量子力学第六章

1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据一系列的实 验事实大胆地提出这样一个假设：电子不是点电荷，它除了轨 道角动量以外，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量。
L ll 1 , l 0,1,2,3,......n. S ss 1 , s 1/ 2
轨道量子数
自旋量子数
Lz ml ml 0,1,2,..... l
dL mr dv r ma r F 磁力矩的存在将引起角动量的变化
dt
dt
B
L
B
d d L μ B 或
dt
dt
d ; B
dt
这就是拉莫尔进动的角速度公式。它表明：在均匀外磁场中
的一个高速旋转的磁矩并不向 B 方向靠拢，而是以一定的角 速度 绕 B 进动， 的方向和 B 的方向一致。
Sz
1 2
ms
1. 2
任何电子都有相同的自旋角动量 1 ，而且它们在z方
2
向的分量只取两个数值 1 ，自旋磁矩是理论值的两倍。
2
电子自旋是原子物理学和量子力学中十分重要的概念， 在假说的提出与被接受的过程中，从名不见经传的在校学 生到物理学权威皆卷入其间，不同观点针锋相对，虽然电 子自旋假说的提出稍早于量子论的矩阵力学和波动力学， 但它们之间没有直接的逻辑联系，因此不是物理学史家关 注的焦点。
x方向：x v/ /t v/ / (t1 t2 ) 原子束在经过磁场区（长度为d）
z方向:
z1
1 2
Fz m
t12
到达出口时，已经偏离x轴z1的 距离，此时沿z方向的速度为
v
at1
D
d
2
Fz m
v/ /t2
d v/ /
z2 z1 vt2
然后原子束沿直线运动，一直落
在屏幕P上，那时偏离x轴的距离
r2n0
e 2me
mern0
e 2me
L
令 e γ称为旋磁比，式中me为电子的质量，则
2me
L
此公式即为原子中电子绕核 运动的磁矩和电子的轨道角动 量之间的关系式。
L
可见电子绕核运动的磁矩与轨
v μ
道角动量是反向的（磁矩方向是 根据电流方向的右手螺旋定则定 义的， L r m mr ）。
到五个取向；而对于锌、镉、汞等原子，只观察到一个取向。
但对于氢、锂、钠、钾、铜、银、金等原子都观察到两个取向。
这只能说明，到此为止，我们对原子的描述仍然是不完善的。
三、电子自旋假设
从史特恩—盖拉赫实验只能解释奇数条纹分裂，无法解释偶 数条纹分裂。该实验出现偶数分裂的事实，给人的启示是：要 2l+1为偶数，只有角动量为半整数，而根据轨道角动量理论是 l不可能给出半整数的。
Fz
U z
x
Bx z
y
By z
z
Bz z
由于B的方向在z轴方向，所以
Fz
z
Bz z
由此可见，只有在非均匀磁场中才能有最终的合力。
原子束以水平速度v进入磁场，在垂直方向受到力FZ的作用，这
就好比平抛运动，原子束在磁场内将作抛物运动。假设氢原子刚 离开磁场区域的时间为t1，离开磁场到达屏幕的时间为t2。
B0
B 0 z
史特恩—盖拉赫实验(1922) 角动量取向量子化
史特恩和盖拉赫的功绩之一，就是制造了一块能在很小线度
内产生不均匀磁场的磁铁，对于这样的一个磁场，磁矩只有在Z
方向受力
B U B μ B
任何一个力都可以写成势能的负梯度，即
F
U
U x
iˆ
U y
ˆj
U z
kˆ
所以，一磁矩在z方向上受到的力就可以写成
第六章 电子自旋及一般角动量
§6.1 电子自旋的引入 §6.2 自旋算符和自旋态矢量 §6.3 一般角动量的基本知识 §6.4 两个角动量的耦合
§6.1 电子自旋的引入
一、电子的轨道磁矩 二、施特恩-盖拉赫实验 三、电子自旋假设
一、电子的轨道磁矩
经典磁矩μ的表达式（载流线圈）
B
iSn0
式中i是电流的大小；S是电流所围面
为z2，可以证明
z2
z1 at1t2
1 2
at12
at1t2
1 2
Fz m
d v/ /
2
Fz m
d v/ /
Dd
2
v/源自文库/
FzdD mv/ / 2
v// v
Fz
z
Bz z
z2
z
Bz z
dD mv2
热平衡时，原子的速度满足 mv2 3kT
z2
z
Bz z
dD 3kT
z cos
z2
磁矩及其Z分量的大小是量子化的，它来源于轨道角动量L及 其Z分量LZ的大小的量子化。
L l(l 1) Lz ml
Z
μ
L
L l l(l 1)B , l 0,1,2,3.......n
l,z mlB , m 0,1,2,3....... l
二、史特恩—盖拉赫实验
史特恩和盖拉赫在1921年进行的实验是对原子在外场中取向 量子化的首次直接观测，它是原子物理学中最重要的实验之一， 其装置示意图如下 氢原子从容器O内通过小 孔逸出，氢原子通过狭缝 后,形成细束,经过一不均 匀的磁场区域,在磁场的垂 直方向运动,最后撞在底片 P上, 显像后在底片上看到 两条黑斑,表明氢原子在经 过不均匀磁场区域时已分 成两束.
由于自旋发现的历史非常曲折有趣，而且很有教育意 义。艾伦费斯特的教育艺术、乌仑贝克与古兹米特的理论 实验协作、泡利的直觉与执着、克罗尼格的背运、爱因斯 坦的举重若轻、托马斯的数学计算都在这个故事里让人眼 睛一亮。
cos
Bz z
dD 3kT
Z
B z
由公式可见，若仅仅μ是量子化的，而cosβ可以是任意的
话那么μz就不是量子化的，而z2也不可能是量子化。只有当空 间也是量子化时，即μ在z方向的投影也是量子化的，z2的数值 才可能是分立的。因此从实验上测得z2的数值是否是分立的， 就可以反过来证明μz是否量子化。史特恩—盖拉赫实验的结果 表明，氢原子在磁场中只有两个取向，这就有力的证明了原子
积；n0是垂直于该面积的单位矢量。
B
从经典电磁学知道载流线圈在均匀外磁场中磁力矩： iSB sin
iS iSn0
iS B
磁矩在均匀外场中不受力，但受到一个力矩的作用
B
原子中电子绕核运动必定产生一个磁矩。若电子绕核旋转的
圆周频率为ν，轨道半径为r，则磁矩为
iSn0
e r2n0
e 2 r
在磁场中的取向是量子化的。
尽管这个实验证实了原子在磁场中的空间量子化，但由于实
验给出的氢原子在磁场中只有两个取向的事实，在当时，却是
空间量子化的理论所不能解释的。按空间量子化理论，当l一定 时，ml有2l+1个取向，由于l是整数，2l+1就一定是奇数。在实
验中，确实观察到奇数取向的例子，例如对于基态氧原子，得