a z z f 1'1()()()∑⎰⎰+∞-∞=--+⋅=-=-n m m n nm c i dz a z c dz a z z f '1'12ρρττπ()()⎰+-=∴ρτπdz a z z f i c m m 1'21() ,1,0±=m ，故() ,1,0'±==n c c n n，展式唯一。
5.4皮卡定理与解析函数在无穷远的性质
无穷远点是可去奇点的特征
定理5.3' 如果∞为函数 f(z) 的孤立奇 定理 则下列三条是等价的.它们中的任何 点，则下列三条是等价的 它们中的任何 一条都是可去奇点的特征. 一条都是可去奇点的特征 1. f(z) 在点∞的主要部分为零 的主要部分为零. 2. lim f ( z ) = b ( ≠ ∞ ) z→∞ 3. f(z) 在点 ∞ 的某去心领域内有界 的某去心领域内有界.
故 ϕ (ζ ) = e(1 − 2ζ + 6ζ + ⋯)
2
2 6 故 f ( z ) = e (1 − + 2 + ⋯) z z
(2 <| z |≤ ∞ )
1 (| ζ |< ) 2
在点z=∞的去心邻域内将函数 例5.13 在点 的去心邻域内将函数
f (z) = e
展成洛朗级数. 展成洛朗级数.
{zn} ，使得
lim f ( zn ) = ∞ = A. zn → a 一个收敛于a （2）当A≠∞时，若存在一个收敛于 的点列 ） 时 f ( zn ) = A. {zn} ，使得
则定理已经得证. 则定理已经得证 的某去心邻域K-{a}内 （3）相反的情形是 ）相反的情形是: 在a的某去心邻域 的某去心邻域 内 f(z) ≠A, 则 a 必为函数 ϕ(z) = 1 的本质奇点 的本质奇点.
一个收敛于a 故存在一个收敛于 的点列 {zn} ，使得 1 lim ϕ ( z n ) = lim = ∞ , 即 lim f ( z n ) = A. zn → a zn → a f ( z ) − A zn → a n
f (z) − A
例 5.9
i 1.若 A = ∞ ， 取 z n = 即 可 . n −n n
解析函数的主要性质综述
解析函数的主要性质综述作者：安辉燕来源：《科学导报》2017年第75期一、导引解析函数是一类具有某种特性的可微函数，它将我们所熟悉的数学分析中的一些内容推广到复数域上并研究其性质。
本文通过搜集材料，系统总结了解析函数的几个主要性质：解析函数的唯一性、零点的孤立性、零点的分布问题、解析函数在无穷远点的性质、解析变换的特征及解析函数、共轭解析函数和复调和函数之间的关系，并通过举例进行了深入、详细的分析。
二、预备知识1.定义如果函数在区域D内是可微的，则称为区域D内的解析函数。
复变函数中解析函数的充要条件有多种形式，最常见的有以下几种。
2.定理函数在区域D内解析的充要条件：A（1）二元函数在区域D内可微；（2）在D内满足方程。
B（3）在D内连续；（4）在D内满足方程。
C 在D内任意一点的邻域内可以展成的幂级数，也就是泰勒级数。
D C为D内任意一条周线，则。
三、解析函数的主要性质1.解析函数的唯一性定理（解析函数的唯一性）如果函数在区域D内解析，是D内彼此不同的点，并且点列的极限点，若有，则在D内必有。
根据定理我们可得到以下结论：推论1 如果函数在区域D内解析，且在区域内某点的邻域内有，则在D内必有。
推论2 如果函数在区域D内解析，且在区域D内某一曲线上有，则在内必有。
2.解析函数零点的孤立性定理如果在内的解析函数不恒为零，是的一个零点，则必存在的一个邻域使得在其中无其他零点。
（即：不恒为零的解析函数的零点具有孤立性）此性质是解析函数的特殊性质，实函数不具有此性质。
3. 解析函数零点的分布问题解析函数的零点的分布问题是复变函数论中的一个重要问题，一下就复多项式的零点可以全部分布在一个指定的区域内这个问题进行讨论。
定理1若复平面上多项式在虚轴上无零点，则它的零点全分布在右半平面上的充要条件为。
定理2若复平面上多项式在实轴上无零点，则它的零点全分布在上半平面的充要条件为。
四、解析变换的特性解析函数的特性是从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论。
6.2.函数在无穷远点的留数及其应用
∫
Γ−
− 2π i , dz = n z 0,
n = 1 n ≠ 1
f ( z) = L+ c−2 z−2 + c−1 z −1 + c0 + c1 z + L+ cn zn + L
dz −2π i , n = 1 及∫ − n = 可推出 Γ z n≠1 0,
∫
z=∞
Γ
f (z) =L+ c−2z + c−1z + c0 + c1z +L+ cnz +L 1)在0 <| t |≤ 1 内的洛朗展式为 则f ( t r
n
再利用洛朗级数证明这个公式 设f ( z)在r ≤| z |< +∞内的洛朗展式为
−2 −1
1) = L+ c t 2 + c t + c + c t −1 +L+ c t −n +L f (t 0 1 n −2 −1 1) 1 =L+ c + c t−1 + c t−2 + c t−3 +L+ c t−n−2 +L f ( t t2 0 1 n −2 −1
15
I = 2π i[− Re s f (z)]
z=∞
Re s f (z) = −c−1
z=∞
I = 2π i ⋅ c−1
z 易知z = ∞是f ( z) = 2 的一阶零点 2 4 3 ( z + 1) ( z + 2)
15
∴c−1 = limzf (z) = lim
z→∞ z→∞
在∞ 的去心邻域内有 c −1 c −2 ∴ f (z) = + 2 +L z cz ∴ zf ( z ) = c−1 + −2 + L 16 z z
5.3解析函数在无穷远点的性质
定理5.4/ (对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=∞为m级 极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(1) f(z)在 z=∞的主要部分为
b1z b2 z 2 bm z m (bm 0);
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1
(z 1)( z 2)
g(z) (z 1)( z 2) z 2 1 1 1 2 z z
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补充例 2：求出下列函数的 奇点，并确定他们的类 型（对于极点，要指出它们的 级），对于无穷远点 也要加以讨论。
(1)
f
(z)
z6 z(z2
例4
问函数
1 sec
z 1
在z＝1的去心邻域内能否展开为洛朗级数.
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例5 设f(z)在0<|z-a|<R内解析，且不恒为零；又 若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试证 a必为f(z)的本性奇点。
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定理5.6’(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点∞为本 性奇点的充要条件是下列任何一条成立: (1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂
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不等于零; (2) lim f (z) 广义不存在(即当z趋向于∞
z
时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).
例1 f (z)
5.3解析函数在无穷远点的性质
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复变函数论 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点
第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点§1 解析函数的洛朗展式教学目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法.重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 难点：解析函数的洛朗展式的证明. 课时：2学时定义5.1 级数101()()()n n n nn C C C z a C C z a z a z a+∞--=-∞-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅--∑(5.1) 称洛朗()Laurent 级数，n C 称为(4.22)的系数.对于点z ，如果级数01()()()nn nn n C z a C C z a C z a +∞=-∞-=+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑ (5.2)收敛于1()f x ，且级数1()()n n n n n C C C z a z a z a+∞--=-∞-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+--∑ (5.3) 收敛于2()f x ，则称级数(4.22)在点z 收敛，其和函数为1()f x +2()f x 当0n C -=(1,2,)n =⋅⋅⋅时，(5.1)即变为幂级数.类似于幂级数，我们有定理5.1 设()f z 在圆环12:D R z a R <-<12(0)R R ≤<<+∞内解析，则在D 内()()nn n f z C z a +∞=-∞=-∑(5.4)其中11()2()n n f z C dz i z a π+Γ=-⎰ (0,1,)n =±⋅⋅⋅ (5.5) :z a ρΓ-=，且12R R ρ<<，系数n C 被()f z 及D 唯一确定.(5.4)称为()f z 的洛朗展式.证明：对:z H ∀∈作1:1z a ρΓ-=，2:2z a ρΓ-=，（其中12r R ρρ<<<） 且使z D ∈：12z a ρρ<-<，（如图5.1）由柯西积分公式，有()()2112f f z d i z ξξπξ-Γ+Γ==-⎰()212f d i z ξξπξΓ-⎰+()112f d i z ξξπξΓ-⎰图5.1对于第一个积分，只要照抄泰勒定理证明中的相应部分，即得：()212f d i z ξξπξΓ-⎰=()0nn n C z a ∞=-∑ 其中()()1212n n f C d i a ξξπξ+Γ=-⎰()!n f a n = 对于第二个积分()112f d i z ξξπξΓ-⎰： ()()()()()()1f f f z z a a z a z a a ξξξξξξ==----⎛⎫---⎪-⎝⎭当1ξ∈Γ时11az az aρξ-=<--1111n n a a z a z aξξ-∞=-⎛⎫∴=⎪--⎝⎭--∑ （右边级数对于1ξ∈Γ是一致收敛）上式两边乘上()f z a ξ-得：()f z ξξ=-()11n n f a z a z a ξξ-∞=-⎛⎫ ⎪--⎝⎭∑=()()()111n n n f z a a ξξ∞-+=--∑ 右边级数对1ξ∈Γ 仍一致收敛，沿1Γ逐项积分，可得()112f d i z ξξπξΓ-⎰=()11n n z a ∞=-∑()()1112n f d i a ξξπξ+Γ-⎰ 其中n C =()()1112n f d i a ξξπξ-+Γ-⎰113. 3.10P Th ()()112n f d i a ξξπξ-+Γ-⎰ 于是：()()nn n f z C z a +∞=-∞=-∑， 其中n C =()()112n f d i a ξξπξ+Γ-⎰ （n=0,1,± ） 下面证明展式唯一，若在H 内()f z 另有展开式()()'nnn f z C z a +∞=-∞=-∑右边级数在Γ上一致收敛，两边乘上()11m z a +-得：()()1m f z z a +-=()'1nm n n C z a ∞-+=-∞-∑，右边级数在Γ上仍一致收敛，沿Γ逐项积分，可得：()()112m f d i a ξξπξ+Γ-⎰=()'1112n m n n C d i a ξπξ+∞-+Γ=-∞-∑⎰ ∴'n C =n C 即展式是唯一的.注：1）定理中的展式称为洛朗展开式，级数称为洛朗级数. n C 称为洛朗系数.2）泰勒展式是洛朗展式的特例. 例1．求()()()112f z z z =--在（1）1,(2)12,(3)2(4)011z z z z <<<<<∞<-<中的洛朗展开式. 解：()1121f z z z =--- (1）()00111122212nnn n z f z z z z ∞∞==⎛⎫=-=-=⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭∑∑12nn n n n z z ∞∞+==-∑∑=10112n n n z ∞+=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ (1z <).(2) ()1121f z z z =---1112112z z z =--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100112n n n n n z z z ∞∞+==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ 110012n n n n n z z∞∞++==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑. (12z <<)(3) ()1121f z z z =-=--112111z z z z -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1000121121n n n n n n n n z z z z∞∞∞+===⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑ . (2z <<∞) (4)()()()0111111211111nn f z z z z z z z ∞==-=-=---------∑. (011z <-<)此例子说明：同一个函数在不同的圆环内的洛朗展式可能不同. 例2 求2sin z z 及sin zz在0z <<+∞内的洛朗展式 解 2s i n z z 3211(1)3!5!(21)!n n z z z z n --=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ sin z z 242(1)13!5!(21)!n nz z z n -=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+例3 1ze 在0z <<+∞内的洛朗展式为 解 1z e 211112!!n z z n z=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ 作业: 第217页 1 (1) (3), 2(1)(3)§2解析函数的孤立奇点教学目的与要求: 掌握洛朗定理及孤立奇点的分类及判断方法. 重点:孤立奇点的分类及判断方法. 难点：函数在本质奇点的邻域的性质. 课时：2学时 一 . 定义：1．设()f z 在点a 的某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sin z以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠--- m m m m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二．判定 1．可去奇点定理5.3 设a 为()f z 的孤立奇点,则下列条件等价(1)a 为f 的可去奇点 (2)lim ()()→=≠∞z af z b3（）f 在a 的某去心邻域内有界证明:"(1)(2)"⇒设条件1（）成立,则在a 的某一去心邻域内,有0()lim ()()∞→==∴=≠∞-∑nnz an f z f z z a c c"(2)(3)":⇒显然成立."(3)(1)"⇒设f 在a 的去心邻域{}:0-<-<k a z a R 内以M 为界考虑()f z 在点z 的主要部分:11()(1,2,): 02()ξξξρρπξ-+-Γ==Γ-=<<⎰- n n f d n a R i c a()112002πρρρπρ--+≤=→→n n n MC M 120--∴===∴ a c c 为可去奇点.例：说明0=z 是sin zz的可去奇点. 法一：324sin 1()1 03!3!5!=-+=-+<<∞ z z z z z z z z法二：0sin lim 1→=≠∞z zz2.极点定理5.4 设a 为()f z 的孤立奇点.则下列条件等价：1（）a 为f 的m 级极点2（）f 在a 的某去心邻域：{}:0-<-<k a z a R 内可表示为()()()λ=-mz f z z a 其中()λz 在k 内解析，且()0λ≠a1(3).()()=g z f z 从a 为m 级零点(可去奇点作为解析点看) 证明："(1)(2)"⇒设条件(1)成立，即()f z 在a 的某去心邻域内有：101()()()--=++++-+-- m m c c f z c c z a z a z a(0)-≠m c1110()()()()---+-+-++-+-+=-m m m m mc c z a c z a c z a z a ()()记λ-mz z a（()λz 为幂级数的和函数，故解析）其中()λz 在a 的某邻域内解析，且从()0λ-=≠m a c"(2)(3)"⇒：设条件(2)成立，即f 在a 的某去心邻域{}:0-<-<k a z a R内有()()()λ=-mz f z z a ，其中()λz 满足已知的两个条件.由例知存在:.()ρ'-<≤'⊂K z a R K K ，使得在'K 内()0λ≠z . 故在'K 内1()λz 解析，且1()0()ϕλ=≠a a .即a 为1()f z 的m 级零点. "(3)(1)"⇒设条件(3)成立，即1()(),()ϕ=-m z a z f z 其中()ϕz 在a 的某领域内解析，且()0ϕ≠a ，由33P 的例1.28知:,ρ∃'-<K z a 使在K 内1()0,()ϕϕ≠∴z z 在'K 内解析.由Taylor 定理， 在'K 内有011()()ϕ=+-+ b b z a z∴在{}'-K a 内有0111()()[()]()()ϕ==+-+-- m mf z z b b z a z a z a01()()=++-- m mb b z a z a 0(0)≠b作业: 第218-219页 4(1) (3) (5), 5(1) (3).§3解析函数在无穷远点的性质教学目的与要求:掌握解析函数在无穷远点的性质. 重点: 解析函数在无穷远点的性质. 难点：解析函数在无穷远点的性质. 课时：2学时1. 基本概念1.1 2 3 2.如证令数引理：设()f z 在K ：z <1内解析，且(0)0,()f f z =<1则 a ）()f z z ≤， b ）(0)1f '≤， c ）若(0)1f '=，或00z∃≠，使00()f z z =则()()i f z z R e αα=∈.证明：由已知得：12()f z z z c c =++ (1)z <令212(),(0)()(0)f z c c z z z z c z ϕ⎧=++≠⎪=⎨⎪=⎩则()z ϕ在:1K z <内解析.对0,z K ∀∈取r ，使01,z r <<由最大模原理有：0()1()max ()maxz rz rf z z z zrϕϕ==≤=≤. 令1r →得0()1z ϕ≤，特别地，1(0)(0)1f c ϕ'==≤即（b ）成立，又若00z ≠，由0()1z ϕ≤，得00()1f z z ≤，即00().f z z ≤以及(0)0f =，故对z K ∀∈，有()f z z ≤，即（a ）成立.几何意义：在引理条件下，z 的象都比z 本身，距坐标原点要近.若有00z ≠，0z 的象与0z 本身距原点的距离相等，则变换仅仅是一个旋转.作业: 第219页6, 7, 8 (1) (3).。
复变函数与积分变换第五章
解 函数 f (z) 除点 z 0, 1, 2 外,
在 z 内解析 . 因(sin z) cos z 在 z 0, 1, 2, 处均不为零.
所以这些点都是 sin z 的一阶零点,
故这些点中除1, -1, 2外, 都是 f (z)的三阶极点.
30
因 z2 1 (z 1)(z 1), 以1与- 1为一阶零点，
展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
公式知: f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2, m 1);
并且
f
(m)(z0 ) m!
c0
0.
（充分性） 由于 f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2, m 1);
f
( m ) ( z0 m!
)
c0
0.
故
邋 f (z) =
ゥ f (n) (z0 ) (z n= m n!
6
例3 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
7
例4 说明 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
1 1 z 1 zn1 , 0 z
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
另解 因为 lim e z 1 lim ez 1, 作业2.4.8(洛必达法则)
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
解析函数的泰勒展开及洛朗展开
洛朗级数的收敛性
洛朗级数的收敛性取决于函数在圆环 域内的性质。如果函数在圆环域内解 析且满足一定的条件，则洛朗级数在 该圆环域内收敛。
洛朗级数的收敛性可以通过比较判别 法、根值判别法等方法进行判断。如 果洛朗级数的通项满足一定的条件， 则该级数收敛。
常见函数的洛朗展开
一些常见的函数在特定的圆环域内可以展开成洛朗级数。例如，函数$f(z) = frac{1}{z}$在圆环域$0 < |z| < infty$内可以展开 成洛朗级数$frac{1}{z} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n z^{-(n+1)}$。
计算复变函数的值
通过泰勒展开，可以将一个复杂的复 变函数表示为一个简单的多项式形式， 从而方便计算函数在某一点的数值。
VS
利用洛朗展开，可以将一个在某一点 不解析的复变函数表示为一个在该点 解析的函数与一个在该点不解析但已 知的函数之和，进而计算该点的函数 值。
证明复变函数的等式与不等式
泰勒展开和洛朗展开可以将复变函数表示为 幂级数形式，通过比较相应项的系数，可以 证明两个复变函数之间的等式或不等式关系 。
PART 04
解析函数在复平面上的性 质
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解析函数的零点与奇点
零点
解析函数的零点是指在该点上函数值为零的点。零点可以是孤立的，也可以是连续的。 例如，多项式函数的零点就是其根。
奇点
解析函数的奇点是指在该点上函数不解析的点，即函数在该点上没有定义或者不可微。 奇点可以是孤立的，也可以是连续的。常见的奇点类型包括可去奇点、极点和本性奇点。
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展开形式的差异
beurrling定理
beurrling定理Beurling定理是20世纪50年代由瑞典数学家Arne Beurling提出的一个重要数学定理，它在数论和复变函数理论中具有重要的应用。
该定理可以用来研究解析函数的性质以及整数序列的分布规律。
本文将介绍Beurling定理的基本概念和应用，并探讨它在数学领域中的重要性。
我们来介绍一下Beurling定理的基本概念。
在复变函数理论中，解析函数是指在某个区域内处处可导的函数。
Beurling定理研究的是解析函数的性质，特别是它们在无穷远处的行为。
具体来说，Beurling定理给出了解析函数的渐进增长率与它在无穷远处的奇点的关系。
更具体地说，对于一个解析函数f(z)，如果它在无穷远处有一个本质奇点，那么Beurling定理告诉我们，函数f(z)的模长在无穷远处以指数形式增长。
换句话说，存在一个正数M和一个实数α，使得当|z|趋向于无穷大时，|f(z)|至少以e^α|z|^M的速度增长。
这个定理的重要性在于它揭示了解析函数在无穷远处的行为，从而有助于我们研究解析函数的性质和应用。
Beurling定理在数论中也有重要的应用。
数论是研究整数性质和整数序列分布规律的数学分支。
Beurling定理可以用来研究整数序列的分布问题。
具体来说，对于一个整数序列，如果它在无穷远处的分布规律满足一定的条件，那么Beurling定理告诉我们，这个整数序列的分布密度在无穷远处至少以指数形式减小。
这个定理的应用领域非常广泛，包括素数分布、整数分拆、离散对数等问题。
除了数论和复变函数理论，Beurling定理还在其他数学领域中有重要的应用。
例如，在无线通信领域，Beurling定理可以用来研究信号传输的带宽和功率的关系。
在图论中，Beurling定理可以用来研究无向图的连通性。
在概率论中，Beurling定理可以用来研究随机过程的极限行为。
总结一下，Beurling定理是一个重要的数学定理，它在数论和复变函数理论中具有广泛的应用。
《复变函数》考试大纲
《复变函数》考试大纲
一、考试要求：
1、理解复变函数的基本概念；
2、掌握复变函数的基本定理；
3、掌握柯西定理，柯西公式，级数，留数，保形映射理论
二、考试内容：
主要内容：
1、复数域, 复数及其几何表示
2、柯西-黎曼条件，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等初等函数
3、复变函数的积分，柯西定理，柯西公式
4、幂级数，解析函数的泰勒展示，解析函数的洛朗展示，解析函数的孤立奇
点
5、留数定理，留数的计算
6、分式线性函数，分式线性函数的映射性质
次要内容：
1、复球面及无穷大，区域·曲线,
2、极限与连续性，辐角函数
3、莫勒拉定理
4、解析函数的唯一性，解析函数在无穷远点的性质
5、导数的几何意义，黎曼定理
要求：主要内容不少于70%，次要内容不超过30%.
三、试卷结构：
1、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）.
2、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
3、计算题及应用题（共5小题，共50分）.
4、证明题（1题，分值为10分）.
要求：基本题不低于70%，难题不超过30%.
四、参考书目：
1、《复变函数论》．钟玉泉编著．高等教育出版社，1979.8
2、《复变函数》（第二版）．路见可，钟寿国．刘士大学出版社，1993.12
3、《复变函数》．孙清华，夏敏学，编著．湖北科技术出版社，1998.1
4、《复分析》．郑建华编著．清华大学出版社，2000.3
5、《复变函数内容、方法与技巧》．孙清华．孙技大学出版社，2003.7。
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables（三）开课对象：数学教育专科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。
已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。
先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。
（五）教学目的：通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。
（六）教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。
（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。
1、使学生掌握复数各种表示方法及其运算。
2、使学生了解区域的概念。
3、使学生了解复球面与无穷远点。
4、使学生理解复变函数概念。
教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个基本概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复连续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数1.1 复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集2.1 平面点集的几个基本概念（领会）2.2 区域、约当曲线（领会）3、复变函数3.1 复极限、复连续（识记）4、复球面和无穷远点4.1 无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。
复变函数论钟玉泉第五章
在 0
z
内的洛朗级数。
例3 求函数
1
f z ez
在 0 z 内的洛朗级数。
例4
求函数
f
z
(z2
1 1)( z
3)
在
1 z 3 内的洛朗级数。
7
4. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式
定义5.2 如果f(z)在点a的某一去心邻域
K-{a}： 0<|z-a|<R 内解析，点a是f(z)的奇点，
(2)在对应点z与z/上,函数 f (z) (z')
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z
z0
20
定义5.5 若z/=0为 (z') 的可去奇点(解析点)、 m级极点或本性奇点,则相应地称z=∞为f(z) 的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点.
21
定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可 去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(3)
=>(1).
因主要部分的系数
cn
1
2i
f
a n1
d
其中 : a , 可任意小，故
cn
1
2
f
a n1
d
1
2
M
n1
2
M n
cn 0 n 1，2,
13
3. 施瓦茨(Schwarz)引理
Schwarz引理 如果函数f(z)在单位圆|z|<1内解析, 并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，则在单位圆 |z|<1内恒有|f(z)|≤|z|,且有 | f (0) |1. 如果上式等号成立,或在圆|z|<1内一点z0≠0 处前一式等号成立,则(当且仅当)
第3节 解析函数在无穷远点的性质
z b z > Max{a , b}, 内分出单值解析分支,
z a a b ln = ln(1 ) ln(1 ) + 2kπi z b ∞ z n1 ∞ z (1) a n (1)n1 b n = 2kπi + ∑ ( ) ∑ ( ) n z n z n=1 n=1 ∞ bn an 1 = 2kπi ∑(1)n1 n zn n=1 ∞ f 可 奇 . k = 0,1,2,; 故 为 (z)的 去 点
f (z) = z (z)
m
(5.11) ;
'
其 (z)在 =∞的 域 内 析 (∞) ≠ 0; 中 z 邻 N 解 ,且
1 (3) g(z) = 以z = ∞为m 阶零点只要令g(∞) = 0). ( f (z)
例2研 函 f (z) = (1 z)(2 z)的 点 =∞的 型 究 数 奇 z 类 .
即 是 (z)的 孤 奇 , 0 f 非 立 点
故 (z)在 = 0的 心 域 不 展 Laurent级 . f z 去 邻 内 能 为 数
内 0 , , 例7 若函数f (z)在 < z a < R 解析且不恒为零 又 f (z)有 列 于 但 与 为 点 零 , 证 若 一 异 a 都 a 聚 的 点试 a 必 f (z)的 质 点 为 本 奇 .
lim f (z) = ∞.
z→∞
孤 奇 ∞ 本 奇 的 要 件 4 定 5.6' f (z)的 立 点 为 质 点 充 条 是 理
下列两条中任何一条成立
(1) f (z)在 =∞的 要 分 无 多 正 不 于 ; z 主 部 有 穷 项 幂 等 零 (2) lim f (z)不存在即当z趋向∞时 f (z)不趋向于任 ( ,
复变函数论教学大纲
复变函数论课程教学大纲一、课程说明1、课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass 及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2、课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。
3、先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数后续课程：数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等4、教学时数分配表5、使用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉编；高等教育出版社。
6、教学方法与手段（1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；（2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；（3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；（4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。
复变函数课件
定义： 内解析, 称点∞为 f (z)的孤立奇点.
1 作变换 w = 把扩充z平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞ z 1 0 映射成扩充w平面上原点的去心邻域：<| w |< . R 又 f ( z ) = f ( 1 ) = ϕ ( w) .这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞
tan
1 z k = 1 k + π 2
(k = 0,±1,±2,L)为本性奇点
z = 0为非孤立奇点；
§4.整函数与亚纯函数的概念 整函数与亚纯函数的概念 4.1 整函数 4.2 亚纯函数
4.1 整函数
定义：在整个复平面上解析的函数称为整函数。
设f ( z )为一整函数，则 f ( z )只以 z = ∞ 为孤立奇点，
且可设： f ( z ) =
∑
∞
n=0
c n z n (0 ≤| z |< +∞ ) (5.14)于是有
定理5.10 若 f (z ) 为一整函数，则 为一整函数， 定理 (1) z = ∞ 为的可去奇点的充要条件是f (z )为常数； 为常数； (2) z = ∞为 f (z )的 m 级极点的充要条件是f (z ) 是一 个m 次多项式. 次多项式 (3) z = ∞为的本性奇点的充要条件是 为的本性奇点的充要条件是(5.14)有无穷 有无穷 不等于零.(这样的整函数称为超越整函数 这样的整函数称为超越整函数) 多个 c n不等于零 这样的整函数称为超越整函数
定义 5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯 函数。 亚纯函数可以表示成两个整函数的商,也可以 表示成部分分式(有理函数式)。
第3节 解析函数在无穷远点的性质
b n n z
b1 b0 b1 z z
bn z n
当 z 逐渐增大趋向 时, 主要与次要互相转化.
3.定义5.5 若w 0为 ( w)的可去奇点(解析点), m阶
极点或本质奇点; 则我们相应地称z 为f ( z )的可去奇 点(解析点), m阶极点或本质奇点. 4. f ( z)在N {}: z r 0内Laurent展式为
第三节 解析函数在 无穷远点的性质
Department of Mathematics
一 解析函数在无穷远点的性态
1.定义5.4 设函数f ( z)在无穷远点(去心)邻域
N {}: z r 0
内解析, 则称点为f ( z)的一个孤立奇点.
注 若是f ( z)的奇点的聚点, 则为f ( z)的非孤立奇点. 1 2. 为f ( z)的孤立奇点,利用倒数变换 w z 1
( w)
bn w
n 1
n
b0 b n wn
n 1
主要部分
正则部分
( w)
b w
n 1 n
n
b0 b n wn
n 1
(1) 若bn 0, n 1, 2,
; 则0为 (w)的可去奇点;
(2) 若只有有限个bn 0(n 0), 则0为 (w)的极点; (3) 若有无穷个bn 0(n 0), 则0为 (w)的本质奇点.
1 在w平面上点w 0的去心邻域K {0}: 0 w r 内解析, w 0为 (w)之一孤立奇点.
于是 ( w) f ( ) f ( z ) w
(5.12)
注1 处理无穷远点作孤立奇点的方法,作倒数变换,
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解析函数在无穷远点的性质
摘要:无穷远点作为解析函数的奇点的分类及其判定方法,给出含无穷远点的区域的柯西积分定理、积分公式,为下一步讨论函数在无穷远点处的留数计算做准备.
关键词:解析函数无穷远点奇点
1问题的提出
无穷远点是解析函数的孤立奇点时,它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据,而无穷远点处的留数计算及其相关定理是解决复变函数“大范围”的积分计算的有力工具。
所以,本文研究解析函数在无穷远点的性质及其分类。
2解析函数的定义
2.1 解析函数的定义
定义2.1[1]如果函数在区域内可微,则称为区域内的解析函数,或称在区域内解析.
2.2 奇点的定义
定义2.2[2]若函数在点不解析,但在的任一邻域内总有的解析点,则称为函数的奇点.
奇点分为孤立奇点和非孤立奇点两类,而孤立奇点根据函数在奇点去心邻域内洛朗展式主要部分的项数又可以分为三类:可去奇点(主要部分为0);极点(主要部分为有限多项);本质奇点(主要部分为无限多项).
例2.1判定函数的奇点及其类型.
解在平面上只有为孤立奇点,在其去心邻域内的洛朗展式为
,
因其主要部分为0,故为的可去奇点.
3 解析函数在无穷远点的性质
3.1 无穷远点的引入
在复分析中,我们讨论的函数在自变量趋于一个定点时,函数值可能趋于无穷大.为了讨论这种情况,我们在复数域中引入符号表示无穷大,并且约定.
同时规定它和有限数的运算关系如下:
(加减法) ,
(乘法) ,
(除法),,
在此定义下无意义.
由于在复平面上没有对应无穷远点的位置,因此在复平面上引入一个“理想点”与无穷大对应,称之为无穷远点,仍记为,且把复平面加上点后称为扩充复平面,常记作.另外扩充复平面的几何模型是复球面,且北极与复平面上的无穷远点相对应.
性质: 的实部﹑虚部及辐角都无意义, ;
复平面上每一条直线都通过点,同时没有一个半平面包含点.
3.2 无穷远点作为奇点的分类
由于任一函数在处无意义,所以点总是的奇点.
定义3.1 [3] 设函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称为的一个孤立奇点,否则为非孤立奇点.
若在平面上有一列趋于无穷远点的奇点,则为的非孤立奇点.
例3.1讨论的奇点的类型.
解:此函数因分母不能为0,故有奇点和.由于有限奇点(它们各为一阶极点)以为极限,故为此函数的非孤立奇点.
设为的孤立奇点, 在无穷远点的去心邻域内的洛朗展式为,在式中正幂部分称为在的主要部分,非正幂部分称为在的正则部分.
定义3.2设为函数的孤立奇点.
若在点的主要部分为零,则称为的可去奇点;
若在点的主要部分为有限多项,设为
,
则称为的阶极点;
若在点的主要部分有无限多项,则称为的本质奇点.
注: 若为的可去奇点,我们定义,则在处解析.
3.3 解析函数在无穷远点的性质
根据定义3.2,不难得到
定理3.1函数的孤立奇点为可去奇点的充要条件是下列条件之一成立: ;
令, 为
的可去奇点;
在的某去心邻域内有界.
例如, ,所以为函数的可去奇点.
定理3.2函数的孤立奇点为阶极点的充要条件是下列条件之一成立: 令, 为
的阶极点;
在的某去心邻域内能表成,
其中在的邻域内解析,且;
以为阶零点(只要令).
注:为的极点的充要条件是.
例3.2试确定函数的奇点的类型.
解:由,设
,因在的邻域内解析且,所以为阶极点.
定理3.3函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是下列条件之一成立:
不存在;
令, 为的本质奇点.
例3.3试确定函数的奇点的类型.
解:令,其在的空心邻域内的展式为
,
它的主要部分为无穷多项,故为的本质奇点.
定理 3.4 (含点的区域的柯西积分定理)设是一条周线,区域是的外部(含点), 在内解析且连续到;又设,则
,
这里及是在无穷远点去心邻域内的洛朗展式的系数.
证明:由已知有在解析,又,所以为可去奇点;设充分大,使及其内部全含于圆周的内部(图1),则得点的去心邻域: 在其内展成洛朗级数,设为
( 可为0).
因,
所以.
再就复围线(图1)应用柯西积分定理有:
,
,
.
定理3.5 (含点的区域的柯西积分公式)假设条件同定理3.4,则
这里表示的方向,含点的区域恰在一人沿它前进的方向.
证明:1)设,以为心作充分大的圆周,使及其内部全含于的内部(图2), 构成一复围线.则应用有界区域的柯西积分公式,
.
在(这里以为中心的点的去心邻域)内的洛朗展式可设为
( 可为0),
由此可得
.
当,有,
所以.
2) (即在图2中的阴影部分),有,
所以.
参考文献:
[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2005年版.
[2]陈广锋.无穷远点作为解析函数奇点时的讨论[J].西安教育学院学报,2000(3).。