化学中的群论-1
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Abel群：群中任意两元素的积一般不对易。即RS≠SR 若RS=SR，则此群叫Abel群。
循环群：若群G={E=Rn, R, R2, ……, Rn-1}, 则它是一个n阶循环 群，记作Cn。R称为G的生成元。
例：在二维平面上绕原点顺时针连续旋转π/3的操作构成的群 G={E=R3(π/3), R (π/3) , R2(π/3)}就是C3群。
一、定义
群G的子集H，如果按照原来的元素乘积规则，也满 足群的四个条件，则称为群G的子群。
例：在整数群加法群Z中，整数n的一切倍数所构成 的集合对于数的加法显然构成一个群，因此它是Z 的子群。
二、判断
1.判别有限群的子集是否构成子群时，检验子集是否 满足封闭性就够了。
2.不含恒元的子集肯定不是子群。
循环群的乘法表：当表中元素按生成元的幂次排列时，表 的每一行都可由前一行向左移动一格得到，而最左面的元 素移到最右面去。
例 G={E=R4,R,R2,R3}, R1~4分别表示在一平面内绕一点顺时针 旋转π/4~π的操作。其乘法表如下
E R R2 R3 E E R R2 R3 R R R2 R3 E R2 R2 R3 E R R3 R3 E R R2
称两群同态，记作G’~G。
若G’~G，群G’只反映了群G的部分性质。
1.5 群的直接乘积
如果存在阶数分别为h和k的两个群
H={H1=E，H2，…，Hh} K={K1=E，K2，…，Kk}
若它们满足下列条件：
(1)任意两个群H、K中取出的两个元素都可对易； （2）H、K中除E外没有共同元素。
则取每个群的每个元素与另一个群的所有元素的乘积所得的
因为群中任意元素有如下形式：…Rk, Rl… RkRl = RlRk, k,l≤n, 所以循环群是Abel群。但逆命题不成立。
元素的阶：有限群的任一元素自乘若干次后，必可得到恒元。 若Rn=E，称n为元素R的阶。
三、群的例子
1. 所有有理数的集合对于普通数的加法构成无限加法Abel群。 单位元：0 n的逆元：-n 加法满足封闭性和结合率
所有互相共轭的元素的集合称为类。
互相共轭的元素存在某共同的性质，这就是互相共轭元素 的集合称为类的原因。
1. 同类元素的阶必相同，但阶数相同的元素不一定 属于同一类。
2.如果乘法表中取左乘元素和右乘元素的排列次序 相同，则在乘法表中关于对角线对称的两元素互 相共轭，互相共轭的元素也一定会在乘法表关于 对角线对称的某位置出现。
找出子群：{E，A} ， {E，D，F}的左右陪集，并判 断此子群是否正规子群。
子群{E，A}的左陪集有两个：{D，B}和{F，C}，右陪集也有两个： {D，C}。左右陪集不对应相等，因此，此子群不是不变子群。 另一个子群{E，D，F} 是不变子群，陪集是{A，B，C}
1.3 共轭元素和类
如果A，B和X是一个群G中任意三个元素，它们存在下面的 关系：
集合形成H、K的群的直接乘积，简称直积。可表示为 G=H K={E，EK2，EK3，… EKk,…，H2K1，…， H2Kk，…HhK1,…HhKk}
从群的直积定义中我们可以看出，取群的直积给 出了一种扩大群的最简单的方法。反之，我们可能分一 个群为几个直因子群，从对直因子群的性质研究，可以 知道直积群的一些性质。
↑ ↓ ←→ ↑ ↑ ↓ ←→ ↓ ↓ ↑ →← ←←→ ↓ ↑ →→← ↑ ↓
1 -1 i -i 1 1 -1 i -i -1 -1 1 -i i i i -i -1 1 -i -i i 1 -1
练习：设R为全体实数对加法组成的群，R’为全体实数 对乘法作成的群，试建立一一对应关系，证明两群同构。
3.任何群都有两个平庸的子群：恒元和整个群，但通 常不把它们计入子群之列。
4.群G的阶数g一定是子群H阶数h的整数倍。阶数为素 数的群没有非平庸子群，且一定是循环群。
5.寻找有限群的子群的最好方法就是先列出它的全部 循环子群，然后把若干循环子群合起来，看它们是否 满足封闭性。
例：找出正三角形对称群D3的所有子群。
例：找出正三角形对称群D3的所有类。
EDFABC E ED F ABC DDF EBCA F F EDCAB AACBE FD BBACDE F CCBAFDE
{E}，{E，F}，{A，B，C}
1.4 同构和同态
一、同构
若群G’和G的所有元素间都按某种规则存在一一对应 关系，它们的乘积也按同一规则一一对应，则称两群同
2. 除零外的所有实数的集合对于普通数的乘法构成无限乘法Abel群。 单位元：1 n的逆元：1/n 乘法满足封闭性和结合率
3.{立定，向左转，向后转，向右转}对于连续动作构成四阶群。 单位元：立定 逆元：立定↔立定 向左转↔ 向右转 向后转↔向后转 封闭性：满足 结合律：满足
4.所有n维空间Rn中的向量X=（x1,x2,…,xn)的集合对于向量的加法构成群。 恒元：零向量 逆元：a=(a1,a2,…an) ↔-a=(-a1,-a2,…,-an) 封闭性：满足 结合律：满足
B
C
正三角形的对称变换
EDFABC
A
AACBACB
BBACCBA
O B
CCBABAC
C
正三角形对称变换群D3的乘法表
EDFABC
E ED F ABC
DDF EBCA
F F EDCAB
AACBE FD
BBACDE F
CCBAFDE
习题 1.举例说明一阶群、二阶群、三阶群、四阶群。
2.G是由a、b、c三个元素所构成的集合，它们 的乘法表如下，判断G是否构成群？
B=X-1AX 则称B是借助于X所得到的相似变换，也称A和B是共轭的。
共轭元素有下面的一些性质：
1.每个元素都与其自身共轭，即在群中任选一元素A，则定能至 少找到一个元素X，可使A=X-1AX
2.如果A与B共轭，则B与A也共轭。 3.与同一元素共轭的元素也相互共轭。
一个群除了可以选出适当的元素组成子群外，还可以 按相似变换的方法将群的元素分为更小的集合---类。
E
D
F
A
BC
E
E
D
F
A
BC
D
D
F
E
B
CA
F
F
E
D
C
AB
A
A
C
B
E
FD
B
B
A
C
D来自百度文库
EF
C
C
B
A
F
DE
子群：{E，A}，{E，B}，{E，C}，{E，D，F}
三、陪集和不变子群
设群G阶为g，有子群H，阶为h: H={S1,S2,S3,…,Sh}, S1=E.
任取群G中不属于子群H的元素Rj，把它左乘或右乘到子 群H上，得到群G的两个子集：
四、群表和重排定理
1.群乘法表
对于有限群，群元素数目有限，我们有可能把元素的乘积全部排列出来，构成 一个表称为群的乘法表，简称群表。
{立定（ ↑ ），向左转（← ），向后 转（↓） ，向右转（ ↓）}
1, -1, i, -i对于数的乘法构成群
↑ ↓ ←→
1 -1 i -i
↑ ↑ ↓ ←→
1 1 -1 i -i
2.群表定理（重排定理）
一个群的所有元素，在群表的每一行（或一列） 都要出现，而且只出现一次，只是次序不同。
例：写出正三角形对称群D3的乘法表，并判断是否Abel群。
A O
对称元素：A — 三角形绕OA轴转动π角 B — 三角形绕OB轴转动π角 C — 三角形绕OC轴转动π角 D —绕过O点垂直于三角形面的轴顺时针旋转2π/3 F —绕过O点垂直于三角形面的轴顺时针旋转4π/3 E —不动
↓ ↓ ↑ →←
-1 -1 1 -i i
←←→ ↓ ↑
i i -i -1 1
→→← ↑ ↓
-i -i i 1 -1
从此群表中可以看出， {↑， ↓}和 {1，-1}各自形成子群。 上面两个群都是Abel群，群元素在表中相对于主对角线是对称的。
Abel群的乘法表：群元素在表中相对于主对角线是对称的。
RjH={Rj, RjS2, RjS3, …, RjSh}, HRj={Rj, S2Rj, S3Rj, …, ShRj},
Rj G, Rj H
RjH称为子群H的左陪集，HRj称为右陪集。
陪集的性质： 1.陪集和子群没有公共元素； 2.陪集不包含恒元，陪集一定不是群G的子群；
从群的乘法表上很低容易找到子群的陪集。事实 上，乘法表里与子群元素有关的各列中，每一行的元 素分别构成子群或左陪集，而与子群元素有关的各行 中，每一列的元素分别构成子群或右陪集。
若子群H的所有左陪集都与对应的右陪集相等， RjH=HRj,即 RjSu=SvRj
则此子群称为不变子群，或称为正规子群。 注意此定义并不要求不变子群的元素和群G中所有其它 元素对易。
Abel群的所有子群都是不变子群。
例：正三角形对称变换群D3的乘法表
E D F A BC E E D F A BC D D F E B CA F F E D C AB A A C B E FD B B A C D EF C C B A F DE
建立 φ(x)=ex (e为自然对数的底）是R与R’的一一对应 关系，显然
φ(x+y)=ex+y= ex ey= φ(x) φ(y)
故R≈R’ 。
二、同态
若群G’和G的所有元素间都按某种规则存在一多对应 关系，即G中的任一元素都唯一地对应G’中一个确定的元 素，G’中任一元素至少对应G中一个元素，也可以对应G 中若干个元素，它们的乘积也按同一规则一多对应，则
《物理学中的群论》 马中骐
科学出版社
我们周围到处都有对称性的存在，一般人们认为有对 称性的东西是美的。
•抽象群的数学理论是近世代数学和有关对称性一般研究 结果。
•群论是数学中的一门学科，但同时被应用到许多科学领 域。例如：点论在化学中用来描述分子的对称性, 洛伦 兹群是相对论的核心部分，空间群在晶体物理的研究中 起到关键的作用。
abc aabc bbca ccab
3.证明下列四个方阵A、B、C、D对于矩阵的乘法 构成一个群V：
A
1 0
10,
B
1 0
01, C
1 0
10,
D
1 0
01
写出V的乘法表。V是否循环群？V是否Abel群？
1.2 子群
例 ：我们可以通过两条垂直的直线坐标构造出平面直 角坐标系，并进一步构造出空间直角坐标系。反之， 我们研究空间向量，可以把它分解到三个相互垂直的 坐标轴上来讨论。
化学中的群论
内容： 第一章 群的基础知识 第二章 分子的对称性与对称性操作 第三章 群的表示 第四章 群在化学研究中的应用实例
参考书
《群论在化学中的应用》 [美]F.A.科顿 科学出版社
《群论与分子对称性》 誉文德 华南工学院出版社
《群论及其在物理和化学中的应用》 方可 重庆大学出版社
•群论在量子化学和光谱学的研究中也是最有力的数学 工具之一，它帮助人们预测、解释、简化复杂的理论和 数据。
第一章 群的基础知识
1.1 群的定义和性质
一、定义
在规定了元素的“乘积”法则后，元素的集合G如果满足下面四 个条件，则称为群。
1.集合对乘积的封闭性. 集合中任意两元素的乘积仍属此集合。即 RS G,R和S G
构，记作G’≈G。
互相同构的群，它们群的性质完全相同。研究清楚一 个群的性质，也就了解了所有也它同构的群的性质。
在群同构的定义中，元素之间的对应规则没有什么限 制。如果选择的规则不当，使元素的乘积不能按此规则 一一对应，并不等于说，这两个群不同构。
{立定（ ↑ ），向左转（← ）， {1, -1, i, -i}对于数的乘法构成群 向后转（↓） ，向右转（ ↓）}
2.乘积满足结合律 R(ST) (RS )T,R, S和T G
3.集合中存在恒元E（单位元），用它左乘集合中的任意元素，
保持该元素不变，即
E G,和ER R,R G
4.任何元素R的逆元R-1存在于集合中，满足 R G, R1 G,使R1R E
二、群的一些基本概念
有限群的阶：群中元素的个数称为有限群的阶。
循环群：若群G={E=Rn, R, R2, ……, Rn-1}, 则它是一个n阶循环 群，记作Cn。R称为G的生成元。
例：在二维平面上绕原点顺时针连续旋转π/3的操作构成的群 G={E=R3(π/3), R (π/3) , R2(π/3)}就是C3群。
一、定义
群G的子集H，如果按照原来的元素乘积规则，也满 足群的四个条件，则称为群G的子群。
例：在整数群加法群Z中，整数n的一切倍数所构成 的集合对于数的加法显然构成一个群，因此它是Z 的子群。
二、判断
1.判别有限群的子集是否构成子群时，检验子集是否 满足封闭性就够了。
2.不含恒元的子集肯定不是子群。
循环群的乘法表：当表中元素按生成元的幂次排列时，表 的每一行都可由前一行向左移动一格得到，而最左面的元 素移到最右面去。
例 G={E=R4,R,R2,R3}, R1~4分别表示在一平面内绕一点顺时针 旋转π/4~π的操作。其乘法表如下
E R R2 R3 E E R R2 R3 R R R2 R3 E R2 R2 R3 E R R3 R3 E R R2
称两群同态，记作G’~G。
若G’~G，群G’只反映了群G的部分性质。
1.5 群的直接乘积
如果存在阶数分别为h和k的两个群
H={H1=E，H2，…，Hh} K={K1=E，K2，…，Kk}
若它们满足下列条件：
(1)任意两个群H、K中取出的两个元素都可对易； （2）H、K中除E外没有共同元素。
则取每个群的每个元素与另一个群的所有元素的乘积所得的
因为群中任意元素有如下形式：…Rk, Rl… RkRl = RlRk, k,l≤n, 所以循环群是Abel群。但逆命题不成立。
元素的阶：有限群的任一元素自乘若干次后，必可得到恒元。 若Rn=E，称n为元素R的阶。
三、群的例子
1. 所有有理数的集合对于普通数的加法构成无限加法Abel群。 单位元：0 n的逆元：-n 加法满足封闭性和结合率
所有互相共轭的元素的集合称为类。
互相共轭的元素存在某共同的性质，这就是互相共轭元素 的集合称为类的原因。
1. 同类元素的阶必相同，但阶数相同的元素不一定 属于同一类。
2.如果乘法表中取左乘元素和右乘元素的排列次序 相同，则在乘法表中关于对角线对称的两元素互 相共轭，互相共轭的元素也一定会在乘法表关于 对角线对称的某位置出现。
找出子群：{E，A} ， {E，D，F}的左右陪集，并判 断此子群是否正规子群。
子群{E，A}的左陪集有两个：{D，B}和{F，C}，右陪集也有两个： {D，C}。左右陪集不对应相等，因此，此子群不是不变子群。 另一个子群{E，D，F} 是不变子群，陪集是{A，B，C}
1.3 共轭元素和类
如果A，B和X是一个群G中任意三个元素，它们存在下面的 关系：
集合形成H、K的群的直接乘积，简称直积。可表示为 G=H K={E，EK2，EK3，… EKk,…，H2K1，…， H2Kk，…HhK1,…HhKk}
从群的直积定义中我们可以看出，取群的直积给 出了一种扩大群的最简单的方法。反之，我们可能分一 个群为几个直因子群，从对直因子群的性质研究，可以 知道直积群的一些性质。
↑ ↓ ←→ ↑ ↑ ↓ ←→ ↓ ↓ ↑ →← ←←→ ↓ ↑ →→← ↑ ↓
1 -1 i -i 1 1 -1 i -i -1 -1 1 -i i i i -i -1 1 -i -i i 1 -1
练习：设R为全体实数对加法组成的群，R’为全体实数 对乘法作成的群，试建立一一对应关系，证明两群同构。
3.任何群都有两个平庸的子群：恒元和整个群，但通 常不把它们计入子群之列。
4.群G的阶数g一定是子群H阶数h的整数倍。阶数为素 数的群没有非平庸子群，且一定是循环群。
5.寻找有限群的子群的最好方法就是先列出它的全部 循环子群，然后把若干循环子群合起来，看它们是否 满足封闭性。
例：找出正三角形对称群D3的所有子群。
例：找出正三角形对称群D3的所有类。
EDFABC E ED F ABC DDF EBCA F F EDCAB AACBE FD BBACDE F CCBAFDE
{E}，{E，F}，{A，B，C}
1.4 同构和同态
一、同构
若群G’和G的所有元素间都按某种规则存在一一对应 关系，它们的乘积也按同一规则一一对应，则称两群同
2. 除零外的所有实数的集合对于普通数的乘法构成无限乘法Abel群。 单位元：1 n的逆元：1/n 乘法满足封闭性和结合率
3.{立定，向左转，向后转，向右转}对于连续动作构成四阶群。 单位元：立定 逆元：立定↔立定 向左转↔ 向右转 向后转↔向后转 封闭性：满足 结合律：满足
4.所有n维空间Rn中的向量X=（x1,x2,…,xn)的集合对于向量的加法构成群。 恒元：零向量 逆元：a=(a1,a2,…an) ↔-a=(-a1,-a2,…,-an) 封闭性：满足 结合律：满足
B
C
正三角形的对称变换
EDFABC
A
AACBACB
BBACCBA
O B
CCBABAC
C
正三角形对称变换群D3的乘法表
EDFABC
E ED F ABC
DDF EBCA
F F EDCAB
AACBE FD
BBACDE F
CCBAFDE
习题 1.举例说明一阶群、二阶群、三阶群、四阶群。
2.G是由a、b、c三个元素所构成的集合，它们 的乘法表如下，判断G是否构成群？
B=X-1AX 则称B是借助于X所得到的相似变换，也称A和B是共轭的。
共轭元素有下面的一些性质：
1.每个元素都与其自身共轭，即在群中任选一元素A，则定能至 少找到一个元素X，可使A=X-1AX
2.如果A与B共轭，则B与A也共轭。 3.与同一元素共轭的元素也相互共轭。
一个群除了可以选出适当的元素组成子群外，还可以 按相似变换的方法将群的元素分为更小的集合---类。
E
D
F
A
BC
E
E
D
F
A
BC
D
D
F
E
B
CA
F
F
E
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AB
A
A
C
B
E
FD
B
B
A
C
D来自百度文库
EF
C
C
B
A
F
DE
子群：{E，A}，{E，B}，{E，C}，{E，D，F}
三、陪集和不变子群
设群G阶为g，有子群H，阶为h: H={S1,S2,S3,…,Sh}, S1=E.
任取群G中不属于子群H的元素Rj，把它左乘或右乘到子 群H上，得到群G的两个子集：
四、群表和重排定理
1.群乘法表
对于有限群，群元素数目有限，我们有可能把元素的乘积全部排列出来，构成 一个表称为群的乘法表，简称群表。
{立定（ ↑ ），向左转（← ），向后 转（↓） ，向右转（ ↓）}
1, -1, i, -i对于数的乘法构成群
↑ ↓ ←→
1 -1 i -i
↑ ↑ ↓ ←→
1 1 -1 i -i
2.群表定理（重排定理）
一个群的所有元素，在群表的每一行（或一列） 都要出现，而且只出现一次，只是次序不同。
例：写出正三角形对称群D3的乘法表，并判断是否Abel群。
A O
对称元素：A — 三角形绕OA轴转动π角 B — 三角形绕OB轴转动π角 C — 三角形绕OC轴转动π角 D —绕过O点垂直于三角形面的轴顺时针旋转2π/3 F —绕过O点垂直于三角形面的轴顺时针旋转4π/3 E —不动
↓ ↓ ↑ →←
-1 -1 1 -i i
←←→ ↓ ↑
i i -i -1 1
→→← ↑ ↓
-i -i i 1 -1
从此群表中可以看出， {↑， ↓}和 {1，-1}各自形成子群。 上面两个群都是Abel群，群元素在表中相对于主对角线是对称的。
Abel群的乘法表：群元素在表中相对于主对角线是对称的。
RjH={Rj, RjS2, RjS3, …, RjSh}, HRj={Rj, S2Rj, S3Rj, …, ShRj},
Rj G, Rj H
RjH称为子群H的左陪集，HRj称为右陪集。
陪集的性质： 1.陪集和子群没有公共元素； 2.陪集不包含恒元，陪集一定不是群G的子群；
从群的乘法表上很低容易找到子群的陪集。事实 上，乘法表里与子群元素有关的各列中，每一行的元 素分别构成子群或左陪集，而与子群元素有关的各行 中，每一列的元素分别构成子群或右陪集。
若子群H的所有左陪集都与对应的右陪集相等， RjH=HRj,即 RjSu=SvRj
则此子群称为不变子群，或称为正规子群。 注意此定义并不要求不变子群的元素和群G中所有其它 元素对易。
Abel群的所有子群都是不变子群。
例：正三角形对称变换群D3的乘法表
E D F A BC E E D F A BC D D F E B CA F F E D C AB A A C B E FD B B A C D EF C C B A F DE
建立 φ(x)=ex (e为自然对数的底）是R与R’的一一对应 关系，显然
φ(x+y)=ex+y= ex ey= φ(x) φ(y)
故R≈R’ 。
二、同态
若群G’和G的所有元素间都按某种规则存在一多对应 关系，即G中的任一元素都唯一地对应G’中一个确定的元 素，G’中任一元素至少对应G中一个元素，也可以对应G 中若干个元素，它们的乘积也按同一规则一多对应，则
《物理学中的群论》 马中骐
科学出版社
我们周围到处都有对称性的存在，一般人们认为有对 称性的东西是美的。
•抽象群的数学理论是近世代数学和有关对称性一般研究 结果。
•群论是数学中的一门学科，但同时被应用到许多科学领 域。例如：点论在化学中用来描述分子的对称性, 洛伦 兹群是相对论的核心部分，空间群在晶体物理的研究中 起到关键的作用。
abc aabc bbca ccab
3.证明下列四个方阵A、B、C、D对于矩阵的乘法 构成一个群V：
A
1 0
10,
B
1 0
01, C
1 0
10,
D
1 0
01
写出V的乘法表。V是否循环群？V是否Abel群？
1.2 子群
例 ：我们可以通过两条垂直的直线坐标构造出平面直 角坐标系，并进一步构造出空间直角坐标系。反之， 我们研究空间向量，可以把它分解到三个相互垂直的 坐标轴上来讨论。
化学中的群论
内容： 第一章 群的基础知识 第二章 分子的对称性与对称性操作 第三章 群的表示 第四章 群在化学研究中的应用实例
参考书
《群论在化学中的应用》 [美]F.A.科顿 科学出版社
《群论与分子对称性》 誉文德 华南工学院出版社
《群论及其在物理和化学中的应用》 方可 重庆大学出版社
•群论在量子化学和光谱学的研究中也是最有力的数学 工具之一，它帮助人们预测、解释、简化复杂的理论和 数据。
第一章 群的基础知识
1.1 群的定义和性质
一、定义
在规定了元素的“乘积”法则后，元素的集合G如果满足下面四 个条件，则称为群。
1.集合对乘积的封闭性. 集合中任意两元素的乘积仍属此集合。即 RS G,R和S G
构，记作G’≈G。
互相同构的群，它们群的性质完全相同。研究清楚一 个群的性质，也就了解了所有也它同构的群的性质。
在群同构的定义中，元素之间的对应规则没有什么限 制。如果选择的规则不当，使元素的乘积不能按此规则 一一对应，并不等于说，这两个群不同构。
{立定（ ↑ ），向左转（← ）， {1, -1, i, -i}对于数的乘法构成群 向后转（↓） ，向右转（ ↓）}
2.乘积满足结合律 R(ST) (RS )T,R, S和T G
3.集合中存在恒元E（单位元），用它左乘集合中的任意元素，
保持该元素不变，即
E G,和ER R,R G
4.任何元素R的逆元R-1存在于集合中，满足 R G, R1 G,使R1R E
二、群的一些基本概念
有限群的阶：群中元素的个数称为有限群的阶。