24.4 弧长和扇形面积讲义 学生版

24.4 弧长和扇形面积

一、教学目标

（1）掌握扇形的面积公式，会利用扇形的弧长公式进行有关的计算.

（2）了解圆锥的侧面展开图是一个扇形.

（3）了解圆锥侧面积、全面积的计算方法，并会运用公式解决问题.

二、教学重难点

（1）教学重点：弧长公式、圆锥及有关概念；

（2）教学难点：圆锥的侧面积和全面积；

知识点一：弧长公式

在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)

例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为

l=nπr/180

=45×π×1/180

=45×3.14×1/180

约等于0.785

【提醒】

(1)在弧长公式中，n表示“1°”的圆心角的倍数，在公式计算时，“n”和“180”不应再写单位；

(2)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量，即三个量中知二可求一；

(3)正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，要充分注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一.

例1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）

A．B．C．2πD．

例2.如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（）

A．2πB． C． D．

变式1.一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．

变式2.一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为cm．

知识点二：扇形与扇形的面积公式

1.扇形的定义

一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。

2.扇形的面积公式

①角度制计算

,其中l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。

②弧度制计算

，其中l是弧长，|α|是弧l所对的圆心角的弧度数的绝对值，R是扇形半径。

【提醒】

（1）对于扇形的面积公式与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形看作一个曲边三角形，吧弧长l 看做底边，R看做高，这样对比，便于记忆，也便于应用，实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.

（2）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量. 例1．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．

例2.已知扇形的弧长为2πcm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2．

变式1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）

A．2B．C．πm2D．2πm2

变式2．如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）

A．πB．2πC．3πD．6π

知识点三：圆锥及有关概念

圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，如图所示，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

【提醒】

圆锥的特征：

（1）底面的特征：圆锥的底面都是一个圆。

（2）侧面的特征：圆锥的侧面是曲面。

（3）高的特征：一个圆锥只有一条高。

（4）母线的特征：圆锥母线的长度大于圆锥的高。

圆锥的底面半径r，高h和母线l构成了一个直角三角形，由勾股定理可得，半径的平方+高的平方=母线的平方.

点拨方法：判断一个图形是圆锥的条件：①底面是一个圆；②侧面是一个曲面，③只有一条条高；④有一个顶点。

例1.说一说下面哪些是圆锥

例2.

1、判断

（1）圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。（）

（2）从圆锥的顶点到底面任意一点的距离叫做圆锥的高。（）

（3）圆锥从正面或侧面看，都是一个等腰三角形。（）

2、下面图形中是圆锥的在括号里打“√”，不是的打“×”。

（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）变式1.下面各图标出圆锥的高正确吗？为什么？

变式2.下列对高的测量正确的是（）

A B C

拓展点一：弧长公式的应用

例1.如图，A，B，P是半径为2的⊙上的三点，∠APB=45°，则的长为（）

A．πB．2πC．3πD．4π

例2.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，⊙O的半径为6，则的长等于（）

A．πB．2πC．3πD．4π

例3.如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BAC=36°，且⊙O的半径为1，则劣弧BC的长是（）

A．πB．πC．πD．π

变式1.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；

（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．

拓展点二：扇形面积公式的应用

例1.如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（）

A．B．C．D．

例2.如图，正方形ABCD内接于圆O，AB=4，则图中阴影部分的面积是（）

A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣16

变式1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AB=2，AC=．

（1）求∠A的度数．

（2）求弧CBD的长．

（3）求弓形CBD的面积．